ארכיון הקטגוריה: טרפז

טרפז שווה שוקיים שאלכסוניו מאונכים

בטרפז שווה שוקיים שלכסונין מאונכים ניתן להוכיח כי המשולשים BOC,  AOD הם משולשים שווה שוקיים שהזוויות שלהם הן 90,45,45.
ולאחר שעושים את זה ניתן לענות על מגוון שאלות בנושא.

לפני שאתם רואים את ההוכחה כאן אני מציע לכם לנסות להוכיח את הדבר בעצמכם.
והרמז שלכם לביצוע ההוכחה הוא שצריך פעם אחת להוכיח חפיפת משולשים ואז להשתמש בזוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

ההוכחה בקצרה:

  1. ABC ≅ DCB משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.
  2. ACB = DBC זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

ההוכחה המלאה:

  1. B = C  זווית בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות.
  2. AB = DC השוקיים בטרפז שווה שוקיים שוות.
  3. BC צלע משותפת.

ABC ≅ DCB משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.

מכוון שהמשולשים חופפים:
ACB = DBC  (זוויות מתאימות בין משולשים חופפים)
לכן משולש BOC הוא משולש שווה שוקיים.
ומכוון שסכום שתי הזוויות הללו הוא 90 אז כל אחת מהזוויות הללו צריכה להיות 45.

לאחר שהוכחנו את זה ניתן גם להוכיח שמשולש AOD הוא 90,45,45 על ידי זוויות מתחלפות.
(או ניתן להוכיח את זה ישירות על ידי חפיפת המשולשים BAD ≅ CAD).

תרגיל לדוגמה

לאחר שמצאנו את זה נוכל לענות על מגוון שאלות, למשל:

הוכיחו כי בטרפז שווה שוקיים שאלכסוניו מאונכים הגובה שווה למחצית סכום הבסיסים.

פתרון
נעביר דרך הנקודה O את הגובה EF לבסיס BC.
מכוון שבסיסי הטרפז מקבילים EF הוא גובה גם לבסיס AD.

אם נסתכל על משולש BFO נראה ש:
BOF = 45
ולכן משולש BOF הוא משולש שווה שוקיים שבו:
BF = OF

באותה צורה נוכל להוכיח במשולש CFO ש:
CF = OF
משני השוויונות הללו אנו מגיעים למסקנה ש:
BC = 2OF

באותה צורה נוכל להוכיח במשולשים העליונים:
AD = 2AE.

לכן
20F + 2AE = BC + AD
(OF + AE = 0.5(BC + AD

עוד באתר:

הוכחת טרפז שווה שוקיים

כיצד מוכיחים שמרובע הוא טרפז שווה שוקיים?

בשלב הראשון מוכיחים שהמרובע הוא טרפז על ידי מציאת שני ישרים מקבילים במרובע ושני ישרים שאינם מקבילים. הוכחת הישרים המקבילים נעשית לרוב על ידי מציאת זוויות מתאימות שוות או מתחלפות שוות או שימוש בצלעות שכבר ידוע שהן מקבילות (למשל

בשלב השני מוכיחים את אחד מהדברים הבאים:

  1. שהשוקיים שוות.
  2. שהזוויות ליד אחד מבסיסי הטרפז שוות.
  3. שהאלכסונים שווים.

כל אחד מהדברים הללו מוכיח שטרפז הוא טרפז שווה שוקיים.

ואלו בדיוק המשפטים שאושרו לשימוש בבגרות ללא הוכחה:

  1. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  2. טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
  3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
  4. טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.

תכונות ומשפטים של טרפז שווה שוקיים

עוד באתר:

 

תרגילים

תרגיל 1

בטרפז ABCD מתקיים ACD = ∠BDC∠.
הוכיחו כי הטרפז הוא שווה שוקיים.

טרפז, שרטט התרגיל

פתרון

נוכיח כי האלכסונים של הטרפז  שווים.
על ידי הוכחה כי יש כאן שני משולשים שווי שוקיים.

  1. OD = OC במשולש מול זוויות שוות נמצאו צלעות שוות. (חלק יכתבו משולש שבו זוויות הבסיס שוות הוא שווה שוקיים). (משולש שווה שוקיים אחד).
  2. ACD = ∠BAC, ∠BDC =∠ABD∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. AO=BO  במשולש מול זוויות שוות נמצאו צלעות שוות. (משולש שווה שוקיים שני).
  4. CA = CO + AC
  5. DB = DO + OB
  6. CA=DB נובע מ 1,3,4,5.
  7. ABCD טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו האלכסונים שווים הוא טרפז שווה שוקיים.

תרגיל 2

(דומה לתרגיל 1).

במלבן ABCD מעבירים את הישרים DE ו CE הנפגשים מחוץ למלבן בנקודה E.
DE=CE.
הישר DE חותך את הצלע AB בנקודה F, והישר CE חותך את AB בנקודה G.
הוכיחו כי מרובע DFGC הוא טרפז שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. FG מקביל ל DC. צלעות נגדיות במלבן (או חלק מיהן) מקבילות אחת לשנייה.
  2. DF ו CG הן צלעות לא מקבילות כי הן נפגשות בנקודה E.
  3. DFGC הוא טרפז. מרובע שיש בו זוג צלעות מקבילות הוא טרפז.
  4. EDC משולש שווה שוקיים (נתון).
  5. EDC = ∠ECD∠ במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס שוות.
  6. DFGC הוא טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו זוויות הבסיס שווה הוא טרפז שווה שוקיים.

תרגיל 3

בטרפז שני האלכסונים הם חוצה זוויות של זוויות הבסיס הגדול.
הוכיחו כי הטרפז הוא טרפז שווה שוקיים.

הוכחת טרפז שווה שוקיים, שרטוט התרגיל

פתרון

פתרון התרגיל נשען על העובדה שחוצה זווית בין ישרים מקבילים יוצר משולש שווה שוקיים.

  1. נגדיר BDC = ∠BDA = X∠
  2. DBA = ∠BDA = X∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. AB=AD מול זוויות שוות במשולש ABD נמצאות צלעות שוות.

עכשיו נעשה את אותו הדבר במשולש CBA.

  1. נגדיר ACD = ∠ACB = Y∠
  2. ACD = ∠CAB = Y∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. BC = BA מול זוויות שוות במשולש CBA נמצאות צלעות שוות.

AD = BC נובע מכלל המעבר וסעיפי 3 שלמעלה. לכן הטרפז הוא טרפז שווה שוקיים.

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים ABC (הצלעות AB=AC) מעבירים שני גבהים BD, CE.
BD⊥AC,   CE⊥AB.
הוכיחו כי המרובע DEBC הוא טרפז שווה שוקיים.

טרפז, שרטט התרגיל

פתרון

בשלב ראשון נוכיח חפיפת משולשים DBC ≅ ECB

  1. BDC = ∠CEB= 90∠ נתון.
  2. B=∠C∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. ECB = 180-90-∠B∠  סכום הזוויות במשולש ECB שווה ל 180 מעלות.
  4. DBC = 180-90-∠C∠ סכום הזוויות במשולש DBC שווה ל 180 מעלות.
  5. ECB = ∠DBC∠ נובע מ 3,4.
  6. BC צלע משותפת למשולשים ECB ו DBC.
  7. DBC ≅ ECB חפיפת משולשים על פי ז.צ.ז. (נובע מ 2,5,6).

חלק שני, נוכיח טרפז:

  1. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. AB=AC נתון.
  3. AD = AC – DC = AB- EB = AE ולכן ADE הוא משולש שווה שוקיים עם זוויות בסיס שוות.
  4.  C = (180 – ∠A) / 2 = ∠ADE∠
  5. CB מקביל ל DE. אם זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים (נובע מ 4).
  6. CD ו BE אינם מקבילים כי הם נפגשים בנקודה A.
  7. DEBC טרפז. מרובע שיש בו זוג צלעות מקבילות הוא טרפז.

חלק שלישי, נוכיח טרפז שווה שוקיים:

  1. DBC ≅ ECB הוכחנו בחלק הראשון.
  2. BD = CE צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  3. DEBC טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו האלכסונים שווים הוא טרפז שווה שוקיים.

טרפז חסום במעגל או טרפז חוסם מעגל

הדבר הידוע והבסיסי ביותר בנושא טרפז חסום במעגל הוא שאם טרפז חסום במעגל אז הטרפז הוא שווה שוקיים.
נוכיח זאת.

תרגיל

מרובע ABCD הוא טרפז החסום במעגל.
הוכיחו: AB =DC.

הוכחה: אם טרפז חסום במעגל אז הטרפז הוא שווה שוקיים

הוכחה: אם טרפז חסום במעגל אז הטרפז הוא שווה שוקיים

הוכחה בוידאו

הוכחה כתובה

  1. נעביר AC בניית עזר.
  2. BCA = ∠CAD∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. AB = DC זוויות היקפיות שוות נשענות על מתרים שווים.

התכונה הפחות ידועה היא התכונה ההפוכה;
אם במרובע החסום במעגל יש שתי צלעות נגדיות שוות אז שתי צלעותיו האחרות מקבילות.
נוכיח זאת על ידי הישענות על המשפט "אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים"

תרגיל

מרובע ABCD חסום במעגל. AD = AB.
הוכיחו AD מקביל ל BC.

שרטוט התרגיל

הוכחה

  1. BCA = ∠CAD∠  מול מיתרים שווים במעגל נמצאות צלעות שוות.
  2. AD מקביל ל BC אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.

תרגיל בנושא טרפז חוסם מעגל

טרפז ABCD חוסם מעגל.
האלכסון AC הוא חוצה זווית.
ידוע כי CD = 1.5AB
הצלע AD גדולה מהצלע AB ב 4 סנטימטר.
חשבו את אורך צלעות הטרפז.

שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון: עלינו להגדיר את הגודל של ארבעת הצלעות בעזרת משתנה אחד.
לאחר מיכן נבנה משוואה בעזרת המשפט "סכום צלעות נגדיות במרובע שווה לסכום הצלעות השני במרובע".

פתרון

שלב 1: הגדרת משתנה והגדרת צלעות באמצעותו
נגדיר AB = X.
הסיבה שבחרנו את AB היא בגלל שקל להגדיר באמצעותו צלעות אחרות.
לכן CD = 1.5X
AD = AB + 4 = X + 4

שלב 2: הגדרת הצלע DC
הגדרנו שלוש צלעות בעזרת המשתנה X.
הצלע החסרה לנו היא צלע DC.
נראה כיצד הנתון ש AC הוא חוצה זווית עוזר לנו לפתור את התרגיל.
נגדיר:
BCA = ∠DCA = a∠  בגלל ש AC הוא חוצה זווית.
CAB = ∠ DCA∠   זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
BC = AB = X  במשולש ADC זוויות הבסיס שוות לכן המשולש הוא משולש שווה שוקיים.

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
נסכם את גדלי הצלעות:
AD = X + 4
BC = X
AB = X
CD = 1.5X
סכום זוג צלעות נגדיות במרובע החוסם מעגל שווה לסכום השני. לכן:
AD + BC = AB + DC
X+4 + X = X +1.5X
2X + 4 = 2.5X / -2X
0.5X = 4  / *2
X = 8

תשובה: גדלי הצלעות הם:
AD = X + 4 =12
BC = X = 8
AB = X  = 8
CD = 1.5X = 12

פתרון וידאו:

עוד באתר:

  1. מרובע חסום במעגל – מידע נוסף ותרגילים.
  2. מרובע חוסם מעגל – מידע נוסף ותרגילים.
  3. טרפז – מידע נוסף על הצורה.
  4. מעגל או מרובעים – תכונות נוספות של המרובעים הללו.
  5. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  6. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

היקף טרפז

היקף טרפז שווה לסכום צלעות הטרפז.
נהוג לסמן היקף של צורה באות P.

אם אורך צלעות הטרפז הן a,b,c,d אז היקף הטרפז הוא P=a+b+c+d.

אם אורך צלעות הטרפז הן a,b,c,d אז היקף הטרפז הוא P=a+b+c+d.

לדוגמה:
בטרפז אורכי הצלעות הן AB=4, BC=6, CD=10, DA=5.
מה היקפו של הטרפז?

פתרון
סכום ארבעת הצלעות:
P = 5+10+6+4 = 25
תשובה: היקף הטרפז 25 ס"מ.

בשאלות רבות משלבים בין היקף הטרפז לשטח הטרפז. זו הנוסחה של שטח טרפז:

שטח טרפז שווה לסכום בסיסי הטרפז כפול גובה הטרפז לחלק ב 2.

שטח טרפז שווה לסכום הבסיסים של הטרפז כפול הגובה לחלק ב 2.
בסיסי הטרפז הן הצלעות המקבילות של הטרפז.

תרגילים

תרגיל 1: חישוב היקף על פי הנוסחה
בטרפז שווה שוקיים אורך שוק הטרפז BC היא 4 ס"מ. אורך הבסיס הקטן AB הוא 3 ס"מ. אורך הבסיס הגדול CD הוא 7 ס"מ.
א)חשבו את היקף הטרפז.
ב) אם ידוע כי אורך הגובה בטרפז הוא 3 ס"מ. חשבו את שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

פתרון
מכוון שהטרפז שווה שוקיים שתי השוקיים של הטרפז שוות ל 4 ס"מ.
BC = AD =4
ולכן היקף הטרפז הוא:
P = 4+4+3+7 = 18
תשובה: היקף הטרפז הוא 18 ס"מ.

שטח הטרפז
סכום בסיסי הטרפז הוא:
AB+BC = 3+7=10
שטח הטרפז:
S = (10 *3) /2 = 30/2 =15
תשובה: שטח הטרפז 15 סמ"ר.

תרגיל 2
בטרפז ישר זוויות אורכי הצלעות הם 2,3,4,7
חשבו את היקף ושטח הטרפז.

פתרון
ההיקף הוא סכום הצלעות.
P= 7 + 3 + 4 + 2 = 16
תשובה: היקף הטרפז הוא 16 סמ"ר.

בטרפז ישר זווית הצלע BC היא גם הגובה של הטרפז.
לכן השטח הוא:

תשובה: שטח הטרפז הוא 11 סמ"ר.

תרגיל 3: היקף הטרפז ידוע צריך לחשב אורך של צלע בטרפז
היקף של טרפז שווה שוקיים הוא 20 ס"מ.
אורך הבסיס הגדול של הטרפז הוא CD=8 ס"מ.
אורך שוק הטרפז היא BC=3 ס"מ.
חשבו את אורך הבסיס הקטן של הטרפז.

פתרון
שוקי הטרפז בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה:
BC=AD =3.

אורך שלושת הצלעות שאנו יודעים הוא:
14 = 8 + 3 + 3
היקף הטרפז כולו הוא 20.
לכן הצלע החסרה צריכה להוסיף:
6 = 14 – 20

אורך הבסיס הקטן הוא 6 סנטימטר.

תרגיל 4: חישוב היקף של צורה משולבת של טרפז ומלבן
אורך צלעותיו של טרפז הן:
AB=6, BC = 10, CD = 14, DA = 6.
על הבסיס הגדול של הטרפז בנו מלבן שאורך אחת מצלעותיו היא 4 ס"מ.
חשבו את היקף הצורה המשותפת שנוצרה.

שרטוט התרגיל

פתרון
צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
נשלים בשרטוט את אורכי צלעות המלבן.

סימון אורכי כל הצלעות על הצורה המשולבת וסימון הנקודה ממנה אנו מתחילים לחבר את הצלעות

סימון אורכי כל הצלעות על הצורה המשולבת וסימון הנקודה ממנה אנו מתחילים לחבר את הצלעות

נסמן בחץ האדום את הנקודה ממנה מתחילים לחבר את הצלעות של היקף הצורה המשולבת.
P = 14+4+6+6+10+4 = 44
תשובה: היקף הצורה המשולבת הוא 44 ס"מ.

שימו לב כי את הצלע CD לא חישבנו בהיקף הצורה כי היא לא נמצאת בהיקף.

עוד באתר:

זוויות בטרפז

לדף זה 3 חלקים:

  1. תכונות של זוויות בטרפז.
  2. תכונות של זוויות בטרפז שווה שוקיים.
  3. תרגילים.

1.תכונות של זוויות בטרפז

1.זוויות הנמצאות ליד אותה שוק משלימות ל 180 מעלות.

תכונה זו נובעת מכך ששני הבסיסים של הטרפז הם ישרים מקבילים. והזוויות שנמצאות על אותה שוק הן זוויות חד צדדיות.

זוויות על אותה שוק בטרפז משלימות ל 180 מעלות

2. האלכסונים בטרפז יוצרים זוויות מתחלפות שוות

אלכסוני הטרפז יוצרים שני זוגות של זוויות מתחלפות שוות

2.תכונות של זוויות בטרפז שווה שוקיים

טרפז שווה שוקיים כולל את כל התכונות של טרפז רגיל + תכונות נוספות.

3. בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו

זה משפט שניתן להשתמש שבו מבלי להוכיח אותו.

בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו

4. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים 4 זוויות השוות זו לזו

את התכונה ש זווית 1=3 ו 2=4 צריך להוכיח. ואת זה עושים על ידי חפיפת משולשים.
ABC ≅ DCB על פי צ.ז.צ.

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים 4 זוויות השוות זו לזו

 

3. תרגילים

תרגיל 1
האם המרובעים הללו יכולים להיות טרפז? קבעו זאת על פי גדלי הזוויות.

1. האם מרובע שבו זוויות צדדיות שוות ל 70 ו 110 יכול להיות טרפז? 2. האם ממרובע שבו אין מידע על זוויות לאורך אותה שוק הוא טרפז? 3. האם מרובע שבו זוויות מתחלפות אינן שוות הוא טרפז.

פתרון

  1. כן. זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות זו תכונה של ישרים מקבילים. לכן המרובע יכול להיות טרפז.
  2. לא ניתן לדעת אם מרובע זה הוא טרפז משום שאין מידע על זוויות הנמצאות על אותה שוק.
  3. לא טרפז. בטרפז זוויות מתחלפות שוות זו לזו. ועל פי השרטוט זווית מתחלפת אחת שווה ל 30 ואחרת ל 40.

תרגיל 2
ידוע כי המרובעים המשורטטים כאן הם טרפז.
האם הם טרפז שווה שוקיים? נסו לקבוע זאת על פי גדלי הזוויות.

1. האם טרפז שזוויות הבסיס אינן שוות זו לזו יכול להיות טרפז שווה שוקיים. 2. האם טרפז שבו זוויות נגדיות אינם משלימות ל 180 מעלות יכול להיות טרפז שווה שוקיים? 3. האם טרפז שבו האלכסונים יוצרים עם אותו בסיס זוויות שאינן שוות יכול להיות טרפז שווה שוקיים?

  1. לא. אם זוויות הבסיס אינן שוות זו לזו טרפז לא יכול להיות שווה שוקיים.
  2. לא. אם הטרפז היה שווה שוקיים שתי זוויות הבסיס היו צריכות שוות ל 40 ובבסיס העליון שתי הזוויות היו צריכות להיות 140 מעלות. לכן זווית של 120 מעלות בבסיס העליון ו 40 בבסיס התחתון אינה אפשרית בטרפז שווה שוקיים.
  3. לא. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים עם אותו בסיס זוויות שוות.

עוד באתר:

  1. טרפז – מידע מקיף ומלא.
  2. טרפז שווה שוקיים – מידע מקיף ומלא.
  3. אלכסונים בטרפז – מידע על תכונות נוספות.
  4. שטח טרפז – כיצד מחשבים + תרגילים.

תכונות טרפז וטרפז שווה שוקיים

לדף זה שני חלקים. בחלק הראשון נרשום את תכונות הטרפז במרוכז ובצורה שנוח ללמוד אותם בעל פה. לאחר מיכן יובאו שרטוטים המסבירים את תכונות הטרפז.

מונחים בסיסיים בטרפז

  1. בסיסי טרפז – אלו הצלעות בטרפז שמקבילות אחת לשנייה. בטרפז יש בסיס גדול ובסיס קטן.
  2. שוקי הטרפז – אלו הצלעות בטרפז שאינן מקבילות זו לזו

שרטוט של בסיסים ושוקיים

תכונות טרפז

  1. לטרפז שתי צלעות מקבילות זו לזו.
    נובע מכך ששתי זוויות שנמצאות על אותה שוק משלימות ל 180 מעלות.
  2. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
  3. שטח הטרפז שווה לסכום הבסיסים כפול הגובה לחלק ב 2.
  4. סכום הזוויות בטרפז הוא 360 מעלות (כמו בכול מרובע).

הערה
אם מבקשים ממכם להוכיח שמרובע הוא טרפז הדבר היחידי שעליכם להוכיח הוא שיש במרובע זוג אחד של צלעות מקבילות ושהזוג השני אינו מקביל. צלעות מקבילות מוכיחים על ידי מציאת זוויות מתחלפות או מתאימות שוות.

  • תרגילים ומידע נוסף על טרפז תמצאו בדף טרפז.
  • שטח טרפז תרגילים ומידע נוסף.

תכונות טרפז שווה שוקיים

  1. השוקיים שוות זו לזו.
  2. זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  3. האלכסונים שווים זה לזה.

אם מבקשים ממכם להוכיח שמרובע הוא טרפז שווה שוקיים עליכם להוכיח שהמרובע הוא טרפז (על ידי מציאת צלעות מקבילות) ולאחר מיכן להוכיח שבטרפז יש אחת מהתכונות הרשומות למעלה: שהשוקיים שוות או האלכסונים שווים או שהאלכסונים שווים זה לזה.

  • תרגילים ומידע נוסף תמצאו בדף טרפז שווה שוקיים.
  • תכונות הטרפז שהוזכרו כאן הן התכונות המרכזיות וניתן להשתמש בהן במבחני הבגרות ללא הוכחה. לטרפז יש תכונות נוספות הקשורות בעיקר לאלכסונים ומידע עליהן בדף אלכסונים בטרפז.

שרטוטים של תכונות הטרפז 

זוויות על אותה שוק בטרפז משלימות ל 180 מעלות

קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם

שטח טרפז שווה לסכום בסיסי הטרפז כפול גובה הטרפז לחלק ב 2.

 

תכונות טרפז שווה שוקיים

תכונות ומשפטים לטרפז שווה שוקיים

עוד באתר:

  1. טרפז – מידע מקיף ומלא.
  2. טרפז שווה שוקיים – מידע מקיף ומלא.
  3. זוויות בטרפז – תכונות הזוויות בטרפז.
  4. אלכסונים בטרפז – מידע על תכונות נוספות.
  5. שטח טרפז – כיצד מחשבים + תרגילים.

נספח

שאלה בסיסית שכולם צריכים לדעת לפתור

בשאלה בסיסית זו עליכם לבנות משוואה בעזרת תכונות הטרפז.
שאלה זו לא דורשת שימוש במשפטי טרפז כלשהם והיא חוזרת על עצמה הרבה מאוד פעמים בשאלות על טרפז וצורות נוספות.
אם אתם תלמידי כיתה ח ומעלה ואתם מתחילים את דרככם שאלה זו היא חובה.

9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר מראש

בסרטון וידאו זה תכירו 9 מצבים נפוצים בנושא טרפז שהיכרות מוקדמת איתם תעזור לכם לפתור שאלות.
הסרטון מומלץ לתלמידי כיתה ט ומעלה

שטח טרפז שווה שוקיים

שטח טרפז שווה שוקיים מחשבים כמו כל שטח טרפז: סכום הבסיסים כפול הגובה לחלק ב 2.

אבל מה שמיוחד בטרפז שווה שוקיים הן 2 בניות עזר המאפשרות לחשב את השטח גם כאשר יש מעט נתונים יחסית.

שטח טרפז שווה לסכום בסיסי הטרפז כפול גובה הטרפז לחלק ב 2.

 

2 בניות עזר שעוזרות לחשב שטח טרפז שווה שוקיים

אלו בניות עזר שעוזרות במיוחד בטרפז שווה שוקיים – אבל הן עוזרות ומשתמשים בהם גם בטרפז שאינו שווה שוקיים.
הן מסייעות גם בטרפז לחישובים אחרים מלבד שטח.

בניית עזר של גבהים

בניית עזר של שני גבהים היוצאים מקודקודי בסיס הטרפז הקטן  אל הבסיס הגדול יוצרת מלבן + שני משולשים חופפים.

בניית עזר של גבהים בטרפז שווה שוקיים

את יצירת המלבן והמשולשים החופפים יש להוכיח בבחינה ולא להשתמש בהם כתכונה של טרפז שווה שוקיים.

פירוט הוכחת המלבן

  1. AEF=∠DFE=90∠ – נתון DF ו AE הם גבהים.
  2. ADF=180-∠EFD=90 – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל 180 מעלות.
  3. מרובע שיש בו 3 זוויות של 90 מעלות הוא מלבן.

פירוט הוכחת המשולשים החופפים:

  1. DC=AB – נתון ABCD הוא טרפז שווה שוקיים.
  2. C=∠B∠ – בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.כל מה שנותר לעשות הוא להוכיח כי FDC=∠EAB∠. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים:
  3. A=∠D∠ – זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים שוות.
  4. EAB=∠A-90∠
  5. FDC=∠D-90∠
  6. FDC=∠EAB∠ – נובע מסעיפים 3,4,5.דרך שנייה היא להתייחס אל FDC , ∠EAB∠ כאל זוויות המשלימות ל 180 מעלות במשולשים החופפים.
  7. FDC=180-90-∠C∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔFDC.
  8. EAB=180-90-∠A∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔEAB
  9. FDC=∠EAB∠ – נובע מסעיפים 7,8,2.

בניית עזר של מקבילית בתוך הטרפז

כאשר אנו מעברים מהבסיס הקטן קו המקביל לאחד משוקי הטרפז אנו מקבלים מקבילית – זה נכון לכל טרפז. בטרפז שווה שוקיים אנו מקבלים בנוסף משולש שווה שוקיים.

בניית עזר של מקבילית בתוך טרפז

בבחינה אי אפשר להשתמש בתכונות המקבילית והמשולש השווה שוקיים מבלי להוכיח אותם.

פירוט הוכחת המקבילית:

  1. AD מקביל ל BC – בסיסי הטרפז מקבילים זה לזה.
  2. AE מקביל ל DC – נתון (כך עשינו את בניית העזר).
  3. AECD מקבילית – מרובע שיש לו שתי זוגות צלעות מקבילות הוא מקבילית.

פירוט הוכחת משולש שווה השוקיים:

הוכחה זו נשענת על כך שכבר בוצעה הוכחה של מקבילית.

  1. DC=AB – שוקיים שוות בטרפז שווה שוקיים.
  2. DC=AE – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. AB=AE – נובע מסעיפים 2 ו 3.

תרגילים

מצורפים שני תרגילים. בכול אחד מהתרגילים תדרשו לבניית עזר אחרת. התרגילים מתאימים לתלמידי כיתה ט ומעלה.

שאלה: בניית עזר של גבהים

נתון טרפז שווה שוקיים AD מקביל ל- BC.
A = 135∠.
DE הוא גובה לצלע BC.
EC = 4 ס"מ.
AD = 33  ס"מ.

מצאו את שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון:

הדרך לפתור את התרגיל

  1. נמצא את גובה הטרפז:
    B  = 180 – ∠A = 45∠    – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל- 180 מעלות.
  2. C = ∠B = 45∠  – בטרפז שווה שוקיים הזווית הנמצאות ליד אותו בסיס שוות.
  3. EDC  = 180-90-45=45 ∠  – זוויות משלימה ל 180 מעלות במשולש EDC.
  4. EDC = ∠C∠  – נובע מ- 2 ו- 3.
  5. ΔDEF  שווה שוקיים DE=CE=4   – נובע מ- 4.נמצא את FB:
  6. נוריד גובה AF לצלע BC.
  7. ΔAFB ≅ ΔDEC  – על פי ז.צ.ז. (בבחינה נדרש פירוט נוסף).
  8. FB=EC=4  – צלעות מתאימות במשולשים חופפים.נמצא את EF:
  9. AF מקביל DE  – אם חותך יוצר זוויות מתאימות שוות (זווית F וזוויות E השוות ל- 90 מעלות) אז הישרים מקבילים.
  10. מרובע ADEF הוא מקבילית  – מרובע שיש בו שתי זוגות של ישרים מקבילים הוא מקבילית.
  11. FE=AD=3 ס"מ.  – במקבילית ADEF צלעות נגדיות שוות.
  12. BC = BF+FE+EC = 4+3+4=11.
  13. שטח הטרפז הוא: 56/2  = 2/(AD + BC) * DE / 2) = (11+3) * 4
    =288 סמ"ר.

שאלה 4: בניית עזר של מקבילית בטרפז

נתון טרפז שווה שוקיים שאורך הבסיס הקטן שלו הוא AD=10 ס"מ אורך כל אחת מהשוקיים היא AB=DC=14 ס"מ. אורך הגובה הוא 12 ס"מ.

חשבו את שטח הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון:

  1. נעביר את AF כך ש- AF יקביל ל- DC.
  2. AD מקביל ל- CF   –   נתון, המרובע ABCD טרפז.
  3. נובע מ- 1 ו- 2 שמרובע AFCD הוא מקבילית   – מרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  4. CF=AD=10 ס"מ.     –  צלעות מקבילות במקבילית שוות זו לזו.
  5. AF=DC=AB.
  6. משולש ABF שווה שוקיים   – נובע מ- 5.
  7. במשולש ABF נוריד גובה ותיכון AE    –  במשולש שווה שוקיים הגובה הוא גם תיכון.
  8. במשולש AEF על פי פיתגורס AF²=EF²+AE².
    14²=EF²+12²
    EF²=14²-12²=52
    EF=שורש 52 = 7.2
  9. BF=BE+EF=2EF = 2* 7.2=14.4  –  נובע מ- 7.
  10. BC=BF+FC=14.4+10 = 24.4  – נובע מ – 9 ו- 4.
  11. שטח הטרפז   2 / (24.4 + 10) * 12 =2 / 12*34.4 = 206.4  סמ"ר.

עוד באתר:

  1. טרפז ו טרפז שווה שוקיים, קטע אמצעים בטרפז– מידע מפורט על הצורות.
  2. שטח מקבלית, שטח עיגול, שטח משולש.

אלכסונים בטרפז וטרפז שווה שוקיים

בדף זה נלמד על תכונות האלכסונים בטרפז.
לדף 4 חלקים:

  1. תכונות שקיימות בכול סוגי הטרפזים.
  2. תכונות הקיימות בטרפז שווה שוקיים.
  3. תכונות הקשורות לשטחי המשולשים הנוצרים על ידי האלכסונים.
  4. תרגילים.

לאורך הדף מספר סרטונים שההסבר שלהם הוא על אותו תוכן המופיע בכתב.

יש שתי תכונות קשורות לאלכסונים וקיימות בכול סוגי הטרפזים.
את שתי התכונות הללו יש להוכיח כל פעם שמשתמשים בהן.

1.בכול סוגי הטרפזים האלכסונים יוצרים זווית מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.

הזוויות האדומות והזוויות הירוקות שוות זו לזו כי הן זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים

הזוויות האדומות והזוויות הירוקות שוות זו לזו כי הן זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים

תכונה 2: משולשים AOD ∼ COB.

הוכחה:
כפי שראינו בשני המשולשים הללו יש שתי זוויות מתחלפות שוות
OCB = ∠ OAD.     ∠OBC = ∠ODA∠
לכן AOB ∼ COD על פי ז.ז.

בנושא טרפז תוכלו ללמוד באתר גם:

ונושאים נוספים:

2. תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

לאלכסונים בטרפז שווה שוקיים יש 4 תכונות. את התכונה הראשונה (אלכסונים שווים באורכם) היא משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה בבחינת הבגרות.
את שלושת התכונות האחרות צריך להוכיח על מנת להשתמש בהם בבחינת הבגרות.
ההוכחות למשפטים הללו מופיעים בסוף הדף.

1.בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
את התכונה הזו אין צורך להוכיח וניתן להשתמש בה כמשפט.
"אם טרפז שווה שוקיים אז האלכסונים שווים".
וגם במשפט ההפוך:
"אם בטרפז האלכסונים שווים אז הטרפז שווה שוקיים".

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה

2. בטרפז שווה שוקיים אלכסוני הטרפז יוצרים עם הבסיסים 4 זוויות השוות זו לזו.
זו תכונה שיש להוכיח כל פעם שמשתמשים בה.
הוכחה:
נוכיח כי  ACB ≅ DBC

  1. AB = DC  בטרפז שווה שוקיים השוקיים שוות זו לזו.
  2. BC  צלע משותפת לשני המשולשים.
  3. AC = DB בטרפז שווה שוקיים אלכסוני הטרפז שווים זה לזה.
  4. ACB ≅ DBC  על פי משפט חפיפה צ.צ.צ

נוכיח את שוויון הזוויות

  1. ACB = ∠ DBC∠  זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. ACB = ∠CAD∠   זוויות מתחלפות בין משולשים חופפים.
  3. DBC = ∠ BDA∠   זוויות מתחלפות בין משולשים חופפים.
  4. משלושת השוויונות נובע כי כל 4 הזוויות שוות.

בטרפז שווה שוקיים 4 הזוויות הירוקות שוות זו לזו

בטרפז שווה שוקיים 4 הזוויות הירוקות שוות זו לזו

3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים עם בסיסי הטרפז שני משולשים שווי שוקיים.
זו תכונה שיש להוכיח בכול פעם שמשתמשים בה.
כפי שמצאנו בסעיף 2.
שתי הזוויות הירוקות במשולש BOC שוות זו לזו.
לכן BO = CO.
שתי הזוויות הירוקות במשולש AOD שוות זו לזו.
לכן AO = OD.

4. שני המשולשים שווי השוקיים הם משולשים דומים.
זו תכונה שיש להוכיח כל פעם שמשתמשים בה.
AOD ∼ COB
תכונה זו נובעת מסעיף 2.
בין שני המשולשים יש 2 זוויות שוות, לכן אלו משולשים דומים על פי ז.ז.

סיכום תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

שימו לב שמדובר בטרפז שווה שוקיים בלבד.

תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

 

3. תכונות של שטחי המשולשים שיוצרים אלכסוני הטרפז

יש שלוש תכונות של שטחים הקשורות לאלכסוני הטרפז.
את שלושת התכונות צריך להוכיח כאשר משתמשים בהם.
שלושת התכונות מתקיימות בכול סוגי הטרפזים.

1.אלכסוני הטרפז יוצרים שני משולשים שווה שטח.

SACD = SDBC

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה

הוכחת שוויון שטחי משולשים

  1. נוריד AE,DF גבהים.  אז AE=DF כי ADFE הוא מלבן (כי יש בו 3-4 זוויות השוות 90 מעלות).
  2. לכן SACB = SDBC כי הגבהים שלם שווים (AE=BF) והצלע אליה הם מגיעים היא צלע משותפת.

2. משולשים שווה שטח נוספים הם SAOC = SDOC
הדבר נובע מסעיף 1 ומחיסור שטחי משולשים.

הוכחה:

  1. SACB = SDBC   הוכחנו כבר בסעיף 1.
  2. SAOB = SACB – SOCB
  3. SDOC = SDBC – SOCB
  4. נובע מכך:  SAOB = SDOC.

למי שההוכחה לא ברורה, ההוכחה בוידאו כוללת שרטוטים ההופכים אותו לברורה יותר.

3. קיים קשר בין שטח ארבעת המשולשים הנוצרים על ידי אלכסוני הטרפז.
אם יודעים שטח של משולש אחד ויחס הדמיון בין המשולשים הדומים אז ניתן לדעת את השטח של ארבעת המשולשים.

תכונה זו מיועדת לתלמידי 4-5 יחידות.

שימו לב ש:

  1. למשולשים AOB ו BOC יש גובה משותף. לכן היחס בין השטחים שלהם הוא היחס בין צלעות הבסיס אליו מגיע הגובה (צלעות OC ו AO).
  2. אותו דבר לגבי המשולשים AOD ו AOB.
  3. המשולשים AOB ∼COD לכן אם נדע את יחס הדמיון נדע את הקשר בין הצלעות  OC ו AO ובין BO ו OD. ונוכל למצוא את הקשר בין השטחים.

נניח כי בשרטוט הנוכחי יחס הדמיון בין AOB ל COD הוא 3. ושטח משולש AOB הוא X.

מכוון שהאלכסונים יוצרים משולשים דומים אם נדע שטח של משולש אחד ואת יחס הדמיון נוכל לדעת את השטח של כל אחד מהארבעת המשולשים

AOB ∼ COD דמיון המשולשים.

חישוב שטח משולש BOC:
מהקודקוד B למשולש BOC ולמשולש BOA יש את אותו הגובה לצלעות AO ו OC. ומכוון ש OC= 3AO אז שטח משולש BOC גדול פי 3 משטח משולש AOB.

חישוב שטח משולש AOD:
בדיוק אותו דבר. DO = 3OB ולכן שטח משולש AOD גדול פי 3 משטח משולש AOB.

חישוב שטח משולש COD:
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. במקרה זה 3²=9.
שטח משולש COD הוא פי 9 משטח משולש AOB.

4. תרגילים

התרגילים מתמקדים כל פעם בנושא הקשור לאלכסונים בטרפז: חישוב זוויות, חפיפת משולשים, דמיון משולשים.

תרגיל 1: זוויות בטרפז

בטרפז ABCD מעבירים אלכסונים הנפגשים בנקודה O.
ODC= 30, ∠AOD=80∠.
חשבו את זוויות:
OBA∠
OCD∠
OAB∠

אלכסונים בטרפז שרטוט התרגיל

פתרון

  1. OBA = ∠ODC=30∠ – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו (הזווית המתחלפת היא ODC∠).
  2. DOC= 180-80=100∠ זווית צמודה לזווית AOD∠ ומשלימה אותה ל 180 מעלות.
    OCD = 180-100-30=50∠  – משלימה ל 180 מעלות במשולש OCD.
  3. OAB = 50∠  – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו (הזווית המתחלפת היא OCD∠).

תרגיל 2: חפיפת משולשים בטרפז שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים ABCD מעבירים שני אלכסונים הנפגשים בנקודה O. הוכיחו:

  1. ΔACD ≅ ΔBDC
  2. OCD=∠ODC∠
  3. SBOC = SAOD

אלכסונים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

סעיף א: הוכחה ש ΔACD ≅ ΔBDC

  1. AC=BD  – האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה.
  2. DC – צלע משותפת.
  3. AD=BC – השוקיים בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  4. ΔACD ≅ ΔBDC  – חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה צ.צ.צ.

סעיף ב:  OCD=∠ODC∠

  1. OCD=∠ODC∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
    (ולכן משולש OCD הוא משולש שווה שוקיים OC=OD
    אם היינו רוצים היינו יכולים להוכיח באותו אופן כי משולש AOB הוא שווה שוקיים, על ידי חפיפת המשולשים ΔDAB ≅ ΔCBA).

סעיף ג: SBOC = SAOD

  1. SACD= SBDC – שטחים של משולשים חופפים שווים זה לזה.
  2. שימו לב כי השטחים של שני המשולשים המבוקשים SBOC  , SAOD מתקבלים על ידי חיסור שטח משולש OCD משני המשולשים החופפים SACD= SBDC.
    ומכוון שאם מחסרים שטח שווה משטח שווה מקבלים שטחים שווים.
    בניסוח מתמטי ניתן לכתוב זאת כך:
    SBOC = SBCD – SOCD = SACD – SOCD = SAOD

תרגיל 3: דמיון משולשים בטרפז

בטרפז  ABCD מעבירים שני אלכסונים הנפגשים בנקודה O. הוכיחו:

  1. ΔAOB ∼ ΔDOC
  2. AO*DC = AB *DO
  3. ידוע כי 4AO= AC.
    אם AB=5 ס"מ. מה אורכו של CD?
  4. אם שטח משולש OCD הוא 27 סמ"ר. מה שטחו של משולש ABO?

אלכסונים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון
סעיף א הוכחת דמיון משולשים ΔAOB ∼ ΔDOC

  1. ACD = ∠BAC∠  – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. BDC = ∠ABD∠  – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. ΔAOB ∼ ΔDOC דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב' הוכחה ש AO*DC = AB *DO

על פי הדמיון:
AO / DO = AB / DC
AO*DC = AB *DO

סעיף ג, מציאת CD.

  1. נמצא את יחס הדמיון בין משולשים ΔAOB ו ΔDOC.
    אם AO=X אז AC=4X
    OC = AC-AO=3X
  2. יחס הדמיון הוא:
    OC :AO = 3X/X=3
  3. לכן DC = 3*AB=15
    תשובה: DC=15 סמ"ר.

סעיף ד

יחס השטחים בין משולשים דומים הוא ריבוע יחס הצלעות.
לכן יחס השטחים הוא 3²=9.
SAOB = SCOD / 9 =27/9=3
תשובה: שטח משולש AOB הוא 3 סמ"ר.

תרגיל 4: קטע אמצעים בטרפז

בטרפז ABCD מעבירים קטע אמצעים EF ואלכסון AC הנפגשים בנקודה O.
ידוע כי 2EO=3OF.
חשבו את היחס בין DC ל AB.

פתרון

  1. נגדיר OF=3X לכן EO =2X.
  2. EO קטע אמצעים במשולש ACD – ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים במשולש.
    לכן DC=6X – קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הבסיס.
  3. OF קטע אמצעים במשולש ABC –  ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים במשולש.
    לכן AB=4X – קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הבסיס.
  4. היחס המבוקש הוא DC/AB=6X/4X=6/4 = 3/2.

עוד באתר:

  1. אלכסונים במרובעים – מידע על אלכסונים במרובעים נוספים.
  2. טרפז – מידע מקיף על הצורה.
  3. טרפז שווה שוקיים – מידע מקיף על הצורה.
  4. שטח טרפז – תרגילים.
  5. איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז – מידע ותרגילים.
  6. מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע – מידע על משפחת המרובעים.

נספח: הוכחת תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

בתחילת הדף ציינו 4 תכונות של האלכסונים בטרפז שווה שוקיים.

אמרנו גם שבתכונה הראשונה ניתן להשתמש ללא הוכחה בבגרות. את שאר התכונות צריך להוכיח על מנת להשתמש בהם.

בחלק זה נוכיח את תכונות 2-4.

2. בטרפז שווה שוקיים אלכסוני הטרפז יוצרים עם הבסיסים 4 זוויות השוות זו לזו.

בטרפז שווה שוקיים אלכסוני הטרפז יוצרים עם הבסיסים 4 זוויות השוות זו לזו.

הוכחה:

  1. ACD ≅ BDC משולשים חופפים על פי צ.ז.צ. (DC צלע משותפת, AD=BC שוקי הטרפז שוות, B=∠D∠ זוויות בסיס הטרפז שוות).
  2. BDC = ∠ACD∠ זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  3. BDC = ∠DBA,     ∠ACD= ∠CAB∠  זווית מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  4. BDC = ∠DBA= ∠ACD= ∠CAB∠ נובע מסעיפים 2-3.

3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים עם בסיסי הטרפז שני משולשים שווי שוקיים.

הכוונה היא למשולשים AOB ו DOC. תכונה זו נובעת מסיף 4 בהוכחה הקודמת.

ODC = ∠ OCD∠ ולכן משולש DOC הוא משולש שווה שוקיים.
OAB = ∠OBA∠ ולכן משולש AOB הוא משולש שווה שוקיים.

4. שני המשולשים שווי השוקיים הם משולשים דומים.

  1. BDC = ∠DBA,     ∠ACD= ∠CAB∠  זווית מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2.  AOB ∼ COD משולשים דומים על פי ז.ז.

 

נספח

שאלה בסיסית שכולם צריכים לדעת לפתור

בשאלה בסיסית זו עליכם לבנות משוואה בעזרת תכונות הטרפז.
שאלה זו לא דורשת שימוש במשפטי טרפז כלשהם והיא חוזרת על עצמה הרבה מאוד פעמים בשאלות על טרפז וצורות נוספות.
אם אתם תלמידי כיתה ח ומעלה ואתם מתחילים את דרככם שאלה זו היא חובה.

;

 

9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר מראש

בסרטון וידאו זה תכירו 9 מצבים נפוצים בנושא טרפז שהיכרות מוקדמת איתם תעזור לכם לפתור שאלות.
הסרטון מומלץ לתלמידי כיתה ט ומעלה.

טרפז ישר זווית

טרפז ישר זווית הוא טרפז עם שתי זוויות השוות ל 90 מעלות כל אחת.

בטרפז ישר זווית השוק הצמודה לזוויות הישרות היא גם גובה הטרפז.
כלומר, בשרטוט למטה הצלע CD היא גובה הטרפז וניתן לחשב בעזרתה את שטח הטרפז.

טרפז ישר זוויות

חישוב שטח טרפז ישר זווית

שטח טרפז ישר זווית מחשבים כמו טרפז רגיל: סכום הבסיסים כפול הגובה לחלק לשניים.

שטח טרפז שווה לסכום בסיסי הטרפז כפול גובה הטרפז לחלק ב 2.

דפים נוספים על טרפז באתר:

תרגילים

תרגיל 1: חישוב שטח
חשבו את שטח הטרפז על פי הנתונים שבשרטוט.

פתרון
גובה הטרפז הוא:
AB = 4
בסיסי הטרפז הם:
AC = 5,  BD = 7
לכן שטח הטרפז הוא:

תשובה: שטח הטרפז הוא 24 סמ"ר.

תרגיל 2
בטרפז ישר זווית מעבירים אלכסון BD.
BDC=80∠.

  1. חשבו את זוויות משולש ADB.
  2. אם BD= BC חשבו את זוויות משולש BDC.

שרטוט התרגיל, טרפז ישר זווית

פתרון

  1. ABD = 80∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. ADB = 180-90-80=10∠ זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש ABD.

חלק שני:

  1. BCD = 80∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. DBC = 180-80-80=20∠ זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש DBC.

שרטוט פתרון התרגיל

תרגיל 2
בטרפז ישר זווית (A=90∠) נתון כי האלכסון BD שווה באורכו לשוק הארוכה CD.
ADB=40∠
חשבו את זוויות הטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

זווית A,B ידועות ושוות ל 90. עלינו למצוא את זוויות C,D.

  1. CBD=∠ADB=40∠ – זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. C=∠CBD=40∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ΔDBC שוות זו לזו.
  3. D=180-40=140∠ – זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות בין ישרים מקבילים.

שרטוט הפתרון

שרטוט הפתרון

תרגיל 3
בטרפז ישר זווית ABCD (זווית DAB= 90∠) מורידים גובה BE.
הוכיחו כי המרובע ABED הוא מלבן.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. A = ∠D = ∠BED = 90∠ נתון טרפז ישר זווית.
  2. מרובע ששלוש זוויות שלו שוות 90 מעלות הוא מלבן.

תרגיל 4
בטרפז ישר זווית נתון כי הבסיס הקטן שווה באורכו לגובה (AD=CD) ואילו הבסיס הגדול כפול באורכו מהבסיס הקטן (2AD=BC).
חשבו את זוויות הטרפז.
רמז: הוסיפו את בניית העזר הגובה AE.

שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: נגדיר
AD = DC = x.
CB = 2AD = 2x

שלב 2: נגדיר את אורכי הצלעות השונות

  1. נוריד גובה AE.
  2. מרובע AECD הוא מלבן – מרובע ששלוש זוויות שלו שוות ל 90 הוא מלבן.
  3. מרובע AECD הוא ריבוע – מלבן ששתי צלעות סמוכות שלו שוות (AD=CD) הוא ריבוע.
  4. AE = EC = x כל צלעות הריבוע שוות זו לזו.
  5. BE = BC – EC = 2X – X = X

שלב 3: נמצא את גדלי הזוויות

  1. נובע מ- 5: משולש ΔBAE הוא משולש שווה שוקיים.
  2. B=∠BAE=(180-90):2=45∠
  3. A=180-45=135∠ – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים שוות ל 180 מעלות.

תרגיל 5 (חפיפת משולשים)
ABCD הוא טרפז ישר זווית.
AB = DE,  BE = FE.
הוכיחו כי BE⊥FE.

טרפז ישר זווית, שרטוט התרגיל

הפתרון בקצרה

  1. מוכיחים חפיפת משולשים ABE ≅ DEF.
  2. ואז שמים לב שהזוויות מהמשולשים הללו הצמודות לצלע AD משלימות אחת את השנייה ל 90. ולכן BE⊥CE.

פתרון

שלב 1: נוכיח את חפיפת המשולשים ABE ≅ DEF

  1. AB = DE,  BE = CE נתון.
  2. A = ∠E=90∠. נתון טרפז ישר זווית.
  3. ABE ≅ DEF משולשים חופפים על פי צ.צ.ז (משפט חפיפה רביעי).

שלב 2: נגדיר זוויות ונמצא אחרות

  1. נגדיר EFD = X∠ ולכן DEF = 90-X∠.
  2. BEA = ∠EFD=X∠ זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  3. DEF + ∠BEA = 90-X + X = 90∠
  4. FEB = 180 – (∠DEF + ∠BEA ) = 180-90=90∠  (מש"ל).

תרגיל 6 (דמיון משולשים)
בטרפז ישר זווית ABCD (הצלע AB מקבילה ל CD) וגם BC⊥CD.
מעבירים את DE חוצה זווית D. ואת AF חוצה זווית חוצה זווית A.
שני חוצי הזווית נפגשים בנקודה G.

  1. הוכיחו כי DCE ∼ DGA.
  2. אם 3AG = 2CE ושטח משולש EDC הוא 100 סמ"ר. מה שטח משולש DGA?

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר זווית EDC = ∠GDA= x∠
  2. DAB = 180-2X∠ זווית חד צדדית בין ישרים מקבילים משלימה ל 180 מעלות (משלימה את זווית ADC=2X).
  3. DAG = 90-X∠  בגלל ש AF הוא חוצה זווית.
  4. DGA = 90∠ זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש DGA.
  5. DGA = ∠BCD = 90∠ נתון.
  6. DCE ∼ DGA משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז (נובע מ 1 ו 5).

חלק שני:

  1. AG  ו CE הן צלעות מתאימות ין משולשים דומים. ואם 3AG = 2CE זה אומר שיחס הדמיון בין המשולשים הוא 3/2 = 1.5.
  2. במשולשים דומים יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. 1.5²=2.25.
  3. מכוון ששטח המשולש הגדול יותר הוא 100 סמ"ר אז שטח המשולש הקטן יותר הוא 100:2.25 = 44.44 סמ"ר.
  4. תשובה: שטח משולש DGA הוא 44.44 סמ"ר.

עוד באתר:

  1. טרפז – מידע מקיף על הצורה.
  2. טרפז שווה שוקיים – מידע מקיף על הצורה.
  3. איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז – מידע ותרגילים.

נספח

טיפ: כך תזכרו את משפטי טרפז שווה שוקיים בקלות

שאלה בסיסית על טרפז שכולם צריכים לדעת לפתור

בשאלה בסיסית זו עליכם לבנות משוואה בעזרת תכונות הטרפז.
שאלה זו לא דורשת שימוש במשפטי טרפז כלשהם והיא חוזרת על עצמה הרבה מאוד פעמים בשאלות על טרפז וצורות נוספות.
אם אתם תלמידי כיתה ח ומעלה ואתם מתחילים את דרככם שאלה זו היא חובה.

9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר מראש

בסרטון וידאו זה תכירו 9 מצבים נפוצים בנושא טרפז שהיכרות מוקדמת איתם תעזור לכם לפתור שאלות.
הסרטון מומלץ לתלמידי כיתה ט ומעלה.

הוכחת טרפז

על מנת להוכיח שמרובע הוא טרפז עליכם להוכיח שיש למרובע שתי צלעות מקבילות.

יש בתי ספר המסתפקים בהגדרה זו ואילו אחרים מוסיפים ששתי הצלעות האחרות אינם מקבילות – על מנת לדעת שהמרובע אינו מקבילית ומקבילית. שימו לב לאיזה סוג הוכחה אתם נדרשים.

צלעות מקבילות מוכיחים על ידי מציאת זוויות מתאימות שוות, זוויות מתחלפות שוות או זוויות חד צדדיות שסכומם 180 מעלות.

קווים מקבילים וישר החותך אותם

זוויות מתאימות הן זוויות באותו צד של הישר החותך ובאותו גובה של של הישרים המקבילים.
למשל זוויות 1 ו 5 נמצאות שתיהן מצד שמאל לחותך ובחלק העליון של של כל אחד מהישרים המקבילים ולכן אלו זוויות מתאימות.
זוויות 3 ו 7 נמצאות שתיהן מימין לישר החותך ובחלק התחתון של הישרים המקבילים ולכן אלו זוויות מתאימות.
4 ו 8 הן זוויות מתאימות.
3 ו 7 הן זוויות מתאימות.

זווית מתחלפות הן זוויות הנמצאות לא באותו צד ולא באותו הגובה. אם זוויות מתחלפות שוות זו לזו אז הישרים מקבילים.
1 ו 7 הן זוויות מתחלפות.
4 ו 6 הן זוויות מתחלפות.
2 ו 8 הן זוויות מתחלפות.
3 ו 5 הן זוויות מתחלפות.

דוגמה פשוטה להוכחת טרפז

במשולש ABC מעבירים את הישר DE.
C = 70,  ∠ AED = 70∠.
הוכיחו כי המרובע BCED הוא טרפז.

פתרון

  1. BC || DE  אם זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים   (C = ∠AED = 70∠).
  2. הישרים BD ו- CE אינם ישרים מקבילים כי הם נפגשים בנקודה A.
  3. הוכחנו כי הצלעות BC,DE מקבילות. והצלעות BD,CE אינן מקבילות. לכן המרובע BCED הוא טרפז.

איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז שווה שוקיים

מוכיחים שהמרובע הוא טרפז (על ידי מציאת שני קווים מקבילים) ואז צריך להוכיח את אחד מהדברים הבאים:

  1. שהשוקיים שוות.
  2. שהזוויות ליד אחד מבסיסי הטרפז שוות.
  3. שהאלכסונים שווים.

ואלו בדיוק המשפטים שאושרו לשימוש בבגרות ללא הוכחה:

  1. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  2. טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
  3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
  4. טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.

איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז שווה שוקיים מוכיחים שהצורה היא טרפז (על ידי מציאת שני קווים מקבילים) ואז צריך להוכיח את אחד מהדברים הבאים: שהשוקיים שוות. שהזוויות ליד אחד מבסיסי הטרפז שוות. שהאלכסונים שווים.

הוכחת טרפז תרגילים

לתרגילים 1-3 יש גם פתרון וידאו. הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

קבעו האם המרובעים הבאים הם טרפז / לא טרפז / לא ניתן לדעת.
אם המרובע הוא טרפז נסו לקבוע האם הוא טרפז שווה שוקיים.
התייחסו בתשובתכם רק להאם יש זוג קווים מקבילים (התעלמו לצורך התרגיל מהדרישה לזוג שני שאינו מקביל).

תרגילים בהוכחת טרפז

תרגיל 1
לא ניתן לדעת – בגלל שהזוויות הנתונות לא נמצאות על אותו ישר חותך.

תרגיל 2
טרפז – 110+70=180 – סכום זוויות חד צדדיות הוא 180 מעלות ולכן המרובע הוא טרפז.
המרובע הוא לא טרפז שווה שוקיים כי הזוויות הנמצאות ליד אותו בסיס לא שוות זו לזו (50 לעומת 70).

תרגיל 3
לא טרפז – 130+60=190 – סכום זוויות חד צדדיות שונה מ 180 ולכן הישרים אינם מקבילים.

תרגיל 4
טרפז – 90+90 =180 – סכום זוויות חד צדדיות הוא 180 מעלות ולכן המרובע הוא טרפז.
הטרפז הוא לא טרפז שווה שוקיים כי הזוויות הנמצאות ליד אותו בסיס לא שוות זו לזו (90 לעומת 130).

תרגיל 2

קבעו האם המרובעים הבאים הם טרפז / לא טרפז / לא ניתן לדעת.
התייחסו בתשובתכם רק להאם יש זוג קווים מקבילים (התעלמו לצורך התרגיל מהדרישה לזוג שני שאינו מקביל).

הוכחת טרפז

1. בשרטוט זוג זוויות מתחלפות שגודל אחת מיהן הוא 70 מעלות וגודל השנייה הוא 40 מעלות.
מכוון שהזוויות המתחלפות אינן שוות המרובע אינו טרפז.

2.בשרטוט זוג זוויות מתחלפות שגודל שתיהן הוא 50 מעלות.
מכוון שהזוויות המתחלפות שוות הקווים מקבילים והמרובע הוא טרפז.

תרגיל 3

במרובע ABCD האלכסון BD הוא חוצה זווית D.
AD= AB.
המשולש ABD הוא משולש שווה שוקיים.
הישרים BC ו AD אינם מקבילים.
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא טרפז.
רמז: הניחו כי גודל זווית BDC= x∠.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. BDC = ∠BDA = x∠  נתון DB חוצה זווית.
  2. ABD = ∠ADB = x∠  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ADB שוות זו לזו.
  3. BDC = ∠ABC∠  נובע מ 1 ו 2.
  4. AB מקביל ל DC. אם זוויות מתחלפות שוות זו לזו אז הישרים מקבילים.
  5. הישרים BC ו AD אינם מקבילים. (נתון)
  6. המרובע ABCD הוא טרפז. מרובע הכולל זוג אחד של צלעות מקבילות הוא טרפז.

עוד באתר:

  1. טרפז – מידע ותרגילים.
  2. טרפז שווה שוקיים – מידע ותרגילים.
  3. טרפז ישר זווית – מידע ותרגילים.
  4. שטח טרפז – מידע ותרגילים.
  5. מקבילית, מלבן, מעויןריבוע – מידע ותרגילים על המרובעים הללו.

נספח

שאלה בסיסית שכולם צריכים לדעת לפתור

בשאלה בסיסית זו עליכם לבנות משוואה בעזרת תכונות הטרפז.
שאלה זו לא דורשת שימוש במשפטי טרפז כלשהם והיא חוזרת על עצמה הרבה מאוד פעמים בשאלות על טרפז וצורות נוספות.
אם אתם תלמידי כיתה ח ומעלה ואתם מתחילים את דרככם שאלה זו היא חובה.

9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר מראש

בסרטון וידאו זה תכירו 9 מצבים נפוצים בנושא טרפז שהיכרות מוקדמת איתם תעזור לכם לפתור שאלות.
הסרטון מומלץ לתלמידי כיתה ט ומעלה.