ארכיון הקטגוריה: גיאומטריה

דלתון קעור

דלתון קעור כמו דלתון רגיל מורכב משני משולשים שווה שוקיים.
AD = AB
BC = CD

ההבדלים בין דלתון קעור לדלתון קמור

יש כמה דרכים לזהות דלתון קעור ולראות את ההבדלים בינו ובין דלתון "רגיל" שהוא הדלתון הקמור.

1.בדלתון קעור האלכסון המשני הוא חיצוני לדלתון.
לעומת זאת בדלתון קמור האלכסונים נחתכים בתוך הדלתון.

BD הוא האלכסון המשני החיצוני של הדלתון

BD הוא האלכסון המשני החיצוני של הדלתון

2.בדלתון קעור אחת הזווית דרכם עובר האלכסון הראשי צריכה להיות גדולה מ 90 מעלות.
זו הזווית C שבשרטוט.
לעומת זאת בדלתון קמור זו זווית הקטנה מ 90 מעלות.

הזווית המסומנת באדום גדולה מ 90 מעלות בדלתון קעור

הזווית המסומנת באדום גדולה מ 90 מעלות בדלתון קעור

3.בדלתון קעור הזוויות המסומנת הן זוויות חדות.
לעומת זאת בדלתון קמור אלו זוויות הגדולות מ 90 מעלות.

הזוויות B,D הן זוויות חדות בדלתון קעור

הזוויות B,D הן זוויות חדות בדלתון קעור

תכונות דלתון קעור

התכונות של דלתון קעור אלו תכונות זהות לתכונות של דלתון רגיל.

משפט הדלתון
האלכסון הראשי בדלתון או המשכו חוצה חוצה את האלכסון המשני, מאונך לו. האלכסון הראשי הוא חוצה זווית של הזוויות מיהן הוא יוצא ומגיע.

על פי משפט הדלתון:

  1. AE⊥ BD
  2. DE = EB
  3. DAC = BAC,   DCA = BCA

משפט הדלתון חלק מהמשפטים בגיאומטריה שניתן להשתמש בבגרות ללא הוכחה.
זה המשפט היחיד בנושא דלתון שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

שימו לב
האלכסון הראשי הוא AC.
הקטע CE הוא המשכו של אלכסון הדלתון.
כאשר שואלים אותכם לאורך האלכסון הראשי מתכוונים לקטע AC בלבד.
כך גם כשאר נחשב את שטח הדלתון, נשתמש בקטע AC בלבד.

תכונה נוספת של הדלתון הקעור
לדלתון קעור תכונה נוספת שאותה צריך להוכיח על מנת להשתמש בה והיא ש:
זוויות B = D.

כיצד מוכיחים תכונה זו?
על ידי חפיפת משולשים.

  1. AD = AB   צלעות שוות על פי הגדרת הדלתון כמורכב משני משולשים שווה שוקיים.
  2. BC = DC  צלעות שוות על פי הגדרת הדלתון כמורכב משני משולשים שווה שוקיים.
  3. AC  צלע משותפת.
  4. ACD ≅ACB על פי צ.צ.צ.
  5. B = D זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

שטח דלתון קעור

שטח דלתון קעור מחושב כמו שטח דלתון קמור על ידי מכפלת האלכסונים חלקי 2.

SABCD = 0.5AC * BD

שימו לב שאנו משתמשים בנוסחה באלכסון הראשי בלבד (בקטע AC) ולא באלכסון כולל המשכו שהוא AE.

עוד באתר:

דמיון משולשים סיכום

בדף זה נסכם את החומר בנושא דמיון משולשים עבור תלמידי כיתה ח.

בדף זה אנו נתמקד בחלקים הקשים יותר הנלמדים בשנה זו, שהם: יחס הדמיון ויחס השטחים.
על החלקים של משפטי הדמיון וכיצד מוכיחים דמיון משולשים נעבור בקצרה. מי שרוצה לעבור כליהם בהרחבה יכול לעשות זאת בדף כיצד מוכיחים דמיון משולשים.

החלקים של הדף הם:

  1. שלושת משפטי הדמיון.
  2. כיצד מוכיחים דמיון משולשים?
  3. כיצד מזהים צלעות מתאימות?
  4. מהוא יחס הדמיון וכיצד מוצאים אותו?
  5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?
  6. יחס השטחים של משולשים דומים.

הסימן שאיתו מסמנים דמיון משולשים הוא זה ∼.
כאשר כותבים:
ABC ∼ DEF
המשמעות הוא שמשולש ABC דומה למשולש DEF.

1.שלושת משפטי הדמיון

1.משפט דמיון ז.ז
אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

2.משפט דמיון צ.ז.צ
אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.ז.צ.

3.משפט דמיון צ.צ.צ
אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

הדף מיועד למי שיודע את משפטי הדמיון לכן לא נתעכב עליהם.
ניתן להרחיב וללמוד על משפטי הדמיון בקישור או בוידאו.

2.הדרכים הבסיסיות להוכיח דמיון משולשים

את הדרכים הבסיסיות להוכחת דמיון משולשים לא הצלחתי לסכם בכתב.
לכן בחלק זה יש וידאו וגם קישור אל הדף הכולל את התרגילים עליהם מבוסס הסרטון.

3.לאחר הוכחת דמיון משולשים, איך מזהים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות?

אם אנו יודעים כי ABC ∼ KHR כיצד נמצא את הצלעות המתאימות והזוויות המתאימות?

עושים זאת על על פי מיקום האותיות
עבור צלעות:
AB ⇒ KH  (אלו שתי הצלעות שהאותיות שלהן נמצאות במקומות 1,2).
AC ⇒ KR (מקומות 1,3)
BC ⇒ HR (מקומות 2,3)

עבור זוויות:
A = K  (מקום 1).
B = H (מקום 2).
C = R (מקום 3)

4.כיצד מוצאים את יחס הדמיון

דרך ראשונה על פי צלעות

עושים זאת בשני שלבים:

  1. מוצאים שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלם.
  2. מחלקים צלע אחת בצלע שנייה והתוצאה היא יחס הדמיון.

דוגמה
ידוע כי ABC ∼ FTR על פי הנתונים שבשרטוט

  1. מצאו את יחס הדמיון.
  2. השלימו את הגדלים של הצלעות האחרות.

פתרון
ABC ∼ FTR
שלב א: מציאת זוויות מתאימות שיודעים את הגודל של שתיהן
עבור הצלעות AC, TF אנו לא יודעים את הצלעות המתאימות שלהן.
לכן לא ניתן לחשב בעזרתן את יחס הדמיון.

הצלעות CB,TR אלו הן צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.

שלב ב: חישוב יחס הדמיון
נחלק את הצלעות המתאימות.

תשובה: יחס הדמיון בין המשולשים ABC ∼ FTR הוא 1:4.
וזה אומר שכל צלע במשולש FTR גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש

סעיף ב: השלמת הצלעות החסרות
ABC ∼ FTR
נחזור אל הצלעות AC, TF שאנו לא קיבלנו את גודל הזוויות המתאימות שלהן.
עכשיו בעזרת יחס הדמיון נוכל למצוא את גודל הזוויות החסרות.

AC = 3 נמצאת במשולש הקטן יותר ולכן הצלע המתאימה לה גדולה פי 4.
FR = 4*3 =12  (זו הצלע המתאימה).

TF = 8 והיא נמצאת במשולש הגדול, לכן הצלע המתאימה לה קטנה פי 4.
AB = 8:2 = 4 (זו הצלע המתאימה).

דרך שנייה למציאת יחס הדמיון: על פי שטחי המשולשים

יש משפט האומר:
יחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

והמשמעות היא שאם יחס הדמיון הוא 5 אז יחס השטחים הוא 25.
כלומר אם שטח המשולש הקטן הוא 10 אז שטח המשולש הגדול הוא 250.

וזה עובד גם הפוך
אם בין משולשים דומים יחס השטחים הוא x אז יחס הדמיון הוא x√.
אם יחס השטחים הוא 16 אז יחס הדמיון הוא 4 = 16√.

למשל במשולשים הללו יחס הדמיון הוא 3, כי ניתן לראות שכל צלע במשולש הגדול גדולה פי 3 מהצלע המתאימה במשולש הקטן.
לכן יחס השטחים בין המשולשים הללו הוא 3² = 9.
ואם השטח של המשולש הקטן היה 5 סמ"ר אז השטח של המשולש הגדול היה:
45 = 9 * 5

5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?

לאחר שמצאנו את יחס הדמיון ניתן בעזרת פעולות כפל וחילוק למצוא גדלים של צלעות מתאימות.
את חלק זה נלמד בעזרת 3 תרגילים.
לתרגילים 1,3 יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1 
יחס הדמיון בין המשולשים ABC ∼ KFT הוא 3 : 1 (כאשר KFT הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר).
ידוע כי צלעות משולש ABC הן AB = 2, AC=4, BC = 5 סנטימטר.
מצאו את אורכם של הצלעות  FT,  TK

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב).

עבור הצלע FT
האותיות של הצלע FT נמצאות במקומות 2-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא הצלע BC שאורכה 5 סנטימטר.
הצלע FT גדולה פי 3 ולכן אורכה 15 סנטימטר.

עבור הצלע TK
האותיות של הצלע TK נמצאות במקומות 1-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא AC שגודלה 4 סנטימטר.
TK גדולה ממנה פי 3 ולכן גודלה 12 סנטימטר.

6.יחס השטחים של משולשים דומים

תכונת יחס השטחים של משולשים דומים היא תכונה שמרבים להשתמש בה.
יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע של יחס הדמיון.

אם מצאנו כי יחס הדמיון של המשולשים ΔABC∼ΔEDF הוא 1:3.
אז יחס השטחים הוא 3²=9.

כלומר, אם שטח משולש ΔABC הוא 10 אז שטח משולש ΔDEF הוא 90.

יחס השטחים במשולשים דומים

בסוג אחר של השאלות יתנו את היחס שבין השטחים ויבקשו שנמצא את יחס הדמיון.
כיצד עושים זאת?

מכוון שאם יש לנו את יחס הדמיון אנו מעלים בריבוע (²) על מנת למצוא את יחס השטחים כאשר יש לנו את יחס השטחים אנו נוציא לו שורש (√) ונקבל את יחס הדמיון. (שורש היא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע).

למשל: אם היחס בין שני שטחי משולשים דומים הוא 9 אז יחס הדמיון בניהם הוא: 3 = 9√ כלומר כל צלע במשולש הגדול.

דוגמאות נוספות לקשר שבין יחס השטחים ויחס הדמיון.

שאלות ותשובות קצרות בנושא יחס השטחים

1.במשולש אחד הצלעות גדולות פי 6 מבמשולש הדומה לו. מה הוא היחס בין השטחים?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס השטחים הוא:
36 = 6²

2.נתון כי יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא 0.5. שטח המשולש הגדול הוא 30 סמ"ר. מה היחס בין השטחים? מה שטחו של המשולש הקטן?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס השטחים הוא:
0.25 = 0.5²
שטח המשולש הקטן הוא 1/4 משטח המשולש הגדול
7.5 = 4 : 30
תשובה: יחס השטחים הוא 0.25 ושטח המשולש הקטן 8.5 סמ"ר.

3.נתון כי יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 2. מה הוא היחס בין הצלעות?
פתרון
יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים.
לכן יחס הדמיון הוא 2√

4. אם שטח משולש אחד הוא 20 סמ"ר ונתון כי יחס הדמיון של הצלעות בינו לבין משולש אחר הוא 4 (המשולש האחר הוא המשולש הקטן). מה הוא שטח המשולש האחר?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון
16 = 4²
יחס שטחי המשולשים הוא 16. שטח המשולש הגדול הוא 20.
לכן שטח המשולש הקטן הוא:
1.25 = 20:16
תשובה: שטח המשולש הקטן הוא 1.25 סמ"ר.

5. נתון כי אורך צלע משולש אחד היא 10 ס"מ ואורך הצלע המתאימה לה במשולש דומה היא 2 ס"מ. אם שטח המשולש הקטן הוא 6 סמ"ר. מה הוא שטח המשולש הגדול?
פתרון
יחס הדמיון של המשולשים הללו הוא
5 = 10:2
יחס השטחים הוא:
25 = 5²
שטח המשולש הגדול גדול פי 25 מהקטן
150 = 6*25
תשובה: 150 סמ"ר.

7.קישורים

נושאי הדף:

  1. היכרות עם 3 משפטי הדמיון
  2. כיצד מוכיחים דמיון משולשים?
  3. כיצד מזהים צלעות מתאימות?
  4. מהוא יחס הדמיון וכיצד מוצאים אותו?
  5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?
  6. יחס השטחים של משולשים דומים.

עוד באתר:

זוויות במעגל: טיפים לזכירת המשפטים

 

משפט זוויות במעגל הם:

  1. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
  2. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.
  3. במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
  4. במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
  5. במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.
  6. במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.
  7. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90).
  8. זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר.
  9. זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.
  10. במעגל, זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.
  11. במעגל, זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

הטיפ

הטיפ הוא לזכור ראשי פרקים של הנושאים עליהם מדברים המשפטים:

  1. זוויות מרכזיות.
  2. זוויות היקפיות.
  3. מיתרים.
  4. קשתות.
  5. וגם קוטר במעגל וזווית בין משיק למיתר.

המשפטים מדברים על:
הקשר של זוויות מרכזיות עם: זוויות היקפיות, מיתרים קשתות.
הקשר של זוויות היקפיות עם: זוויות מרכזיות, מתרים, קשתות, קוטר, ומשיק.

אלו קשרים הגיוניים שניתן לזכור אותן.

המשפט שלי עוזר לזכור את המשפטים הללו הוא:
זוויות מרכזיות, זוויות היקפיות, מיתרים, קשתות
והקשר בניהן.
וגם קוטר וזווית בין משיק למיתר.

ההסבר מפרט יותר בוידאו.

הטיפ לא מסביר את משפטים 10-11 ומידע עליהם ניתן למצוא בקישור.

עוד באתר:

שטח מעגל סיכום

בדף זה נסכם את סוגי השאלות בנושא שטח עיגול.
הנושאים של השאלות הם:

  1. נוסחת שטח עיגול.
  2. חישוב שטח עיגול על פי רדיוס
  3. חישוב שטח עיגול על פי קוטר.
  4. חישוב רדיוס המעגל כאשר ידוע השטח.
  5. שטחים של צורות מורכבות.
  6. שטח גזרה.

1.נוסחת שטח מעגל

הנוסחה לחישוב שטח מעגל: S=₶r².
ואם יותר נוח לכם לפתור תרגילים ללא חזקות אז אתם יכולים לפתור אותה כך:
S = ₶ * r * r

הנוסחה לחישוב היקף מעגל: P=2₶r.

r – רדיוס המעגל.
₶ – הוא מספר שגודלו 3.14.

שטח עיגול

2.חישוב פשוט: שטח עיגול על פי הרדיוס

דוגמה 1
חשבו את שטח העיגול שרדיוסו 5 סנטימטר.

פתרון
הנוסחה היא:
S = ₶ * r * r
נציב:
r = 5
3.14 = ₶

S = 3.14 * 5 *5
S = 3.14 * 25 = 78.5
תשובה: שטח המעגל הוא 78.5 סמ"ר.

שימו לב
הדבר היחידי שצריך לדעת על מנת את שטח העיגול הוא הרדיוס.

3.שטח עיגול על פי הקוטר

קוטר הוא מיתר במעגל העובר דרך מרכז המעגל.

קוטר תמיד שווה לשני רדיוסים.
אם הקוטר הוא 6 אז הרדיוס הוא 3.
אם הקוטר הוא 20 אז הרדיוס הוא 10.
אם הקוטר הוא 10 הרדיוס הוא 5.

לכן אם נותנים לנו נתון שהוא קוטר אנו נחלק אותו בשתיים, נמצא את הרדיוס ואז נחשב את השטח כפי שחישבנו קודם.

דוגמה 1
קוטר מעגל שווה ל 8 סנטימטר. חשבו את שטח העיגול.

פתרון
נחלק ב 2 את הקוטר על מנת למצוא את הרדיוס.
r = 8 : 2 = 4

גודל הרדיוס הוא 4 סנטימטר.
נציב בנוסחה:
S = ₶ * r * r
S = 3.14 * 4 * 4
S = 3.14 * 16 = 50.24
תשובה: שטח המעגל הוא 50.24 סמ"ר.

דוגמה 2
קוטר מעגל שווה ל 20 סנטימטר. חשבו את שטח העיגול.

פתרון
נחלק ב 2 את הקוטר על מנת למצוא את הרדיוס.
r = 20 : 2 = 10

גודל הרדיוס הוא 10 סנטימטר.
נציב בנוסחה:
S = ₶ * r * r
S = 3.14 * 10 * 10
S = 3.14 * 100 = 314
תשובה: שטח המעגל הוא 314 סמ"ר.

4.חישוב רדיוס המעגל כאשר ידוע השטח

כאשר נדע את השטח והרדיוס לא יהיה ידוע עדיין נציב את הנותנים בנוסחה:
S = ₶ * r * r
במקרה זה הדבר היחיד שלא נדע במשוואה הוא הרדיוס וכך נוכל למצוא אותו.

דוגמה 1
שטחו של עיגול הוא 28.26.
חשבו את רדיוס העיגול.

פתרון
הנוסחה היא:
S = ₶ * r * r
נציב בנוסחה:
S = 28.26
3.14 = ₶

נחלק את שני צדדי המשוואה ב 3.14

איזה מספר כפול עצמו שווה 9?
3
לכן:
r = 3
תשובה: רדיוס המעגל הוא 3 סנטימטרים.

דוגמה 2
שטחו של עיגול הוא 113.04.
חשבו את רדיוס העיגול.

פתרון
הנוסחה היא:
S = ₶ * r * r
נציב בנוסחה:
S = 113.04
3.14 = ₶

נחלק את שני צדדי המשוואה ב 3.14

איזה מספר כפול עצמו שווה 36?
6
לכן:
r = 6
תשובה: רדיוס המעגל הוא 6 סנטימטרים.

5.שטחים של צורות מורכבות

המפתח לפתרון שאלות של שטחים או היקפים מורכבים הוא למצוא את הקשר בין הצורות.
בחלק זה ניתן מספר דוגמאות למציאת הקשר.

תרגיל 1
על מלבן שאורך צלעותיו 4,10 סנטימטר בנו חצי עיגול.
חשבו את שטח הצורה שנוצרה ואת היקף הצורה שנוצר.

פתרון
המפתח:
להבין שקוטר המעגל הוא אורך הצלע הגדולה של המלבן.
לכן רדיוס העיגול הוא:
r = 10 : 2 = 5

שטח הצורה שנוצרה היא סכום השטחים:
S =  ₶ * r * r + 4*10
S = 3.14*5*5 + 4*10 = 118.5
תשובה: שטח הצורה הוא 118.5 סמ"ר.

היקף הצורה
היקף הצורה הוא 3 צלעות מלבן + חצי היקף עיגול.

היקף הצורה הוא 33.7 סנטימטר.

תרגיל 2
בתוך מעגל שרדיוסו 10 סנטימטר נמצא מעגל שרדיוסו 6 סנטימטר.
חשבו את השטח האפור.

פתרון
השטח האפור שווה לשטח המעגל הגדול פחות שטח המעגל הקטן.
S = 3.14 * 10² – 3.14 * 6²
S = 314 – 113.04 = 200.96
תשובה: גודל השטח הצבוע באפור הוא 200.96 סמ"ר.

תרגיל 3
בתוך ריבוע שצלעו 8 סנטימטר חסומים 4 עיגולים.
חשבו את השטח הצבוע באפור.

פתרון
המפתח
המפתח הוא לראות שאורך צלע הריבוע שווה ל 4r.
לכן:
4r = 8
r = 2

השטח המבוקש
השטח המבוקש הוא שטח הריבוע פחות השטח של 4 הריבועים.
שטח ריבוע הוא מכפלת צלע הריבוע בעצמה.
S = 8² – 4*3.14*2²
S = 64 – 4 * 3.14 * 4 = 13.76
תשובה: השטח האפור הוא 13.76 סנטימטר.

תרגיל 4
בתוך מעגל שרדיוסו 20 סנטימטר חוסמים 4 עיגולים.
חשבו את השטח האפור.

פתרון
המפתח
כל מעגל קטן הוא 2 רדיוסים. לכן 4 העיגולים כוללים 8 רדיוסים.
8 הרדיוסים שווים לקוטר העיגול הגדול שהוא 40 סנטימטר. (שימו לב שהם שווים לקוטר העיגול הגדול ולא לרדיוס העיגול הגדול).
לכן:
8r = 40
r = 5

חישוב השטח
השטח הוא השטח של העיגול הגדול פחות השטח של ארבעת העיגולים הקטנים.
S = 3.14 * 20² – 4 * 3.14 * 5²
S = 1256 – 314 = 942
תשובה: שטח החלק האפור הוא 942 סמ"ר.

6.שטח גזרה

שטח גזרה במעגל שרדיוסו r שווה לשטח המעגל כפול הזווית המרכזית היוצרת את הגזרה לחלק ל 360

שטח גזרה במעגל שרדיוסו r שווה לשטח המעגל כפול הזווית המרכזית היוצרת את הגזרה לחלק ל 360

תרגיל 1
במעגל שרדיוסו 10 סנטימטר יש זווית מרכזית שגודלה 120 מעלות.
חשבו את השטח עליו נשענת הזווית. (השטח האפור בשרטוט).

פתרון
השטח המבוקש הוא:

נפשט את הביטוי ונקבל:

תשובה: השטח האפור הוא 10.466 סמ"ר.

7.קישורים

  1. שטח מעגל הדף המלא עם תרגילים נוספים.
  2. היקף מעגל.
  3. מתמטיקה לכיתה ז.

משפטי מרובעים: טיפים כיצד לזכור אותם בקלות

בדף זה יש טיפים לזכירת משפטי המרובעים.
סדר המרובעים הוא:

  1. מקבילית.
  2. מעוין.
  3. מלבן.
  4. טרפז שווה שוקיים.
  5. דלתון.

1.מקבילית

מקבילית משפטי הוכחה:

  1. (הגדרת המקבילית) מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית
  2. מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
  3. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
  4. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
  5. מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית

מקבילית משפטי תכונות (משפטים הפוכים):

  1. במקבילית כל זוג צלעות נגדיות מקביל.
  2. במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
  3. במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
  4. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.

הטיפ בקצרה

אם נזכור את משפטי ההוכחה נזכור גם את משפטי התכונות.
עלינו לזכור שיש 5 משפטי הוכחה.
נזכור גם שיש 3 משפטים על על צלעות,1 על אלכסונים, 1 על זוויות.

  1. מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית
  2. מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
  3. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
  4. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
  5. מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית

לגבי שלושת משפטי הצלעות:
נשים לב שההבדל היחידי בין משפטים 1,2 הוא שבמשפט 1 כתוב מקבילות ובשני שוות.
בשלישי כתוב מקבילות ושוות אבח חגבי זוג צלעות אחד.

לגבי משפטי האלכסונים והזוויות.
אני חושב שלאחר שינון קצר אם נזכור שהמשפטים הם בנושא אלכסונים וזוויות, נזכור גם את המשפטים עצמם.

2.מעוין

משפטי המעוין הם:

  1. מקבלית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
  2. במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות.
  3. (המשפט ההפוך / משפט ההוכחה) מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
  4. במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה.
  5. (המשפט ההפוך / משפט ההוכחה) מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.

הטיפ בקצרה

נסתכל על משפטי הוכחת מעוין לעומת משפטי הוכחת משולש שווה שוקיים:

  1. מקבלית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
    אם במשולש השוקיים שוות אז המשולש שווה שוקיים.
  2. מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
    אם במשולש התיכון הוא חוצה זווית אז המשולש שווה שוקיים.
  3. מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.
    אם במשולש התיכון הוא גובה אז המשולש שווה שוקיים.

ראינו שמשפטי משולש שווה שוקיים דומים מאוד למשפטי מעוין.
לכן אם אנו זוכרים את משפטי משולש שווה שוקיים יהיה לנו קל לזכור את משפטי המעוין.

למה השתמשנו במשפטים שמספרם 2,3 ב "תיכון"?
כי אנו יודעים שאלכסוני המקבילית תיכונים זה לזה. כלומר חוצים זה את זה.
ואם נוספת להם עוד תכונה של גובה / חוצה זווית אז המקבילית הופכת למעוין.

למה משפטי מעוין דומים למשפטי משולש שווה שוקיים?
כי מעין מורכב משני משולשים שווה שוקיים. הסבר גרפי יש בוידאו.

3.מלבן

משפטי המלבן הם:

  1. הגדרת המלבן היא: מקבילית שבה זווית של 90 מעלות היא מלבן.
  2. אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
  3. מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.

הטיפ בקצרה

בנושא זה זה לא ממש טיפ אלא הוכחה / דרך לזכור מדוע האלכסונים שווים דווקא במלבן ובמקבילית ומעוין לא.
מוצגות שתי הוכחות: אחת בעזרת משפט פיתגורס והשנייה בעזרת משולשים חופפים.

4.טרפז שווה שוקיים

משפטי טרפז שווה שוקיים הם:

  1. טרפז בו השוקיים שוות הוא טרפז שווה שוקיים.
  2. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  3. (המשפט ההפוך) טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
  4. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
  5. (המשפט ההפוך) טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.
  6. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
  7. (המשפט ההפוך) בטרפז  ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה את השוק השנייה.

הטיפ בקצרה

נסתכל על משפטי תכונות הטרפז:

  1. טרפז בו השוקיים שוות הוא טרפז שווה שוקיים.
  2. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.

מילת המפתח במשפטים הללו היא שוויון;
אם בטרפז השוקיים / האלכסונים / הזוויות שוות אז הטרפז שווה שוקיים.
כמו כן משפטי הוכחת טרפז שווה שוקיים הם המשפטים ההפוכים למשפטים הללו.

הערה
לטרפז שהוא לא שווה שוקיים אין משפטים מלבד משפטי קטע אמצעים בטרפז הרשומים למעלה.

5.דלתון

  1. האלכסון הראשי בדלתון חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני.

הטיפ בקצרה

גם דלתון מורכב משני משולשים שווה שוקיים.
לכן אם ישר הוא תיכון אז הוא חייב להיות גם גובה ותיכון.

כמו כן האלכסון המשני בדלתון לא יוצא מקודקוד משולש שווה שוקיים, לכן הוא רק גובה לאלכסון הראשי ולא תיכון או חוצה זווית.

עוד באתר:

משולשים חופפים ומשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים יש:

  • שתי צלעות שוות
  • שתי זוויות שוות.

ובנוסף: התיכון, חוצה הזווית והגובה לבסיס הם ישר אחד.

בגלל כל השוויונות הללו יש הרבה שאלות המשלבות בין חפיפת משולשים למשולש שווה שוקיים.

בדף זה נדבר על שתי סוגי שאלות:

  1. שאלות שבהם מוכיחים את תכונות משולש שווה שוקיים באמצעות חפיפת משולשים.
  2. שאלות שבהם מעבירים שני גבהים / חוצה זווית / תיכונים אל השוקיים של המשולש וכך נוצרים משולשים חופפים.

הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים באמצעות חפיפת משולשים

תרגיל 1
נתון משולש ABC שבו AB=AC.
נעביר את חוצה הזווית AD.
הוכיחו ללא שימוש במשפטים כלשהם (מלבד משפטי חפיפה) כי:

  1. B= ∠C∠  (זוויות הבסיס שוות).
  2. BD=CD (חוצה הזווית הוא תיכון).
  3. AD⊥BC  (חוצה הזווית הוא אנך).

הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים

פתרון

נוכיח ACD ≅ ABD

  1. AB=AC נתון.
  2. BAD = ∠CAD∠ נתון AD חוצה זווית.
  3. AD צלע משותפת.
  4. ACD ≅ ABD משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

הוכחה כי במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
B= ∠C∠  זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזוויות הוא גם תיכון
BD=CD  צלעות מתאימות שוות בן משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזווית הוא גובה

  1. BDA = ∠CDA∠ זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  2. BDA + ∠CDA = 180∠ (סכום זוויות צמודות)
  3. משתי עובדות אלו נובע כי כל אחת מהזוויות גודלם 90. רק במקרה הזה הזוויות יכולות להיות שוות זו לזו וסכומן 180.

את השורה האחרונה ניתן לכתוב במשוואה כך:
נגדיר:
BDA = ∠CDA = x
ומכוון שסכום הזוויות 180 אז המשוואה היא:
x + x = 180
2x = 180  / :2
x = 90

תרגיל 2 (תרגיל הפוך)
במשולש ABC מעבירים את הישר AD ונתון שהוא חוצה זווית וגם גובה.
BAD = CAD
BDA = CDA = 90

הוכיחו כי:

  1. AB = AC (השוקיים שוות)
  2. B = C (זוויות הבסיס שוות)
  3. BD = CD (חוצה הזווית הוא גם תיכון).

פתרון

  1. BAD = CAD  (זווית שווה)
  2. BDA = CDA = 90  (זווית שווה).
  3. AD צלע משותפת.
  4. ADB ≅ ADC  על פי ז.צ.ז

AB = AC צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

B = C זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

BD  =CD  צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

חוצה זווית / גבהים / תיכונים המגיעים אל השוקיים

במשולש שווה שוקיים כאשר מעבירים שני חוצה זווית / גבהים / תיכון אל השוקיים נוצרים שני משולשים חופפים למטה ודלתון למעלה.

תרגיל 1
משולש ΔABC הוא שווה שוקיים AB=AC.
מהקודקודים B ו C מעבירים חוצי זווית BD ו CE אל השוקיים.

א. הוכיחו כי BD=CE.
ב. הוכיחו כי משולש ΔBOC הוא שווה שוקיים.
ג. הוכיחו כי AEC=∠ADB∠

משולש שווה שוקיים שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר: B=∠C=x∠
  2. DBC=0.5X∠ – נתון BD הוא חוצה זווית.
  3. CEB=0.5X∠ – נתון CE הוא חוצה זווית.
  4. BC – צלע משותפת.
  5. ΔBDC≅ΔCEB – על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.
  6. BD=CE – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

סעיף ב.

  1. DBC=∠ECB∠ – נובע מסעיפים 2 ו 3 בחלק הקודם (ואלו גם זוויות מתאימות בין משולשים חופפים).
  2. ΔBOC הוא שווה שוקיים – משולש שבו 2 זוויות שוות הוא שווה שוקיים.

סעיף ג.

  1. CEB=∠BDC∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. נגדיר CEB=∠BDC∠=x.
  3. AEC=180-X∠ – סכום זוויות צמודות על ישר הוא 180 מעלות.
  4. ADB=180-X∠
  5. ADB=∠AEC∠ – נובע מסעיפים 3 ו 4.

תרגיל 2
בצורה דומה אם BD, CE הם גבהים במשולש שווה שוקיים ABC אז ניתן להוכיח כי BEC ≅ CDB

פתרון
B = C  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
ECB = 180 – 90 – B  (סכום זוויות במשולש ECB הוא 180 מעלות).
DBC = 180 – 90 – C  (סכום זוויות במשולש ECB הוא 180 מעלות).

לכן:

  1. ECB = DBC
  2. B = C  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. BC צלע משותפת.
  4. BEC ≅ CDB משולשים חופפים על פי ז.צ.ז

תרגיל 3 (הוכחת דלתון)
המשולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
BE ו CD הם חוצי זוויות הבסיס הנפגשים בנקודה F.
הוכיחו כי מרובע ADFE הוא דלתון.

שרטוט התרגיל דלתון

פתרון

שלב 1: נוכיח כי AD = AE על ידי חפיפת המשולשים DBC ≅ ECB

  1. B=∠C∠ -זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
  3. BC – צלע משותפת למשולשים ΔDBC ו ΔECB.
  4. DBC ≅ ECB – משולשים חופפים על פי משפט ז.צ.ז.
  5. DB = CE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. AD = AB – DB = AC – CE = AE נובע מהנתונים ומ 5. כאן הוכחנו שזוג צלעות אחד במרובע AEFD שווה.
    (חזרה על חיסור צלעות ניתן לעשות בקישור).

שלב 2: נוכיח כי DF = EF על ידי הוכחה שמשולש FBC הוא שווה שוקיים

  1. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
  2. FB = FC  מול זוויות שוות במשולש FBC נמצאות צלעות שוות.
  3. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  4. DF = DC – FC = EB – FB = EF  נובע מ 8 ו 9.  כאן הוכחנו שעוד זוג של צלעות במרובע AEFD שווה.

שלב 3: נוכיח כי המרובע ABCD הוא דלתון

הוכחנו כי המרובע ADFE מורכב משני משולשים שווה שוקיים ולכן הוא דלתון. (נובע מ- 6 ו 10).

עוד באתר:

  1. חפיפת משולשים.
  2. משולש שווה שוקיים.
  3. מתמטיקה לחטיבת הביניים.

זוויות במשולש שווה שוקיים

אם יודעים זווית אחת במשולש שווה שוקיים ניתן לדעת את כל השלושה.
עושים זאת בעזרת שתי תכונות:

  1. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  2. סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.

הטכניקה של השלמת זוויות היא טכניקה מאוד מאוד חשובה ומשתמשים בה הרבה הרבה פעמים בכול סוגי המשולשים והמרובעים.
לכן אני ממליץ לכם להשקיע מאמץ יתר על מנת להבין את מה שנלמד בדף זה.

דוגמה 1 (זווית הבסיס ידועה)
במשולש שווה שוקיים ידוע כי גודל זווית הבסיס הוא 70 מעלות.
השלימו את גודל שאר זוויות המשולש. נמקו כל גודל.

פתרון
מציאת זווית B
זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות ולכן:
B = C = 70

מציאת זווית A
זווית A משלימה את שתי זוויות הבסיס ל 180 מעלות. לכן:
A = 180 – 70 – 70
A = 180 – 140 = 40

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

דוגמה 2 (זווית הראש ידועה)
במשולש שווה שוקיים ידוע כי גודל זווית הראש הוא 120 מעלות.
חשבו את זוויות הבסיס.

שתי זוויות הבסיס משלימות את זוויות הראש ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
60 = 120 – 180

שתי זוויות הבסיס שוות ולכן גודל כל אחת מיהן הוא:
30 = 2 : 60
תשובה: B = C = 30.

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

דוגמה 3 (הגדרה בעזרת משתנים)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הבסיס הוא x.
הביעו באמצעות x את גודל זווית הראש.

פתרון
זוויות הבסיס שוות זו לזו ולכן:
C = B = x

הזווית A משלימה את זוויות המשולש ל 180 מעלות ולכן גודלה:
A = 180 – x – x
A = 180 -2x

 

דוגמה 4 (הגדרה בעזרת משתנים)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הראש הוא x.
הביעו באמצעות x את גודל זווית הבסיס.

פתרון
שתי זוויות הבסיס משלימות ביחד את זווית A ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
B + C = 180-x

זווית הבסיס שוות זו לזו לכן כל אחת מיהן שווה ל 1/2:

תשובה:
B = C = 90 – 0.5x

כך נראה הפתרון

כך נראה הפתרון

תרגילים

תרגילים 1-4 דומים מאוד לדוגמאות שלמעלה רק אם מספרים אחרים.
תרגילים 5-7 מעט קשים יותר.

תרגיל 1 (זווית בסיס ידועה)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הבסיס הוא 80 מעלות.
מצאו את את גודל זווית הראש.

פתרון
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. לכן
B = C = 80

זווית הראש משלימה את שתי זוויות הבסיס ל 180 מעלות, לכן גודלה:
A = 180 – 80 – 80
A = 180 – 160 = 20
תשובה: גודל זווית הראש הוא 120 מעלות.

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

תרגיל 2 (זווית הראש ידועה)
במשולש שווה שוקיים ידוע כי גודל זווית הראש הוא 70 מעלות.
חשבו את זוויות הבסיס.

שתי זוויות הבסיס משלימות את זוויות הראש ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
110 = 70 – 180

שתי זוויות הבסיס שוות ולכן גודל כל אחת מיהן הוא:
55 = 2 : 110
תשובה: B = C = 55.

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

תרגיל 3 (הגדרה בעזרת משתנים)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הבסיס הוא 2x.
הביעו באמצעות x את גודל זווית הראש.

פתרון
זוויות הבסיס שוות זו לזו ולכן:
C = B = 2x

הזווית A משלימה את זוויות המשולש ל 180 מעלות ולכן גודלה:
A = 180 – 2x – 2x
A = 180 -4x

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

תרגיל 4 (הגדרה בעזרת משתנים)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הראש הוא 3x.
הביעו באמצעות x את גודל זווית הבסיס.

פתרון
שתי זוויות הבסיס משלימות ביחד את זווית A ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
B + C = 180 – 3x

זווית הבסיס שוות זו לזו לכן כל אחת מיהן שווה ל 1/2:

תשובה:
B = C = 90 -1.5x

תרגילים קשים יותר

תרגיל 5
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) שבו זווית הראש היא 80 מעבירים את חוצה הזווית BD.

  1. חשבו את זווית BDC.
  2. גודלה של צלע AB הוא 8 סנטימטר. האם ניתן לחשב את אורך הצלע AD?

פתרון
שלבי הפתרון הם:

  1. חישוב זוויות הבסיס.
  2. מציאת זווית BDC.

מציאת זווית הבסיס
שתי זווית הבסיס במשולש ABC  משלימות את זווית הראש ל 180 מעלות.
לכן סכומם הוא:
100 = 80 – 180

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות ולכן גודל כל אחת מיהן:
B = C = 100 : 2 = 50

חישוב זווית BDC
BD הוא חוצה זווית ולכן גודל זווית DBC הוא חצי מזווית B.
DBC = 0.5 * 50 = 25

במשולש BDC אנו יודעים שתי זוויות
DBC = 25
C = 50
הזווית BDC משלימה את שתי הזוויות הללו ל 180 מעלות ולכן:
BDC = 180 – 50 – 25
BDC = 180 – 75 = 105
תשובה: BDC  = 105

 

סעיף ב: AB הוא 8 סנטימטר. מה גודלו של AD?
בנתונים הללו לא ניתן לחשב את AD.
אם BD היה תיכון היה ניתן לחשב. אך במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית אל השוק הוא לא תיכון ולכן לא ניתן לחשב.

תרגיל 6
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) שבו זווית הבסיס היא 70 מעלות מעבירים את הגובה CD.
חשבו את זווית ACD.

פתרון
במשולש BDC אנו יכולים לחשב את זווית BCD.
BCD = 180 – 90 – 70
BCD = 180 – 160 = 20

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן:
C = B = 70

ניתן לחשב את זווית ACD על ידי חיסור זוויות.
ACD = C – BCD
ACD = 70 – 20 = 50
תשובה: ACD  = 50

כך נראה הפתרון

כך נראה הפתרון

עוד באתר:

טרפז שווה שוקיים שאלכסוניו מאונכים

בטרפז שווה שוקיים שלכסונין מאונכים ניתן להוכיח כי המשולשים BOC,  AOD הם משולשים שווה שוקיים שהזוויות שלהם הן 90,45,45.
ולאחר שעושים את זה ניתן לענות על מגוון שאלות בנושא.

לפני שאתם רואים את ההוכחה כאן אני מציע לכם לנסות להוכיח את הדבר בעצמכם.
והרמז שלכם לביצוע ההוכחה הוא שצריך פעם אחת להוכיח חפיפת משולשים ואז להשתמש בזוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

ההוכחה בקצרה:

  1. ABC ≅ DCB משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.
  2. ACB = DBC זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

ההוכחה המלאה:

  1. B = C  זווית בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות.
  2. AB = DC השוקיים בטרפז שווה שוקיים שוות.
  3. BC צלע משותפת.

ABC ≅ DCB משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.

מכוון שהמשולשים חופפים:
ACB = DBC  (זוויות מתאימות בין משולשים חופפים)
לכן משולש BOC הוא משולש שווה שוקיים.
ומכוון שסכום שתי הזוויות הללו הוא 90 אז כל אחת מהזוויות הללו צריכה להיות 45.

לאחר שהוכחנו את זה ניתן גם להוכיח שמשולש AOD הוא 90,45,45 על ידי זוויות מתחלפות.
(או ניתן להוכיח את זה ישירות על ידי חפיפת המשולשים BAD ≅ CAD).

תרגיל לדוגמה

לאחר שמצאנו את זה נוכל לענות על מגוון שאלות, למשל:

הוכיחו כי בטרפז שווה שוקיים שאלכסוניו מאונכים הגובה שווה למחצית סכום הבסיסים.

פתרון
נעביר דרך הנקודה O את הגובה EF לבסיס BC.
מכוון שבסיסי הטרפז מקבילים EF הוא גובה גם לבסיס AD.

אם נסתכל על משולש BFO נראה ש:
BOF = 45
ולכן משולש BOF הוא משולש שווה שוקיים שבו:
BF = OF

באותה צורה נוכל להוכיח במשולש CFO ש:
CF = OF
משני השוויונות הללו אנו מגיעים למסקנה ש:
BC = 2OF

באותה צורה נוכל להוכיח במשולשים העליונים:
AD = 2AE.

לכן
20F + 2AE = BC + AD
(OF + AE = 0.5(BC + AD

עוד באתר:

תכונות משולש שווה שוקיים

התכונות של משולש שווה שוקיים הם:

  1. השוקיים שוות זו לזו.
  2. זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  3. התיכון הגובה וחוצה זווית לבסיס המשולש מתלכדים.

דגש:
רק התיכון לבסיס הוא גם גובה וחוצה זווית.
התיכון אל השוקיים הוא לא גובה וחוצה זווית.

תרגילים

תרגיל 1
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).
מעבירים את התיכון AD.
DC = 7.
CAD = 25.
חשבו את:

  1. צלע BD
  2. זווית BAD
  3. זווית ADB
    (החלקים המסומנים באדום בשרטוט).

פתרון

מציאת BD
מכוון ש AD  הוא תיכון אז:
BD = CD = 7

מציאת BAD
במשולש שווה שוקיים התיכון הוא חוצה זווית ולכן:
BAD = DAC = 25

מציאת ADB
במשולש שווה שוקיים התיכון הוא גובה ולכן:
ADB = 90

תרגיל 2
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).
מעבירים במשולש את הקטע AD.
BD = 10
BAD = CAD = 20

קבעו איזה סוג ישר הוא הישר AD.
אם ניתן השלימו את הנתונים הבאים על סמך השרטוט:

  1. זווית ADC.
  2. זוויות C.
  3. צלע BC.

פתרון
הישר AD
נתון לנו ש:
BAD = CAD = 20
לכן הישר AD הוא חוצה זווית.

זווית ADC
במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית הוא גם גובה. לכן:
ADC = 90

זווית C
זווית C משלימה ל 180 מעלות במשולש ADC.
= 20 – 90 – 180
70 = 110 – 180
תשובה: גודל זווית C הוא 70 מעלות.

הצלע BC
במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון. לכן:
BD = CD = 10
BC = BD + CD
BC = 10 + 10 = 20

תרגיל 3
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).
מעבירים במשולש את הקטע AD.
BD = 6
BDA = 90
BAD = 15

קבעו איזה סוג ישר הוא הישר AD.
אם ניתן השלימו את הנתונים הבאים על סמך השרטוט:

  1. זווית DAC
  2. זוויות C.
  3. צלע CD.

פתרון
הישר AD
מכוון שזווית BDA = 90 אז הישר AD הוא גובה לצלע BC.

זווית DAC
גובה במשולש שווה שוקיים הוא חוצה זווית. לכן:
DAC = DAB = 15

זווית C
במשולש BDA זווית זווית B משלימה ל 180 מעלות.
B = 180 – 90 – 15
B = 180 – 105 = 75

צלע CD
במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון. לכן:
CD = BD = 6

זוויות קודקודיות

בדף זה:

  1. נגדיר זוויות קודקודיות.
  2. התכונה של זוויות קודקודיות.
  3. תרגילים.

הגדרה של זוויות קודקודיות

זוויות קודקודיות הן זוויות הנוצרות בין שני ישרים נחתכים ונמצאות אחת מול השנייה.
למשל שתי הזוויות המסומנות באדום הן זוויות קודקודיות.

ובדוגמה שלמטה הזוויות הם לא זוויות קודקודיות.
כי הקווים המשורטטים הם לא קווים ישרים.

הזוויות האדומות הן לא קודקודיות כי CD הוא לא ישר.

הזוויות האדומות הן לא קודקודיות כי CD הוא לא ישר.

התכונה של זוויות קודקודיות

זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
למשל גודל הזווית האדומה שבשרטוט הוא 100 כי היא זווית קודקודית לזווית שגודלה  100 מעלות.

בעזרת זוויות קודקודיות ניתן גם לבנות משוואה בצורה הזו.

שתי הזוויות המסומנות הן זוויות קודקודיות שוות ולכן המשוואה היא:
2x + 20 = x + 70

נפתור את המשוואה:
2x + 20 = x + 70  / -x – 20
x  = 50

120 = 70 + 50
לכן הגודל של כל אחת מהזוויות הללו הוא:

תרגילים

תרגיל 1
האם בשרטוטים הבאים יש זוויות קודקודיות?
אם כן חשבו את גודל הזווית האדומה.

פתרון
בשרטוט מספר 1, בשרטוט השמאלי אין זווית קודקודיות כי AC הוא לא קו ישר.

בשרטוט מספר 2, השרטוט הימני, גודל הזווית האדומה הוא 100 כי אלו הן זוויות קודקודיות.

תרגיל 2
חשבו את x בשרטוט הבא.
וחשבו את גודל הזוויות.

פתרון
שתי הזוויות המסומנות הן זוויות קודקודיות ולכן שוות.
המשוואה היא:
3x – 40 = 2x – 10

נפתור את המשוואה:
3x – 40 = 2x – 10  / -2x + 40
x = 30

גודל הזווית הוא 2x -10
2x – 10 = 2*30 – 10
50 = 10 – 60
גודל הזווית הוא 50 מעלות.

מכוון ששתי הזוויות שוות אין צורך לחשב את גודל הזווית 3x – 40. גם גודל זווית זו הוא 50.

תרגילים המשלבים זוויות צמודות וזוויות קודקודיות

תרגיל 1
מצאו את הזוויות המסומנות ב x,y,z.

פתרון
זווית x היא זווית צמודה לזוויות שגודלה 40.
לכן המשוואה היא:
x + 40 = 180
x = 140

זווית y היא זווית קודקודית לזווית שגודלה 40.
זוויות קודקודיות הן שוות לכן:
y = 40

זוויות z היא זוויות צמודה לזווית שגודלה 40.
לכן המשוואה היא:
z + 40 = 180
z = 140

תרגיל 2
מצאו את הזוויות המסומנות ב x,y,z.

פתרון
מציאת זווית x.
על הישר AB נמצאות הזוויות  30  ,40,  x.
סכום שלושת הזוויות הוא 180 מעלות.
לכן המשוואה היא:
x + 30 + 40 = 180
x + 70 = 180  / -70
x = 110

מציאת זווית y
זוויות y היא זוויות קודקודית לזווית שגודלה 40.
לכן:
y = 40

מציאת זווית z
זווית z היא זוויות צמודה לזווית שגודלה 40 (הזווית המסומנת באדום).
לכן המשוואה היא:
z + 40 = 180
z = 140

עוד באתר: