שטח גזרה ואורך קשת במעגל

כאשר נעשה סיבוב שלם סביב מרכז המעגל אנו נעבור 360 מעלות.
נוח לראות זאת כאשר מעבירים קוטר, קוטר במעגל יוצר שתי זוויות של 180 מעלות.

כאשר אנו רוצים לחשב שטח של גזרה או אורך של קשת נחלק את גודל הזווית היוצרת את הגזרה ב 360 ונכפיל בהיקף המעגל על מנת למצוא את אורך הקשת או נכפיל בשטח המעגל על מנת למצוא את שטח הגזרה.

למשל:
ידוע כי היקפו של מעגל הוא 12 סנטימטר ושטחו של המעגל הוא 14 סמ"ר.
במעגל זה יוצרים זווית מרכזית שגודלה 60 מעלות.
מה גודלה של הקשת עליה נשענת הזווית (הקו המסומן באדום)?
מה שטח הגזרה עליה נשענת הזווית (השטח המסומן בכחול)?

פתרון
אורך הקשת
היקף המעגל הוא 12 סנטימטר.
החלק של הזווית הזו מתוך ההיקף הוא:

אורך הקשת הוא 1/6 מתוך 12.
לכן אורך הקשת הוא:

תשובה: אורך הקשת הוא 2 סנטימטר.

הערה: היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה על ידי תרגיל אחד:

באתר זה פועל צ'אט!
ימים א-ה. שעות 8-19 (עם הפסקות)
מענה לשאלות על התכנים באתר.   שאלות קצרות על תכנים מחוץ לאתר

חישוב שטח הגזרה
החלק של שטח הזרה מהמעגל הוא 1/6.
לכן שטח הגזרה הוא:

תשובה: שטח הגזרה הוא 2.33 סמ"ר.

תרגילים

תרגיל 1
במעגל שרדיוסו 5 סנטימטר יוצרים זווית מרכזית שגודלה 120 מעלות.
חשבו את שטח הגזרה ואורך הקשת עליה נשענת הזווית.

פתרון
החלק של הזווית מתוך שטח המעגל והיקף המעגל הוא:

על מנת למצוא את שטח הגזרה נחשב את שטח העיגול.
הנוסחה היא:
S=₶r²
S = 3.14 * 5 * 5 = 78.5

שטח הגזרה הוא 1/3 מהשטח הכללי, לכן:

ניתן להגיע לאותה תוצאה על ידי התרגיל:

חישוב אורך הקשת
עלינו למצוא את היקף המעגל.
הנוסחה היא:
P=2₶R
P = 2 * 3.14 * 5 = 31.4

אורך הקשת הוא הוא 1/3 מהיקף המעגל לכן:

ניתן לבצע את החישוב גם על ידי התרגיל:

תרגיל 2
ממעגל שרדיוסו 3 סנטימטר חותכים חלק הנשען על זווית מרכזית בגודל 30 מעלות.
חשבו את שטח המעגל שנותר ואת היקף המעגל שנותר.

פתרון

את התרגיל הזה ניתן לפתור בשתי דרכים אני ממליץ לדעת את שתיהן.

החלק אותו הסירו מהמעגל הוא:

חישוב שטח הגזרה
נחשב את שטח המעגל
S=₶r²
S = 3.14 * 3 *3 = 28.26

לכן שטח הגזרה שהוסרה הוא:

2.355 סמ"ר הוסר מהמעגל. לכן השטח שנשאר הוא:
25.905 = 2.355 – 28.26

תשובה: שטח המעגל שנשאר הוא 25.905.

חישוב היקף הקשת שנותרה
היקף המעגל הוא:
P = 2 * 3.14 * 3 = 18.84

היקף המעגל שהוסר הוא:

לכן היקף המעגל שנותר הוא:
17.27 = 1.57 – 18.84

דרך שנייה לפתרון התרגיל
הסירו מהמעגל 30 מעלות.
לכן נותרה במעגל זווית של:

340 = 20 – 360

לכן החלק היחסי של מה שנשאר במעגל הוא:

אנו יודעים כי:
שטח העיגול 28.26 סמ"ר.
היקף המעגל  18.84 סנטימטר.

לכן שטח הגזרה שנותרה:

היקף הקשת שנותרה:

בדרך השנייה חישבנו ישר את מה שנשאר.
בדרך הראשונה חישבנו את מה שהוסר ואז החסרנו את זה מהמעגל השלם.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.