זווית מתאימות וזוויות מתחלפות

לדף זה 4 חלקים:

  1. הסבר כיצד מזהים זוויות מתאימות ומתחלפות.
  2. תכונת הזוויות המתאימות והזוויות המתחלפות.
  3. מכשולים נפוצים בהם תלמידים נתקלים בשאלות.
  4. תרגילים.

1.כיצד מזהים זוויות מתאימות ומתחלפות

אם שני ישרים (מקבילים או לא מקבילים) נחתכים על ידי ישר שלישי אז נוצרות 8 זוויות.

זוויות הנוצרות על ידי שני ישרים וישר שלישי החותך אותם

ניתן לראות שבשרטוט הישר k יוצר 4 זוויות למעלה ו 4 זוויות למטה.
על כל אחת מ 4 הזוויות ניתן להגיד אם היא מימין או משמאל. למעלה או למטה (ביחס לאותה קבוצה של 4 זוויות).

למשל:
8 היא שמאל למטה.
5 שמאל למעלה.
3 ימין למטה.
1 שמאל למעלה.

זוויות מתאימות
אלו הן זוויות הנמצאות באותו גובה ובאותו צד.
1,5 נמצאות שתיהן "משמאל למעלה" לכן אלו זוויות מתאימות.
3,7 נמצאות שתיהן "מימין למטה" לכן אלו זוויות מתאימות.

זוויות מתאימות נוספות:
2,6
4,8

זוויות מתחלפות
זוויות מתחלפות נמצאות לא באותו צד ולא באותו גובה.
1 נמצאת "משמאל למעלה"
7 נמצאת "מימין למטה"
לכן 1,7 הן זוויות מתחלפות.

4 נמצאת "משמאל למטה".
6 נמצאת "מימין למעלה"
לכן 4, 6 הן זוויות מתחלפות.

זוויות מתחלפות נוספות:
2,8
3,5

2. תכונת הזוויות המתאימות והזוויות המתחלפות

כאשר ידוע שהישרים מקבילים הזוויות המתאימות והזוויות המתחלפות שוות זו לזו.

כאשר רוצים להוכיח האם ישרים מקבילים מסתכלים על הזוויות המתאימות או המתחלפות.
אם המתאימות או המתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
אם המתאימות או המתחלפות אינן שוות אז הישרים אינם מקבילים.

3. 6 טעויות נפוצות בשאלות על ישרים מקבילים

1.להשוות בין זוויות שלא נוצרות על ידי אותו חותך.

זו הטעות הנפוצה ביותר. זוויות מתאימות, מתחלפות, חד צדדיות תמיד נוצרות על ידי אותו ישר החותך את הישרים המקבילים.
אבל לפעמים אנחנו מתבלבלים ומשווים בין זוויות הנוצרות על ידי ישרים שונים.
לכן כדאי לעבור עם העין לכול אורך הקו ולוודא שאנו מסתכלים על אותו ישר היוצר שתי זוויות שונות.

לפעמים מתייחסים על הזווית האדומה (התחתונה) והשחורה (העליונה) כאל זוויות מתאימות, אבל הן לא כי הן לא נוצרו על ידי אותו ישר. הזוויות המתאימות הן האדומה תחתונה והאדומה עליונה.

לפעמים מתייחסים על הזווית האדומה (התחתונה) והשחורה (העליונה) כאל זוויות מתאימות, אבל הן לא כי הן לא נוצרו על ידי אותו ישר.
הזוויות המתאימות הן האדומה תחתונה והאדומה עליונה.

2. להתייחס אל זוויות שסכומן 180 כאל זוויות שוות בגודלן

הרבה מהזוויות שאנו מוצאים הן זוויות מתאימות או מתחלפות שוות. לכן לפעמים כתוצאה מחיפזון בפתרון תרגיל אנו רואים זווית שסכומן 180 מעלות ורושמים אותם כזוויות שוות. שימו לב לכך.

הזוויות האדומות הן זוויות שסכומן 180 מעלות. ולא זוויות שוות.

הזוויות האדומות הן זוויות שסכומן 180 מעלות.
ולא זוויות שוות.

3. לישרים מקבילים יש שני משפטים ולפעמים לא יודעים כיצד ומתי להשתמש בהם

המשפט הראשון: אם ישר חותך שני קווים מקבילים אז נוצרות זוג זוויות מתחלפות שוות וזווג זוויות מתאימות שוות.
במשפט זה עליכם להשתמש כאשר הנתונים אומרים שהישרים מקבילים.

המשפט ההפוך (השני): אם ישר חותך שני ישרים ונוצרות זוויות מתחלפות שוות ו/או זווג זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים.
במשפט זה עליכם להשתמש כאשר מבקשים להוכיח שהישרים מקבילים.
במקרה זה אתם לא יכולים להשתמש בזוויות מתאימות או מתחלפות שוות מבלי שהוכחתם קודם שהישרים מקבילים.

4. כיצד פותרים תרגילים שיש בהם יותר משני ישרים מקבילים?

תשובה: מסתכלים כל פעם רק על שני ישרים מקבילים ועושים רק עבורם את החישובים.

תרגיל
מצאו את גודל זוויות 1,2,3,4 שבשרטוט.

הישרים הכחולים מקבילים. הישרים האדומים מקבילים. חשבו את זוויות 1-4.

הישרים הכחולים מקבילים. הישרים האדומים מקבילים. חשבו את זוויות 1-4.

100 = 1∠ זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים A ו B.
100 = 2∠ זוויות מתאימות בין הישרים המקבילים A ו C.
80 = 3∠ זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים D ו E.
80  = 4∠ זוויות מתאימות בין הישרים המקבילים A ו C.

5. כיצד פותרים תרגילים מהסוג שבשרטוט?

תרגילים הם הישרים חותכים רק 1 מתוך שני הישרים המקבילים

תרגילים הם הישרים חותכים רק 1 מתוך שני הישרים המקבילים

יש להמשיך את הישרים עד שהם חותכים את שני הישרים המקבילים ורק אז מתקבל מידע המאפשר לפתור את השאלה.

לאחר שממשיכים את הקו פותרים את התרגיל בעזרת זוויות צמודות (60) זוויות חד צדדיות (70) וסכום זוויות במשולש (50)

לאחר שממשיכים את הקו פותרים את התרגיל בעזרת זוויות צמודות (60) זוויות חד צדדיות (70) וסכום זוויות במשולש (50)

6. מצב מיוחד שכדאי להכיר:
חוצה זוויות העובר בין שני ישרים מקבילים יוצר משולש שווה שוקיים.

תכונה זו נובעת מזוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.

CB הוא חוצה זווית ACD. וזוויות BCD = ABC הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

CB הוא חוצה זווית ACD. וזוויות BCD = ABC הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

 

4. תרגילים

תרגיל 1
האם הזוויות a ו b הן זוויות מתאימות, מתחלפות או לא זה ולא זה.

האם הזוויות המסומנות הן זוויות מתחלפות, מתאימות

פתרון

חלק 1

a – נמצאת משמאל למעלה.
b – מימין למטה.
a ו – b אלו זוויות מתחלפות – לא נמצאות באותו צד ולא באותו גובה.

חלק 2


a – מימין למטה.
b – מימין למטה.
a ו – b אלו זוויות מתאימות – נמצאות באותו צד ובאותו גובה.

חלק 3


a – משמאל למטה.
b – מימין למטה.
a ו – b לא מתאימות ולא מתחלפות – לא מקיימות את התכונות הנדרשות.

תרגיל 2
נתון כי הישרים m ו n הם מקבילים.
מצאו את הזוויות המתאימה והמתחלפת לזווית a וקבעו את גודלן.

מציאת זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

מציאת זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

פתרון

חלק 1

זווית 2 היא הזווית המתאימה.
זווית 4 היא הזווית המתחלפת. שתיהן שוות 100 מעלות.

חלק 2

זווית 4 היא הזווית המתאימה.
זווית 2 היא הזווית המתחלפת. שתיהן שוות  120 מעלות.

חלק 3

זווית 1 היא הזווית המתאימה.
זווית 3 היא הזווית המתחלפת. שתיהן שוות ל 60 מעלות.

חלק 4

זווית 4 היא הזווית המתאימה.
זווית 2 היא הזווית המתחלפת. שתיהן שוות ל 100 מעלות.

תרגיל 3
נתון כי הקווים m ו n הם קווים מקבילים. מצאו את x ואת גודל הזוויות.

חישוב זוויות בעזרת תכונות קווים מקבילים

חלק 1
הזווית 2x נמצאת מימין למטה.
הזווית x + 60 נמצאת משמאל למעלה.
לכן אלו זוויות הן זוויות מתחלפות שוות.

נוכל לבנות את המשוואה:
2x=x+60 /-x
x=60
x+60=120
תשובה: גודל שתי הזוויות הוא 120 מעלות.

חלק 2
שתי הזוויות נמצאות מימין למטה.
לכן הזוויות הן מתאימות שוות.

זווית אחת שווה 2x+30 זווית שנייה שווה 3x-10.
לכן נוכל לבנות את המשוואה:
2x+30=3x-10 / -2x+10
40=x
110 = 10- 40*3
תשובה: גודל שתי הזוויות שווה 110 מעלות.

תרגיל 4
m ו n הם קווים מקבילים.
חשבו את זוויות 1,2,3 בשרטוט

חישוב זוויות בין קווים מקבילים

פתרון

זווית 1 משלימה את זוויות המשולש ל 180 מעלות לכן:
70=180-60-50=1∠
70=1∠

זווית 2 היא זוויות מתחלפת לזווית בתוך המשולש ששווה 60 מעלות לכן:
60=2∠

זווית 3 היא זווית מתאימה לזווית בתוך המשולש ששווה 50 מעלות לכן:
50=3∠

הערה: דרך אחרת למצוא את זווית 3 היא להגיד שהיא זווית המשלימה את זוויות 1 ו 2 ל 180 מעלות על אותו ישר. לכן:
50=180-70-60=3∠

פתרון וידאו:

תרגיל 5

ידוע כי הישרים m ו- n הם ישרים מקבילים.
וגם הישרים k ו- L הם ישרים מקבלים.
השלימו את הזוויות המסומנות בירוק (זוויות 1,2,3)

שרטוט התרגיל

פתרון

נסתכל על הישרים המקבילים m,n.
הזווית שגודלה 80 נמצאת משמאל למעלה.
זווית מספר 1 נמצאת מימין למטה.
לכן אלו זוויות מתחלפות שוות.
80 = 1∠.

זווית 2 צמודה לזווית 1 ולכן משלימה אותה ל- 180 מעלות.
100 = 2∠

נסתכל על הישרים המקבילים K, L.
זווית 1 נמצאת מימין למטה וגם זווית 3 נמצאת מימין למטה.
לכן זוויות 1 ו- 3 הן זוויות מתאימות שוות.
80 = 3∠

פתרון התרגיל בשרטוט

תרגיל 6

ידוע כי הקווים הכחולים בתרגיל מקבילים. חשבו את הזוויות המסומנת בירוק.

חישוב זוויות בין ישרים מקבילים

פתרון
על מנת לפתור תרגילים מסוג זה יש להמשיך את הקו האדום על מנת שיחתוך את הקו הכחול.
לאחר מיכן נשלים זוויות במשולש.

שרטוט הישר

זווית 1 היא זווית צמודה לזווית שגודלה 80.
לכן גודלה 100 מעלות.

זווית 2 היא זווית מתחלפת לזווית לזווית שגודלה 50.
(הזווית שגודלה 50 נמצאת מימין למעלה,  זווית 2 נמצאת משמאל למטה).
לכן גודל זווית 2 הוא 50.

הזווית הירוקה משלימה את המשולש ל- 180 מעלות ולכן גודלה:
30 = 50 – 100- 180
גודל הזווית הירוקה 30 מעלות.

פתרון התרגיל

המשפט ההפוך: אם זוויות מתאימות שוות או מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים

עד עכשיו נעזרנו בכך שידענו שישרים מקבילים על מנת למצוא גדלים של זוויות.
אבל ניתן לעשות גם להפך: לדעת גדלים האם ישרים מקבילים או לא על פי גדלים של זוויות.

המשפט אומר כך:
אם בין שני ישרים וישר שלישי שחותך אותם נוצרות זוויות מתאימות או מתחלפות שוות אז הישרים הם מקבילים.

האם ישרים הם מקבילים או לא

בשרטוט 1 יש זווית מתחלפות שוות לכן הישרים m ו n  הם ישרים מקבילים.
בשרטוט 2 יש זוויות מתאימות שאינן שוות לכן m ו n אינם ישרים מקבילים.

תרגילים

האם הישרים הבאים הם מקבילים או לא?

האם הישרים מקבילים?

בשרטוט 1 הזוויות המתחלפות הן 50 ו 50 והן זוויות שוות. לכן הישרים הם מקבילים.

בשרטוט 2 הזוויות המתאימות הן 60 ו 120 והן אינן שוות. לכן הישרים אינם מקבילים.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 thoughts on “זווית מתאימות וזוויות מתחלפות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.