שטח מעגל תרגילים קשים

בדף זה תרגילים קשים מהרגיל בנושא שטח עיגול. התרגילים מבוססים על חיסור שטחים של צורות.
תרגילים קלים יותר יש בדף שטח עיגול.

תרגיל 1

בתוך חצי מעגל שרדיוסו 6 ס"מ מונח לו מעגל כך שהרדיוס המאונך לקוטר עובר דרך מרכז המעגל החסום.
חשבו את השטח של 1/2 העיגול ללא שטח העיגול החסום בתוכו (השטח האדום בשרטוט).

שרטוט התרגיל

פתרון

רדיוס חצי המעגל הוא 6 ס"מ.
רדיוס העיגול הכלוא הוא 3 ס"מ.
נחשב את שטח חצי העיגול ונחסר ממנו את שטח העיגול הקטן.

שטח העיגול הגדול
6² ₶=36₶
מכוון שיש לנו רק חצי עיגול נחלק ב 2:
36₶:2= 18₶

שטח העיגול הקטן הוא:
9₶=3²₶
השטח המבוקש הוא:
18₶-9₶=9₶
תשובה:  גודל השטח המבוקש הוא 9₶ סמ"ר.

תרגיל 2

עיגול חסום בתוך עיגול. ידוע כי קוטר העיגול הקטן הוא 4 ס"מ וכי השטח הנמצא בין שני העיגולים 21₶ סמ"ר.
מה רדיוס המעגל הגדול?

שרטוט התרגיל

פתרון
שימו לב כי קוטר העיגול הקטן הוא 4 ס"מ. לכן רדיוס העיגול הקטן הוא 2 ס"מ.
שטח העיגול הקטן הוא:
4₶=2²₶
אם רדיוס העיגול הגדול הוא R שטחו הוא:
R²₶
אנו יודעים כי:
R²₶ – 4₶= 21₶
R²=25
R=5
תשובה: רדיוס המעגל הגדול הוא 5 ס"מ.

תרגיל 3

בתוך מעגל גדול חסומים שני מעגלים שרדיוסם 5 ו 3 ס"מ. המעגל שרדיוסו 3 ס"מ משיק למעגל הגדול בנקודה A ואילו המעגל שרדיוסו 5 ס"מ משיק למעגל הגדול בנקודה B. שני המעגלים הקטנים משיקים אחד לשני בנקודה C.
קוטר המעגל הגדול AB עובר דרך מרכז שני המעגלים הקטנים יותר.
חשבו את שטח המעגל הגדול שאינו מכוסה על ידי שני המעגלים הקטנים.

פתרון
קוטר המעגל הגדול (AB) שווה לסכום הקטרים של המעגלים הקטנים (בגלל שהמעגלים משיקים ובגלל שהקוטר עובר דרך מרכזי המעגלים).
AB=10+6=16
לכן רדיוס המעגל הגדול הוא 16:2=8 ס"מ.
שטח העיגול הגדול הוא:
64₶=8²₶
השטחים של העיגולים הקטנים יותר הם:
25₶=5²₶
9₶=3²₶
לכן השטח הירוק הוא:
30₶=64₶-25₶-9₶
תשובה: השטח המבוקש הוא 30₶.

תרגיל 4

על קודקודיו של ריבוע שאורך צלעו היא 8 ס"מ מונחים 4 מרכזי מעגלים כך שהם משקים אחד לשני בנקודת המפגש שלהם על צלע הריבוע.
חשבו את שטח הריבוע שאינו מכוסה על ידי המעגלים (השטח האדום בשרטוט)

פתרון

השטח של הריבוע הוא 8²=64.
הזוויות המרכזית שיוצר כל חלק של מעגל על הריבוע היא 90 מעלות.
לכן השטח שמכסים המעגלים (הירוק בשרטוט) הוא 4 פעמים שטח הגזרה שגודלה 90 מעלות.
סך הכל גודל הגזרה שמכסים המעגלים הוא:
90*4=360 מעלות.
כלומר אלו הם 4 רבעים של מעגל ששטחם הכולל הוא כשטח עיגול אחד שלם.
רדיוס העיגול שווה למחצית אורך צלע הריבוע – מכוון שהרדיוסים משיקים על צלע הריבוע.
לכן השטח הירוק הוא:
16₶=4²₶.
16*3.14 = 50.24
השטח המבוקש הוא:
13.76=64-50.24.
תשובה: השטח המבוקש הוא 13.76 סמ"ר.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.