ארכיון הקטגוריה: כלים בגיאומטריה

איך מוכיחים שישרים הם לא מקבילים?

  • לפני שאתם לומדים את דף זה עליכם לדעת כיצד להוכיח שישרים הם מקבילים ולדעת לזהות זוויות מתאימות או מתחלפות, תוכלו ללמוד לעשות זאת בקישור.

יש שתי שיטות להוכיח שישרים הם לא מקבילים.

שיטה ראשונה: זוויות מתאימות או מתחלפות שוות
יש משפט האומר "אם בין שני ישרים יש זוויות מתאימות או מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים".

וגם המשפט ההפוך נכון:
"אם בין שני ישרים יש זוויות מתאימות או מתחלפות לא שוות אז הישרים לא מקבילים".
ובמשפט זה נשתמש כדי להוכיח שהישרים לא מקבילים.

שיטה שנייה: ישרים מקבלים לא נפגשים אף פעם
יש משפט האומר: "ישרים מקבילים לא נפגשים אף פעם".

וגם המשפט ההפוך נכון "אם ישרים נפגשים אז הם לא מקבילים".
ובמשפט זה נשתמש כדי להוכיח שהישרים לא מקבילים.

דוגמאות

דוגמה 1
הוכיחו כי הישרים BC ו AD הם לא מקבילים.

פתרון
שתי הזוויות שגודלן 70 ו 80 הם זוויות מתאימות אבל הם לא שוות, לכן הישרים לא מקבילים.

דוגמה 2
הוכיחו כי הישרים AB ו CD הם לא מקבילים.

פתרון
שתי הזוויות שגודלן 60 ו 40 הם זוויות מתחלפות אבל הם לא שוות, לכן הישרים לא מקבילים.

דוגמה 3
הוכיחו כי הישרים AB ו CD הם לא מקבילים.

פתרון
הישרים AB ו CD נפגשים בנקודה E ולבן הם לא ישרים מקבילים.

עוד באתר:

מציאת זוויות בעזרת משוואה (ללא טריגונומטריה)

בדף זה נלמד כיצד בונים משוואות ומוצאים גדלים של זווית.

תרגילים 1-4 הם על משולש. מתאים לכיתה ח.
תרגילים 5-7 הם על מרובעים. מתאים ל ט ומעלה.

תרגיל 1
במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס גדולה פי 2 מזווית הראש.
חשבו את זוויות המשולש.

פתרון
נגדיר את הזווית הקטנה כ x (זווית הראש).
לכן שתי זוויות הבסיס הן:
2x
שלושת זוויות המשולש הן
x, 2x, 2x

סכומן 180 מעלות ולכן המשוואה היא:
x + 2x + 2x = 180
5x = 180  / : 5
x = 36

תרגיל 2
במשולש הזווית חיצונית גדולה פי 2 מהזווית הצמודה לה.
ABD = 2∠ABC
כמו כן:
A =50
מצאו את זווית C.

פתרון
נגדיר זווית
ABC = x
לכן זווית
ABD = 2x

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ולכן המשוואה היא:
x + 2x = 180
3x = 180  / :3
x = 60
ABC = 60

זווית C היא הזווית היחידה שאנו לא יודעים במשולש ABC והיא משלימה את שתי האחרות ל 180.
C = 180 – 60 – 50
C = 180 – 110 = 70
תשובה: C = 70.

תרגיל 3
במשולש ABC מעבירים את הגובה BD.
הגובה BD מחלק את הזווית B כך:
ABD = 2∠DBC
כמו כן זווית
C = 70
חשבו את זוויות A,B.

פתרון
נגדיר:
DBC = x
לכן
ABD = 2x

נחפש משולש בו יש לנו מידע.
זה משולש  CBD
שבו:
CDB = 90
C = 70

לכן:
DBC = 180 – 90 – 70
DBC = 180 – 160 = 20
DBC = 20

בנתונים כתוב:
ABD = 2∠DBC
לכן:
ABD = 2 * 20 = 40

עכשיו אנו יודעים את שני החלקים המרכיבים את זווית B
B = 20 + 40 = 60

במשולש ABC אנו יודעים
C = 70
B = 60
לכן:
A = 180 – 60 – 70 = 50

תשובה: A= 50, B = 60

תרגיל 4
במשולש היחס בין הזוויות הוא 2:3:4.
מצאו את גודלן של זוויות המשולש.

פתרון
זו שאלת יחס.
הסבר מפורט כיצד מגדירים משתנים בשאלות יחס בדף יחס בעיות מילוליות.

נגדיר את הזוויות הקטנה כ 2x.
שתי הזוויות הנוספות יהיו
3x
4x

סכום הזוויות הוא 180, לכן המשוואה היא:
2x + 3x + 4x = 180
9x = 180
x = 20

גדלי הזוויות הן:
40 = 2* 20
60 = 3 * 20
80 = 4 * 20

מרובעים

תרגיל 5
במקבילית ABCD
A= 2∠B
חשבו את זוויות המקבילית.

פתרון
נגדיר זווית
A = x
לכן
B = 2x

זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו, לכן
C = A = x
D = B = 2x

סכום הזוויות המקבילית הוא 360, כמו כל מרובע.
לכן המשוואה היא:
x + x + 2x + 2x = 360
6x = 360  / :6
x = 60

זוויות המקבילית הן:
60,60,120,120

תרגיל 6
בטרפז שווה שוקיים ידוע כי זווית D גדולה ב 40 מזווית B.
חשבו את זוויות הטרפז.

פתרון
נגדיר:
B = x
בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
לכן:
C = x.

זוויות A,D משלימות את זוויות הבסיס התחתון ל 180, כי אלו הן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
לכן:
D = A = 180- x

אנו יודעים שזוויות D גדולה ב 40 מעלות מזוויות A.
לכן המשוואה היא:
x + 40 = 180 – x  / +x -40
2x = 140  / :2
x = 70

70 הוא גודלן של זוויות B,C.
110 הוא גודלן של זוויות A,D.

תרגיל 7
במרובע היחס בין הזוויות הוא
2:5:5:6
חשבו את זוויות המרובע.

פתרון
נגדיר:
2x  הזווית הקטנה.
5x הגודל של כל אחת משתי הזוויות הבינוניות.
6x הגודל של הזווית הגדולה.

סכום הזוויות במרובע הוא 360. לכן המשוואה היא:
2x + 5x + 5x + 6x = 360
18x = 360
x = 20

גודל הזוויות במרובע הוא:
40 = 2 * 20
100 = 5 * 20
100 = 5 * 20
120 = 6 * 20

עוד באתר:

חישוב שטחים שיש להם גובה או בסיס משותף (לחטיבת הביניים)

בדף זה חישוב של שטחים עם גובה או בסיס משותף.

בחלק הראשון תרגילים המשלבים בין מרובע למשולש ובחלק השני בין שני משולשים.

הסבר תאורטי

מקרה ראשון: לשני משולשים יש את אותו אורך גובה ואותו אורך צלע:
ולכן שטח שני המשולשים הללו שווה

נסתכל על המשולשים ABC ו DBC.

אם AE = DF אז שטחי המשולשים שווים.
כי חישוב שטחי שני המשולשים נעשה כך:

ואם BC היא צלע משותפת.
וגם AE = DF.
אז שטחי המשולשים שווים.

מקרה שני: כאשר הגובה או הצלע שווים בין שני משולשים. 
אז יחס השטחים הוא כיחס בין האיברים שאינם שווים.

אם AE = 2DF.
אז:
SABC = 2 * SDBC

כי:
ניתן להגדיר
DF=x
AE=2X
ואז נוסחאות שטחי המשולשים יראו כך:

ולכן:
SABC = 2 * SDBC

שרטוט נוסף שכדאי שתכירו הוא:

במקרה זה למשולש ADC (האפור מימין) ולמשולש ADB (הלבן משמאל) יש גובה משותף ולכן היחס בין שטחי המשולשים הללו הוא כמו יחס הצלעות CD ו BD.

כלומר אם:
BD = 4CD
אז
SABD = 4 * SADC

מקרה שלישי: שטח משולש החסום במלבן / מקבילית / ריבוע / מעוין שווה למחצית משטח המרובע בו הוא חסום.

הסבר:
למשולש EBC ולמלבן יש צלע משותפת BC.

בנוסף, הגובה במשולש EF שווה לצלע המלבן DC.
כי:

  1. במרובע EFDC יש 3 זוויות השוות 90 מעלות.
  2. מרובע בו יש 3 זוויות שגודלן 90 מעלות הוא מלבן.
  3. במלבן צלעות נגדיות שוות ולכן EF = DC.

חישוב שטח המלבן הוא:
SABCD = DC * BC

חישוב שטח המשולש הוא:

מכוון שאת שטח המשולש מחלקים פי 2 ואת שטח המלבן לא מחלקים.
אז שטח המלבן יהיה גדול פי 2 משטח המשולש.

שתי הערות
הערה 1
שטח המשולש הוא חצי משטח המלבן ולכן השטח הנמצא מחוץ למשולש גם הוא חצי משטח המלבן.
כלומר השטח המקווקו בירוק שווה לשטח המשולש וגם שווה לחצי משטח המלבן.

הערה 2
כל מה שאמרנו על מלבן נכון גם למקבילית / ריבוע / מעוין.
גם עבור הצורות הללו אם יש משולש החסום בהם על שטח המשולש שווה למחצית משטח המרובע.

סיכום

1.כאשר בין שני משולשים גם הגובה וגם הצלע אליה מגיע הגובה שווים:
אז שטחי המשולשים שווים.

2. כאשר בין שני משולשים רק אחד מהדברים (גובה או הצלע אליה מגיע הגובה שווים):
אז יחס השטחים הוא כמו היחס בין הדבר שאינו שווה.

3. כאשר במשולש ומלבן (או מקבילית, או ריבוע או מעוין) הצלע והגובה שווים:
אז שטח המשולש שווה לחצי משטח המלבן.

לרוב התרגילים בדף יש גם פתרונות וידאו המופיעים מיד לאחר הפתרון הכתוב.

את הדף יכולים לפתור תלמידי חטיבת הביניים, אבל זה דף קשה יחסית שגם תלמידי תיכון יכולים ללמוד ממנו.

יחס שטחים בין מרובע למשולש

תרגיל 1

נתון מלבן ABCD שרוחבו 4 ס"מ ואורכו 10 ס"מ.
על צלע BC בנו משולש BCE כך שקודקוד E נמצא על צלע AD.
חשבו את שטח משולש BCE.

שרטוט התרגיל

פתרון

הגובה EF שווה לאורך המלבן 10 ס"מ.
(כי המרובע AEFB הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו, הסבר מפורט יותר בוידאו).
שטח משולש BEC הוא:
2 : (10*4)
20=40:2.
תשובה: שטח משולש BEC הוא 20 סמ"ר.

שימו לב לדברים הבאים:

  1. שטח המלבן הוא 40 סמ"ר. ובכול התרגילים מהסוג הזה שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.
  2. זה לא משנה איפה הנקודה E נמצאת על צלע AD.

*תרגיל 2: כמו תרגיל 1 אבל עם משתנים ולא מספרים

נתון מלבן שאורך צלעותיו הם a,b.
המשולש EAD חסום במלבן.
הוכיחו כי שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.

שרטוט התרגיל

פתרון
נחשב את שטח המלבן ושטח המשולש ואז נראה מה הקשר בניהם.
שטח המלבן
S = a * b

שטח המשולש
גובה המשולש EF=b.
(כי המרובע EFDC הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו. הסבר מפורט יותר בוידאו).
לכן שטח המשולש הוא:
S = (a * b) : 2 = 0.5ab

תשובה: שטח המלבן הוא a*b  שטח המשולש הוא 0.5a*b.
לכן שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.

תרגיל 3

בשרטוטים הבאים נתונים מלבן ומשולש ישר זווית הבנוי על צלע המלבן.
קבעו על פי הנתונים בשרטוט האם שטח המלבן שווה / קטן / גדול לשטח המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון
הנוסחה לשטח המלבן היא:
שטח = מכפלת הצלעות.
הנוסחה לשטח משולש ישר זווית היא:
שטח = מכפלת הניצבים לחלק ב- 2.

כלומר אם צלעות המלבן שוות לניצבי המשולש אז שטח המשולש שווה למחצית משטח המלבן.

בנוסף בשלושת המקרים הפתרון מבוסס על כך שצלע המלבן שווה לגובה המשולש.

הפתרון של שרטוט 1.
x  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
4x
שטח המשולש הוא:
4x : 2 = 2x
תשובה: שטח המשולש קטן משטח המלבן, שטח המשולש הוא מחצית משטח המלבן.

הפתרון של שרטוט 2.
y  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
y * 4
שטח המשולש הוא:
y * 6) : 2 = 3y)
תשובה: שטח המלבן גדול משטח המשולש.

הפתרון של שרטוט 3.
z  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
z * x
שטח המשולש הוא:
z * 2x) : 2 = zx)
שטח ומלבן ושטח המשולש שווים, שניהם שווים ל- zx.

תרגיל 4

אורך הניצבים של משולש ישר זווית הוא 5 ו 2 סנטימטר.
בטרפז ישר זווית אורך הבסיס הקטן הוא 20 סנטימטר ואורך הבסיס הגדול 25 סנטימטר.
גובה הטרפז שווה ל- 2 סנטימטר.
חשבו כמה משולשים יכולים להיכנס בטרפז.
(הערה, ניסוח אחר לאותה שאלה יכול להיות: פי כמה גדול שטח הטרפז משטח המשולש).

שרטוט התרגיל

פתרון
משני משולשים ישרי זווית ניתן ליצור מלבן שאורך צלעותיו 5 ו- 2.

מלבן שנוצר משני משולשים ישרי זווית

מלבן שנוצר משני משולשים ישרי זווית

מלבן זה נכנס 4 פעמים עד קצה הבסיס הקטן של הטרפז.
(כי 4 = 5 : 20).

לאחר מיכן יש מקום לעוד משולש אחד.
סך הכל משולשים שנכנסו:
8 = 2 * 4 ( כי בכול מלבן שהכנסנו יש 2 משולשים).
1 שנכנס בסוף
תשובה: 9 משולשים נכנסים בתוך הטרפז.

תרגיל 5

בריבוע ABCD העבירו את הישרים CE ו- DF כך שנוצר טרפז.
אורך צלע הריבוע 10 סנטימטר.
AF = 2,  BE = 6 סנטימטר.

  1. מבלי לבצע חישוב, הגידו האם שטח הטרפז גדול / קטן שווה לחצי שטח הריבוע.
  2. חשבו את שטח הטרפז מבלי להשתמש בנוסחה לשטח טרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

האם שטח הטרפז גדול / קטן / שווה לשטח הריבוע?
למדנו שכאשר משולש חסום בריבוע או מלבן הוא שווה למחצית משטחם. שטח טרפז חסום גדול יותר משטח משולש חסום כי אנו מרחבים את החלק העליון.
לכן שטח הטרפז גדול ממחצית שטח הריבוע.

למדנו קודם ששטח משולש FCD שווה למחצית שטח הריבוע. לכן שטח הטרפז גדול ממחצית שטח הריבוע

חלק שני: חישוב שטח הטרפז
נחשב את שטח הריבוע. נחסר ממנו את שטח שני המשולשים ישרי הזווית הנמצאים בצדדים וכך נמצא את שטח הטרפז.
SFECD = SABCD – SAFD – SEBC
שטח הריבוע:
100 = 10 * 10

שטח המשולשים
AD = BC = 10 צלעות המשולש שוות זו לזו.
SAFD = (10 * 2) : 2
SAFD = 20 : 2 = 10

SBEC = (6 * 10) : 2
SBEC = 60 :2 = 30

שטח הטרפז הוא:
SFECD = SABCD – SAFD – SEBC
SFECD = 100 – 30 – 10 = 60
תשובה: שטח הטרפז 60 סמ"ר.

שאלות יחס בין שטחים של שני משולשים

הסבר

בין שני משולשים יכול להיות גובה שווה או צלע שווה.
במקרה כזה היחס בין שטחי המשולשים הוא כמו היחס בין החלק שאינו שווה.

למשל:

למשולשים ABC ו- DBC יש צלע משותפת (BC) והגובה היוצא מהקודקוד A גדול פי 2.5 מהגובה היוצא מקודקוד B. לכן שטח משולש ABC גדול פי 2.5 משטח משולש DBC.

למשולשים ABC ו- DBC יש צלע משותפת (BC) והגובה היוצא מהקודקוד A גדול פי 2.5 מהגובה היוצא מקודקוד B. לכן שטח משולש ABC גדול פי 2.5 משטח משולש DBC.

למשולשים ABD ו- ACD יש גובה משותף AE. שטח משולש ABD גדול פי 5 משטח משולש CD.

למשולשים ABD ו- ACD יש גובה משותף AE.
שטח משולש ABD גדול פי 5 משטח משולש CD.

תרגיל 1: משולשים חסומים במלבן

המשולשים ECD ו- GCD חסומים במלבן.
האם ניתן לקבוע מי מבין המשולשים גדול יותר?

שרטוט התרגיל

פיתרון
למשולשים יש צלע משותפת ושווה (CD).
גם הגבהים של המשולשים שווים EF = GH.
לכן שטח המשולשים שווה.

שוויון בשטחי המשולשים

שוויון בשטחי המשולשים

תרגיל 2: משולשים עם צלע משותפת ומרובע הנוצר מיהם

למשולשים ABD ו- CBD יש צלע משותפת (BD)
משולש CDB הוא משולש ישר זווית שאורך הצלע שלו CD = 6.
אורך הגובה AE הוא 3.

  1. פי כמה גדול שטח משולש CDB משטח משולש ABD.
  2. **פי כמה גדול מרובע ABCD ממשולש ABD.

שרטוט התרגיל

פתרון

שטחי המשולשים הוא:
SABD = 3BD : 2 = 1.5BD
SCDB = 6BD : 2 = 3BD

תשובה: שטח משולש CDB גדול פי 2 משטח משולש ABD.

פי כמה גדול מרובע ABCD ממשולש ABD.
נגדיר:
SABD = X
על פי מה שמצאנו בסעיף הקודם.
SCDB = 2X
שטח המרובע כולו הוא סכום שטחי המשולשים:
SABD + SCDB = 2X + X = 3X

שטח המרובע 3X, שטח המשולש SABD = X.
תשובה: שטח המרובע ABCD גדול פי 3 משטח המשולש ABD.

תרגיל 3

במשולש ABC מעבירים את הגובה AD אל הצלע BC.
נתון BD = 3, CD = 12.

  1. מה היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ACD.
  2. מה היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון

שטח משולש ABD הוא:
3AD : 2 = 1.5AD
שטח משולש ADC הוא:
12AD : 2 = 6AD.

4 = 1.5 : 6
תשובה: שטח משולש ACD גדול פי 4 משטח משולש ABD.

חלק שני: היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ABC.
נפתור את התרגיל בשני דרכים. בשתי הדרכים נצטרך לחשב את שטח משולש ABC אך בכול פעם נעשה זאת בדרך אחרת.
דרך ראשונה.
בדרך זו מחשבים את שטח משולש ABC בעזרת הנוסחה לשטח משולש.
BC = 3 + 12 = 15
נחשב את שטח משולש ABC:
15AD : 2 = 7.5AD
מצאנו קודם ששטח משולש ABD הוא 1.5AD.
5 = 1.5 : 7.5
תשובה: שטח משולש ABC גדול פי 5 משטח משולש ABD.

דרך פתרון שנייה.
בדרך זו מחשבים את שטח משולש ABC בעזרת חיבור שטחי המשולשים הקטנים.
נגדיר
SABD = X
SADC = 4X
השטח של המשולש הגדול (ABC) שווה לסכום שטחי המשולשים.
SABC = X + 4X  = 5X

שטח ABD הוא X, שטח ABC הוא 5X.
שטח משולש ABC גדול פי 5 משטח משולש ABD.

תרגיל 4

מגדילים את כל אחד מהניצבים של משולש ישר זווית פי 3.
פי כמה יגדל שטח המשולש החדש ביחס למשולש הראשון?

פתרון
נגדיר את הניצבים של המשולש הראשון כ- x ו y.
גודל הניצבים של המשולש הגדול הוא 3x, 3y.

שטח המשולש הקטן הוא:
שטח המשולש הקטן

שטח המשולש הגדול הוא:
שטח המשולש הגדול

ניתן לראות ששטח המשולש הגדול הוא פי 9 משטח המשולש הקטן.

עוד באתר:

יחס בין שטחים: חישוב שטחים שיש להם גובה או בסיס משותף

נושא שעולה בשאלות רבות הוא יחס השטחים בין צורות שיש להם צלע או גובה משותפים.

ברוב הצורות השטח מחושב על ידי מכפלת שתי צלעות או צלע וגובה ואם אחד מהגורמים הללו זהה זה אומר שיחס השטחים נקבע על ידי הגורם השני.

  • את התרגיל הראשון גם תלמידים טובים בכיתה ח אמורים לדעת לפתור. עבור שאר התלמידים נדרש ידע של כיתות ט-י.
  • יחס בין שטחים לחטיבת הביניים הוא דף נוסף הכולל תרגילים דומים אבל קלים יותר.

הדוגמה הנפוצה ביותר בתחום הזה הוא משולש החסום במלבן או מקבילית.

שטח משולש BEC יהיה תמיד שווה לחצי משטח המלבן ולא משנה איפה הנקודה E נמצאת (אך הנקודה E חייבת להיות על הצלע AD).

הוכחה:
שלב א: ניצור משוואות עבור שטח המשולש ושטח המלבן
שטח מלבן שווה ל:
SABCD = AB * BC
(משוואה 1).

שטח המשולש שווה ל:
SBEC = 0.5EF*BC
(משוואה 2).

שלב ב: נוכיח כי גובה המשולש שווה לצלע המלבן
בנוסף מרובע AEFB הוא מלבן – כי יש בו 3 זוויות השוות ל 90 מעלות.
לכן:
AB = EF
(משוואה 3).

שלב ג: חישוב היחס בין השטחים
נציב את משוואה 3 במשוואה 2 ונקבל:
SBEC = 0.5AB*BC
משוואה 1 היא:
SABCD = AB * BC

ניתן לראות ששטח המשולש הוא שטח המלבן כפול 0.5.
לכן שטח המלבן גדול פי 2 משטח המשולש.

אם היינו רוצים להוכיח זאת במשוואה היינו כותבים זאת כך:

תרגילים

הכלל הבסיסי בפתרון תרגילים מסוג זה:
לבטא את השטח של שתי הצורות בעזרת אותם משתנים.

תרגיל 1
על המלבן ABCD בנו מקבילית DEFG כך ש:
AD = 4ED
AB = 2FH.
FH הוא גובה המקבילית.
חשבו את היחס בין שטח המקבילית לשטח המלבן.

פתרון
שלב א: כתיבת נוסחאות לחישוב שטח המקבילית והמלבן
שטח מלבן ABCD הוא:
SABCD = AB * AD
שטח מקבילית DEFG הוא:
SDEFG = ED * FH

שלב ב: הצבת הנתונים בנוסחת שטח המלבן וחישוב היחס
שטח המלבן הוא:
SABCD = AB * AD
נציב בנוסחת שטח המלבן את הנתונים:
AD = 4ED
AB = 2FH.
אנו עושים זאת על מנת לבטא את שטח המלבן ושטח המקבילית בעזרת אותם משתנים.
נקבל:
SABCD = 2FH * 4ED = 8FH * ED

שטח המקבילית הוא:
SDEFG = ED * FH
ניתן לראות ששטח המלבן הוא פי 8 משטח המקבילית.

תרגיל 2
(תרגיל זה לא קשה, אבל צריך לדעת את משפט חוצה הזווית על מנת לפתור אותו).
במשולש ABC ידוע כי AB = 6, AC = 8.
מעבירים את חוצה הזווית AD.

  1. חשבו את היחס בין שטחי המשולשים ACD  : ABD
  2. חשבו את היחס בין שטחי שלושת המשולשים  ACD  : ABD : ABC

פתרון
שלב א: בניית נוסחאות לשטח שני המשולשים
נשים לב שעבור שני המשולשים שאנו צריכים לחשב את היחס שלהם ACD  : ABD
יש גובה משותף.

SACD = 0.5AE * DC
SABD = 0.5AE * BD

שלב ב: נמצא את הקשר שבין DC ל BD.
על פי משפט חוצה הזווית במשולש מתקיים:

8DC = 6BD
1.33DC = BD

נציב את המשוואה שקיבלנו בנוסחת שטח  משולש ABD:
SABD = 0.5AE * BD
ונקבל:
SABD = 0.5AE * 1.33DC
SABD = 1.33 * 0.5AE * DC

כמו כן:
SACD = 0.5AE * DC

לכן היחס ACD  : ABD הוא 1.33 : 1
(ניתן לכתוב גם (4 : 3).

סעיף ב: חישוב היחס  ACD  : ABD : ABC
נגדיר:
SACD = 3x
לכן, על פי היחס שמצאנו בסעיף א:
SABD = 4x
שטח המשולש כולו הוא סכום שטחי שני המשולשים:
SABC = 3x + 4x = 7x

לכן היחס בין שטחי שלושת המשולשים הוא כמו היחס בין:
3x : 4x : 7x
7 : 4 : 3

תרגיל 3: שימוש בתכונות דלתון
בדלתון ABCD שני האלכסונים נפגשים בנקודה O.
ידוע כי היחס בין AO : CO הוא 4 : 1.
חשבו את:

  1. היחס בין שטחי המשולשים ABD : CDB.
  2. בין שטח משולש CDB לבין שטח דלתון ABCD.

(התכונה השימושית של הדלתון היא שאלכסוניו מאונכים זה לזה).

פתרון
שלב א: נבנה נוסחאות לשטחי שני המשולשים
SABD = 0.5DB * AO
SCDB = 0.5DB * CO

שלב ב: נגדיר את שני השטחים בעזרת אותם משתנים ונמצא את היחס
אנו יודעים כי:
CO = 4AO
נציב זאת בנוסחת שטח משולש CDB.
SCDB = 0.5DB * 4AO = 4 * 0.5DB * AO

כמו כן אנו יודעים כי:
SABD = 0.5DB * AO

לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא:

תשובה: היחס בין שטחי המשולשים ABD : CDB הוא 4 : 1.

שאלה 4
נתון טרפז ABCD. ידוע כי DC / AB = 4.
שטח משולש ACD הוא 40 סמ"ר.
חשבו את שטח טרפז ABCD.

טרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נשים לב כי שטח הטרפז הוא סכום שטחי המשולשים ACD+ CAB.
  2. על מנת לפתור את התרגיל נעביר גבהים במשולשים ACD ו CAB. אלו גם גבהים לבסיסי הטרפז.

שרטוט הגבהים בטרפז

נעביר את הגובה AE לצלע DC. ואת הגובה CF לצלע AB.

שלב 1: נוכיח כי הגבהים AE ו- CF שווים זה לזה

  1. EAF = 90∠ זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל 180 מעלות.
  2. AFCE מלבן. מרובע ששלוש זוויותיו שוות 90 מעלות הוא מלבן.
  3. AE= CF צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.

שלב 2: מציאת היחס בין שטחי המשולשים  ACD ו CAB

נשתמש בשוויון AE= CF ונקבל

נשתמש בשוויון AE= CF ונקבל

מכוון שבמשולשים ACD ו CAB אורך הגבהים שווה.
היחס בין הבסיסים AB ו- DC הוא זה שקובע את היחס בין שטחי המשולשים.

לסיכום: שטח משולש SACD = 40 גדול פי 4 משטח משולש SCAB.

SCAB = 40:4=10.

שלב 3: חישוב שטח הטרפז כולו

SABCD = SCAB + SACD = 10+40=50.
תשובה: שטח הטרפז הוא 50 סמ"ר.

שאלה 5: שילוב עם דמיון משולשים
בטרפז ABCD האלכסונים נפגשים בנקודה O.
ידוע כי AC = 5AO.

  1. הוכיחו את הדמיון AOD ∼ COB ומצאו את יחס הדמיון.
  2. מצאו את יחס השטחים AOD : AOB
  3. ידוע כי שטח משולש AOD הוא 8 סמ"ר. מצאו את שטח הטרפז כולו.

פתרון
סעיף א: הוכחת דמיון משולשים
OAD = ∠OCB.    ∠ODA = ∠OBC
זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
AOD ∼ COB  דמיון משולשים על פי ז.ז

מציאת יחס הדמיון
מציאת יחס הדמיון מתבססת על נתון AC = 5AO.
נגדיר: AO = X
הצלע המתאימה ל AO בדמיון המשולשים היא CO. ננסה למצוא את CO.
לכן AC = 5X

CO = AC – AO = 5x – x = 4x
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:

4

סעיף ב:  יחס השטחים AOD : AOB
נשים לב שלשני המשולשים יש גובה משותף

SAOD = 0.5AE * OD
SAOB = 0.5AE * OB

הצלעות OD, OB הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים שיחס הדמיון שלהם הוא 4.
לכן
OB = 4OD.

נציב זאת במשוואה השנייה ונקבל:
SAOB = 4 * 0.5AE * OD

לכן היחס בין השטחים הוא:

תשובה: היחס בין שטחי המשולשים AOD : AOB הוא 4 : 1.

סעיף ג: מציאת שטח הטרפז כולו
ניתן להראות בדרך שעשנו בסעיף ב כי שטח משולש DOC גדול פי 4 משטח משולש AOD.
לכן אם שטח משולש AOD הוא 8 סמ"ר אז:
SAOB = SAOD = 8 * 4 = 32

כמו כן יחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

16SAOD = SBOC
SBOC = 16 * 8 = 128

שטח הטרפז שווה לסכום ארבעת המשולשים:
SABCD = 128 + 32 + 32 + 8 = 200

עוד באתר: