ארכיון הקטגוריה: זהויות טריגונומטריות

זהויות טריגונומטריות סינוס

זהויות יסודיות:

1.   sin ² a + cos ²a=1
2.   (sin a = cos (90-a.
3.   (sin a = sin (180-a.
4.    sin (-a) = -sin a.
5.   (sin (a) = sin (360 +a.

מהזהות הראשונה ניתן לבודד את sin ² a ולקבל:

סכום והפרש:

(sin (a+b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b.
(sin (a-b) = sin (a) cos (b) – cos (a) sin (b.

זווית כפולה:

sin (2a) = 2sin(a)cos(a.

נוסחה לחצי זווית:

סכום והפרש זוויות:

מכפלה של פונקציות:

(sin (a) sin (b) = 0.5 (cos(a+b) – cos (a-b.
(sin (a) cos (b) = 0.5 (sin (a+b) +sin (a-b

עוד באתר:

זהויות טריגונומטריות זווית כפולה

בדף זה זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה.

sin 2a = 2sin a * cos a.
cos 2a = cos²a – sin²a

משוואות נוספות עבור cos 2a הן:
cos 2a = 2cos²a – 1
cos 2a = 1 – 2sin²a

הזהויות הנוספות של cos 2a הגענו על ידי שימוש והצבה של הזהות:
sin ² a + cos ²a=1
שניתן לכתוב אותה גם כ:
sin ² a = 1 – cos ²a
cos ²a = 1 – sin²a
ולקבל זהויות נוספות עבור cos 2a

כאשר נציב
sin ² a = 1 – cos ²a
נקבל:
cos 2a = cos²a – sin²a
(cos 2a = cos²a – (1 – cos ²a
cos 2a = 2cos²a – 1

כאשר נציב:
cos ²a = 1 – sin²a
נקבל:
cos 2a = cos²a – sin²a
cos 2a = 1 – sin²a – sin²a
cos 2a = 1 – 2sin²a

תרגיל 1
נתון כי sin a = 0.5
חשבו את
(sin (2a),  cos (2a

פתרון
על מנת לפתור שאלות מסוג זה עלינו גם להשתמש בזהויות הטריגונומטריות:
cos ²a = 1 – sin²a
(cos a = √(1 – sin²a

חישוב sin 2a
sin 2a = 2sin a * cos a
(sin 2a = 2 * 0.5 * √(1 – 0.5²
sin 2a = 1 * √0.75
sin 2a = √0.75

חישוב cos 2a
ניתן להשתמש בנוסחה:
cos 2a = 1 – 2sin²a
cos 2a = 1 – 2*0.5²
cos 2a = 1 – 0.5 = 0.5

עוד באתר:

זהויות טריגונומטריות לסכום והפרש שתי פונקציות

בדף זה זהויות טריגונומטריות של סכום והפרש שתי פונקציות.

זהויות טריגונומטריות לסכום זוויות

1.(sin (a+b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b.
2. (cos (a+b) = cos (a) cos (b) – sin (a) sin (b.

זהויות טריגונומטריות להפרש זוויות

5. (sin (a-b) = sin (a) cos (b) – cos (a) sin (b.
6. (cos (a-b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b.

תרגילים

תרגיל 1
נתון כי sin a= 0.5 , sin b = 0.3
חשבו את
(sin (a+b),  cos (a-b

פתרון
על מנת לפתור שאלות מסוג זה עלינו גם להשתמש בזהויות הטריגונומטריות:
cos ²a = 1 – sin²a
(cos x = √(1 – sin²x

ולכן:
cos a = √(1 – 0.5²) = √0.75
cos b = √(1 – 0.3²) = √0.91

עכשיו אנו יודעים כי:
sin a= 0.5
sin b = 0.3
cos a  = √0.75
cos b = √0.91

ובעזרתם ניתן למצוא את
(sin (a+b),  cos (a-b

חישוב (sin (a+b
(sin (a+b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b.
sin (a+b) = 0.5 * √0.91 + √0.75 * 0.3
sin (a+b) = 0.736

חישוב (cos (a-b
(cos (a-b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b
cos (a-b) = √0.75 * √0.91 + 0.5 * 0.3
cos (a-b) =  0.976

עוד באתר:

משוואות וזהויות טריגונומטריות הנפתרות על ידי הוצאת גורם משותף

פתרון משוואות טריגונומטריות על ידי הוצאת גורם משותף זו טכניקה בסיסית שעליכם לדעת.
במעט מקרים גם נוסחאות הכפל המקוצר ישמשו אותכם על מנת לפתור תרגילים.
(a² – b²= (a-b)*(a+b
a+b)²= a²+2ab+b²)
a-b)²= a²-2ab+b²)

במספר מצומצם עוד יותר של מקרים גם פירוק לגורמים על פי קבוצות יכול להיות שימושי (בעיקר לתלמידי אוניברסיטה).

דרך הפתרון בשיטה זו מתבססת על כך שאם יש מכפלת איברים השווה ל 0 אז לפחות אחד האיברים שווה ל 0.
כלומר אם:
x*y = 0
אז x  ו / או y שווים ל 0.

דוגמה 1
sin²x + 0.5sinx = 0

פתרון
sin²x + 0.5sinx = 0
sin x (sinx + 0.5) = 0

אפשרות ראשונה
sin x = 0
x = 0 ± 360k
או
x = 180 – 0 ± 360k
את שתי האפשרויות הללו ניתן להציג על ידי
x = 0 ± 180k

אפשרות שנייה
sinx + 0.5 = 0
sin x = -0.5
x = 330 ± 360k
או
x = 210 ± 360k

תשובה: הפתרונות הם:
x = 0 ± 180k
x = 330 ± 360k
x = 210 ± 360k

דוגמה 2
tg²x – 0.16 = 0

פתרון
tg²x – 0.16 = 0
על פי נוסחת הכפל המקוצר:
(a² – b²= (a-b)*(a+b
נקבל:
tg x + 0.4) (tg x – 0.4) = 0)

אפשרות ראשונה
tg x + 0.4 = 0
tg x = -0.4
x = 158.2 ± 180k

אפשרות שנייה
tg x – 0.4 = 0

tg x = 0.4
x = 21.8 ± 180k

דוגמה 3
cos x + tgx =1

פתרון
נשתמש בזהות:
tg x = sin x/ cos x

cos x + sin x / cos x = 1  /*cos x
cos²x + sin x =1
נשתמש בזהות:
cos²x = 1 – sin²x

נקבל:
sin x + 1 – sin²x = 1
sinx -sin²x = 0
sin x (1 – sinx) = 0

אפשרות ראשונה
sin x = 0
x = 0 ± 180k

אפשרות שנייה
sin x = 1
x = 90 ± 360k

תרגילים

  1.    cos x + 2cos² x = 0
  2.    sin2x – sin x = 0
  3.    cos x *sin² + cos³x = 0
  4.   cos x *sin² – cos³x = 0
  5.   cos x + sin² x = 1
  6.   2tg²x + 2tgx + tgx + 1 = 0

פתרונות

בפתרונות נפרט השלב של מציאת המכנה המשותף ואקצר בכתיבת התשובה הסופית, דבר שאתם אמורים כבר לדעת.

תרגיל 1
cos x + 2cos² x = 0

פתרון
נוציא cos x גורם משותף.
cos x (1 + 2cosx) = 0
יש שתי אפשרויות פתרון:
cos x = 0
x = 90 ± 180k

אפשרות שנייה
2cos x + 1 = 0  / -1
2cos x = -1  / : 2
cosx = -0.5
x = 120 ± 360k
או
x = 240 ± 360k

תשובה: x =90 +180k,  x = 120 + 360k
x = 240 ± 360k

תרגיל 2
sin2x – sin x = 0
נשתמש בזהות של sin 2x ונקבל:
2sinx cos x – sin x = 0
sin x (2cos x – 1)= 0

אפשרות ראשונה
sin x = 0
x = 0 ± 180k

אפשרות שנייה
2cos x -1= 0  /+1
2cos x = 1  / : 2
cos x = 0.5
x = 60 ± 360k
או
x = 300 ± 360k

תשובה:   x = 0 ± 180k,  x = 60 ± 360k,  x = 300 ± 360k

תרגיל 3
cos x *sin² + cos³x = 0

פתרון
cos x (sin²x + cos²x ) = 0
נשתמש בזהות:
sin²x + cos²x = 1
ונקבל:
cos x * 1 = 0

הפתרון הוא:
x = 90 ± 180k

תרגיל 4
cos x *sin²x – cos³x = 0

פתרון
cos x (sin²x – cos²x) = 0
cos x * -(cos²x – sin²x) = 0
נשתמש בזהות:
cos²x – sin²x = cos 2x
נקבל:
cos x * (-cos 2x) = 0
cos x * cos 2x = 0

אפשרות ראשונה:
cos x = 0
x = 90 ± 180k

אפשרות שנייה:
cos 2x = 0
2x = 90 ± 180k
x = 45 ± 90k

תשובה: הפתרונות הם:
x = 90 ± 180k,  x = 45 ± 90k

תרגיל 5
cos x + sin² x = 1

פתרון
נשתמש בזהות:
sin² x = 1 – cos²x
ונקבל:
cos x +1 – cos²x = 1
cos x – cos²x = 0
cos x (1 – cos x) = 0

אפשרות ראשונה
cos x = 0
x = 90 ± 180k

אפשרות שנייה
cos x = 1
x = 0 ± 180k

תשובה:
x = 90 ± 180k,  x = 0 ± 180k

תרגיל 6
2tg²x + 2tgx + tgx + 1 = 0

פתרון
נוציא גורם משותף לשני האיברים הראשונים ולשני האיברים האחרונים.
2tg x (tg x +1) +1(tg x +1) = 0
2tg x +1) (tg + 1) = 0)

אפשרות ראשונה
2tg x +1 = 0
2tg x = -1
tg x = -0.5
x = 153.43 ± 180k

אפשרות שנייה
tg + 1 = 0
tg x = -1
x = 135 ± 180k

תשובה:
x = 153.43 ± 180k,    x = 135 ± 180k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

  1. משוואות טריגונומטריות – הדף הראשון בנושא.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  8. זהויות טריגונומטריות.

עוד באתר:

משוואות וזהויות טריגונומטריות עם חזקה ריבועית

2 דרכים לפתור תרגילים מסוג זה

בדף זה נלמד כיצד פותרים משוואות טריגונומטריות הנראות כך:
sin² x = 0.25

שימו לב שלהרבה מהמשוואות הללו יש 4 פתרונות בתוך התחום של 0-360 מעלות.

דרך ראשונה וקלה מבחינת ההבנה שלה היא להוציא שורש לשני צדדי המשוואה.
אבל זו דרך ארוכה יחסית.

עבור הפונקציות sin²x,  cos²x יש אפשרות להשתמש בזהויות

ולהפוך את המשוואות למשוואות ללא חזקה.
דרך זו קצרה יותר.
עבור הפונקציה tg² x אין את האפשרות הזאת וחייבים להוציא שורש.

דוגמאות

דוגמה 1
sin² x = 0.25

דרך ראשונה: הוצאת שורש
sin² x = 0.25
כאשר נוציא שורש לשני צדדי המשוואה נקבל
sin x = 0.5
או
sin x = -0.5

לכל אחת מהמשוואות הללו יש 2 פתרונות בתחום 0-360.
נתחיל ב:
sin x = 0.5
בעזרת המחשבון נקבל כי:
x = 30 ± 360k

על פי הזהות הטריגונומטרית (sin x = sin (180 – x נקבל גם:
x = 150 ± 360k

עבור המשוואה:
sin x = -0.5
נקבל:
x = 330 ± 360k
או
x = 210 ± 360k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 360k,  x2  = 150 ± 360k
x3  = 330 ± 360k ,  x4  = 210 ± 360k

דרך שנייה לפתור : שימוש בזהות:

sin² x = 0.25
לאחר השימוש בזהות נקבל:

cos 2x + 1 = 0.5-
cos 2x = -0.5-
cos 2x = 0.5

אפשרות ראשונה
2x = 60 ± 360k
x = 30 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הנוסחה
2x = -60 ± 360k
x = -30 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 180k,  x2  = -30 ± 180k

דוגמה 2
cos² x =0.75

דרך פתרון ראשונה: נוציא שורש
cos² x =0.75
cos x = 0.866
או
cos x = -0.866

עבור
cos x = 0.866
x = 30 ± 360k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
x = -30 ± 360k

עבור
cos x = -0.866
x = 150 ± 360k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
x = -150 ± 360k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 360k,  x2  = x = -30 ± 360k
x3  = 150 ± 360k ,  x4  = -150 ± 360k

דרך פתרון שנייה: בעזרת זהות טריגונומטרית

cos² x =0.75
לאחר השימוש בזהות נקבל:

cos 2x + 1 = 1.5
cos 2x = 0.5

אפשרות ראשונה
2x = 60 ± 360k
x = 30 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
2x = – 60 ± 360k
x = – 30 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 180k,  x2  = -30 ± 180k

דוגמה 3
tg ² x = 1

פתרון
עבור פונקציית ה tg אין לנו זהות שניתן להשתמש בה.
אנו חייבים להוציא שורש.

לאחר הוצאת השורש נקבל:
tg x = 1
או
tg x = -1

עבור tg x = 1
הפתרון הוא
x = 45 ± 180k

עבור tg x = -1
הפתרון הוא:
x = 335 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 45 ± 180k,  x2  = -30 ± 180k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

  1. משוואות טריגונומטריות – הדף הראשון בנושא.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש (בדף זה).
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  8. זהויות טריגונומטריות.

עוד באתר:

משוואות וזהויות טריגונומטריות עם מינוס לפני הפונקציה

בדף זה נפתור תרגילים מהסוג:
(sin x = – sin (3x – 10
כלומר משוואות בהם מופיע מינוס לפני אחד מהביטויים הטריגונומטריים.

על מנת לפתור תרגילים מהסוג הזה נשתמש בזהויות הטריגונומטריות הבאות:

  • (sin x = sin (-x-
  • (cos x = cos (180 – x-
  • (tg (x) = tg (-x –

כמו כן נשתמש בזהויות שהשתמשנו על מנות לפתור משוואות פשוטות יותר.

פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x

פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
tg(180-x) = – tgx

דוגמאות

דוגמה 1
sin (3x -10) + sin (4x) = 0 

פתרון
(sin (3x – 10) = – sin (4x

נשתמש בזהות
(sin x = sin (-x-
נקבל:
(sin (3x -10) = sin (-4x

אפשרות ראשונה
3x – 10 = -4x ± 360k
7x = 10 ± 360k
x = 1.428 ± 51.428k

אפשרות השנייה על פי הזהות (sin x = sin (180-x
3x – 10 = 180 – (-4x) ± 360k
x = 190 ± 360k-
x = -190 ± 360k

הפתרונות הם:
x1 = 1.428 ± 51.428k,   x2 = -3.66 ± 60k.

דוגמה 2
(cos (8x – 20) = – cos (2x + 40

פתרון
נשתמש בזהות
(cos x = cos (180 – x-
ונקבל:
(cos (8x – 20) = cos (180 – 2x – 40
(cos (8x – 20) = cos (140 – 2x

אפשרות ראשונה
8x – 20 = 140 – 2x  ± 360k
8x = 160 – 2x ± 360k
10x = 160 ± 360k
x = 16 ± 36k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
(cos (8x – 20) = cos (2x -140
8x -20 = 2x -140 ± 360k
6x = -120 ± 360k
x = -20 ± 60k

הפתרונות הם:
x1 = 16 ± 36k,   x2 = -20 ± 60k.

דוגמה 3
(tg (-4x – 10) = – tg (2x +10

פתרון
נשתמש בזהות
(tg (x) = tg (-x –
ונקבל:
(tg (-4x – 10) = tg (-2x – 10

נשתמש בזהות הטריגונומטרית (tg x = tg (x + 180k
4x – 10 = -2x – 10  180k-
2x = 0 ± 180k-
x = 0 ± 90k

הפתרון הוא: x = 0 ± 90k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

  1. משוואות טריגונומטריות – הדף הראשון בנושא.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  8. זהויות טריגונומטריות.

עוד באתר:

משוואות טריגונומטריות

משוואות טריגונומטריות הן משוואות בהן יש בתוך הפונקציה הטריגונומטרית נעלם.
יש מספר רמות קושי לפתרון משוואות טריגונומטריות ובאתר זה הן מחולקות למספר חלקים:

  1. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin (bx + c) = a – נלמדות בדף זה.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.

בדף זהויות טריגונומטריות תמצאו סיכום של כל דרכי הפתרון.

בדף זה נלמד את היסודות של משוואות טריגונומטריות:

  1. התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות שעל פיהם פותרים משוואות.
  2. משוואות מהסוג sin bx = a.
  3. משוואות מהסוג sin (bx + c) = a
  4. תרגילים מסכמים.
  5. רשימת הזהויות הטריגונומטריות השימושיות.

1.התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות שצריך להתחשב בהם

אנו רגילים שלמשוואה עם נעלם אחד יש פתרון אחד.
אבל במשוואות טריגונומטריות זה לא כך.

sin x= 0.5.
כמה פתרונות יש למשוואה זו?

אינסוף.
את הפתרון הראשון נקבל מהמחשבון. והוא:
x = 30

בנוסף אנו יודעים שעבור פונקציית הסינוס:
(sin x = sin (180 – x
לכן
sin 30 = sin 150
אז הפתרון השני הוא
x = 150

אלו הן שתי הפתרונות שבתחום שבין 0 ל 360.
אבל מה עם הפתרונות שיותר גדולים מ 360 או יותר קטנים מ 0?
למשל x = 390 או x = -150
לכן נוסיף 360k± לכל פתרון.

התשובה הסופית תהיה:
x1 = 30 ± 360k,  x2 = 150 ± 360k

שלבים בפתרון משוואות טריגונומטריות של סינוס:

  1. מוצאים את הפתרונות בתחום 0-360 מעלות בעזרת מחשבון ובעזרת ההשלמה ל 180.
  2. מוצאים את הפתרון הכללי על ידי הוספת 360k± לכל אחד מהפתרונות

עבור פונקציית הקוסינוס

התכונה של פונקציית הקוסינוס היא ש:
(cos(x)=cos (-x.
לכן אם
x= 40  הוא פתרון
אז
x = -40 גם הוא פתרון.

ומכוון שגם בפונקציות הקוסינוס המחזוריות היא כל 360 מעלות.
הפתרון המלא יהיה
x1 = 30 ± 360k,  x2 = 150 ± 360k

עבור פונקציית הטנגס

התכונה של פונקציית הטנגס היא שהמחזוריות שלה היא כל 180 מעלות.
לכן אם:
x = 50 הוא פתרון.
אז גם
x = 230  הוא פתרון.

את הפתרון הכללי כותבים כך:
x = 50 ± 180k

תרגילים

בחלק זה נפתור תרגילים מהצורה
sin x = a
cos x = a
tg x = a

  1.   sin x = 0.342
  2.   cos x = 0.5
  3.   tg x = 2.747
  4.   sin x = 1
  5.   cos x = 1

פתרונות
sin x = 0.342
בעזת המחשבון נמצא
x = 20

על פי תכונת פונקציית הסינוס:
(sin 20 = sin (180 – 20

לכן בתחום של 0-360 המעלות הפתרונות הם:
x1 = 20,   x2 = 160
והפתרונות הכלליים הם:
x1 = 20 ± 360k,    x2 = 60 ± 360k

cos x = 0.5
בעזרת המחשבון נמצא
x = 60

על פי תכונת הקוסינוס:
(cos 60 = cos (-60

לכן בתחום של  360 – 360- המעלות הפתרונות הם:
x1 = 60 ,   x2 = – 60
והפתרונות הכלליים הם:
x1 = 60 ± 360k,    x2 = – 60 ± 360k

tg x = 2.747
בעזרת המחשבון נקבל:
x = 70

המחזוריות של הפונקציה טנגנס היא כל 180 מעלות ולכן הפתרון הוא:
x = 70 ± 180k

הערה
למה לא מצאנו את הפתרון השני של המשוואה בתחום 0-360 מעלות?
כי הפונקציה tg היא במחזוריות של 180 מעלות והפתרון הכללי x = 70 ± 180k מוצא גם את הפתרון השני בתחום 0-360 מעלות. (זה הפתרון x = 250).

sin x = 1
בעזרת המחשבון נמצא
x = 90
על פי תכונת הסינוס
(sin 90 = sin (180-90
ומכוון ש:
90 – 180 = 90
אנו נשארים עם פתרון יחיד, למשוואה זו יש רק פתרון יחיד בתחום 0-360

הפתרון הכללי:
x = 90 ± 360k

cos x = 1
בעזרת המחשבון נמצא
x = 0
על פי תכונת הקוסינוס
(cos 0 = cos (-0
מכוון שזה בדיוק אותו הפתרון יש לנו פתרון יחיד.

הפתרון הכללי:
x = 0 ± 360k

2.משוואות מהסוג sin bx = a

בחלק זה נלמד לפתור משוואות מהסוג
sin bx = a
cos bx = a
tg bx = a

בקצרה: על מנת לפתור מהשוואות מסוג זה מצאו את הפתרון הכללי כפי שמצאתם עבור המשוואות הקודמות וחלקו את הפתרון כולו ב- b.

דוגמה 1
sin 2x=0.5

פתרון
כאשר נשתמש במחשבון ובזווית המשלימה ל 180 נקבל:
2x1=30,   2x2=150.

הפתרון הכללי:
2x1 = 30 ± 360k,    2x2 = 150 ± 360k

רק לאחר שמצאנו את הפתרון הכללי אנחנו מחלקים ב b :
במקרה זה b הוא 2.
x1=15 ± 180k,  x2=75 ± 180k.
וזו התשובה הסופית

דוגמה 2
cos 0.5x=0.7

פתרון
בעזרת מחשבון והזווית השלילית נקבל:
x1=45.57,   x2=-45.57

הפתרון הכללי:
0.5x1=45.57+360k,
0.5x2=-45.57+360k

רק לאחר שמצאנו את הפתרון הכללי אנחנו מחלקים ב b :
במקרה זה b הוא 0.5.
x1=91.14+720k,
x2=-91.14+720k
וזו התשובה הסופית.

דוגמה 3
tg 6x = -1.732
בעזרת המחשבון נמצא:
6x = -60

הפתרון הכללי הוא:
6x = -60 + 180k
x = -10 + 30k

3.משוואות מהסוג sin (bx +c) = a

אלו הן משוואות דומות מאוד למשוואת הקודמות

דוגמה 1
sin (4x – 20) = 0.866

בעזרת המחשבון נקבל:
4x -20 = 60
4x = 80
ובגלל תכונת ה sin התשובה הנוספת היא:
4x -20 = 120
4x = 140

הפתרונות הכללים הם:
4x1=80 ± 360k,   4x2=140 ± 360k.

נחלק את הפתרון הכלל ב 4 ונקבל:
x1=20 ± 90k,   x2=35 ± 90k.

דוגמה 2
cos (2x -10) = -0.17364

בעזרת המחשבון נמצא
2x – 10 = 100
2x – 10 = 100 ± 360k
2x = 110 ± 360k
x = 55 ± 180k

אפשרות שנייה על פי (cos a = cos(-a
2x – 10 = -100 ± 360k
2x = -90 ± 360k
x = -45 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 55 ± 180k,   x2 = -45 ± 180k.

4.תרגילים מסכמים

  1. sin (2x – 50) = – 0.5
  2. tg (2x + 40) = 2.747
  3. cos (6x -20) =0.766

תרגיל 1
sin (2x – 50) = – 0.5

פתרון
בעזרת המחשבון נקבל
2x – 50 = -30
2x – 50 = 330
2x – 50 = 330 ± 360k
2x = 380 ± 360k
x = 190 ± 180k

אפשרות שנייה
נשתמש בנוסחה:
(sin x = sin (180 – x
sin (-30) = sin (180 – (-30 ) = sin 210

2x – 50 = 210
2x – 50 = 210 ± 360k
2x = 260 ± 360k
x = 130 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = x = 190 ± 180k,   x2 = 130 ± 180k

תרגיל 2
tg (2x + 40) = 2.747

פתרון
בעזרת המחשבון נקבל
2x + 40 = 70
2x + 40 = 70 ± 180k
2x = 30 ± 180k
x = 15 ± 90k

תרגיל 3
cos (6x -20) =0.766

פתרון
בעזרת המחשבון נקבל
6x – 20 = 40
6x – 20 = 40 ± 360k
6x = 60 ± 360k
x = 10 ± 60k

אפשרות שנייה
6x – 20 = -40
6x – 20 = -40 ± 360k
6x = – 20 ± 360k
x = -3.66 ± 60k

הפתרונות הם:
x1 = 10 ± 60k,   x2 = -3.66 ± 60k.

5.נספח: זהויות טריגונומטריות שימושיות

פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x

פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
tg(180-x) = – tgx
(tg (-x) = – tg (x

מעברים הפונקציות הטריגונומטריות השונות
(sin x = cos (90-x
(cos x = sin (90-x
tg x = sin x / cos x

מעברים נוספים:
sin²x + cos²x = 1
כאשר נחלק נוסחה זו ב cos ²x נקבל:
tg²x + 1 = 1/cos²x
כאשר נחלק את הנוסחה הראשונה ב sin²x נקבל:
cot ²x + +1 = 1/sin²x

מעברים הקשורים לנוסחה
cos2x = cos² – sin²x

עוד באתר: