ארכיון הקטגוריה: מקבילית

6 מצבים שכדאי להכיר במשפחת המקביליות

בדף זה 6 מצבים + 3 נקודות לתשומת לב.
הדברים הכתובים בדף מתייחסים לכל משפחת המקביליות: מקבילית, מעוין, מלבן, ריבוע.
בשרטוטים תראו מלבן, אבל התוכן נכון לכל משפחת המקביליות.

1.אם מעבירים חוצה זווית בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים

ולהפך: אם בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים אז אחת מצלעות המשולש היא חוצה זווית.

אם מעבירים חוצה זווית בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים

המפתח להוכחה הוא שזוויות CDE∠ וזווית AED∠ הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
לכן אם נתון ש DE חוצה זווית נגדיר:

  1. EDC = ∠EDA = X∠ נתון ED חוצה זווית.
  2. AED = ∠EDC =X∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. קיבלנו שבמשולש AED יש שתי זוויות שגודלן X ולכן המשולש שווה שוקיים.

ההוכחה ההפוכה: נתון AD= AE וצריך להוכיח ש DE הוא חוצה זווית.

  1. DEA = ∠EDA = X∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. AED = ∠EDC =X∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
  3. EDC = ∠EDA = X∠ ולכן DE הוא חוצה זווית.

2. שני חוצי זווית במקבילית שנפגשים יוצרים משולש ישר זווית

כלומר אם AE, DE הם חוצה זווית במקבילית ABCD.
אש זווית AED = 90.

הוכחה:

  1. נגדיר D = 2a
  2. לכן A = 180 – 2a
  3. לאחר העבר שני חוצי הזווית וסימון הזוויות הידועות במשולש AED נקבל שהזווית E חייבת להיות שווה ל 90 על מנת להשלים את זוויות המשולש ל 180. לכן משולש AED הוא משולש ישר זווית.

בנוסף במלבן וריבוע שבהם כל הזוויות גודלן 90 מעלות המשולש AED כולל זוויות שגודלן 90,45,45. והוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים.

שני חוצי זווית במלבן שנפגשים יוצרים משולש ישר זווית ושווה שוקיים

לנושא של שני חוצה זווית יש גם משמעויות נוספות בצורות שאינן מקביליות:

  1. במשולש וטרפז נקודת המפגש של חוצי הזווית נמצאת על קטע האמצעים.
  2. וגם להפך, אם שני ישרים יוצרים זווית של 90 מעלות ונקודת המפגש שלהם נמצאת על קטע האמצעים אז הישרים הם חוצי זווית.

3. שני ישרים היוצאים מצלע המלבן ונפגשים בנקודה מחוץ למלבן יוצרים משולשים דומים

הדבר נובע מכך שנוצרות שתי זוגות של זוויות מתאימות שוות וגם זווית אחת משותפת לשני המשולשים (זווית E∠).

 שני ישרים היוצאים מצלע המלבן ונפגשים בנקודה מחוץ למלבן יוצרים משולשים דומים

הוכחה:

  1. ECD = ∠EGF∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. EDC = ∠EFG∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. EFG ∼ EDC  דמיון משולשים על פי ז.ז.

שימו לב: "לבליטה" יכולות מספר צורות. היא יכולה להיות המשך צלע, לא לצאת מקודקודי המלבן ויכולה לצאת מארבעת צדדי המלבן.

מספר צורות לדמיון המשולשים

4. מלבן החסום בתוך משולש יוצר 2 או 3 משולשים דומים

כאשר מעבירים קו מקביל לאחד הצלעות בתוך משולש נוצרים 2 משולשים דומים. וחסימת מלבן בתוך משולש ישר זווית בצורה היוצרת 2 זוגות של ישרים מקבילים יוצרת 3 משולשים דומים.

מלבן החסום בתוך משולש יוצר 2 משולשים דומים

ABC ∼ AED
הזוויות הירוקות והאדומות שוות זו לזו לפי המשפט "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".

כאשר המלבן חסום במשולש ישר זווית נוצרים 3 משולשים דומים:

מלבן חסום במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים

ABC ∼ AED ∼ EBF

הזוויות הירוקות והאדומות שוות זו לזו לפי המשפט "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".

5. ישר היוצא מצלע המלבן אל הצלע שממול דרך נקודת מפגש האלכסונים יוצר מקבילית.

הדבר נובע מכך שנקודת מפגש האלכסונים חוצה אותו (מוכיחים בחפיפת משולשים) ומכך שאם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה אז המרובע הוא מקבילית.
(הישר EF יוצר מקבילית AECF).

 ישר היוצא מצלע המלבן אל הצלע שממול דרך נקודת מפגש האלכסונים יוצר מקבילית.

הוכחה (בקצרה):

  1. COF ≅AOE בגלל שהזוויות הירוקות מתחלפות שוות + הכתומות קודקודיות + AO=OC אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה. משפט חפיפה ז.צ.ז.
  2. EO=FO צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  3. עכשיו במרובע ECFA האלכסונים חוצים זה את זה. AO=OC, EO=FO. ומרובע שבו האלכסונים חוצים הוא מקבילית.

6. כאשר מחסרים קטעים שווים משתי קצוות אחד האלכסונים נוצרת מקבילית

כאשר מחסרים קטעים שווים מאלכסון המלבן נקודת המפגש של האלכסונים עדיין מחלקת את האלכסון והאלכסון הנוסף לשני חלקים שווים.
ומרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
(אם BF=DE אז AECF מקבילית).

כאשר מחסרים קטעים שווים משתי קצוות אחד האלכסונים נוצרת מקבילית

הוכחה

  1. AO = CO,  BO = DO אלכסוני המלבן חוצים זה את זה.
  2. DE = BF נתון.
  3. OE = DO – DE
  4. FO = BO- BF
  5. OE=FO,   AO=CO  כלומר אלכסוני המרובע AEOF חוצים זה את זה ולכן המרובע הוא מקבילית.

7.כאשר נותנים לכם צלעות שוות חישבו על חפיפת משולשים או על חיבור / חיסור צלעות

כאשר אומרים לכם שצלעות שוות חשבו האם ניתן לבצע חיסור צלעות או חפיפת משולשים על מנת להגיע אל התשובה.
חפיפת משולשים היא כלי חשוב בהוכחות השונות.

תרגיל לדוגמה:
במלבן ABCD מעבירים את את הישרים BE ו CF כך ש BE=CF.
הוכיח AF=ED.

מלבן, שרטוט התרגיל

פתרון
נוכיח חפיפת משולשים ΔFDC ≅ ΔEAB

  1. AF=ED נתון.
  2. DC=AB- צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  3. D=∠A=90∠ – זוויות המלבן שוות 90.
  4. FE, EB הם יתר במשולשים ישרי זווית – נובע מ 3.
  5.  ΔFDC ≅ ΔEAB – חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה רביעי צ.צ. וזווית שמול הצלע הגדולה.
  6. AE=DF – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  7. AF=DE – אם נחסר מהשוויון שמצאנו ב 6 גודל קבוע (FE) נקבל קטעים שווים.
    בשפה מתמטית כותבים זאת כך:
    AF= AE-FE=DF-FE=DE

8. שימו לב שצלעות וזוויות נגדיות שוות וגם האלכסונים חוצים זה את זה

בחלק משאלות המלבן לא מבינים מה הקשר הנתונים למה שצריך למצוא. המיקום של הצלע המבוקשת כל כך רחוק מהאזור שבו יש נתונים.
אז בשאלות מסוג זה כנראה שאתם צריכים להשתמש בשוויון צלעות נגדיות או שוויון חצאי האלכסונים.

שאלה לדוגמה:
במקבילית ABCD הישר BE הוא חוצה זווית. הוכיחו כי EB=AD.

שימו לב שצלעות נגדיות שוות וגם האלכסונים חוצים זה את זה

הוכחה (בקצרה):

  1. ECD = ∠CEB∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. במשולש EBC יש שתי זוויות שוות ולכן EB=BC
  3. BC = AD (צלעות נגדיות במקבילית שוות).
  4. ולכן EB= AD

9. לא לשכוח שבמלבן יש ישרים מקבילים…

אולי בגלל שלא כתוב בשאלות במפורש "ישרים מקבילים" ראיתי מקרים רבים של תלמידים ששוכחים להשתמש בתכונה זו בפתרון השאלות.
במלבן הישרים מקבילים ולכן ניתן למצוא בהם זוויות מתאימות או מתחלפות שוות.
זכרו להשתמש בתכונה זו.

עוד באתר:

נספח: שני חוצי זווית העוברים במשולש או טרפז

משולש
במשולש אם שני חוצה הזווית יוצרים זווית של 90 מעלות אז נקודת המפגש של חוצה הזווית נמצאת על קטע האמצעים במשולש.

ובניסוח מתמטי:
במשולש ABC הקטעים BD, CD הם חוצה זווית.
CDB = 90.
מעבירים את הישר DE כך שהוא מקביל לצלע BC.
הוכיחו כי DE הוא חלק מקטע אמצעים במשולש ABC.

פתרון
נגדיר
A = 2a
C = 2b

CDE = DCB = b  זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו.
לכן משולש DEC הוא משולש שווה שוקיים.
CE = ED (שוויון ראשון)

EDA = FAD = a
לכן משולש DEA הוא משולש שווה שוקיים.
AE = ED  (שוויון שני)

משתי השוויונות:
CE = ED
AE = ED
נקבל כי :
AE = CE
כלומר הנקודה E היא אמצע הצלע AC.

טרפז
גם בטרפז ניתן להוכיח כי אם AE, BE הם חוצה זווית אז זווית E גודלה 90 מעלות והנקודה E נמצאת על קטע האמצעים של הטרפז.

את ההוכחה מלאה תוכלו לקרוא בדף קטע אמצעים בטרפז.

היקף מקבילית

היקף נהוג לסמן באות p. שהיא הקיצור של המילה perimeter (היקף) באנגלית.

היקף מקבילית שווה לסכום ארבעת צלעותיה.

לכן היקף המקבילית הזו הוא:
P = 6 + 4 + 6 + 4 = 20
תשובה: 20 סנטימטר.

תכונה חשובה
במקבילית צלעות הנמצאות זו מול זו שוות.
לכן אם נדע שתי צלעות סמוכות נוכל לדעת את כל ה 4 הצלעות.

למשל
חשבו את היקף המקבלית שאורך שתיים מהצלעות שלה הוא 3 ו 5 סנטימטר.

פתרון
במקבילית צלעות הנמצאות אחת מול השנייה שוות.
נשלים את שתי הצלעות הנוספות של המקבילית.

עכשיו נחשב את ההיקף, סכום ארבעת הצלעות:
P = 5 + 3 + 5 + 3
P = 8 + 8 = 16

נוסחת היקף מקבילית

ניתן להמשיך לחשב את היקף המקבילית כסכום 4 הצלעות.
אבל בגלל שצלעות שנמצאות אחת מול השנייה שוות זו לזו יש גם נוסחאות המקצרות את החישוב.
P  = 2a + 2b
או
(P = 2(a + b

תרגילים

תרגיל 1
חשבו את היקף המקבלית שאורך צלעותיה הם 6 ו 5 סנטימטר.

פתרון
על פי נוסחת היקף מקבילית:
P = 2*5 + 2*6
P = 10 + 12 = 22
תשובה: היקף המקבילית הוא 22 סנטימטר.

אם היינו רוצים להשלים את צלעות המקבילית זה היה נראה כך:

תרגיל 2
חשבו את היקף המקבילית שאורך הצלעות שלה הוא 10 ו 15 סנטימטר.

פתרון
על פי הנוסחה להיקף מקבילית:
P = 2 * 10 + 2 * 15
P = 20 + 30 = 50
תשובה: היקף המקבילית הוא 50 סנטימטר.

אם היינו רוצים להשלים את צלעות המקבילית זה היה כך

תרגיל 3
ידוע כי היקף מקבילית הוא 20 סנטימטר.
אורך אחת מצלעות המקבילית היא 7 סנטימטר.
חשבו את אורך הצלע השנייה.

פתרון
במקבילית יש שתי צלעות שוות.
לכן סכום ההיקף של 2 הצלעות שאורכן 7 סנטימטר הוא:
14 = 7 + 7

היקף המקבילית הוא 20.
לכן האורך של שתי הצלעות שאנו לא יודעים (ביחד) הוא:
6 = 14 – 20

אלו שתי צלעות שוות לכן אורך כל אחת מיהן היא 3 סנטימטר.

עוד באתר:

הוכחת מקבילית

איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית? יש 5 משפטים שבעזרתם ניתן להוכיח.

  1. מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  2. מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  3. מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.
  4. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.
  5. מרובע שבו יש שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

חמשת המשפטים שבעזרתם מוכיחים שמרובע הוא מקבילית

4 שיטות להוכחת מקבילית

בחלק זה נעבור על 4 השיטות המרכזיות להוכחת מקבילית.
השיטות מוסברות בכתב ובשני סרטוני וידאו.

על מנת להשתמש בטכניקות הללו עליכם לדעת להוכיח שוויון צלעות בעזרת חיבור או חיסור צלעות.

כלומר אם:
AB = DE,  BC = DC
אז אתם צריכים לדעת להוכיח את השוויון
AC = DE.

1.כאשר מאריכים או מקצרים שתי צלעות מקבילות

ABCD מקבילית.
בתוך המקבילית העבירו את הישרים CE ו EF כך ש DE = BF.
הוכיחו: מרובע AFCE הוא מקבילית.

פתרון
אנו נשאף להוכיח כי הישרים AE,CF הם ישרים מקבילים ושווים ולכן AFCE זו מקבילית על פי המשפט "מרובע שבו זוג צלעות שוות ומקבילות הוא מקבילית"

הוכחה ש AE מקביל ל CF
AD || BC
מכוון שהישר CF הוא חלק מישר המקביל לצלע AD גם CF מקביל ל AD
מכך נובע
CF || AE

הוכחה ש AE = CF
AE = AD – ED
CF = BC – BF
על פי כלל החיסור, AE = CF.
*כלל החיסור אומר שאם צלעות הם חיסורים של צלעות שוות אז הישרים שווים.

מרובע AFCE הוא מקבילית על פי המשפט "מרובע שבו זוג צלעות שוות ומקבילות הוא מקבילית".

על בסיס אותו עיקרון אתם תוכלו להוכיח שצורה היא מקבילית במגוון רחב של שאלות דומות.

בכול השאלות הבאות נתון כי המרובע ABCD הוא מקבילית.
וצריך להוכיח שהמרובע האפור הוא מקבילית.

תרגיל 1
AE = BF
הוכיחו: EFCD מקבילית

עושים זאת על ידי הוכחה ש ED מקביל ושווה ל FC.

תרגיל 2
AE = BF
הוכיחו: EFCD מקבילית

עושים זאת על ידי הוכחה ש ED מקביל ושווה ל FC.

תרגיל 3
FB = DE
הוכיחו AFCE הוא מקבילית.

עושים זאת על ידי הוכחה ש AE מקביל ושווה ל FC.

2. כאשר מאריכים או מקצרים את אחד האלכסונים במידה שווה בשתי קצותיו

אם נתונה לנו מקבילית. ובמקבילית זו מאריכים או מקצרים את אחד מאלכסוני המקבילית בצורה שווה בשתי קצותיו ניתן להוכיח כי המרובע החדש הוא מקבילית.
לדוגמה:
מרובע ABCD הוא מקבילית.
BE = DF
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

הרעיון של הפתרון
1. המשפט בעזרתו מוכיחים הוכחות מהסוג הזה הוא
"מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית".
2. האלכסונים של המקבילית המבוקשת הם AC, FE.
3. נשים לב כי אנו כבר יודעים כי הנקודה O חוצה את האלכסון AC (שהוא אלכסון בשתי המקביליות) ולכן נותר לנו להוכיח רק ש OF = OE.
ואת זה עושים בעזרת חיסור קטעים שווים מהקטעים BO, OD.

הפתרון בפועל

  1. AO = OC במקבילית ABCD האלכסונים חוצים זה את זה.
  2. OE = OB – EB
  3. OF = OD – FD
  4. OE = OF על פי כלל החיסור "אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מקבלים הפרשים שווים"
  5. מרובע AECF הוא מקבילית – מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

דוגמאות נוספות לשרטוטים הנפתרים באותה דרך הם:

1.הארכת אלכסון
מרובע ABCD הוא מקבילית.
BE = DF
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

2. קיצור שני אלכסונים
מרובע ABCD הוא מקבילית.
BE = DF,  AH = CG.
הוכיחו כי המרובע HEGF הוא מקבילית.

3. כאשר לא אומרים לנו את האורך שקיצרו, אבל מאפשרים לנו להוכיח שקיצרו בצורה שווה בשתי הקצוות.
מרובע ABCD הוא מקבילית.
DCF = ∠BAE∠
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

פתרון

  1. EBA = ∠FDC∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  2. AB=CD צלעות נגדיות במקבילית שוות.
  3. ABE ≅ CDF משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.
  4. EB = DF צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

ומכאן ממשיכים להוכיח ש OE = OF כפי שעשינו בתרגילים הקודמים.

3. שתי מקביליות עם צלע משותפת יוצרות מקבילית שלישית

אם בתרגיל נתונות לכם שתי מקביליות שיש להן צלע משותפת אז זה יוצר מקבלית שלישית.

נתון ABCD, EFCD מקביליות.
הוכיחו ABFE מקבילית.

פתרון
עושים זאת על ידי ההוכחה שהצלעות AB,FE הן שוות ומקבילות.

  1. AB = CD = FE צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. AB, FE שתיהן מקבילות ל CD. לכן  AB || FE כי אם שני ישרים מקבילים לישר שלישי אז שני הישרים מקבילים זה לזה.
  3. ABFE מקבילית: אם במרובע שתי צלעות שוות ומקבילות אז הוא מקבילית.

4. כאשר מאריכים את אחת מצלעות המקבילית כאורכה

במקרה זה משתמשים בתכונה שאם שתי צלעות מקבילות אחת לשנייה אז גם המשך אחד הצלעות מקביל אל הצלע שממול.
ההוכחה תעשה בעזרת המשפט "מרובע שבו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית".
למשל:

מרובע ABCD הוא מקבילית
את צלע AB מאריכים כך ש AB = AE.
הוכיחו כי מרובע EACD הוא מקבילית.

פתרון

  1. AE = AB = CD  צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. AE || CD כי אם צלע מקבילה לצלע אחרת גם המשך הצלע מקביל לצלע האחרת.
  3. EACD מקבילית – מרובע שבו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.

דוגמה נוספת לשרטוט הנפתר בדרך הזו.
מרובע ABCD הוא מקבילית
את צלע BC מאריכים כך ש BC = CE.
הוכיחו כי מרובע ACED הוא מקבילית.

פתרון

  1. CE = CB = AD
  2. CE || AD אם שתי צלעות מקבילות אז גם המשך הצלע מקביל לצלע האחרת.
  3. ACED מקבילית – מרובע שבו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.

תרגילים

הערות כלליות לפתרון תרגילים:

  1. עליכם לזכור את חמשת משפטי ההוכחה.
  2. שימו לב לנתונים. אם הנתונים הם אורכי צלעות אז כנראה שעליכם להשתמש במשפט המדבר על אורכי צלעות (משפטים 2 או 3) אם הנתונים הם על נקודת מפגש האלכסונים אז כנראה שעליכם להשתמש במשפט המדבר על אלכסונים במקבילית (משפט 5).
  3. בחלק מהשאלות צריך להשתמש בחפיפת משולשים על מנת להשיג עוד נתונים.
  4. בהרבה שאלות יש כבר מקבילית ואתם צריכים להוכיח שיש עוד אחד. לשם כך עליכם להשתמש בתכונות המקבילית שנתונה לכם בשאלה.

תרגיל 1

בטרפז ABCD מעבירים ישר BE כך ש BE מקביל ל AD.

  1. הוכיחו כי המרובע ABED הוא מקבילית.
  2. אם הנתון היה ש BE = AD (אך הם אינם בהכרח מקבילים). האם גם אז היה ניתן להוכיח ש ABED הוא מקבילית?

הוכחת מקבילית, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. BE מקביל ל AD (נתון).
  2. AB מקביל ל ED (אם ישר AB מקביל לצלע CD הוא גם מקביל לחלק מהצלע).
  3. ABED מקבילית. מרובע שבו שתי זוגות צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.

חלק שני

לא. כאשר יש זו צלעות שהוא שווה באורכו וזוג שני שהוא מקביל לא ניתן להוכיח שהמרובע הוא מקבילית – אין משפט כזה.

למשל כך יכול להראות הישר BE כאשר הוא שווה אך לא מקביל ל AD.

דוגמה ל BE= AD אך המרובע ABED הוא לא מקבילית.

דוגמה ל BE= AD אך המרובע ABED הוא לא מקבילית.

תרגיל 2

במקבילית ABCD מעבירים את הישרים AE ו CF כך ש AE מקביל ל CF.
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AE מקביל ל CF (נתון).
  2. AF מקביל ל CE (אם צלע (AD) מקבילה לצלע אחרת (BC) אז גם חלק מהצלע מקביל לחלק לצלע או חלקה).
  3. AECF הוא מקבילית (מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
מכוון שהנתונים היו על זוג צלעות מקבילות חיפשתי את הדרך להשתמש במשפט המדבר על צלעות מקבילות.

תרגיל 3

במקבילית ABCD הנקודות E ו F מקיימות BE=DF.
הוכיחו המרובע הוא AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AF = AD-FD
  2. CE = CB – EB
  3. EB=FD (נתון).
  4. AD=BC (צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו)
  5. AF = CE נובע מסעיפים 1-4.
  6. CE מקביל ל AF (נובע מכך ש AD מקביל ל BC).
  7. AECF הוא מקבילית (נובע מסעיפים 4,5. אם במרובע זוג צלעות שווה ומקביל אז המרובע הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
מכוון שהמידע שקיבלנו הוא על אורך צלע חיפשנו משפט הוכחה המשתמש באורכי צלעות.

תרגיל 4

המרובע ABCD והמרובע CDEF הם מקביליות.
הוכיחו כי המרובע ABFE הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AB=CD צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. EF = CD צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. AB = EF (נובע מ 1 ו 2).
  4. AB מקביל ל CD צלעות נגדיות במקבילית מקבילות.
  5. EF מקביל ל CD צלעות נגדיות במקבילית מקבילות.
  6. AB מקביל ל EF (אם שתי צלעות מקבילות לצלע שלישית (CD) אז הם גם מקבילות אחת לשנייה).
  7. המרובע ABFE הוא מקבילית (נובע מ 3,6) (מרובע שיש בו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
צריך לשים לב לצלע המשותפת לשתי המקביליות ולעשות בה שימוש.

תרגיל 5

במקבילית ABCD מעבירים דרך נקודת מפגש האלכסונים (O) ישר EF.
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AO=OC (במקבילית נקודת מפגש האלכסונים (O) חוצה את האלכסונים לשני חלקים שווים).
  2. FCA = ∠EAC∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. EOA = ∠COF∠ זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
  4. FOC ≅ EOA משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.
  5. EO = FO צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. המרובע AECF הוא מקבילית (נובע מ 1,5) (מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית).

דרך אחרת לפתרון היא לכתוב במקום 5:
5. CF= AE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
6. CF מקביל ל CE (אלו שתי חלקי צלעות מתוך צלעות מקבילות)
7. המרובע AECF הוא מקבילית (נובע מ 6,5) (מרובע עם זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית).

סיכום תרגיל
מכוון שנקודת מפגש האלכסונים הוזכרה בשאלה עלינו לחפש דרך שבה התכונה של נקודת המפגש תעזור לנו לפתור את השאלה.

תרגיל 6

במקבילית ABCD הנקודה O היא נקודת מפגש האלכסונים.
הנקודות E,F נמצאות על האלכסון BD כך ש EB=FD.
הוכיחו המרובע AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. EB=FD (נתון).
  2. OD = OB נקודת המפגש של אלכסוני המקבילית מחלקת כל אלכסון לחלקים שווים.
  3. OF = OD-FD
  4. OE = OB-EB
  5. OF= OE (נובע מסעיפים 1-4).
  6. נעביר את האלכסון AC במקבילית AECF. הנקודה O חוצה אותו לשני חלקים שווים משום ש AC הוא אלכסון במקבילית ABCD.
  7. כלומר AO=OC.
  8. המרובע AECF הוא מקבילית (נובע מ 5,7) (מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית).

עוד באתר:

  1. מקבילית, הדף המרכזי על הצורה.
  2. הוכחת מרובעים, כיצד מוכיחים מרועים אחרים.
  3. מרובעים, מידע על מרובעים נוספים.

הסבר לנוסחה לחישוב שטח מקבילית

הנוסחה לחישוב שטח מקבילית היא מכפלת צלע מקבילית בגובה לצלע המקבילית.
ניתן להסביר את הנוסחה בשתי דרכים: דרך אחת מתאימה לתלמידי כיתה ה ומעלה ודרך שנייה מתאימה לתלמידי כיתה ח ומעלה.

שטח והיקף מקבילית

שטח והיקף מקבילית

הסבר ראשון

הרעיון של הסבר זה הוא שניתן חשב את שטח המקבילית על ידי חיבור השטחים של 2 משולשים השווים בשטחם.

הסבר זה נשען על חישוב שטח משולש (נזכיר, שטח משולש שווה למכפלת צלע משולש בגובה אליה לחלק ב 2).

אם זו המקבילית שלנו:

מקבילית

  1. נעביר במקבילית שני גבהים היוצאים מקודקודים A ו C.
  2. הקודקודים הללו יוצרים מלבן AECF. (מרובע זה הוא מלבן מכוון ש 4 הזוויות שלו שוות ל 90 מעלות, וזה נובע גם בגלל שסכום זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים שווה ל 180 מעלות).
  3. AD=CE בגלל שצלעות נגדיות במלבן שוות.

שני גבהים מקודקודי המקבילית יוצרים מלבן

שני גבהים מקודקודי המקבילית יוצרים מלבן

עכשיו נעביר במקבילית את האלכסון AC.

העברת אלכסון במקבילית

נוצרו במקבילית שני משולשים ADC ו ABC.
נחשב את השטח שלהם.
שטח משולש ABC הוא AB*CE :2.
שטח משולש ADC הוא: DC * AD :2.
אבל שטחי שני המשולשים הללו שווים! כי גם הגבהים וגם הצלעות בשני המשולשים הללו שווים זה לזה.

לכן אם נחבר את שטח שני המשולשים הללו על מנת לחשב את שטח המקבילית נקבל צלע כפול הגובה שמגיע אליה, וזו בדיוק נוסחת המקבילית.

הסבר שני

הסבר זה נשען על חפיפת משולשים.
נעביר במקבילית אלכסון אחד וגובה לצלע.

מקבילית לאחר שהעברנו בה אלכסון וגובה

  1. ABC≅CDA על פי משפט חפיפה צ.צ.צ.
  2. לכן שטח המקבילית שווה לשטח אחד המשולשים כפול 2.
  3. שטח משולש ACD הוא AE*DC :2.
  4. שטח המקבילית כפול ולכן הוא שווה ל AE*DC.
  5. שזה בדיוק הנוסחה של שטח מקבילית, גובה (AE) כפול הצלע (DC).

עוד באתר:

שטח מקבילית אלכסונים

אלכסוני המקבילית יוצרים 4 משולשים שווי שטח. לכן שטח המקבילית שווה לשטח משולש אחד כפול 4.

שטח מקבילית שווה לשטח משולש שיוצרים אלכסוני המקבילית כפול 4

הוכחת שוויון שטחי המשולשים נשענת על התכונה שאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה לשני חלקים שווים.
כלומר: AE=CE  וגם  BE=DE.

עכשיו על מנת להוכיח נסתכל על שני משולשים בלבד ΔABE ן ΔADE.
הבסיסים שלהם שווים באורכם BE=DE.
והגובה אל הבסיס הוא אותו גובה – בגלל שניתן להוריד רק גובה אחד מהקודקוד A לאלכסון BD.
ומכוון שנוסחת שטח משולש היא צלע כפול גובה לחלק ב 2 אז שטחי המשולשים שווים.

הוכחה שפורטה למעלה על כך ששני משולשים צמודים הנוצרים על ידי אלכסוני המקבילית שווים זה לזה

באותו אופן ניתן להוכיח שוויון שטח לכל שני משולשים צמודים ובכך להוכיח שכל 4 המשולשים שווים בשטחם.

עוד באתר:

  • שטח מקבילית – הנוסחה לחישוב + תרגילים.
  • מקבילית – תכונות, משפטים, תרגילים וכל מה שצריך לדעת על הצורה.

תכונות המקבילית, אלכסונים במקבילית

בדף זה נחלק את תכונות המקבילית לשלוש:

  1. תכונות של צלעות.
  2. תכונות של זוויות.
  3. תכונות של אלכסונים.

חלק מהתכונות הן משפטים הניתנים לשימוש בבגרות ללא הוכחה וחלק מהתכונות צריך להוכיח על מנת להשתמש בהם.
לאחר כל קבוצת משפטים רשום במי מהמשפטים ניתן להשתמש ללא הוכחה.

התוכן שבדף זהה לתוכן שבסרטון למעלה.

1. תכונות צלעות המקבילית

  1. שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).
  2. שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).

שני המשפטים הללו הם משפטים הניתנים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.

תכונות צלעות המקבילית

2. תכונות זוויות המקבילית

  1. שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).
  2. זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות.

המשפט הראשון ניתן לשימוש בבגרות ללא הוכחה, את השני צריך להוכיח אם משתמשים בו.

תכונות זוויות המקבילית

תכונות זוויות המקבילית

3. תכונות אלכסונים המקבילית

  1. אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).
    (הערה: חוצים זה אומר שהם מחלקים אחד את השני לשני חלקים שווים).
  2. אלכסוני המקבילית יוצרים שתי זוגות של משולשים נגדיים חופפים (ניתן להוכיח זאת בעזרת המשפט הראשון של אלכסוני המקבילית + משפט חפיפה צ.ז.צ).
  3. אלכסוני המקבילית יוצרים ארבעה משולשים שווי שטח. (ניתן להוכיח זאת בעזרת חישוב שטח משולש על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שבניהן או על פי תכונת התיכון שמחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח).
  4. אלכסוני המקבילית יוצרים 4 זוגות של זווית מתחלפות שוות.

במשפט הראשון ניתן להשתמש בבגרות ללא הוכחה. את שאר המשפטים צריך להוכיח על מנת להשתמש בהם.

תכונות אלכסוני המקבילית

תכונות / משפטים שבעזרתם מוכיחים שמרובע הוא מקבילית

1.אם במרובע שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות אז המרובע הוא מקבילית.
2. אם במרובע שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות אז המרובע הוא מקבילית.
3. אם במרובע זוג אחד של צלעות שוות ומקבילות אז המרובע הוא מקבילית.
4. אם במרובע שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות אז המרובע הוא מקבילית.
5. אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה אז המרובע הוא מקבילית.

עוד באתר:

  1. אלכסונים במרובעים – מידע על אלכסונים במרובעים נוספים.
  2. מקבילית – תרגילים ומידע נוסף על הצורה.
  3. הוכחת מקבילית, הסבר ותרגילי הוכחה.
  4. מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז – מידע ותרגילים על הצורות הללו.

נספח: הוכחה שהאלכסונים במקבילית יוצרים 4 משולשים שווה שטח