ארכיון הקטגוריה: משוואת ישר, פונקציה קווית

משוואת ישר מפורשת: כיצד מסדרים משוואת ישר (פונקציה קווית)?

לדף זה 4 חלקים:

  1. כיצד מזהים משוואת ישר מסודרת.
  2. כיצד מסדרים משוואת ישר.
  3. מה אנחנו יכולים ללמוד ממשוואת ישר מסודרת.
  4. תרגילים.

כיצד מזהים משוואת ישר מסודרת

משוואת ישר מסודרת היא משוואה המקיימת שני תנאים:

  1. ה y נמצא לבדו במד אחד של המשוואה.
  2. המקדם של ה y הוא המספר 1.

כל אלו הן דוגמאות למשוואת ישר מסודרת:

  1.   y = -3x + 2
  2.   y = 4
  3.   y = 2x
  4.   y = 5 + 0.3x

שימו לב שהאיבר x לא צריך להיות חלק מהמשוואה על מנת שהמשוואה תהיה מסודרת.

הצורה הכללית של משוואה מסודרת היא:
y = mx + n

דוגמאות למשוואת ישר שאינן מסודרות:

  1.    y + 2x = 3  (כי ה y לא נמצא לבד באגף המשוואה).
  2.    2y = 3x    (כי המקדם של ה y הוא 2)
  3.      3y – 4x + 9 = 0  (כי ה y לא נמצא לבד באגף המשוואה, כי המקדם של y הוא 3).

כיצד מסדרים משוואת ישר

כפי שאמרנו משוואת ישר מסודרת היא משוואה שבה:

  1. ה y נמצא לבדו בצד אחד של המשוואה.
  2. המקדם של y הוא 1.

וזה מאוד דומה לפתרון משוואה עם נעלם אחד, שם אנו מבודדים את x וגורמים לכך שהמקדם של x יהיה 1.

לכן הפעולות על מנת לסדר משוואת ישר הן בדיוק אותן פעולות כמו לפתור משוואה עם נעלם אחד.
רק שבמקרה הראשון אנו מבודדים את y ובמקרה השני את x.

דוגמאות.
תרגיל 1
סדרו את משוואת הישר 2x + 4y = 4.

פתרון
2x + 4y = 4  / -2x
4y = -2x + 4  / : 4
y = -0.5x + 1

תרגיל 2
סדרו את משוואת הישר 0.5y – 3x + 2 = 0

פתרון
0.5y – 3x + 2 = 0  / +3x -2
0.5y = 3x -2   / *2
y = 6x – 4

תרגיל 3
סדרו את משוואת הישר 2y + 1 = 0.

פתרון
2y + 1 = 0  / -1
2y = -1  / :2
y = -0.5

  • תרגילים נוספים תוכלו למצוא בחלק האחרון של הדף.

מה ניתן ללמוד ממשוואת ישר מסודרת

יש 4 דברים שניתן ללמוד ממשוואת ישר מסודרת.

את הדברים הללו לא ניתן ללמוד ממשוואת ישר לא מסודרת, וזו הסיבה שאנו מסדרים משוואות.

1.השיפוע
כאשר המשוואה מסודרת המקדם של x הוא השיפוע של הפונקציה.
עבור המשוואה y = mx + n השיפוע הוא m.

2. שיפוע הישר המקביל
שיפועים של ישרים מקבילים הם שיפועים שווים.
לכן השיפוע של הישר המקביל לישר y = mx + n הוא גם כן m.
דוגמה מספרית:
שיפוע הישר המקביל לישר y = x + 3  הוא 1.

3. שיפוע הישר המאונך
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
לכן השיפוע של הישר המאונך לישר y = mx +n הוא:
שיפוע הישר המאונך

דוגמה מספרית:
השיפוע של הישר המאונך לישר y = 5x – 1 הוא 0.2-.

4.נקודת החיתוך עם ציר ה y
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה y מציבים x = 0 במשוואת הישר.
נציב x= 0 במשוואה y = mx + n ונקבל:
y = m*0 +n = n
y = n
כלומר כאשר x =0  ערך ה y של משוואת הישר הוא n.
לכן נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:

תרגילים

תרגיל 1
סדרו את משוואת הישר 10y – 2x + 3 = 0 ומצאו את שיפוע הישר המקביל לישר זה.

פתרון
10y – 2x + 3 = 0  / +2x – 3
10y = 2x – 3  / :10
y = 0.2x – 0.3

משוואת הישר המקביל לישר זה היא 0.2.

תרגיל 2
סדרו את משוואת הישר 2x + 2 = y ומצאו את משוואת הישר המאונך לישר זה.

פתרון
המשוואה 2x + 2 = y היא כבר משוואה מסודרת כי ה y מבודד והמקדם שלו 1.
אין צורך לעשות דבר עם המשוואה הזו.
2x + 2 = y
y = 2x + 2
שיפוע הישר הזה הוא 2.

נניח כי שיפוע הישר המאונך הוא m ואז מכפלת השיפועים שווה ל 1-.
m * 2 = -1  / :2
m = -0.5
תשובה: שיפוע הישר המאונך הוא 1-.

*תרגיל 3
סדרו את משוואת הישר 3y =6 ומצאו את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y.

פתרון
3y =6  / :3
y = 2

שימו לב שהמשוואה
y = 2
היא בדיוק כמו המשוואה
y = 0x + 2.
לכן ה n של המשוואה y = 2 הוא 2.

על פי מה שלמדנו קודם לכן נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y היא (2, 0).

עוד באתר:

  1. משוואת ישר – דף המתמקד בדרכים למציאת משוואת ישר.
  2. פונקציה קווית – דף הכולל הסברים גם על הגרף של פונקציה קווית.
  3. מתמטיקה לכיתה ח.
  4. מתמטיקה לכיתה ט.

משוואת ישר ישרים מקבילים או מאונכים

אנו כבר יודעים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע.
עושים זאת על ידי הצבת הנתונים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1

אבל בחלק מהשאלות לא יתנו לנו את השיפוע (m) ואנו נצטרך למצוא אותו.
בדף זה נלמד כיצד עושים זאת בעזרת מידע על ישרים מקבילים או מאונכים.

לישרים מקבילים שיפועים שווים

לישרים מקבילים יש שיפועים שווים.
y = 2x – 4
כל הישרים המקבילים לישר זה יש שיפוע של 2.

זאת דוגמה לגרפים ששיפוע הישרים שלהם שווה. גרפים מקבילים.

הגרף האדום הוא y = 2x - 4 ושאר הגרפים אלו דוגמאות לישרים עם שיפוע שווה

הגרף האדום הוא y = 2x – 4 ושאר הגרפים אלו דוגמאות לישרים עם שיפוע שווה

תרגילים

דוגמה 1
מצאו את משוואת הישר המקביל לישר y = 2x – 4 ועובר בנקודה (1, 3-).

פתרון
שיפוע הישר המבוקש (הישר המקביל) הוא 2.
נציב בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1

(y – 1 = 2 (x + 3
y – 1 = 2x + 6  / +1
y = 2x + 7

תשובה: משוואת הישר המקביל לישר y = 2x – 4 ועובר דרך הנקודה (1, 3-) היא y = 2x + 7.

דוגמה 2
לפעמים לא יתנו לכם את שיפוע הישר המקביל בצורה מפורשת, אלא תצטרכו למצוא אותו.

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,3) ומקביל לישר העובר דרך הנקודות (0, 1) ו (4-, 2)

פתרון
עלינו למצוא את שיפוע הישר המקביל בעזרת "שיפוע על פי שתי נקודות"
שיפוע ישר על פי 2 נקודות

נקבל:

עכשיו עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 4- ועובר בנקודה (3,3)
נציב בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
(y – 3 = -4 (x – 3
y – 3 = -4x + 12  /+3
y = -4x + 15

תשובה: משוואת הישר המבוקש היא y = -4x + 15.

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
אם יתנו לנו משוואת ישר  y = 4x -3
ויבקשו מאינו למצוא את שיפוע הישר המאונך כיצד נעשה זאת?

פתרון
נגדיר m השיפוע של הישר המבוקש.
אנו יודעים שהשיפוע של ישרים מאונכים הוא 1-.
לכן המשוואה שלנו היא:
m * -4 = -1
4m = -1   / :-4-
m = 0.25

תשובה: שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x -3 הוא 0.25.

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (5-, 3) ומאונך לישר y = -0.4x -6

פתרון
נגדיר את שיפוע הישר המבוקש כ m.
מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא 1-.
לכן:
m * -0.4 = -1
0.4m = -1   / : -0.4-
m = 2.5

עכשיו עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 2.5 ועובר בנקודה  (5-, 3)
(y-y1=m(x-x1
(y – (-5) = 2.5 (x -3
y +5 = 2.5x -7.5   / -5
y = 2.5x -12.5

תשובה: משוואת הישר המאונך לישר y = -0.4x -6 ועובר בנקודה (5-, 3) היא y = 2.5x -12.5.

עוד באתר:

קצב שינוי פונקציה קווית

בפונקציה קווית קצב השינוי קבוע.

זה אומר שאם עבור עליה של 1 בערכי ה- X ה- Y עולה ב- 3 כך זה יהיה עבור כל ערך של X.
אם X יעלה מ 4 ל 5 ה Y יעלה ב 3.
אם X ירד מ 10 ל 9 ה Y ירד ב 3.
אם X יעלה מ 5 ל 9 ה Y יעלה ב 4*3=12.

y =mx + n  זו הצורה הכללית של משוואת ישר.
m,n הם מספרים.
m הוא המספר המייצג את את קצב השינוי.
כלומר אם קצב השינוי הוא 3 אז משוואת הישר תראה כך:
y = 3x + n
n יכול להיות כל מספר והוא לא משפיע על קצב השינוי.

זו משוואת הישר y= 2x+1. ניתן לראות שבכול נקודה שנבחר על הישר כאשר נעלה 1 על ציר ה x נעלה 2 על ציר ה y.

זו משוואת הישר y= 2x+1.
ניתן לראות שבכול נקודה שנבחר על הישר כאשר נעלה 1 על ציר ה x נעלה 2 על ציר ה y.

תרגיל 1 

7 3 2 X
10 5 Y

ידוע כי טבלת הערכים מייצגת משוואת ישר. מה הוא המספר החסר?

פתרון
כאשר X עולה ב 1. Y עולה ב 5.
לכן כאשר X עולה ב 4 Y יעלה ב 4*5 = 20.
המספר הוא 30.

תרגיל 2

7 5 X
23- 11- 3- Y

 

ידוע כי הטבלה מייצגת פונקציה קווית. השלימו את המספר החסר.

פתרון

כאשר ערך ה X עולה  2 ערך ה Y יורד ב 8-.
כלומר כאשר ערך X עולה ב 1 ערך ה Y יורד ב 4-.
לכן כאשר ערך ה Y יורד ב 12 ערך ה X צריך לעלות ב 3. (כי 3 * 4- = 12-).

תרגיל 3

6- 5- 4- X
15 10 6 Y

 

האם הטבלה הזו מייצגת פונקציה קווית?

פתרון

כאשר X יורד מ 4- ל 5- ערך ה Y עולה ב 4.
כאשר X יורד מ 5- ל 6- ערך ה Y עולה ב 5.
כלומר השינוי אינו קבוע ולכן הטבלה אינה מייצגת פונקציית ישר.

תרגיל 4

עבור כל אחת ממשוואות הישר הבאות ציינו מה הוא קצב השינוי.

  1. y=3x-4
  2. y= -2x+1
  3. y=0.5x

פתרון

  1. y=3x-4  – על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y עולים ב- 3.
  2. y= -2x+1 –  על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y יורדים ב- 2.
  3. y=0.5x   –  על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y עולים ב- 0.5.
גרף הממחיש שקצב העליה של פונקציה קווית שווה בכול מקום

גרף הממחיש שקצב העליה של פונקציה קווית שווה בכול מקום

עוד באתר:

  1. פונקציה קווית.
  2. פונקציה קווית כיתה ח.
  3. מתמטיקה כיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.

מציאת משוואת ישר עם הגדרת משתנים

דף זה מיועד לתלמידי 4-5 יחידות לימוד בכיתות ט-י.

דף זה מיועד למי שכבר יודע להשתמש בנוסחאות של:
מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה, על פי 2 נקודות, על פי ישרים מאונכים או מקבילים, חישוב מרחק בין שתי נקודות, חישוב אמצע קטע, המשמעות של m,n במשוואת הישר.
(סיכום של הכל במקום אחד בדף מציאת משוואת הישר).

בדף זה עליכם ללכת צעד אחד קדימה; להגדיר משתנה, לבנות משוואה על פי אחת הדרכים שלמעלה או בדרך אחרת ואז לפתור את המשוואה.
שאלות מסוג זה דומות מאוד לבעיות מילוליות כגון בעיות תנועה, בעיות מכירה וכו.

ברוב השאלות השאלה הסופית היא לא "מצאו את משוואת הישר".
אבל השימוש בנוסחאות השונות וההבנה של הנושאים השונים הכרחיים על מנת לענות על השאלות.

שאלה לדוגמה:
הנקודה A נמצאת על הישר Y=2X+3.
מהנקודה A מעבירים אנך לציר ה x  וציר ה y כך שנוצר מלבן.
שטחו של המלבן הוא 44 יחידות ריבועיות.
מצאו את הנקודה A.

פתרון

שאלות מהסוג המופיע בדף זה נפתרות לרוב על ידי השלבים הבאים:

  1. בחירת ערך ה x בנקודה כמשתנה (ערך ה X בנקודה A, בנקודה B …). (לעיתים רחוקות יותר בוחרים את ערך ה y).
  2. הגדרת באמצעות ערך ה x את ערך ה y בנקודה.
  3. ביצוע מספר פעולות נוספות על פי השאלה.
  4. בניית משוואה ומציאת ה x.

אז בשאלה זו:
נגדיר:
xA ערך ה x בנקודה A.
2xA + 3 ערך ה y בנקודה A.
הנקודה היא (A(xA, 2xa + 3

עכשיו נשרטט את הישר Y=2X+3 ואת הנקודה A על מנת להבין את המצב בשאלה.
אין צורך לדעת איפה הנקודה A נמצאת על הישר, נבחר עבורה מיקום מקרי.

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה את הגדלים של צלעות המלבן

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה את הגדלים של צלעות המלבן

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה כי אורך הצלע AB= XA ו AC = 2XA +3.
לכן המשוואה שנקבל היא:
2XA + 3) XA = 44)
2XA² + 3XA = 44  / -44
2XA² + 3XA  – 44 = 0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל שתי אפשרויות:
xA = 4   או   xa = -5.5.
כלומר יש שתי אפשרויות לנקודה A.

נציב את ערכי ה x שקיבלנו במשוואת הישר y = 2x +3 על מנת למצוא את ערכי ה y האפשריים של הנקודה A.
y1 = 2*4+3 = 11
y2 = 2*(-5.5) + 3 = -8

תשובה: הנקודה A יכולה להיות (4,11) או (8-, 5.5-).

 

השאלות בנושא זה חוזרות על עצמם; פעם תשתמשו במשוואה לנוסחת ישר על פי שתי נקודות על מנת ליצור משוואה, פעם בתכונת ישרים מקבילים לצירים, פעם בצורת חישוב שטח משולש, פעם בנוסחה לחישוב אמצע קטע וכו.

לכן אני ממליץ לדעת את הנושאים הבסיסיים היטב.
ובדף זה לפתור שאלות עד לנקודה שבה אתם מרגישים שאתם מבינים.

זכרו: מגדירים נקודה בעזרת משתנה ואז מחפשים דרך לבנות משוואה.

כמו כן שימו לב שהרבה פעמים בשאלות הללו משתמשים בתכונות של ישרים המקבילים לצירים. אלו ישרים שערך ה x או ערך ה y שלהם קבוע לכל אורכם.
ולכן המרחק של שתי נקודות הנמצאות עליהם שווה להפרש של ערכי ה x או ערכי ה y בלבד.

למשל:
אם (A (XA, YA
ואם ( B (XB, YB

אז אם נתון שהישר AB מקביל לציר ה Y זה אומר שערכי ה x של בנקודות A,B שווים. כלומר:
xA = xB
והמרחק בין הנקודות הוא הפרש ערכי ה Y:
d = YA – YB

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה Y (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה x) אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה Y (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה x) אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

ואם נתון שהישר מקביל לציר ה X אז ערכי ה y של הנקודות A,B שווים. כלומר:
YA = YB.
והמרחק בין הנקודות הוא הפרש ערכי ה X:
d = XA – XB

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה X (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה Y") אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה X (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה Y") אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

תרגילים

תרגיל 1 (הגדרה בסיסית של נקודה באמצעות משתנה)

הנקודה A נמצאת על הישר y=3x- 6.
ערך ה X בנקודה A גדול ב 2 מערך ה Y בנקודה A.
מצאו את הנקודה.

פתרון

הנקודה A
נגדיר את ערך ה x בנקודה A כ xA.
מכוון שהנקודה נמצאת על הישר y= 3x-6 אז ערך ה y בנקודה הוא y = 3xA – 6
כלומר הנקודה A היא (A (xA, 3xA – 6.

בניית משוואה
ידוע כי ערך ה X בנקודה A גדול ב 2 מערך ה Y בנקודה. לכן המשוואה היא:
xA + 2 = 3xA – 6  / -xA + 6
2xA =8 / :2
xA = 4

מציאת נקודה A
ערך ה Y בנקודה A שווה ל:
y = 3*4-6=12-6=6.
ואכן ערך זה גדול ב 2 מערך ה x.

תשובה: הנקודה A היא (6, 4).

הסבר גרפי לפתרון התרגיל

הסבר גרפי לפתרון התרגיל

תרגיל 2 (מרחק בין נקודות)

הנקודה C נמצאת על הישר y=8.
הנקודה B נמצאת על הישר BC המקביל לציר ה Y. (גם הנקודה C נמצאת על הישר BC).
הנקודה B נמצאת גם על הישר y = 0.5x.
ערך ה y בנקודה B נמוך יותר מערך ה y בנקודה C.
המרחק בין הנקודות B ל C הוא 6.5.
מצאו את הנקודות B ו C.

פתרון

בשאלה זו ניתן לבחור את ערך ה x של הנקודה B או של הנקודה C כמשתנה.
קצת יותר נוח לבחור את הערך של הנקודה B ואת זה נעשה.

הנקודה B
נגדיר: xB הוא ערך ה x בנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x ולכן ערך ה y שלה הוא:
y = 0.5xB.
xB, 0.5xB זו הנקודה B.

הנקודה C
מכוון שהישר BC מקביל לציר ה y ערכי ה X עליו זהים לכל אורכו. לכן ערך ה X בנקודה C הוא גם כן xB.
הנקודה C היא xB, 8.

המרחק בין הנקודות ובניית משוואה
מכוון שערכי ה x זהים בשתי הנקודות המרחק בין שתי הנקודות שווה להפרש ערכי ה Y של הנקודות.
שימו לב שנתון שערך ה y בנקודה C גדול יותר ולכן:
d = 8 – 0.5xB = 6.5 / -8
0.5xB = -1.5 / *-2-
xB = 3

זיהוי הנקודות
הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x ולכן:
y = 0.5*3=1.5
(B(3, 1.5
ערך ה y בנקודה C הוא 8 ולכן:
(C (3, 8.

1.5  3
8, 3

תרגיל 3 (שיפוע ישר על פי 2 נקודות)

הנקודה B נמצאת על הישר y= 4x.
ואילו ערך ה y של הנקודה A גדול ב 6 מערך ה y של הנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y= -x + 4.
אם שיפוע הישר AB הוא 3- מה הוא ערכן של הנקודות A ו B?

פתרון

נגדיר XB הוא ערך ה x בנקודה B.
y = 4xB זה ערך ה y בנקודה B.
הנקודה B היא: xB, 4xB

בנקודה A ערך ה Y גדול ב 6 ולכן הוא 4xB + 6.
נמצא את ערך ה X בנקודה A:
4xB + 6 = – xA + 4
xA = -2 -4xB
הנקודה A היא: 2-4XB, 4XB +6-

שיפוע הישר AB הוא 3-. נבנה את הנוסחה לשיפוע הישר על פי שתי נקודות:

המשך פתרון התרגיל

נציב את הערך שקיבלנו בנקודה B.
y = 4*0 =0
הנקודה B היא (0,0).

הנקודה A היא 2-4XB, 4XB +6- :
(6, 2-)

תרגיל 4 (שטח משולש)

שטח משולש ABC הוא 21 יחידות ריבועיות.
הנקודות AB נמצאות על הישר x= -1. והמרחק בניהן הוא 6 יחידות.

  1. הנקודה C נמצאת ברביע הראשון. מצאו את ערך ה x של הנקודה C.
  2. אם הנקודה C נמצאת על הישר y=x+1 מצאו את הנקודה C.

פתרון 

נגדיר את אורך הגובה
האנך / גובה לישר x=-1 הוא ישר מהסוג y=k כאשר k הוא מספר כלשהו.
לכן לאורך כל הגובה כולו רק ערך ה x משתנה וערך ה y נשאר קבוע.
נגדיר xc הוא ערך ה x בנקודה C.
לכן אורך הגובה מהנקודה C אל הישר x= -1 הוא xc + 1.

הסבר לאופן חישוב שטח המשולש

הסבר לאופן חישוב שטח המשולש

נבנה משוואה
על פי הנוסחה לשטח משולש נקבל:
xc + 1 ) * 6 / 2 = 21)
6xc + 6 = 42 / -6
6xc = 36 / :6
xc = 6
תשובה: ערך ה x של הנקודה C הוא 6.

חלק שני
נציב x=6 במשוואת הישר
y = 6+1=7
תשובה: (C(6,7

הערה: הסיבה שיש בשאלה זו סעיף ב, שהוא מאוד קל, היא שבפועל יכולים לדלג על סעיף א ויכולים לבקש ממכם למצוא את הנקודה מבלי לתת את סעיף א (ואז השאלה קשה יותר).

עוד באתר:

 

משוואת ישר וידאו

דף זה כולל 11 סרטוני וידאו בנושאים הקשורים למשוואת ישר.

ארבעת הנושאים המרכזיים בנושא משוואת ישר הם:

  1. מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה. עושים זאת בעזרת הנוסחה (y-y1=m(x-x1.
  2. מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות. עושים זאת בעזרת הנוסחה (m = (y1-y2) / (x1 – x2.
  3.  מציאת משוואת ישר על פי ישרים מקבילים או מאונכים. ישרים מקבילים שיפועם שווה, ישרים מאונכים מכפלת השיפועים 1-.
  4. המשמעות הגרפית של משוואת הישר, של ערכי m ו n במשוואת הישר. m מקובע העם הישר עולה או יורד ובאיזה שיפוע ואילו n מספק את נקודת החיתוך עם ציר ה y.

שאר הנושאים קשורים פחות למציאת משוואת הישר אבל נשאלות עליהם שאלות:

  1. מציאת נקודות החיתוך עם הצירים.
  2. תחומי חיוביות ושליליות של משוואת הישר.
  3. כיצד יודעים עם נקודה נמצאת על ישר.
  4. כיצד לשרטט משוואת ישר.
  5. מציאת משוואת ישר המקביל לצירים.
  6. נקודת חיתוך של שני ישרים.
  7. נקודת חיתוך של ישר ופרבולה.

גרסת הטקסט של דף זה נמצאת בדף משוואת ישר.
לכל נושא מצורף מתחת לסרטון קישור בו תוכלו למצוא הסברים ותרגילים נוספים.

משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

משוואת ישר על פי שתי נקודות

משוואת ישר בעזרת קווים מאונכים או מקבילים

גרף משוואת הישר: המשמעות של m ו n

מציאת נקודת חיתוך של ישר עם הצירים

תחומי חיוביות ושליליות של ישר

כיצד לשרטט גרף של משוואת ישר

מציאת משוואת ישרים מקבילים לצירים

כיצד יודעים עם נקודה נמצאת על ישר

מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים

מציאת נקודות חיתוך של פרבולה וישר

האם נקודה נמצאת על משוואת ישר או פונקציה אחרת?

אם נקודה נמצאת על משוואת ישר / גרף פונקציה אז היא:

  1. מקיימת את משוואת הישר. כלומר אם מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הישר מקבלים דבר נכון.
  2. נמצאת על גרף הפונקציה.

שני הדברים הללו הם למעשה דבר אחד וכל נקודה שמקיימת אחד מיהם מקיימת את שניהם.

לדוגמה נבדוק את הנקודות (3,5) ו (1,2) עבור משוואת הישר y=2x.

3*2 = 5
6=5 זה לא נכון ולכן (3,5) לא נמצאת על y=2x.

1*2 = 2
2=2 זה נכון ולכן הנקודה (1,2) נמצאת על הישר y=2x.

גרף: האם הנקודות נמצאות על הפונקציה y=2x

גרף: האם הנקודות נמצאות על הפונקציה y=2x

נבדוק את הנקודות (3,5) ו (1,2) עבור הפונקציה הריבועית f(x) = x²-4.

4 – 3² = 5
4- 9 = 5
5=5 זה נכון ולכן הנקודה (3,5) נמצאת על הפונקציה.

4 – 1² = 2
3- = 2 זה לא נכון ולכן הנקודה (1,2) לא נמצא על הפונקציה.

גרף: האם הנקודות על הפונקציה f(x) = x²-4

גרף: האם הנקודות על הפונקציה f(x) = x²-4

וידאו: כיצד יודעים אם נקודה נמצאת על ישר

הסבר הוידאו כולל את התוכן שהופיע קודם לכן בטקסט.

עוד באתר:

נוסחת משוואת הישר, נוסחה למציאת שיפוע

בדף זה נלמד את הנוסחאות המשמשות למציאת משוואת ישר.

לאחר החלק המלמד למצוא משוואת ישר נלמד את המשמעות הגרפית של משוואת הישר.
כלומר המשמעות של m,n במשוואת הישר y = mx + n.

 1. נוסחת משוואת הישר y = mx+ n

זו נוסחת משוואת הישר.
כאשר m (המקדם של x) ומייצג את שיפוע הישר.
n נותן את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y.
הרחבה ותרגילים על שני הפרמטרים הללו בהמשך הדף.

למשל, עבור הישר y = 2x – 4 השיפוע הוא 2 ונקודת החיתוך עם ציר ה y היא (4- , 0)

גרף משוואת הישר y = 2x - 4

גרף משוואת הישר y = 2x – 4

2. נוסחת מציאת הישר על פי שיפוע ונקודה (y-y1=m(x-x1

(y-y1=m(x-x1
זו הנוסחה למציאת משוואת ישר כאשר נתון לנו שיפוע m ונקודה  (x1,y1).
על מנת למצוא את משוואת הישר מציבים את ערכי השיפוע והנקודה במשוואה.

תרגיל
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר בנקודה 2,5.

פתרון
נציב m = x,  x1 = 2,  y1 = 5
במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
y-5 = 4(x-2) = 4x-8
y = 4x-3

y = 4x-3 גרף משוואת הישר

y = 4x-3

3. נוסחה למציאת שיפוע על פי שתי נקודות

נוסחה: (m = (y1-y2) / (x1 – x2

נוסחה לחישוב שיפוע על פי שתי נקודות (m = (y1-y2) / (x1 - x2

בנוסחה זו נשתמש על מנת למצוא שיפוע כאשר נתונות לנו שתי נקודות הנמצאות על ישר.
לאחר שמצאנו את השיפוע נציב את השיפוע וערך אחת מהנקודות בנוסחת משוואת הישר (y-y1=m(x-x1.

תרגיל
מצאו את השיפוע של של הישר העובר דרך הנקודות (5,2)  (7,0).

פתרון

m= -1
תשובה: שיפוע הישר הוא 1-.

שיפוע הישר העובר בין הנקודות הוא 1-

שיפוע הישר העובר בין הנקודות הוא 1-

4. משוואת ישר על פי ישרים מקבילים או מאונכים

נוסחאות:
1.השיפועים של ישרים מקבילים הם שיפועים שווים.
m1 = m2 עבור ישרים מקבילים

2.מכפת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
m1 * m2 = -1 עבור ישרים מאונכים

תרגילים בנושא ישרים מקבילים

תרגיל 1
מצאו את השיפוע של הישר המקביל לישר y = -4x+1.

פתרון
שיפוע הישר y = -4x+1 הוא 4-.
לכן שיפוע הישר המקביל שווה גם הוא 4-.

תרגיל 2
מצאו את שיפוע הישר המקביל לישר העובר דרך הנקודות (7,1) (1,4).

פתרון
כאן עלינו למצוא קודם את שיפוע הישר העובר בנקודות (7,1) (1,4)
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה:
שיפוע ישר על פי 2 נקודות
ונקבל:
0.5-

תשובה: לישר המקביל שיפוע שווה לישר העובר דרך שתי הנקודות. לכן שיפוע הישר המקביל הוא 0.5-.

שני ישרים מקבילים שהשיפוע של כל אחד מיהם הוא 0.5-

שני ישרים מקבילים שהשיפוע של כל אחד מיהם הוא 0.5-

ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.

  1. אם שיפוע של ישר הוא 2 אז שיפוע הישר המאונך לו 0.5-.
  2. שיפוע ישר 5- אז המאונך 0.2
  3. שיפוע ישר 10 אז המאונך 0.1-
  4. שיפוע ישר 0.4 אז המאונך 2.5-
  5. שיפוע ישר 1 אז המאונך  1-

תרגיל 1
מצא את שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x.

פתרון
אם m הוא שיפוע הישר המבוקש אז:
m*4 =  -1  / :4
m= – 0.25

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-

5. נוסחאות נוספות בהם יכולים לעשות שימוש

יש שתי נוסחאות נוספות בהם יכולים לעשות שימוש על מנת למצוא נקודה דרכה עובר הישר.

נוסחה אחת היא הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
אם (x1, y1)  ו  (x2, y2) הן הנקודות ו d הוא המרחק בניהן אז הנוסחה היא:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2

נוסחה שנייה היא הנוסחה למציאת אמצע של קטע.

אם נתונות לנו שתי נקודות: (A(x1, yו  (B(x2, y2 אז אמצע הקטע בניהן (C(xc, yc מתקבל על ידי הנוסחאות:

Xc = ((x_1+ x_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה X של הנקודות

yc = ((y_1+ y_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה Y של הנקדות

כלומר מחשבים את האמצע של ערכי ה X ואת האמצע של ערכי ה Y בנפרד.

6. המשמעות הגרפית של m, n בנוסחת משוואת הישר

עד עכשיו דיברנו על נוסחאות המאפשרות למצוא את משוואת הישר.
מעכשיו נדבר על מצב שבו נתונה לנו נוסחת הקו הישר y =mx + n ואנו מנסים להבין כיצד הגרף נראה.
או להפך, נתון לנו הגרף ואנו מנסים להבין כיצד נראה הישר.

נתונה נוסחת הישר: y =mx + n
מה המספר m יכול ללמד אותנו?

המספר m בנוסחת הישר מלמד אותנו האם הפונקציה עולה (כאשר m>0) או יורדת (כאשר m<0).
כמו כן אנו יכולים ללמוד מה קצב העליה של הישר. ככול שהערך המוחלט של m גדול יותר כך גרף הישר נראה תלול יותר.

גרף ששיפועו m= -0.5 יורד בצורה מתונה. גרף ששיפועו m=2 הוא גרף עולה. גרף ששיפועו m=4 עולה בצורה חדה יותר.

גרף ששיפועו m= -0.5 יורד בצורה מתונה.
גרף ששיפועו m=2 הוא גרף עולה.
גרף ששיפועו m=4 עולה בצורה חדה יותר.

המספר n 

המספר n במשוואת הישר y =mx + n מלמד על נקודת החיתוך עם ציר ה y.

הדבר נובע מכך שכאשר נציב בנוסחת הישר y = mx +n את x=0, שזה מה שעושים על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה y נקבל:
y = m*0 + n
y=n.

לכן, למשל, נקודת החיתוך של הישר y =x+2 עם ציר ה y היא (0,2).
ונקודת החיתוך של הישר y = -3x -4 עם ציר ה y היא (4-, 0).

הגרפים של הישרים ונקודות החיתוך עם ציר ה y

הגרפים של הישרים ונקודות החיתוך עם ציר ה y

תרגילים: המשמעות של m,n בנוסחת הישר

נתונות נוסחאות הישר הבאות:

  1. y = -4x+1
  2. y = 3x+4
  3. y = -2x+1
  4. y=3x+1

התאימו בין כל אחת מהמשוואות לבין הגרפים המשורטטים מטה.

גרפים של משוואות ישר

פתרון וידאו:

פתרון כתוב:

  1. גרף 1 המשוואה y=3x+1.
  2. גרף 2 המשוואה y = 3x+4.
  3. גרף 3 המשוואה y = -2x+1.
  4. גרף 4 המשוואה y = -4x+1.

פתרון התרגיל

הסבר
נוח לחלק את משוואות הישר לעולות ויורדות.

משוואות 1,2 הן עולות.
רואים בגרף שמשוואה 1 (y=3x+1) חותכת את ציר ה y בנקודה נמוכה המתאימה ל n=1 ואילו משוואה 2 (y = 3x+4) חותכת את ציר ה y בנקודה המתאימה ל n=4.

משוואות 3,4 הן יורדות.
שתיהן חותכות את ציר ה y בנקודה (0,1) לכן אין הבדל בניהן בפרמטר n.
ניתן לראות שגרף 4 יותר תלול. הוא מתחיל יותר למעלה ומסיים יותר למטה. לכן ערך ה m שלו גדול יותר בערכו המוחלט. גרף 4 מתאים למשוואה y = -4x+1, ואילו גרף 3 למשוואה y = -2x+1.

תרגיל נוסף

התאימו את המשוואות הבאות לגרפים.

  1. y= -x-1
  2. y=5
  3. y=3x-1
  4. x=2
  5. y= -2x-1

גרפים של משוואות ישר

פתרון וידאו

פתרון כתוב

  1. גרף 1 הוא המשוואה y=3x-1  (כי הוא היחידי שעולה).
  2. גרף 2 הוא המשוואה y= -x-1 כי הוא יורד בצורה מתונה יותר מגרף 3.
  3. גרף 3 הוא המשוואה y= -2x-1 כי הוא יורד בצורה חדה יותר מגרף 2.
  4. גרף 4 הוא y=5 כי ערך ה Y שלו תמיד 5.
  5. גרף 5 הוא x=2 כי ערך ה x שלו תמיד 2.

פתרון התרגיל

 

תרגיל
ידוע כי השיפוע של משוואת ישר הוא 4. כמו כן f (-1)=6.
מה ערכו של (f(1 ?

הערה:
(f (-1 הכוונה היא x= -1.
(f(1  הכוונה היא x=1.

פתרון
אם השיפוע הוא 4 זה אומר שכאשר x עולב ב 1 y עולה ב 4.
במקרה זה x עלה ב 2 מ 1- ל 1. לכן ה Y צריך לעלות ב 8.
14 = 6+8
תשובה: f(1) = 14.

תרגיל
מי מבין הגרפים הבאים יכול להיות הגרף שמייצג את משוואת הישר y = -3x+2?

גרפים של משוואת ישר

פתרון וידאו

פתרון
הגרף שיכול להיות מתאים למשוואת הישר y = -3x+2 הוא גרף 3.
בגלל שזה הגרף היחידי שיורד (ומתאים ל m=3) וגם חותך את ציר ה Y מעל לראשית הצירים שזה מתאים ל n=2.

עוד באתר:

הזווית שבין פונקציה קווית לכיוון החיובי של ציר ה x

לפני שנסביר את הנושא אני רוצה להגיד את דעתי עליו;
ביחס לשאר הנושאים הקשורים למשוואת ישר זה נושא לא חשוב.
הדברים החשובים הם לדעת למצוא משוואת ישר בשיטות שונות ולהכיר את גרף הפונקציה הקווית.
הנושא שבדף זה הוא פחות חשוב, כך שאם יש לכם קושי בנושא זה וגם בנושאים אחרים, בעיניי עדיף להשקיע בנושאים האחרים.

ולנושא עצמו
לפונקציה קווית החותכת את ציר ה x יש זווית עם הכיוון החיובי של ציר ה x.

בשרטוט נראה את הפונקציה y = 2x + 1 כאשר הזווית של הישר עם הכיוון החיובי מסומנת בירוק.

זווית בין ישר לציר ה x

כאשר שיפוע הישר שלילי הזווית עם הכיוון החיובי של ציר ה x נראית כך.
(בשרטוט שלמטה גרף הישר y = -4x +1)

זווית בין ישר לציר ה x

לדף זה שני חלקים
בחלק הראשון של הדף נדבר על שרטוט גרפים על מנת לקבל מידע על הזווית.
בחלק השני נדבר על מציאת הזווית שישר יוצר בעזרת הנוסחה m = tg a. כאשר a זו הזווית בין הישר לכיוון החיובי של ציר ה x.

מציאת הזווית עם הכיוון החיובי בעזרת גרף

על מנת שתסדרו עם חלק זה עליכם להכיר את הגרף של הפונקציה הקווית.
כלומר אם אתם רואים את הגרפים של הישרים
y = 2x
y = 5x
y = -x
y = -3x
עליכם לדעת לקשר בין המשוואה לגרף.
אם אתם צריכים חזרה בנושא תוכלו לעשות אותה בדף גרף פונקציה קווית.

תרגיל 1
נתונים שני הישרים ששיפועם 5 ו 0.5.
קבעו למי משני הישרים זווית גדולה יותר עם ציר ה x.
(*הערה: ניתן להתייחס אל השאלה גם כאילו יש לישרים משוואות מלאות. למשל:
y = 5x  ישר ששיפועו 5.
y = 0.5x  ישר ששיפועו 0.5).

פתרון
בהמשך הדף נלמד כיצד פותרים שאלה מהסוג הזה בעזרת פונקציית הטנגנס.
בחלק זה של הדף נפתור את התרגיל בעזרת גרף.

נשרטט סקיצה של שני הישרים.
אין צורך בשרטוט מדויק, אלא רק שיהיה ברור לאיזה ישר יש שיפוע תלול יותר.

ניתן לראות שלישר ששיפועו 5 זווית גדולה יותר עם ציר ה x ביחס לישר ששיפועו 0.5.
(הזווית השחורה לעומת הזווית הירוקה).

תרגיל 2
נתונים שני ישרים ששיפועם 3- ו 2-.
למי מהישרים זווית גדולה יותר עם ציר ה x.
(* הערה: מי שיותר נוח לו יכול להתאים לישרים הללו משוואות ישר מלאות
y = -2x  ישר ששיפועו 2-.
y = -3x ישר ששיפועו 3-.)

פתרון
נשרטט סקיצה של שני הישרים.
אין צורך שהשרטוט יהיה מדויק אלא שהישר היורד בצורה תלולה יותר (הישר ששיפועו 3-) יראה תלול יותר גם בשרטוט.

סקיצה של שני הישרים

ניתן לראות שהישר ששיפועו 2- יוצר זווית גדולה יותר עם הכיוון החיובי של ציר ה x.
(הזווית השחורה לעומת הזווית הירוקה).

מסקנה משני התרגילים שפתרנו
כאשר נתונים לנו שני ישרים עולים הישר העולה בצורה חדשה יותר הוא בעל הזווית הגדולה יותר עם ציר ה x.
(בתרגיל מצאנו שלישר ששיפועו 5 יש זווית גדולה יותר עם הכיוון החיובי של ציר ה x ביחס לישר ששיפועו 0.5).

לעומת זאת אם נתונים לנו שני ישרים ששיפועם שלילי אז המצב הפוך. הישר היורד בצורה תלולה יותר הוא בעל הזווית הקטנה יותר עם ציר ה x.
(בתרגיל מצאנו שלישר ששיפועו 3- יש זווית קטנה יותר עם הכיוון החיובי של ציר ה x ביחס לישר ששיפועו 2-).

תרגיל מסכם
אלו ארבעת השיפועים של 4 ישרים שונים:

  1.  6-
  2.  3-
  3. 1
  4.  0.5

סדרו את הישרים הללו על פי גודל הזווית שלהם עם ציר ה x. מהזווית הקטנה לזווית הגדולה.

פתרון
על מנת למצוא את הזווית נשרטט סקיצה של ארבעת הישרים.

סקיצה של הישרים

ניתן לראות בגרף ש:
הישר ששיפועו 0.5 הוא בעל הזווית הקטנה ביותר.
אחריו השיפוע 1.
אחריו השיפוע 6-.
אחריו השיפוע 3-.

מציאת הזווית עם הכיוון החיובי של ציר ה x בעזרת הנוסחה tg a = m

אחת הדרכים למצוא את שיפוע משוואת הישר היא על ידי ידיעת הזווית שיוצר הישר עם הכיוון החיובי עם ציר ה X.
אם הזווית היא a ושיפוע הישר הוא m אז מתקיים:
tg a = m.

למשל: ישר שהזווית שהוא יוצר עם ציר ה x היא 30 ניתן למצוא את השיפוע שלו על ידי המשוואה:
m = tg 30
m = 0.577

אם כבר למדתם טריגונומטריה אתם יכולים להתבונן בשרטוט ולהבין מדוע: tg a הוא מבטא את השינוי שעובר הישר על ציר ה Y לחלק בשינוי שהישר עובר על ציר ה X – וזו בדיוק ההגדרה של שיפוע ישר.

טנגנס הזווית עם ציר ה X הוא שיפוע הישר

טנגנס הזווית עם ציר ה X הוא שיפוע הישר

תרגיל 1
לארבעה ישרים יש את הזוויות הבאות עם הכיוון החיובי של ציר ה x.
30,  135, 100, 70.
מצאו את השיפוע של כל אחד מהישרים.

פתרון
נציב בנוסחה tg a = m את כל אחת מהזוויות ונמצא את השיפוע (m).
עבור a = 30
m = tg 30 = 0.577

עבור a = 135
m = tg 135 = -1

עבור a = 100
m = tg 100 = -5.67

עבור a = 70
m = tg 70 = -2.75

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר שהזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה X היא 135 ועובר דרך הנקודה (2,6-).

פתרון
שלב א: נמצא את שיפוע הישר בעזרת הזווית
tna 135 = -1=m

שלב ב: נמצא את משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה
נמצא את משוואת הישר על פי השיפוע 1- והנקודה (2,6-).
נציב בנוסחה:
((y-y1=m(x-x1
ונקבל:
(y-6 = -1 (x+2
y-6 = -x -2 /+6
y=-x+4   – זו משוואת הישר המבוקש.

גרף הישר y=-x+4 היוצר זווית של 135 מעלות עם ציר ה X.

גרף הישר y=-x+4 היוצר זווית של 135 מעלות עם ציר ה X.

עוד באתר:

פתרון אי שוויון בדרך גרפית

לפעמים נקבל גרפים של שני פונקציות קוויות וישאלו אותנו מתי פונקציה אחת גדולה מאחרת.

למשל: מצורפים גרפים של שני הישרים y=5x-1  ו y=-2x-+6 הנפגשים כאשר x=1. מצאו מתי פונקציה אחת גדולה מאחרת.

שרטוט הגרפים

פתרון

שלב ראשון עלינו לזהות את הגרפים. מכוון שהגרף y=5x-1 הוא עולה הוא מתאים להיות גרף מספר 2.
גרף y=-2x-+6 יורד והוא מתאים להיות גרף מספר 1.
כאשר מסתכלים בגרפים רואים שכאשר נמצאים מימין לנקודה x=1 לגרף מספר 2 ערכי Y גדולים יותר. לכן 5x-1>-2x + 6 כאשר x>1.
באותה דרך על פי הגרף רואים גם 5x-1<-2x + 6 כאשר x<1.

דוגמה נוספת: עבור משוואת הישר הבאות מצאו מתי פונקציה אחת גדולה מאחרת.
y=x+5
y=3x+1

גרף הישרים

 

אנו רואים שגרף מספר 1 חותך את ציר ה y כאשר x=5 לכן גרף זה הוא המשוואה y=x+5.
גרף 2 חותך את ציר ה Y כאשר x=1 לכן גרף זה הוא המשוואה y=3x+1.

שלב 1: מציאת נקודת החיתוך של הישרים
3x+1= x+5 /-x-1
2x=4  / :2
x=2

שלב 2
בגרף ניתן לראות שכאשר אנו מימין לנקודת החיתוך לגרף מספר 2 ערכי y גדולים יותר לכן 3x+1 > x+5 כאשר x>2.
ניתן לראות גם ש 3x+1 < x+5 כאשר x<2.

עוד באתר:

 

מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

מציאת משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע היא הדרך הפשוטה ביותר למציאת משוואת ישר.
הדבר היחידי שצריך לעשות הוא להציב בנוסחה.
אם:
m – הוא השיפוע.
(x1, y1)  – היא הנקודה.
אז הנוסחה שבה צריך להציב את הנתונים היא:
(y-y1=m(x-x1

למשל:
m=4 – זה השיפוע.
(2,1)  – זאת הנקודה.
מציבים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
ומקבלים:
(y-1=4(x-2
y-1=4x-8  / +1
y=4x-7 – זו משוואת הישר.

 y=4x-7

y=4x-7

דוגמה נוספת:
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (0, 3-) ושיפועו 2-.
מציבים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
ומקבלים:
(y-0=-2(x+3
y= -2x-6  – זו משוואת הישר.

y = -2x-6

y = -2x-6

כיצד ניתן לסבך את השאלות הללו?

לא יתנו לכם את הנקודה עצמה אלא ישתמשו בניסוחים אחרים.

תרגיל
מצאו את משוואת הישר הישר ששיפועו 1 ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y= 2x-4 עם ציר ה x.

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה – x
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה x נציב y=0 במשוואת הישר y= 2x-4.
2x-4=0 /+4
2x=4 /:2
x=2
נקודות החיתוך היא (0, 2).

שלב ב: נמצא את משוואת הישר
אנו יודעים נקודה (0, 2).
ושיפוע m = 1.
נציב בנוסחה
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
y-0 = 1(x-2) = x-2
y=x-2   (זו משוואת הישר).

y=x-2

y=x-2

תרגילים

מצאו את משוואות הישר עבור הנקודה והשיפוע המצורפים:

  1. (m=1,  (2,-5.
  2. (m=3,  (0,0.
  3. (m=0, (6,4.

פתרונות

תרגיל 1
(m=1,  (2,-5
נציב במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
(y+5=1(x-2
y+5=x-2 /-5
y=x-7 – זו משוואת הישר.

y= x-7

y= x-7

תרגיל 2
(m=3,  (0,0
נציב במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
(y – 0 = 3(x-0
y=3x  – זו משוואת הישר.

y=3x

y=3x

תרגיל 3
(m=0, (6,4
נציב במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
(y-4=0(x-4
y – 4 = 0 – 0  / +4
y=4  – זו משוואת הישר.

y=4

y=4

עוד באתר: