מעוין

בדף זה:

  1. איך מוכיחים שמרובע הוא מעוין?
  2. היקף ושטח מעוין.
  3. תכונות המעוין (כמקבילית ותכונות מיוחדות של מעוין).
  4. שגיאות שכיחות במעוין.
  5. תרגילים עם פתרונות מלאים

1. הוכחת מעוין

על מנת להוכיח שמרובע הוא מעוין עלינו להוכיח שהמרובע הוא מקבילית.
לאחר מיכן יש שני משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות:

  1. מקבילית שבה האלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
  2. מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.

כמו כן יש את הגדרת המעוין:
מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.

 

הגדרת מעוין כסוג של מקבילית: מעוין הוא מקבילית בעלת שני צלעות סמוכות שוות ו/או מקבילית שהאלכסונים שלה הם חוצי זווית ו/או מקבילית שהאלכסונים שלה מאונכים זה לזה.

2. היקף מעוין

מכוון שכל ארבעת צלעות המעוין שוות. אם נתון שאורך הצלע הוא a אז היקף המעוין p הוא p=4a

 שטח המעוין

ניתן לחשב שטח של מעוין בשני אופנים.

השטח של כל הצורות שהן מקבילית הוא s=a×h.
a – אורך צלע.
h – הגובה לצלע.

מקבליות שהאלכסונים שלהן מאונכים זה לזה (מעוין וריבוע) ניתן לחשב שטח על יד הנוסחה
s=(k1×k2)⁄2 כאשר k1 ו k2 הם אורכי האלכסונים. (שטח מעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים).

תרגילים בנושא שטח מעוין תמצאו בקישור.

שטח מעוין הוא מכפלת צלע בגובה שלה. מכפלת האלכסונים לחלק ב 2.

3. תכונות מעוין

מעוין הוא מקבילית

מעוין הוא תת סוג של מקבילית. כלומר כל תכונות המקבילית מתקיימות בו. זו העובדה הבסיסית ביותר שאתם צריכים לזכור בהקשר של מעוין. רצוי ללמוד היטב את תכונות המקבילית לפני שלומדים את תכונות המעוין. אחזור עליהן כאן בקצרה.
מקבילית היא מרובע :
1) שבו זוג צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות.
2) שבו שני זוגות של צלעות מקבילות.
3) שבו שני זוגות של צלעות שוות.
4) שבו האלכסונים חוצים זה את זה. (חוצים כלומר מחלקים לחצי)
5) שבו שתי זוגות של זוויות נגדיות השוות זו לזו.

חמשת המשפטים שבעזרתם מוכיחים שמרובע הוא מקבילית

תכונות שקיימות במעוין ולא במקבילית

  1. ארבעת צלעות המעוין שוות (במקבילית צלעות נגדיות שוות).
  2. אלכסוני המעוין מאונכים זה זה, חוצים את זוויות המעוין (והם גם כמובן חוצים זה את זה לחצי – אבל זה קיים גם במקבילית).

משני התכונות הראשונות של המעוין נובע כי :
אלכסוני המעוין יוצרים יחד עם צלעות המעוין ארבעה משולשים חופפים וישרי זווית.

 

סיכום תכונות המעוין

סיכום תכונות המעוין

סיכום תכונות המעוין

4. שגיאות שכיחות במעוין

שלושת המשפטים שכתובים למטה אינם נכונים :
– מרובע שבו יש שלוש צלעות שוות הוא מעוין.
– מרובע שבו האלכסונים מאונכים הוא מעוין (דוגמה למרובע אחר – דלתון)
– אורכי האלכסונים במעוין שווים (המשפט הזה נכון רק במרובעים שבהם ארבעת הזויות שוות ל 90 מעלות האלכסונים שווים, ואלו הם מלבן וריבוע)

דוגמאות למרובעים השוללים את האפשרויות הללו :

מרובע עם שלוש צלעות שוות ולא מעוין

מרובע עם שלוש צלעות שוות ולא מעוין

מרובע שבו האלכסונים מאונכים והוא לא מעוין

מרובע שבו האלכסונים מאונכים והוא לא מעוין

מרובע שבו האלכסונים שווים והוא לא מעוין

מרובע שבו האלכסונים שווים והוא לא מעוין

3 רמות של תרגילי מעוין

מצורפים כאן 6 תרגילים בנושא מעוין המחולקים ל 3 רמות.
בהתחלה התרגיל כתוב יחד עם שרטוט.
ואם אתם מעוניינים לראות את הפתרון יש להתחיל את הוידאו.

פתרון התרגילים כאן שם דגש על הרעיון שמאחורי הפתרון ושלבי הפתרון.
התרגילים לא מנסים ללמד כתיבה נכונה של פתרון.
לאחר חלק זה מופיעים התרגילים כשהם עם פתרון טקסט, ושם תוכלו ללמוד כתיבה נכונה של פתרון.

תרגילים להתחלה

תרגיל 1

ABCD היא מקבילית.
נתון: C=100∠.
אלכסון המקבילית מחלק את זווית B כך ש:
B2 =3X+16.
B1 =4X+8
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא מעוין.

פתרון וידאו

תרגיל 2

ABCD הוא מעוין.
DE=DF.
הוכיחו:
BE=BF.

פתרון וידאו

תרגילים ברמת אמצע

תרגיל 3

במעוין ABCD מעבירים אלכסונים. על האלכסון AC בוחרים נקודה כלשהי E ומעבירים ממנה ישרים אל קודקודי המעוין B ו D.
הוכיחו כי המשולש EAC הוא משולש שווה שוקיים.

פתרון וידאו

תרגיל 4

במקבילית ABCD מעבירים שני חוצי זווית. AE ו DF.
הוכיחו כי מרובע AFED הוא מעוין.

פתרון וידאו

תרגילים קשים

תרגיל 5

משולש ABC חוסם מעוין AEDF כך ש AD ⊥ BC.
אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה O.

  1. הוכיחו כי משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
  2. הוכיחו כי מרובע EFDC הוא מקבילית.
  3. הוכיחו כי EF הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

פתרון וידאו

4 מצבים במעוין שכדאי להכיר

בסרטון תמצאו 4 מצבים של הבסיס שלהם ניתן לבנות שאלות קשות.

נספח 1: תרגילים נוספים בנושא מעוין

החלק זה תוכלו למצוא פתרונות בכתב של סרטוני הוידאו וגם מספר תרגילים נוספים שלא הופיעו בוידאו.

תרגיל 1

חשבו את זוויות המעוין שאחד מזוויותיו היא 60.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. D=60∠  – נתון.
  2. C=∠A=120∠  אלו הן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים לזווית D∠.
  3. B=∠D = 60∠  זווית נגדיות במקבילית (ובמעוין) שוות זו לזו.

תרגיל 2

ABCD היא מקבילית.
נתון: C=100∠.
אלכסון המקבילית מחלק את זווית B כך ש:
B2 =3X+16.
B1 =4X+8
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא מעוין.

מעוין, שרטוט התרגיל

 

פתרון:

  1. B= 80∠ = זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל- 180 מעלות (חד צדדית לזווית C).
  2. B=∠B1 +∠B2 ∠=80∠
    B=3X+16+4X+8∠
    7X+24=80
    7X=56
    X=8
  3. B1 =4X+8=4*8+8=40
    B2 =3X+16=24+16=40
  4. B1 =B2    – נובע מ- 3.
  5. מרובע ABCD היא מעוין – מקבילית שבה האלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.

תרגיל 3

ABCD הוא מעוין.
DE=DF.
הוכיחו:
BE=BF.

מעוין, שרטוט התרגיל

פתרון:

נוכיח כי BE=BF.על ידי חפיפת משולשים.

  1. A=∠C∠ – זוויות נגדיות במעוין ABCD שוות זו לזו.
  2. BC=BA – צלעות במעוין ABCD שוות זו לזו.
  3. CE=CD-ED=AD-FD=AF   – על פי הנתונים DE=DF וצלעות במעוין שוות זו לזו (AD=CD).
  4. ΔBCE≅ΔBAF – על פי צ.ז.צ.
  5. BE=BF – צלעות מתאימות במשולשים חופפים.

תרגיל 4

במעוין ABCD מעבירים אלכסונים. על האלכסון AC בוחרים נקודה כלשהי E ומעבירים ממנה ישרים אל קודקודי המעוין B ו D.
הוכיחו כי המשולש EAC הוא משולש שווה שוקיים.

מעוין שרטוט התרגיל

פתרון

במשולש EBD:

  1. EO הוא תיכון – אלכסוני המעוין חוצים אחד את השני לשני חלקים שווים.
  2. AOE=90∠  – אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
  3. משולש EAC הוא משולש שווה שוקיים – משולש שבו התיכון הוא גם גובה הוא משולש שווה שוקיים.

תרגיל 5

נתון מלבן ABCD. הנקודות E,F,G,H הן אמצעי הצלעות.
הוכיחו כי המרובע EFGH הוא מעוין.

שרטוט התרגיל

פתרון

נוכיח זאת בעזרת חפיפה של ארבעת המשולשים ואז "מרובע שארבע צלעותיו שוות הוא מעוין".

  1. במלבן כל צלעות נגדיות שווה לכן: 0.5AD = 0.5BC
    AH=HD=BF=FC
  2. 0.5AB = 0.5CD
    AE=EB=CG=GD
  3. A=∠B=∠C=∠D=90∠  זוויות המלבן שוות זו לזו.
  4. AHE ≅ DHG ≅ BFE ≅ CFG  חפיפת משולשים על פי צ.ז.צ.
  5. EF=FG=GH=HE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. EFGH הוא מעוין. אם במרובע 4 צלעות שוות אז הוא מעוין.

תרגיל 6

במקבילית ABCD מעבירים שני חוצי זווית. AE ו DF.
הוכיחו כי מרובע AFED הוא מעוין.

שרטוט התרגיל

פתרון

ננסה להוכיח כי מרובע AFED הוא מקבילית. אם נעשה זאת אנו כבבר יודעים כי האלכסונים של מרובע זה חוצי זווית, לכן הוכחת המעוין תהיה פשוטה.

  1. נגדיר את ODE = ∠ODA= X∠
  2. OFA = ∠ODE = X∠ זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. ODA = ∠OFA∠ נובע מ 1 ו 2.
  4. AF = AD מול זוויות שוות במשולש FAD נמצאות צלעות שוות.
  5. OAF = ∠OAD∠ נתון OA חוצה זווית.
  6. OAF = ∠OED∠  זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  7. OAD = ∠OED∠  נובע מ 5,6.
  8. AD=DE מול זוויות שוות במשולש EAD נמצאות צלעות שוות.
  9. AF=DE נובע מ 2 ו 8.
  10. AF מקביל ל DE. אם צלע מקבילה לצלע אחרת (AB ל CD) אז גם קטעים מהצלעות מקבילים.
  11. AEFD מקבילית. נובע מ 9 ו 10. מרובע שבו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.
  12. AEFD מעוין. מקבילית שבה האלכסונים חוצי זווית (נתון) היא מעוין.
שרטוט שוויון הזוויות, שהן הבסיס להוכחה

שרטוט שוויון הזוויות, שהן הבסיס להוכחה

תרגיל 7

תרגיל זה הוא פתרון לשאלה במבח"ן מפמ"ר תשע"ד – רמה רגילה טור א. שאלה מספר 4.

את השאלה עצמה תוכלו לראות על ידי חיפוש "מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט" .

פתרון.

נתונים:

  • מעוין ABCD.
  • ΔABD – משולש שווה צלעות.
  • EP ΙΙ BC -קווים מקבילים.

צ"ל:

  1. הנקודה P על אמצע צלע AB.
  2. ΔABD ~ ΔPBE.
  3. המרובע PADE טרפז שווה שוקיים.

 

שרטוט התרגיל

  1. הנקודה E היא אמצע הצלע AC –  אלכסוני המעוין חוצים זה את זה.
  2. EP Ι Ι BC – נתון.
  3. EP Ι Ι BC. – אם שני ישרים מקבילים וישר שלישי מקביל לאחד מיהם אז הישר השלישי מקביל גם לישר השני.
  4. EP קטע אמצעים במשולש ACB  – ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לשלישית הוא קטע אמצעים.
    ולכן P היא אמצע AB.
  5. PBE=∠PBD∠ – זו אותה זווית.
  6. DAB=∠EPB∠  – זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
  7. ΔABD ~ ΔPBE. – אם שתי זוויות במשולש אחד שוות בהתאמה לשתי זוויות במשולש שני אז המשולשים דומים.
  8. EP Ι Ι BC – הוכח בסעיף 3. ולכן PADE טרפז.
  9. BAD=∠BDA=60∠ – הזוויות במשולש שווה צלעות ABD שוות זו לזו.
  10. PADE טרפז שווה שוקיים – אם בטרפז זוויות הבסיס שוות אז הוא שווה שוקיים.

סיכום של פתרון התרגיל

  1. P אמצע צלע בגלל ש EP הוא קטע אמצעים (בגלל שהוא יוצא מאמצע צלע (מפגש אלכסונים) ומקביל).
  2. המשולשים דומים ע"פ ז.ז – יש להם זווית משותפת וזווית מתאימה שווה בין ישרים מקבילים (A=∠EPB∠).
  3. המרובע הוא טרפז משום שנתון ש EP מקביל לצלע אחת של המלבן ולכן מקביל גם לצלע המקבילה לצלע זו.
    והוא טרפז שווה שוקיים ששניים מזוויותיו שייכות למשולש שווה צלעות, ובמשולש שווה צלעות הזוויות שוות ואם בטרפז זוויות הבסיס שוות אז הטרפז הוא שווה שוקיים.

תרגיל 8

משולש ABC חוסם מעוין AEDF כך ש AD ⊥ BC.
אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה O.

  1. הוכיחו כי משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
  2. הוכיחו כי מרובע EFDC הוא מקבילית.
  3. הוכיחו כי EF הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. CAD = ∠BAD∠   אלכסוני המעוין הם חוצי זווית.
  2. משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים – משולש שבו גובה הוא גם חוצה זוויות הוא משולש שווה שוקיים.

סעיף ב

  1. AOE =90∠  –  אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה
    AOE = ∠ADE=90∠  – ולכן EF מקביל ל CD. (אם זוויות מתאימות שוות…)
  2. EF מקביל ל CD  – אם זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים.
  3. FD מקביל ל EC  – בגלל ש FD מקביל  ל AE  אם ישר מקביל לחלק מצלע אז הוא מקביל גם להמשך הצלע.
  4. EFDC מקבילית  – מרובע שיש בו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.

סעיף ג

  1. FD = AE  – צלעות המעוין שוות זו לזו.
  2. FD=EC – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו
  3. AE =EC  – נובע מ 1 ו 2.
  4. EF קטע אמצעים במשולש  – אם ישר יוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע אחרת אז הוא קטע אמצעים במשולש.

 

 נספח: 4 מצבים שכדאי להכיר בשאלות על מעוין

הכרת המצבים הבאים תעזור לכם לפתור שאלות.
את כל המשפטים המופיעים כאן צריך להוכיח ולא ניתן להשתמש בהם ללא הוכחה.

1. שני ישרים היוצאים מצלע המעוין ונפגשים בנקודה מחוץ למעוין יוצרים משולשים דומים

הדבר נובע מכך שנוצרות שתי זוגות של זוויות מתאימות שוות וגם זווית אחת משותפת לשני המשולשים (זווית E∠).

שני ישרים היוצאים מצלע המעוין ונפגשים בנקודה מחוץ למעוין יוצרים משולשים דומים

 

הוכחה:

  1. ECD = ∠EGF∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. EDC = ∠EFG∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. EFG ∼ EDC  דמיון משולשים על פי ז.ז.

שימו לב: "הבליטה" לא חייבת לצאת מקודקודי המעוין ויכולות להיות לה מספר צורות.

שני ישרים היוצאים מצלע המעוין ונפגשים בנקודה מחוץ למעוין יוצרים משולשים דומים

2. מעוין החסום בתוך משולש יוצר 2 או 3 משולשים דומים

כאשר מעבירים קו מקביל לאחד הצלעות בתוך משולש נוצרים משולשים דומים (תמיד).
חסימת מעוין בתוך משולש היא העברת קו אחד או שניים במקביל לצלעות המשולש.

מקרה של מעוין החסום במשולש ויוצר 2 משולשים דומים.

מקרה של מעוין החסום במשולש ויוצר 2 משולשים דומים.

מקרה של מעוין החסום במשולש ויוצר 3 משולשים דומים.

מקרה של מעוין החסום במשולש ויוצר 3 משולשים דומים.

ABC ∼ ADE ∼ EFC

הזוויות הירוקות והאדומות שוות זו לזו לפי המשפט "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".

3. כאשר מחסרים קטעים שווים משתי קצוות אחד האלכסונים נוצרת מקבילית

כאשר מחסרים קטעים שווים נקודת המפגש של האלכסונים עדיין מחלקת את האלכסון והאלכסון הנוסף לשני חלקים שווים.
ומרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
(אם BF=DE אז AECF מקבילית).

כאשר מחסרים קטעים שווים משתי קצוות אחד האלכסונים נוצרת מקבילית

אם BF=DE אז AECF מקבילית

4. ישר היוצא מצלע המעוין אל הצלע שממול דרך נקודת מפגש האלכסונים יוצר מקבילית.

הדבר נובע מכך שנקודת מפגש האלכסונים חוצה את הישר (מוכיחים בחפיפת משולשים) ומכך שאם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה אז המרובע הוא מקבילית.
(הישר EF יוצר מקבילית AECF).

הוכחת מקבילית, שרטוט התרגיל

הוכחה (בקצרה):

  1. COF ≅AOE בגלל שהזוויות הירוקות מתחלפות שוות + הכתומות קודקודיות + AO=OC אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה. משפט חפיפה ז.צ.ז.
  2. EO=FO צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  3. עכשיו במרובע ECFA האלכסונים חוצים זה את זה. AO=OC, EO=FO. ומרובע שבו האלכסונים חוצים הוא מקבילית.

14 תגובות בנושא “מעוין

  1. רון

    שלום יש לי שאלה
    במעוין אחד באחד מהמשולשים יש תיכון שהוכחתי כבר קודם לתיכון קוראים OE אומרים לי להוכיח ש OE מקביל ל AE שהוא צלע במעוין אשמח שתענה לי איך להוכיח את זה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום. מכוון שאין את כל הנתונים לא אוכל לתת תשובה מלאה אבל כיווני מחשבה יש.
      הוכחת תיכון, וגם אתה צריך לזכור שאלכסוני המעוין מאונכים זה לזה. איזה משפט כולל את שני הנתונים?

      "במשולש ישר זווית התיכון לייתר שווה למחצית היתר" – סיכוי טוב שהמשפט הוא חלק מהתשובה.

      כמו כן ביקשו ממך להוכיח שישרים הם מקבילים – סביר להניח שתצטרך שתצטרך לעשות זאת על יד הוכחה שהישרים OE ן AE. הם צלעות במקבילית או מעוין.
      ומכוון שיש לך נתון על גודל צלע (מידע הנובע מתיכון) הייתי מנסה להוכיח מקבילית על ידי אחד משולש ממשפטי הוכחת מקבילית שקשורים לגודל צלעות.
      בהצלחה

  2. יהודה

    שלום אין לי תגובה אלא שאלה :
    נתון לי מעוין עם 2 אורכיי האלכסונים ואני צריך למצוא את אורך צלעות המעוין.
    איך פותרים את זה ?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום יהודה.
      1) אם אתה יודע את אורכי האלכסונים אז אתה יודע גם את האורך מקודקוד המעוין ועד נקודת מפגש האלכסונים (מחצית האלכסון, האלכסונים חוצים זה את זה).
      2) מכוון שהאלכסונים מאונכים זה לזה כל צלע מצלעות המעוין יוצרת משולש ישר זווית עם שני חצאי האלכסונים – ואתה יכול למצוא את אורך הצלע בעזרת משפט פיתגורס.
      מקווה שעזר.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום הודיה, שמח לענות.
      אנסה להסביר את הפתרון לשלושת הסעיפים במילים:
      סעיף א. P אמצע צלע בגלל ש EP הוא קטע אמצעים (בגלל שהוא יוצא מאמצע צלע (מפגש אלכסונים) ומקביל).

      סעיף ב. המשולשים דומים ע"פ ז.ז – יש להם זווית משותפת וזווית מתאימה שווה בין ישרים מקבילים (A=∠EPB∠).

      סעיף ג. המרובע הוא טרפז משום שנתון ש EP מקביל לצלע אחת של המלבן ולכן מקביל גם לצלע המקבילה לצלע זו.
      והוא טרפז שווה שוקיים ששניים מזוויותיו שייכות למשולש שווה צלעות, ובמשולש שווה צלעות הזוויות שוות ואם בטרפז זוויות הבסיס שוות אז הטרפז הוא שווה שוקיים.

      עזר?

      1. הודיה

        אתה יודע אולי אם זה קשור לחומר של כיתה ט' כי אני לא מבינה מה זה קטע אמצעי (לחומר של חמש יחידות)

        1. לומדים מתמטיקה מאת

          קטע אמצעים במשולש לרוב נלמד ב ט וחוזרים עליו ב י. אבל יכול להיות שהמורה שלך החליט אחרת. זה נושא גדול שלא סביר שלמדו בכיתה בלי שאפילו תדעי שלימדו אותו. לכן לא כדאי לך ללמוד סתם – בלי שתדעי בוודאות שהוא חלק מהחומר שלך.
          קטע אמצעים במשולש הוא ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע אל אמצע צלע שנייה. התכונות שלו הן שהוא מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. חומר הלימוד כולל את המשפט שהזכרתי + 2 משפטים הפוכים. הדף הזה מדבר עליו
          http://www.m-math.co.il/math-9th-grade/triangle-middle-line/
          מקווה שהסתדר. בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      לא. במעוין 4 הזוויות אינן שוות.
      במעוין כמו במקבילית זוויות נגדיות (הנמצאות זו מול זו) שוות. כמו כן זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות – בגלל התכונה של ישרים מקבילים.
      אם הזוויות היו שוות אחת לשנייה אז הן היו צריכות להיות שוות ל 90 מעלות. תכונה זו קיימת במלבן וריבוע בלבד.

  3. אלפא

    מי שעשה את הדבר הזה הוא פשוט הגיבור שלי
    הצלת אותי מלהיכשל במבחן כי במקרה התרגיל השלישי היה במבחן שלי
    פשוט תותח…

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.