ארכיון הקטגוריה: אינטגרל

אינטגרלים נוסחאות

בדף זה תמצאו את נוסחאות האינטגרל עבור הפונקציות השונות.
נוסחאות לפונקציות פשוטות ולפונקציות מורכבות.
כל נוסחה כוללת גם דוגמה.
ליד כל פונקציה יש קישור עם הרחבה הכוללת הסברים ותרגילים נוספים.

הדף אינטגרלים הוא הדף המרכזי בנושא.

אינטגרל למספר
אינטגרל למספר הוא מספר כפול x.
k dx = kx + c∫

למשל:
2dx = 2x +c∫
3dx = -3x + c-∫

אינטגרל לישר
kx dx = 0.5kx² + c∫

למשל:
7x dx = 0.5*7x² + c∫
10x dx = 0.5*10x² + c∫

אינטגרל לקבוע כפול פונקציה
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

למשל:
 8x dx = 8 * ∫ x dx = 8 * 0.5x² + c∫

נוסחת אינטגרל פולינום

אינטגרל של פולינום

למשל:
x4 dx ∫

פתרון

נוסחאות אינטגרל לפונקציה רציונלית

כאשר זו פונקציה רציונלית פשוטה נשתמש בנוסחה:

למשל:

כאשר יש לנו פונקציה מורכבת בחזקת 2 במכנה נשתמש בנוסחה:

למשל:

נוסחאות אינטגרל לפונקציה שורש

נוסחה זו הנוסחה לאינטגרל של פונקציית שורש היא:

אינטגרל לפונקציית שורש

כאשר יש לנו קבוע כפול האינטגרל נוציא את הקבוע מחוץ לאינטגרל על ידי שימוש בכלל:

קבוע כפול אינטגרל

למשל:

נוסחה שנייה לחישוב אינטגרל שורש
בנוסחה זו נשתמש כאשר ה x בתוך השורש הוא כפול מספר.

למשל:

אינטגרל לפונקציה מורכבת

לפונקציה מורכבת יש שתי נוסחאות אינטגרציה.
נוסחה אחת למצב שבו הנגזרת הפנימית היא ישר.
נוסחה שנייה עבור מצב שבו הנגזרת הפנימית אינה ישר.

נגזרת מורכבת שהפונקציה הפנימית היא משוואת ישר

אם (f  (x) = F ' (x
כלומר אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x.
או בניסוח אחר (f(x היא הנגזרת של (F (x

אז ניתן להשתמש בכלל האינטגרציה הבא:

אינטגרל של פונקציה מורכבת

למשל:
cos (4x -2) dx∫

פתרון
נזכור כי
cos x dx= sin x∫

במקרה שלנו m =4 ולכן הפתרון הוא:
cos (4x -2) dx = sin (4x -2) / 4∫

נגזרת מורכבת כאשר הנגזרת הפנימית אינה קו ישר

לא כל אינטגרל של פונקציה מורכבת נלמד לחשב בצורה הזו.
אלא רק אינטגרלים בהם יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.

הכלל בו נשתמש הוא:
אם אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x אז:

[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x

דוגמה 1 (פולינום)

פתרון
נשים לב ש 10x הוא הנגזרת הפנימית של הפונקציה הפנימית:
2x5 – 6
לכן זה מתאים לנו לנוסחה וחישוב האינטגרל יעשה כך:

תרגיל 2 (הוצאת קבוע)

פתרון
הנגזרת של הפונקציה הפנימית היא 3x²- ובחוץ יש לנו 7x².
מה עושים?
כאשר ההבדל בין מה שיש למה שאנו רוצים שיהיה הוא רק מספר ניתן להוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל על מנת להתאים את הפונקציה.

עכשיו בחוץ יש לנו את הנגזרת של הפונקציה הפנימית וניתן לחשב את האינטגרל.

נוסחאות אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות

1. אינטגרל של cosx:
cos x dx = sin x + c∫

2. אינטגרל של sinx:
sin x dx = -cox x + c∫

3.אינטגרלים של פונקציות מורכבות:
כאשר יש לנו פונקציה של ישר בתוך האינטגרל ניתן להשתמש בנוסחאות.
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת
כאשר יש לנו פונקציה של x בתוך sin:


4. אינטגרל נוסף:
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת

נוסחאות אינטגרל פונקציה מעריכית

עבור פונקציה פשוטה:
ex dx = ex + c∫

עבור פונקציה מורכבת:

 

נוסחאות לאינטגרל מערכי שבסיסו שונה מ e.

למשל:

עבור פונקציה מורכבת:

למשל:

נוסחאות אינטגרל לן

נוסחה 1
האינטגרל של    הוא  lnx :

דוגמה:

נוסחה 2
עבור אינטגרל לפונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה הוא קו ישר נשתמש בנוסחה:

דוגמה

נוסחה 3
עבור פונקציה מורכבת שאנו מזהים את הנגזרת הפנימית שלה באינטגרל:
(נוסחה הדרושה ב 5 יחידות בלבד).

דוגמה

אינטגרל של לן על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית

את היסודות למדנו בדף אינטגרל של לן.
כאן נלמד אינטגרלים הנחשבים קשים יותר ומתאימים לתלמידי 5 יחידות.

כאשר יש לנו אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה ניתן לחשב אינטגרל על פי הנוסחה:
[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x

כאשר אנו מדברים על אינטגרל של ln ניתן לכתוב את הנוסחה כך:

תרגילים

תרגיל 1

פתרון
המונה 2x הוא הנגזרת של המכנה.
לכן ניתן להשתמש בנוסחה:

תרגיל 2

פתרון
המונה הוא הנגזרת של המכנה.
לכן ניתן להשתמש בנוסחה ולקבל:

ln (x² – 3x + 1) + c

תרגיל 3

פתרון
הנגזרת של המכנה היא 8x³ + 12x.
ואין לנו את זה במונה לכן אסור לנו להשתמש בנוסחה כרגע.
נשים לב שהנגזרת של המכנה היא בדיוק פי 2 מהמונה.
לכן אם נוציא 2 מחוץ לאינטגרל נקבל במונה את מה שאנו צריכים.

עכשיו ניתן להשתמש בנוסחה ולחשב את האינטגרל:
0.5ln (2x4 + 6x²) + c

תרגיל 4

פתרון
הנגזרת של cos היא sin- לכן כרגע לא ניתן להשתמש בנוסחה.
אנו נוציא מינוס אחד מחוץ לאינטגרל ואז יהיה לנו מינוס במונה של האינטגרל.

עכשיו נחשב את האינטגרל ונקבל:

ln (cos x) + c-

עוד באתר:

אינטגרל מסוים

בחלק הקודם שלנו היה ללמוד כיצד לבצע אינטגרל של פולינום.
בדף זה נלמד כיצד לחשב אינטגרל מסוים. אינטגרל הנמצא בטווח מסוים.
בחלק הבא נלמד כיצד לחשב שטחים בעזרת אינטגרל.

כיצד לחשב אינטגרל מסוים

אינטגרל מסוים מחשבים בשני שלבים:

  1. מחשבים אינטגרל רגיל כפי שלמדנו קודם לכן (אבל לא רושמים את ה c).
  2. מציבים את הערכים שנמצאים מעל ומחת לאינטגרל. הערך העליון (הגדול יותר) מוצב עם סימן חיובי לפניו. הערך התחתון (הקטן יותר) מוצב אם סימן שלילי לפניו.

הנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים היא:

כאשר:
(f (x) dx = F(x∫

זה יהיה ברור יותר לאחר הדוגמאות.

דוגמה 1

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נציב את 3 עם סימן חיובי ואת המספר 1 אם סימן שלילי לפניו.
לאחר מיכן נחשב

4 = 0.5 – 4.5 = 1²*0.5 – 3² * 0.5
תשובה: השטח הוא 4 יחידות ריבועיות

דוגמה 2 (הצבה עם מינוס)

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נציב את 1 עם סימן חיובי ואת המספר 2- אם סימן שלילי לפניו.
לאחר מיכן נחשב

9 = 8 + 1 = ³(2-) – 1³
תשובה: השטח הוא 9 יחידות ריבועיות.

דוגמה 3 אינטגרל לשני ביטויים

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נשים לב שכאן אנו צריכים להציב כל פעם בשני איברים.
לכן נשים סוגריים סביב כל האיברים שאנו רוצים שבהם אנו מציבים 2.
כדי שהמינוס יהיה על כולם.

= (2 * 7 + 24 * 0.25 ) ( 5 * 7 + 54 * 0.25)
= (14 – 4) – (35 + 156.25)
201.25 = (10-) – (191.25)
תשובה: השטח הוא 201.25 יחידות ריבועיות.

דוגמה 4: (אינטגרל שתוצאתו יוצאת שלילית)

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נשים לב שכאן אנו צריכים להציב כל פעם בשני איברים.
לכן נשים סוגריים סביב כל האיברים שאנו רוצים שבהם אנו מציבים 5-.
כדי שהמינוס יהיה על כולם.

= (5- * 4 – ²(5-) * 2 ) ( (1-) * 4 –  ²(1-) * 2)
= (20 +  50) – (4 + 2)
64- = 70 – 6

קיבלנו שהשטח שלילי.
המשמעות של זה הוא שהשטח נמצא מתחת לציר ה x.
השטח הוא תמיד גודל חיובי, לכן השטח הוא 64 יחידות ריבועיות.

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
2x = x²∫

2.נבצע את החישוב:

תרגיל 2

פתרון

1.נמצא את האינטגרל:


2. נבצע את החישוב:


תרגיל 3

פתרון

1. נמצא את האינטגרל:


2. נבצע את החישוב:

תרגיל 4


פתרון

חיבור המספר '2' אינו קשור לאינטגרל.
לכן "נגרור" את החיבור הנ"ל לאורך התרגיל, אבל נבצע את החיבור לאחר פתרון האינטגרל,
ולאחר החיבור נקבל את התוצאה הדרושה.

1. נמצא את האינטגרל:

2. נבצע את החישוב:
(חשוב לזכור "לגרור" את החיבור של המספר '2' מחוץ לאינטגרל)



עוד באתר:

אינטגרל a: פונקציה מעריכית שבסיסה שונה מ e

עד עכשיו למדנו כיצד מבצעים אינטגרל לפונקציה מעריכית שבסיסה e.
למדנו גם כיצד לגזור פונקציית חזקה שבסיסה a.
בדף זה נלמד את הנוסחאות לאינטגרל מערכי שבסיסו שונה מ e.

למשל:

עבור פונקציה מורכבת:

למשל:

תרגילים

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון

תרגיל 3

פתרון

תרגיל 4

פתרון
על מנת לחשב את האינטגרל עלינו לפצל אותו לשני חלקים:

את הביטוי מימין ניתן גם לכתוב בצורה הזו:
(אל המינוס לא נתייחס אלא נוציא אותו בהמשך מחוץ לאינטגרל).

ועכשיו נחשב את האינטגרל:

תרגיל 5

פתרון
נכתוב את האינטגרל בצורה של חזקה ואז נחשב.

עוד באתר:

מציאת אינטגרל לפונקציה מורכבת על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית

בדף זה נלמד כיצד מחשבים אינטגרל של נגזרת מורכבת כאשר הנגזרת הפנימית אינה קו ישר.

לא כל אינטגרל של פונקציה מורכבת נלמד לחשב בצורה הזו.
אלא רק אינטגרלים בהם יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.

הכלל בו נשתמש הוא:
אם אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x אז:

[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x

מצד שמאל של המשוואה יש לנו פונקציה מורכבת כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית.
ומצד ימין את תוצאת האינטגרל.

דפים קשורים:

דוגמאות

דוגמה 1 (פולינום)

פתרון
נשים לב ש 10x הוא הנגזרת הפנימית של הפונקציה הפנימית:
2x5 – 6
לכן זה מתאים לנו לנוסחה וחישוב האינטגרל יעשה כך:

תרגיל 2 (הוצאת קבוע)

פתרון
הנגזרת של הפונקציה הפנימית היא 3x²- ובחוץ יש לנו 7x².
מה עושים?
כאשר ההבדל בין מה שיש למה שאנו רוצים שיהיה הוא רק מספר ניתן להוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל על מנת להתאים את הפונקציה.

עכשיו בחוץ יש לנו את הנגזרת של הפונקציה הפנימית וניתן לחשב את האינטגרל.

דוגמה 3 (טריגונומטרית)

פתרון
הנגזרת של cos x היא sin x-.
לכן על מנת שזו תהיה מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית שלה עלינו להוציא מינוס מחוץ לאינטגרל:

עכשיו נוכל להשתמש בנוסחה שלמדנו בדף זה:

דוגמה 4 (רציונלית)

פתרון
המונה 2x – 3 הוא הנגזרת הפנימית של הפונקציה שבמכנה.
לכן:

*הערה: שימו לב למינוס המופיע במונה של התשובה.
משוואה שיכולה לעזור בהבנת האינטגרל היא המשוואה הזו:

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון
הנגזרת של הפונקציה הפנימית היא 2x. לכן נוציא קבוע על מנת שנקבל אותה:

ועכשיו נמשיך לאינטגרל:

תרגיל 3

פתרון
הפונקציה הפנימית היא x² והנגזרת שלה היא 2x.
לכן ניתן להשתמש בנוסחה ונקבל:

תרגיל 4

פתרון
הנגזרת הפנימית היא 2x- ואין לנו את זה.
לכן נוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל:

ועכשיו נוכל להמשיך:

תרגיל 5

פתרון
הנגזרת של 2cosx- היא 2sinx.
לכן על מנת להתאים את התרגיל לנוסחה עלינו להוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל.

עכשיו אנו יכולים להשתמש בנוסחת האינטגרל של שורש.

תרגיל 6

פתרון
הנגזרת של sinx היא cosx- ולכן יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.
כמו כן:

לכן האינטגרל שלנו הוא:

למי שקשה עם האינטגרל הזה אני אזכיר כי:

אינטגרל של פונקציה מורכבת

יש שני סוגים לאינטגרל של פונקציה מורכבת:

  1. הפונקציה הפנימית היא קו ישר.
  2. הפונקציה הפנימית היא לא קו ישר.

בדף זה נלמד לפתור אינטגרלים בהם הפונקציה הפנימית היא קו ישר.

דפים קשורים:

שתי דרכים לחישוב אינטגרל

יש שתי דרכים לחישוב אינטגרל של פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא משוואת ישר.

  1. דרך אינטואיטיבית מעשית וקלה.
  2. על פי נוסחה. בדרך זו צריך להקפיד שהולכים על פי הנוסחה כי יש תרגילים מבלבלים (לדוגמה תרגיל 3 בחלק של התרגילים).

1.דרך אינטואיטיבית ומעשית

בדרך זו נבצע אינטגרל "מבלי להתייחס לכך שזו פונקציה מורכבת".
ולאחר מיכן נחלק בנגזרת הפנימית (המקדם של x).

למשל, חשבו את האינטגרל:

ללא התייחסות לפונקציה הפנימית האינטגרל הוא:

נחלק בנגזרת הפנימית (המקדם של x) ונקבל את התשובה הסופית.

ניתן דוגמאות נוספות על פי הפונקציות השונות.

דוגמה 1 (פולינום)

דוגמה 2 (רציונלית מורכבת)
כאשר יש לנו חזקה במונה נהפוך אותה לחזקה במכנה.

ועכשיו נעשה אינטגרל תוך התעלמות מהפונקציה הפנימית ולאחר מיכן נחלק במקדם של x שהוא 8 ונקבל את התשובה.

התשובה הסופית מימין

התשובה הסופית מימין

דוגמה 3 (שורש מורכבת)

באמצע שלב ביניים, מימין תשובה סופית

באמצע שלב ביניים, מימין תשובה סופית

דוגמה 4 (טריגונומטרית מורכבת)

הפתרון מימין

הפתרון מימין

2.חישוב אינטגרל דרך נוסחה

אם (f  (x) = F ' (x
כלומר אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x.
או בניסוח אחר (f(x היא הנגזרת של (F (x

אז ניתן להשתמש בכלל האינטגרציה הבא:

אינטגרל של פונקציה מורכבת

כלומר, על מנת לחשב אינטגרל נעשה אינטגרל לפונקציה החיצונית ונחלק בנגזרת של הפונקציה הפנימית.

הפעולות שנבצע כאן הן בדיוק אותן פעולות שביצענו בדרך האינטואיטיבית, אלא שבדרך האינטואיטיבית נצמדנו להיגיון ולידע שלנו ואילו כאן אנו נצמדים לנוסחה.

למשל:
cos (4x -2) dx∫

פתרון
נזכור כי
cos x dx= sin x∫

במקרה שלנו m =4 ולכן הפתרון הוא:
cos (4x -2) dx = sin (4x -2) / 4∫

3 הערות:

1.נוסחה זו מופיעה בדף הנוסחאות בבגרות.
2.שימו לב שאנו עושים כאן (ולא במקרה) בדיוק את הפעולה ההפוכה למה שעשינו בנגזרת של פונקציה מורכבת.
בנגזרת של פונקציה מורכבת אנו מכפילים בנגזרת הפנימית ואילו כאן אנו מחלקים בנגזרת הפנימית.
זה הכלל של גזרת מורכבת (כלל השרשרת):
(f (g(x) ]' = f ' (g(x) * g ' (x]
3. אני באופן אישי פותר שאלות מהסוג הזה בעזרת ההיגיון ולא בעזרת הכלל. ואלמד אותכם כיצד עושים זאת.
במקרים מסוימים ההיגיון פשוט יותר מהכלל.

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
נזכור כי הנוסחה של אינטגרל שורש רגיל היא:

אינטגרל לפונקציית שורש

לכן על מנת לחשב את האינטגרל שלנו נעשה בדיוק את אותו דבר, רק שגם נחלק ב m = 3.

הערה
לפונקציית שורש יש נוסחה עבור אינטגרל מורכב דרכה אנו יכולים לבצע באופן ישיר את האינטגרל (אבל הנוסחה הזו לא מופיעה בדף הנוסחאות).

תרגיל 2
(sin (2x + 5∫

פתרון
נזכור כי:
sin x =  – cosx + c∫
לכן נעשה בדיוק אותו דבר, רק נחלק ב m = 2.

תרגיל 3
7x – 1)³ dx)∫

פתרון
חלק ממכם בוודאי יפתרו את התרגיל בצורה הבאה:

אבל זה לא נכון.
זה לא נכון הנגזרת של 7x – 1) 4)
היא לא7x – 1)³).
אלה היא:

לכן כפעולה המקדימה לאינטגרל עלינו להוציא את המספר 4 מחוץ לסוגריים בצורה הזו:

וחישוב האינטגרל המלא יראה כך:

תרגיל 4

פתרון
כאשר יש לנו קבוע שמפריע לנו לבצע את האינטגרל על פי הנוסחה נוציא את הקבוע מחוץ לאינטגרל בצורה הזו.

ואז נחשב את האינטגרל על פי הנוסחה:

כיצד ניתן לחשב את האינטגרלים האלו ללא נוסחה

אני מחשב אינטגרלים מהסוג הזה בעזרת ההיגיון ולא בעזרת הנוסחה.
הבנת ההיגיון, בניגוד לשימוש בנוסחה על ידי הצבה ללא הבנת ההיגיון תוכל לעזור לכם לדעת שאתם לא טועים בהצבה בנוסחה וגם תעזור לכם לפתור אינטגרלים של פונקציות מורכבות בהם הפונקציה הפנימית אינה קו ישר.

אני אפתור כאן את אותם תרגילים המופיעים למעלה בעזרת ההיגיון:

תרגיל 1

פתרון
נכתוב את התרגיל בצורה של חזקה.

דבר ראשון שנחשוב עליו הוא החזקה.
איזו חזקה אנו נגזור ונגיע אל חזקת 0.5- ?
חזקת 0.5
לכן נרשום את הבסיס לתשובה שלנו:

3x -1)0.5)

ועכשיו מה מפריע לנו בביטוי הזה כאשר נגזור אותו?
מפריע לנו שכאשר נגזור אותו יהיה לנו 0.5 * 3 במונה.
בגלל החזקה ובגלל המקדם של x.
הנגזרת של הביטוי כמו שהוא היא:

לכן עלינו לחלק את הביטוי ב 0.5 * 3.
וזו תהיה התשובה:

תרגיל 2

(sin (2x + 5∫

פתרון
אנחנו חייבים שיהיה לנו בפתרון
(cos(2x + 5

וכאשר נגזור את זה מה נקבל?

לכן עלינו לחלק ב 2- על מנת לקבל את התשובה הנכונה.

תרגיל 3
7x – 1)³ dx)∫

פתרון
אנו חושבים קודם כל על החזקה. לכן ברור שאנו צריכים את הביטוי בתוך הסוגריים בחזקת 4.

7x – 1) 4)

מה נקבל שנגזור את הביטוי הזה?

כלומר יש לנו 7*4 מיותרים.
לכן נחלק ב 4*7 והתשובה היא:

* דרך הפתרון של תרגיל 4 דומה מאוד לדרך של תרגיל 1.

אינטגרל מסוים וחישוב שטחים לפונקציית שורש

בדף אינטגרל של פונקציית שורש למדנו לחשב אינטגרלים.
כאן נלך צעד נוסף ונלמד לחשב אינטגרל מסוים ולאחר מיכן נפתור תרגילי חישוב שטחים.

אינטגרל מסוים

הנוסחה הבסיסית לחשוב אינטגרל מסוים היא:

תרגיל 1

פתרון
נהפוך את השורש לפונקציית פולינום:

נבצע אינטגרל, ונציב את התחומים.


תרגיל 2

פתרון

בתרגיל זה יש לנו פונקציה מורכבת בתוך השורש.
הפונקציה היא  f(x) = x + 1.
לכן נציב f(x) = t , כלומר x + 1 = t
נגזור את שני האגפים, נקבל:
dx = dt

הערה: מכיוון שזהו אינטגרל מסוים , גבולות האינטגרל גם ישתנו בהתאם להצבה.

נציב באינטגרל:

נפתור את האינטגרל לפי t :


תשובה:

חישובי שטחים

תרגיל 3
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה:   ,
לבין הישר:  .

נתון כי נקודות החיתוך הן  x1 = 3 , x2 = 6.

פתרון

השטח חסום מלמטה ע"י הישר , ומלמעלה ע"י הפונקציה.
לכן ניתן לבטא את השטח באמצעות חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
נקודות החיתוך בין הפונקציה לישר נתונות לנו בשאלה.
לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

חישוב האינטגרל:
א. הצבה:
נרצה להשתמש בהצבה t = x – 2.
לכן נסדר את הביטוי בצורה הבאה:

(אם נפתח חזרה את הסוגריים נקבל בדיוק אותו ביטוי).

כעת נציב: t = x – 2.
dx = dt.
יש לזכור לשנות את הגבולות בהתאם.
נקבל:

ב. פתרון האינטגרל לפי t :


כצפוי, קיבלנו מספר שלילי , מכיוון שהשטח נמצא מתחת לציר x.
לכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 1.

תרגיל 4
חשבו את השטח המוגבל ע"י הפונקציה f(x) = 1/√x ,
הישרים y = 1 , y = 0.5 ,  וציר y.

פתרון

בתרגיל זה אנו צריכים לחלק את השטח לשני שטחים נפרדים.
זאת מכיוון שהוא חסום ע"י יותר מפונקציה אחת.
1. מלבן – חסום ע"י הישרים  y = 1, y = 0.5.
2.שטח חסום בין הישר לפונקציה –  חסום ע"י הפונקציה f(x) = 1/√x והישר y = 0.5.

קודם כל נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה לישרים (אנו נזדקק להן):
א. עם הישר y = 1:

x = 1√
x = 1

ב. עם הישר y = 0.5:

x = 2√
x = 4

נחשב כל שטח בנפרד – התשובה תהיה סכום השטחים:

1. מלבן :
על מנת לחשב את שטח המלבן לא נצטרך לבצע אינטגרל.
(ניתן לחשב ע"י אינטגרל, אבל במקרה זה אין צורך)
נשתמש בנוסחה לשטח מלבן :  גובה*בסיס = S

 שטח המלבן הוא : S1 = 1*0.5 = 0.5

 

2. השטח החסום בין הישר לפונקציה :
נקודות החיתוך הן : x = 1 , x = 4

לכן השטח ניתן לחישוב ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח הכלוא:


לכן S2 = 0.5

חישבנו כל שטח בנפרד – רק נשאר לנו לסכום את שני השטחים.
לכן השטח הכולל הוא :
Stot = S1 + S2 = 0.5 + 0.5 = 1

תשובה : השטח החסום הוא 1.

תרגיל 8

מעבירים לפונקציה משיק בנקודה x = 0.
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק, והישר x = 8.

פתרון

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = 0 בפונקציה.

f(0) = √(0+1) = 1

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (0 , 1)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.

נציב את x = 0 בנגזרת הפונקציה:
f ' (0) = 1/2
כלומר: m = 1/2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y= m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 1 = 0.5*(x – 0
y – 1  = 0.5x
y = 0.5x +1

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק , נחשב את השטח הכלוא.
השטח חסום מלמטה ע"י הישר , ומלמעלה ע"י הפונקציה.
לכן ניתן לבטא את השטח באמצעות חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
גבולות האינטגרל הם x = 0 (נק' ההשקה) והישר x = 8.

לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

חישוב האינטגרל:
א. הצבה:

נציב:  x + 1 = t
ואז מתקיים : x = t – 1.
dx = dt.

הערה: יש לזכור לשנות את הגבולות בהתאם להצבה.

נציב באינטגרל ונקבל:

ב. חישוב האינטגרל לפי t:

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 6.6667.

 

תרגיל 4  (עם פרמטר)

א. הביעו באמצעות הפרמטר c את השטח הכלוא בין הפונקציה, ציר x , והישרים   : x = 4 , x = 7.
ב. נתון כי השטח הנ"ל שווה ל – 2 . מצאו את c.

(הערה: הניחו כי הפונקציה מוגדרת בתחום הדרוש).

פתרון

א. השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל ע"י הצבה:
נציב:  t = x + c
מתקיים : dx = dt.
גבולות האינטגרל משתנים בהתאם:
-התחתון – 4 + c
-העליון –  7 + c

נציב באינטגרל ונקבל:

נפתור את האינטגרל לפי t :


ב. מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 2.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:



נעלה בריבוע את שני האגפים , נפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר:



נעלה בריבוע את שני האגפים:
c + 4 = 1

תשובה: c = -3

עוד באתר:

אינטגרל שורש על פי נוסחה

  • בדף זה נלמד לבצע אינטגרל לפונקציית שורש על פי שתי נוסחאות.
  • דרך נוספת לביצוע אינטגרל היא על ידי הפיכת השורש לפולינום, דרך זו מוסברת בדף אינטגרל פונקציית שורש.
  • שתי הנוסחאות לא מופיעות בדף הנוסחאות של הבגרות ואם תרצו להשתמש בהן עליכם לזכור אותן בעל פה.

נזכור כי הנוסחה לחישוב נגזרת שורש היא:

נגזרת פונקציית שורש

נגזרת פונקציית שורש

על בסיס נוסחה זו הנוסחה לאינטגרל של פונקציית שורש היא:

אינטגרל לפונקציית שורש

כאשר יש לנו קבוע כפול האינטגרל נוציא את הקבוע מחוץ לאינטגרל על ידי שימוש בכלל:

קבוע כפול אינטגרל

למשל:

נוסחה שנייה לחישוב אינטגרל שורש
בנוסחה זו נשתמש כאשר ה x בתוך השורש הוא כפול מספר.

למשל:

תרגילים

8 תרגילים.
תרגילים 1-3 נפתרים על ידי הנוסחה הראשונה.
תרגילים 4-8 נפתרים על ידי הנוסחה השנייה.

הנוסחה הראשונה היא:

אינטגרל לפונקציית שורש

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון

תרגיל 3

פתרון

תרגילים הנפתרים על ידי הנוסחה השנייה

הנוסחה השנייה היא:

תרגיל 4

פתרון

תרגיל 5

פתרון

תרגיל 6

פתרון

תרגיל 7

פתרון

תרגיל 8

פתרון

עוד באתר:

אינטגרל של פולינום חישובי שטחים

למדנו כיצד מחשבים אינטגרל ואינטגרל מסוים בדף אינטגרל של פולינום.
בדף זה נתקדם הלאה ונלמד כיצד מחשבים שטחים בעזרת אינטגרל.

חישוב שטח הכלוא מתחת גרף הפונקציה – בעזרת אינטגרל:

אחד השימושים העיקריים של האינטגרל , הוא מציאת השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה.
איך עושים זאת?
1. בשאלות מסוג זה , תהיה נתונה לנו פונקציה, ושני ישרים אשר מקבילים לציר y.
2. על מנת למצוא את השטח – נשתמש באינטגרל מסוים.
3. באינטגרל מסוים – הכוונה היא שהגבולות של האינטגרל יהיו מספרים – אותם נציב לאחר מציאת הפונקציה הקדומה.
המספרים בגבולות האינטגרל יהיו הישרים אשר דיברנו עליהם בסעיף 1. – הם בעצם הישרים אשר קובעים את            גבולות השטח שלנו , לכן הם נקראים "גבולות האינטגרל".
4. השלבים :
א.  נמצא את הפונקציה הקדומה לפונקציה המקורית ( כלומר, נבצע אינטגרציה).
ב.  נציב את הגבולות בפונקציה הקדומה.
ראשית, נציב את הגבול העליון , ולאחר מכן נחסר ממנו את הגבול התחתון.

ובצורה פורמלית:

הסבר גרפי כיצד מחשבים סוגים שונים של אינטגרלים

תרגילים

  1. תרגילים 1-2 הם תרגילים פשוטים.
  2. תרגילים 3-4 הם תרגילי חישוב שטחים הנמצאים מעל או מתחת לציר ה x.
  3. תרגיל 5 הוא בנושא שטח מעל ומתחת לציר ה x.
  4. תרגילים 6-7 הם תרגילי שטחים בין שני פונקציות.
  5. תרגילים 8-9 הם חישוב שטחים מורכבים.
  6. תרגילים 10-11 הם חישוב אינטגרל עם פרמטרים.

1. חישוב שטחים פשוטים

תרגיל 1
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה y = x, ציר ה- x והישרים x = 1, x = 3.

פתרון

1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

האינטגרל הוא:
x = x² / 2

2. חישוב השטח (פתרון התרגיל):

תשובה: השטח הכלוא הוא 4 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) =x³ + 4, ציר ה- x והישרים x = -1, x= 2

פתרון
1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

2. האינטגרל של הפונקציה הוא:

3. חישוב השטח:

נציב מספרים בתוך האינטגרל:

נבצע פעולות בתוך הסוגריים ונפתח סוגריים:

תשובה: לכן השטח הכלוא הדרוש הוא  15.75.

2. שטח מעל או מתחת ציר ה- x

תרגיל 3
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) = -x² + 4, וציר ה- x (מעל ציר ה- x).

פתרון
1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x:
על מנת לחשב את השטח עלינו למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
נציב y = 0
נקבל:
x2 + 4 = 0-
x2 = 4
x = ± 2
לכן : a = -2  , b = 2.

2. מציאת האינטגרל:

3. חישוב השטח:

נבצע פעולות בתוך הסוגריים ונפתח סוגריים.

תשובה: לכן השטח הכלוא הדרוש הוא  10.666 .

תרגיל 4
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) = x² – 6x ,  וציר ה- x (מתחת לציר ה- x).

פתרון
1.מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x:
על מנת לחשב את השטח עלינו למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
נציב y = 0
נקבל:
x2 – 6x = 0
x*(x-6) = 0
x1 = 0, x2 = 6
לכן : a = 0  , b = 6.
(יש להקפיד על כך שהגבול העליון יהיה בערכו יותר גדול מהתחתון).

2. נחשב את האינטגרל:

3. חישוב השטחים :



בתוך הסוגריים שני הביטויים שווים ל 0.
לכן נישאר עם:

כצפוי, קיבלנו מספר שלילי – מכיוון שמצאנו שטח שהוא מתחת לציר x.
לכן ניקח את השטח בערך מוחלט (אין דבר כזה שטח שלילי).

תשובה: השטח הכלוא הדרוש הוא  36 .

3. שטח מעל ומתחת ציר ה x

תרגיל 5
לפונקציה f (x) = x³ – 9x יש 3 נקודות חיתוך עם ציר ה- x.  חשבו את השטח המוגבל בין הפונקציה וציר ה x.

פתרון
בתרגיל זה יש לנו 2 שטחים נפרדים שעלינו לחשב.
הראשון – מעל ציר ה – x.
השני – מתחת לציר ה – x.
לכן נצטרך לחשב כל אחד מהשטחים בנפרד – והתשובה תהיה סכום השטחים.

1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה- x.
נציב y =0
נקבל:
x3 – 9x = 0
x*(x2 – 9) = 0
x (x+3)(x-3) = 0
למשוואה זו יש 3 פתרונות:
x1 = 0,  x2 = 3,   x3 = -3

2. מציאת האינטגרל (פונקציה קדומה):

3. חישוב השטחים:

השטח השמאלי נתון על ידי האינטגרל:


השטח הימני נתון על ידי האינטגרל:



כצפוי (מכיוון שהשטח מתחת לציר x), המספר של השטח השני שלילי. לכן ניקח את ערכו המוחלט.

לסיכום :
S1  = 20.25
S2  = 20.25

 תשובה: השטח החסום : 40.5

4. שטחים בין שתי פונקציות

השטח הכלוא בין הפונקציות הוא בעצם השטח שכלוא מתחת לפונקציה העליונה,                                            כאשר מחסרים ממנו את שטח הפונקציה התחתונה.
לכן , בתרגילים מסוג זה נפעל לפי השלבים הבאים:
1. נזהה איזה גרף של איזו פונקציה.
2. נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציות.
3. נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה.
4. נמצא את השטח הכלוא מתחת לפונקציה שמצאנו (לאחר החיסור).

 

תרגיל 6
חשבו את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות
f (x) = x² – 4x + 4 ו- g(x) = -x² + 6x + 4.

פתרון

נפעל לפי השלבים לעיל:
1. נזהה את הפונקציות :
במקרה זה, ניתן לראות כי אחת הפרבולות היא "מחייכת" , והשנייה "עצובה".
לכן יהיה ניתן לזהות את הפונקציות עפ"י המקדם של x2.
לכן – הפונקציה העליונה היא: g(x) = -x² + 6x + 4  – מכיוון שזוהי פרבולה "עצובה" – וזוהי העליונה בגרף.
והתחתונה – f (x) = x² – 4x + 4 – מכיוון שזוהי פרבולה "מחייכת" – וזוהי התחתונה בגרף.

2.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
x2 – 4x + 4 = -x2 + 6x + 4
2x2 – 10x = 0
2x*(x – 5) = 0
x1 = 0 , x2 = 5

3. חיסור הפונקציות:
נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה :
= (g(x) – f(x) = -x2 + 6x + 4 – (x2 – 4x + 4
= x2 + 6x + 4 – x2 + 4x – 4- =
2x2 + 10x- =

4. חישוב השטח:

א. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ב. חישוב השטח הכלוא:


 תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 41.6667.

תרגיל 7
חשבו את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות
f (x) = x² + 6  ו- g(x) = 5x.

פתרון
נפעל לפי השלבים לעיל:
1. נזהה את הפונקציות : 
במקרה זה, ניתן לראות כי אחת הפונקציות היא פרבולה, והשנייה קו ישר.
לכן – הפונקציה העליונה היא: g(x) = 5x  – קו ישר.
והתחתונה – f (x) = x² + 6 – פרבולה.

2.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
x2 + 6 = 5x
x2 – 5x + 6 = 0
פירוק לגורמים:
x – 3)*(x – 2) = 0)
x1 = 2 , x2 = 3

3. חיסור הפונקציות:
נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה:
= (g(x) – f(x) = 5x – (x2 + 6
x2 + 5x – 6- =

4. חישוב השטח:
א. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ב. חישוב השטח הכלוא:

נבצע פעולות בתוך הסוגריים ונפתח סוגריים (כאן שתי הפעולות נעשות ביחד).


 תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 1/6.

5. שטחים מורכבים

תרגיל 8
חשבו את השטח שבין  f(x) = 0.5x²  , x = – 4    ו- y=4.5   וציר ה- x.

פתרון
בתרגיל זה אנו צריכים לחלק את השטח לשני שטחים נפרדים.
זאת מכיוון שהוא חסום ע"י יותר מפונקציה אחת.
1. מלבן – חסום ע"י הפונקציה y = 4.5 , והישרים : x= -3 , x = -4.
2.שטח חסום מתחת לפרבולה –  חסום ע"י הפונקציה f(x) = 0.5x², והישרים: x = -3 , x = 0.
נחשב כל שטח בנפרד – התשובה תהיה סכום השטחים:

1. מלבן :
על מנת לחשב את שטח המלבן לא נצטרך לבצע אינטגרל.
(ניתן לחשב ע"י אינטגרל, אבל במקרה זה אין צורך)
נשתמש בנוסחה לשטח מלבן :  גובה*בסיס = S
במקרה שלנו :
-גובה = 4.5   (המלבן נמצא בין ציר ה-x לבין הישר y = 4.5).
-בסיס = 1  (בסיס המלבן נמצא בין x = -4 ל – x = -3).
לכן שטח המלבן הוא : S = 1*4.5 = 4.5

2. פרבולה :
א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח הכלוא:

חישבנו כל שטח בנפרד – רק נשאר לנו לסכום את שני השטחים.
שטח המלבן 4.5
השטח השני 4.5
לכן השטח הכולל הוא :
Stotal = 4.5 + 4.5 = 9

תשובה : השטח החסום הוא 9.

תרגיל 9
לפונקציה f(x) = -x² – 4x – 6 מעבירים משיק ב- x = -3.
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, המשיק והצירים.

פתרון
1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = -3 בפונקציה.
3-  =  f(-3)  =  -(-3)2 – 4*-3 – 6  =  -9 + 12 – 6
לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (-3 , – 3)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = -2x – 4
נציב את x = – 3 בנגזרת הפונקציה:
f ' (-3) = 6 – 4 = 2
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק :
(y-y0 = m*(x-x,
כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.

נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
((y – (-3) = 2*(x – (-3
y + 3  = 2x + 6
y = 2x + 3

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק, נחשב את השטח הכלוא.
ניתן לראות לפי השרטוט שמדובר בשני שטחים מעט שונים:
א. שטח שחסום ע"י הפונקציה.
ב. שטח בין הפונקציה למשיק.
נחשב כל שטח בנפרד:

א. השטח הכלוא ע"י הפונקציה : (הימני)
השטח כלוא בין הישר x = 0 לבין הישר x = -1.5 (נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x).
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

נחשב את השטח הכלוא: 


נבצע את הפעולות בתוך הסוגריים וגם נפתח את הסוגריים ואז נקבל:

השטח נמצא מתחת לציר x , לכן כצפוי קיבלנו מספר שלילי.
ניקח את המספר בערכו המוחלט כדי לקבל את השטח :
S1 = 5.625

ב. השטח שכלוא בין הפונקציה למשיק :
1. נקודות החיתוך : השטח אותו נרצה לחשב נמצא בין נקודת ההשקה ,
לבין נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x (כי משם והלאה כבר חישבנו את השטח).
כבר מצאנו את נקודות אלה, ולכן :
a = -3 , b = -1.5

2. חישוב השטח הכלוא:
השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח:

נבצע את הפעולות בתוך הסוגריים וגם נפתח את הסוגריים ואז נקבל:

לכן השטח השני : S2 = 1.125 .

נחשב את סכום השטחים:
S1 = 5.625
S2 = 1.125

Stottal = 5.625 + 1.125 = 6.75

תשובה: השטח החסום : 6.75.

6. אינטגרל עם פרמטרים

תרגיל 10
נתונה הפונקציה y = x² + cx.  נתון c > 0.

  1. הביעו באמצעות c את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, הצירים והישר x = 4.
  2. מצאו את c אם ידוע שהשטח המוגבל בין הפונקציה, הישר x = 4 וציר ה- x הוא 61.333

פתרון
1.השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

2. נחשב את האינטגרל



תשובה: לכן השטח הכלוא (כתלות בפרמטר c) הוא: 
8c + 64/3

סעיף ב – מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 61.333.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
8c + 64/3 = 61.333
8c = 40
c = 5
תשובה: c=5

תרגיל 11
נתונה הנגזרת: f ' (x) = 3x² + 6.
השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ( f (x, הצירים והישר x= 6 הוא 450.
מצאו את הפונקציה שהנגזרת שלה נתונה בשאלה.

פתרון
1. מציאת הפונקציה ע"י ביצוע אינטגרל:

נתונה לנו הנגזרת , ונרצה למצוא את הפונקציה.
לכן הפעולה שעלינו לעשות היא אינטגרציה.
לכן:

הוספנו את הקבוע c מכיוון שמדובר באינטגרל לא מסוים. (לא נתונים הגבולות של האינטגרל).

2. מציאת הקבוע ע"י חישוב השטח:
כדי לקבוע מהו הקבוע c , נשתמש בנתון השני – לגבי השטח הכלוא.
נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) = x³ + 6x+ c, הצירים והישר x= 6 הוא 450.
לכן נמצא את השטח הנ"ל כתלות בקבוע c , ונשווה אותו ל-450.
כך נקבל מהמשוואה את ערכו של c.

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח הכלוא:



ג. בניית משוואה על מנת למצוא את c.
מצאנו את השטח הכלוא כתלות בפרמטר c.
כעת נשווה אותו עם השטח הנתון 450.

6c + 432 = 450
6c = 18
c = 3

לכן הפונקציה היא:
f(x) = x³ + 6x+ 3

עוד באתר:

אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות

בדף זה 5 חלקים:

  1. כללי אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריות.
  2. 7 דוגמאות מהירות לחישוב אינטגרל.
  3. 16 תרגילים – חישוב אינטגרלים בכל הרמות.
  4. חישוב אינטגרל מסוים.
  5. חישוב שטחים (כולל פרמטרים).

דפים קשורים באתר:

1.כללי אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריות

כללים לביצוע אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות:

1. אינטגרל של cosx:
cos x dx = sin x + c∫

2. אינטגרל של sinx:
sin x dx = -cox x + c∫

3.אינטגרלים של פונקציות מורכבות:
כאשר יש לנו פונקציה של ישר בתוך האינטגרל ניתן להשתמש בנוסחאות.
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת
כאשר יש לנו פונקציה של x בתוך sin:


4. אינטגרל נוסף:
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת

הערה : כאשר יש לנו פונקציה טריגונומטרית שכפולה במספר קבוע , נוציא את המספר מחוץ לאינטגרל על פי הכלל:
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

2.חישובי אינטגרל מהירים

בחלק זה נראה 7 חישובים של אינטגרל ללא הסברים.

דוגמה 1
3cosx dx = 3sin x + c∫

דוגמה 2
6sinx dx = -6cosx + c∫

דוגמה 3
sin x – 5cos x dx = -cosx -5sinx + c∫

דוגמה 4
3sin x + 0.5cos x dx = 3cosx + 0.5sinx + c-∫

דוגמה 5

דוגמה 6

דוגמה 7

3.תרגילים

תרגילים 1-6 כוללים פונקציות טריגונומטריות פשוטות.
תרגילים 7-10 כוללים פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא קו ישר.
תרגילים 10-16 כוללים אינטגרל על פי זיהוי הנגזרת הפנימית.
תרגילים 17-18 הם האינטגרלים של sin²x,  cos²x

בחלק הראשון נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   5cos x dx∫
  2.   3sin x dx∫
  3.   sin x – 4cos x dx-∫
  4.   0.2sin x + 3cos x dx∫
  5.   0.5cos x – 2.4sin x + 3x² dx∫

6.

בחלק השני נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   cos 8x dx∫
  2.   sin (5x -20) dx∫
  3.   7sin 2x dx∫
  4.   7sin (-4x + 30) dx∫

בחלק השלישי נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   sin²x cos x dx∫
  2.   sin x cos³x dx∫
  3.   sin4 3x cos 3x dx∫
  4.   5sin (x²) * x dx

פתרונות

תרגיל 1
5cos x dx∫

פתרון
נוצא את המספר 5 מחוץ לאינטגרל.
כמו כן נשתמש בנוסחה לאינטגרל של cosx :
5cos x dx = 5*∫cos x = 5sinx + c∫

בפתרון זה השתמשנו בנוסחאות:

  • cos x dx = sin x + c∫
  • k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

תרגיל 2
3sin x dx∫

פתרון
נוצא את המספר 5 מחוץ לאינטגרל.
כמו כן נשתמש בנוסחה לאינטגרל של cosx :
3sin x dx = 3*∫sin x = 3 * (-sin x) + c∫
3sin x + c-

תרגיל 3
sin x – 4cos x dx-∫

פתרון
נחלק את האינטגרל לשני אינטגרלים נפרדים.
sin x – 4cos x dx = ∫ -sin x dx+ ∫ -4cos dx-∫

נחשב כל אינטגרל בנפרד:
sin x dx = – (-cos x) + c = cosx + c-∫
4cos dx = -4sinx + c-∫

ולכן האינטגרל הוא:
sin x – 4cos x dx = cos x – 4sinx + c-∫

תרגיל 4
0.2sin x + 3cos x dx∫

פתרון
נחלק את האינטגרל לשני אינטגרלים נפרדים.
0.2sin x + 3cos x dx = ∫0.2sin x dx +∫3cosx dx∫

נחשב כל אינטגרל בנפרד:
0.2sin x dx = -0.2cos x + c∫
3cosx dx = 3sinx + c∫

ולכן האינטגרל הוא:
0.2sin x + 3cos x dx = -0.2cos x + 3sin x + c∫

תרגיל 5
0.5cos x – 2.4sin x + 3x² dx∫

פתרון
נחלק את האינטגרל ל 3 אינטגרלים נפרדים ונחשב אותם:
0.5cos x dx= 0.5sin x + c∫
2.4sin x dx = 2.4cos x + c-∫
3x² dx = x³ + c∫

ולכן האינטגרל הוא:
0.5cos x – 2.4sin x + 3x² dx = 0.5sin x + 2.4cos x + x³ + c∫

תרגיל 6

פתרון
נזכור את נוסחת האינטגרל:
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת

ולכן הפתרון שלנו הוא:

אינטגרל של פונקציה מורכבת
כאשר הפונקציה הפנימית היא קו ישר

בדף אינטגרל של פונקציה מורכבת יש הסבר מפורט ווידאו כיצד מחשבים אינטגרל מסוג זה.
כאן נגיד שניתן לחשב את האינטגרל בעזרת:
1. ההיגיון
2. הנוסחה
אינטגרל של פונקציה מורכבת

וכאשר הפונקציה היא sin הנוסחה נראית כך:
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת

וכאשר הפונקציה היא cos הנוסחה נראית כך:
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת

  • נגזרת מורכבת – על מנת לחשב אינטגרל מסוג זה עליכם לדעת לגזור היטב נגזרת מורכבת.

דוגמה:
cos 4x dx∫

פתרון
איזו פונקציה נגזור ונקבל cos 4x?
הפונקציה חייבת לכלול sin 4x.
ועל מנת שכאשר נגזור לא ישאר לנו 4 מיותר נחלק ב 4 (4 הוא ה m בנוסחאות שלמעלה).

לכן:
cos 4x dx = (sin 4x / 4) + c∫

בחלק השני נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   cos 8x dx∫
  2.   sin (5x -20) dx∫
  3.   7sin 2x dx∫
  4.   7sin (-4x + 30) dx∫

תרגיל 7
cos 8x dx∫

פתרון
cos 8x dx = (sin 8x / 8) + c∫

תרגיל 8
sin (5x -20) dx∫

פתרון

תרגיל 9
7sin 2x dx∫

פתרון
זו פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא קו ישר.
7sin 2x dx = 7(-cos 2x) / 2∫

תרגיל 10
7sin (-4x + 30) dx∫

פתרון
זה אינטגרל מורכב של פונקציית הסינוס.

אינטגרל של פונקציה מורכבת 
עם זיהוי בנגזרת הפנימית

חלק זה מיועד לתלמידי 5 יחידות.
כאשר יש לנו פונקציה מורכבת שהנגזרת הפנימית שלה היא לא קו ישר אנו ננסה לחשב את האינטגרל באמצעות זיהוי הנגזרת הפנימית.
על פי כלל האינטגרציה הבא:
[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x

בחלק זה נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   sin²x cos x dx∫
  2.   sin x cos³x dx∫
  3.   sin4 3x cos 3x dx∫
  4.   5sin (x²) * x dx

תרגיל 11
sin²x cos x dx∫

פתרון
הנגזרת של sin x היא cos x ולכן יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה ואנו יכולים להשתמש בנוסחה.

תרגיל 12
sin x cos³x dx∫

פתרון
נשים לב שהנגזרת של cos x היא sinx- ולא sin x.
לכן אין לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.
מה שנעשה זה להוסיף מינוס בתוך האינטגרל ומחוץ לאינטגרל כך שמכפלתם תהיה חיובית ולא תשנה את ערך האינטגרל.

sin x cos³x dx = – ∫-sinx cos³x dx∫

עכשיו יש לנו מכפלה של פונקציה (cosx) בנגזרת הפנימית שלה (sinx-) וניתן לחשב את האינטגרל:

תרגיל 13
sin4 3x cos 3x dx∫

פתרון
אם ברצוננו להשתמש בנוסחה בתרגיל זה עלינו לדאוג שהנגזרת של
sin 3x תהיה בתוך האינטגרל.
הנגזרת היא:
cos3x * 3
כלומר חסר לנו 3 ואנו נוסיף אותו בתוך האינטגרל ולכן גם נוסיף 0.33 מחוץ לאינטגרל.

ועכשיו יש לנו פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה וניתן להשתמש בנוסחה.

תרגיל 14 (בשילוב פולינום)
5sin (x²) * x dx

פתרון
הנגזרת הפנימית של sin x² היא 2x.
כרגע יש לנו 5x בתוך האינטגרל.
נדאג שבתוך האינטגרל יהיה ביטוי שגודלו 2x.
ולכן נוציא 2.5 מחוץ לאינטגרל.

5sin (x²) * x dx= 2.5∫sin(x²) * 2x dx∫

עכשיו יש לנו בתוך האינטגרל פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה וניתן להשתמש בנוסחה.
5sin (x²) * x dx = -2.5cos(x²) + c∫

תרגיל 15 (בשילוב רציונלית)

פתרון
נשים לב שהנגזרת הפנימית של cos2x היא 2sin2x-.
לכן נכתוב את התרגיל בצורה הזו, שבה יש פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.

עכשיו ניתן להשתמש בנוסחה ולפתור את האינטגרל:

תרגיל 16 (בשילוב שורש)

פתרון
נשים לב שהנגזרת של cos5x היא 5sinx-.
לכן נדאג שנגזרת זו תהיה בתוך האינטגרל.

עכשיו יש לנו פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה וניתן להשתמש בנוסחה.

אינטגרלים של sin²x,  cos²x

תרגיל 17
כיצד נחשב את האינטגרל:
sin²x dx∫

פתרון
התשובה
sin³x / 3
תהיה טעות.
כי הנגזרת של הביטוי הזה היא:
sin³x / 3) ' = 3sin²x * cos x / 3)

לכן על מנת לבצע את האינטגרל עלינו למצוא דרך "להיפתר" מהחזקה של הסינוס.
נעשה זאת בעזרת זהויות טריגונומטריות.

הזהות הזאת מתקבלת מהשילוב של שתי הזהויות:
sin² x + cos²x = 1
cos 2x = cos²x – sin²x

לאחר שנעשה שימוש בזהות האינטגרל יהיה:

sin²x dx = ∫0.5 – 0.5xcos 2x dx∫
0.5x – 0.25sin 2x + c

תרגיל 18
cos²x dx∫

פתרון
על בסיס הזהויות הטריגונומטריות
sin² x + cos²x = 1
cos 2x = cos²x – sin²x

נקבל:

לכן האינטגרל הוא:
cos²x dx = ∫0.5 + 0.5cos 2x dx∫
0.5x + 0.25cos 2x + c

4. אינטגרל מסוים

תרגיל 1

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
cosx = sinx∫
(אין צורך להוסיף קבוע , מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

2.נבצע את החישוב:


תשובה: 1

הערה: בפתרון השאלה השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1. f(x)  = cosx
2. a = 0 , b = π/2

תרגיל 2

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
(זהו שילוב של פונקציה טריגונומטרית עם פולינום – אנו יודעים לבצע אינטגרל)
2sinx + 2x dx = -2cosx + x² ∫
(אין צורך להוסיף קבוע , מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

2.נבצע את החישוב:

תשובה: π2 + 4

הערה: בפתרון השאלה השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1. f(x)  = 2sinx + 2x
2. a = 0 , b = π

5.חישובי שטחים

תרגיל 1
חשבו את השטח שחסום ע"י הפונקציה:  f(x) = cosx + 0.5 ,
והישרים : x = π/3 , x = 2π/3.

פתרון

1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

האינטגרל הוא:
cosx+0.5 dx = sinx + 0.5x ∫

2. חישוב השטח (פתרון התרגיל):

תשובה: השטח הכלוא הוא π/6.

תרגיל 2
חשבו את השטח שבין (f(x) = sin(2x , והישר y = √2/2.
בתחום : 

פתרון

1.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
sin(2x) = √2/2
(2x = arcsin(√2/2
בתחום שלנו ישנן 2 אפשרויות:
א..   2x = π/4
x1 = π/8
ב. 2x = 3π/4
x2 = 3π/8

2. חישוב השטח:

א. השטח המבוקש נתון ע"י:

(ביצענו חיסור בין השטחים על מנת לקבל את השטח הכלוא בין הפונקציות).

ב. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ג. חישוב השטח הכלוא:


תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 0.1517.

תרגיל 3
לפונקציה f(x) = sinx מעבירים משיק בנק' x = π/2.
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק, והישר x = π.

פתרון

  1. נמצא את משוואת המשיק:
    על מנת למצוא את נקודת ההשקה, נציב x = π/2 בפונקציה f(x) = sinx.
    f(π/2) = sin(π/2) = 1
    לכן נקודת ההשקה היא  (1 , π/2).שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
    לכן נגזור את הפונקציה:
    f ' (x) = cosx.
    נציב בנגזרת x = π/2 על מנת למצוא את השיפוע:
    f ' (π/2) = cos(π/2) = 0
    לכן השיפוע: m = 0. (כלומר, ישר המקביל לציר x).נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y= m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
    נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
    (y – 1 = 0*(x – π/2
    y  – 1 = 0
    y = 1
    2. חישוב השטח הכלוא:
    השטח מוגבל מתחת לישר y = 1 (המשיק) ומעל הפונקציה f(x) = sinx.
    השטח מוגבל משמאל ע"י נקודת ההשקה – x = π/2 , ומימין ע"י הישר x = π.
    לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:
    א. חישוב האינטגרל:
    ב. חישוב השטח:

    תשובה: השטח הכלוא הוא 0.571.

חישוב שטח עם פרמטר

תרגיל 4
(f(x) = 2cos(3x
א. הביעו באמצעות c את השטח הכלוא מתחת לפונקציה, בין הישרים x = 0, x = c.
ב. נתון כי השטח הנ"ל שווה ל – 1/3.  מצאו את c.

הערה : הניחו כי :    

פתרון

א. השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

1. חישוב האינטגרל:

2.חישוב השטח:


ב.מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 1/3.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
1/3 = 2/3 * (sin (3c
נחלק את המשוואה ב – 2/3.
sin(3c) = 1/2
ידוע כי  sin (π/6) = 1/2. לכן:
3c = π/6
c = π/18

תשובה לסעיף ב':  c = π/18

עוד באתר: