משיק למעגל

בדף זה:

  1. הגדרת משיק למעגל.
  2. משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה.
  3. תרגילי חישוב זוויות בסיסיים.

1.הגדרת משיק למעגל

משיק למעגל הוא קו הנוגע במעגל בנקודה אחת.

2. משפטים שאושרו לשימוש בבגרות ללא הוכחה

יש 5 משפטים על משיק למעגל.
2 משפטים הם על הרדיוס והמשיק.
2 משפטים הם על שני משיקים למעגל.
1 משפט הוא על הזוויות שבין משיק למיתר.

המשפטים הם:

  1. 77. המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
  2. 78. ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
  3. 79. זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.
  4. 80. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
  5. 81. קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

כמו כן שימו לב שהמשפטים על משולש ומרובע (או צורה אחרת) החוסמים מעגל אלו הם למעשה משפטים על משיקים:

  1. 49. שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.
  2. 57. מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

עבור תלמידי 5 יחידות יש משפט נוסף (שהוצא מתוכנית הלימודים של 4 יחידות)

  • 101. אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע
    המשיק.

שרטוטים של המשפטים

הקשר שבין משיק לרדיוס

77.המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. 78.ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.

77.המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
78.ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.

זווית בין משיק למיתר

דפדפו בגלריה על מנת לקרוא את ההסבר למה הכוונה במילים "מצידו השני"

79.זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.
79.זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.
« 1 של 3 »

נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל

80.שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.

80.שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.

81.קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

81.קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

49.שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.

49.שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.

57.מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

57.מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

3. תרגילי חישוב בסיסיים

בכול התרגילים הישרים הנמצאים מחוץ למעגל הם משיקים.

תרגיל 1

מצאו את גודל הזווית 1.

משיק למעגל חישוב זוויות

פתרון

הזווית 1 שווה לגודל הזווית ההיקפית הנשענת על מיתר AB  – כלומר 30.

תרגיל 2

(קצת יותר קשה).

AB – קוטר מעגל.

חשבו את זווית 1.

משיק למעגל חישוב זוויות

פתרון

  1. זווית C שווה 90 מעלות – זווית היקפית הנשענת על קוטר.
  2.  נגדיר זווית 1 שווה ל- a.
  3. זווית ACD שווה ל- a – שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר AC.
  4. זווית CAD שווה ל 145 פחות הזווית a (בגלל שהכתב כאן לא שומר על ימין שמאל לא לכתוב כאן את הביטוי בצורה מתמטית). – משלימה ל- 180 מעלות במשולש ACD.
  5. זווית BAC שווה ל- 90 פחות a  – משלימה ל- 180 מעלות במשולש BAC.
  6. BAC+∠CAD=180∠ – זוויות צמודות שוות ל- 180 מעלות.
    2a+235=180-
    2a=-55-
    a=27.5
  7. תשובה: הזווית 1 שווה ל- 27.5 מעלות.
השלמת הזוויות כפי שחושבה בתרגיל

השלמת הזוויות כפי שחושבה בתרגיל

תרגיל 3

נתון כי המיתר AB מחלק את קשתות המעגל ביחס של 10:2.

מצאו את גודל הזווית 1.

חישוב זווית של משיק למעגל

פתרון

  1. על פי הנתונים המיתר AB מכסה 2/12 מהמעגל. כלומר 1/6.
  2. סך כל הזוויות ההיקפיות המכסות של כל קשתות המעגל הוא 180 – סך כל הזוויות המרכזיות הוא 360 מעלות והזוויות ההיקפיות שוות למחצית הזוויות ההיקפיות.
  3. הזווית ההיקפית החדה הנשענת של AB שווה ל- (1/6) * 180 = 30 – נובע מ- 1 ו- 2.
  4. זווית 1 שווה ל- 30 – זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.

עוד באתר:

  1. משפטים מעגל – רשימת המשפטים המאושרים לשימוש עבור צורה זו.
  2. זוויות במעגל, מיתרים במעגל – משפטים ותרגילים בנושאים הללו.
  3. מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים רבים.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.