ארכיון הקטגוריה: יסודות

זוויות במרובעים

בדף זה נכיר את התכונות החשובות של המרובעים השונים.

סדר הצורות שיופיעו בדף הוא:

  1. מקבילית.
  2. מלבן.
  3. מעוין.
  4. ריבוע.
  5. טרפז.
  6. טרפז שווה שוקיים.
  7. דלתון.

מעבר לתכונות המיוחדות חשוב שנזכור שבכול המרובעים סכום הזוויות הוא 360 מעלות.

זוויות במקבילית

 

במקבילית יש שתי סוגי זוויות:

1.זוויות נגדיות – אלו הן זוויות הנמצאות אחת מול השנייה במקבילית.
A, C אלו זוויות נגדיות.
B,D אלו זוויות נגדיות.
התכונה שלהם:
זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
זה משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

2.זוויות סמוכות – אלו זוויות הנמצאות ליד אותה צלע.
לכל זוויות במקבילית יש שתי זוויות במוכות.
הזוויות הסמוכות של A הן D ו B.
הזוויות הסמוכות של D הן A ו C.

התכונה שלהם
זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל 180 מעלות.
וזה בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
אם A = 110
אז D = 70
וגם B = 70

לכן אם אנו יודעים זוויות אחת במקבילית אנו יכולים לקבוע את גודלן של כל שאר הזוויות.

תרגיל
במקבילית זוויות A גודלה 50 מעלות.
קבעו את גודלן של כל זוויות המקבילית.

פתרון
זווית C
C = A = 50  זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

זוויות B,D
אלו זוויות סמוכות לזווית A.
הן משלימות את זווית A ל 180 מעלות בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
130 = 50 – 180
גודלן 130 מעלות.

תכונה חשובה נוספת

תכונה חשובה של זוויות במקבילית היא שכל פעם שמעבירים חותך בין שני ישרים מקבילים נוצרות זוויות מתחלפות שוות.

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות. וגם זוויות 3 ו 4 הן זוויות מתחלפות שוות

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות. וגם זוויות 3 ו 4 הן זוויות מתחלפות שוות

זווית במלבן

במלבן כל הזוויות גודלן 90 מעלות.

במלבן האלכסונים הם לא חוצה זווית

זווית 1 לא שווה לזווית 2.

הערה
מלבן הוא סוג של מקבילית ולכן כל התכונות של מקבילית מתקיימות בו.
זוויות נגדיות שוות.
זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות.
אבל לרוב לא משתמשים בתכונות הללו אלה בכך שכל זוויות המלבן גודלן 90.

זוויות במעוין

מעוין הוא סוג של מקבילית ולכן כולל את כל תכונות הזוויות של המקבילית

ובנוסף יש תכונות מיוחדות לאלכסוני המעוין:

  1. האלכסונים הם חוצה זווית.
  2. האלכסונים מאונכים זה לזה.
כל הזוויות המסומנות ב 1 שוות. כל הזוויות המסומנות ב 2 שוות. ובנוסף האלכסונים מאונכים

כל הזוויות המסומנות ב 1 שוות. כל הזוויות המסומנות ב 2 שוות. ובנוסף האלכסונים מאונכים

זוויות בריבוע

בריבוע כל הזוויות גודלן 90 מעלות (כמו במלבן).
והאלכסונים הם חוצה זוויות ומאונכים כמו במעוין.

מכוון שהאלכסונים חוצים זווית שגודלה 90 מעלות שתי הזוויות הנוצרות על יד האלכסונים גודלן הוא 45 מעלות.

תכונות זוויות בריבוע

זוויות בטרפז

תכונות של זוויות בטרפז

1. זוויות הנמצאות ליד אותה שוק משלימות ל 180 מעלות.

תכונה זו נובעת מכך ששני הבסיסים של הטרפז הם ישרים מקבילים. והזוויות שנמצאות על אותה שוק הן זוויות חד צדדיות.

זוויות על אותה שוק בטרפז משלימות ל 180 מעלות

2. האלכסונים בטרפז יוצרים זוויות מתחלפות שוות

אלכסוני הטרפז יוצרים שני זוגות של זוויות מתחלפות שוות

טרפז שווה שוקיים

טרפז שווה שוקיים כולל את כל התכונות של טרפז רגיל + תכונות נוספות.

3. בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו

זה משפט שניתן להשתמש שבו מבלי להוכיח אותו.

בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו

4. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים 4 זוויות השוות זו לזו

את התכונה ש זווית 1=3 ו 2=4 צריך להוכיח. ואת זה עושים על ידי חפיפת משולשים.
ABC ≅ DCB על פי צ.ז.צ.

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים 4 זוויות השוות זו לזו

דלתון

דלתון מורכב משני משולשים שווה שוקיים:

בעזרת חפופת משולשים משולשים פשוטה נוכל להוכיח:
ADC ≅ ABC  על פי צ.צ.צ  (כאשר AC צלע משותפת).

ולכן:
B = ∠D∠  זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
וגם:
CAD = ∠CAB∠
ACD = ∠ACB∠
בגלל שהן זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

בנוסף אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.

לדלתון יש משפט המסכם את כל התכונות חוץ מהתכונה שכתבתי ראשונה:
"בדלתון האלכסון הראשי הוא חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני".

האם יש קשר בין גודלה של זווית A לגודלה של זוויות C?
אין קשר. אלו לא זוויות שוות ואין בניהן קשר אחר.

עוד באתר:

חישוב רדיוס מעגל החוסם משולש בעזרת משפט הסינוסים

לחלק מהאנשים נאטמות האוזניים כאשר הם שומעים "מעגל חוסם" וזה לא צריך להיות כך.
כאשר מבקשים "רדיוס מעגל חוסם" אתם לרוב משתמשים במשפט הסינוסים ומוצאים אותו.

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים

בדף זה 3 תרגילים.
תרגילים 1-2 הם על המעגל החוסם משולש.
תרגיל 3 הוא על המעגל החסום במשולש.

תרגיל 1: הצבה בנוסחה
במשולש שלושת הזוויות הן 50,60,70.
מול הזווית שגודל 50 מעלות נמצאת צלע שגודלה 6 סנטימטר.
חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

פתרון
על פי משפט הסינוסים:

2R = 6/sin 50
2R = 6 : 0.766 = 7.83
R = 3.915
תשובה: רדיוס המעגל החוסם הוא 3.915.

תרגיל 2
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) מעבירים את התיכונים AD ו AE הנפגשים בנקודה O.
AE = 6,  ∠AEO = 80,  OAE = 30
חשבו את:

  1. BE
  2. רדיוס המעגל החוסם את משולש B0A.

פתרון
סעיף א: מציאת BE
נחפש משולש הכולל את BE ויש לנו בו מידע על על צלע וזוויות.
משולש זה יהיה BEA.
נשלים בו מספר זוויות שאנו צריכים לדעת
A = 60,  ∠EBA = 40

על פי משפט הסינוסים במשולש BEA:

סעיף ב: רדיוס המעגל החוסם את BOA.
במשולש BOA אנו יודעי את כל הזוויות ואם נדע גם צלע אחת נוכל בעזרת משפט הסינוסים לחשב את רדיוס המעגל החוסם.
על תכונת נקודת המפגש של התיכונים:
BO = 0.66BE = 0.66*8.083 = 5.334

במשולש BOA על פי משפט הסינוסים:

2R = BO/ sin 30 = 5.334 : 0.5 = 10.668
R = 5.334
תשובה: רדיוס המעגל החוסם הוא 5.334 סנטימטר.

תרגיל 3: חישוב רדיוס המעגל החסום
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) אורך השוק הוא x וגודל זוויות הבסיס הוא a.
הביעו באמצעות x,a את רדיוס המעגל החסום במשולש.
תזכורת: מרכז המעגל החסום במשולש נמצא בנקודת המפגש של חוצה הזווית.

פתרון
O היא נקודת מרכז המעגל החסום.
נעביר את חוצה הזווית BO.
מהנקודה O נעביר את שני רדיוסים לנקודת ההשקה של המשולש והמעגל.
רדיוסים אלו OD,OE יוצרים זווית של 90 מעלות עם צלעות המשולש.

נסתכל על משולש BOD, משולש שאחת מצלעותיו היא רדיוס.
OBD = 0.5a
BD= 0.5x.
tg 0.5a = r / BD = r / 0.5x
r = 0.5x * tg 0.5a

עוד באתר:

חוצה זווית בין ישרים מקבילים יוצר משולש שווה שוקיים

בדף זה נלמד תכונה – משפט שימושיים הקשורים לישרים מקבילים וכמובן לכל צורה הכוללת ישרים מקבילים.

את המשפט הזה צריך להוכיח בכול פעם שמשתמשים בו. 

גם המשפט ההפוך נכון: אם בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים אז הישר היוצר אותם הוא חוצה זווית.

הוכחת המשפט: חוצה זווית בין ישרים מקבילים יוצר משולש שווה שוקיים

נשתמש בישרים המקבילים של מלבן על מנת להוכיח.

שרטוט התרגיל

המפתח להוכחה הוא שזוויות CDE∠ וזווית AED∠ הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
לכן אם נתון ש DE חוצה זווית נגדיר:

  1. EDC = ∠EDA = X∠ נתון ED חוצה זווית.
  2. AED = ∠EDC =X∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. קיבלנו שבמשולש AED יש שתי זוויות שגודלן X ולכן המשולש שווה שוקיים.

הוכחת המשפט ההפוך: אם ישר בין ישרים מקבילים יוצר משולש שווה שוקיים אז הוא חוצה זווית.

בשאלה זו נתון לנו ש ABCD הוא מלבן וגם  AD= AE.
צריך להוכיח ש DE הוא חוצה זווית.

  1. DEA = ∠EDA = X∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. AED = ∠EDC =X∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
  3. EDC = ∠EDA = X∠ ולכן DE הוא חוצה זווית.

עוד באתר: