ארכיון הקטגוריה: מעגל

מרובע חוסם מעגל

מרובע חוסם מעגל משפטים

הגדרה: מרובע חוסם מעגל הוא מרובע שארבע צלעותיו משיקות למעגל.

משפט: מרובע חוסם מעגל אם ורק אם סכום אורכי צלעות נגדיות שווה לסכום הצלעות הנגדיות האחר.

אם מרובע חוסם מעגל אז סכום כל זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה

אם מרובע חוסם מעגל אז סכום כל זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה

בנוסף כאשר מרובע חוסם מעגל הצלעות שלו הן משיקים למעגל. לכן משתמשים הרבה במשפטי משיק. אלו הם המשפטים הבולטים:

  1. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה עד לנקודת ההשקה.
  2. ישר המחבר את הנקודה ממנה יוצאים שני המשיקים עם מרכז המעגל חוצה את הזווית שיוצרים שני המשיקים.
  3. המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
  4. זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

שרטוטים ותרגילים הקשורים למשפטים הללו תוכלו למצוא בדף משיק למעגל.

תרגילים

מצורפים 3 תרגילים, לשלושתם פתרונות כתובים ופתרונות וידאו.
פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

טרפז ABCD חוסם מעגל.
האלכסון AC הוא חוצה זווית.
ידוע כי CD = 1.5AB
הצלע AD גדולה מהצלע AB ב 4 סנטימטר.
חשבו את אורך צלעות הטרפז.

שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון: עלינו להגדיר את הגודל של ארבעת הצלעות בעזרת משתנה אחד.
לאחר מיכן נבנה משוואה בעזרת המשפט "סכום צלעות נגדיות במרובע שווה לסכום הצלעות השני במרובע".

פתרון

שלב 1: הגדרת משתנה והגדרת צלעות באמצעותו
נגדיר AB = X.
הסיבה שבחרנו את AB היא בגלל שקל להגדיר באמצעותו צלעות אחרות.
לכן CD = 1.5X
AD = AB + 4 = X + 4

שלב 2: הגדרת הצלע DC
הגדרנו שלוש צלעות בעזרת המשתנה X.
הצלע החסרה לנו היא צלע DC.
נראה כיצד הנתון ש AC הוא חוצה זווית עוזר לנו לפתור את התרגיל.
נגדיר:
BCA = ∠DCA = a∠  בגלל ש AC הוא חוצה זווית.
CAB = ∠ DCA∠   זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
BC = AB = X  במשולש ADC זוויות הבסיס שוות לכן המשולש הוא משולש שווה שוקיים.

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
נסכם את גדלי הצלעות:
AD = X + 4
BC = X
AB = X
CD = 1.5X
סכום זוג צלעות נגדיות במרובע החוסם מעגל שווה לסכום השני. לכן:
AD + BC = AB + DC
X+4 + X = X +1.5X
2X + 4 = 2.5X / -2X
0.5X = 4  / *2
X = 8

תשובה: גדלי הצלעות הם:
AD = X + 4 =12
BC = X = 8
AB = X  = 8
CD = 1.5X = 12

פתרון וידאו:

תרגיל 2

מרובע ABCD חוסם מעגל.
נקודות ההשקה של המעגל הן EFGH. ידוע כי:
A = 120,  ∠B = 110∠,  ∠C = 70,   ∠D = 60
חשבו את זוויות המרובע EFGH.

שרטוט התרגיל

פתרון

פתרון התרגיל מבוסס על כך ש "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה"

  1. בגלל המשפט הזה המשולשים DHG, CFG, BFE, AEH הם משולשים שווי שוקיים.
  2. נשלים את הזוויות שלהם על פי סכום זוויות במשולש שווה ל 180 מעלות.
  3. עכשיו הזוויות של המרובע הפנימי הן זוויות צמודות המשלימות ל 180 מעלות שתי זוויות אחרות.
    כך למשל הזווית G משלימה את הזוויות 55 ו 60 ל 180 ולכן G=65∠.
  4. בצורה זו ניתן לקבל למצוא את כל ארבעת הזוויות:
    H=90, E=115, F=90, G=65

שרטוט התרגל והזוויות

דרך פתרון נוספת
דרך נוספת וקצרה יותר היא לחשב בצורה שתוארה שתי זוויות סמוכות ( למשל E ו H או H  ו G).
ואז להשלים את השתיים האחרות בעזרת המשפט "במרובע החסום במעגל זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180 מעלות".

פתרון וידאו:

תרגיל 3

מרובע ABCD חוסם מעגל שמרכזו O.
הוכיחו כי סכום הזוויות AOB+∠DOC=180∠.

שרטוט התרגיל

 

פתרון

בהתבסס על המשפט "הישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית ממנה יוצאים המשיקים". נסמן במספרים את 8 הזוויות שיוצרים הישרים הללו עם המשיקים. ונסמן גם את הזווית שיוצרים הישרים הללו במרכז המעגל.

שרטוט הזוויות בתרגיל

ניתן לראות כי:
AOB+∠DOC = 180-2-1 + 180-3-4 =360-1-2-3-4∠

כמו כן אנו יודעים כי סכום זוויות במרובע הוא 360.
לכן 1+2+3+4=180.
ולכן
AOB+∠DOC = 360 -180 -= 180∠

פתרון וידאו

עוד באתר:

  1. מרובע חסום במעגל.
  2. מעגל משפטים – המשפטים שיש לדעת לבגרות.
  3. מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים רבים.

מיתר במעגל משפטים ותרגילים

בדף זה 6 משפטים המאושרים לשימוש בבגרות בנושא מיתרים במעגל.

לאחר המשפטים מופיעים תרגילים, הכוללים פתרון כתוב ופתרון בוידאו.

המשפטים הם:

  1. 63. במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו.
  2. 64.מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
  3. 65.מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.
  4. 66. במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר, אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.
  5. 67. האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.
  6. 68. קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

יש עוד משפט בנושא מיתרים ששיך גם לנושא זוויות ומשיקים במעגל:

  • זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

(המספרים המופיעים ליד המשפטים הם המספרים מתוך רשימת 104 המשפטים בגיאומטריה המאושרים לשימוש ללא הוכחה)

שרטוט המשפטים

הקשר בין גודלו של מיתר לקשת עליה הוא נשען

63 במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו

63 במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו

3 משפטים על הקשר שבין גודלו של מיתר ומרחקו ממרכז המעגל

64.מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל. 65.מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.

64.מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
65.מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.

66.במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר, אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

66.במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר, אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

2 משפטים על כך שאנך למיתר חוצה אותו ואת הקשת שמאחוריו (ולהפך)

67.האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר. 68.קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

67.האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.
68.קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

תרגילים

תרגיל 1

נתון מיתר AB שמאונך אליו רדיוס OC.
הוכיחו המרובע ACBO הוא דלתון.
(תזכורת: דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווה שוקיים).

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. OA=OB – רדיוסים.
  2. AD=DB – ישר היוצא ממרכז המעגל ומאונך למיתר חוצה את המיתר.
  3. AOC=∠BOC∠ – במשולש שווה שוקיים תיכון הוא גם חוצה זווית.
  4. AC=CB – זוויות מרכזיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
  5. המרובע ACBO הוא דלתון. (נובע מ: 1 ו- 4).

פתרון וידאו

תרגיל 2

AB הוא קוטר במעגל המאונך למיתר CD.  הקוטר והמיתר נפגשים בנקודה E.
אם גודל הקשת CD הוא 100 מעלות. מה גודל הקשת CB?
הוכיחו כי משולש ACD הוא משולש שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל

פתרון כתוב

  1. גודל הקשת CB הוא 50 מעלות בגלל שאנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הקשת עליה נשען המיתר.

סעיף ב.
ניתן לפתור בשתי דרכים.

דרך 1

  1. OE חוצה את המיתר CD לשניים. כי ישר היוצא ממרכז המעגל ומאונך למיתר חוצה אותו לשניים.
    כלומר: CE = ED.
  2. במשולש ACD הישר AE הוא תיכון וגובה לצלע CD.
  3. משולש ACD הוא משולש שווה שוקיים כי אם במשולש התיכון הוא גם גובה אז המשולש שווה שוקיים.

דרך שנייה (אם כבר למדתם משפטים על זוויות במעגל):

  1. BAD = ∠BAC∠   על קשתות שוות נשענות זוויות היקפיות שוות.
  2. AE הוא חוצה זווית וגובה במשולש ACD.
  3. ACD הוא משולש שווה שוקיים  – אם במשולש חוצה זווית הוא גם גובה אז המשולש שווה שוקיים.

פתרון וידאו

תרגיל 3

טרפז חסום במעגל.
ממרכז המעגל O מעבירים שני אנכים לשוקי הטרפז (OE, OF)
הוכיחו:
1. הישר EF הוא קטע אמצעים בטרפז.
2. האם OE = OF? אם כן נמקו, אם לא חשבו על תנאי הקשור לטרפז שיהפוך את הישרים לשווים.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. OE,OF הם אנכים למיתרים במעגל. נשתמש במשפט:
    "אנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר".
  2. לכן: AE = ED וגם BF = FC.
  3. EF הוא קטע אמצעים בטרפז על פי המשפט " ישר היוצא מאמצע שוק בטרפז ומגיע אל אמצע השוק השנייה הוא קטע אמצעים בטרפז".

חלק שני
יש משפט האומר "מיתרים שווים בגודלם נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל".
לכן אם AD = BC אז OE = OF.
לכן התנאי שצריך להוסיף לטרפז הוא שהוא יהיה שווה שוקיים.

אם כבר למדתם על זוויות היקפיות תוכלו להוכיח שהטרפז הוא שווה שוקיים.
בדרך הזאת.

  1. נעביר את האלכסון AC.
  2. DCA = ∠CAB∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. AD = BC על פי המשפט "זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים".
שתי הזוויות הירוקות הן מתחלפות שוות ולכן BC = AD

שתי הזוויות הירוקות הן מתחלפות שוות ולכן BC = AD

עוד באתר:

  1. גיאומטריה – הדף המרכזי בנושא.
  2. מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים לדפים רבים.

תכונות המעגל, רדיוס וקוטר

התכנים הקשורים למעגל בית הספר היסודי ובבית ספר התיכון שונים לגמרי.
דף זה הוא על תכונות המעגל שאתם נדרשים לדעת בבית הספר היסודי. עבור תלמידי בית הספר התיכון אני ממליץ לכם לעבור לדף מעגל משפטים הכולל מידע על המשפטים שאתם נדרשים לדעת בבגרות על המעגל (תלמידי 4-5 יחידות).

הגדרת המעגל ורדיוס

מעגל הוא אוסף נקודות שמרחקן מנקודה אחת (מרכז מעגל) היא גודל קבוע.

מרחק הנקודות הנמצאות על המעגל ממרכז המעגל (M) הוא גודל קבוע והוא רדיוס המעגל

מרחק הנקודות הנמצאות על המעגל ממרכז המעגל (M) הוא גודל קבוע והוא רדיוס המעגל

מרחק הנקודות A,B,C,D מהנקודה M הוא אותו מרחק והוא רדיוס המעגל.

קוטר מעגל

קוטר מעגל – קטע המחבר שתי נקודות הנמצאות על המעגל ועובר דרך מרכז המעגל.
במעגל יש אינסוף קטרים.

שרטוט קוטר במעגל

קוטר במעגל

הקטעים AB, CD, EF הם קטרים במעגל וניתן להעביר עוד אינסוף קטרים.

משיק למעגל

משיק למעגל הוא ישר חיצוני למעגל שיש לו רק נקודת מגע אחת עם המעגל.

מיתר וקשת

מיתר – הוא ישר  המחבר שתי נקודות הנמצאות על המעגל.
קוטר הוא אחד מסוגי המיתרים. רדיוס הוא לא מיתר, משום שקצה אחד שלו לא נמצא על קוטר המעגל.

קשת – שתי נקודות על שפת המעגל התוחמות ביניהן חלק מהיקף המעגל.
(ובמילים אחרות החלק על המעגל בין שתי נקודות נקרא קשת).

שרטוט של קשת, מיתר, קוטר, רדיוס ומשיק

זווית מרכזית

זווית מרכזית היא זווית שקודקודה נמצא הוא מרכז המעגל ושקיה הם רדיוסי המעגל.
אם עושים סיבוב מלא של המעגל סכום הזוויות המרכזיות הוא 360 מעלות.

זווית היקפית

זווית היקפית היא זוויות שקודקודה נמצא על היקף המעגל.
זווית היקפית הנשענת על אותה קשת שזווית מרכזית נשענת עליה שווה למחצית הזוויות המרכזית.

זווית מרכזית וזווית היקפית

שטח מעגל

חישוב שטח מעגל נעשה על ידי הנוסחה S=r²₶.
חישוב היקף מעגל הוא נעשה על ידי הנוסחה P=2₶rr.

שטח עיגול

שטח גזרה

גזרה היא חלק משטח המעגל.
שטח גזרה מחושב על פי החלק היחסי של הזוית המרכזית עליה נשענת הגזרה משטח המעגל.
אם הזווית המרכזית היוצרת את הגזרה היא a אז שטח הגזרה הוא a לחלק ב 360 כפול שטח המעגל (S=r²₶).
למשל, אם הזווית המרכזית היא 60 מעלות אז שטח הגזרה הוא 60/360 משטח המעגל. אם הזווית המרכזית היא 25 מעלות אז שטח הגזרה הוא 25/360 משטח המעגל.

אם הזווית המרכזית היוצרת את הגזרה היא a אז שטח הגזרה הוא a לחלק ב 360 כפול שטח המעגל (S=r²₶).

עוד באתר:

  1. שטח עיגול – הסבר ותרגילים.
  2. היקף מעגל – הסבר ותרגילים
  3. מעגל – הדף המרכזי על הצורה.
  4. תכונות המעגל – הכרת המושגים הבסיסיים במעגל.
  5. מעגל משפטיםמשיק למעגלמיתר במעגל – אוסף של משפטים ותרגילים הקשורים למשפטים במעגל.

מעגל חסום במשולש ומשולש חוסם מעגל

משפטים על משולש חוסם מעגל

משפט: מרכז מעגל החסום במשולש הוא נקודת מפגש חוצי הזווית של המשולש.

מעגל חסום במשולש

בנוסף אם משולש חוסם מעגל אז הצלעות שלו משיקות למעגל. לכן כל משפטי משיק למעגל מתאימים לשאלות הללו. בין המשפטים הללו תמצאו את:

  1. שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת שווים באורכם.
  2. הישר המחבר את הנקודה ממנה יוצאים שני משיקים אל מרכז המעגל חוצה את הזווית שיוצרים המשיקים.
  3. הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
  4. זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.

כמו כן שימו לב למשפט האומר:

  1. חוצה זווית נמצא במרחקים שווים משוקי הזווית.
  2. המשפט ההפוך: אם ישר נמצא במרחקים שווים משוקי הזווית אז הוא חוצה זווית.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש ABC הישר AD הוא תיכון לבסיס BC והוא עובר דרך מרכז המעגל החסום במשולש (הנקודה O). הוכיחו כי המשולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. הישר AD הוא חוצה זווית A∠, בגלל שהוא עובר דרך נקודת המפגש של חוצה הזווית (O).
  2. נובע מכך ש AD הוא תיכון וחוצה זווית גם יחד – ואם במשולש התיכון הוא גם חוצה זווית אז המשולש הוא שווה שוקיים.

תרגיל 2

משולש ABC חוסם מעגל. D היא נקודת ההשקה של המעגל עם הצלע BC.
AB=10, AC = 12,  CD=8
חשבו את היקף המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון

הדבר היחידי שחסר לנו על מנת לחשב את היקף המשולש הוא הגודל BD. ואנו יודעים כי BD=BE.

  1. CD=CF=8 שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
  2. AF=12-8=4
  3. AE=AF=4  שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
  4. BE=10-4=6
  5. BD=BE=6 שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.

היקף המשולש הוא:
36= 6+8+12+10

משולש חסום במעגל

משפט: במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

מה הם בדיוק אנכים אמצעיים?
אנכים אמצעיים הם ישרים המגיעים לאמצע צלע ומאונכים אליה.
אנכים אמצעיים במשולש לא חייבים לצאת מקודקוד המשולש.

תכונה נוספת של משולש חסום במעגל היא שקודקודי המשולש נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל (המרחק תמיד שווה לרדיוס המעגל).

במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

תרגיל 1

נתון משולש ΔABC שהנקודה O היא מרכז המעגל החוסם אותו.
נתון: OAB=35∠,  וזווית OCA=25∠.
חשבו את זוויות שלושת המשולשים שבתוך משולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון

הפתרון מתבסס על כך שהצלעות OA, OB, OC שוות זו לזו כי הן שוות לרדיוס המעגל החוסם. לכן הצלעות הללו יוצרות 3 משולשים שווי שוקיים שזוויות הבסיס שלהם שוות.

  1. OAC=25∠ – זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים ΔCOA.
  2. OBA=35∠ – זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים ΔBOA.
  3. OBC+∠OCB=180-70-50=60∠ – משלימות ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
  4. OBC=∠OCB=60/2=30∠ – זווית בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.

שרטוט פתרון התרגיל

תרגיל 2

הוכיחו:

  1. במשולש שווה צלעות נקודת מפגש התיכונים היא מרכז המעגל החוסם.
  2. במשולש שווה צלעות נקודת מפגש התיכונים היא מרכז המעגל החסום.

פתרון

נעביר במשולש שווה צלעות ABC את התיכונים AD, BF, CE.

מעגל חוסם משולש

במשולש שווה צלעות שלושת התיכונים הם גם גבהים.
לכן AD, BE, CF הם אנכים אמצעים.
נקודת מפגש האנכים האמצעים (שבמקרה זה היא נקודת מפגש התיכונים) היא מרכז המעגל החסום.

סעיף 2.
נעביר במשולש שווה צלעות ABC את חוצה הזווית AD, BE, CF.

מעגל חסום במשולש

במשולש שווה צלעות חוצה זווית הוא גם תיכון.
לכן נקודת מפגש התיכונים היא גם נקודת מפגש חוצה הזווית ונקודה זו היא מרכז המעגל החסום במשולש.

עוד באתר:

  1. מעגל משפטיםמשיק למעגלמיתר במעגל – אוסף של משפטים ותרגילים הקשורים למשפטים במעגל.
  2.  מרובע חוסם או חסום במעגל – משפטים, הסברים ותרגילים בנושאים הללו.
  3. מעגל – הדף המרכזי על הצורה כולל קישורים רבים.
  4. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  5. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

מעגל

היקף מעגל

הנוסחה לחישוב היקף מעגל היא:

P=2₶R

P – היקף המעגל.
R – רדיוס המעגל
₶ – (פאי) מספר שגודלו הוא בערך 3.14.

הדבר היחידי שאתם צריכים לדעת על מנת לחשב היקף מעגל זה רדיוס המעגל.

דוגמה לחישוב היקף מעגל:

נתון מעגל שאורך הרדיוס שלו הוא 5 ס"מ. חשבו את היקפו.

מעגל שרדיוסו הוא 5 ס"מ

פתרון

P=2₶*5=10₶
31.4=10 *3.14
תשובה: היקף המעגל הוא 31.4 ס"מ.

בהמשך הדף תרגילים המתמקדים בהיקף מעגל ומידי פעם שואלים גם על שטח מעגל (הנוסחה היא S=₶r²).
אם אתם מעוניינים בפירוט בנושא שטח מעגל תמצאו אותו בקישור.

היקף מעגל תרגילים

חלק זה כולל גם 3 סרטוני וידאו.
בסרטון הראשון יש הסבר לנוסחת ההיקף + פתרונות לשתי התרגילים הראשונים.
שני סרטונים נוספים הם עבור שני התרגילים האחרונים (והקשים יותר).

 

תרגיל 1: חישוב היקף מעגל על פי הרדיוס

רדיוס של מעגל הוא 6 מטר. חשבו את היקף המעגל ואת שטחו.

מעגל שרדיוסו הוא 6 מטר

פתרון
חישוב היקף המעגל
P=2₶*6
3.14 * 12=12₶
37.68
תשובה: היקף המעגל הוא 37.68 מטר.

חישוב שטח המעגל
S=₶r²
S = ₶ * 6² = 36₶
113.04 = 36 * 3.14

תרגיל 2: חישוב היקף על פי הרדיוס (תרגיל נוסף)

רדיוס של מעגל הוא 12 ס"מ. חשבו את היקף המעגל ואת שטח המעגל.

שרטוט התרגיל

פתרון
חישוב היקף המעגל
נציב r=12 בנוסחה:
p=2₶r
p = 2* 3.14 * 12= 75.36
תשובה: היקף המעגל הוא 75.36.

חישוב שטח המעגל
הנוסחה לשטח מעגל היא S=₶r²
S = ₶*12² = 144₶ = 452.16
תשובה: שטח המעגל הוא 144₶.

תרגיל 3: חישוב היקף מעגל בעזרת קוטר

ידוע כי קוטר של ארטיק עגול בטעם מסטיק הוא 8 ס"מ. מה היקף הארטיק?

מעגל שקוטרו 8 ס"מ

פתרון

בשאלה זו נתון לנו הקוטר ולא הרדיוס.
אורך הקוטר גדול פי 2 מאורך הרדיוס. כלומר:
2r=8
נציב זאת בנוסחה p=2₶r
P=8₶
25.12=8 *3.14
תשובה: היקפו של ארטיק המסטיק הוא 25.12 ס"מ.

אם משהוא לא ברור בפתרון שלמעלה ניתן לפתור גם בדרך הזאת.
הרדיוס הוא 1/2 מהקוטר. לכן:
r=8:2=4
נציב בנוסחת היקף מעגל:
p=2₶*4=8₶
p=8.3.14=25.12

תרגיל 4: כיצד משתנה היקף המעגל אם מכפילים את אורך הרדיוס

כיצד משתנה היקף המעגל אם מכפילים את אורך הרדיוס פי 2 ? פי 5?

תשובה: היקף המעגל ישתנה באותה מידה שבה מכפילים את הרדיוס. אם הרדיוס יגדל פי 2 אז היקף המעגל יגדל פי 2. אם רדיוס המעגל יקטן פי ¼ אז היקף המעגל יקטן פי ¼.

ניתן להראות זאת על ידי הצבה הנוסחה. כאשר r=2 ס"מ. היקף המעגל הוא:
p = 2*₶*2=4₶
אם נגדל את r פי 3 ל r=6 נקבל:
p = 2*₶*6=12₶
ואנו רואים שהיקף המעגל גדל פי 3, בדיוק כפי שגדל הרדיוס.

רדיוס המעגל גדל פי… היקף המעגל גדל פי…
4 4
7 7
0.5 0.5

שימו לב שהתייחסנו רק למקרים שרדיוס המעגל גדל פי… ולא ב… . 

תרגיל 5: היקף המעגל ידוע, מה הרדיוס?

נתון מעגל שהיקפו הוא 6₶ ס"מ. חשבו את רדיוס המעגל ואת שטחו.

שרטוט התרגיל

פתרון
ההיקף הוא 6₶ והנוסחה לחישוב היקף היא p=2₶r.
לכן:
2₶r=6₶
2r=6  (צמצמנו את ה ₶).
3 = r
תשובה: רדיוס המעגל הוא 3 ס"מ.

תרגיל 6: חישוב היקף של צורה מורכבת

חשבו את היקף הצורה הבנויה ממלבן שאורך צלעותיו הוא 3 ו 8 ס"מ ועל הצלע של 3 ס"מ נמצא קוטר המעגל.

חישוב היקף של צורה מורכבת

פתרון

חישב ההיקף של החלק המלבני הוא:
19=3+8+8 (שימו לב שאת אחת מצלעות הלבן אין צורך לחשב כי המעגל "מכסה" עליה)
קוטר חצי העיגול הוא 3.
לכן היקף העיגול המלא הוא:
2₶1.5
3.14*1.5*2
9.21
מכוון שבצורה זו יש רק חצי עיגול ההיקף הוא 4.605.
23.605=19+4.605
תשובה: היקף הצורה המורכבת הוא 23.605 ס"מ.

תרגיל 7: חישוב מרחק בעזרת גלגל מתגלגל

נתון גלגל אופניים שרדיוסו 30 ס"מ. מה המרחק שהאופניים עוברות כאשר הגלגל עובר שני סיבובים?
כמה סיבובים על הגלגל לעשות על מנת לעבור 18 מטרים?

פתרון

גלגל אופניים שרדיוסו 30 ס"מ

כאשר הגלגל מסתובב פעמיים הוא עובר את היקפו פעמיים. נחשב את ההיקף:
P=2₶30
2 * 3.14 * 30 =P
188.4 = P
היקף הגלגל הוא 188.4 ס"מ (1.884 מטר).
הדרך שהגלגל עובר בשני סיבובים:
376.8 = 2 * 188.4
תשובה: כאשר הגלגל מסתובב פעמיים האופניים יעברו 376.8 ס"מ (3.768 מטרים).

ב. על מנת לדעת תוך כמה סיבובים הגלגל יעבור 18 מטרים יש לחשב את התרגיל הבא:
9.55 = 1.884 : 18
על מנת לעבור 18 מטרים על הגלגל לעבור 9.55 סיבובים.

עוד באתר:

  1. שטח עיגול – הסבר ותרגילים.
  2. היקף משולש – הסבר ותרגילים.
  3. היקף – נוסחאות היקף של צורות נוספות.
  4. מעגל – דף מסכם על הצורה, כולל גם מידע המיועד לתלמידי תיכון.

 

נספח: חישוב שטח והיקף של מרובעים

 

זוויות מרכזיות והיקפיות במעגל

בדף זה:

  1. הגדרות של זוויות במעגל.
  2. משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות.
  3. טיפים לפתרון תרגילים.
  4. תרגילים בסיסיים.

הגדרות

זווית מרכזית – זווית שקודקודה במרכז המעגל. (כמו זווית 1).
זווית היקפית – זווית שקודקודה על היקף המעגל. (כמו זווית 2).

זווית פנימית – זווית שקודקודה בתוך שטח המעגל. (כמו זווית 3).
זווית חיצונית – זווית שקודקודה מחוץ לשטח המעגל. (כמו זווית 4).

קשת – שתי נקודות על שפת המעגל התוחמות ביניהן חלק מהיקף המעגל. (כמו הקטע AB).

הגדרת זוויות במעגל

2. משפטים שאושרו לשימוש בבגרות ללא הוכחה

בנושא זוויות במעגל אושרו 10+1 משפטים לשימוש ללא הוכחה:

  1. 61.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
  2. 62.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.
  3. 69.במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.
  4. 72.במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
  5. 70.במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
  6. 71.במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.
  7. 73.זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90).
  8. 74.זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר.
  9. 75.במעגל, זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.
  10. 76.במעגל, זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

ובנוסף יש את המשפט:

  • 79. זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.
    משפט שנלמד לרוב בהקשר של משפטי משיק למעגל.

המספרים שמופיעים ליד המשפטים הם מספרי המשפטים מתוך רשימת 104 המשפטים בגיאומטריה המאושרים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.

61.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו. 62.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

61.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
62.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

69.במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.

69.במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.

72.במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.

72.במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.

70.במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים. 71.במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

70.במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
71.במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

73.זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90). 74.זווית היקפית בת נשענת על קוטר.

73.זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90).
74.זווית היקפית בת נשענת על קוטר.

75.במעגל, זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

75.במעגל, זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

76.במעגל, זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

76.במעגל, זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

עוד באתר:

  1. משפטים מעגל – משפטים בנושאים נוספים.
  2. משיק למעגל, מיתר במעגל – משפטים ותרגילים בנושאים הללו.
  3. משולש חוסם מעגל, מעגל חוסם משולש, מרובע חוסם או חסום במעגל – משפטים, הסברים ותרגילים בנושאים הללו.
  4. מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים רבים.
  5. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  6. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

3. טיפים לפתרון תרגילים

  1. להכיר את כל המשפטים.
  2. לחפש זוויות מרכזית / היקפיות הנשענות על אותה קשת / מיתר.
  3. אם יש קוטר לחפש את הזווית ההיקפית הנשענות עליו. בשאלות קשות צריך להשלים על ידי בניית עזר זווית הנשענות על אותו מיתר / זווית היקפית הנשענת על קוטר.
  4. לחפש זווית המשלימות ל- 180 במשולש או 360 במרובע.

 

4. תרגילים על זוויות מעגל

תרגילי חישוב זוויות – תרגילים בסיסיים

תרגיל 1

מצאו את גודל הזווית המרכזית שגודל הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת היא 30.

מצאו את גודל הזווית המרכזית שגודל הזווית ההקיפית הנשענת על אותה קשת היא 30
פתרון: על פי המשפט ",זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת" הזווית המרכזית המבוקשת היא 60 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 2

חשבו את זוויות 1 ו- 2 המופיעות בשרטוט.

חישוב זוויות במעגל

פתרון 

  1. זווית 1 שווה 30 מעלות – זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות בגודלן.
  2. הזווית החסרה במשולש הימיני שווה 100 – משלימה ל- 180 מעלות את זוויות המשולש.
  3. זווית 2 = 100 מעלות – זווית קודקודית לזווית השווה 100 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 3

נתון טרפז החסום במעגל. הוכיחו כי הטרפז שווה שוקיים.

טרפז חסום במעגל

פתרון

הוכחה כי טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים

  1. מעבירים אלכסון BD.
  2. זווית 1 = זווית 2 – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. CD=AB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    כלומר הטרפז שווה שוקיים.

פתרון וידאו

על מנת לפתור את תרגילים 4,5,6 עליכם להכיר את המשפטים:
"גודלה של זווית היקפית הנשענת על קוטר הוא 90 מעלות"
והמשפט ההפוך " אם גודל של זווית היקפית הנשענות

תרגיל 4

האם המיתר AB הוא קוטר במעגל?

חישוב זוויות מעגל

פתרון

  1. זווית היקפית C שווה ל: 180-48-41=91 מעלות – משלימה ל180 מעלות במשולש ABC.
  2. AB הוא לא קוטר – זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות והזווית הנשענת על מיתר AB לא שווה ל- 90 מעלות.

פתרון וידאו

תרגיל 5

המיתר BD הוא קוטר במעגל.
מצאו את זוויות 1 ו-2 בשרטוט.

חישוב זוויות במעגל

פתרון

  1. זווית C שווה 90 מעלות – זווית היקפית הנשענת על קוטר BD שווה ל- 90 מעלות.
  2. זווית 1 שווה ל- 65 מעלות 180-90-25=65 – סכום זוויות במשולש BCD הוא 180 מעלות.
  3. זווית 2 שווה ל- 25 מעלות (לזווית D ) – זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות בגודלן.

פתרון וידאו

משפטים מעגל (עם וידאו ותמונות)

בחלק הראשון של דף זה תמצאו סרטוני וידאו המסבירים את המשפטים.
בחלק השני נמצאים שרטוטים של המשפטים.

המשפטים חולקו לנושאים:

  1. 10 משפטים בנושא זוויות.
  2. 6 משפטים בנושא מיתרים.
  3. 5 משפטים בנושא משיק.
  4. 8 משפטים בנושא מעגל חוסם או חסום.
  5. 3 משפטים בנושא פרופורציה במעגל (לתלמידי 5 יחידות בלבד)
  6. משפט אחד שלא נכנס לשום קטגוריה "דרך 3 נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד"

סך הכל 33 משפטים לתלמידי 5 יחידות ו 29 משפטים לתלמידי 4 יחידות.

המספרים שמופיעים ליד המשפטים אלו המספרים ברשימת 104 משפטים בגיאומטריה  המאושרים לבגרות.

זוויות במעגל

משיק למעגל

מיתרים במעגל

מעגל חוסם מעגל חסום

שני מעגלים

דמיון ופרופורציה במעגל

נושא זה שיך ל 5 יחידות לימוד בלבד.

שרטוטים של המשפטים

53. כל משולש ניתן לחסום במעגל.

כל משולש ניתן לחסום במעגל.

כל סוג של משולש ניתן לחסום במעגל

54. במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת , שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

(הערה: אנך אמצעי הוא מאונך ומגיע לאמצע הצלע – אך הוא לא צריך לצאת מקודקוד המשולש).

במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת , שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

56. ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180.

ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180.

57. מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

 מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

58. כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
59. בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.
60. דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד.

מעגל

61. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
62. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.
63. במעגל , מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו.

במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי המיתרים הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו

64. מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
65. מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.

(הערה: מרחק ממרכז המעגל מוגדר כאורך האנך היוצא ממרכז המעגל אל המיתר).

מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.

 

66. במעגל , אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר , אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

 

66. במעגל , אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר , אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

67. האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.
68. קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

(מילים אחרות למשפט 68: אם ישר יוצא ממרכז מעגל וחוצה מיתר הוא גם מאונך למיתר).

האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר ולהפך

 

69. במעגל ,זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.

במעגל ,זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.

70. במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
71. במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

 במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.

72. במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.

במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.

כל הזוויות ההיקפיות שבשרטוט נשענות על אותו מיתר ולכן שוות זו לזו

73. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90 מעלות).
74. זווית היקפית בת 90 נשענת על קוטר.

 זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90 מעלות).

75. במעגל , זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

(הערה: זה משפט שנשמע מסובך אבל ניתן להוכיח אותו בקלות רבה בעזרת זווית חיצונית במשולש השווה לשתי זוויות המשולש שאינן צמודות לה).

(הערה 2: גודל קשת היא כגודל הזווית המרכזית הנשענת עליה. מכוון שבשרטוט אנו מתייחסים לזוויות המרכזית השווה למחצית מזווית מרכזית אין צורך לחלק את גודל הזווית ההיקפית ל- 2, כפי שמצוין במשפט).

במעגל , זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

 

76. במעגל זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

 

במעגל זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

הערה חשובה: אני באופן אישי ממליץ לכם לא להשתמש במשפט.
למה? המשפט מדבר על הפרש קשתות לחלק ב  2 "מחצית הפרש שתי הקשתות". ומכוון שקשת מעגל שווה לזווית המרכזית אז כאשר אז כאשר מדברים על זוויות היקפיות אין צורך לחלק ב 2.

אבל זה מסובך מידי להסבר באמצע מבחן.

אם ידועות לכם זוויות 2 ו 3 אני ממליץ לכם להשתמש סכום הזוויות במשולש ABC על מנת לחשב את זווית 1.
ותודה לדודי על תשומת הלב :)

משיק למעגל

77. המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
78. ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה ולהפך

 

79. זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני

(הערה:  שימו לב לתוספת "מצידו השני " ! (משפט 79))

 זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני

 

80. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
81. קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

80. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה. 81. קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

קטע מרכזים במעגל

82. קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים , חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.

(הערה: קטע מרכזים הוא הקטע המחבר את המרכזים של שני מעגלים)

קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים , חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.

 

83. נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.

כאשר המעגלים משיקים מבחוץ

קודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.

 

כאשר המעגלים משיקים מבפנים:

כאשר המעגלים משיקים מבפנים

עוד באתר: