ארכיון הקטגוריה: גיאומטריה

איך מוכיחים שישרים הם לא מקבילים?

  • לפני שאתם לומדים את דף זה עליכם לדעת כיצד להוכיח שישרים הם מקבילים ולדעת לזהות זוויות מתאימות או מתחלפות, תוכלו ללמוד לעשות זאת בקישור.

יש שתי שיטות להוכיח שישרים הם לא מקבילים.

שיטה ראשונה: זוויות מתאימות או מתחלפות שוות
יש משפט האומר "אם בין שני ישרים יש זוויות מתאימות או מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים".

וגם המשפט ההפוך נכון:
"אם בין שני ישרים יש זוויות מתאימות או מתחלפות לא שוות אז הישרים לא מקבילים".
ובמשפט זה נשתמש כדי להוכיח שהישרים לא מקבילים.

שיטה שנייה: ישרים מקבלים לא נפגשים אף פעם
יש משפט האומר: "ישרים מקבילים לא נפגשים אף פעם".

וגם המשפט ההפוך נכון "אם ישרים נפגשים אז הם לא מקבילים".
ובמשפט זה נשתמש כדי להוכיח שהישרים לא מקבילים.

דוגמאות

דוגמה 1
הוכיחו כי הישרים BC ו AD הם לא מקבילים.

פתרון
שתי הזוויות שגודלן 70 ו 80 הם זוויות מתאימות אבל הם לא שוות, לכן הישרים לא מקבילים.

דוגמה 2
הוכיחו כי הישרים AB ו CD הם לא מקבילים.

פתרון
שתי הזוויות שגודלן 60 ו 40 הם זוויות מתחלפות אבל הם לא שוות, לכן הישרים לא מקבילים.

דוגמה 3
הוכיחו כי הישרים AB ו CD הם לא מקבילים.

פתרון
הישרים AB ו CD נפגשים בנקודה E ולבן הם לא ישרים מקבילים.

עוד באתר:

זוויות במרובעים

בדף זה נכיר את התכונות החשובות של המרובעים השונים.

סדר הצורות שיופיעו בדף הוא:

  1. מקבילית.
  2. מלבן.
  3. מעוין.
  4. ריבוע.
  5. טרפז.
  6. טרפז שווה שוקיים.
  7. דלתון.

מעבר לתכונות המיוחדות חשוב שנזכור שבכול המרובעים סכום הזוויות הוא 360 מעלות.

זוויות במקבילית

 

במקבילית יש שתי סוגי זוויות:

1.זוויות נגדיות – אלו הן זוויות הנמצאות אחת מול השנייה במקבילית.
A, C אלו זוויות נגדיות.
B,D אלו זוויות נגדיות.
התכונה שלהם:
זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
זה משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

2.זוויות סמוכות – אלו זוויות הנמצאות ליד אותה צלע.
לכל זוויות במקבילית יש שתי זוויות במוכות.
הזוויות הסמוכות של A הן D ו B.
הזוויות הסמוכות של D הן A ו C.

התכונה שלהם
זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל 180 מעלות.
וזה בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
אם A = 110
אז D = 70
וגם B = 70

לכן אם אנו יודעים זוויות אחת במקבילית אנו יכולים לקבוע את גודלן של כל שאר הזוויות.

תרגיל
במקבילית זוויות A גודלה 50 מעלות.
קבעו את גודלן של כל זוויות המקבילית.

פתרון
זווית C
C = A = 50  זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

זוויות B,D
אלו זוויות סמוכות לזווית A.
הן משלימות את זווית A ל 180 מעלות בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
130 = 50 – 180
גודלן 130 מעלות.

תכונה חשובה נוספת

תכונה חשובה של זוויות במקבילית היא שכל פעם שמעבירים חותך בין שני ישרים מקבילים נוצרות זוויות מתחלפות שוות.

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות. וגם זוויות 3 ו 4 הן זוויות מתחלפות שוות

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות. וגם זוויות 3 ו 4 הן זוויות מתחלפות שוות

זווית במלבן

במלבן כל הזוויות גודלן 90 מעלות.

במלבן האלכסונים הם לא חוצה זווית

זווית 1 לא שווה לזווית 2.

הערה
מלבן הוא סוג של מקבילית ולכן כל התכונות של מקבילית מתקיימות בו.
זוויות נגדיות שוות.
זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות.
אבל לרוב לא משתמשים בתכונות הללו אלה בכך שכל זוויות המלבן גודלן 90.

זוויות במעוין

מעוין הוא סוג של מקבילית ולכן כולל את כל תכונות הזוויות של המקבילית

ובנוסף יש תכונות מיוחדות לאלכסוני המעוין:

  1. האלכסונים הם חוצה זווית.
  2. האלכסונים מאונכים זה לזה.
כל הזוויות המסומנות ב 1 שוות. כל הזוויות המסומנות ב 2 שוות. ובנוסף האלכסונים מאונכים

כל הזוויות המסומנות ב 1 שוות. כל הזוויות המסומנות ב 2 שוות. ובנוסף האלכסונים מאונכים

זוויות בריבוע

בריבוע כל הזוויות גודלן 90 מעלות (כמו במלבן).
והאלכסונים הם חוצה זוויות ומאונכים כמו במעוין.

מכוון שהאלכסונים חוצים זווית שגודלה 90 מעלות שתי הזוויות הנוצרות על יד האלכסונים גודלן הוא 45 מעלות.

תכונות זוויות בריבוע

זוויות בטרפז

תכונות של זוויות בטרפז

1. זוויות הנמצאות ליד אותה שוק משלימות ל 180 מעלות.

תכונה זו נובעת מכך ששני הבסיסים של הטרפז הם ישרים מקבילים. והזוויות שנמצאות על אותה שוק הן זוויות חד צדדיות.

זוויות על אותה שוק בטרפז משלימות ל 180 מעלות

2. האלכסונים בטרפז יוצרים זוויות מתחלפות שוות

אלכסוני הטרפז יוצרים שני זוגות של זוויות מתחלפות שוות

טרפז שווה שוקיים

טרפז שווה שוקיים כולל את כל התכונות של טרפז רגיל + תכונות נוספות.

3. בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו

זה משפט שניתן להשתמש שבו מבלי להוכיח אותו.

בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו

4. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים 4 זוויות השוות זו לזו

את התכונה ש זווית 1=3 ו 2=4 צריך להוכיח. ואת זה עושים על ידי חפיפת משולשים.
ABC ≅ DCB על פי צ.ז.צ.

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים 4 זוויות השוות זו לזו

דלתון

דלתון מורכב משני משולשים שווה שוקיים:

בעזרת חפופת משולשים משולשים פשוטה נוכל להוכיח:
ADC ≅ ABC  על פי צ.צ.צ  (כאשר AC צלע משותפת).

ולכן:
B = ∠D∠  זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
וגם:
CAD = ∠CAB∠
ACD = ∠ACB∠
בגלל שהן זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

בנוסף אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.

לדלתון יש משפט המסכם את כל התכונות חוץ מהתכונה שכתבתי ראשונה:
"בדלתון האלכסון הראשי הוא חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני".

האם יש קשר בין גודלה של זווית A לגודלה של זוויות C?
אין קשר. אלו לא זוויות שוות ואין בניהן קשר אחר.

עוד באתר:

מרובעים

באתר זה מידע עשיר בנושא המרובעים השונים.
כאן תמצאו קישורים.

  1. דלתון.
  2. טרפז.
  3. טרפז שווה שוקיים.
  4. מקבילית.
  5. מלבן.
  6. מעוין.
  7. ריבוע.

וגם:

  1. הוכחת מרובעים.
  2. מרובעים שטחים.
  3. זוויות במרובעים.
  4. מרובעים גיאומטריה אנליטית.
  5. אלכסונים במרובעים.

היקף מקבילית

היקף נהוג לסמן באות p. שהיא הקיצור של המילה perimeter (היקף) באנגלית.

היקף מקבילית שווה לסכום ארבעת צלעותיה.

לכן היקף המקבילית הזו הוא:
P = 6 + 4 + 6 + 4 = 20
תשובה: 20 סנטימטר.

תכונה חשובה
במקבילית צלעות הנמצאות זו מול זו שוות.
לכן אם נדע שתי צלעות סמוכות נוכל לדעת את כל ה 4 הצלעות.

למשל
חשבו את היקף המקבלית שאורך שתיים מהצלעות שלה הוא 3 ו 5 סנטימטר.

פתרון
במקבילית צלעות הנמצאות אחת מול השנייה שוות.
נשלים את שתי הצלעות הנוספות של המקבילית.

עכשיו נחשב את ההיקף, סכום ארבעת הצלעות:
P = 5 + 3 + 5 + 3
P = 8 + 8 = 16

נוסחת היקף מקבילית

ניתן להמשיך לחשב את היקף המקבילית כסכום 4 הצלעות.
אבל בגלל שצלעות שנמצאות אחת מול השנייה שוות זו לזו יש גם נוסחאות המקצרות את החישוב.
P  = 2a + 2b
או
(P = 2(a + b

תרגילים

תרגיל 1
חשבו את היקף המקבלית שאורך צלעותיה הם 6 ו 5 סנטימטר.

פתרון
על פי נוסחת היקף מקבילית:
P = 2*5 + 2*6
P = 10 + 12 = 22
תשובה: היקף המקבילית הוא 22 סנטימטר.

אם היינו רוצים להשלים את צלעות המקבילית זה היה נראה כך:

תרגיל 2
חשבו את היקף המקבילית שאורך הצלעות שלה הוא 10 ו 15 סנטימטר.

פתרון
על פי הנוסחה להיקף מקבילית:
P = 2 * 10 + 2 * 15
P = 20 + 30 = 50
תשובה: היקף המקבילית הוא 50 סנטימטר.

אם היינו רוצים להשלים את צלעות המקבילית זה היה כך

תרגיל 3
ידוע כי היקף מקבילית הוא 20 סנטימטר.
אורך אחת מצלעות המקבילית היא 7 סנטימטר.
חשבו את אורך הצלע השנייה.

פתרון
במקבילית יש שתי צלעות שוות.
לכן סכום ההיקף של 2 הצלעות שאורכן 7 סנטימטר הוא:
14 = 7 + 7

היקף המקבילית הוא 20.
לכן האורך של שתי הצלעות שאנו לא יודעים (ביחד) הוא:
6 = 14 – 20

אלו שתי צלעות שוות לכן אורך כל אחת מיהן היא 3 סנטימטר.

עוד באתר:

היקף מלבן

היקף נהוג לסמן באות p. שהיא הקיצור של המילה perimeter (היקף) באנגלית.

היקף מלבן שווה לסכום ארבעת צלעותיו.

לכן היקף המלבן הזה הוא:
p = 3+5+3+5 = 16
תשובה:16ס"מ.

תכונה חשובה
במלבן זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה.
לכן אם נדע שתי צלעות שאינן אחת מול השנייה נוכל לדעת את כל הארבעה.

נשלים את ארבעת צלעות המלבן בצורה הזו:

ונחשב את היקף המלבן
P = 8 + 2 + 8 + 2 = 20

נוסחה לחישוב היקף מלבן

תמיד ניתן לחשב היקף מלבן כסכום ארבעת צלעותיו.
אבל מכוון שבמלבן שתי זוגות של צלעות שוות יש דרך קיצור לחשב.

ניתן לרשום את הנוסחה להיקף מלבן כך:
P = 2a + 2b
וגם כך:
(P = 2(a + b

שטח מלבן הוא מכפלת הצלעות:
S = a * b

תרגילים

תרגילים 1-3 הם חישוב היקף ושטח מלבן.
תרגיל 4 הוא חישוב היקף ושטח של צורה המורכבת ממספר מלבנים.
בתרגילים 5-6 ההיקף ידוע וצריך למצוא אורך של אחת הצלעות.
בתרגילים 7-8 צריך לחשב היקף של צורה מורכבת. מלבן ומשולש או מלבן ומעגל.
תרגילים 9-10 דורשים שימוש במשתנה ומתאימים לתלמידי כיתה ז ומעלה.

תרגיל 1
חשבו את היקף ושטח המלבן שאורך צלעותיו הסמוכות הוא 4 ו 5 סנטימטר.

פתרון
היקף מלבן
על פי נוסחת היקף מלבן
P = 2*4 + 2 * 5
P = 8 + 10 =18
תשובה: היקף המלבן הוא 18 סנטימטר.

שטח המלבן
על פי נוסחת השטח:
S = 4 * 5 = 20
תשובה: שטח המלבן 20 סמ"ר.

אם היינו רוצים להשלים את האורכים של ארבעת צלעות המלבן זה היה נראה כך:

תרגיל 2
חשבו את היקף ושטח המלבן שאורך צלעותיו הוא 1 ו 4.

פתרון
על פי נוסחת היקף מלבן
P = 2*1 + 2*4
P = 2 + 8 = 10
תשובה: היקף המלבן הוא 10 סנטימטר.

שטח מלבן
שטח מלבן שווה למכפלת הצלעות:
S=4*1=4
תשובה: שטח המלבן 4 סמ"ר.

אם היינו מסמנים את ארבעת צלעות המלבן זה היה נראה כך:

תרגיל 3
אורכי 3 צלעות מלבן הן:
3,5,3 סנטימטר.
חשבו את היקף המלבן.

פתרון
במלבן כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
לכן אורך הצלע הרביעית הוא 5.
ארבעת צלעות המלבן :
3,3,5,5

היקף המלבן
P = 3+3+5+5 = 16
תשובה: 16 סנטימטר.

תרגיל 4
חשבו את השטח וההיקף של הצורה הבאה.

שרטוט התרגיל

פתרון

נחשב את אורכי הצלעות החסרות:
EF = DC = 2

AB = HG = 8

DE = AH – BC – FG
DE = 10 – 3 – 1 = 6

חישוב היקף
40 = 10 + 8 + 3 + 2 + 6 + 2+ 1 + 8
תשובה: ההיקף שווה ל 40 יחידות.

חישוב שטח
נחלק את הצורה למלבנים בצורה הבאה:

שטח של צורה מורכבת

שטח מלבן 1  (AKLH):
60 = 6 * 10

שטח מלבן 2   (KBCD):
2 = 1 * 2

שטח מלבן 3  (EFGL):
6 = 3 * 2

68 = 6 + 2 + 60
תשובה: שטח הצורה כולה הוא 68.

דרך פתרון שנייה
בדרך הראשונה הגענו לשטח המבוקש על ידי חיבור מלבנים.
בדרך השנייה נגיע לפתרון על ידי חיסור מלבנים.
דרך הפתרון השנייה מתאימה לחלק מהתרגילים וטוב לדעת אותה.

נחשב את שטח המלבן הגדול ביותר (ABGH).
ונחסר את שטח המלבן (CDEF).

בצורה זו נמצא את השטח על ידי פחות חישובים.
שטח המלבן הגדול (ABGH).
80 = 8 * 10

שטח המלבן החסר (CDEF).
12 = 2 * 6

שטח הצורה המבוקשת הוא:
68 = 12 – 80.

תרגיל 5
היקף מלבן הוא 32 סנטימטר.
אורך אחת מצלעות המלבן הוא 6 סנטימטר.
חשבו את אורך הצלע השנייה.

פתרון
אורך שתי הצלעות שאנו יודעים הוא:
12 = 2 * 6
היקף המלבן הוא 32.
לכן אורך שתי הצלעות החסרות הוא:
20 = 12 – 32

אם אורך שתי צלעות שוות ביחד הוא 20, מה אורכה של צלע אחת?

10.
אורך צלע המלבן החסרה הוא 10.

תרגיל 6
היקף מלבן הוא 18 סנטימטר.
אורך צלע אחת של המלבן הוא 2 סנטימטר.
חשבו את אורך צלע המלבן השנייה.

פתרון
היקף שתי הצלעות שאנו יודעים הוא
4 = 2*2

היקף המלבן הוא 18.
לכן היקף שתי הצלעות שאנו לא יודעים הוא:
14 = 4 – 18

אם היקף שתי צלעות שוות הוא 14. מה היקף צלע אחת?

7.
אורך הצלע החסרה הוא 7.

תרגיל 7
על צלע מלבן שאורך צלעותיו 4 ו 6 סנטימטר בנו משולש שווה שוקיים שאורך השוק שלו היא
חשבו את היקף הצורה שנוצרה.

פתרון
היקף של צורה הוא סכום אורכי הצלעות של הצורה.
אנו יודעים את אורכם של כל הצלעות הללו ולכן יכולים לחשב את ההיקף.
P = 6 + 4 + 5 +5+ 4= 24
תשובה: היקף הצורה שנוצרה הוא 24 סנטימטר.

תרגיל 8
חשבו את היקף הצורה הבנויה ממלבן שאורך צלעותיו הוא 3 ו 8 ס"מ ועל הצלע של 3 ס"מ נמצא קוטר המעגל.

חישוב היקף של צורה מורכבת

פתרון
למלבן 3 צלעות בהיקף 3,8,8
19=3+8+8 (שימו לב שאת אחת מצלעות הלבן אין צורך לחשב כי המעגל "מכסה" עליה)

למעגל יש חצי מעגל בהיקף.
קוטר המעגל הוא 3.
לכן היקף העיגול המלא הוא:
P=2₶r
p = 3.14*1.5*2 = 9.42

מכוון שבצורה זו יש רק חצי עיגול ההיקף הוא :
4.71 = 2 : 9.42

נחבר את שני ההיקפים ונקבל:
23.71=19+4.71
תשובה: היקף הצורה המורכבת הוא 23.71 ס"מ.

תרגיל 9
במלבן צלע אחת של המלבן גדולה מהצלע השנייה ב 1 סנטימטר.
היקף המלבן הוא 22 סנטימטר.
חשבו את צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
x  אורך הצלע הקטנה בסנטימטרים.
x + 1 אורך הצלע הגדולה בסנטימטרים.

נבנה משואה.
היקף המלבן הוא:
x + x + x+ 1+ x+1 = 4x +2
היקף המלבן שווה ל 22 סנטימטר לכן המשוואה היא:
4x + 2 = 22 

נפתור את המשוואה:
4x + 2 = 22  / -2
4x = 20  / :4
x = 5
תשובה: אורך צלע אחת של המלבן הוא 5 סנטימטרים, אורך הצלע השנייה הוא 6 סנטימטרים.

תרגיל 10
אצנים רצים במסלול מלבני שאורך צלעותיו 35 ו 22 מטרים.
עליהם לעבור 798 מטרים.
כמה פעמים עליהם להקיף את המסלול?

פתרון
נחשב את היקף המסלול (היקף המלבן).
= (22 + 35) * 2
114 = 57  *2
היקף המסלול הוא 114 מטרים.

נגדיר:
x  מספר הפעמים שצריך להקיף את המסלול.

המשוואה
מספר הפעמים שמקיפים את המסלול כפול היקף המסלול זה המרחק שעוברים.
לכן המשוואה היא:

x * 114 = 798
114x = 798  / : 114
x = 7
תשובה: עליהם להקיף את המסלול 7 פעמים.

מספר הפעמים שמקיפים את המלבן זה אורך הדרך שעוברים

מספר הפעמים שמקיפים את המלבן זה אורך הדרך שעוברים

עוד באתר:

מציאת זוויות בעזרת משוואה (ללא טריגונומטריה)

בדף זה נלמד כיצד בונים משוואות ומוצאים גדלים של זווית.

תרגילים 1-4 הם על משולש. מתאים לכיתה ח.
תרגילים 5-7 הם על מרובעים. מתאים ל ט ומעלה.

תרגיל 1
במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס גדולה פי 2 מזווית הראש.
חשבו את זוויות המשולש.

פתרון
נגדיר את הזווית הקטנה כ x (זווית הראש).
לכן שתי זוויות הבסיס הן:
2x
שלושת זוויות המשולש הן
x, 2x, 2x

סכומן 180 מעלות ולכן המשוואה היא:
x + 2x + 2x = 180
5x = 180  / : 5
x = 36

תרגיל 2
במשולש הזווית חיצונית גדולה פי 2 מהזווית הצמודה לה.
ABD = 2∠ABC
כמו כן:
A =50
מצאו את זווית C.

פתרון
נגדיר זווית
ABC = x
לכן זווית
ABD = 2x

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ולכן המשוואה היא:
x + 2x = 180
3x = 180  / :3
x = 60
ABC = 60

זווית C היא הזווית היחידה שאנו לא יודעים במשולש ABC והיא משלימה את שתי האחרות ל 180.
C = 180 – 60 – 50
C = 180 – 110 = 70
תשובה: C = 70.

תרגיל 3
במשולש ABC מעבירים את הגובה BD.
הגובה BD מחלק את הזווית B כך:
ABD = 2∠DBC
כמו כן זווית
C = 70
חשבו את זוויות A,B.

פתרון
נגדיר:
DBC = x
לכן
ABD = 2x

נחפש משולש בו יש לנו מידע.
זה משולש  CBD
שבו:
CDB = 90
C = 70

לכן:
DBC = 180 – 90 – 70
DBC = 180 – 160 = 20
DBC = 20

בנתונים כתוב:
ABD = 2∠DBC
לכן:
ABD = 2 * 20 = 40

עכשיו אנו יודעים את שני החלקים המרכיבים את זווית B
B = 20 + 40 = 60

במשולש ABC אנו יודעים
C = 70
B = 60
לכן:
A = 180 – 60 – 70 = 50

תשובה: A= 50, B = 60

תרגיל 4
במשולש היחס בין הזוויות הוא 2:3:4.
מצאו את גודלן של זוויות המשולש.

פתרון
זו שאלת יחס.
הסבר מפורט כיצד מגדירים משתנים בשאלות יחס בדף יחס בעיות מילוליות.

נגדיר את הזוויות הקטנה כ 2x.
שתי הזוויות הנוספות יהיו
3x
4x

סכום הזוויות הוא 180, לכן המשוואה היא:
2x + 3x + 4x = 180
9x = 180
x = 20

גדלי הזוויות הן:
40 = 2* 20
60 = 3 * 20
80 = 4 * 20

מרובעים

תרגיל 5
במקבילית ABCD
A= 2∠B
חשבו את זוויות המקבילית.

פתרון
נגדיר זווית
A = x
לכן
B = 2x

זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו, לכן
C = A = x
D = B = 2x

סכום הזוויות המקבילית הוא 360, כמו כל מרובע.
לכן המשוואה היא:
x + x + 2x + 2x = 360
6x = 360  / :6
x = 60

זוויות המקבילית הן:
60,60,120,120

תרגיל 6
בטרפז שווה שוקיים ידוע כי זווית D גדולה ב 40 מזווית B.
חשבו את זוויות הטרפז.

פתרון
נגדיר:
B = x
בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
לכן:
C = x.

זוויות A,D משלימות את זוויות הבסיס התחתון ל 180, כי אלו הן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
לכן:
D = A = 180- x

אנו יודעים שזוויות D גדולה ב 40 מעלות מזוויות A.
לכן המשוואה היא:
x + 40 = 180 – x  / +x -40
2x = 140  / :2
x = 70

70 הוא גודלן של זוויות B,C.
110 הוא גודלן של זוויות A,D.

תרגיל 7
במרובע היחס בין הזוויות הוא
2:5:5:6
חשבו את זוויות המרובע.

פתרון
נגדיר:
2x  הזווית הקטנה.
5x הגודל של כל אחת משתי הזוויות הבינוניות.
6x הגודל של הזווית הגדולה.

סכום הזוויות במרובע הוא 360. לכן המשוואה היא:
2x + 5x + 5x + 6x = 360
18x = 360
x = 20

גודל הזוויות במרובע הוא:
40 = 2 * 20
100 = 5 * 20
100 = 5 * 20
120 = 6 * 20

עוד באתר:

משפטים בגיאומטריה הסברים בוידאו

בדף זה הסברים בוידאו לרשימת המשפטים בגיאומטריה המאושרים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.

את רשימת המשפטים המלאה תוכלו למצוא בדף משפטים בגיאומטריה.

הסרטונים מוצגים בגלריות. על מנת לעבור בין סרטונים השתמשו בחצים הנמצאים בתחתית הסרטון.

משפטים מוכרים ומשפטי משולש

בחלק זה 3 סרטוני וידאו:

  1. משולש ישר זווית: 8 משפטים.
  2. משולש: 12 משפטים.
  3. 25 משפטים שאתם אמורים להכיר משנים קודמות.

משפטי מרובעים

בחלק זה 5 סרטוני וידאו:

  1. מקבילית: 7+2 משפטים.
  2. טרפז: 7 משפטים.
  3. מעוין: 4 + 2 משפטים.
  4. מלבן: 3 משפטים.
  5. דלתון: 1 משפט.

משפטי מעגל

בחלק זה 6 סרטוני וידאו:

  1. זווית: 11 משפטים.
  2. מיתרים: 6 משפטים.
  3. משיק למעגל: 8 משפטים.
  4. מעגל חוסם וחסום: 8 משפטים.
  5. שני מעגלים: 2 משפטים.
  6. דמיון ופרופורציה במעגל: 3 משפטים (לתלמידי 5 יחידות בלבד).

עוד באתר:

  1. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  2. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

משפט פיתגורס תרגילים קשים

בדף משפט פיתגורס למדנו את היסודות של משפט פיתגורס.

בדף זה נפתור תרגילים קשים יותר.
חלק מהתרגילים (נושאים 1-2) יכולים להיפתר על יד תלמידי כיתה ח.
נושאים 3-4 מתאימים לתלמידים בכיתות ט ומעלה.
התרגילים מחולקים לסוגים הבאים:

  1. שילוב של משפט פיתגורס ושטח משולש.
  2. משתנה אחד המגדיר שתי צלעות.
  3. שילב של משפט פיתגורס עם היקף משולש.
  4. משפט פיתגורס במרובעים.

1.שילוב של משפט פיתגורס עם שטח משולש

שטח משולש מחשבים תמיד כמכפלה של צלע בגובה חלקי 2.
אבל מכוון שיש 3 צלעות במשולש יש גם 3 דרכים לחשב את שטח המשולש.
בכל שלושת הדרכים שטח המשולש שנגיע אליו הוא אותו שטח.

בשרטוט מטה ACB הוא משולש ישר זווית.
ו CD הוא הגובה אל הצלע AB.
על פי הנתונים שבשרטוט מצאו את הגובה CD.

הדרך לפתרון:

  1. מוצאים את AB באמצעות משפט פיתגורס.
  2. משתמשים בזה ש CD * AB צריך להיות שווה ל AC * BC = 12. כדי למצוא את CD.

הפתרון המלא:
AB² = 3² + 4² = 25
AB = 5

שטח משולש ABC הוא:

ניתן לחשב את שטח משולש ABC גם כך:

נכפיל את המשוואה שקיבלנו פי 2 ונקבל:
5CD = 12
CD = 2.4
תשובה: אורכו של הגובה CD הוא 2.4 ס"מ.

תרגיל 2
במשולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) אורכי הניצבים הם 6 ו 10 ס"מ.
BD הוא הגובה ליתר.
חשבו את אורך BD.

פתרון
רמז: הפתרון מתבסס על כך ששטח משולש ישר זווית ניתן לחשב כמכפלת אורכי הניצבים לחלק ב 2. או הגובה ליתר כפול היתר לחלק ב 2.

  1. נחשב את שטח המשולש על פי שני הניצבים:
    2 : 6*10
    30=60:2
  2. נחשב את אורך היתר על פי משפט פיתגורס:
    136= 10²+6²
    CA²=136
    CA=11.66
  3. ניתן לחשב את שטח משולש ΔABC
    גם כמכפלה של היתר בגובה אליו:
    S=CA*BD / 2 =30
    11.66BD / 2=30
    11.66BD=60
    BD=5.148
    תשובה: אורך הגובה BD הוא 5.148 ס"מ.

2.שילוב של משפט פיתגורס עם היקף משולש

תרגיל
היקף משולש הוא 24 סנטימטר.
אורך אחד הניצבים הוא 6 סנטימטר.
מצאו את אורך שתי הצלעות הנוספות במשולש.

פתרון
נגדיר :
x אורך הניצב השני.
ולכן אורך היתר הוא:

עכשיו אנו יכולים לבנות בעזרת משפט פיתגורס משוואה:
x² + 6² = (18 – x)²
x² + 36 = 324 – 36x + x²
36x = 288  / :36
x = 8

8 הוא אורכו של הניצב השני.
אורכו של היתר הוא:
10 = 8 – 18

תרגיל 2
היקף משולש ישר זווית הוא 24 ס"מ. אורך היתר הוא 10 ס"מ.
חשבו את אורך ניצבי המשולש.

משפט פיתגורס שרטוט תרגיל

פתרון
נגדיר
x – אורך ניצב המשולש.

אורך הניצב השני הוא 14 מינוס X
(אורך הניצב השני 14 מינוס x).

x²+(14-x)²=10²
x²+14²-28x+x²=100
2x²+196-28x=100
2x²-28x+96=0 /:2
x²-14x+48=0
x-6) (x-8)=0)  – פירוק הטרינום.
x=6  או x=8

תשובה: אורך הניצב הקצר הוא 6 ס"מ. אורך הניצב הארוך הוא 8 ס"מ.
הערה: השתמשתי פירוק הטרינום על מנת לפתור את המשוואה הריבועית אך למי שיותר נוח יכול לפתור בעזרת נוסחת השורשים.

3.משתנה אחד המגדיר שתי צלעות

בשאלות מסוג זה יש לנו נתון על צלע במשולש שאינו ישר זווית.
כמו AB = 15 בשרטוט שלפנינו.
AB=15, BC = 12,  AC=9
CD⊥AB.
ואנו צריכים למצוא את אחת מהצלעות AD, DB, CD.

משפט פיתגורס, שרטוט התרגיל

פתרון
AB = 15 זה נתון שאנו לא יודעים איך להשתמש בו.
אבל אם נגדיר
BD = x
AD = 15 – x

נגדיר את CD בעזרת פיתגורס בשני המשולשים ישרי הזווית.
במשולש CDB נמצא משוואה ראשונה:
CD² = 12² – X²

במשולש CDA נמצא משוואה שנייה:
(CD² = 9²-(15-X)² = 9²-(15-X) * (15 – x
(CD² = 9² – (225 – 15x – 15x +x²
(CD² = 81-( 225 – 30X + X²
CD² = 30X – X² -144

קיבלנו שתי משוואות:
CD² = 12² – X²
CD² = 30X – X² -144
אנו יכולים להשוות בין שתי המשוואות ולקבל משוואה עם נעלם אחד:

30X – X² -144 = 12² – X²
30X = 144+144=288
X=9.6

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:
CD² = 12² – X²
CD = 12²-9.6²=51.84
CD = 7.2 ס"מ.

לסיכום פתרנו את השאלה בשלושה שלבים:

  1. בחירת משתנה שמאפשר לנו להגדיר שתי צלעות.
  2. יצירת שתי משוואות הכוללות צלע משותפת לשני המשולשים (הצלע CD).
  3. השוואה בין שתי המשוואות.

תרגיל 2
נתון משולש ABC שבו אורכי הצלעות הם:  AB=5, AC=8, BC=12 ס"מ.
חשבו את הגובה AD ואת שטח המשולש.

משפט פיתגורס, שרטוט התרגיל

פתרון

רמז: עליכם לבחור משתנה ולבנות באמצעותו ומשפט פיתגורס שתי משוואות בשני משולשים. ואז להשוות בין המשוואות.

נגדיר BD=X.
במשולש ABD על פי משפט פיתגורס.
X2+ AD2=52
AD2= 25-X2

במשולש ACD מתקיים על פי משפט פיתגורס.
82 = AD2 + (12-x)2
(AD2=64-(144-24X+X2
נשתמש במשוואה זו ובמשוואה שקיבלנו למעלה (שתיהן שוות AD2)
(AD² = 25-X2=64-(144-24X+X2
X2+25=64-144+24X-X2
X2+25=-80+24x-x2
105=24x
X=4.375

על פי מה שמצאנו קודם:
AD2= 25-X2=25-4.3752=25-19.14=5.86
AD=2.42  ס"מ.
שטח המשולש
AD*BC :2
14.52=2 : 2.42*12

תרגיל 3
נתון
AB = √34, BD = 3, CD = 8
BC⊥AD
מה אורכה של של הצלע AC?

פתרון

  1. הצלע AC נמצאת במשולש ישר זווית ADC. אבל במשולש זה אנו יודעים רק צלע אחת.
  2. נשים לב שהצלע AD משותפת למשולש ADB שבו כן יש מספיק נתונים לחישוב בעזרת משפט פיתגורס.
  3. לכן נחשב את AD במשולש ADB ואז נשתמש בתוצאה כדי למצוא במשולש ADC.

פיתגורס במשולש ADB:
AD² = (√34)² – 3² = 34-9=25
AD= 5

פיתגורס במשולש ADC:
AC² = 8² + 5² = 64+25 = 89
AC= √89

4.משפט פיתגורס במרובעים

תרגיל 1
במקבילית ABCD מורידים שני גבהים AE ו CF.
אורך הצלע AB הוא 8 ס"מ אורך הישר EC=7 ס"מ. אורך הישר BE=2 ס"מ.
א. חשבו את שטח המקבילית.
ב. ידוע כי מרובע AECF הוא מלבן, חשבו את שטחו.

שרטוט התרגיל

פתרון
שטח מקבילית שווה לאורך צלע המקבילית כפול הגובה אליה.
נחשב את אורך הצלע AE.
על פי משפט פיתגורס במשולש ΔBEA.
8²-2²=AE²
AE²=64-4=60
AE=√60
נחשב את אורך הצלע BC
BC=BE+EC=2+7=9
נחשב את שטח המקבילית
S=BC*AE=9*√60
S=69.71
תשובה: שטח המקבילית הוא 69.71 סמ"ר.

ב. שטח מלבן שווה למכפלת הצלעות שלו.
S=EC*AE=7*√60
S=54.22.
תשובה: שטח המלבן הוא 54.22 סמ"ר.

תרגיל 2
היקף מלבן ABCD הוא 30 ס"מ. אורך הצלע AD=9 ס"מ.
במלבן מעבירים ישר DE, הנקודה E נמצאת על הצלע BC.
CE=2 ס"מ.
א. חשבו את אורך הישר DE
ב. חשבו את שטח משולש ΔDBE. (אין קשר בין סעיף א ל ב).

שרטוט התרגיל, משפט פתגורס במלבן

פתרון
עלינו למצוא את אורך DC על מנת למצוא את אורך DE.
P= 2DC + 2AD – היקף המלבן.
2DC +18=30
2DC=12
DC=6

במשולש ΔDEC על פי משפט פיתגורס:
DE²=6²+2²=36+4
DE²=40
DE=√40 – תשובה לסעיף א.

שטח משולש ΔDBE שווה ל:
2 : BE*BC
BE=9-2=7.
DC=6
2 :  6*7
21 = 42:2
תשובה: שטח משולש ΔDBE הוא 21 סמ"ר.

תרגיל 3
במלבן היחס בין אורכי הצלעות הוא 3 : 2.
ידוע כי אורך האלכסון הוא 52√
מצאו את אורך צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
DC = 2x  אורך הצלע הקצרה.
BC = 3x  אורך הצלע הארוכה.

במשולש DBC על פי משפט פיתגורס
BC² + DC² = BD²
3x)² + (2x)² = 52)
9x² + 4x² = 52
13x² = 52  / :13
x² = 4
x = 2  או   x = -2.
מכוון שגודל צלע הוא מספר חיובי התשובה היא x =2.

DC = 2X = 4
BC = 3X  = 6

תרגיל 4
בטרפז שווה שוקיים אורך השוק הוא 7.
ידוע גם:
AD= 6,  BC =11
חשבו את גובה הטרפז.

הרעיון של הפתרון
נוכיח ונמצא את הגודל של BE, FC בעזרת הוכחת חפיפת משולשים.
ואז נשתמש במשפט פיתגורס.

פתרון
AE, DF הם הגבהים בטרפז.

שלב א
נוכיח שהמשולשים בצדדים חופפים.

  1. AB = DC  נתון טרפז שווה שוקיים
  2. B = ∠C∠  זוויות בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. AEB = ∠DFC = 90∠  בגלל שהישרים AE, DF הם גבהים.
  4. EAB = ∠ FDC אם שתי זוויות במשולש שוות זו לזו אז גם הזוויות השלישית שווה.
    את ההוכחה המתמטית כותבים כך:
    EAB = 180 – ∠AEB – ∠B = 180 – ∠FDC – ∠C = ∠FDC∠
  5. AEB ≅ DFC  משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.

שלב ב
נמצא את גודלם של BE, CF.

  1. AEFD מלבן כי מרובע שבו 3 זוויות של 90 מעלות הוא מלבן
  2. EF = AD =  5  צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  3. BE + CF = BC – EF = 11 – 5 = 6
  4. BE = CF  צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  5. BE = 6 : 2 = 3

שלב ג
נשתמש במשפט פיתגורס
במשולש ABE
AE² = AB² – BE²
AE² = 7² -3³ = 49- 9 = 40
AE = √40

תשובה: גובה הטרפז הוא 40√

עוד באתר:

דמיון משולשים שטח למתקדמים

בדף בקודם בנושא דמיון משולשים שטח למדנו שיחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון.
בדף זה נלמד כיצד משלבים את התכונה הזו עם שאלות קצת יותר קשות.
נציג 3 סוגים של שאלות קשות יותר.

1.תרגילים בהם צריך לבצע חיסור או חיבור שטחים על מנת למצוא שטח נוסף

המבנה הבא הוא מבנה נפוץ היוצר משולשים דומים.
אם
DE || BC
ונניח שאנו יודעים גם את הד ברים הבאים:
DE = 2,  BC = 6
ונניח
SADE = 10
ושואלים אותנו מה שטחו של המרובע DBCE, כיצד נחשב זאת?

נחשב זאת על ידי חיסור שטחי המשולשים:
SDBCE = SABC – SADE

בדרך הזאת:
ADE ∼ ABC
וגם יחס הדמיון הוא 3.
לכן יחס השטחים הוא 9 ושטח משולש ABC הוא 90.

אבל אם שואלים אותנו על שטח מרובע DBCE?
ניתן לחשב אותו על ידי חיסור שטחי המשולשים.
SDBCE = SABC – SADE
SDBCE = 90 – 10 = 80

2.תרגילים בהם אנו צריכים להגדיר את השטח של אחד המשולשים כמשתנה

נתון לנו כי
ADE ∼ ABC
SDBCE =20
וכי יחס הדמיון הוא 3.
כיצד נחשב את שטחי המשולשים?

פתרון
נגדיר את שטחי המשולשים בעזרת משתנה אחד.
ונבנה משוואה.
x  שטח משולש ADE.
לכן:
9x שטח משולש ABC.

ההפרש בין שטחי המשולשים הללו הוא:
SDBCE =20
לכן המשוואה:
9x = x + 20
8x = 20
x = 2.5

ושטח המשולש הגדול הוא:
SABC = x + 20 = 22.5

3. תרגילים בהם משולב דמיון משולשים יחד עם גובה משותף לשני משולשים
(או גובה משתף לשתי צורות שאינן משולשים)

גובה משותף לשתי צורות – זה בסיס להרבה שאלות וקשיים של תלמידים.
כאשר משלבים בין זה לדמיון משולשים השאלות הופכות קשות יותר.

נתון
ABCD טרפז.
SABCD = 60.
AOD ∼ COB
יחס הדמיון 3.
כיצד ניתן לחשב את השטח של כל אחד מארבעת המשולשים הפנימיים?

פתרון
נגדיר:
SAOD = x
על פי יחס הדמיון
SCOB = 9x

בטרפז ניתן להעביר את הגבהים
AE, CF.

נשים לב שהגובה AE הוא גובה לצלע DO וגם לצלע BO.
אז היחס בין שטחי המשולשים AOD, AOB קשור רק ליחס שבין BO, DO
ומכוון
BO = 3DO
אז:
SAOB = 3SAOD = 3x

באותה צורה ניתן להראות כי:
SBOC = 3SCOD
ולכן:
SCOD = 0.33 * 9x = 3x

*הערה: דרך אחרת להוכיח כי
SCOD = 3x
היא על ידי חפיפת המשולשים:
DOC ≅ AOB

עכשיו הגדרנו את שטחי 4 המשולשים בעזרת x:
SAOD = x
SCOB = 9x
SAOB  = 3x
SCOD = 3x

אנו יודעים כי שטח הטרפז:
SABCD = 60.
לכן המשוואה היא:
x+ 9x + 3x + 3x = 60
16x = 60
x = 3.75
ומכאן ניתן למצוא את שטחי כל המשולשים.

תרגילים 

בחלק זה 6 תרגילים בנושא דמיון משולשים שטח.

תרגיל 1

בתוך משולש ABC העבירו ישר DE כך ש  ΔABC ∼ ΔADE.
DE=4, BC = 7 ס"מ.
שטח משולש ABC הוא 28 סמ"ר.
חשבו את שטח טרפז DECB.

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון:
1. על ידי מציאת יחס הדמיון בין המשולשים ניתן למצוא את שטח משולש ADE.
2. נחשב את שטח הטרפז על ידי חיסור שטחי המשולשים SABC – SADE.

פתרון מלא

נמצא את יחס הדמיון ויחס השטחים בין המשולשים
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:
DE / BC = 4/7
יחס השטחים הוא 16/28=²(4/7)

נמצא את שטח משולש ADE
לכן שטח משולש ADE הוא:
SADE = SABC * 16/28 = 28*16/28 = 16
SADE = 16

נחשב את שטח הטרפז דרך חיסור שטחי משולשים
שטח הטרפז שווה ל:
SBDEC = SABC – SADE = 28 – 16 = 12
תשובה: שטח הטרפז BDEC הוא 12 סמ"ר.

תרגיל 2

במשולש ABC חסומה מקבילית DEFB כך ש 3BF=BC.
פי כמה גדול שטח משולש ΔABC משטח משולש ΔADE

שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון
1. BF = DE (צלעות נגדיות במקבילית) לכן יש לנו את המשוואה 3DE = BC.
2.  ממשוואה זו נוכל לקבל שיחס הדמיון בין המשולשים הדומים ΔABC ∼ ΔADE הוא 3.
9. לכן 3² =9 הוא יחס השטחים בין המשולשים הללו.

פתרון
שלב א: נוכיח דמיון משולשים  ΔADE ∼ ΔABC

  1. A∠ – זווית משותפת.
  2. ABC = ∠ADE∠ – זווית מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. ΔADE ∼ ΔABC דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז

שלב ב: נמצא את יחס הדמיון ויחס השטחים

  1. DE=BF – צלעות המקבילית שוות זו לזו.
  2. DE/BC = 3 – נובע מהנתונים וסעיף 4.
  3. DE ו BC הן צלעות מתאימות במשולשים דומים. לכן היחס בניהם הוא הוא יחס הדמיון.
    יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון 3² = 9.
    תשובה: שטח משולש ΔABC גדול פי 9 משטח משולש ΔADE.

*הערה: ניתן "לסבך" השאלה הזאת קצת יותר אם היינו מקבלים את המשוואה 3BF=FC.
במקרה הזה היינו צריכים למצוא את BC על ידי המשוואה BF+FC = 4BC.
ויחס הדמיון בין המשולשים היה 4.

תרגיל 3: שטח כמשתנה

במשולש ABC מעבירים ישר DE כך ש ΔADE ∼ ΔABC.
יחס הדמיון בין צלעות המשולשים הוא 2.
ידוע כי שטח המרובע DEBC הוא 15 סמ"ר.
חשבו את שטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל שטח משולש

הרעיון של הפתרון
1. יחס הדמיון של המשולשים ADE ו- ACB הוא 4.
2. לכן כאשר נגדיר את שטח משולש ADE כ- X, נוכל להגיד ששטח משולש ACB הוא 4X או X + 15.
המשוואה 4X = X + 15 תפתור לנו את התרגיל.

פתרון מלא

1.נמצא את יחס השטחים בעזרת יחס הדמיון
יחס השטחים בין ΔADE ל ΔABC הוא 2² =4.
2. נגדיר SADE = X.
לכן:
SABC = X+15.
SABC = 4SADE = 4X

3. משני השוויונות שלמעלה ניתן לבנות את המשוואה:
4X = X+15
3X=15 / :3
X=5.

4. מצאנו SADE = 5
אנו יודעים כי:
SABC = X+15
לכן:
SABC = X+15 = 5+15=20.
תשובה: שטח משולש ABC הוא 20 סמ"ר.

תרגיל 4

בתוך משולש ABC העבירו שני ישרים DE ו FG כך שמתקיים:
ΔABC ∼ ΔADE ∼ ΔAFG
AE=2,5, EG=5, FG=10, BC = 20 ס"מ.
שטח משולש ABC הוא 324 סמ"ר.
חשבו את שטח משולש ADE.

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

פתרון
על מנת לפתור שאלה זו עלינו לחשב את יחס הדמיון ויחס השטחים בין המשולשים.
יש שתי דרכים לעשות זאת. אראה בהתחלה את הדרך "הרגילה" ולאחר מיכן דרך נוספת.

שלב 1: מציאת יחס השטחים בין המשולשים בין משולש ADE ומשולש AFG.
AG= AE+EG=2.5+5=7.5
יחס הדמיון הוא:
AG / AE=7.5 / 2.5 = 3
יחס השטחים הוא 3²=9.

שלב 2: נמצא את יחס השטחים בין המשולשים AFG ו ABC.

נמצא את יחס הדמיון בין המשולשים AFG ו ABC.
יחס הדמיון הוא:
BC/FG=20/10=2
יחס השטחים הוא 2²=4.

שלב 3: נמצא את יחס השטחים בין שלושת המשולשים ונפתור את התרגיל
יחס השטחים בין שלושת המשולשים הוא:
1:9:36
כלומר שטח משולש ADC קטן פי 36 משטח משולש ABC.
SADE = 324 :36=9
תשובה: שטח משולש ADE הוא 9 סמ"ר.

דרך שנייה לפתרון
בעזרת קטע אמצעים במשולש.

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

הרעיון מאחורי הפתרון:
אם מזהים ש FG  הוא קטע אמצעים במשולש ABC אז יודעים ש GC = 7.5 וניתן לחשב באופן ישיר את היחס בין שטח משולש ADE (המשולש המבוקש) ושטח משולש ABC ( המשולש ששטחו 324 סמ"ר).

פתרון מלא
נתון ΔABC ∼ ΔADE ∼ ΔAFG
שלב 1: זיהוי FG כקטע אמצעים במשולש ABG.

  1. B = ∠ F∠   זוויות מתאימות בין משולשים דומים
  2. FG ||  BC אם בין שני ישרים הזוויות המתאימות שוות אז הישרים מקבילים.
  3. FG הוא קטע אמצעים במשולש ABC על פי המשפט "ישר במשולש המקביל לצלע משולש ושווה למחיצתה הוא קטע אמצעים".

שלב 2: נחשב את יחס השטחים בין המשולשים

  1. GC = AG = 7.5  כי FG הוא קטע אמצעים במשולש.
  2. יחס הדמיון בין המשולשים ΔABC ∼ ΔADE הוא:
  3. לכן יחס השטחים הוא 6² = 36.
    שטח משולש ABC גדול פי 36 משטח משולש ADE.
  4. SADE = 324 :36=9
    תשובה: שטח משולש ADE הוא 9 סמ"ר

תרגיל 5: דמיון משולשים בטרפז שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים ABCD (השוקיים AB=CD) מעבירים אלכסונים AC ו DB.
AE=4, EC=12 ס"מ.
SAED = 18 סמ"ר.

  1. חשבו את שטח משולש BEC.
  2. חשבו את שטח משולש DEC.

שרטוט התרגיל דמיון משולשים בטרפז שווה שוקיים

הרעיון של הפתרון:
1. סעיף א: מוכיחים את דמיון המשולשים ΔAED ∼ ΔCEB בעזרת זוויות מתחלפות שוות ואז משתמשים ביחס הדמיון למציאת יחס השטחים ולמציאת שטח משולש BEC.
2. סעיף ב: למשולשים ADE ו- DEC יש גובה משותף לצלעות AE =4 ו- CE = 12 בהתאמה.  לכן יחס השטחים בניהם הוא 3 = 4 : 12.
שרטוט המסביר את סעיף ב בהמשך.

פתרון מלא

שלב א: נוכיח דמיון משולשים ΔAED ∼ ΔCEB

  1. DBC = ∠BDA∠ – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. ACB=∠CAD∠ –  זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. ΔAED ∼ ΔCEB – דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

שלב ב: נמצא את יחס הדמיון ויחס השטחים

  1. AE ו EC הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים. לכן יחס הדמיון בין המשולשים הוא:
    EC / AE =12/4=3
  2. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון 3²=9.
  3. שטח משולש BEC הוא 18*9=162 סמ"ר.

סעיף ב.

שרטוט התרגיל

הגובה DF הוא גובה משותף במשולשים  ADE ו- DEC אל הצלעות AE ו- CE בהתאמה.

נחשב את שטחי המשולשים ADE ו- DEC:

ניתן לראות ששטח משולש DEC גדול פי 3 משטח משולש ADE.
SDEC = 18 * 3 = 54
תשובה: שטח משולש DEC הוא 54 סמ"ר.

*תרגיל 6

בתוך משולש ABC חסומה מקבילית DEFB כך שמשולש EFC הוא משולש שווה צלעות.
ידוע כי שטח משולש EFC הוא (1/8) משטח המקבילית.
א. מצאו את היחס בין שטח משולש ABC לשטח משולש ADE.
ב. אם שטח משולש EFC הוא 10 סמ"ר. מה הוא שטח משולש ABC?
(רמז: יש להיעזר בדמיון משולשים, אך לא של המשולשים המוזכרים בסעיף זה).

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

הרעיון מאחורי פתרון סעיף א:
1.למקבילית ולמשולש EFC יש גובה משותף (EH). לכן BF = 4FC (שרטוט של הגובה המשותף בהמשך).
2. DE = 4FC,    BC =5FC   לכן יחס השטחים בין המשולשים הדומים ADE ∼ ABC הוא 9 : 8.

פתרון

הוספת גובה לשרטוט

שלב א: נוכיח דמיון משולשים ΔADE ∼ ΔABC

  1. A∠ – זווית משותפת.
    B=∠ADE∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
    ΔADE ∼ ΔABC על פי ז.ז

שלב ב: נמצא את יחס הדמיון

נעביר גובה EG  – זה גובה משותף למקבילית DEFB ולמשולש EFC.
שטח המקבילית הוא:
EF*BF=8S
(משוואה ראשונה)
שטח משולש EFC הוא
0.5EF * FC  = S
(משוואה שנייה).

נכפיל את המשוואה השנייה פי 8 על מנת שנקבל שתי משוואות שוות.
4EF * FC = 8S
נשווה את שתי המשוואות
4EF* FC = EF * BF
4FC = BF

על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא את היחס בין DE ל BC.

  1. ננגדיר FC=X.
    BC = FC+BF = 4X+X=5X
  2. DE=BF=4X – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. DE ו BC הן צלעות דומות במשולשים דומים. לכן יחס הדמיון בין המשולשים הוא
    BC/DE=5X/4X=5/4
    יחס הדמיון בין משולש ABC למשולש ADE הוא 5:4 לכן היחס בין השטחים הוא 25:16.

סעיף ב
הרעיון מאחורי פתרון:
יש את דמיון המשולשים EFC ∼ ABC ובעזרתו ניתן לפתור את התרגיל.
הרבה לא שמים לב לדמיון משולשים מהסוג זה.

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

פתרון מלא

שלב א: נוכיח את דמיון המשולשים

  1. CFE = ∠ B∠ זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. C = ∠C∠
  3. EFC ∼ ABC  משולשים דומים על פי ז.ז

שלב 2: נמצא את יחס השטחים בין המשולשים ונפתור

בסעיף א מצאנו: DE = 4FC,    BC = 5FC
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:
BC : FC = 4FC : FC = 1

לכן יחס השטחים בין המשולשים הוא 4² = 16.

SABC= 16 * 10 = 160
תשובה: שטח משולש ABC הוא 160 סמ"ר.

שטח גזרה ואורך קשת במעגל

כאשר נעשה סיבוב שלם סביב מרכז המעגל אנו נעבור 360 מעלות.
נוח לראות זאת כאשר מעבירים קוטר, קוטר במעגל יוצר שתי זוויות של 180 מעלות.

כאשר אנו רוצים לחשב שטח של גזרה או אורך של קשת נחלק את גודל הזווית היוצרת את הגזרה ב 360 ונכפיל בהיקף המעגל על מנת למצוא את אורך הקשת או נכפיל בשטח המעגל על מנת למצוא את שטח הגזרה.

למשל:
ידוע כי היקפו של מעגל הוא 12 סנטימטר ושטחו של המעגל הוא 14 סמ"ר.
במעגל זה יוצרים זווית מרכזית שגודלה 60 מעלות.
מה גודלה של הקשת עליה נשענת הזווית (הקו המסומן באדום)?
מה שטח הגזרה עליה נשענת הזווית (השטח המסומן בכחול)?

פתרון
אורך הקשת
היקף המעגל הוא 12 סנטימטר.
החלק של הזווית הזו מתוך ההיקף הוא:

אורך הקשת הוא 1/6 מתוך 12.
לכן אורך הקשת הוא:

תשובה: אורך הקשת הוא 2 סנטימטר.

הערה: היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה על ידי תרגיל אחד:

חישוב שטח הגזרה
החלק של שטח הזרה מהמעגל הוא 1/6.
לכן שטח הגזרה הוא:

תשובה: שטח הגזרה הוא 2.33 סמ"ר.

תרגילים

תרגיל 1
במעגל שרדיוסו 5 סנטימטר יוצרים זווית מרכזית שגודלה 120 מעלות.
חשבו את שטח הגזרה ואורך הקשת עליה נשענת הזווית.

פתרון
החלק של הזווית מתוך שטח המעגל והיקף המעגל הוא:

על מנת למצוא את שטח הגזרה נחשב את שטח העיגול.
הנוסחה היא:
S=₶r²
S = 3.14 * 5 * 5 = 78.5

שטח הגזרה הוא 1/3 מהשטח הכללי, לכן:

ניתן להגיע לאותה תוצאה על ידי התרגיל:

חישוב אורך הקשת
עלינו למצוא את היקף המעגל.
הנוסחה היא:
P=2₶R
P = 2 * 3.14 * 5 = 31.4

אורך הקשת הוא הוא 1/3 מהיקף המעגל לכן:

ניתן לבצע את החישוב גם על ידי התרגיל:

תרגיל 2
ממעגל שרדיוסו 3 סנטימטר חותכים חלק הנשען על זווית מרכזית בגודל 30 מעלות.
חשבו את שטח המעגל שנותר ואת היקף המעגל שנותר.

פתרון

את התרגיל הזה ניתן לפתור בשתי דרכים אני ממליץ לדעת את שתיהן.

החלק אותו הסירו מהמעגל הוא:

חישוב שטח הגזרה
נחשב את שטח המעגל
S=₶r²
S = 3.14 * 3 *3 = 28.26

לכן שטח הגזרה שהוסרה הוא:

2.355 סמ"ר הוסר מהמעגל. לכן השטח שנשאר הוא:
25.905 = 2.355 – 28.26

תשובה: שטח המעגל שנשאר הוא 25.905.

חישוב היקף הקשת שנותרה
היקף המעגל הוא:
P = 2 * 3.14 * 3 = 18.84

היקף המעגל שהוסר הוא:

לכן היקף המעגל שנותר הוא:
17.27 = 1.57 – 18.84

דרך שנייה לפתרון התרגיל
הסירו מהמעגל 30 מעלות.
לכן נותרה במעגל זווית של:

340 = 20 – 360

לכן החלק היחסי של מה שנשאר במעגל הוא:

אנו יודעים כי:
שטח העיגול 28.26 סמ"ר.
היקף המעגל  18.84 סנטימטר.

לכן שטח הגזרה שנותרה:

היקף הקשת שנותרה:

בדרך השנייה חישבנו ישר את מה שנשאר.
בדרך הראשונה חישבנו את מה שהוסר ואז החסרנו את זה מהמעגל השלם.

עוד באתר: