פרופורציה במעגל

בדף זה נכיר את 4 משפטי הפרופורציה במעגל.
ככול הידוע לי משפטים 1,3,4 יצאו מתוכנית הלימודים לבגרות במתמטיקה. אבל אני ממליץ לבדוק זאת עם המורה בכיתה.
על כן דף זה מיועד בעיקר לתלמידי מכינה.

משפט 1
אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.
AO * OB = DO*OC

שימו לב גם כי מתקיים:
AOC ∼ DOB
כלומר כל שני מיתרים נחתכים במעגל יוצרים משולשים דומים.

ניתן להוכיח זאת אם נשלים את צלעות המשולשים ונראה כי
CAB = BDC  זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות זו לזו.
AOC = DOB קודקודיות.
ולכן המשולשים דומים על פי ז.ז.

כמו כן גם המשוואה שכתבנו למעלה
AO * OB = DO*OC
נובעת מדמיון המשולשים.

 

משפט 2
שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת שווים זה לזה.
AB = AC

משפט 3
אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
AB*AC = AD * AE

גם את משפט זה ניתן להוכיח בעזרת דמיון משולשים.
נעביר את הישרים BD,CE.
וגם נשתמש במשפט "במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180 מעלות".
ונגיע לתוצאה הבאה:
AEC = ABD
A זווית משותפת.
לכן AEC ∼ ABD על פי זווית זוויות.
והשוויון הרשום למעלה
AB*AC = AD * AE
נובע מדמיון משולשים זה.

משפט 4
אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.
AD² = AB * AC

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.