ארכיון הקטגוריה: משוואת ישר, פונקציה קווית

מרובעים גיאומטריה אנליטית סיכום

בדף זה נסכם את החומר בנושא מרובעים בגיאומטריה אנליטית.
הדף מיועד לתלמידי כיתה י ברמת 4-5 יחידות.

הדרך שבה מסוכם החומר הוא על ידי הצגה של "סוגים של בעיות". עבור כל צורה מוצגים מספר סוגים של בעיות בהם אתם יכולים להיתקל ולאחריהן הסבר מקוצר לפתרון.

נושאי הדף הם:

  1. מקבילית.
  2. מלבן.
  3. מעוין.
  4. טרפז.
  5. קישורים.

1.מקבילית

סוג 1: אם ידועים 3 קודקודים במקבילית ניתן למצוא את הקודקוד הרביעי.
על ידי חיתוך צלעות או אלכסונים.

התרגיל
המרובע ABCD מקבילית.
הקודקודים A,B,C ידועים.
מצאו את הקודקוד D.

פתרון
עושים זאת על ידי מציאת משוואות הישרים AD, CD שהנקודה D היא החיתוך שלהם.

  1. נמצא את שיפוע CB על פי שתי נקודות. שיפוע זה שווה לשיפוע AD כי אלו צלעות מקבילות.
  2. נמצא את משוואת AD על פי שיפוע ונקודה.
  3. נמצא את שיפוע AB. שיפוע זה שווה לשיפוע CD. לכן ניתן למצוא את משוואת CD על פי שיפוע ונקודה.
  4. נמצא את נקודת החיתוך של CD ו AD. זו הנקודה D.

הערה
אם מנסחים את השאלה אחרת;
נתונות 3 נקודות. מצאו נקודה רביעית כך שהמרובע ABCD יהיה מקבילית.

פתרון
ניתן לפתור באותה דרך ולהסתמך על המשפט "במרובע שבו שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית"
במקרה זה:

  1. נניח כי CD מקביל ל AB וכך נמצאת את משוואת CD.
  2. נניח כי AD מקביל ל BC וכך נמצא את משוואת AD.
  3. נמצא את D על ידי החיתוך של CD ו AD.

סוג 2: אם ידועות שתי צלעות וקודקוד שלא עליהן ניתן למצוא את כל הקודקודים

התרגיל
ABCD מקבילית.
הנקודה D ידועה.
משוואות הצלעות AB,BC ידועות.
מצאו את קודקודי המקבילית

פתרון
נמצא את משוואות צלעות המקבילית. ממשוואות הצלעות ניתן למצוא בקלות את קודקודי המקבילית.

  1. שיפוע AD שווה לשיפוע BC לכן ניתן למצוא את משוואת AD (בעזרת הנקודה D).
  2. שיפוע CD שווה לשיפוע AB. לכן ניתן למצוא את משוואת CD (בעזרת הנקודה D).
  3. לאחר שמצאנו את משוואות 4 הצלעות ניתן למצוא את הקודקודים על ידי חיתוך הצלעות.

סוג 3: אם ידועות שתי צלעות ונקודות מפגש האלכסונים ניתן למצוא את קודקודי המקבילית

התרגיל
ABCD מקבילית.
משוואות הצלעות AB, BC ידועות.
ידועה הנקודה E שהיא מפגש האלכסונים.
מצאו את קודקודי המקבילית.

פתרון

  1. נמצא את הנקודה B שהיא חיתוך של שתי הצלעות שאנו יודעים.
  2. לאחר שמצאנו את B ניתן למצוא את D בעזרת הנוסחה לאמצע קטע (כמו בחלק השני בדף שמקושר).
  3. עכשיו אנו יודעים שתי צלעות (AB, BC) ונקודה שלא עליהם D. מכאן אנו יכולים לפעול כמו שהראנו בסוג הקודם ולמצוא את 4 צלעות האחרות והקודקודים.

2.מלבן

סוג 1: נתונים 3 קודקודים היוצרים משולש ישר זווית, מצאו קודקוד רביעי היוצר מלבן

התרגיל
במשולש ישר זווית ABC הנקודות ABC ידועות.
מצאו נקודה D כך שמרובע ABCD יהיה מלבן.

פתרון
כפי שלמדנו במקבילית בדוגמה 1. אם ידועות 3 נקודות ניתן למצוא את המשוואות של 4 הצלעות.
המשוואות שאנו צריכים למציאת הנקודה D הם של הצלעות CD ו AD.

  1. נמצא את שיפוע AB על פי שתי נקודות.
  2. השיפוע של CD שווה לשיפוע של AB. נמצא את משוואת CD על פי שיפוע ונקודה (הנקודה C). (המשוואה y = -0.5x +2.5)
  3. נמצא את השיפוע של BC על פי שתי נקודות.
  4. השיפוע של AD שווה לשיפוע של BC. נמצא את משוואת AD על פי שיפוע ונקודה.(המשוואה היא: y = 2x + 5).
  5. נמצא את הנקודה D על ידי החיתוך של שני הישרים AD, CD (הנקודה היא: 3, 1-).

סוג 2:  במלבן נתונות המשוואות של שתי צלעות נגדיות ונתונה משוואת האלכסון ניתן למצוא את כל הקודקודים של המלבן.

התרגיל
במלבן ABCD ידועות משוואת הצלעות AD, BC ומשוואת האלכסון BD.
מצאו את קודקודי המלבן.

  1. על ידי חיתוך בין משוואת אלכסון לצלע נמצא את הנקודות B,D. (והן (B(-4,-2)   D(-1,3).
  2. הצלעות AB, CD  מאונכות לצלעות הנוספות של המלבן. לכן ניתן למצוא את השיפוע של הצלעות הללו. אנו יודעים גם את הנקודות B,D הנמצאות על הצלעות הללו לכן ניתן למצוא את משוואת AB, CD.
  3. ידועות לנו 4 צלעות המלבן ניתן למצוא את הקודקודים על ידי חיתוך.

*סוג 3: נתונים משוואות שני האלכסונים + קודקוד ניתן למצוא את 4 הקודקודים האחרים

התרגיל
במלבן ידועים האלכסונים AB,BD וידועה הנקודה A.
מצאו את 4 קודקודי המלבן.

פתרון

  1. נמצא את נקודת מפגש האלכסונים.
  2. נמצא את הקודקוד C על ידי הנוסחה לאמצע קטע (התשובה: (C(1,2)
  3. הנקודה D נמצאת על האלכסון BD לכן נגדיר את הנקודה כך: (x1, 7x1 + 10)
  4. בעזרת הנקודה D אנו יכולים להגדיר את השיפועים של CD ו AD באמצעות משתנה אחד.

השיפוע של AD הוא
(A (-4, -3
(D(x1, 7x1 + 10

השיפוע של CD הוא
(C (1, 2
(D(x1, 7x1 + 10

הישרים AD, CD מאונכים.
לכן מכפלת השיפועים הללו היא 1-.
המשוואה היא:

זו משוואה עם נעלם אחד שניתן למצוא בה את x1 שהוא:
x1 = -1

לאחר שמצאנו את הנקודה D ניתן למצוא בעזרת הנקודה D, נקודת מפגש האלכסונים והנוסחה לאמצע קטע את הקודקוד B וכך נדע את כל ארבעת הקודקודים.

3.מעוין

סוג 1: נתונים 4 קודקודים של מרובע, הוכיחו כי המרובע מעוין

התרגיל
הקודקדים של מרובע ABCD ידועים.
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא מעוין.

פתרון
ניתן להשתמש בשני המשפטים:

  1. אם במרובע שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות אז המרובע הוא מקבילית.
  2. אם במקבילית שתי צלעות סמוכות שוות אז היא מעוין.

לכן בפתרון נחשב את האורכים של 4 צלעות המעוין. נוכיח שהמרובע הוא מקבילית ואז נוכיח שהמרובע הוא מעוין.

סוג 2: נתונים 4 קודקודי המעוין צריך לחשב את שטח המעוין

התרגיל
הקודקודים של המעוין ABCD ידועים.
צריך לחשב את שטח המעוין.

פתרון
לשטח מעוין יש שתי נוסחאות.
נוסחה אחת היא צלע כפול הגובה אל הצלע (כמו שטח מקבילית).

נוסחה שנייה היא מכפלת אורכי האלכסונים חלקי שתיים.
נשתמש בנוסחה השנייה.
אנו יודעים את קודקודי המעוין לכן קל למצוא את אורכי האלכסונים בעזרת הנוסחה למרחק בין שתיט נקודות ולחשב את השטח.

סוג 3: נתונים משוואת אלכסון וקודקוד שלא על האלכסון ניתן למצוא את משוואת האלכסון השני + הקודקוד השני שלא על האלכסון שנתון

פתרון
מציאת משוואת האלכסון השני:

  1. אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה. לכן ניתן למצוא את שיפוע האלכסון השני.
  2. עבור האלכסון השני אנו יודעים נקודה ולכן ניתן למצוא את משוואתו של האלכסון על פי שיפוע ונקודה.

4.טרפז

סוג 1: נתונים 3 קודקודים ומשוואת שוק. מצאו את הקודקוד הרביעי שיוצר טרפז

התרגיל
נתונות הנקודות A,D,C מצאו נקודה רביעית הנמצאת על הישר y = 4x +15 היוצרת טרפז.

פתרון

  1. מכוון שהנקודה נמצאת על הישר y = 4x +15 ניתן להגדיר אותה כ: (x1, 4x1 +15).
  2. השיפוע של הצלע AD הוא 0. לכן השיפוע של BC גם הוא 0.

ניתן לכתוב את המשוואה הבאה:

ממשוואה זו נקבל:
x1 = -4

*סוג 2: נתונים 3 קודקודים מצאו קודקוד רביעי היוצר טרפז שווה שוקיים

תרגיל
נתונות הנקודות A,C,D מצאו את הנקודה B שתשלים את המרובע לטרפז שווה שוקיים.

פתרון
תרגיל זה נפתר בעזרת שתי משוואות עם שני נעלמים.

  1. נמצא את המרחק CD שהוא אורך שני השוקיים (המרחק הוא 20√).
  2. נגדיר את הנקודה B כ (x1, y1) אלו שני הנעלמים שלנו.
  3. משוואה אחת אומרת שהשיפוע של ישר DB צריך להיות שווה ל 0.
  4. משוואה שנייה אומרת שהמרחק AB צריך להיות 20√

5.קישורים

מציאת משוואת ישר על פי גרף

על מנת למצוא משוואת ישר על פי גרף נפעל בדרך הבאה:

  1. נמצא שתי נקודות שקל לזהות את הערכים שלהם על הגרף.
  2. נמצא משוואת ישר על פי שתי נקודות.

דוגמה 1
בגרף שלמטה כל משבצת היא יחידה.
מצאו את משוואת הישר.

פתרון
נאתר שתי נקודות שקל לראות את הערכים שלהן על הגרף.
אני בחרתי את אלו אבל אתם יכולים לבחור נקודות אחרות.

הנקודות הן:
(A(0,0)   B(1,2
נמצא את משוואת הישר על פי שתי הנקודות הללו:

נמצא משוואת ישר על פי שיפוע m = 1 ונקודה (0,0)
(y – y1 = m (x – x1
(y – 0 = 1 (x – 0
y = x
זו משוואת הישר.

דוגמה 2
בגרף שלמטה כל משבצת היא יחידה.
מצאו את משוואת הישר.

ניתן לבחור כל שתי נקודות ברורות על הישר.
אני בחרתי בשתי הנקודות הללו:

עכשיו יש לנו את שתי הנקודות:
(A (1, 1)   B (2, -1
נמצא משוואת ישר על פי שתי נקודות.

נציב את השיפוע m = -2 ואת הנקודה (1,1) במשוואה:
(y – y1 = m (x – x1
(y – 1 = -2 (x -1
y – 1 = -2x +2  / +1
y = -2x + 3

עוד באתר:

מרחק בין שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל צירים

לדף זה שני חלקים:

  1. הסבר מעשי כיצד לחשב את המרחק.
  2. הסבר תאורטי מדוע מחשבים את המרחק כך.

הסבר מעשי כיצד לחשב את המרחק

לנקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים יש ערך אחד שווה וערך אחד שאינו שווה.
למשל:
(A(3, 1)  B(3, 6
בשתי הנקודות הללו ערך x שווה והוא 3.
וערך y שהוא שונה.

על מנת לחשב את המרחק בין שתי הנקודות הללו נתעלם מהערך השווה ונחסר את שני הערכים שאינם שווים.
5  =1 – 6
תשובה: המרחק בין שתי הנקודות הנקודות הוא 5 יחידות.

הערה: שתי הנקודות הללו נמצאות על הישר x = 3.

 

דוגמה 2
מצאו את המרחק בין שתי הנקודות
(A(-3, 2)  B(4, 2

פתרון
לשתי הנקודות הללו ערך y שווה והוא 2.
לכן הן נמצאות על הישר y=2.

על מנת לחשב את המרחק נחסר את הערכים שאינם שווים.
= (3-) – 4
7 = 3 + 4
תשובה: המרחק בין שתי הנקודות הללו הוא 7 יחידות.

*הערה
חלקכם שואלים מדוע חישבתי את התרגיל:
7 = (3-) – 4
ולא את התרגיל:
7- = 4 – 3 –

התשובה היא ששתי דרכי הפתרון הן נכונות.
ומכוון שמרחק יכול להיות רק ערך חיובי אם נקבל מספר שלילי כמו 7- אז התשובה שאנו צריכים לתת היא הערך המוחלט, הגודל החיובי 7.

עוד באתר:

הסבר: מדוע מחשבים את המרחק כך

נסתכל על שתי נקודות שלא נמצאות על ישר מקביל לצירים.

על מנת להגיע מנקודה אחת לנקודה השנייה עלינו לעלות משבצת אחת בציר ה y ולזוז 4 משבצות ימינה על ציר ה x.
לכן במקרה כזה עלינו להתחשב גם בערך ה x וגם בערך ה y על מנת למצוא את המרחק.

לעומת זאת אם שתי הנקודות נמצאות על ישר המקביל לצירים המרחק בניהן נמצא על ציר אחד וניתן להתעלם מהציר השני.
למשל בין שתי הנקודות שלמטה אין מרחק על ציר ה y, יש מרחק רק על ציר ה x.

טבלת ערכים למשוואת ישר

בדף זה נסביר:

  1. כיצד מוצאים נקודה הנמצאת על ישר.
  2. כיצד מציגים נקודות בטבלת ערכים.

איך מוצאים נקודה על ישר?

כאשר נתונה לנו משוואת ישר ניתן להציב כל ערך x שנרצה במשוואה ולקבל ערך y.
ערך ה x וערך ה y שקיבלנו הם נקודה הנמצאת על הישר.

למשל, עבור משוואת הישר y = 3x – 1.
מצאו נקודה הנמצאת על הישר.

פתרון
ניתן לבחור כל x שנרצה.
למשל x = 5
ולהציב במשוואה.
y = 3*5 – 1
y = 15 – 1 = 14
y = 14.

אז מצאנו y= 14.
אבל יש השואלים מה הוא ה x של נקודה זו?
והתשובה היא שה x הוא ה x שהצבנו x = 5.
והנקודה היא: (5,14).

תרגיל

  1. מצאו 3 נקודות הנמצאות על הישר y = 2x + 1.
  2. הציגו את 3 הנקודות הללו בטבלת ערכים.
  3. שרטטו את גרף הישר.

פתרון
סעיף א: מציאת 3 נקודות
ניתן להציב כל ערך x במשוואת הישר.
אבל על מנת שנקבל תרגילים קלים נהוג להציב מספרים פשוטים.
ההצבות:
x = 0
x = 1
x = 2
הם הצבות פופולריות.

נציב
x = 0
ונקבל:
y = 2 * 0 + 1
y = 1
(0,1)

נציב
x = 1
ונקבל
y = 2*1 +1= 3
y =3
(1,3)

נציב:
x = -2
ונקבל:
y = 2 * (-2) +1
y = -4 + 1 = -3
(3-, 2-)

סך הכל קיבלנו 3 נקודות:
(1,3)
(0,1)
(3-, 2-)

סעיף ב: הצגה בטבלת ערכים
את שלושת הנקודות הללו ניתן לייצג בטבלה הנקראת "טבלת ערכים" משום שהיא מציגה את הערכים של x,y.

xy
13
01
2-3-

סעיף ג: שרטוט גרף
את שלושת הנקודות הללו ניתן גם לסמן על גרף:

סימון הנקודות על גרף

ואז להעביר קו בין הנקודות וזה יהיה גרף הפונקציה y = 2x + 1.

בנוסף.
ניתן גם להציב את הערך של y במשוואה ולמצוא את x.
y = 2x + 1
נציב y =10
ונקבל:
2x + 1 = 10
2x = 9
x = 4.5

לכן:
4.5,9
זו נקודה נוספת על הישר

תרגיל

טבלת הערכים הבאה שייכת לישר
y = -x + 3

  1. השלימו את טבלת הערכים.
  2. האם הנקודה הנמצאת בשורה הרביעית נמצאת על הישר?
xy
0
3
6
1-4

פתרון
y = -x + 3
נציב x = 0
y = 0 + 3 = 3

נציב x = 3
y = -3 + 3 = 0

נציב y = 6
x + 3 = 6-
x = 3-
x = -3

נבדוק אם x = -1,  y = 4 נמצאת על הישר y = -x + 3.
3 + (1-) – = 4
3 + 1 = 4
4 = 4
מכוון שקיבלנו משוואה הנכונה תמיד אז הנקודה נמצאת על הישר.

הטבלה המלאה נראית כך:

xy
03
30
3-6
1-4

עוד באתר:

מכשולים במציאת משוואת ישר

עד עכשיו למדנו 4-5 שיטות למציאת משוואת ישר.
בכול שיטה שנשתמש בה אנו נצטרך נקודה ושיפוע על מנת למצוא את משוואת הישר.

אבל חלק מהשאלות יכללו מכשולים על מנת להקשות את הדרך.
אלו מכשולים לא קשים, בעזרת מיומנות טכנית ותרגול אנו נתגבר עליהם.

מכשול במציאת השיפוע
מכשול במציאת השיפוע יהיה לרוב מתן של משוואת ישר לא מפורשת.
משוואת ישר לא מפורשת היא משוואה שבה ה y לא נמצא בודד בצד אחד של המשוואה.
למשל:
y-3x+5=0

במקרה זה השיפוע הוא לא המקדם של x ויש לעבור למשוואת ישר מפורשת על מנת למצוא את השיפוע.
איך עוברים למשוואת ישר מפורשת?
מבודדים את y.

y-3x+5=0
y-3x+5=0  / +3x-5
y=3x-5 – זו משוואה מפורשת.
שיפוע הישר הוא 3.

מכשול במציאת נקודה
במכשול מסוג זה לא יתנו לכם נקודה דרכה עובר הישר אלא תצטרכו למצוא את הנקודה.
לרוב מציאת הנקודה תעשה באחת משתי דרכים:

  1. מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים.
  2. מציאת נקודת חיתוך עם הצירים.

תרגילים

תרגיל 1 (נקודת חיתוך עם ציר ה Y, ישרים מקבילים)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישר y = -2x + 4 עם ציר ה y. ומקביל לישר y = 0.2x – 4.

פתרון
נזכור: על מנת לחשב משוואת ישר עלינו למצוא שיפוע ונקודה.
הנקודה היא נקודת החיתוך עם ציר ה y.
את השיפוע נמצא בעזרת הישר המקביל.

בשרטוט, אלו הדרישות שיש מהישר המבוקש

שרטוט הדרישות ממשוואת הישר

שרטוט הדרישות ממשוואת הישר

שלב א: מציאת נקודה
נמצא את נקודת החיתוך של הישר y = -2x + 4 עם ציר ה y.
נציב x= 0 במשוואת הישר.
y = -2* 0 + 4 = 4
נקודת החיתוך היא (4, 0).

שלב ב: מציאת שיפוע
השיפועים של ישרים מקבילים הם שיפועים שווים.
שיפוע הישר y = 0.2x – 4 הוא 0.2. לכן גם שיפוע הישר המבוקש הוא 0.2.

שלב ג: מציאת משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה
נציב m = 0.2 ואת הנקודה (4, 0) במשוואת הישר
(y-y1=m(x-x1
נקבל:
(y – 4 = 0.2 (x – 0
y – 4 = 0.2x   / + 4
y = 0.2x + 4
תשובה: משוואת הישר המבוקשת היא y = 0.2x + 4.

שרטוט הישר המבוקש

שרטוט הישר המבוקש

תרגיל 2 (נקודת חיתוך עם ציר ה x, ישרים מאונכים)
מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y = 4x +1 ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y= 0.5x + 1 עם ציר ה x.

פתרון
נזכור: עלינו למצוא נקודה ושיפוע.
שלב א: מציאת נקודה דרכה עובר הישר המבוקש
נמצא את נקודת החיתוך של הישר y= 0.5x + 1 עם ציר ה x על ידי הצבת y= 0 במשוואת הישר.
0.5x + 1 = 0  / -1
0.5x = -1  /*2
x = -2
נקודת החיתוך היא (0, 2-).

שלב ב: מציאת שיפוע הישר המבוקש
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
השיפוע של הישר y = 4x +1 הוא 4.
נגדיר את שיפוע הישר המבוקש הוא כ m.
לכן מתקיים:
m * 4 = -1
m = -0.25

שלב ג: מציאת משוואת הישר
נציב את השיפוע m = -0.25 ואת הנקודה  (0, 2-) במשוואת הישר
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
((y – 0 = -0.25 (x – (-2
y = -0.25x – 0.5
תשובה: משוואת הישר המבוקשת היא y = -0.25x – 0.5.

תרגיל 3 (נקודת חיתוך בין ישרים, משוואה לא מפורשת)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים y=x+1 ו y=-2x+10 ומקביל לישר y+3x=4.

פתרון
שלב א: מציאת הנקודה דרכה עובר הישר
נמצא את נקודת חיתוך הישרים y=x+1 ו y=-2x+10.
x+1 = -2x+10 /+2x-1
3x=9 /:3
x=3.
נמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y=3+1=4.
נקודת חיתוך הישרים והנקודה דרכה עובר הישר היא (3,4).

שלב ב: נמצא את שיפוע הישר
נמצא את שיפוע הישר המבוקש.
על מנת לעשות זאת עלינו להעביר את משוואת הישר המקביל למשוואה מפורשת.
y+3x=4 /-3x
y=-3x+4 – כלומר שיפוע הישר המקביל והישר המבוקש הוא 3-.

שלב ג: מציאת משוואת הישר
מציאת משוואת הישר ששיפוע 3- ועובר דרך הנקודה (3,4).
(y-4 = -3(x-3
y-4 = -3x +9 /+4
y=-3x+13  – משוואת הישר המבוקש.

משוואת הישר המבוקש y=-3x+13, נקודה דרכה הוא עובר והישר המקביל לו.

משוואת הישר המבוקש y=-3x+13, נקודה דרכה הוא עובר והישר המקביל לו.

משוואת ישר מפורשת: כיצד מסדרים משוואת ישר (פונקציה קווית)?

לדף זה 4 חלקים:

  1. כיצד מזהים משוואת ישר מסודרת.
  2. כיצד מסדרים משוואת ישר.
  3. מה אנחנו יכולים ללמוד ממשוואת ישר מסודרת.
  4. תרגילים.

כיצד מזהים משוואת ישר מסודרת

משוואת ישר מסודרת היא משוואה המקיימת שני תנאים:

  1. ה y נמצא לבדו במד אחד של המשוואה.
  2. המקדם של ה y הוא המספר 1.

כל אלו הן דוגמאות למשוואת ישר מסודרת:

  1.   y = -3x + 2
  2.   y = 4
  3.   y = 2x
  4.   y = 5 + 0.3x

שימו לב שהאיבר x לא צריך להיות חלק מהמשוואה על מנת שהמשוואה תהיה מסודרת.

הצורה הכללית של משוואה מסודרת היא:
y = mx + n

דוגמאות למשוואת ישר שאינן מסודרות:

  1.    y + 2x = 3  (כי ה y לא נמצא לבד באגף המשוואה).
  2.    2y = 3x    (כי המקדם של ה y הוא 2)
  3.      3y – 4x + 9 = 0  (כי ה y לא נמצא לבד באגף המשוואה, כי המקדם של y הוא 3).

כיצד מסדרים משוואת ישר

כפי שאמרנו משוואת ישר מסודרת היא משוואה שבה:

  1. ה y נמצא לבדו בצד אחד של המשוואה.
  2. המקדם של y הוא 1.

וזה מאוד דומה לפתרון משוואה עם נעלם אחד, שם אנו מבודדים את x וגורמים לכך שהמקדם של x יהיה 1.

לכן הפעולות על מנת לסדר משוואת ישר הן בדיוק אותן פעולות כמו לפתור משוואה עם נעלם אחד.
רק שבמקרה הראשון אנו מבודדים את y ובמקרה השני את x.

דוגמאות.
תרגיל 1
סדרו את משוואת הישר 2x + 4y = 4.

פתרון
2x + 4y = 4  / -2x
4y = -2x + 4  / : 4
y = -0.5x + 1

תרגיל 2
סדרו את משוואת הישר 0.5y – 3x + 2 = 0

פתרון
0.5y – 3x + 2 = 0  / +3x -2
0.5y = 3x -2   / *2
y = 6x – 4

תרגיל 3
סדרו את משוואת הישר 2y + 1 = 0.

פתרון
2y + 1 = 0  / -1
2y = -1  / :2
y = -0.5

  • תרגילים נוספים תוכלו למצוא בחלק האחרון של הדף.

מה ניתן ללמוד ממשוואת ישר מסודרת

יש 4 דברים שניתן ללמוד ממשוואת ישר מסודרת.

את הדברים הללו לא ניתן ללמוד ממשוואת ישר לא מסודרת, וזו הסיבה שאנו מסדרים משוואות.

1.השיפוע
כאשר המשוואה מסודרת המקדם של x הוא השיפוע של הפונקציה.
עבור המשוואה y = mx + n השיפוע הוא m.

2. שיפוע הישר המקביל
שיפועים של ישרים מקבילים הם שיפועים שווים.
לכן השיפוע של הישר המקביל לישר y = mx + n הוא גם כן m.
דוגמה מספרית:
שיפוע הישר המקביל לישר y = x + 3  הוא 1.

3. שיפוע הישר המאונך
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
לכן השיפוע של הישר המאונך לישר y = mx +n הוא:
שיפוע הישר המאונך

דוגמה מספרית:
השיפוע של הישר המאונך לישר y = 5x – 1 הוא 0.2-.

4.נקודת החיתוך עם ציר ה y
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה y מציבים x = 0 במשוואת הישר.
נציב x= 0 במשוואה y = mx + n ונקבל:
y = m*0 +n = n
y = n
כלומר כאשר x =0  ערך ה y של משוואת הישר הוא n.
לכן נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:

תרגילים

תרגיל 1
סדרו את משוואת הישר 10y – 2x + 3 = 0 ומצאו את הישר המקביל לישר זה ועובר בנקודה (1,4)

פתרון
שלב א: נסדר את משוואת הישר
10y – 2x + 3 = 0
10y – 2x + 3 = 0  / +2x – 3
10y = 2x – 3  / :10
y = 0.2x – 0.3

שיפוע ישר זה הוא 0.2 לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 0.2.

שלב ב: מציאת משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה
שיפוע הישר המבוקש הוא 0.2 והוא עובר בנקודה (1,4).
נציב את הנתונים הללו בנוסחה למציאת משוואת ישר:
(y – y1 = m(x – x1
(y – 4  = 0.2 (x – 1
y – 4 = 0.2x – 0.2  / +4
y = 0.2x + 3.8

תשובה: שיפוע הישר המקביל לישר ועובר בנקודה (1,4) הוא y = 0.2x + 3.8.

תרגיל 2
סדרו את משוואת הישר 2x + 2 = y ומצאו את שיפוע הישר המאונך לישר זה.

פתרון
המשוואה 2x + 2 = y היא כבר משוואה מסודרת כי ה y מבודד והמקדם שלו 1.
אין צורך לעשות דבר עם המשוואה הזו.
2x + 2 = y
y = 2x + 2
שיפוע הישר הזה הוא 2.

נניח כי שיפוע הישר המאונך הוא m ואז מכפלת השיפועים שווה ל 1-.
m * 2 = -1  / :2
m = -0.5
תשובה: שיפוע הישר המאונך הוא 1-.

*תרגיל 3
סדרו את משוואת הישר 3y =6 ומצאו את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y.

פתרון
3y =6  / :3
y = 2

שימו לב שהמשוואה
y = 2
היא בדיוק כמו המשוואה
y = 0x + 2.
לכן ה n של המשוואה y = 2 הוא 2.

על פי מה שלמדנו קודם לכן נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y היא (2, 0).

עוד באתר:

  1. משוואת ישר – דף המתמקד בדרכים למציאת משוואת ישר.
  2. פונקציה קווית – דף הכולל הסברים גם על הגרף של פונקציה קווית.
  3. מתמטיקה לכיתה ח.
  4. מתמטיקה לכיתה ט.

משוואת ישר ישרים מקבילים או מאונכים

אנו כבר יודעים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע. עושים זאת על ידי הצבת הנתונים בנוסחה: (y-y1=m(x-x1 אבל בחלק מהשאלות לא יתנו לנו את השיפוע (m) ואנו נצטרך למצוא אותו.
בדף זה נלמד כיצד עושים זאת בעזרת מידע על ישרים מקבילים או מאונכים.

לישרים מקבילים שיפועים שווים

לישרים מקבילים יש שיפועים שווים.
למשל:
מה השיפוע של הישרים המקבילים לישר y = 2x – 4 ?

תשובה
לכל הישרים המקבילים לישר זה יש שיפוע של 2.
זאת דוגמה לגרפים ששיפוע הישרים שלהם שווה. גרפים מקבילים.

הגרף האדום הוא y = 2x - 4 ושאר הגרפים אלו דוגמאות לישרים עם שיפוע שווה

הגרף האדום הוא y = 2x – 4 ושאר הגרפים אלו דוגמאות לישרים עם שיפוע שווה

תרגילים

דוגמה 1
מצאו את משוואת הישר המקביל לישר y = 2x – 4 ועובר בנקודה (1, 3-).

פתרון
שיפוע הישר המבוקש (הישר המקביל) הוא 2.
נציב בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
(y – 1 = 2 (x + 3
y – 1 = 2x + 6  / +1
y = 2x + 7
תשובה: משוואת הישר המקביל לישר y = 2x – 4 ועובר דרך הנקודה (1, 3-) היא y = 2x + 7.

דוגמה 2
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,3) ומקביל לישר העובר דרך הנקודות (0, 1) ו (4-, 2)

פתרון בשאלה זו לא נתנו לנו את שיפוע הישר במפורש אלא עלינו למצוא את שיפוע הישר בעזרת הנוסחה של  "שיפוע על פי שתי נקודות"

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

נציב את הנקודות (0, 1) ו (4-, 2) ונקבל:

עכשיו עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 4- ועובר בנקודה (3,3)
נציב בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
(y – 3 = -4 (x – 3
y – 3 = -4x + 12  /+3
y = -4x + 15
תשובה: משוואת הישר המבוקש היא y = -4x + 15.

דוגמה 3
מצאו את משוואת הישר המקביל לישר y = -2x +3  ועובר דרך ראשית הצירים.

פתרון
שיפועי ישרים מקבילים שווים, לכן שיפוע הישר המבוקש הוא 2-
ראשית הצירים זו הנקודה 0,0.

נמצא את משוואת הישר ששיפועו 2- ועובר בנקודה 0,0.
(y-y1=m(x-x1
(y – 0 = -2 (x – 0
y = -2x
זו משוואת הישר המבוקשת.

מציאת משוואת ישר של ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
למשל אם שיפוע של ישר הוא 2 אז השיפוע של הישר המאונך לו יהיה 0.5-.

דוגמה 1
מצאו את שיפוע הישר המאונך לישר  y = 4x -3

פתרון
4 הוא השיפוע של הישר שקיבלנו (זה המקדם של x)
נגדיר m השיפוע של הישר המבוקש.
אנו יודעים שהשיפוע של ישרים מאונכים הוא 1-.
לכן המשוואה שלנו היא:
m * 4 = -1
4m = -1   / :-4
m = – 0.25
תשובה: שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x -3 הוא 0.25 -.

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (5-, 3) ומאונך לישר y = – 0.4x  – 6

פתרון
שלב א: מציאת שיפוע הישר המבוקש
נגדיר את שיפוע הישר המבוקש כ m. מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא 1-.
לכן:
m * -0.4 = -1
0.4m = -1  / : -0.4-
m = 2.5

שלב ב: מציאת משוואת הישר
עכשיו עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 2.5 ועובר בנקודה  (5-, 3)
(y-y1=m(x-x1
(y – (-5) = 2.5 (x -3
y +5 = 2.5x -7.5   / -5
y = 2.5x -12.5
תשובה: משוואת הישר המאונך לישר y = -0.4x -6 ועובר בנקודה (5-, 3) היא y = 2.5x -12.5.

עוד באתר:

נספח: סיכום המכשולים במציאת משוואת ישר

למצוא משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה ובעזרת הצבה בנוסחה (y-y1=m(x-x1 זו הגרף הבסיסית ביותר. כיצד ניתן לסבך את הדרך הזו?

  1. לא יתנו את הנקודה אלה יתנו משהו אחר במקום.
  2. לא יתנו שיפוע אלא יתנו משהוא אחר במקום.

כאשר לא יתנו את הנקודה

1.נקבל את נקודת החיתוך עם אחד הצירים יגידו שהישר המבוקש עובר דרך נקודת החיתוך עם אחד הצירים. חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבה y=0 במשוואת הישר. חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבה x= 0. מציאת נקודת חיתוך עם הצירים.

2. נקבל את נקודת החיתוך של שני ישרים כאשר נקבל שני ישרים נמצא את נקודת החיתוך שלהם בדרך הזו. y = 2x – 5 y = 4x – 3 מוצאים את נקודת החיתוך על ידי בניית המשוואה 4x – 3 = 2x – 5 חיתוך של שני ישרים.

כאשר לא יתנו את השיפוע

1.נקבל שתי נקודות הנמצאות על הישר. ואז נמצא את השיפוע על פי הנוסחה: אם הנקודה A היא (x1,y1) והנקודה B היא  (x2,y2) אז שיפוע הישר (m) העובר דרך שתי הנקודות הוא:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

משוואת ישר על פי שתי נקודות.

2. נקבל שיפוע של ישר מקביל השיפועים של ישרים מקבילים הוא שיפוע שווה. למשל, השיפוע של כל הישרים המקבילים לישר y =2x +1 הוא 2.

3. נקבל שיפוע של ישר מאונך מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-. לכן השיפוע של הישר המאונך לישר y = 4x – 7 הוא: m * 4 = -1 m = -0.25

4. נקבל משוואת ישר לא מפורשת כאשר משוואת הישר כתובה בצורה הזו: y  + 6x – 1 = 0 כאשר משוואת כתובה בצורה הזו לא ניתן לזהות בה ישירות את השיפוע. על מנת לזהות את השיפוע נבודד את y בצד אחד של המשוואה. y  + 6x – 1 = 0  / -6x + 1 y = -6x +1

ממשוואה זו ניתן לראות ששיפוע הישר הוא 6-. משוואת ישר לא מפורשת.

מהו שיפוע וקצב שינוי של פונקציה קווית

מהוא שיפוע?

ראשית נאמר שהמילים שיפוע וקצב שינוי אלו הם מילים נרדפות, זהות מבחינת המשמעות שלהם.

מהוא שיפוע?
כאשר אנו מסתכלים על הר או על גג משופע של בית אנו יכולים להגיד שיש להם שיפוע ואנחנו גם יכולים להגיד אם זה שיפוע חד או לא.

כאשר אנו מדברים על שיפוע בפונקציה קווית אנחנו מתכוונים לתאר בדיוק את אותו דבר; עד כמה גרף הפונקציה עולה או יורד.

במתמטיקה כמו במתמטיקה כל דבר הוא מדויק ולכל דבר יש ערך מספרי.
ההגדרה של שיפוע היא: עד כמה ערך ה y משתנה כאשר ערך ה x גדל ב 1.

אנסה להסביר מהוא שיפוע דרך הגרפים הבאים.

בגרף מצד ימין ערך ה x בנקודה A הוא 0 ובנקודה B ערך ה x הוא 1.
כלומר ה x גדל באחד.
לעומת זאת ערך ה y בין שתי הנקודות הללו גדל ב 4.
לכן השיפוע הוא 4.
(אני מזכיר, ההגדרה של שיפוע היא: עד כמה ערך ה y משתנה כאשר ערך ה x גדל ב 1)

בגרף מצד שמאל ערך ה x בין הנקודות C-D גדל ב 1.
ערך ה y גדל גם הוא ב 1.
לכן שיפוע הגרף ההוא הוא 1.

שיפועים שליליים.
קיימים שיפועים שליליים והם נקבעים כאשר ערך ה x עולה ב 1 ולעומת זאת ערך ה y יורד.

בגרף זה ערך ה x בנקודה A הוא 3- ובנקודה B הוא 2-.
כלומר ערך ה x גדל ב 1.
לעומת זאת ערך ה y בנקודה A הוא 6 ובנקודה B הוא 4.
כלומר ה y ירד ב 2.
לכן שיפוע הגרף הזה הוא 2-.

בפונקציה קווית קצב השינוי קבוע.

זו תכונה חשובה מאוד.
וזה אומר:
1.בכל מקום שנבדוק על הגרף נמצא את אותו שיפוע.
2. אם נמדוד גודל של מספר יחידות על ציר ה x עדיין נוכל למצוא את השיפוע.
למה הכוונה?
בדוגמאות למעלה תמיד בחרנו שתי נקודות שהמרחק שלהם על ציר ה x הוא 1.
אבל יכולנו לבחור שתי נקודות שהמרחק בניהם 3 ועדיין למצוא את השיפוע.

אם למשל בנקודה A ה x = 0 ובנקודה B ה x = 3.
ובנקודה A ה y = 2 ובנקודה B ה y= 8.
אז כאשר ה x עלה ב 3 ה y עלה ב 6.
לכן כאשר ה x יעלה ב 1 ה y יעלה ב 2 וזה גם השיפוע.

שיפוע הישר ומשוואת הישר

y =mx + n  זו הצורה הכללית של משוואת ישר.
m,n הם מספרים.
m הוא המספר המייצג את את השיפוע / קצב השינוי.
כלומר אם השיפוע הוא 3 אז משוואת הישר תראה כך:
y = 3x + n
n יכול להיות כל מספר והוא לא משפיע על קצב השינוי.

תרגילים

תרגיל 1 

732X
105Y

ידוע כי טבלת הערכים מייצגת משוואת ישר. מה הוא המספר החסר?

פתרון
כאשר X עולה ב 1. Y עולה ב 5.
לכן כאשר X עולה ב 4 Y יעלה ב 4*5 = 20.
המספר הוא 30.

תרגיל 2

75X
23-11-3-Y

 

ידוע כי הטבלה מייצגת פונקציה קווית. השלימו את המספר החסר.

פתרון

כאשר ערך ה X עולה  2 ערך ה Y יורד ב 8-.
כלומר כאשר ערך X עולה ב 1 ערך ה Y יורד ב 4-.
לכן כאשר ערך ה Y יורד ב 12 ערך ה X צריך לעלות ב 3. (כי 3 * 4- = 12-).

תרגיל 3

6-5-4-X
15106Y

 

האם הטבלה הזו מייצגת פונקציה קווית?

פתרון

כאשר X יורד מ 4- ל 5- ערך ה Y עולה ב 4.
כאשר X יורד מ 5- ל 6- ערך ה Y עולה ב 5.
כלומר השינוי אינו קבוע ולכן הטבלה אינה מייצגת פונקציית ישר.

תרגיל 4

עבור כל אחת ממשוואות הישר הבאות ציינו מה הוא קצב השינוי.

  1. y=3x-4
  2. y= -2x+1
  3. y=0.5x

פתרון

  1. y=3x-4  – על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y עולים ב- 3.
  2. y= -2x+1 –  על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y יורדים ב- 2.
  3. y=0.5x   –  על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y עולים ב- 0.5.

גרף הממחיש שקצב העליה של פונקציה קווית שווה בכול מקום

גרף הממחיש שקצב העליה של פונקציה קווית שווה בכול מקום

עוד באתר:

  1. פונקציה קווית.
  2. פונקציה קווית כיתה ח.
  3. מתמטיקה כיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.

מציאת משוואת ישר עם הגדרת משתנים

דף זה מיועד לתלמידי 4-5 יחידות לימוד בכיתות ט-י.

דף זה מיועד למי שכבר יודע להשתמש בנוסחאות של:

  1. מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
  2. על פי 2 נקודות.
  3. על פי ישרים מאונכים או מקבילים.
  4. חישוב מרחק בין שתי נקודות,
  5. חישוב אמצע קטע.
  6. משמעות של m,n במשוואת הישר.
  7. סיכום של הכל במקום אחד בדף מציאת משוואת הישר.

בדף זה עליכם ללכת צעד אחד קדימה; להגדיר משתנה, לבנות משוואה על פי אחת הדרכים שלמעלה או בדרך אחרת ואז לפתור את המשוואה.
שאלות מסוג זה דומות מאוד לבעיות מילוליות כגון בעיות תנועה, בעיות מכירה וכו.

ברוב השאלות השאלה הסופית היא לא "מצאו את משוואת הישר".
אבל השימוש בנוסחאות השונות וההבנה של הנושאים השונים הכרחיים על מנת לענות על השאלות.

שאלה לדוגמה:
הנקודה A נמצאת על הישר Y=2X+3.
מהנקודה A מעבירים אנך לציר ה x  וציר ה y כך שנוצר מלבן.
שטחו של המלבן הוא 44 יחידות ריבועיות.
מצאו את הנקודה A.

פתרון

שאלות מהסוג המופיע בדף זה נפתרות לרוב על ידי השלבים הבאים:

  1. בחירת ערך ה x בנקודה כמשתנה (ערך ה X בנקודה A, בנקודה B …). (לעיתים רחוקות יותר בוחרים את ערך ה y).
  2. הגדרת באמצעות ערך ה x את ערך ה y בנקודה.
  3. ביצוע מספר פעולות נוספות על פי השאלה.
  4. בניית משוואה ומציאת ה x.

אז בשאלה זו:
נגדיר:
xA ערך ה x בנקודה A.
2xA + 3 ערך ה y בנקודה A.
הנקודה היא (A(xA, 2xa + 3

עכשיו נשרטט את הישר Y=2X+3 ואת הנקודה A על מנת להבין את המצב בשאלה.
אין צורך לדעת איפה הנקודה A נמצאת על הישר, נבחר עבורה מיקום מקרי.

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה את הגדלים של צלעות המלבן

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה את הגדלים של צלעות המלבן

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה כי אורך הצלע AB= XA ו AC = 2XA +3.
לכן המשוואה שנקבל היא:
2XA + 3) XA = 44)
2XA² + 3XA = 44  / -44
2XA² + 3XA  – 44 = 0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל שתי אפשרויות:
xA = 4   או   xa = -5.5.
כלומר יש שתי אפשרויות לנקודה A.

נציב את ערכי ה x שקיבלנו במשוואת הישר y = 2x +3 על מנת למצוא את ערכי ה y האפשריים של הנקודה A.
y1 = 2*4+3 = 11
y2 = 2*(-5.5) + 3 = -8

תשובה: הנקודה A יכולה להיות (4,11) או (8-, 5.5-).

 

השאלות בנושא זה חוזרות על עצמם; פעם תשתמשו במשוואה לנוסחת ישר על פי שתי נקודות על מנת ליצור משוואה, פעם בתכונת ישרים מקבילים לצירים, פעם בצורת חישוב שטח משולש, פעם בנוסחה לחישוב אמצע קטע וכו.

לכן אני ממליץ לדעת את הנושאים הבסיסיים היטב.
ובדף זה לפתור שאלות עד לנקודה שבה אתם מרגישים שאתם מבינים.

זכרו: מגדירים נקודה בעזרת משתנה ואז מחפשים דרך לבנות משוואה.

כמו כן שימו לב שהרבה פעמים בשאלות הללו משתמשים בתכונות של ישרים המקבילים לצירים. אלו ישרים שערך ה x או ערך ה y שלהם קבוע לכל אורכם.
ולכן המרחק של שתי נקודות הנמצאות עליהם שווה להפרש של ערכי ה x או ערכי ה y בלבד.

למשל:
אם (A (XA, YA
ואם ( B (XB, YB

אז אם נתון שהישר AB מקביל לציר ה Y זה אומר שערכי ה x של בנקודות A,B שווים. כלומר:
xA = xB
והמרחק בין הנקודות הוא הפרש ערכי ה Y:
d = YA – YB

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה Y (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה x) אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה Y (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה x) אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

ואם נתון שהישר מקביל לציר ה X אז ערכי ה y של הנקודות A,B שווים. כלומר:
YA = YB.
והמרחק בין הנקודות הוא הפרש ערכי ה X:
d = XA – XB

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה X (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה Y") אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה X (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה Y") אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

תרגילים

תרגיל 1 (הגדרה בסיסית של נקודה באמצעות משתנה)

הנקודה A נמצאת על הישר y=3x- 6.
ערך ה X בנקודה A גדול ב 2 מערך ה Y בנקודה A.
מצאו את הנקודה.

פתרון

הנקודה A
נגדיר את ערך ה x בנקודה A כ xA.
מכוון שהנקודה נמצאת על הישר y= 3x-6 אז ערך ה y בנקודה הוא y = 3xA – 6
כלומר הנקודה A היא (A (xA, 3xA – 6.

בניית משוואה
ידוע כי ערך ה X בנקודה A גדול ב 2 מערך ה Y בנקודה. לכן המשוואה היא:
xA + 2 = 3xA – 6  / -xA + 6
2xA =8 / :2
xA = 4

מציאת נקודה A
ערך ה Y בנקודה A שווה ל:
y = 3*4-6=12-6=6.
ואכן ערך זה גדול ב 2 מערך ה x.

תשובה: הנקודה A היא (6, 4).

הסבר גרפי לפתרון התרגיל

הסבר גרפי לפתרון התרגיל

תרגיל 2 (מרחק בין נקודות)

הנקודה C נמצאת על הישר y=8.
הנקודה B נמצאת על הישר BC המקביל לציר ה Y. (גם הנקודה C נמצאת על הישר BC).
הנקודה B נמצאת גם על הישר y = 0.5x.
ערך ה y בנקודה B נמוך יותר מערך ה y בנקודה C.
המרחק בין הנקודות B ל C הוא 6.5.
מצאו את הנקודות B ו C.

פתרון

בשאלה זו ניתן לבחור את ערך ה x של הנקודה B או של הנקודה C כמשתנה.
קצת יותר נוח לבחור את הערך של הנקודה B ואת זה נעשה.

הנקודה B
נגדיר: xB הוא ערך ה x בנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x ולכן ערך ה y שלה הוא:
y = 0.5xB.
xB, 0.5xB זו הנקודה B.

הנקודה C
מכוון שהישר BC מקביל לציר ה y ערכי ה X עליו זהים לכל אורכו. לכן ערך ה X בנקודה C הוא גם כן xB.
הנקודה C היא xB, 8.

המרחק בין הנקודות ובניית משוואה
מכוון שערכי ה x זהים בשתי הנקודות המרחק בין שתי הנקודות שווה להפרש ערכי ה Y של הנקודות.
שימו לב שנתון שערך ה y בנקודה C גדול יותר ולכן:
d = 8 – 0.5xB = 6.5 / -8
0.5xB = -1.5 / *-2-
xB = 3

זיהוי הנקודות
הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x ולכן:
y = 0.5*3=1.5
(B(3, 1.5
ערך ה y בנקודה C הוא 8 ולכן:
(C (3, 8.

1.5  3
8, 3

תרגיל 3 (שיפוע ישר על פי 2 נקודות)

הנקודה B נמצאת על הישר y= 4x.
ואילו ערך ה y של הנקודה A גדול ב 6 מערך ה y של הנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y= -x + 4.
אם שיפוע הישר AB הוא 3- מה הוא ערכן של הנקודות A ו B?

פתרון

נגדיר XB הוא ערך ה x בנקודה B.
y = 4xB זה ערך ה y בנקודה B.
הנקודה B היא: xB, 4xB

בנקודה A ערך ה Y גדול ב 6 ולכן הוא 4xB + 6.
נמצא את ערך ה X בנקודה A:
4xB + 6 = – xA + 4
xA = -2 -4xB
הנקודה A היא: 2-4XB, 4XB +6-

שיפוע הישר AB הוא 3-. נבנה את הנוסחה לשיפוע הישר על פי שתי נקודות:

המשך פתרון התרגיל

נציב את הערך שקיבלנו בנקודה B.
y = 4*0 =0
הנקודה B היא (0,0).

הנקודה A היא 2-4XB, 4XB +6- :
(6, 2-)

תרגיל 4 (שטח משולש)

שטח משולש ABC הוא 21 יחידות ריבועיות.
הנקודות AB נמצאות על הישר x= -1. והמרחק בניהן הוא 6 יחידות.

  1. הנקודה C נמצאת ברביע הראשון. מצאו את ערך ה x של הנקודה C.
  2. אם הנקודה C נמצאת על הישר y=x+1 מצאו את הנקודה C.

פתרון 

נגדיר את אורך הגובה
האנך / גובה לישר x=-1 הוא ישר מהסוג y=k כאשר k הוא מספר כלשהו.
לכן לאורך כל הגובה כולו רק ערך ה x משתנה וערך ה y נשאר קבוע.
נגדיר xc הוא ערך ה x בנקודה C.
לכן אורך הגובה מהנקודה C אל הישר x= -1 הוא xc + 1.

הסבר לאופן חישוב שטח המשולש

הסבר לאופן חישוב שטח המשולש

נבנה משוואה
על פי הנוסחה לשטח משולש נקבל:
xc + 1 ) * 6 / 2 = 21)
6xc + 6 = 42 / -6
6xc = 36 / :6
xc = 6
תשובה: ערך ה x של הנקודה C הוא 6.

חלק שני
נציב x=6 במשוואת הישר
y = 6+1=7
תשובה: (C(6,7

הערה: הסיבה שיש בשאלה זו סעיף ב, שהוא מאוד קל, היא שבפועל יכולים לדלג על סעיף א ויכולים לבקש ממכם למצוא את הנקודה מבלי לתת את סעיף א (ואז השאלה קשה יותר).

עוד באתר:

איך מוכיחים שנקודה נמצאת על ישר או פונקציה אחרת?

הוידאו והטקסט שלמטה כוללים את אותו תוכן.

על מנת לדעת האם נקודה נמצאת על ישר נציב את ערכי הנקודה במשוואת הישר.
אם יוצא דבר נכון – הנקודה על הישר.
יוצא דבר לא נכון – הנקודה לא על הישר.

תרגיל
האם הנקודות (3,5) ו (1,2) נמצאות על משוואת הישר y = 2x.

פתרון
עבור הנקודה (3,5)
נציב x =3, y = 5 במשוואת הישר ונקבל:
3 *2 = 5
6 = 5
זה לא נכון ולכן הנקודה (3,5) לא על הישר y = 2x

עבור הנקודה (1,2)
נציב x=1, y =2 במשוואת הישר y = 2x
1 * 2 = 2
2 = 2
זה נכון ולכן הנקודה (1,2) נמצאת על הישר y=2x.

גרף: האם הנקודות נמצאות על הפונקציה y=2x

גרף: האם הנקודות נמצאות על הפונקציה y=2x

תרגיל 2
האם הישר y = -3x +1 עובר בראשית הצירים?

פתרון
ראשית הצירים היא הנקודה 0,0.
נציב 0,0 במשוואת הישר ונקבל
1 + 0* 3- = 0
1 + 0 = 0
1 = 0
זה לא נכון, לכן הנקודה לא נמצאת על הישר.

תרגיל 3: האם נקודה על פרבולה
נבדוק את הנקודות (3,5) ו (1,2) עבור הפונקציה הריבועית f(x) = x²-4.

עבור הנקודה (3,5)
נציב x = 3 במשוואת הפונקציה הריבועית.
f(x) =  3² – 4 = 9 – 4 = 5

5=5 זה נכון ולכן הנקודה (3,5) נמצאת על הפונקציה.

עבור הנקודה (1,2)
נציב x =1 במשוואת הפונקציה.
f (x) = 1² – 4 = -3

3- = 2 זה לא נכון ולכן הנקודה (1,2) לא נמצא על הפונקציה.

גרף: האם הנקודות על הפונקציה f(x) = x²-4

גרף: האם הנקודות על הפונקציה f(x) = x²-4

עוד באתר: