מלבן

בדף זה:

  1. הגדרת המלבן.
  2. שטח והיקף מלבן.
  3. תכונות המלבן.
  4. במה שונה מלבן ממקבילית.
  5. איך מוכיחים שמרובע הוא מלבן.
  6. טעויות שכיחות במלבן.
  7. תרגילים עם פתרונות מלאים.

1. הגדרת המלבן

ניתן להגדיר מלבן בשני אופנים :

מלבן הוא מרובע שארבעת  זוויותיו שוות ל 90 מעלות.
הערה : ניתן גם לומר מלבן הוא מרובע ששלוש מזוויותיו שוות ל 90 מעלות, משום שאם שלוש זוויות שוות ל-90 מעלות אז הרביעית צריכה להשלים ל 360 מעלות ולכן גם היא שווה ל 90 מעלות.

הגדרה שנייה :
מלבן הוא מקבילית שאחת מזוויותיה שווה ל- 90 מעלות.
הערה : אם אחת מזוויות המקבילית שוות ל- 90 מעלות אז כל זוויות המקבילית שוות ל – 90 מעלות, בגלל תכונות של זוויות הנוצרות על ידי ישרים מקבילים.

2. שטח היקף מלבן

אם a ו- b הן צלעות המלבן ו- s שטח המלבן אז:
s=a×b
היקף המלבן הוא:
(p = 2(a+b

נוסחאות שטח והיקף מלבן

 

3. תכונות המלבן

מלבן הוא מקבילית
מלבן הוא סוג של מקבילית. כלומר כל תכונות המקבילית מתקיימות בו. זו העובדה הבסיסית ביותר שאתם צריכים לזכור בהקשר של מלבן. רצוי ללמוד היטב את תכונות המקבילית לפני שלומדים את תכונות המלבן. אחזור עליהן בקצרה כאן.
מקבילית היא מרובע :
1) שבו זוג צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות.
2) שבו שני זוגות של צלעות מקבילות.
3) שבו שני זוגות של צלעות שוות.
4) שבו האלכסונים חוצים זה את זה. (חוצים כלומר מחלקים לחצי)
5) שבו שתי זוגות של זוויות נגדיות השוות זו לזו.

  • הרחבה בנושא תכונות המלבן הכוללות תכונות אלכסונים נוספות שיש להוכיח על מנת להשתמש בהם בבחינה.

4. במה שונה מלבן ממקבילית

  1. האלכסונים במלבן שווים זה לזה
    תכונה זו ניתנת להוכחה בקלות בעזרת משפט פיתגורס.
    כתוצאה מתכונה זו האלכסונים יוצרים 4 משולשים שווה שוקיים. כאשר כל שתי זוגות משולשים חופפים.
  2. זווית המלבן הן 90 מעלות.

סיכום תכונות המלבן כפי שפורטו למעלה

5. איך מוכיחים שמרובע הוא מלבן

ישנן שלושה דרכים להוכיח שמרובע הוא מלבן והדרך שבה נבחר תלויה בנתונים שיתנו לנו.

  1. נשתמש במשפט: מלבן הוא מקבילית שבה זווית אחת של 90 מעלות.
    א) נוכיח שהמרובע הוא מקבילית (על פי אחד מ 5 המשפטים שפורטו למעלה).
    ב) נוכיח שלפחות אחת מזוויות המקבילית שווה ל 90 מעלות.
  2. נשתמש במשפט: מלבן הוא מקבילית שבה האלכסונים שווים.
    א) נוכיח שהמרובע הוא מקבילית (על פי אחד מ 5 המשפטים שפורטו למעלה).
    ב) נוכיח שהאלכסונים שווים זה לזה.
    בדרך כלל נשתמש בהוכחה באחת משתי הדרכים הראשונות כאשר כבר נתון לנו שהמרובע הוא מקבילית והתוספת שלנו תהיה להוכיח שאחת מהזוויות שווה ל 90 מעלות.
  3. נשתמש במשפט: מלבן הוא מרובע ששלוש מזוויותיו שוות ל 90 מעלות.
    בדרך זו נוכיח ששלוש מזוויות המרובע שוות ל 90 מעלות (ולכן באופן הכרחי גם הרביעית).

6. טעויות שכיחות במלבן

אלכסוני המלבן אינם חוצי זווית, כלומר אינם מחלקים את זוויות המלבן לשתי זוויות עם 45 מעלות.
כמו כן האלכסונים אינם מאונכים זה לזה.

סיכום

* זכרו שמלבן הוא מקבילית ומקיים את כל תכונות המקבילית.
*הגדרות המלבן : 1)מלבן הוא מרובע ששלוש מזוויותיו שוות ל 90 מעלות. 2) מלבן הוא מקבילית שאחת מהזויות שלה שווה ל 90 מעלות.
* מלבן הוא מקבילית שהאלכסונים שלה שווים.
* בגלל המשפט הקודם ומכוון שאלכסוני המקבילית שווים זה לזה אלכסוני המלבן יוצרים עם הצלעות ארבע משולשים שווי שוקיים, כל שניים נגדיים חופפים.
*זכרו כיצד להוכיח שמרובע הוא מלבן.
*זכרו שאלכסוני המלבן אינם חוצי זווית (למעט מלבן שהוא ריבוע).

7. מלבן תרגילים

תרגיל 1

במלבן ABCD מעבירים אלכסונים AC ו BD.
ידוע כי DBA=3∠DBC∠
חשבו את זוויות משולש ΔBOC.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר DBC =x∠  לכן DBA=3X∠
  2. זוויות המלבן שוות 90 לכן זווית B=90∠
  3. 3x+x=90
    4x=90
    x=22.5
  4. OB=OC- אלכסוני המלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
  5. OCB = ∠OBC=22.5∠ – במשולש שווה שוקיים OBC זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  6. BOC = 180-22.5-22.5=135∠ – סכום הזוויות במשולש OBC הוא 180.
    תשובה:  BOC = 135,     ∠OCB = ∠OBC=22.5∠

תרגיל 2

במלבן ABCD מעבירים את את הישרים BE ו CF כך ש BE=CF.
הוכיח AF=ED.

מלבן, שרטוט התרגיל

פתרון
נוכיח חפיפת משולשים ΔFDC ≅ ΔEAB

  1. AF=ED נתון.
  2. DC=AB- צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  3. D=∠A=90∠ – זוויות המלבן שוות 90.
  4. FE, EB הם יתר במשולשים ישרי זווית – נובע מ 3.
  5.  ΔFDC ≅ ΔEAB – חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה רביעי צ.צ. וזווית שמול הצלע הגדולה.
  6. AE=DF – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  7. AF=DE – אם נחסר מהשוויון שמצאנו ב 6 גודל קבוע (FE) נקבל קטעים שווים.
    בשפה מתמטית כותבים זאת כך:
    AF= AE-FE=DF-FE=DE

תרגיל 3

היקף מלבן הוא 40 ס"מ. היחס בין אורכי צלעותיו הוא 5:3.
מצאו את אורכי הצלעות.

שרטוט התרגיל, מלבן

פתרון:

  1. על פי יחס הצלעות ניתן להגדיר צלע אחת כ 3x והצלע השנייה 5x.
  2. לכן היקף המלבן הוא:
    5x+5x+3x+3x=40
    16x=40 /:16
    x=2.5
    תשובה: צלעות המלבן הן 7.5 ס"מ ו 12.5 ס"מ.

תרגילים נוספים בנושא שטח והיקף מלבן בדף שטח מלבן.

תרגיל 4

חוצה זוויות במלבן ABCD חוצה את הצלע שאליה הוא מגיע ביחס של 1:2. (AE=2ED).

מצאו:
1) מה היחס בין אורכי צלעות המלבן?
2) אם שטח המלבן הוא 24 סמ"ר. מה אורכי צלעות המלבן ומה הוא היקף המלבן?

מלבן, שרטוט התרגיל

 

פתרון:

  1. נגדיר ED=X.
  2. AE=2X – נובע מהנתונים ו- 1.
  3. AD=ED+AE=2X+X=3X.
  4. EBA=∠EBC=45∠  – נתון BE חוצה זווית ישרה.
  5. AEB= 45∠  – משלימה ל- 180 מעלות במשולש AEB.
  6. משולש AEB שווה שוקיים – נובע מ- 4 ו- 5. משולש שבו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים.
  7. BA=AE=2X – נובע מ- 6 ו- 2.
  8. היחס בין AD: AB הוא 3:2  (3X:2X).חלק שני – נמצא את אורכי הצלעות
  9. 3X*2X=6X²=24 – על פי נוסחת שטח מלבן.
    X²=4
    X=2 או X=-2 (תשובה שאינה אפשרית עבור צלע).
  10. AB=2X=2*2=4 ס"מ.
  11. AD=3X=3*2=6 ס"מ.

תרגיל 5

ΔABC הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים (B = 90∠).
בתוך המשולש נמצא מלבן DEFG כך ש:
CG=√2 * GB
מצאו:

  1. ארבע משולשים דומים.
  2. פי כמה גדולה צלע DG של המלבן מצלע GF.

שרטוט התרגיל מלבן

 

פתרון:

  1. A=∠B∠  – במשולש שווה שוקיים ABC הזוויות שליד השוקיים שוות.
  2. A + ∠B=2∠A=2∠B = 90∠.
    A=∠B=45∠.
  3. GFE=∠DEF =90∠ – זוויות מלבן DEFG שוות ל- 90 מעלות.
  4. GFB=∠DEA=90∠ – זוויות צמודות משלימות ל- 180 מעלות.
  5. ADE=∠BGF = 45∠  – זוויות משלימות ל- 180 מעלות במשולשים ADE ו – BGF.
  6. CGD = ∠B=45∠   ו – CDG = ∠C=45∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  7. ΔCAB ∼ ΔCDG ∼ΔEDA ∼ΔFGB  – דמיון משולשים על פי ז.ז.

    סעיף ב.

  8. נגדיר GF=X.
  9. משולש GFB הוא שווה שוקיים על פי 1 – 5  – משולש שבו זוויות הבסיס הן שוות הוא שווה שוקיים.
  10. במשולש GFB על פי משפט פיתגורס :
    X² + X² = GB²
    GB=√2 * X
  11. CG = √2 * GB
    CG=√2*√2 X
    CG=2X.
  12. במשולש CGD על פי פיתגורס DG²= (2X)² + (2X)² = 4X² + 4X²= 8X².
    DG²=8X²
    DG = √8 X
    DG=2.82X

תשובה: הצלע DG גדולה פי 2.82 מהצלע GF.

תרגיל 6

ABCG מקבילית.
מארבעת קודקודי המקבילית מעבירים חוצי זווית הנפגשים בנקודות E,F,G,H.
הוכיחו כי המרובע EFGH הוא מקבילית.

הוכחת מלבן

 

פתרון:
פתרון זה יכתב בקיצור.

  1. נגדיר C1=C2=a – נתון CH הוא חוצה זווית.
  2. D= 180- 2a∠  – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
  3. D1=∠D2=90-a  – נובע מ- 2 ומכך ש DH הוא חוצה זווית.
  4. במשלש DHC זווית H=90∠ – סכום הזוויות במשולש שווה ל- 180 מעלות.
  5. EHG=∠H∠  = 90 – זוויות קודקודיות שוות. באותו אופן ניתן להוכיח שזווית EFG שווה 90.חלק שני של ההוכחה. – נוכיח שזוויות E ו- G שוות 90.
  6. B=180-2a∠  – זווית חד צדדית של זווית C ומשלימה אותה ל- 180 מעלות.
  7. B1=∠B2=90-a∠  הישר BF הוא חוצה זווית.
  8. במשולש BEF זווית E שווה ל- 90 – נובע מ 1 ו- 7 ומכך שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות.
  9. G=90∠ – משלימה ל- 360 מעלות במרובע EFGH.
  10. EFGH הוא מלבן – מרובע שארבעת זוויותיו שוות ל- 90 מעלות הוא מלבן.

עוד באתר:

2 תגובות בנושא “מלבן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.