ארכיון הקטגוריה: הסתברות

טבלה דו ממדית תרגילים

בדף טבלה דו ממדית למדנו את העקרונות והתאוריה שבעזרתה פותרים תרגילים.
בדף זה נפתור תרגילים.
לדעתי אין כאן תרגילים קלים.
בתרגילים 1-3 עליכם להכניס את הנתונים ישירות לטבלה.
תרגיל 4 דורש שלב מקדים להכנסת הנתונים לטבלה.
ארבעת התרגילים הראשונים ברמת 4 יחידות.

בתרגיל 5 יש להגדיר משתנה על מנת לפתור את התרגיל, התרגיל ברמת 5 יחידות. תרגילים נוספים ברמת 5 יחידות בקישור.

בשאלות משולבים סעיפים בנושא הסתברות מותנית.

לתרגילים 1,4,5 יש גם פתרון וידאו, פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

ידוע כי 60% מהמגיעים לבריכה הם גברים והשאר נשים. כמו כן ידוע 40% מהמגיעים
לבריכה הם גברים שלא נכנסים למים. וכי  רק 30% מהמגיעים לבריכה נכנסים למים.
חשבו:

  1. מה ההסתברות לדגום גבר הנכנס למים?
  2. מה ההסתברות לדגום אישה שלא נכנסת למים?
  3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

פתרון:

נגדיר:

A – גבר.
A¯ – אישה.
B – אדם הנכנס למים.
B¯ – אדם שלא נכנס למים.

נתון:
P (A)=0.6
P(A∩B¯)=0.4
P (B)=0.3

הנתונים שהכי קל להשלים (אפילו כשאין טבלה) הם:
P (A¯)=0.4
P(B¯)=0.7

נציב את הנתונים בטבלה

מאורע A – גברמאורע A¯ – אישה
מאורע B – נכנסים למים(P(A∩B(P(A¯∩B0.3=(P(B
מאורע B¯  – לא נכנסים0.4=(¯P(A∩B(¯P(A¯∩B0.7=(¯P(B
P(A)=0.60.4=(¯P(A1

עכשיו כשאנו יודעים שהסכום של 2 התאים של השורות צריך להיות שווה לטור השורה מהסכם ואותו דבר עבור הטורים – קל לחשב את שאר הטבלה.

מאורע A – גברמאורע A¯ – אישה
מאורע B – נכנסים למים0.2=(P(A∩B0.1=(P(A¯∩B0.3=(P(B
מאורע B¯  – לא נכנסים0.4=(¯P(A∩B0.3=(¯P(A¯∩B0.7=(¯P(B
P(A)=0.60.4=(¯P(A1

1. מה ההסתברות לדגום גבר הנכנס למים? 

מה שמבקשים מאיתנו זה: (p(A∩B.
(P(A∩B) =(P(A)-P(B¯∩A
P(A∩B) =0.6-0.4=0.2
תשובה: אחוז הגברים שנכנס למים מכלל המגיעים לבריכה הוא 20%.

2. מה ההסתברות לדגום אישה שלא הכנסת למים?

מבקשים מאיתנו את (¯P(B¯∩A

ניתן לראות בטבלה כי:
(¯P(B) – P(B¯∩A) = P(B¯∩A
0.3 = 0.4 – 0.7
תשובה: ההסתברות לדגום אישה שלא נכנסת למים היא 0.3.

3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

הנשים הם 40% מכלל המגיעים לבריכה.
30% מכלל המגיעים לבריכה הם נשים שלא נכנסות למים.
לכן אם ידוע שבחרנו אישה ההסתברות שהיא לא נכנסת למים היא 40:30=0.75.
תשובה: במידה ובחרנו אישה ההסתברות שהיא לא נכנסת למים היא 0.75.

תרגיל 2

תלמיד נבחן בהסתברות ובגיאומטריה. ההסתברות שהוא יעבור את המבחן בהסתברות היא 0.8 וההסתברות שהוא יעבור את המבחן בגיאומטריה היא 0.7. ידוע כי ההסתברות שהוא יעבור את בגיאומטריה אך ייכשל בהסתברות היא 0.1.

  1. מה ההסתברות שהתלמיד נכשל בשני המבחנים?
  2. מה ההסתברות שהתלמיד עבר לפחות מבחן אחד?
  3. נניח שיש לנו מדגם של 200 תלמידים שההסתברות שלהם לעבור ולהיכשל היא כמו של התלמיד הזה. בוחרים תלמיד שעבר את המבחן בהסתברות. מה ההסתברות שהוא עבר גם את המבחן בגיאומטריה?

פתרון

A – יעבור בהסתברות.
A¯ – ייכשל בהסתברות.
B – יעבור בגיאומטריה.
B¯  – ייכשל בגיאומטריה.

P(A)=0.8
P(A¯)=0.2
P(B)=0.7
P(B¯)=0.3
P(A¯∩B)=0.1

נשים את הנתונים בטבלה

מאורע A – עבר הסתברותמאורע A¯ – נכשל הסתברות
מאורע B -עבר גיאומטריה(P(A∩B0.1=(P(A¯∩B0.7=(P(B
מאורע B¯  – נכשל גיאומטריה(¯P(A∩B(¯P(A¯∩B0.3=(¯P(B
P(A)=0.8P(A¯)=0.2

נשלים את השורות והטורים:

מאורע A – עבר הסתברותמאורע A¯ – נכשל הסתברות
מאורע B -עבר גיאומטריה0.6=(P(A∩B0.1=(P(A¯∩B0.7=(P(B
מאורע B¯  – נכשל גיאומטריה0.2=(¯P(A∩B0.1=(¯P(A¯∩B0.3=(¯P(B
P(A)=0.8P(A¯)=0.2
  1. מה ההסתברות שהתלמיד נכשל בשני המבחנים?
    0.1.
  2. מה ההסתברות שהתלמיד עבר לפחות מבחן אחד?
    זו ההסתברות המשלימה להסתברות הקודמת ולכן שווה ל: 1-0.1=0.9.כמו כן ניתן לחשב את ההסתברות בעזרת חיבור התאים בטבלה:
    עבר שני מבחנים + עבר רק הסתברות + עבר רק גיאומטריה.
    0.6                    +     0.2                +   0.1    = 0.9
  3. נניח שיש לנו מדגם של 200 תלמידים שההסתברות שלהם לעבור ולהיכשל היא כמו של התלמיד הזה. בוחרים תלמיד שעבר את המבחן בהסתברות. מה ההסתברות שהוא עבר גם את המבחן בגיאומטריה?
    ההסתברות לעבור את המבחן בהסתברות היא 0.8 ההסתברות לעבור בהסתברות וגיאומטריה היא 0.6.
    לכן אם בחרנו תלמיד שעבר את הבחינה בהסתברות ההסתברות שהוא עבר גם בגיאומטריה הוא: 0.6:0.8=0.75.

תרגיל 3

בכיתה יש בנים ובנות אשר מגיעים מהעיר או לא מהעיר.
0.2 מהכיתה הם בנים המגיעים מהעיר. 0.3 מהכיתה הם בנות שלא מגיעות מהעיר. 0.25 הם בנים שלא מגיעים מהעיר.

  1. דוגמים תלמיד. מה ההסתברות שהוא בן?
  2. אם ידוע כי נבחרה בת. מה ההסתברות שהיא מהעיר?
  3. ידוע כי בכיתה יש 40 תלמידים. כמה מהם הם בנים המגיעים מהעיר?

פתרון

נבנה טבלה.

מאורע A – בןמאורע A¯ – בת
מאורע B – מהעיר0.2=(P(A∩B(P(A¯∩B=(P(B
מאורע B¯  – לא מהעיר0.25=(¯P(A∩B0.3=(¯P(A¯∩B=(¯P(B
P(A)==(¯P(A1

נשלים את הטבלה. קודם את שכיחות הבנים (P(A, ולאחר מיכן את שכיחות הבנות ולאחר מיכן ניתן להשלים את התאים הפנימיים.

מאורע A – בןמאורע A¯ – בת
מאורע B – מהעיר0.2=(P(A∩B0.25=(P(A¯∩B0.45=(P(B
מאורע B¯  – לא מהעיר0.25=(¯P(A∩B0.3=(¯P(A¯∩B0.55=(¯P(B
P(A)=0.450.55=(¯P(A1
  1. דוגמים תלמיד. מה ההסתברות שהוא בן?
    0.2+0.25=0.45.
  2. אם ידוע כי נבחרה בת. מה ההסתברות שהיא מהעיר?
    מבקשים מאיתנו למצוא את (¯P(B/A.
    0.55=(¯p(A
    0.25=(P(A¯∩B
    =0.25:0.55=(¯P(B/A
  3. ידוע כי בכיתה יש 40 תלמידים. כמה מהם הם בנים המגיעים מהעיר?
    0.2 הוא החלק היחסי של הבנים המגיעים מהעיר.
    0.2*40=8.

תרגיל 4

נשים וגברים נכנסים לחממה וקוטפים כל אחד פרח אחד, פרח צהוב או פרח אדום.
ידוע כי 70% מהנכנסים לחממה הם גברים. 12% הם נשים הקוטפת פרח צהוב.
אם נבחר גבר אז ההסתברות שהוא קטף פרח צהוב היא 0.5

  1. בנו טבלה דו ממדית והשלימו את כל החלקים שבה.
  2. אם ידוע כי נבחר אדם שקטף פרח אדום. מה ההסתברות שזו אישה?

פתרון

נגדיר:
A נשים.
A¯  גברים.
B  קוטפים פרח צהוב.
B¯  קוטפים פרח אדום.

P (A¯) = 0.7   ההסתברות לגבר.
לכן ההסתברות לאישה היא:
P (A) = 1 – 0.3 = 0.7
P (A ∩ B) = 0.12 ההסתברות לאישה הקוטפת פרח צהוב.
P (B / A¯) = 0.5 אם ידוע שנבחר גבר אז ההסתברות שנקטף פרח צהוב.

את הנתון האחרון:
P (B / A¯) = 0.5
לא ניתן להציב בטבלה כמו שהוא, כי אין מקום כזה.
עלינו למצוא את (P (A¯ ∩ B  שלו יש מקום בטבלה.
נעשה זאת בעזרת הנוסחה:
(P (B / A¯) * P (A) = P (A¯ ∩ B
0.35 = 0.7 * 0.5
נכניס את כל הנתונים לטבלה

מאורע A – אישהמאורע A¯ – גבר
מאורע B – קוטפים צהוב0.120.35=(P(B
מאורע B¯  – קוטפים אדום=(¯P(B
P(A) = 0.30.7 =(¯P(A1

בעזרת הנתונים הללו ניתן להשלים את כל הערכים בטבלה:

מאורע A – אישהמאורע A¯ – גבר
מאורע B – קוטפים צהוב0.120.350.47
מאורע B¯  – קוטפים אדום0.180.350.53
P(A) = 0.30.7 =(¯P(A1

סעיף ב
אם ידוע כי נבחר אדם שקטף פרח אדום. מה ההסתברות שזו אישה?
זו שאלת הסתברות מותנה.
ומבקשים שנמצא את   (¯P (A / B
ההסתברות לקטיפת פרח אדום היא P (B¯) = 0.63
ההסתברות לאישה הקוטפת פרח אדום היא P (B¯ ∩A) = 0.18
נוסחת ההסתברות המותנה היא:
נוסחת בייס
נציב ונקבל:
P (A / B¯) = 0.18 : 0.53 = 0.34

תרגיל 5 טבלה עם נעלמים

בבית ספר מסוים 0.6 מהתלמידים הם בנים. חלק מהתלמידים אוהבים ספורט וחלקם לא.  3/5 מאלו שאוהבים ספורט הם בנים.
4/5 מאלו שלא אוהבים ספורט הן בנות.
דוגמים תלמיד בבית ספר. מה ההסתברות שהוא אוהב ספורט?

פתרון

נגדיר:
A בנים.
A¯  בנות.
B אוהבים ספורט.
B¯  לא אוהבים ספורט.

P (A) = 0.6
P (A¯) = 0.4

הנתון שחסר לנו כאן ובגללו אנו צריכים להשתמש בנעלם הוא: כמה אוהבים / לא אוהבים ספורט? יש לנו נתונים על חלקים מהקבוצה הזו אך אנו לא יודעים מה גודל הקבוצה.

P(B)=X – הגדרת משתנה, ההסתברות לאהוב ספורט.
P(B¯)=1-X – המאורע המשלים, ההסתברות לא לאהוב ספורט.
P (B / A) = 0.6x
(P (B¯ / A¯) = 0.8(1 – X

נמצא את (P (A∩B) ,  P (B¯ ∩ ¯A  בעזרת נוסחה.
(P (A∩B) = P (B / A)  * P(A
P (A∩B) =  0.6X * 0.6 = 0.36X

(¯P (B¯ ∩ ¯A) = P (B¯ / A¯) * P (A
P (B¯ ∩ ¯A) = 0.8 (1 – x) * 0.4 = 0.32 – 0.32x

נכניס את הנתונים לטבלה:

מאורע A – בןמאורע A¯ – בת
מאורע B – אוהב ספורט(0.36x=P(A∩B(P(A¯∩B(X=P(B
מאורע B¯  – לא אוהב ספורט=(¯P(A∩B(0.32x + 0.32-
=(¯P(A¯∩B =
=(¯P(B
P(A)=0.60.4=(¯P(A1

הערה: בטבלה צריך להיות רשום P(B¯) = 1-X אך לא ניתן לעשות זאת בגלל בעיה טכנית.

עכשיו נשלים את המאורע "בת שגם אוהבת ספורט"

(P(A¯∩B) = P(B) – P(A∩B
P(A¯∩B) = x – 0.36x = 0.64x

עכשיו אנו יכולים ליצור משוואה מהטור של "בת" (A¯)
P (A¯) = 0.64x – 0.32x + 0.32  = 0.4
0.32x  = 0.08
x = 0.25

תשובה: כאשר דוגמים תלמיד בבית ספר ההסתברות שהוא אוהב ספורט היא 0.25

אם היינו רוצים להשלים את הטבלה כולה היא הייתה נראית כך.

מאורע A – בןמאורע A¯ – בת
מאורע B – אוהב ספורט0.090.160.25
מאורע B¯  – לא אוהב ספורט0.510.240.75
P(A)=0.60.4=(¯P(A1

עוד באתר:

  1. דיאגרמת עץ – הסבר כיצד לפתור.
  2. הסתברות מותנית – מה זה בדיוק אומר + תרגילים.
  3. הסתברות – הדף המרכזי שמרכז קישורים לדפים אחרים בנושא.
  4. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  5. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

מבנה של טבלה דו ממדית

הסרטון מומלץ, ההסבר שבו טוב יותר מההסבר הכתוב.

1.חשוב מאוד להבין שהמלבנים הפנימיים של טבלה דו ממידית אלו הן הסתברוית של "וגם".
4 המלבנים שבתוך הטבלה הם (מסומנים בשחור):
(P(A∩B  ההסתברות שהמאורע A וגם המאורע B קרה.
(P(A¯∩B  ההסתברות שהמאורע A לא קרה וגם המאורע B קרה.
(¯P(A∩B
(¯P(A¯∩B

מאורע Aמאורע A¯
מאורע B(P(A∩B(P(A¯∩B(P(B
מאורע B¯(¯P(A∩B(¯P(A¯∩B(¯P(B
(P(A(¯P(A1

 

2. ההסתברות שמאורע יקרה או שיקרה המאורע המשלים היא 1. כלומר:
p(A) + p(A¯)=1
p(B) + p(B¯)=1

כיצד זה קשור לטבלה דו ממדית? מסיבה זו הסכום של השורה התחתונה (p(A) + p(A¯)=1) ושל הטור השמאלי  (p(B) + p(B¯)=1 חייב להיות 1.

3.    (¯P(A)=P(A∩B) + P(A∩B .
למשל אם A זה המאורע של אדם הלובש חולצה לבנה. ו-B זה אדם עם מכונית. אז הסיכוי לדגום אדם עם חולצה לבנה שווה (P(A לסיכוי לדגום אדם עם חולצה לבנה שיש לו מכונית (P(A∩B + ההסתברות לדגום אדם עם חולצה לבנה שאין לו מכונית (¯P(A∩B.
כמובן שגם המשוואה הזו נכונה עבור הטבלה: (P(B)=P(A∩B) + P(A¯∩B

עוד באתר:

הסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים

בדף זה נלמד כיצד מחשבים הסתברות של שניים או שלוש מאורעות בלתי תלויים.

מה זה מאורעות בלתי תלויים?
אלו מאורעות שאין בניהם קשר, מאורע אחד אינו משפיע על השני.
למשל:
זורקים קובייה וזורקים מטבע. אין קשר בין התוצאה של הקובייה והתוצאה של המטבע ולכן אלו מאורעות בלתי תלויים.

הנוסחה של חישוב ההסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים היא:
(P(A ∩ B) = P (A) * P (B
הנוסחה תהיה ברורה כאשר נפתור תרגילים.

תרגילים

תרגיל 1
זורקים מטבע וקובייה.

  1. מה ההסתברות שיצא המספר 4 בקובייה ו"פלי" במטבע?
  2. מה ההסתברות שיצא מספר זוגי בקובייה ופלי במטבע?

פתרון
סעיף א
הסתברות למספר 4 היא 1/6.
ההסתברות ל "פלי" היא 1/2.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/12.

סעיף ב
ההסתברות למספר זוגי בקובייה היא:
1/2 = 3/6
ההסתברות ל "פלי" היא 1/2.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/4

תרגיל 2
מסובבים רולטה שעליה המספרים 1,2,3 וההסתברות לקבלת כל אחד מהמספרים הללו שווה.
בנוסף זורקים קובייה.
מה ההסתברות שבקובייה יצא המספר 5 או 6 ואילו ברולטה לא יצא המספר 2?

פתרון
2/6 זו ההסתברות שבזריקת קובייה יצא 5 או 6.
בסיבוב הרולטה מבקשים בעצם שיצאו המספרים 1 או 3.
וההסתברות לכך היא:
2/3

ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/3.

תרגיל 3
בקופסה ראשונה יש 4 כדורים צהובים ו 2 אדומים.
בקופסה שנייה יש 1 כדור צהוב ו 3 ירוקים.
בקופסה שלישית יש רק 3 כדורים צהובים.
מוצאים כדור אחד מכל קופסה. מה ההסתברות שיצאו 3 כדורים צהובים?

פתרון
4/6 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה הראשונה.
1/4 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה השנייה.
1 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה השלישית.

ההסתברות ששלושת הדברים יקרו היא מכפלת ההסתברויות:

תשובה: ההסתברות להוציא 3 כדורים צהובים היא 1/6.

תרגילים קשים יותר

עד עכשיו כל התרגילים שלנו היו מורכבים ממכפלה של 2 או 3 הסתברויות.
כאשר כל הסתברות בנפרד היה קל יחסית לחשב.
בתרגילים היותר קשים החישוב של כל הסתברות נפרדת הוא לא כל כך קל.

תרגיל 1
זורקים 2 קוביות ומסובבים סביבון שעליו האותיות נ.ג.ה.פ.
מה ההסתברות שסכום המספרים על הקוביות יהיה גדול מ 5 ואילו הסביבון יפול על האותו פ.

פתרון
עבור סכום הגדול מ 5 בשתי הקוביות יש הרבה אפשרויות.
נוח יותר לחשב את ההסתברות לקבל סכום של 5 או פחות.
האפשרויות לקבל 5 או פחות הן:
1,1
1,2
1,3
1,4
2,1
2,2
2,3
3,2
קיבלנו 8 אפשרויות.
סך כל האפשרויות לצירופים בזריקת שתי קוביות ללא חשיבות לסדר המספרים הוא:
36 = 6²
לכן מספר הצירופים שדרכו ניתן לקבל יותר מ 5 הוא:
28 = 8 – 36
וההסתברות לכך היא 28/36.

ההסתברות לקבל "פ" בסביבון היא 1/4.
ההסתברות ששני הדברים יקרו היא:

תרגיל 2
אדם זורק קובייה פעמיים.
אם המספר המתקבל בקובייה הוא 6 אז הוא מקבל 2 נקודות.
אם המספר גדול או שווה ל 4 אך לא 6 הוא מקבל נקודה 1.
אם המספר קטן מ 4 האדם לא מקבל ניקוד.

  1. מה ההסתברות שהאדם יזכה בדיוק בשתי נקודות?
  2. אם ידוע שהאדם זכה בשתי נקודות. מה ההסתברות שהוא קיבל פעם אחת 6?
  3. 5 משתתפים במשחק (כל אחד זרק פעמיים) מה ההסתברות שבדיוק שני אנשים קיבלו שתי נקודות.

פתרון
סעיף א
יש שתי אפשרויות לקבל 2 נקודות.
לקבל 6 ומספר קטן מ 4 או מספר קטן מ 4 ולאחר מיכן 6.
או
לקבל פעמיים את המספרים 4 או 5.
נחשב כל אחת מההסתברויות הללו:

ההסתברות לקבל 6 ולאחר מיכן לקבל מספר קטן מ 4 היא:
1/6  זו ההסתברות לקבל 6.
3/6 זו ההסתברות לקבל מספר קטן מ 4.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:
1/12 = 3/36 = (3/6) * (1/6)
ההסתברות לקבל מספר קטן מ 4 בזריקה הראשונה ולאחר מיכן 6 שווה להסתברות שחישבנו.

1/6 = 2/12  זו ההסתברות לקבל 2 כאשר באחת הזריקות נקבל 6.

ההסתברות לקבל פעמיים את המספרים 4 או 5 היא:
2/6  זו ההסתברות לקבל 4 או 5 פעם אחת.
לכן ההסתברות לקבל פעמיים היא:
1/9 = 4/36 = 2/6 * 2/6

ההסתברות לקבל 2 היא סכום ההסתברויות שחישבנו:
5/18 = 1/9 + 1/6
תשובה: ההסתברות לקבל שתי נקודות היא 5/18.

סעיף ב
זו הסתברות מותנית.
0.277 = 5/18  זו ההסתברות לקבל 2 נקודות בכול הדרכים יחד.
0.1666 = 1/6  זו ההסתברות לקבל 6 בקובייה וגם לקבל שתי נקודות.

תשובה: אם ידוע שאדם קיבל 2 אז ההסתברות שהוא קיבל 6 באחת מזריקות הקובייה הוא 0.6

עוד באתר:

דיאגרמת עץ או טבלה

בדף זה ננסה להסביר אלו שאלות מתאימות לדיאגרמת עץ ואלו לטבלה.

לפני שנסביר אני רוצה להגיד שני דברים.

דבר ראשון
אין חובה לפתור תרגיל על ידי עץ או טבלה.
אם אתם רוצים ומסוגלים אתם יכולים לפתור תרגילים מבלי להשתמש באף אחת מהשיטות הללו.
תמיד תשתמשו בשיטה שתוביל אותכם לפתרון הנכון, זה הכלל הכי חשוב שאתם צריכים ללכת לפיו.

דבר שני
נזכיר את המבנה של הטבלה.
המספרים שבתוך הטבלה הם מספרים של וגם.

מאורע Aמאורע A¯
מאורע B(P(A∩B(P(A¯∩B(P(B
מאורע B¯(¯P(A∩B(¯P(A¯∩B(¯P(B
(P(A(¯P(A1

מכאן נעבור להסבר

נניח שהשאלה שלנו עוסקת בקבוצת בנים לעומת קבוצת בנות והאם הם הולכים או רצים בדרך חזרה הביתה מבית הספר.

השאלה שלנו מתחילה כך:
בישוב מסוים 0.6 מהתלמידים הם בנים והשאר בנות.
ההתחלה הזו מתאימה גם לבעיות עץ וגם לבעיות טבלה.
נניח ונרצה לבנות דיאגרמת עץ לשאלה היא תראה כך:

אם הנתון הבא יהיה: מבין הבנים 30% הולכים הביתה או רצים הביתה. אז הנתון הזה מתאים לנקודות A/ B. והשאלה מתאימה לדיאגרמת עץ.

גם אם הנתון הבא יהיה: בישוב יש 0.12 בנים שהולכים הביתה גם אז ניתן לבנות דיאגרמת עץ בצורה הזו:

ואז בונים את המשוואה:
x * 0.6 = 0.12
x = 0.2

אלו מקרים לא מתאימים לדיאגרמת עץ?

כאשר נותנים לנו נתון המדבר על שני ענפים.
למשל, 40% מתלמידי הישוב רצים הביתה.
זה נתון המתייחס לענפים B,C ולא לענף אחד בעץ לכן הוא מוביל לטבלה.

זה נתון שקשה לנו להשתמש בו בדיאגרמת עץ ולכן נבנה זה טבלה.

דוגמה לנתון נוסף המוביל לטבלה:
40% מהרצים הם בנים.
גם זה זה נתון המתייחס לענפים B,C ולא לענף אחד בעץ לכן הוא מוביל לטבלה.

לסיכום

גם בשאלות דיאגרמת עץ וגם בשאלות טבלה נקבל נתון המחלק את הקבוצה לשני חלקים.

ההבדל בין השאלות הוא:
בשאלות דיאגרמת עץ הנתון הנוסף יתייחס לענף בודד של העץ.
ואילו בשאלות טבלה הנתון הנוסף יתייחס לשני ענפים.

עוד באתר:

כיצד פותרים שאלות טבלה בעזרת דיאגרמת עץ

בחלק זה נפתור שאלה מלאה שיועדה להיפתר על ידי טבלה בעזרת דיאגרמת עץ.

תרגיל 1
ידוע כי 60% מהמגיעים לבריכה הם גברים והשאר נשים. כמו כן ידוע 40% מהמגיעים
לבריכה הם גברים שלא נכנסים למים. וכי  רק 30% מהמגיעים לבריכה נכנסים למים.
חשבו:

  1. מה ההסתברות לדגום גבר הנכנס למים?
  2. מה ההסתברות לדגום אישה שלא נכנסת למים?
  3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

פתרון:
נגדיר:
A – גבר.
A¯ – אישה.
B – אדם הנכנס למים.
B¯ – אדם שלא נכנס למים.

נתון:
P (A)=0.6
P(A∩B¯)=0.4
P (B)=0.3

הנתונים שהכי קל להשלים (אפילו כשאין טבלה) הם:
P (A¯)=0.4
P(B¯)=0.7

נציב את הנתונים בטבלה

מאורע A – גברמאורע A¯ – אישה
מאורע B – נכנסים למים(P(A∩B(P(A¯∩B0.3=(P(B
מאורע B¯  – לא נכנסים0.4=(¯P(A∩B(¯P(A¯∩B0.7=(¯P(B
P(A)=0.60.4=(¯P(A1

עכשיו כשאנו יודעים שהסכום של 2 התאים של השורות צריך להיות שווה לטור השורה מהסכם ואותו דבר עבור הטורים – קל לחשב את שאר הטבלה.

מאורע A – גברמאורע A¯ – אישה
מאורע B – נכנסים למים0.2=(P(A∩B0.1=(P(A¯∩B0.3=(P(B
מאורע B¯  – לא נכנסים0.4=(¯P(A∩B0.3=(¯P(A¯∩B0.7=(¯P(B
P(A)=0.60.4=(¯P(A1

1. מה ההסתברות לדגום גבר הנכנס למים? 

מה שמבקשים מאיתנו זה: (p(A∩B.
(P(A∩B) =(P(A)-P(B¯∩A
P(A∩B) =0.6-0.4=0.2
תשובה: אחוז הגברים שנכנס למים מכלל המגיעים לבריכה הוא 20%.

2. מה ההסתברות לדגום אישה שלא הכנסת למים?

מבקשים מאיתנו את (¯P(B¯∩A

ניתן לראות בטבלה כי:
(¯P(B) – P(B¯∩A) = P(B¯∩A
0.3 = 0.4 – 0.7
תשובה: ההסתברות לדגום אישה שלא נכנסת למים היא 0.3.

3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

הנשים הם 40% מכלל המגיעים לבריכה.
30% מכלל המגיעים לבריכה הם נשים שלא נכנסות למים.
לכן אם ידוע שבחרנו אישה ההסתברות שהיא לא נכנסת למים היא 40:30=0.75.
תשובה: במידה ובחרנו אישה ההסתברות שהיא לא נכנסת למים היא 0.75.

פתרון בעזרת דיאגרמת עץ

ידוע כי 60% מהמגיעים לבריכה הם גברים והשאר נשים. כמו כן ידוע 40% מהמגיעים
לבריכה הם גברים שלא נכנסים למים. וכי  רק 30% מהמגיעים לבריכה נכנסים למים.
חשבו:

  1. מה ההסתברות לדגום גבר הנכנס למים?
  2. מה ההסתברות לדגום אישה שלא נכנסת למים?
  3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

פתרון
זו דיאגרמת העץ המתאימה נתונים.

נסביר כיצד בנינו אותו.
0.4 שזו ההסתברות של ענף אחד אתם צריכים לדעת למה הוא שם.
x  מכוון שבענף אחד זו ההסתברות שחסרה לנו הגדרנו אותה כ x.
0.2  שזו ההסתברות של ענף 2 כי סכום ההסתברויות של ענף אחד וענף 2 הוא 0.6 (ההסתברות של גבר).
0.1  זו ההסתברות של ענף 4 כי סכום ההסתברויות של ענף 2 וענף 4 הוא 0.1 (יש 0.3 שנכנסים לבריכה).
0.3 זו ההסתברות של ענף 3

הסתברות מותנית הסבר אישי

הסתברות מותנית היא נושא שנחשב קשה, קשה להבין אותו.
הסתברות מותנית היא צמצום מרחב ההסתברויות. כאשר אומרים לכם אתם בוחרים מישהו אבל לא מתוך כל העולם אלה מתוך קבוצה ספציפית זו הסתברות מותנית. בדרך כלל הניסוח הוא "אם ידוע שהאדם"…

בדף זה אני אסביר כיצד אני באופן אישי מבין אותו ולאחר מיכן אסביר כיצד זה מסתדר עם הנוסחה של הסתברות מותנית.

נניח שנתוני השאלה הם:
בישוב 60% הם בנות ו 40% בנים.
30% מהבנות צופות בחדשות בטלוויזיה ו 20% מהבנים צופים בחדשות בטלוויזיה.

בנינו לנתוני השאלה את הדיאגרמה הבאה:

והשאלה היא:
דגמו מהישוב אדם והוא אינו צופה בחדשות.
מה ההסתברות שזו בת?

פתרון
בכול המקרים הסתברות מותנית מצמצמת לנו את העולם.
אם בעץ המקורי היו לנו 4 ענפים עכשיו ענפים 1,4 אינם קשורים כבר לשאלה שלנו (הענפים של הצופות והצופים), כי ידוע שהאדם שנדגם לא בא מיהם.

וכך גם תדעו לזהות שאלה של הסתברות מותנית, היא מצמצמת את המרחב. לא כל האפשרויות של השאלה המקורית אפשריות בשאלת הסתברות מותנית.

כך נראה עץ ההסתברויות החדש:

על מנת לפתור אני בשלב ראשון מחשב מה גודל "המרחב החדש" שנותר.
אלו הם ההסתברויות של ענפים 2,3.
ההסתברות של ענף 2 היא:
0.42 = 0.7 * 0.6
ההסתברות של ענף 3:
0.32 = 0.4 * 0.8

סך הכל נותרנו אם הסתברות של:
0.74 = 0.32 + 0.42

מתוך זה אנו מחפשים בת שאינה צופה בחדשות.
זה ענף 2 שהסתברותו 0.42

אם היינו זורקים קובייה ושואלים אותנו מה ההסתברות שיצא 2 היינו עונים 1/6.
ועל אוותו משקל עכשיו: מה ההסתברות שיצא 0.42 מתוך 0.74?
(כלומר ענף 2 מתוך ענפים 2,3?).

ואיך כל זה קשור לנוסחה של הסתברות מותנית?

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))

מה שעשינו זה בדיוק מה שהנוסחה אומרת לעשות.
(P (B זו ההסתברות אדם שאינו צופה. סכום ענפים 2+3 שחישבנו (0.74).
(P (A∩ B זו ההסתברות לבחור בת שאינה צופה, ענף 2 שחישבנו (0.42).
והחישוב הוא בדיוק אותו חישוב שעשינו.

דוגמה 2

במשתלה יש 70% פרחים ו 30% עצים.
ל 90% מהעצים עלים ירוקים.
ל 30% מהפרחים עלים ירוקים.
דגמו צמח מהמשתלה ומסתבר שיש לו עלה ירוק.
מה ההסתברות שזה פרח?

פתרון
דיאגרמת העץ המתאימה לשאלה:

דגמו "עלים ירוקים" לכן ניתן למחוק את 2,3

"גודל המרחב" שלנו עכשיו הוא:
0.27 = 0.9 * 0.3  (ענף 1).
0.21 = 0.3 * 0.7  (ענף 4).
0.48 = 0.27 + 0.21

גודל הענף המבוקש (פרח עם עלה ירוק ) היא ענף 4 שהסתברותו 0.21.
והפתרון הוא:

עוד באתר:

חציון סיכום

בדף זה נלמד על החציון.
החלקים של הדף הם:

  1. היכרות
  2. כיצד מחשבים חציון כאשר מספר האיברים בקבוצה אי זוגי.
  3. כיצד מחשבים חציון כאש מספר האיברים זוגי.
  4. מציאת החציון בטבלת שכיחויות.
  5. חציון לעומת ממוצע

בקצרה

1.מה זה חציון?
חציון הוא מדד סטטיסטי הדומה אך גם שונה לממוצע.
כאשר מסדרים קבוצת מספרים בסדר עולה החציון הוא המספר שיש מספר שווה של מספרים מעליו ומתחתיו.
למשל בקבוצת המספרים
1,2,6,7,8
המספר 6 הוא החציון כי יש 2 מספרים מעליו ושניים מתחתיו.

2.מציאת חציון
מציאת החציון שונה מעט בקבוצה שבה מספרים הוא אי זוגי לעומת קבוצה שבה מספר המספרי זוגי.
בקבוצה אי זוגית עם n איברים החציון הוא האיבר הנמצא במקום:

חציון

בקבוצת איברים שבה מספר זוגי של איברים החציון הוא הממוצע של האיברים הנמצאים במקומות:

3.מציאת חציון בטבלה
בטבלה הזו:

ציון9876
מספר תלמידים412101

יש 27 תלמידים (קבוצה אי זוגית)
לכן החציון נמצא במקום ה 14.
המקום ה 14 שיך לקבוצת התלמידים שקיבלה 8. לכן 8 הוא החציון.

4.חציון לעומת ממוצע
קבוצה ראשונה: 1,4,5,6,7
קבוצה שנייה: 1,4,5,6,1000
בשתי קבוצות המספרים הללו החציון הוא אותו חציון (5) לעומת זאת הממוצע משתנה מאוד.
בגלל זה אומרים שהחציון אינו מושפע ממספרים קיצוניים ואילו הממוצע מושפע.
לפעמים זה יתרון של החציון לפעמים זה חסרונו.
אין מדד אחד שטוב מהאחר בכל המקרים.

1.היכרות

למה יש חציון? מה המטרה של מדדים סטטיסטיים?
חציון הוא מדד בתחום הסטטיסטיקה.
מה המטרה שלמדדים סטטיסטיים?
למשל מה הוא התפקיד של הממוצע?

הממוצע נועד להגיד לנו משהוא על קבוצת המספרים אותה הוא מייצג.
למשל אם אומרים לנו שממוצע של שכבה הוא 75 אז אנו יודעים משהוא על הקבוצה מבלי שנצטרך שנצטרך לדעת כל ציון של כל ילד בקבוצה.

אותו דבר חציון, הוא נועד להגיד לנו משהו על הקבוצה אותה הוא מייצג.

מה הרעיון של חציון?
הרעיון של חציון אומר שאם ניקח קבוצה של מספרים ונסדר אותם מהקטן לגדול אז המספר שנמצא באמצע יוכל ללמד אותנו על הקבוצה כולה.

למשל המספרים:
6, 10, 4, 7, 8
כאשר נסדר אותם על פי הגודל הם יהיו:
4,6,7,8,10

החציון במקרה זה הוא 7, כי הוא נמצא בדיוק באמצע (יש שני מספרים מעליו ושני מספרים מתחתיו).
והרעיון הוא שהמספר 7 מייצג את המספרים ואומר משהו על הקבוצה.

על מנת למצוא את החציון יש הבדל בין קבוצות מספרים בהם מספר האיברים הוא אי זוגי לעומת קבוצות מספרים בהם מספר האיברים הוא זוגי.
על כך נלמד בשני הפרקים הבאים.

2.כיצד מוצאים את החציון כאשר מספר האיברים הוא אי זוגי

חציון הוא המספר שיש מספר שווה של איברים מעליו ומתחתיו.
ולכן כאשר מספר האיברים הוא אי זוגי קל יחסית למצוא אותו.

1,3,7
המספר 3 הוא החציון כי יש איבר אחד מעליו ואיבר אחד מתחתיו.

1,3,4,6,10
המספר 4 הוא החציון כי יש 2 איברים מעליו ושני איברים מתחתיו.

3,8,12,17,20,20,25
המספר 17 הוא החציון כי יש 3 איברים מעליו ו 3 איברים מתחתיו.

כיצד נמצא את החציון בקבוצה שבה יש n איברים (ומספר האיברים בה הוא אי זוגי)?

הנוסחה אומרת שהאיבר האמצעי יהיה במקום:

חציון

N הוא מספר האיברים

כלומר בקבוצה שבה יש 119 איברים החציון יהיה במקום ה:

מקום 60.

3.כיצד מוצאים חציון כאשר מספר האיברים בקבוצה הוא זוגי

נסתכל על הקבוצה
4,8,10,14
אין מספר שיש מעליו ומתחתיו אותו מספר איברים. לכן מה שעושים הוא ממוצע לשני האיברים הנמצאים באמצע.
בקבוצה זו שני המספרים הנמצאים באמצע הם 8,10. והממוצע שלהם, 9, הוא החציון.

בקבוצת המספרים
4,4,7,8,11,14
המספרים 7,8 נמצאים באמצע ולכן הממוצע שלהם, 7.5, הוא החציון.

הכלל אומר שאם בקבוצה יש n איברים ומספר האיברים בקבוצה הוא זוגי. אז החציון הוא הממוצע של האיברים הנמצאים במקומות:

למשל אם בקבוצה יש 200 מספרים אז החציון יהיה הממוצע של האיברים הנמצאים במקומות 100 ו 101.

4.מציאת חציון בטבלת שכיחויות

בהרבה מקרים נצטרך למצוא חציון בטבלת שכיחויות.
כאן נלמד כיצד עושים זאת.

דוגמה 1

ציון9876
מספר תלמידים312115

שלב א: מציאת מיקום האיבר שהוא חציון
מספר התלמידים הוא:
31 = 3 +12 +11 + 5
הטבלה מייצגת 31 מספרים (אי זוגי).
לכן החציון נמצא במקום
16 = (1 + 31)0.5

שלב ב: זיהוי המקום ה 16 בטבלה
נתחיל לספור מאחד מצדדי הטבלה, אני נוהג לספור מהציון הנמוך אל הגבוה אבל אפשר להפך.
5 קיבלו ציון 6 לכן החציון לא ציון 6.
11 קיבלו ציון 7.
16 = 11 + 5
לכן המקום ה 16 נמצא בין אלו שקיבלו 7, 7 הוא החציון.

דוגמה 2

ציון987
מספר התלמידים8615

שלב א: מציאת מיקום האיבר שהוא חציון
29 = 8 + 6 + 15
החציון נמצא במקום ה:
15 = (1 + 29)0.5

שלב ב: זיהוי המקום ה 15 בטבלה.
נתחיל לספר מהציון הקטן לגדול.
15 תלמידים קיבלו 7. לכן המקום ה 15 נמצא בקבוצת הציונים שקיבלה 7.
החציון הוא 7

דוגמה 3

ציון987
מספר תלמידים20146

שלב א: מציאת מיקום האיבר שהוא חציון
40 = 20 + 14 + 6
זה מספר זוגי של איברים ולכן החציון הוא הממוצע של האברים במקומות ה 20 וה 21.

שלב ב: זיהוי המקומות ה 20-21 בטבלה.
6 תלמידים יש בתא הראשון.
בתא השני יש עוד 14.
לכן המקום ה 20 קיבל 8.
בתא השלישי יש את המקומות 21-40.
לכן המקום ה 21 קיבל ציון 9.

החציון הוא הממוצע של המקומות 20,21. כלומר הממוצע של 8,9.
תשובה: החציון הוא 8.5.

5.ממוצע לעומת חציון

אין מדד אחד שהוא תמיד טוב יותר.
המדד "הטוב יותר"  תלוי בקבוצת המספרים שהוא מודד ובשימוש שאנו רוצים לעשות.

ההבדל החשוב שבין ממוצע לחציון

ממוצע הוא מדד שמושפע מכל המספרים.
לעומת זאת חציון לא תמיד מושפע, וגם עוצמת ההשפעה לפעמים קטנה מאוד.

למשל:
6,6,6,10,12
החציון של קבוצת המספרים הזו הוא 6.
אם נחליף את המספר הגדול בקבוצה
6,6,6,10,10,000
החציון לא ישתנה.
ולעומת זאת הממוצע ישתנה מאוד.

6,6,6,10,10,000
ממוצע מושפע מאוד מערכים קיצוניים גדולים או קטנים.
לכן בקבוצת מספרים זו הממוצע לא מייצג ולא קרוב ל 4 מספרים בקבוצה.
לעומת זאת החציון נשאר 6 ואינו משפע כלל מהמספר ששיננו.

לעומת זאת עבור הקבוצה:
4,4,4,4,10,10,10
החציון הוא 4 והוא כלל לא מייצג את שלושת מספרי ה 10.
הממוצע לעומת זאת מייצג את שלושת המספרים.

6.קישורים

  1. ממוצע סיכום.
  2. ממוצע וחציון לכיתה ח.
  3. הסתברות.

הסתברות משלימה

 

מה היא הסתברות משלימה?

כאשר אנו זורקים קובייה אנו יכולים לחשב את ההסתברות שיצא המספר 4.
במקרה זה ההסתברות המשלימה היא היא ההסתברות של כל המספרים שאינם 4. אלו המספרים 1,2,3,5,6.

אנו גם יכולים לחשב את ההסתברות למספרים 5 או 6.
במקרה זה ההסתברות המשלימה היא ההסתברות של כל המספרים שאינם 5 או 6. אלו המספרים 1,2,3,4.

אנו יכולים לחשב את ההסתברות שהיום יום שלישי.
המקרה זה ההסתברות המשלימה היא ההסתברות של כל שאר הימים: ראשון, שני, רביעי, חמישי, שישי, שבת.

אם נתון לנו השרטוט הזה, בעזרת נתונים נוספים נוכל לחשב את ההסתברות לבחור את הצבע השחור.

ההסתברות לבחור אדום או אפור זו ההסתברות המשלימה.

התכונה שמביאה תועלת בהסתברות משלימה

התכונה של הסתברות משלימה היא שהיא משלימה את ההסתברות הרגילה ל 1.

הסתברות + הסתברות משלימה  = 1

לכן אם אנו יודעים כי ההסתברות לקבל 4 בזריקת קובייה היא 1/6.
אז ההסתברות של כל שאר המספרים (1,2,3,5,6) היא באופן אוטומטי 5/6:

ואם ההסתברות שהיום יום שני היא 1/7, אז ההסתברות שהיום הוא כל אחד מהימים האחרים היא 6/7.

לסיכום
ההבנה מה היא הסתברות משלימה היא כלי חובה על מנת שתוכלו לחשב חישובי הסתברות.
הסתברות משלימה חוסכת עבודה. כאשר התרגילים פשוטים היא חוסכת מעט עבודה, כאשר החישובים מסתבכים היא חוסכת הרבה עבודה והחישובים מסתבכים.

עוד באתר:

יסודות ההסתברות סיכום

בדף זה נעבור על סוגים שונים של שאלות בהסתברות, שאלות הנלמדות בכיתות ח-ט בבית הספר.
החלקים של דף זה הם:

  1. הסתברות של מאורע יחיד.
  2. הסתברות של שני מאורעות שהקשר בניהם הוא "או".
  3. הסתברות של שני מאורעות שהקשר בניהם הוא "וגם".
    3.א)מה ההבדל בין "או" ל "וגם"?
    3.ב)האם יש חשיבות לסדר?
  4. מושגים.
  5. נספח: קישורים.
  6. נספח: סרטונים.

1.הסתברות של מאורע יחיד

הסתברות היא ערך מספרי שגודלו תמיד בין 0 ל 1.
כאשר המשמעות של הסתברות 0 היא שאין סיכוי שהדבר יקרה ואילו הסתברות 1 אומרת שהדבר יקרה באופן ודאי.

ההסתברות שמשהוא יקרה היא מספר האפשרות שדבר יקרה חלקי כל האפשרויות הקיימות.

ההסתברות שמאורע יקרה שווה למשפר האפשרויות שהמאורע יקרה לחלק בכל האפשרויות שקיימות

דוגמה 1
זורקים קובייה, מה ההסתברות שיצא המספר 2?

פתרון
על הקובייה יש אפשרות אחת להצליח.
יש 6 אפשרויות בסך הכל.
לכן ההסתברות היא 1/6.

דוגמה 2
מסובבים סביבון שכתובות עליו האותיות נ, ג, ה, פ. מה ההסתברות שתצא האות "פ"?

פתרון
יש אפשרות אחת להצליח.
יש 4 אפשרויות בסך הכל.
לכן ההסתברות היא 1/4.

דוגמה 3
בקופסה יש 7 כדורים אדומים. 3 צהובים, 2 ירוקים. מוצאים כדור אחד.

  1. מה ההסתברות שנוציא כדור אדום?
  2. מה ההסתברות שנוציא כדור לא אדום?

פתרון
סעיף א: ההסתברות להוציא אדום
יש 7 אפשרויות טובות להוציא אדום.
יש 12 אפשרויות בסך הכל.
לכן ההסתברות להוציא אדום היא 7/12.

סעיף ב: כדור לא אדום
יש 5 אפשרויות להוציא כדור לא אדום.
יש 12 אפשרויות בסך הכל.
לכן ההסתברות להוציא כדור לא אדום היא 5/12.

*דוגמה 4
בהגרלת לוטו יש 46 מספרים מתוכם 6 מספרים זוכים.
אם בוחרים מספר בודד מה ההסתברות שהוא אחד מששת המספרים הזוכים?

פתרון
יש 6 מספרים זוכים, לכן יש 6 אפשרויות טובות.
יש 46 אפשרויות בסך הכל.
לכן ההסתברות לבחור באחד המספרים הזוכים היא 6/46.

2.הסתברות של מאורעות שהקשר בניהם הוא "או"

לפעמים יש יותר מאפשרות אחת שטובה לנו.

דוגמה 1
זורקים קובייה מה ההסתברות שיצא 2 או 3?

פתרון
יש 2 אפשרויות שטובות לנו.
יש 6 אפשרויות בסך הכל.
2/6 זו ההסתברות ל 2 או 3.

דוגמה 2
בקופסה 4 כדורים אדומים, 3 צהובים, 6 שחורים.
מוצאים כדור, מה ההסתברות שיצא כדור צהוב או שחור?

פתרון
מספר הכדורים בקופסה הוא:
13 = 4 + 3 + 6

האפשרויות של צהוב או שחור הן 3 + 6 = 9.
9/13 זו ההסתברות להוציא צהוב או שחור.

ניסוחים "מעורפלים" להסתברויות כאלו

התיאור של ההסתברות יכול להיות מדויק כמו:

  1. "ההסתברות לכדור אדום"
  2. "הסתברות שיצא 2"

ויכולים לנסח דברים בצורה מעורפלת יותר:

  1. מה ההסתברות שבזריקת קובייה יצא מספר זוגי ?
  2. בין המספרים 1 עד 100 בוחרים מספר. מה ההסתברות שהמספר הנבחר הוא בין 51 ל 70 (כולל)?

במקרים הללו עלינו לחשוב, אלו מקרים כלולים בהסתברויות הללו?

עבור דוגמה 1
אלו מספרים בקובייה הם זוגיים?
אלו המספרים 2,4,6
לכן יש לנו 3 אפשרויות טובות מתוך 6.
3/6 זו ההסתברות לקבל מספר זוגי.

עבור דוגמה 2
נבין מה הם המספרים בין 51 ל 70.
אלו הם המספרים:
70, 69, 68, ……, 55, 54, 53, 52, 51
סך הכל 20 מספרים, 20 אפשרויות מתוך 100 מספרים.
20/100 זו ההסתברות לבחור מספר בין 51 ל 70.

3.הסתברות של מאורעות שהקשר בניהם הוא "וגם"

לפעמים אנו צריכים ששני מאורעות יקרו ביחד.
במקרה זה אנו מחשבים את ההסתברות של של כל אחד מהמקרים בנפרד ומכפילים את ההסתברויות זו בזו.

דוגמה 1
דני צריך להיבחן בשתי בחינות.
ההסתברות שדני יעבור את הבחינה באנגליית היא 0.8.
ההסתברות שדני יעבור את הבחינה במתמטיקה היא 0.6.
מה ההסתברות שיעבור את שתי הבחינות?

פתרון
ההסתברות ששני הדברים יקרו היא מכפלת ההסתברויות:
0.48 = 0.8 * 0.6
תשובה: ההסתברות שדני יעבור את שתי הבחינות היא 0.48.

דוגמה 2
זורקים שתי קוביות.
מה ההסתברות שבקובייה הראשונה יצאו המספרים 4 או 5. ובקובייה השנייה יצא מספר זוגי?

פתרון
2/6 זו ההסתברות שבקובייה הראשונה יצא 4 או 5.
3/6 זו ההסתברות שבקובייה השנייה יצא 2 או 4  או 6.
ההסתברות ששני הדברים יקרו ביחד היא:

תשובה: 1/6 זו ההסתברות ששני הדברים יקרו.

דוגמה 3
זורקים קובייה ומסובבים סביבון שרשומת עליו האותיות נ, ג, ה, פ.

  1. מה ההסתברות לקבל את המספר 4 ואת האות נ?
  2. מה ההסתברות לקבל בקובייה מספר גדול או שווה ל 5 ולא לקבל את האות נ בסביבון?
  3. *ברגע האחרון מחליטים לזרוק גם מטבע. מה ההסתברות לקבל "עץ" במטבע וגם מספר גדול או שווה ל 5 בקובייה ולא לקבל את האות נ בסביבון?

פתרון
סעיף א: המספר 4 והאות נ
ההסתברות לקבל 4 בקובייה היא 1/6.
ההסתברות ל נ בסביבון היא 1/4.
לכן ההסתברות לשני הדברים ביחד היא:

תשובה: ההסתברות ל נ ו 4 ביחד היא 1/24.

סעיף ב: מספר גדול שווה ל 5 ולא האות נ
המספרים 5,  6 הם המספרים המתאימים בקובייה.
2/6 זו ההסתברות לקבל אותם בזריקת קובייה.
האותיות ג, ה, פ  הן האותיות המתאימות בסביבון.
3/4 זו ההסתברות לקבל אותן בסיבוב סביבון.

ההסתברות ששני הדברים יתקבלו יחד היא:

תשובה: ההסתברות היא 1/4.

סעיף ג: ובנוסף "עץ" בזריקת מטבע
2/6 זו ההסתברות לקבל בקובייה 5 או 6.
3/4 זו ההסתברות לקבל ג, ה, פ בסיבוב סביבון
1/2 זו ההסברות לקבל עץ בזריקת מטבע.

מכפלת ההסתברויות הללו זו ההסתברות שכולם יקרו ביחד.

תשובה: 1/8 זו ההסתברות ששלושת הדברים יקרו.

הערה: דרך נוספת לחשב את סעיף ג
מכוון שחישבנו בסעיף ב את ההסתברות של שני המאורעות הראשונים
"ההסתברות לקבל בקובייה מספר גדול או שווה ל 5 ולא לקבל את האות נ בסביבון" ומצאנו שההסתברות הזו שווה ל 1/4.
ניתן להתייחס אל שני המאורעות הללו (גדול שווה 5, לא נ בסביבון) כאל מאורע אחד שהסתברותו 1/4 ולהכפיל בהסתברות השלישית שהיא 1/2 (עץ בהטלת מטבע).
נקבל:

3.א)ההבדל בין קשר של "או" לקשר של "וגם"

בקשר של "או" יש מספר מקרים שכל אחד מיהם טוב לנו.
למשל, "זורקים קובייה מה ההסברות שיצא 4 או 5"
4 טוב לנו, וגם 5 טוב לנו. אנו צריכים אחד מיהם ולא צירוף של שניהם.

בקשר של "וגם" אנו צריכים לא מקרה אחד אלא צירוף של מקרים ואנו צריכים שכל אחד מרכיבי הצירוף יקרה.
למשל, "זורקים קובייה אחת פעמיים, מה ההסתברות לקבל בזריקה הראשונה 4 ובזריקה השנייה 5".

3.ב)האם יש חשיבות לסדר או אין חשיבות לסדר

דוגמה 1
זורקים קובייה פעמיים.

  1. מה ההסתברות שבזריקה הראשונה יתקבל 4 ובזריקה השנייה יתקבל 5?
  2. מה ההסתברות לקבל צירוף של 4 ו 5 בקוביות ללא חשיבות לסדר?

פתרון
סעיף א: 4 בראשונה, 5 בשנייה
1/6 זו ההסתברות ל 4 בזריקה הראשונה.
1/6 זו ההסתברות ל 5 בזריקה השנייה.
לכן ההסתברות ששני הדברים יקרו היא:

תשובה: 1/36 זו ההסתברות לקבל 4 בראשונה ו 5 בשנייה.

סעיף ב: נקבל 4 ו 5 ללא חשיבות לסדר
נחשוב, איך המספרים 4 ו 5 יכולים להתקבל?

אפשרות ראשונה: נקבל 4 בזריקה הראשונה ו 5 בזריקה השנייה.
כפי שמצאנו בסעיף הקודם הסתברות זו היא 1/36.

אפשרות שנייה: נקבל 5 בזריקה הראשונה ו 4 בזריקה השנייה.
בעזרת חישוב קל נקבל שגם ההסתברות הזו היא 1/36.

שתי האפשרויות הללו טובות לנו ויש בניהן קשר של "או".
לכן ההסתברות לקבל 4 ו 5 ללא חשיבות לסדר היא:

לסיכום
1.כאשר אנו פותרים שאלות נשים לב אם יש חשיבות לסדר או אין חשיבות לסדר.
אם אין חשיבות לסדר נשים לב טוב טוב שאנו כוללים את כל הצירופים הנותנים את התוצאה המבוקשת.
בשאלה שלמעלה אלו היו האפשרויות 4 ו 5 או 5 ו 4.

2. חשיבות לסדר תהיה בין שני דברים שיש להם תוצאות משותפות. למשל כאשר זורקים שתי קוביות יש חשיבות לסדר.
לעומת זאת אם מסובבים סביבון (עם נ, ג, ה, פ)  וזורקים קובייה (עם מספרים) אין חשיבות לסדר.

4.הסתברות משלימה

ההסתברות המשלימה של מאורע היא כל המאורעות שאינם כלולים בו.

1.דוגמאות:

זורקים קובייה.
מה ההסתברות שיצא 2? תשובה: 1/6.
מה היא ההסתברות המשלימה? אלו המספרים 1,3,4,5,6 וההסתברות היא 5/6.

מה ההסתברות שיצא מספר זוגי? תשובה: 3/6.
ומה ההסתברות המשלימה? זו ההסתברות לקבל את המספרים 1,3,5. גודל ההסתברות הוא 3/6.

מה ההסתברות שמחר יום שני? תשובה 1/7.
ומה היא ההסתברות המשלימה? אלו הימים ראשון, שלישי, רביעי, חמישי, שישי, שבת.
ההסתברות המשלימה היא 6/7

2.הכלל לחישוב ההסתברות המשלימה
ההסתברות המשלימה משלימה את ההסתברות המקורית ל 1.

  1. אם ההסתברות היא 1/3 אז ההסתברות המשלימה היא 2/3.
  2. אם ההסתברות היא 3/4 אז ההסתברות המשלימה היא 1/4.
  3. אם ההסתברות היא 0.3 אז ההסתברות המשלימה היא 0.7.

3.תרגיל
בקופסה 4 כדורים אדומים, 3 צהובים, 5 לבנים, 1 כתום.
מוציאים כדור אחד.

  1. מה ההסתברות להוציא כתום?
  2. מה ההסתברות לא להוציא כתום?

פתרון
סעיף א: ההסתברות לכתום
מספר הכדורים בקופסה הוא:
13 = 1 +5 + 3 + 4
מתוכם 1 כתום לכן ההסתברות לכתום היא 1/13.

סעיף ב: ההסתברות שלא יצא כתום
זו ההסתברות המשלימה לזו שחישבנו בסעיף א.

תשובה: ההסתברות שלא יצא כתום היא 12/13.

4.לסיכום
הסתברות משלימה זה ומושג ודרך חישוב שיקצרו לכם את החישוב בפתרון תרגילים. זה יקרה בעיקר בתרגילים קשים יותר בהמשך.

5.מושגים בהסתברות

אזכיר כאן שני מושגים שבוודאי תפגשו.
אלו מושגים שמצד אחד הם חשובים, וכל תלמיד טוב צריך לדעת אותם.
מצד שני ניתן לפתור תרגילים בלי לדעת אותם.

מה זה מאורע?
מאורע הוא דבר שקרה.
למשל כאשר זורקים קובייה. התוצאה "1" היא מאורע.
התוצאה "2" היא מאורע אחר.
וכן הלאה.

מה זה מרחב המדגם?
מרחב המדגם הוא כל האפשרויות שיש.
למשל כאשר זורקים קובייה מרחב המדגם הוא כל האפשרויות:
1,2,3,4,5,6.

6.סיכום של הסיכום

נפתור שאלה העוברת על כל הנושאים שלמדנו.

בקופסה יש 4 כדורים אדומים, 3 צהובים, 2 שחורים.

  1. מוציאים כדור אחד מה ההסתברות להוציא שחור?
  2. מוציאים כדור אחד, מה ההסתברות להוציא שחור או צהוב?
  3. מוציאים כדור אחד מחזירים אותו ומוצאים כדור שני. מה ההסתברות להוציא בראשון שחור ובשני אדום?
  4. מוציאים כדור אחד מחזירים אותו ומוצאים כדור שני. מה ההסתברות שיצא כדור אחד שחור וכדור שני אדום?
  5. מוציאים כדור אחד מחזירים אותו ומוצאים כדור שני. מה ההסתברות שלא יצא כדור שחור ולא כדור אדום?

פתרון
סעיף א: ההסתברות לשחור
מספר הכדורים בקופסה הוא:
9 = 2 + 3+ 4
מספר השחורים הוא 2.
2/9 זו ההסתברות לשחור.

סעיף ב: שחור או צהוב
יש 5 כדורים שהם שחורים או צהובים.
5/9 זו ההסתברות לשחור או צהוב.

סעיף ג: ראשון שחור שני אדום
2/9 ההסתברות לראשון שחור.
4/9 ההסתברות לשני אדום.
ההסתברות ששניהם יקרו היא:

סעיף ד: שחור ואדום ללא חשיבות לסדר
יש שתי אפשרויות להוציא שחור ואדום.
אפשרות ראשונה: הראשון שחור, השני אדום. מצאנו בסעיף הקודם שההסתברות הזו היא 8/81.
אפשרות שנייה: הראשון אדום, השני שחור. אם נחשב נמצא שגם הסתברות זו היא 8/81.

הקשר בין שתי ההסתברויות הללו הוא "או", כי שתי האפשרויות טובות לנו.
לכן ההסתברות שאחת מיהן תקרה היא:

סעיף ה: לא שחור ולא אדום (הסתברות משלימה)
ההסתברות המבוקשת היא ההסתברות המשלימה לזו שחישבנו בסעיף ד.
לכן נחשב אותה כך.

7.נספח: שאלה קשה מהרגיל שניתן לפתור בעזרת הסתברות משלימה

שאלה זו היא מעבר לרמה של הדף ויכולה להיות סעיף בתוך שאלה בבגרות 4 יחידות או 5 יחידות.

זורקים קובייה ומסובבים סביבון שעליו האותיות נ,  ג,  ה,  פ.
מה ההסתברות שיצא 2 בקובייה או האות "ג" בסביבון.

פתרון
בואו נראה אלו אפשרויות יכולות להתקבל:

1.נקבל גם 2 וגם נ   – זו אפשרות שטובה לנו.
2. יצא 2 אבל לא יצא נ  – זו אפשרות שטובה לנו.
3. יצא נ אבל לא יצא 2  – זו אפשרות שטובה לנו.
4. לא יצא 2 ולא יצא נ –  זו האפשרות היחידה שלא טובה לנו.

אז דרך אחת היא לחשב את שלוש ההסתברויות הראשונות – כל אחת בנפרד ואז לחבר אותן.

אנו נפעל בדרך קלה יותר.
נחשב את ההסתברות הרביעית שהיא ההסתברות המשלימה, ואז נעבור ממנה להסתברות שאנו צריכים.

חישוב ההסתברות: לא יצא 2 ולא יצא נ
5/6 זו ההסתברות שלא יצא 2.
3/4 זו ההסתברות שלא יצא נ
ההסתברות ששניהם יתרחשו היא:

לכן ההסתברות שיצא 2 בקובייה או האות "ג" בסביבון היא:

תשובה: 9/24.

8.נספח: קישורים

  1. סיכומים – סיכומים בנושאים נוספים.
  2. בעיות הוצאה והחזרה סיכום.
  3. הסתברות כיתה ח – תרגילים נוספים.
  4. הסתברות כיתה ט – תרגילים נוספים.
  5. בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
  6. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  7. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

9.נספח: וידאו

 

בעיות הוצאה והחזרה סיכום חלק ב

הסיכום של בעיות הוצאה והחזרה מחולק לשני דפים.
בדף הקודם:

  1. מבוא.
  2. הוצאה עם החזרה.
  3. הוצאה ללא החזרה.
  4. שאלות על מספר הסתברויות.
  5. סיכום של הסיכום.

בדף זה:

  1. בעיות עם משתנה.
  2. בעיות מתחכמות.
  3. סיכום של הסיכום.
  4. קישורים.

1.בעיות עם משתנה

עד עכשיו בכול הבעיות ידענו בדיוק כמה כדורים יש לנו מכול סוג.
בשאלות שנלמד עכשיו לא נדע את מספר הכדורים של צבע אחד או יותר.

דוגמה 1 (דרך הגדרה ראשונה)
בקופסה 7 כדורים אדומים ו x כדורים כחולים.

  1. מוצאים כדור אחד. הביעו באמצעות x את ההסתברות להוציא כדור אדום.
  2. ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים בשתי הוצאות עם החזרה היא 49/81. מצאו את מספר הכדורים הכחולים בקופסה.

פתרון
סעיף א: ההסתברות לאדום בהוצאה אחת
x + 7 זה מספר הכדורים בקופסה.
מתוכם 7 אדומים, לכן ההסתברות לאדום היא:

וההסתברות לכדור כחול היא:

סעיף ב: מציאת מספר הכדורים הכחולים
מכוון שההוצאה היא עם החזרה ההסתברות בפעם הראשונה ובפעם השנייה להוציא אדום היא זהה.

ההסתברות הזו שווה ל 49/81 ולכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + 7)² * 81)
ונקבל:

x + 7)² * 49 = 7*7*81)
נחלק את שני אגפי המשוואה ב 49 ונקבל:
x + 7)² = 81)
x + 7)²  = 9²)

ניתן להבין ממשוואה זו ש x = 2
וניתן גם לפתוח סוגריים ולפתור משוואה ריבועית.
x² + 14x + 49 = 81  / -81
x² + 14x – 32 = 0

בעזרת נוסחת השורשים או טרינום נקבל:
x1 = 2,  x2 = -16
מכוון ש x הוא מספר כדורים, גודל חיובי הפתרון x = 16 נפסל.

תשובה: מספר הכדורים הכחולים הוא 2.

אם היינו רוצים לשרטט את השאלה בדיאגרמת עץ זה היה נראה כך:

בשאלה זו לא ידענו את מספר הכדורים הכחולים אבל קיבלנו בתמורה את ההסתברות של הענף "אדום, אדום".
וכך זה יהיה ברוב השאלות יהיה לנו חסר מספר כדורים אבל נדע את ההסתברות של ענף שלם.

דוגמה 2 (דרך הגדרה שנייה)
בקופסה 8 כדורים.
x מתוכם אדומים והיתר כחולים.
בקופסה יותר כדורים אדומים מכחולים.

  1. מוציאים כדור, הביעו באמצעות x את ההסתברות שהוא כחול.
  2. מוציאים שני כדורים עם החזרה. ההסתברות שהראשון אדום והשני כחול היא 12/64. חשבו את מספר הכדורים הכחולים ומספר האדומים בקופסה.

פתרון
סעיף א: ההסתברות לכחול
x מספר הכדורים האדומים.
ולכן מספר הכדורים הכחולים הוא:

ההסתברות לכדור כחול היא:

סעיף ב: מציאת x.
ההסתברות לאדום היא:

ההסתברות לאדום ואז כחול היא 12/64. לכן המשוואה היא:

נכפיל פי 64 ונקבל:

x (8 – x) =12
8x – x² = 12
x² – 8x + 12 = 0
זו משוואה ריבועית שהפתרונות שלה הם:
x1 = 2,  x2 = 6

x הוא מספר הכדורים האדומים. אם יש 2 אדומים אז יש 6 כחולים.
אם יש 6 אדומים אז יש 2 כחולים.
מכוון שבנתונים אמרו שיש יותר אדומים מכחולים הפתרון הוא 6 אדומים ושני כחולים.

בדיאגרמת עץ השאלה הייתה נראית כך:

כאשר הנתון "הנוסף" שקיבלנו הוא שההסתברות של ענף 2 (אדום ואז כחול) היא 12/64.

2.בעיות מתחכמות

בבעיות "מתחכמות" יוסיפו קושי נוסף.
הקושי הנוסף יהיה לרוב הסתברות "מקדימה" להוצאת הכדורים (דוגמה 1) או שאלות המשלבות ביחד הוצאה עם החזרה וללא החזרה.

דוגמה 1
מאחורי שתי דלתות נמצאות שתי קופסאות.
מאחורי דלת ימין יש קופסה עם 7 כדורים אדומים ו 3 כחולים.
מאחורי דלת שמאל יש קופסה עם 4 כדורים אדומים ו 2 צהובים.

לאדם יש נטייה לפנות ימינה ולכן 60% שאדם יפנה לדלת ימין ו 40% לדלת שמאל.
אדם בוחר דלת ולאחר מיכן כדור. מה ההסתברות שיבחר כדור אדום?

פתרון
אם נרצה לפתור ללא דיאגרמת עץ נגיד כך:
ההסתברות לבחור אדום מורכבת משתי אפשרויות.
אפשרות ראשונה לבחור בדלת ימין (0.6) ואז לבחור אדום (7/10).
0.42 = 0.7 * 0.6

אפשרות שנייה לבחור בדלת שמאל (0.4) ואז בכדור אדום (4/6).
0.2666 = (4/6) * 0.4

ההסתברות לבחור אדום היא סכום ההסתברויות הללו:
0.6866 = 0.2666 + 0.42

אם היינו רוצים לתאר את התרגיל בדיאגרמת עץ זה היה נראה כך:

כאשר ההסתברות להוציא אדום מתוארת בענפים 1,3.
ההסתברות של ענף 1 היא:
0.42 = 0.7 * 0.6
ההסתברות של ענף 3:
0.2666 = (4/6) * 0.4

ההסתברות של שני הענפים יחד היא:
0.6866 = 0.2666 + 0.42

דוגמה 2 (שילוב של בעיה עם החזרה וללא החזרה)
בקופסה 7 כדורים צהובים ו 3 כדורים לבנים.
מוצאים כדור אחד, אם זה כדור צהוב משאירים אותו בחוץ. אם זה כדור לבן מחזירים אותו פנימה.
לאחר מיכן מוציאים כדור נוסף.

  1. מה ההסתברות להוציא שני כדורים באותו הצבע?

פתרון
סעיף א: שני כדורים באותו הצבע
נחשב בנפרד את ההסתברויות ל:
לבן, לבן.
צהוב, צהוב.
ואז נחבר את ההסתברויות.

לבן, לבן
בהתחלה יש 3 לבנים מתוך 10 כדורים.
לכן 0.3 זו ההסתברות ללבן בראשון.
אם יוצא לבן מחזירים אותו לקופסה.
לכן גם בכדור השני ההסתברות ללבן היא 0.3.
ההסתברות לשני לבנים היא:
0.09 = 0.3 * 0.3

צהוב, צהוב.
7/10 זו ההסתברות לצהוב בראשון.
לאחר ההוצאה נשארנו בקופסה עם 6 צהובים מתוך 9.
לכן ההסתברות לשני צהוב היא 6/9.
ההסתברות לשני צהובים:
42/90 = 6/9 * 7/10

ההסתברות לשני כדורים באותו צבע היא סכום ההסתברויות:

תשובה: ההסתברות לשני כדורים באותו הצבע היא 0.5566.

אם היינו רוצים לשרטט דיאגרמת עץ לשאלה היא הייתה נראית כך:

בפתרון חישבנו את הענפים 1,4 וחיברנו את ההסתברויות שלהם.

סיכום של הסיכום

בחלק מהבעיות לא נדע את כמות הכדורים שיש מכל סוג.
במקרה זה נגדיר את x ככמות הכדורים מסוג אחד.

יש שני סוגי תרגילים מסוג זה;
בסוג הראשון אנו יודעים את כמות הכדורים מסוג אחד. למשל:
"בקופסה יש 6 צהובים ומספר כדורים ירוקים".
נגדיר:
x מספר הירוקים.
ואז:
x + 6 הוא מספר הכדורים בקופסה.
ההסתברויות הן:

בסוג השני של התרגילים אנו נדע את הכמות הכללית של הכדורים בקופסה אבל לא נדע במפורש את הכמות של אף סוג של כדור.
למשל:
"בקופסה 12 כדורים אפורים ולבנים"
במקרה זה נגדיר:
x מספר האפורים.
ואז מספר הלבנים הוא:

ההסתברויות הן:

בשני הסוגים הנתון שלרוב בעזרתו נבנה משוואה ונמצא את x הוא הסתברות של ענף שלם (ראו דוגמאות בשרטוטי דיאגרמת עץ שבשתי השאלות למעלה).

שאלות מתחכמות אלו שאלות בהן יש לנו מספר קופסאות וקיימת הסתברות נוספת הקובעת מאיזו קופסה ניקח כדור.
או שאלות שבהן במקרים מסוימים יש החזרה לעומת מקרים שבהם אין החזרה.
עלינו להכיר את הסוגים הללו ולפעול על פי חוקי ההסתברות וההיגיון.

קישורים

  1. בעיות הוצאה והחזרה סיכום חלק א.
  2. בעיות הוצאה והחזרה תרגילים.
  3. הסתברות 4 יחידות.
  4. הסתברות 5 יחידות.
  5. דיאגרמת עץ
  6. הסתברות הדף המרכזי עם קישורים לנושאים נוספים.

בעיות הוצאה והחזרה סיכום

הסיכום של בעיות הוצאה והחזרה מחולק לשני דפים.
בדף זה:

  1. מבוא.
  2. הוצאה עם החזרה.
  3. הוצאה ללא החזרה.
  4. שאלות על מספר הסתברויות.
  5. סיכום של הסיכום.

בדף הבא:

  1. בעיות עם משתנה.
  2. בעיות מתחכמות.
  3. סיכום של הסיכום.
  4. קישורים.

1.מבוא: 3 דברים שעליכם לדעת לפני

1.חישוב הסתברות בסיסי

דוגמה 1
אם זורקים קובייה מה ההסתברות שיצא 4?

פתרון
יש 6 תוצאות אפשרויות מתוכם אפשרות אחת טובה לכן ההסתברות היא 1/6.

דוגמה 2
זורקי קובייה, מה ההסתברות שיצא 4 או 5?
מה ההסתברות שלא יצא 4 או 5?

פתרון
ההסתברות שיצא 4 או 5
יש שתי אפשרויות טובות מתוך 6, לכן ההסתברות היא 2/6.

ההסתברות שלא יצא 4 או 5
זו ההסתברות המשלימה.
4/6 = 2/6 – 1

2.ההסתברות ששני דברים יקרו בו זמנית

דוגמה 1
זורקים קובייה פעמיים. מה ההסתברות שבפעם הראשונה יצא 3 ובפעם השנייה יצא 1?

פתרון
במקרה שאנו רוצים ששני מאורעות (בלתי תלויים) יקרו יחד אנו מכפילים את ההסתברויות שלהם.
ההסתברות ל 3 היא 1/6
ההסתברות ל 1 היא 1/6.
לכן ההסתברות ששניהם יקרו היא:
1/36 = 1/6 * 1/6

3.לדעת לשרטט דיאגרמת עץ

אין חובה להשתמש בדיאגרמת עץ על מנת לפתור תרגילי הוצאה והחזרה. אבל הדיאגרמה יכולה להפוך את התרגיל לקל יותר.

  • בדף דיאגרמת עץ הסרטון הראשון מסביר כיצד לשרטט את הדיאגרמה.

2.הוצאה עם החזרה

כאשר אנו מוציאים כדור מקופסה ומחזירים אותו לקופסה אנו מחזירים את הקופסה למצבה ההתחלתי.
לכן ההסתברויות נשארות אותו דבר לאורך ההוצאות השונות.

דוגמה 1
בקופסה 10 כדורים. מתוכם 6 אדומים ו 4 כחולים.

  1. מוצאים כדור, מה ההסתברות שהוא אדום?
  2. מוצאים כדור מחזרים אותו ומוצאים שוב. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים.
  3. מוצאים שני כדורים (עם החזרה לאחר ההוצאה) מה ההסתברות ששניהם לא אדומים?

פתרון
סעיף א: הוצאת כדור אדום בודד
יש 6 אפשרויות טובות מתוך 10.
לכן ההסתברות היא:
0.6 = 6/10

סעיף ב: הוצאת שני כדורים אדומים
ההסתברות להוציא את הכדור האדום הראשון היא 6/10.
כאשר מחזירים את הכדור הראשון המצב חוזר לקדמותו.
לכן ההסתברות להוציא את האדום השני היא:

תשובה: 9/25.

סעיף ג: הסתברות שלא יצא אדום
ההסתברות שלא יצא אדום לאחר שתי הוצאות זו ההסתברות המשלימה לזו שחישבנו בסעיף ב.

ההסתברות שלא יצא אדום בשתי הוצאות עם החזרה היא 16/25.

אם היינו רוצים לשרטט את התרגיל בדיאגרמת עץ זה היה נראה כך:

הפתרון של סעיף 2 הוא ההסתברות של ענף 1.
הפתרון של סעיף 3 הוא סכום ההסתברויות של ענפים 2,3,4.

4.הוצאה ללא החזרה

כאשר מוצאים ללא החזרה המצב משתנה.
כאשר מוצאים בפעם הראשונה וכאשר מוצאים בפעם השנייה ההסתברויות אינן אותן הסתברויות.

אם נחזור לבעיה הקודמת ונניח שמוצאים ללא החזרה.
והשאלה היא: מה ההסתברות להוציא שני אדומים?

אז בהוצאה הראשונה המצב הוא:

וההסתברות במצב זה לאדום היא 6/10.

אם הוצאנו בפעם הראשונה כחול, אז נפסלנו ולא נקבל שני אדומים.
ההסתברות שנצליח היא רק אם בפעם הראשונה הוצאנו אדום.
במקרה זה המצב בקופסה הוא:

וההסתברות להוציא אדום במצב זה היא 5/9.

ההסתברות להוציא שני אדומים ברצף היא:

תשובה: ההסתברות לשני אדומים היא 1/3.

דוגמה 2
נוסיף לשאלה שני סעיפים.

  1. מה ההסתברות להוציא שני כחולים?
  2. מה ההסתברות שהראשון יהיה אדום והשני כחול?

פתרון
סעיף א: הסתברות לשני כחולים
ההסתברות לכחול הראשון היא 4/10.

לאחר ההוצאה הראשונה נשארנו עם 3 כחולים מתוך 9. וההסתברות היא 3/9.
ההסתברות לשני כחולים היא:

סעיף ב: הראשון אדום והשני כחול
6/10 זו ההסתברות לראשון אדום.
נשארנו עם 9 כדורים מתוכם 4 כחולים.
4/9 זו ההסתברות לכחול במצב זה.

תשובה: ההסתברות לראשון כחול ושני אדום היא 2/15.

ניסוחים נוספים של הוצאה ללא החזרה

הניסוח הפשוט של הוצאה ללא החזרה הוא כאשר אומרים בפירוש ללא החזרה.
אבל יש ניסוחים קשים יותר להבנה שכדאי להכיר אותם מראש.

דוגמה 1
בכיתה יש 20 תלמידים. 4 מתוכם לובשים חולצה לבנה.
מוצאים שני תלמידים החוצה, מה ההסתברות שלשניהם חולצה לבנה.

פתרון
זו הוצאה ללא החזרה. כאשר מוצאים שני תלמידים אין אפשרות לבחור תלמיד אחד פעמיים וזו הוצאה ללא החזרה.
ההסתברות לתלמיד ראשון עם חולצה לבנה היא 4/20
ההסתברות לתלמיד שני עם חולצה לבנה היא 3/19

ההסתברות המבוקשת היא:

דוגמה 2
בלוטו האנגלי יש 18 מספרים מתוכם צריך לבחור 3.
כאשר אדם בוחר 3 מספרים. מה ההסתברות שיזכה בלוטו?

פתרון
גם זו הוצאה ללא החזרה. כי כאשר מוצאים כדור בלוטו לא מחזירים אותו לאחר מיכן וכאשר אדם מסמן מספר הוא לא יסמן את המספר שוב.
בבחירה הראשונה יש לאדם 3 אפשרויות מתוך 18 לכן ההסתברות לבחור נכון בפעם הראשונה היא 3/18.
בבחירה השנייה נותרו 17 מספרים, מתוכם 2 נכונים וההסתברות 2/17.
בבחירה השלישית נותרו 16 מספרים מתוכם 1 טוב וההסתברות 1/16.

ההסתברות שכל המאורעות יקרו יחד ביחד היא:

תשובה: ההסתברות לזכות בלוטו האנגלי היא 1/816.

4.שאלות על מספר הסתברויות

עד עכשיו השאלות היו מאוד מדויקות.

  1. מה הסתברות לשני אדומים?
  2. מה ההסתברות לשני כחולים?
  3. מה ההסתברות לאדום ראשון ושני כחול?

אבל יכולים לשאול שאלות אחרות.

  1. מוצאים שני כדורים. מה ההסתברות ששניהם באותו הצבע?
  2. מוצאים שני כדורים. מה ההסתברות ששניהם בצבע שונה?

במקרים הללו עלינו לחשוב ולבדוק בעצמנו על אלו הסתברויות מדובר.

כיצד פותרים זאת נראה בשאלה הבאה:

דוגמה 1 (עם החזרה)
בכד 5 כדורים לבנים ו 3 כדורים צהובים.
מוציאים שני כדורים (עם החזרה).

  1. מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם בצבעים שונים?
  2. מה ההסתברות שני הכדורים באותו הצבע?

פתרון
כך נראית הבעיה בדיאגרמת עץ:

יש שתי דרכים לקבל כדורים בצבעים שונים.
דרך ראשונה: הראשון לבן והשני צהוב (ענף 2)
דרך שנייה: הראשון צהוב והשני לבן (ענף 3)

עלינו לחשב את ההסתברות לכל אחד מהמקרים הללו בנפרד ואז לחבר את ההסתברויות.

חישוב ההסתברות: הראשון לבן והשני צהוב.
בכד 8 כדורים.
מתוכם 5 לבנים.
לכן ההסתברות להוציא לבן בכדור הראשון היא 5/8.

בכד 3 כדורים צהובים מתוך 8.
לכן ההסתברות להוציא כדור צהוב בכדור השני היא 3/8.

כאשר אנו רוצים שני מאורעות בלתי תלויים יקרו ביחד אנו מכפילים את ההסתברויות שלהם.
על פי הנוסחה:
(P(A∩B) = P(A) * P(B
לכן ההסתברות להוציא לבן ראשון וצהוב שני היא:

חישוב ההסתברות: הראשון צהוב השני לבן
ההסתברות להוציא בכדור הראשון צהוב היא 3/8
ההסתברות להוציא בשני לבן היא 5/8

לכן ההסתברות להוציא צהוב ולבן היא:

אנו רוצים לחשב:
לבן ולאחריו צהוב או צהוב ולאחריו לבן.
במקרה זה מחברים את ההסתברויות:

תשובה: ההסתברות לשני כדורים בצבעים שונים היא 30/64 (זו ההסתברות של ענפים 2,3 ביחד).

סעיף ב: כדורים באותו צבע
נשים לב ששני כדורים באותו צבע זו ההסתברות המשלימה של מה שחישבנו בסעיף א "שני כדורים בצבע שונה".
לכן ניתן לחשב את ההסתברות בצורה הזו:

דרך אחרת היא לחשב באופן ישיר את ההסתברות לענף 1 (לבן, לבן).

וההסתברות לענף 4 (צהוב, צהוב).

סכום ההסתברויות הללו הוא:

תשובה: ההסתברות לקבל שני כדורים באותו צבע היא 34/64.

לסיכום:
חישבנו את הענפים 2,3 על מנת לפתור את סעיף א (צבעים שונים)
והענפים 1,4 הם ההסתברות המשלימה הפותרת את סעיף ב צבעים זהים).

דוגמה 2 (ללא החזרה)
בקופסה 4 כדורים צהובים ו 5 אדומים.
מוצאים כדור אחד ומשאירים אותו בחוץ. מוצאים כדור נוסף.

  1. מה ההסתברות שלשני הכדורים יש את אותו הצבע?
  2. מה ההסתברות שלשני הכדורים צבע שונה?

פתרון
כך נראית הבעיה בדיאגרמת עץ.

סעיף א הוא חיבור ההסתברויות של הענפים 1,4. (אותו צבע).
סעיף ב הוא חיבור ההסתברויות של הענפים 2,3 (צבעים שונים) או ההסתברות המשלימה של סעיף א.

סעיף א: שניים באותו צבע
שניים באותו צבע יכולים להיות צהוב צהוב.
או
אדום אדום

נחשב את ההסתברות לשני צהובים
בהתחלה יש 4 כדורים צהובים מתוך 9 ולכן ההסתברות היא לכדור ראשון צהוב:
4/9
לאחר הוצאת כדור אחד נותרו 8 כדורים.
מתוכם 3 צהובים. לכן ההסתברות לצהוב שני היא:
3/8

ההסתברות לשני צהובים מתקבלת על ידי מכפלת ההסתברויות:

1/6 זו ההסתברות להוציא שני צהובים.

נחשב את ההסתברות לשני אדומים
בהוצאה הראשונה יש 5 אדומים מתוך 9 (הסתברות 5/9).
בהוצאה השנייה יש 4 אדומים מתוך 8 (ההסתברות 4/8)

ההסתברות להוציא שני אדומים מתקבלת על ידי מכפלת ההסתברויות:

5/18 זו ההסתברות להוציא שני אדומים.

ההסתברות להוציא שני אדומים או שני צהובים היא סכום ההסתברויות שחישבנו.

תשובה: 4/9 זו ההסתברות להוציא שני כדורים באותו הצבע.

סעיף ב: הוצאת שני כדורים שונה צבע
ההסתברות להוציא 1 צהוב ו 1 אדום זו ההסתברות המשלימה למה שחישבנו קודם לכן
לכן הסתברות זאת שווה ל:

תשובה: 5/9 זו ההסתברות להוציא שני כדורים שונה צבע.

סיכום של הסיכום

כאשר אנו מחזירים את הכדור לאחר ההוצאה אנו מחזירים את הקופסה למצב ההתחלתי וההסתברויות חוזרות על עצמן.

כאשר ההוצאות הן ללא החזרה לאחר כל הוצאה ההסתברות משתנה.

לפעמים ישאלו אותנו הסתברויות מדויקות. כמו "מה ההסתברות לאדום ולאחר מיכן צהוב".
ולפעמים ישאלו על הסתברויות שאנו צריכים בעצמנו לנסות לזהות מה הן אומרות כמו "מה ההסתברות להוציא 2 באותו הצבע".

קישורים

  1. בעיות הוצאה והחזרה סיכום חלק ב.
  2. בעיות הוצאה והחזרה תרגילים.
  3. הסתברות 3 יחידות.
  4. הסתברות 4 יחידות.
  5. הסתברות 5 יחידות.