ארכיון הקטגוריה: משוואת ישר, פונקציה קווית

קצב שינוי פונקציה קווית

בפונקציה קווית קצב השינוי קבוע.

זה אומר שאם עבור עליה של 1 בערכי ה- X ה- Y עולה ב- 3 כך זה יהיה עבור כל ערך של X.
אם X יעלה מ 4 ל 5 ה Y יעלה ב 3.
אם X ירד מ 10 ל 9 ה Y ירד ב 3.
אם X יעלה מ 5 ל 9 ה Y יעלה ב 4*3=12.

y =mx + n  זו הצורה הכללית של משוואת ישר.
m,n הם מספרים.
m הוא המספר המייצג את את קצב השינוי.
כלומר אם קצב השינוי הוא 3 אז משוואת הישר תראה כך:
y = 3x + n
n יכול להיות כל מספר והוא לא משפיע על קצב השינוי.

זו משוואת הישר y= 2x+1. ניתן לראות שבכול נקודה שנבחר על הישר כאשר נעלה 1 על ציר ה x נעלה 2 על ציר ה y.

זו משוואת הישר y= 2x+1.
ניתן לראות שבכול נקודה שנבחר על הישר כאשר נעלה 1 על ציר ה x נעלה 2 על ציר ה y.

תרגיל 1 

7 3 2 X
10 5 Y

ידוע כי טבלת הערכים מייצגת משוואת ישר. מה הוא המספר החסר?

פתרון
כאשר X עולה ב 1. Y עולה ב 5.
לכן כאשר X עולה ב 4 Y יעלה ב 4*5 = 20.
המספר הוא 30.

תרגיל 2

7 5 X
23- 11- 3- Y

 

ידוע כי הטבלה מייצגת פונקציה קווית. השלימו את המספר החסר.

פתרון

כאשר ערך ה X עולה  2 ערך ה Y יורד ב 8-.
כלומר כאשר ערך X עולה ב 1 ערך ה Y יורד ב 4-.
לכן כאשר ערך ה Y יורד ב 12 ערך ה X צריך לעלות ב 3. (כי 3 * 4- = 12-).

תרגיל 3

6- 5- 4- X
15 10 6 Y

 

האם הטבלה הזו מייצגת פונקציה קווית?

פתרון

כאשר X יורד מ 4- ל 5- ערך ה Y עולה ב 4.
כאשר X יורד מ 5- ל 6- ערך ה Y עולה ב 5.
כלומר השינוי אינו קבוע ולכן הטבלה אינה מייצגת פונקציית ישר.

תרגיל 4

עבור כל אחת ממשוואות הישר הבאות ציינו מה הוא קצב השינוי.

  1. y=3x-4
  2. y= -2x+1
  3. y=0.5x

פתרון

  1. y=3x-4  – על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y עולים ב- 3.
  2. y= -2x+1 –  על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y יורדים ב- 2.
  3. y=0.5x   –  על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y עולים ב- 0.5.
גרף הממחיש שקצב העליה של פונקציה קווית שווה בכול מקום

גרף הממחיש שקצב העליה של פונקציה קווית שווה בכול מקום

עוד באתר:

  1. פונקציה קווית.
  2. פונקציה קווית כיתה ח.
  3. מתמטיקה כיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.

מציאת משוואת ישר עם הגדרת משתנים

דף זה מיועד לתלמידי 4-5 יחידות לימוד בכיתות ט-י.

דף זה מיועד למי שכבר יודע להשתמש בנוסחאות של:
מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה, על פי 2 נקודות, על פי ישרים מאונכים או מקבילים, חישוב מרחק בין שתי נקודות, חישוב אמצע קטע, המשמעות של m,n במשוואת הישר.
(סיכום של הכל במקום אחד בדף מציאת משוואת הישר).

בדף זה עליכם ללכת צעד אחד קדימה; להגדיר משתנה, לבנות משוואה על פי אחת הדרכים שלמעלה או בדרך אחרת ואז לפתור את המשוואה.
שאלות מסוג זה דומות מאוד לבעיות מילוליות כגון בעיות תנועה, בעיות מכירה וכו.

ברוב השאלות השאלה הסופית היא לא "מצאו את משוואת הישר".
אבל השימוש בנוסחאות השונות וההבנה של הנושאים השונים הכרחיים על מנת לענות על השאלות.

שאלה לדוגמה:
הנקודה A נמצאת על הישר Y=2X+3.
מהנקודה A מעבירים אנך לציר ה x  וציר ה y כך שנוצר מלבן.
שטחו של המלבן הוא 44 יחידות ריבועיות.
מצאו את הנקודה A.

פתרון

שאלות מהסוג המופיע בדף זה נפתרות לרוב על ידי השלבים הבאים:

  1. בחירת ערך ה x בנקודה כמשתנה (ערך ה X בנקודה A, בנקודה B …). (לעיתים רחוקות יותר בוחרים את ערך ה y).
  2. הגדרת באמצעות ערך ה x את ערך ה y בנקודה.
  3. ביצוע מספר פעולות נוספות על פי השאלה.
  4. בניית משוואה ומציאת ה x.

אז בשאלה זו:
נגדיר:
xA ערך ה x בנקודה A.
2xA + 3 ערך ה y בנקודה A.
הנקודה היא (A(xA, 2xa + 3

עכשיו נשרטט את הישר Y=2X+3 ואת הנקודה A על מנת להבין את המצב בשאלה.
אין צורך לדעת איפה הנקודה A נמצאת על הישר, נבחר עבורה מיקום מקרי.

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה את הגדלים של צלעות המלבן

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה את הגדלים של צלעות המלבן

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה כי אורך הצלע AB= XA ו AC = 2XA +3.
לכן המשוואה שנקבל היא:
2XA + 3) XA = 44)
2XA² + 3XA = 44  / -44
2XA² + 3XA  – 44 = 0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל שתי אפשרויות:
xA = 4   או   xa = -5.5.
כלומר יש שתי אפשרויות לנקודה A.

נציב את ערכי ה x שקיבלנו במשוואת הישר y = 2x +3 על מנת למצוא את ערכי ה y האפשריים של הנקודה A.
y1 = 2*4+3 = 11
y2 = 2*(-5.5) + 3 = -8

תשובה: הנקודה A יכולה להיות (4,11) או (8-, 5.5-).

 

השאלות בנושא זה חוזרות על עצמם; פעם תשתמשו במשוואה לנוסחת ישר על פי שתי נקודות על מנת ליצור משוואה, פעם בתכונת ישרים מקבילים לצירים, פעם בצורת חישוב שטח משולש, פעם בנוסחה לחישוב אמצע קטע וכו.

לכן אני ממליץ לדעת את הנושאים הבסיסיים היטב.
ובדף זה לפתור שאלות עד לנקודה שבה אתם מרגישים שאתם מבינים.

זכרו: מגדירים נקודה בעזרת משתנה ואז מחפשים דרך לבנות משוואה.

כמו כן שימו לב שהרבה פעמים בשאלות הללו משתמשים בתכונות של ישרים המקבילים לצירים. אלו ישרים שערך ה x או ערך ה y שלהם קבוע לכל אורכם.
ולכן המרחק של שתי נקודות הנמצאות עליהם שווה להפרש של ערכי ה x או ערכי ה y בלבד.

למשל:
אם (A (XA, YA
ואם ( B (XB, YB

אז אם נתון שהישר AB מקביל לציר ה Y זה אומר שערכי ה x של בנקודות A,B שווים. כלומר:
xA = xB
והמרחק בין הנקודות הוא הפרש ערכי ה Y:
d = YA – YB

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה Y (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה x) אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה Y (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה x) אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

ואם נתון שהישר מקביל לציר ה X אז ערכי ה y של הנקודות A,B שווים. כלומר:
YA = YB.
והמרחק בין הנקודות הוא הפרש ערכי ה X:
d = XA – XB

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה X (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה Y") אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה X (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה Y") אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

תרגילים

תרגיל 1 (הגדרה בסיסית של נקודה באמצעות משתנה)

הנקודה A נמצאת על הישר y=3x- 6.
ערך ה X בנקודה A גדול ב 2 מערך ה Y בנקודה A.
מצאו את הנקודה.

פתרון

הנקודה A
נגדיר את ערך ה x בנקודה A כ xA.
מכוון שהנקודה נמצאת על הישר y= 3x-6 אז ערך ה y בנקודה הוא y = 3xA – 6
כלומר הנקודה A היא (A (xA, 3xA – 6.

בניית משוואה
ידוע כי ערך ה X בנקודה A גדול ב 2 מערך ה Y בנקודה. לכן המשוואה היא:
xA + 2 = 3xA – 6  / -xA + 6
2xA =8 / :2
xA = 4

מציאת נקודה A
ערך ה Y בנקודה A שווה ל:
y = 3*4-6=12-6=6.
ואכן ערך זה גדול ב 2 מערך ה x.

תשובה: הנקודה A היא (6, 4).

הסבר גרפי לפתרון התרגיל

הסבר גרפי לפתרון התרגיל

תרגיל 2 (מרחק בין נקודות)

הנקודה C נמצאת על הישר y=8.
הנקודה B נמצאת על הישר BC המקביל לציר ה Y. (גם הנקודה C נמצאת על הישר BC).
הנקודה B נמצאת גם על הישר y = 0.5x.
ערך ה y בנקודה B נמוך יותר מערך ה y בנקודה C.
המרחק בין הנקודות B ל C הוא 6.5.
מצאו את הנקודות B ו C.

פתרון

בשאלה זו ניתן לבחור את ערך ה x של הנקודה B או של הנקודה C כמשתנה.
קצת יותר נוח לבחור את הערך של הנקודה B ואת זה נעשה.

הנקודה B
נגדיר: xB הוא ערך ה x בנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x ולכן ערך ה y שלה הוא:
y = 0.5xB.
xB, 0.5xB זו הנקודה B.

הנקודה C
מכוון שהישר BC מקביל לציר ה y ערכי ה X עליו זהים לכל אורכו. לכן ערך ה X בנקודה C הוא גם כן xB.
הנקודה C היא xB, 8.

המרחק בין הנקודות ובניית משוואה
מכוון שערכי ה x זהים בשתי הנקודות המרחק בין שתי הנקודות שווה להפרש ערכי ה Y של הנקודות.
שימו לב שנתון שערך ה y בנקודה C גדול יותר ולכן:
d = 8 – 0.5xB = 6.5 / -8
0.5xB = -1.5 / *-2-
xB = 3

זיהוי הנקודות
הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x ולכן:
y = 0.5*3=1.5
(B(3, 1.5
ערך ה y בנקודה C הוא 8 ולכן:
(C (3, 8.

1.5  3
8, 3

תרגיל 3 (שיפוע ישר על פי 2 נקודות)

הנקודה B נמצאת על הישר y= 4x.
ואילו ערך ה y של הנקודה A גדול ב 6 מערך ה y של הנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y= -x + 4.
אם שיפוע הישר AB הוא 3- מה הוא ערכן של הנקודות A ו B?

פתרון

נגדיר XB הוא ערך ה x בנקודה B.
y = 4xB זה ערך ה y בנקודה B.
הנקודה B היא: xB, 4xB

בנקודה A ערך ה Y גדול ב 6 ולכן הוא 4xB + 6.
נמצא את ערך ה X בנקודה A:
4xB + 6 = – xA + 4
xA = -2 -4xB
הנקודה A היא: 2-4XB, 4XB +6-

שיפוע הישר AB הוא 3-. נבנה את הנוסחה לשיפוע הישר על פי שתי נקודות:

המשך פתרון התרגיל

נציב את הערך שקיבלנו בנקודה B.
y = 4*0 =0
הנקודה B היא (0,0).

הנקודה A היא 2-4XB, 4XB +6- :
(6, 2-)

תרגיל 4 (שטח משולש)

שטח משולש ABC הוא 21 יחידות ריבועיות.
הנקודות AB נמצאות על הישר x= -1. והמרחק בניהן הוא 6 יחידות.

  1. הנקודה C נמצאת ברביע הראשון. מצאו את ערך ה x של הנקודה C.
  2. אם הנקודה C נמצאת על הישר y=x+1 מצאו את הנקודה C.

פתרון 

נגדיר את אורך הגובה
האנך / גובה לישר x=-1 הוא ישר מהסוג y=k כאשר k הוא מספר כלשהו.
לכן לאורך כל הגובה כולו רק ערך ה x משתנה וערך ה y נשאר קבוע.
נגדיר xc הוא ערך ה x בנקודה C.
לכן אורך הגובה מהנקודה C אל הישר x= -1 הוא xc + 1.

הסבר לאופן חישוב שטח המשולש

הסבר לאופן חישוב שטח המשולש

נבנה משוואה
על פי הנוסחה לשטח משולש נקבל:
xc + 1 ) * 6 / 2 = 21)
6xc + 6 = 42 / -6
6xc = 36 / :6
xc = 6
תשובה: ערך ה x של הנקודה C הוא 6.

חלק שני
נציב x=6 במשוואת הישר
y = 6+1=7
תשובה: (C(6,7

הערה: הסיבה שיש בשאלה זו סעיף ב, שהוא מאוד קל, היא שבפועל יכולים לדלג על סעיף א ויכולים לבקש ממכם למצוא את הנקודה מבלי לתת את סעיף א (ואז השאלה קשה יותר).

עוד באתר:

 

משוואת ישר וידאו

דף זה כולל 11 סרטוני וידאו בנושאים הקשורים למשוואת ישר.

ארבעת הנושאים המרכזיים בנושא משוואת ישר הם:

  1. מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה. עושים זאת בעזרת הנוסחה (y-y1=m(x-x1.
  2. מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות. עושים זאת בעזרת הנוסחה (m = (y1-y2) / (x1 – x2.
  3.  מציאת משוואת ישר על פי ישרים מקבילים או מאונכים. ישרים מקבילים שיפועם שווה, ישרים מאונכים מכפלת השיפועים 1-.
  4. המשמעות הגרפית של משוואת הישר, של ערכי m ו n במשוואת הישר. m מקובע העם הישר עולה או יורד ובאיזה שיפוע ואילו n מספק את נקודת החיתוך עם ציר ה y.

שאר הנושאים קשורים פחות למציאת משוואת הישר אבל נשאלות עליהם שאלות:

  1. מציאת נקודות החיתוך עם הצירים.
  2. תחומי חיוביות ושליליות של משוואת הישר.
  3. כיצד יודעים עם נקודה נמצאת על ישר.
  4. כיצד לשרטט משוואת ישר.
  5. מציאת משוואת ישר המקביל לצירים.
  6. נקודת חיתוך של שני ישרים.
  7. נקודת חיתוך של ישר ופרבולה.

גרסת הטקסט של דף זה נמצאת בדף משוואת ישר.
לכל נושא מצורף מתחת לסרטון קישור בו תוכלו למצוא הסברים ותרגילים נוספים.

משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

משוואת ישר על פי שתי נקודות

משוואת ישר בעזרת קווים מאונכים או מקבילים

גרף משוואת הישר: המשמעות של m ו n

מציאת נקודת חיתוך של ישר עם הצירים

תחומי חיוביות ושליליות של ישר

כיצד לשרטט גרף של משוואת ישר

מציאת משוואת ישרים מקבילים לצירים

כיצד יודעים עם נקודה נמצאת על ישר

מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים

מציאת נקודות חיתוך של פרבולה וישר

האם נקודה נמצאת על משוואת ישר או פונקציה אחרת?

אם נקודה נמצאת על משוואת ישר / גרף פונקציה אז היא:

  1. מקיימת את משוואת הישר. כלומר אם מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הישר מקבלים דבר נכון.
  2. נמצאת על גרף הפונקציה.

שני הדברים הללו הם למעשה דבר אחד וכל נקודה שמקיימת אחד מיהם מקיימת את שניהם.

לדוגמה נבדוק את הנקודות (3,5) ו (1,2) עבור משוואת הישר y=2x.

3*2 = 5
6=5 זה לא נכון ולכן (3,5) לא נמצאת על y=2x.

1*2 = 2
2=2 זה נכון ולכן הנקודה (1,2) נמצאת על הישר y=2x.

גרף: האם הנקודות נמצאות על הפונקציה y=2x

גרף: האם הנקודות נמצאות על הפונקציה y=2x

נבדוק את הנקודות (3,5) ו (1,2) עבור הפונקציה הריבועית f(x) = x²-4.

4 – 3² = 5
4- 9 = 5
5=5 זה נכון ולכן הנקודה (3,5) נמצאת על הפונקציה.

4 – 1² = 2
3- = 2 זה לא נכון ולכן הנקודה (1,2) לא נמצא על הפונקציה.

גרף: האם הנקודות על הפונקציה f(x) = x²-4

גרף: האם הנקודות על הפונקציה f(x) = x²-4

וידאו: כיצד יודעים אם נקודה נמצאת על ישר

הסבר הוידאו כולל את התוכן שהופיע קודם לכן בטקסט.

עוד באתר:

נוסחת משוואת הישר, נוסחה למציאת שיפוע

בדף זה נעבור על הנוסחאות שמשתמשים בהם על מנת למצוא את משוואת הישר.

 נוסחה: y = mx+ n

זו נוסחת משוואת הישר.
כאשר m (המקדם של x) מייצג את שיפוע הישר ו n נותן את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y.

הרחבה ותרגילים על שני הפרמטרים הללו בהמשך הדף.

נוסחה: (y-y1=m(x-x1

זו הנוסחה למציאת משוואת ישר כאשר נתון לנו שיפוע m ונקודה  (x1,y1).
על מנת למצוא את משוואת הישר מציבים את ערכי השיפוע והנקודה במשוואה.

תרגיל
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר בנקודה 2,5.

פתרון
y-5 = 4(x-2) = 4x-8
y = 4x-3

y = 4x-3 גרף משוואת הישר

y = 4x-3

נוסחאות למציאת שיפוע

נוסחה: (m = (y1-y2) / (x1 – x2

נוסחה לחישוב שיפוע על פי שתי נקודות (m = (y1-y2) / (x1 - x2

בנוסחה זו נשתמש על מנת למצוא שיפוע כאשר נתונות לנו שתי נקודות הנמצאות על ישר.
לאחר שמצאנו את השיפוע נציב את השיפוע וערך אחת מהנקודות בנוסחת משוואת הישר (y-y1=m(x-x1.

תרגיל
מצאו את השיפוע של של הישר העובר דרך הנקודות (5,2)  (7,0).

פתרון
m = (2-0) / (5-7) = 2 / -2 = -1
m= -1

שיפוע הישר העובר בין הנקודות הוא 1-

שיפוע הישר העובר בין הנקודות הוא 1-

משוואת ישר על פי ישרים מקבילים או מאונכים

נוסחאות:
1.השיפועים של ישרים מקבילים הם שיפועים שווים.
m1 = m2 עבור ישרים מקבילים

2.מכפת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
m1 * m2 = -1 עבור ישרים מאונכים

תרגיל 1
מצאו את השיפוע של הישר המקביל לישר y = -4x+1.

פתרון
תשובה: שיפוע הישר המקביל הוא 4-.

תרגיל 2
מצאו את שיפוע הישר המקביל לישר העובר דרך הנקודות (7,1) (1,4).

פתרון

(m = (y1-y2) / (x1 – x2
m = (4-1) / (1-7) = 3 / -6 = -0.5
תשובה: לישר המקביל שיפוע שווה לישר העובר דרך שתי הנקודות. לכן שיפוע הישר המקביל הוא 0.5-.

שני ישרים מקבילים שהשיפוע של כל אחד מיהם הוא 0.5-

שני ישרים מקבילים שהשיפוע של כל אחד מיהם הוא 0.5-

ישרים מאונכים
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.

אם שיפוע של ישר הוא 2 אז שיפוע הישר המאונך לו 0.5-.
5-  >> 0.2
10 >>  0.1-
0.4  >> 2.5-
1  >>  1-

תרגיל 1
מצא את שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x.

פתרון
אם m הוא שיפוע הישר המבוקש אז:
m*4 =  -1  / :4
m= – 0.25

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-

נוסחאות נוספות בהם יכולים לעשות שימוש

יש שתי נוסחאות נוספות בהם יכולים לעשות שימוש על מנת למצוא נקודה דרכה עובר הישר.

נוסחה אחת היא הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
אם (x1, y1)  ו  (x2, y2) הן הנקודות ו d הוא המרחק בניהן אז הנוסחה היא:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2

נוסחה שנייה היא הנוסחה למציאת אמצע של קטע.

אם נתונות לנו שתי נקודות: (A(x1, yו  (B(x2, y2 אז אמצע הקטע בניהן (C(xc, yc מתקבל על ידי הנוסחאות:

Xc = ((x_1+ x_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה X של הנקודות

yc = ((y_1+ y_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה Y של הנקדות

כלומר מחשבים את האמצע של ערכי ה X ואת האמצע של ערכי ה Y בנפרד.

המשמעות של m, n בנוסחת משוואת הישר

y =mx + n

המספר m בנוסחת הישר מלמד אותנו האם הפונקציה עולה (כאשר m>0) או יורדת (כאשר m<0).

כמו כן אנו יכולים ללמוד מה קצב העליה של הישר. ככול שהערך המוחלט של m גדול יותר כך גרף הישר נראה תלול יותר.

גרף ששיפועו m= -0.5 יורד בצורה מתונה. גרף ששיפועו m=2 הוא גרף עולה. גרף ששיפועו m=4 עולה בצורה חדה יותר.

גרף ששיפועו m= -0.5 יורד בצורה מתונה.
גרף ששיפועו m=2 הוא גרף עולה.
גרף ששיפועו m=4 עולה בצורה חדה יותר.

המספר n 

המספר n מלמד על נקודת החיתוך עם ציר ה y.

הדבר נובע מכך שכאשר נציב בנוסחת הישר y = mx +n את x=0, שזה מה שעושים על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה y נקבל:

y = m*0 + n
y=n.

לכן, למשל, נקודת החיתוך של הישר y =x+8 עם ציר ה y היא (0,8).

תרגילים: המשמעות של m,n בנוסחת הישר

נתונות נוסחאות הישר הבאות:

  1. y = -4x+1
  2. y = 3x+4
  3. y = -2x+1
  4. y=3x+1

התאימו בין כל אחת מהמשוואות לבין הגרפים המשורטטים מטה.

גרפים של משוואות ישר

פתרון

  1. גרף 1 המשוואה y=3x+1.
  2. גרף 2 המשוואה y = 3x+4.
  3. גרף 3 המשוואה y = -2x+1.
  4. גרף 4 המשוואה y = -4x+1.

פתרון התרגיל

הסבר

נוח לחלק את משוואות הישר לעולות ויורדות.

משוואות 1,2 הן עולות.
רואים בגרף שמשוואה 1 (y=3x+1) חותכת את ציר ה y בנקודה נמוכה המתאימה ל n=1 ואילו משוואה 2 (y = 3x+4) חותכת את ציר ה y בנקודה המתאימה ל n=4.

משוואות 3,4 הן יורדות.
שתיהן חותכות את ציר ה y בנקודה (0,1) לכן אין הבדל בניהן בפרמטר n.
ניתן לראות שגרף 4 יותר תלול. הוא מתחיל יותר למעלה ומסיים יותר למטה. לכן ערך ה m שלו גדול יותר בערכו המוחלט. גרף 4 מתאים למשוואה y = -4x+1, ואילו גרף 3 למשוואה y = -2x+1.

תרגיל נוסף

התאימו את המשוואות הבאות לגרפים.

  1. y= -x-1
  2. y=5
  3. y=3x-1
  4. x=2
  5. y= -2x-1

גרפים של משוואות ישר

פתרון

  1. גרף 1 הוא המשוואה y=3x-1  (כי הוא היחידי שעולה).
  2. גרף 2 הוא המשוואה y= -x-1 כי הוא יורד בצורה מתונה יותר מגרף 3.
  3. גרף 3 הוא המשוואה y= -2x-1 כי הוא יורד בצורה חדה יותר מגרף 2.
  4. גרף 4 הוא y=5 כי ערך ה Y שלו תמיד 5.
  5. גרף 5 הוא x=2 כי ערך ה x שלו תמיד 2.

פתרון התרגיל

 

תרגיל
ידוע כי השיפוע של משוואת ישר הוא 4. כמו כן f (-1)=6.
מה ערכו של (f(1 ?

הערה:
(f (-1 הכוונה היא x= -1.
(f(1  הכוונה היא x=1.

פתרון

אם השיפוע הוא 4 זה אומר שכאשר x עולב ב 1 y עולה ב 4.
במקרה זה x עלה ב 2 מ 1- ל 1. לכן ה Y צריך לעלות ב 8.
14 = 6+8
תשובה: f(1) = 14.

תרגיל

מי מבין הגרפים הבאים יכול להיות הגרף שמייצג את משוואת הישר y = -3x+2?

גרפים של משוואת ישר

פתרון

הגרף שיכול להיות מתאים למשוואת הישר y = -3x+2 הוא גרף 3.
בגלל שזה הגרף היחידי שיורד (ומתאים ל m=3) וגם חותך את ציר ה Y מעל לראשית הצירים שזה מתאים ל n=2.

עוד באתר:

הקשר בין משוואת הישר לפונקציית הטנגנס

אחת הדרכים למצוא את שיפוע משוואת הישר היא על ידי ידיעת הזווית שיוצר הישר עם הכיוון החיובי עם ציר ה X.
אם הזווית היא a ושיפוע הישר הוא m אז מתקיים:
tg a = m.

כאשר נתבונן בשרטוט נבין מדוע: tg a הוא מבטא את השינוי שעובר הישר על ציר ה Y לחלק בשינוי שהישר עובר על ציר ה X – וזו בדיוק ההגדרה של שיפוע ישר.

טנגנס הזווית עם ציר ה X הוא שיפוע הישר

טנגנס הזווית עם ציר ה X הוא שיפוע הישר

תרגיל לדוגמה:
מצאו את משוואת הישר שהזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה X היא 135 ועובר דרך הנקודה (2,6-).

פתרון
tna 135 = -1=m
נמצא את משוואת הישר ששיפועו 1- ועובר דרך הנקודה (2,6-).
((y-y1=m(x-x1
(y-6 = -1 (x+2
y-6 = -x -2 /+6
y=-x+4   – זו משוואת הישר המבוקש.

גרף הישר y=-x+4 היוצר זווית של 135 מעלות עם ציר ה X.

גרף הישר y=-x+4 היוצר זווית של 135 מעלות עם ציר ה X.

עוד באתר:

פתרון אי שוויון בדרך גרפית

לפעמים נקבל גרפים של שני פונקציות קוויות וישאלו אותנו מתי פונקציה אחת גדולה מאחרת.

למשל: מצורפים גרפים של שני הישרים y=5x-1  ו y=-2x-+6 הנפגשים כאשר x=1. מצאו מתי פונקציה אחת גדולה מאחרת.

שרטוט הגרפים

פתרון

שלב ראשון עלינו לזהות את הגרפים. מכוון שהגרף y=5x-1 הוא עולה הוא מתאים להיות גרף מספר 2.
גרף y=-2x-+6 יורד והוא מתאים להיות גרף מספר 1.
כאשר מסתכלים בגרפים רואים שכאשר נמצאים מימין לנקודה x=1 לגרף מספר 2 ערכי Y גדולים יותר. לכן 5x-1>-2x + 6 כאשר x>1.
באותה דרך על פי הגרף רואים גם 5x-1<-2x + 6 כאשר x<1.

דוגמה נוספת: עבור משוואת הישר הבאות מצאו מתי פונקציה אחת גדולה מאחרת.
y=x+5
y=3x+1

גרף הישרים

 

אנו רואים שגרף מספר 1 חותך את ציר ה y כאשר x=5 לכן גרף זה הוא המשוואה y=x+5.
גרף 2 חותך את ציר ה Y כאשר x=1 לכן גרף זה הוא המשוואה y=3x+1.

שלב 1: מציאת נקודת החיתוך של הישרים
3x+1= x+5 /-x-1
2x=4  / :2
x=2

שלב 2
בגרף ניתן לראות שכאשר אנו מימין לנקודת החיתוך לגרף מספר 2 ערכי y גדולים יותר לכן 3x+1 > x+5 כאשר x>2.
ניתן לראות גם ש 3x+1 < x+5 כאשר x<2.

עוד באתר:

 

מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

מציאת משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע היא הדרך הפשוטה ביותר למציאת משוואת ישר.
הדבר היחידי שצריך לעשות הוא להציב בנוסחה.
אם:
m – הוא השיפוע.
(x1, y1)  – היא הנקודה.
אז הנוסחה שבה צריך להציב את הנתונים היא:
(y-y1=m(x-x1

למשל:
m=4 – זה השיפוע.
(2,1)  – זאת הנקודה.
מציבים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
ומקבלים:
(y-1=4(x-2
y-1=4x-8  / +1
y=4x-7 – זו משוואת הישר.

 y=4x-7

y=4x-7

דוגמה נוספת:
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (0, 3-) ושיפועו 2-.
מציבים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
ומקבלים:
(y-0=-2(x+3
y= -2x-6  – זו משוואת הישר.

y = -2x-6

y = -2x-6

כיצד ניתן לסבך את השאלות הללו?

לא יתנו לכם את הנקודה עצמה אלא ישתמשו בניסוחים אחרים.

תרגיל
מצאו את משוואת הישר הישר ששיפועו 1 ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y= 2x-4 עם ציר ה x.

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה – x
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה x נציב y=0 במשוואת הישר y= 2x-4.
2x-4=0 /+4
2x=4 /:2
x=2
נקודות החיתוך היא (0, 2).

שלב ב: נמצא את משוואת הישר
אנו יודעים נקודה (0, 2).
ושיפוע m = 1.
נציב בנוסחה
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
y-0 = 1(x-2) = x-2
y=x-2   (זו משוואת הישר).

y=x-2

y=x-2

וידאו: מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

תרגילים

מצאו את משוואות הישר עבור הנקודה והשיפוע המצורפים:

  1. (m=1,  (2,-5.
  2. (m=3,  (0,0.
  3. (m=0, (6,4.

פתרונות

תרגיל 1
(m=1,  (2,-5
נציב במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
(y+5=1(x-2
y+5=x-2 /-5
y=x-7 – זו משוואת הישר.

y= x-7

y= x-7

תרגיל 2
(m=3,  (0,0
נציב במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
(y – 0 = 3(x-0
y=3x  – זו משוואת הישר.

y=3x

y=3x

תרגיל 3
(m=0, (6,4
נציב במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
(y-4=0(x-4
y – 4 = 0 – 0  / +4
y=4  – זו משוואת הישר.

y=4

y=4

עוד באתר:

ישרים מקבילים לצירים

בדף זה שלושה נושאים:

  1. כיצד נראית משוואת ישר המקביל לצירים.
  2. כיצד מוצאים משוואת ישר מקביל לצירים – זה הנושא העיקרי של הדף והוא כולל כ- 6 תרגילים.
  3. כיצד מזהים ומוצאים משוואת ישר מקביל לצירים על פי שתי נקודות.

1. כיצד נראית משוואה של ישר מקביל לצירים

ישרים מקבילים לצירים שומרים על ערך קבוע לכל אורכם.
אם k הוא מספר כלשהו אז:
ישר המקביל לציר ה y הוא מהצורה x = k, למשל x= 5, x= -2, x = 8.
ישר המקביל לציר ה x הוא מהצורה y = k, למשל  y= -4, y= 1, y= 5.

דוגמאות לישרים המקבילים לציר ה y

דוגמאות לישרים המקבילים לציר ה y

דוגמאות לישרים המקבילים לציר ה x

דוגמאות לישרים המקבילים לציר ה x

2. כיצד מוצאים משוואת ישר מקביל לצירים

תרגילים לדוגמה

תרגיל 1-2 הם מציאת משוואת ישר המקביל לצירים על פי נקודה.
תרגיל 3 הוא מציאת משוואת ישר מקביל לצירים על פי נקודת חיתוך.

תרגיל 1 (מציאת משוואת ישר מקביל לציר ה x).
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,4)A ומקביל לציר ה x.

פתרון
ישר המקביל לציר ה x הוא בעל ערך y יחיד לכל אורכו והוא מהצורה y = k.
ידוע לנו כי כי בנקודה A ערך ה y של הישר הוא 4.
מכוון שערך ה y של הישר לא משתנה, משוואת הישר היא y = 4.

משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר דרך הנקודה (3,4)A.

משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר דרך הנקודה (3,4)A.

תרגיל 2 (מציאת משוואת ישר מקביל לציר ה y)
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר דרך הנקודה (3, 1-)A.

פתרון
ישר המקביל לציר ה y הוא בעל ערך יחיד של x לכול אורכו והוא מהצורה x = k.
ידוע לנו כי בנקודה A ערך ה x של הישר הוא 1- ולכן משוואת הישר היא x = -1.

משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר דרך הנקודה (3, 1-)A

משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר דרך הנקודה (3, 1-)A

תרגיל 3
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה x והישר המקביל לציר ה y העוברים דרך נקודת החיתוך של הישרים y = 2x + 4 והישר y = -x + 5.5

פתרון
המכשול של השאלה הזו הוא שלא נתנו לנו נקודה.
עלינו למצוא את הנקודה באמצעות מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים.
y = 2x + 4
y = -x + 5.5

נשווה את משוואות הישרים:
2x + 4 = -x + 5.5    / +x – 4
3x = 1.5   / : 3
x = 0.5

מצאנו את ערך ה x של נקודת החיתוך.
עכשיו נמצא את ערך ה y על ידי הצבה x = 0.5 במשוואת אחד מהישרים.
y = 2x + 4
y = 2 * 0.5 + 4
y = 1 + 4 = 5
נקודת החיתוך של הישרים היא (5, 0.5).

מציאת משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר בנקודה (5, 0.5).
לישר מסוג זה ערך y קבוע, ומכוון שערך ה y בנקודה הוא 5.
אז משוואת הישר היא y = 5.

מציאת משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר בנקודה (5, 0.5).
לישר מסוג זה ערך x קבוע. ומכוון שערך ה x בנקודה הוא 0.5.
אז משוואת הישר היא x = 0.5.

תרגילים נוספים

 

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר בנקודה (6, 1)A.

פתרון
ישר המקביל לציר ה- y הוא ישר שערכי ה y שלו קבועים.
ישר מהצורה y = k (כאשר k הוא מספר).
ומכוון שבנקודה A ערך ה y הוא 6, אז ערך ה y הוא תמיד 6.

משוואת הישר היא:
y = 6.

משוואת הישר y=6

משוואת הישר y=6

תרגיל 2

כתבו את משוואת הישר עבור התרגילים הבאים.

  1. משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר בנקודה (2,4).
  2. משוואת הישר המאונך לציר ה y ועובר בנקודה (5-, 10).
  3. משוואת הישר המאונך לציר ה x ועובר בנקודה (6-, 1-).

פתרון

  1. משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר בנקודה (2,4). x=2.
  2. משוואת הישר המאונך לציר ה y ועובר בנקודה (5-, 10). y= -5.
  3. משוואת הישר המאונך לציר ה x ועובר בנקודה (6-, 1-). x= -1.

 

הגרפים של הישרים מהתרגיל

תרגיל 3

זהו בגרף את הישרים הבאים:

  1. x=3
  2. x=-1
  3. y=6
  4. y=1
  5. y=- 0.75

שרטוט הישרים

פתרון

פתרון התרגיל

3. זיהוי ישר המקביל לצירים על פי שתי נקודות

נותנים לנו שתי נקודות (4, 2)A   ו- (3-, 2)B.
האם ניתן לדעת האם הישר העובר דרך הנקודות AB הוא מקביל לאחד הצירים?

כן, ניתן דעת.
עבור כל שתי נקודות ניתן לדעת אם הישר העובר דרכן הוא ישר מקביל לצירים או לא.

אם ערכי ה x או ערכי ה y של שתי הנקודות שווים אז הישר מקביל לצירים.
אם ערכי ה x וערכי ה y שונים אז הישר לא מקביל לצירים.

עבור הנקודות (4, 2)A   ו- (3-, 2)B ערכי ה x שווים x = 2.
לכן הישר AB מקביל הצירים.
כאשר ערכי ה x קבועים זה ישר המקביל לציר ה y.
משוואתו x = 2.

תרגיל 1

זהו את משוואת הישר על פי שתי הנקודות הנתונות.
ציינו את שיפוע הישר.

  1. (5, 1-) (5, 7).
  2. (0, 2) (0, 10).
  3. (5, 4-) (8-, 4-).

פתרונות

  1. (5, 1-) (5, 7). ערכי ה y קבועים לכן המשוואה היא y=5. השיפוע m=0.
  2. (0, 2) (0, 10). ערכי ה y קבועים לכן המשוואה היא y=0. השיפוע m=0.
  3. (5, 4-) (8-, 4-). כרכי ה x קבועים לכן המשוואה היא x= -4. השיפוע אינו מוגדר.

עוד באתר:

מציאת תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה קווית ומשוואת ישר

פונקציה חיובית כאשר הגרף שלה נמצא מעל לציר ה x ושלילית כאשר הגרף מתחת
בדף זה נלמד כיצד מזהים את תחומי החיוביות והשליליות על פי גרף או על פי משוואת ישר.
ההסבר הראשון יוצג בוידאו ולאחר מיכן תוכלו למצוא את אותו הסבר בטקסט.

וידאו: תחומי חיוביות ושליליות של משוואת ישר

הסבר מילולי: תחומי חיוביות ושליליות של משוואת ישר

שאלות בנושא תחומי חיוביות ושליליות יכולות להיות על פי גרף או על פי משוואת ישר.

כאשר נותנים לכם גרף השאלה מתי הפונקציה חיובית ומתי שלילית פשוטה יותר.
למשל:

מתי משוואות הישר המשורטטות בגרפים הבאים הן חיוביות ומתי שליליות?

שרטוט הגרפים

פתרון

גרף 1 חותך את ציר ה X כאשר x=-1 וזו פונקציה קווית יורדת.
לכן גרף מספר 1 הוא חיובי כאשר x<-1  ושלילי כאשר x>-1.

גרף 2 חותך את ציר ה X כאשר X=0 וזו פונקציה קווית עולה.
לכן גרף מספר 2 חיובי כאשר x>0 ושלילי כאשר x<0.

גרף 3 חותך את ציר ה X כאשר X=3 וזו פונקציה קווית עולה.
לכן גרף מספר 3 חיובי כאשר x>3 ושלילי כאשר x<0.

פתרון התרגיל. סימון תחומי החיוביות על הגרף

סימון תחומי החיוביות על הגרף

סוג שני של שאלות: על פי משוואת הישר

בשאלות אחרות יתנו לכם משוואת ישר ללא גרף. במקרה זה עליכם:

  1. למצוא את נקודת החיתוך של משוואת הישר עם ציר ה X. (מוצאים נקודת חיתוך על ידי הצבה y=0).
  2. למצוא אם משוואת הישר עולה או יורדת ועל פי זה להחליט מתי משוואת הישר חיובית או שלילית.
    אם משוואת הישר עולה אז הפונקציה חיובית עבור ערכי X הגדולים מנקודת החיתוך (מימין לנקודות החיתוך).
    אם משוואת הישר יורדת  אז הפונקציה חיובית עבור ערכי X הקטנים מנקודת החיתוך (משמאל לנקודת החיתוך).

אם משוואת הישר עולה אז הפונקציה חיובית עבור ערכי X הגדולים מנקודת החיתוך אם משוואת הישר יורדת אז הפונקציה חיובית עבור ערכי X הקטנים מנקודת החיתוך

תרגילים לדוגמה:

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של משוואת הישר y=2x+3.

שלב 1: נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה X. על מנת לעשות זאת נציב y=0.
2x+3=0 / -3
2x=-3  / :2
x=-1.5
נקודת החיתוך היא (0, 1.5-).

שלב 2: האם משוואת הישר עולה או יורדת?
זה נקבע על ידי המקדם של X במשוואה y=2x+3.
במקרה זה המקדם הוא חיובי (2) ולכן משוואת הישר עולה.
תשובה: משוואת הישר חיובית עבור x>-1.5. משוואת הישר שלילית עבור x<-1.5.

שרטוט משוואת הישר

 

תרגיל נוסף: מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של משוואת הישר y=- x+6.

שלב 1: נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה X.
0=-x+6-
x=6
נקודת החיתוך היא (6,0).

שלב 2: האם הפונקציה עולה או יורדת?
y=- x+6
המקדם של X הוא שלילי (1-) ולכן משוואת הישר יורדת.
כאשר x<-1 משוואת הישר חיובית. כאשר x>-1 משוואת הישר שלילית.

שרטוט משוואת הישר

מקרים מיוחדים – כאשר הישר מקביל לציר ה X

כאשר הישר הוא מהצורה y=מספר הוא מקביל לציר ה X, ואין לו נקודות חיתוך עם ציר ה X.
במקרה זה הישר כולו חיובי או שלילי.
למשל:
y=4  – כולו חיובי.
y=-2  – כולו שלילי.

שרטוט ישרים המקבילים לציר ה X

עוד באתר: