משפט תאלס

משפט תאלס הוא אחד המשפטים המרכזיים בתחום דמיון ופרופורציה. בבחינת הבגרות הוא אחד המשפטים הבודדים שלא צריך להסביר, כלומר ניתן לכתוב "בגלל משפט תאלס" ולא צריך לכתוב "בגלל משפט תאלס האומר שקווים מקבילים יוצרים קטעים פרופציונליים על שוקי זווית".

בדף זה תמצאו הסברים למשפט תאלס, טיפים כיצד לזכור את ההרחבות שלו, שרטוטים אופייניים בהם נעשה שימוש במשפט תאלס ותרגילים הכוללים את משפט תאלס.

משפט תאלס הסברים

הסבר למשפט תאלס + שתי ההרחבות וטיפים כיצד לזכור אותן

משפט תאלס – שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציונליים.

משפט תאלס

משפט תאלס

משפט תאלס ליותר משני חותכים

משפט תאלס ליותר משני חותכים

את התכונה זו של יותר משני חותכים צריך להוכיח על מנת להשתמש בה ועושים זאת על ידי שימוש במשפט תאלס בשני משולשים:
AD/DB  = AG / GF – זה משפט תאלס במשולש AFB.
AD/DB = AE/ EC – זה משפט תאלס במשולש AFB.
משניהם ביחד נובע:
AD/DB  = AG / GF = AE/ EC – וזה מה שרשום בשרטוט.

כאשר יש יותר משני קווים מקבילים אנו בוחרים זוג קווים מקבילים ויוצרים משוואה על פי משפט תאלס:

כאשר יש יותר משני קווים מקבילים אנו בוחרים זוג קווים מקבילים ויוצרים משוואה על פי משפט תאלס:

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות AD/AB = AE/ AC = DE/ BC.
שימו לב: אל כל השוויונות הללו ניתן להגיע גם מדמיון משולשים ΔADE ∼ ΔABC. לי זה עוזר לזכור את ההרחבה.

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

הרחבה שנייה למשפט תאלס

אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות BC/AD = BO/OD = CO/OA.
שימו לב: כל השוויונות הללו נובעים מדמיון משולשים ΔADO ∼ ΔBCO.

הרחבה שנייה למשפט תאלס אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות BC/AD = BO/OD = CO/OA.

טיפ: כיצד לזכור את ההרחבות בקלות

ההרחבות של משפט תאלס הן למעשה דמיון משולשים. ניתן להגיע אל שתיהן בעזרת דמיון משולשים בלבד.
לכן כאשר אנו רואה את ההרחבות ואני לא זוכר בדיוק מה צריך על אלו צלעות ההרחבות של משפט תאלס מדברות אני מחפש את דמיון המשולשים, לפי זה יודע על אלו צלעות מדובר. כנימוק אני מביא בסופו של דבר את ההרחבה של משפט תאלס – על מנת שלא אצטרך להוכיח את דמיון המשולשים.
בשני המקרים ההרחבה היא על פי משפט דמיון ז.ז ונשענת על זוויות מתאימות / מתחלפות בין ישרים מקבילים.

הקשר בין ההרחבות של משפט תאלס לדמיון משולשים

וידאו: באלו צורות עליכם לחפש את משפט תאלס?

משפט תאלס הוא משפט שמשתמשים בו הרבה ועליכם לבדוק האם ניתן לעשות שימוש בו בכול תרגיל הכולל צורה שבה יש שני מקבילים.

מצבים בהם צריך להשתמש במשפט תאלס
מצבים בטרפז ובמעגל בהם צריך לעשות שימוש במשפט תאלס

משפט תאלס תרגילים עם פתרונות

1. תרגילים בסיסיים להבנת המשפט

בתרגילים הבאים הישרים DE║BC.  חשבו את הצלעות החסרות המסומנות באדום.

תרגילים בסיסיים על משפט תאלס

פתרונות

תרגילים במשפט תאלס תרגילים במשפט תאלס תרגילים במשפט תאלס

2. משולש שעובר בתוכו קו מקביל לבסיס

נתון משולש ABC. נתון DE ║ BC.
הישר AG חותך את הישר DE בנקודה F.
נתון: AD=6, DB=4, GC=3.
חשבו את FE.

שרטוט התרגיל

פתרון

תרגיל במשפט תאלס

3. מקבילית / מלבן החסומים בתוך משולש

נתון כי במשולש ABC חסומה מקבילית CDEF.
AE=6, EB=2, DE=4.

  1. חשבו את BF.
  2. נתון כי AD=8 ס"מ. חשבו את EF.
  3. מבלי להשתמש בגדלי הצלעות הוכיחו ΔAED∼ΔEBF (סעיף זה לא קשור למשפט תאלס).

שרטוט התרגיל

פתרון

שימו לב, ניתן לפתור את שני סעיפי השאלה על בסיס משפט תאלס או על בסיס דמיון משולשים.
רמז לאופן הפתרון על פי דמיון משולשים בסוף הפתרון שיבוסס על משפט תאלס.

תרגיל במשפט תאלס

סעיף ג

שרטוט שלבי פתרון סעיף ג

שרטוט שלבי פתרון סעיף ג

נגדיר:

  1. B=a, ∠DEF=β∠.
  2. AED=∠B∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. C=β∠ – זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  4. EDA=∠C=β  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  5. EFB=β∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  6. ΔAED∼ΔEAF – על פי משפט דמיון ז.ז.

4. טרפז שמעבירים בתוכו אלכסונים

טרפז שבתוכו עוברים אלכסונים הוא המקרה בסיסי של ההרחבה השנייה של משפט תאלס.

תרגיל
בטרפז ABCD מעבירים אלכסונים BD ו- AC. נקודת מפגש האלכסונים היא O.
נתון: AO=10, OD=25, AD=12 ס"מ.

שרטוט התרגיל משפט תאלס

חשבו את:

  1. BC.
  2. היחס DO:OB.

פתרון

תרגיל במשפט תאלס

5. טרפז שמעבירים בתוכו קו מקביל לבסיסים

בטרפז ABCD מעבירים קו מקביל לבסיסים EF ואת AG כך ש: AGCD הוא מקבילית.
נתון כי: הבסיס הגדול (CD) גדול פי 1.25 מהבסיס הקטן (AD).
AE=6, EB=3,  EH=2.
חשבו את אורכי הבסיסים.

שרטוט התרגיל

פתרון

תרגיל במשפט תאלס

שאלה שאלות

16 תגובות בנושא “משפט תאלס

  1. אנונימי

    בוידאו של באלו צורות עליכם לחפש את משפט תאלס
    בדקה 10.57 לדעתי יש ביחסים במרובע האדום טעות תוכל לבדוק את זה? :) תודה וזה ממש עזר

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום. אתה צודק. במשוואה השלישית המכנה הראשון צריך להיות AD ולא OC.
      זה תוקן.
      תודה רבה על תשומת הלב ובהצלחה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.