היקף מעגל

הנוסחה לחישוב היקף מעגל היא:

P=2₶R

P – היקף המעגל.
R – רדיוס המעגל
₶ – (פאי) מספר שגודלו הוא בערך 3.14.

רדיוס (R) הוא ישר המחבר את מרכז המעגל עם היקף המעגל.
קוטר המעגל הוא מיתר במעגל העובר דרך מרכז המעגל. האורך של הקוטר הוא פעמיים הרדיוס. 2R.

הדבר היחידי שאתם צריכים לדעת על מנת לחשב היקף מעגל זה רדיוס המעגל (או קוטר).

דוגמה לחישוב היקף מעגל:
נתון מעגל שאורך הרדיוס שלו הוא 5 ס"מ. חשבו את היקפו.

מעגל שרדיוסו הוא 5 ס"מ

פתרון
הנוסחה היא:
P=2₶R
P = 2 * 3.14 * 5
P = 31.4

תשובה: היקף המעגל הוא 31.4 ס"מ.

בהמשך הדף תרגילים המתמקדים בהיקף מעגל ומידי פעם שואלים גם על שטח מעגל (הנוסחה היא S=₶r²).
אם אתם מעוניינים בפירוט בנושא שטח מעגל תמצאו אותו בקישור.

תרגילים

בדף זה 12 תרגילים המחולקים לחלקים.
חלקים 1-3 מיועדים לבית הספר היסודי ולחטיבת הביניים.
חלקים 4-6 מיועדים לחטיבת הביניים.

החלקים הם:

  1. תרגילים 1-4 חישוב היקף ושטח על פי הרדיוס או הקוטר.
  2. תרגילים 5-7 חישוב היקפים של צורות המשלבות מעגל וצורות אחרות (היקפים מורכבים).
  3. תרגיל 8 כיצד משתנה היקף המעגל כאשר מגדילים רדיוס פי…
  4. תרגיל 9 ידוע ההיקף, צריך לחשב את הרדיוס
  5. 10-11 אופניים / מעגלים מתגלגלים והמרחק שהם עוברים תוך כדי הגלגול.
  6. 12 חישוב אורך קשת ושטח גזרה.

כל חלק מתחיל בסרטון וידאו המסביר כיצד לפתור שאלות.
ועבור חלק מהשאלות יש סרטוני וידאו, פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

חישוב היקף ושטח מעגל על פי הרדיוס או הקוטר

תרגיל 1: חישוב היקף מעגל על פי הרדיוס
רדיוס של מעגל הוא 6 מטר. חשבו את היקף המעגל ואת שטחו.

מעגל שרדיוסו הוא 6 מטר

פתרון
חישוב היקף המעגל
הנוסחה להיקף המעגל היא:
P=2₶R

נציב:
3.14 = ₶
R = 6
ונקבל:
P = 2 * 3.14 * 6
P = 6.28 * 6 = 37.68
תשובה: היקף המעגל הוא 37.68 מטר.

חישוב שטח המעגל
S=₶r²
S = 3.14 * 6²
S = 3.14 * 36 = 113.04

תרגיל 2: חישוב היקף על פי הרדיוס (תרגיל נוסף)
רדיוס של מעגל הוא 12 ס"מ. חשבו את היקף המעגל ואת שטח המעגל.

שרטוט התרגיל

פתרון
חישוב היקף המעגל
נציב r=12 בנוסחה:
p=2₶r
p = 2* 3.14 * 12= 75.36
תשובה: היקף המעגל הוא 75.36.

חישוב שטח המעגל
הנוסחה לשטח מעגל היא S=₶r²
S = ₶*12² = 144₶ = 452.16
תשובה: שטח המעגל הוא 144₶.

תרגיל 3: חישוב היקף מעגל בעזרת קוטר
ידוע כי קוטר של ארטיק עגול בטעם מסטיק הוא 8 ס"מ. מה היקף הארטיק?

מעגל שקוטרו 8 ס"מ

פתרון
בשאלה זו נתון לנו הקוטר ולא הרדיוס.
אורך הקוטר גדול פי 2 מאורך הרדיוס. כלומר:
פעמיים הרדיוס הם 8 סנטימטר.
רדיוס אחד הוא 4 סנטימטר.

נציב זאת בנוסחה P=2₶r
P = 2* 3.14 * 4
P = 6.28 * 4 = 25.12

תשובה: היקפו של ארטיק המסטיק הוא 25.12 ס"מ.

דרך פתרון שנייה
בדרך זו נציב ישירות את הקוטר במשוואת המעגל.
הנוסחה הרגילה להיקף מעגל היא:
P=2₶r
אבל אפשר לרשום אותה גם כך:
P=₶ * 2r

2r שווים באורכם לקוטר שידוע לנו שהוא 8.
P = 3.14 * 8 = 25.12

לסיכום אם D הוא קוטר המעגל אז ניתן לכתוב את נוסחת היקף המעגל כך:
P = ₶ * D

תרגיל 4
קוטרו של מעגל הוא 10 סנטימטר ואורך צלעו של ריבוע היא 10 סנטימטר.
לאיזו צורה היקף גדול יותר?

פתרון
היקף הריבוע
היקף ריבוע שווה ל 4 פעמים הצלע שלה.
40 = 4 * 10

היקף מעגל
אם קוטרו של המעגל הוא 10 אז רדיוס המעגל הוא 5.
נציב בנוסחה:
P=2₶r
ונקבל:
P = 2 * 3.14 * 5
P = 6.28 * 5 = 31.4

תשובה: היקף הריבוע גדול מהיקף המעגל.

היקפים של צורות מורכבות

תרגיל 5: חישוב היקף של צורה מורכבת
חשבו את היקף הצורה הבנויה ממלבן שאורך צלעותיו הוא 3 ו 8 ס"מ ועל הצלע של 3 ס"מ נמצא קוטר המעגל.

חישוב היקף של צורה מורכבת

פתרון
למלבן 3 צלעות בהיקף 3,8,8
19=3+8+8 (שימו לב שאת אחת מצלעות הלבן אין צורך לחשב כי המעגל "מכסה" עליה)

למעגל יש חצי מעגל בהיקף.
קוטר המעגל הוא 3.
לכן היקף העיגול המלא הוא:
P=2₶r
p = 3.14*1.5*2 = 9.42

מכוון שבצורה זו יש רק חצי עיגול ההיקף הוא :
4.71 = 2 : 9.42

נחבר את שני ההיקפים ונקבל:
23.71=19+4.71
תשובה: היקף הצורה המורכבת הוא 23.71 ס"מ.

תרגיל 6
על ריבוע שאורך צלעו 6 סנטימטר בונים שני מעגלים כמתואר בשרטוט.
חשבו את היקף ושטח הצורה שנוצרה.

פתרון
חישוב ההיקף
היקף הצורה שנוצרה שווה לפעמיים היקף חצי המעגל, כלומר להיקף מעגל שלם.
ועוד אורך שתי צלעות ריבוע.

אורך שתי צלעות ריבוע הוא:
12 = 6 * 2

צלע הריבוע היא קוטר במעגל.
לכן אורך הקוטר במעגל הוא 6.
היקף מעגל הוא:
P=2₶r
p = 6 * 3.14 = 18.84

היקף הצורה כולה הוא:
30.84 = 12 + 18.84

חישוב השטח
שטח הצורה שווה לשטח הריבוע ועוד שטח שני חצאי עיגול. (שביחד הם שטח עיגול שלם).

שטח הריבוע הוא מכפלת צלע ריבוע בעצמה:
S = 6 * 6 = 36

שטח המעגל הוא:
S  = 3.14 * 3²
S = 3.14 * 9 =  28.26

שטח הצורה כולה:
64.26 = 36 + 28.26

תרגיל 7
רדיוסו של מעגל הוא 50 מטרים.
יוצרים מסלול ריצה מחצי מעגל ששני הקצוות שלו מחוברים על ידי קוטר המעגל. (הקו הכחול שבשרטוט).
אדם הלך במסלול זה 3 סיבובים.
מה המרחק שהאדם הלך.

פתרון
נחשב את אורכה של הקפה אחת.
אורכה של הקפה אחת הוא:
חצי מהיקף המעגל + קוטר המעגל.

נחשב את היקף המעגל:
p = 2 * 50 * 3.14
p = 100 * 3.14 = 314
חצי מהיקף המעגל הוא:
157 = 2 : 314

קוטר המעגל הוא:
100 = 2 * 500

סך כל היקף הצורה הוא:
257 = 100 + 157.

האדם הלך 3 הקפות:
771 = 3 * 257
תשובה: האדם הלך 771 מטרים.

כיצד ההיקף משתנה כאשר הרדיוס גדל פי…

כאשר מגדילים / מקטינים את הרדיוס פי מספר מסוים, כיצד משתנים השטח וההיקף?

  • היקף המעגל גדל בדיוק פי אותה מידה שהגדילו את הרדיוס.
  • שטח המעגל גדל בריבוע ביחס למה שהגדילו את הרדיוס.

דוגמה 1
אם רדיוס המעגל גדל פי 3.
היקף המעגל יגדל פי 3.
שטח המעגל יגדל פי 9 (3²).

אם במקור ההיקף היה 10 והשטח היה 8 אז:
ההיקף החדש:
30= 3 * 10
השטח החדש:
72 = 9 * 8

אם רדיוס המעגל יקטן פי 2.
היקף המעגל יקטן פי 2.
שטח המעגל יקטן פי 4.

אם במקור ההיקף היה 20 והשטח 24 אז:
ההיקף החדש:
5 = 4 : 20
השטח החדש:
6 = 4 : 24

הערה:
שימו לב שדיברנו על רדיוס שגדל / קטן פי … ולא ב…
אם הרדיוס גדל ב … משהו לא ניתן לדעת בכמה ישתנו ההיקף או השטח של המעגל החדש.
למשל עם רדיוס מעגל גדל ב 3 סנטימטר לא ניתן לדעת כיצד ישתנה היקף המעגל החדש או שטחו.

היקף המעגל ידוע מציאת רדיוס ושטח

תרגיל 9: היקף המעגל ידוע, מה הרדיוס?
נתון מעגל שהיקפו הוא 18.84 ס"מ.
חשבו את רדיוס המעגל ואת שטחו.

פתרון
ההיקף הוא 6₶ והנוסחה לחישוב היקף היא p=2₶r.
לכן:
2₶r=6₶
2r=6  (צמצמנו את ה ₶).
3 = r
תשובה: רדיוס המעגל הוא 3 ס"מ.

 

גלגלים מתגלגלים והמרחק שהם עוברים

תרגיל 10
גלית מגלגלת גלגל שהיקפו 40 סנטימטר ושרון מגלגל גלגל שהיקפו 20 סנטימטר.
שניהם צריכים לגלגל את הגלגל לאורך 4 מטרים.
כמה סיבובים יעשה כל אחד מהגלגלים?
מה הקשר בין הרדיוסים של המעגלים?

פתרון
(לתרגיל זה שני פתרונות פתרון ראשון לתלמידי יסודי ופתרון שני לתלמידי כיתה ז)

מכוון שמידות הגלגלים הן בסנטימטרים יהיה לנו נוח יותר שגם המרחק יהיה סנטימטרים.
4 מטרים הם 400 סנטימטרים.

הגלגל של גלית
בסיבוב 1 הוא עובר 40 ס"מ.
2 סיבובים 80 = 2 * 40.
3 סיבובים 120 = 3 * 40.
וכן הלאה…

לכן:
400 = ___ * 40
המספר במקום החסר הוא מספר הסיבובים שהגלגל צריך לעשות.
המספר הזה הוא 10.
תשובה: גלית צריכה לסובב את הגלגל 10 סיבובים על מנת לעבור את המרחק.

הגלגל של שרון
היקף הגלגל של שרון הוא 1/2 מהיקף הגלגל של גלית.
לכן מספר הסיבובים שהוא צריך לעבור גדול פי 2 ממספר הסיבובים של גלית.
20 = 2 * 10

דרך אחרת היא לבנות תרגיל הדומה לתרגיל הקודם:
400 = ___ * 20
המספר החסר הוא 20.

פתרון לתלמידי כיתה ז
פתרון בעזרת משוואה עם נעלם אחד.
נגדיר:
x  מספר הסיבובים שהגלגל של גלית צריך לעבור על מנת לעבור 400 סנטימטר.
המשוואה שלנו היא:
40x = 400  / : 40
x = 10
תשובה: מספר הסיבובים שהגלגל של גלית צריך הוא לעבור הוא 10.

נגדיר:
y מספר הסיבובים שהגלגל של שרון צריך לעבור.
המשוואה שלנו היא:
20y = 400 / : 20
y = 20
תשובה: מספר הסיבובים שהגלגל של שרון צריך לעבור הוא 20.
ג

תרגיל 11: חישוב מרחק בעזרת גלגל מתגלגל
נתון גלגל אופניים שרדיוסו 30 ס"מ.

  1. מה המרחק שהאופניים עוברות כאשר הגלגל עובר שני סיבובים?
  2. כמה סיבובים על הגלגל לעשות על מנת לעבור 18 מטרים? (לתלמידי כיתה ז).

פתרון

גלגל אופניים שרדיוסו 30 ס"מ

בכול סיבוב של גלגל המרחק שהגלגל עובר שווה להיקף הגלגל.
לכן נחשב את היקף הגלגל ונכפיל פי 2.

חישוב היקף הגלגל
P=2₶r
P = 2 * 3.14 * 30
188.4 = P
היקף הגלגל הוא 188.4 ס"מ (1.884 מטר).

הדרך שהגלגל עובר ב 2 סיבובים
נכפיל את היקף הגלגל פי 2.
376.8 = 2 * 188.4
תשובה: כאשר הגלגל מסתובב פעמיים האופניים יעברו 376.8 ס"מ (3.768 מטרים).

סעיף ב
סעיף זה מיועד לתלמידי כיתה ז אשר יודעים לפתור משוואה עם נעלם אחד.
נגדיר משתנה:
x מספר הסיבובים שהגלגל צריך לעשות על מנת לעבור 18 מטרים.

בכול סיבוב הגלגל עובר 1.884 מטרים, לכן ב x סיבובים יעבור:
1.884x  מטרים.
הגודל הזה שווה ל 18. לכן המשוואה היא:
1.884x = 18
נחלק את שני צדדי המשוואה ב 1.884 ונקבל את התשובה.
x = 9.55

תשובה: על מנת לעבור 18 מטרים על הגלגל לעבור 9.55 סיבובים.

אורך קשת ושטח גזרה

כאשר נעשה סיבוב שלם סביב מרכז המעגל אנו נעבור 360 מעלות.
נוח לראות זאת כאשר מעבירים קוטר, קוטר במעגל יוצר שתי זוויות של 180 מעלות.

כאשר אנו רוצים לחשב שטח של גזרה או אורך של קשת נחלק את גודל הזווית היוצרת את הגזרה ב 360 ונכפיל בהיקף המעגל על מנת למצוא את אורך הקשת או נכפיל בשטח המעגל על מנת למצוא את שטח הגזרה.

למשל:
ידוע כי היקפו של מעגל הוא 12 סנטימטר ושטחו של המעגל הוא 14 סמ"ר.
במעגל זה יוצרים זווית מרכזית שגודלה 60 מעלות.
מה גודלה של הקשת עליה נשענת הזווית (הקו המסומן באדום)?
מה שטח הגזרה עליה נשענת הזווית (השטח המסומן בכחול)?

פתרון
אורך הקשת
היקף המעגל הוא 12 סנטימטר.
החלק של הזווית הזו מתוך ההיקף הוא:

אורך הקשת הוא 1/6 מתוך 12.
לכן אורך הקשת הוא:

תשובה: אורך הקשת הוא 2 סנטימטר.

הערה: היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה על ידי תרגיל אחד:

חישוב שטח הגזרה
החלק של שטח הזרה מהמעגל הוא 1/6.
לכן שטח הגזרה הוא:

תשובה: שטח הגזרה הוא 2.33 סמ"ר.

עוד באתר:

  1. שטח עיגול – הסבר ותרגילים.
  2. היקף משולש – הסבר ותרגילים.
  3. היקף – נוסחאות היקף של צורות נוספות.
  4. מעגל – דף מסכם על הצורה, כולל גם מידע המיועד לתלמידי תיכון.

נספח: חישוב שטח והיקף של מרובעים

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.