ארכיון פוסטים מאת: לומדים מתמטיקה

חיבור חזקות

חיבור חזקות היא פעולה האפשרית רק במצב אחד:
כאשר גם בסיס החזקה וגם מערך החזקה שווים.

למשל:
x4 + x4 = 2x4
3x7 + 2x7 = 5x7

קיימת בעיה שבמקרים רבים עושים חיבור או חיסור חזקות גם שאסור.
דוגמה לטעות נפוצה היא:
x4 + x2 = x6 זו טעות

במקרים מסוימים נקבל שני ביטויים שמעריך החזקה שלהם לא שווה אך נוכל ליצור מעריכי חזקה שווים.
למשל:
3n + 3n + 1 = 3n + 3n * 3 = 4*3n

תרגילים

  1. 44 + 44* 2
  2. x3 + x2
  3. 6x4 – x4
  4. 4x3y6 – 7x3y6
  5. x3y5 + x3y6
  6. 2x + 2 – 2x
  7. 2x + 1 – 4*2x -1

פתרון תרגיל 1
44 * 3 = 44 + 44* 2

פתרון תרגיל 2
x3 + x2
בתרגיל זה לא ניתן לעשות דבר כי מעריכי החזקה שונים.

פתרון תרגיל 3
6x4 – x4  = 5x4

פתרון תרגיל 4
4x3y6 – 7x3y6 = -3x3y6

פתרון תרגיל 5
x3y5 + x3y6
בתרגיל זה לא ניתן לעשות דבר כי מעריך החזקה של y שונה בשני הביטויים.

פתרון תרגיל 6
2x + 2 – 2x = 2x * 22 – 2x = 4*2x – 2x = 3*2x

פתרון תרגיל 7
2x + 1 – 4*2x -1
בתרגיל זה נביא את מעריכי החזקה לחזקה המשותפת הקטנה ביותר והיא x -1
2x + 1 – 4*2x -1 = 2x-1*22 – 4*2x – 1 = 4 * 2x -1 – 4*2x -1 = 0

עוד באתר:

נקודות קיצון פונקציית שורש

בדף זה נפתור שלושה תרגילים בנושא מציאת נקודות מינימום מקסימום מקומיות או מוחלטות לפונקציית שורש.

נקודות קיצון פנימיות

נקודות קיצון פנימיות מתקבלות כאשר הנגזרת שווה ל 0. על מנת לוודא שזו אכן נקודות קיצון ובאיזה סוג קיצון מדובר יש לבדוק את הנגזרת השנייה או לבחון את סביבת הנקודה.

שימו לב: לא משנה מה שואלים אותכם; נקודות קיצון, עליה ירידה וכו. בכול מקרה עליכם לבדוק קודם כל את תחום ההגדרה של הפונקציה.

נקודת קיצון בקצוות

אזכיר כיצד מוצאים נקודת קיצון בקצוות:

  1. עושים את כל השלבים למציאת נקודת קיצון מקומי.
  2. מציבים את ערכי הקצה של הפונקציה (ערכים של ה – x) במשוואת הפונקציה.
  3. משווים את הערכים שקיבלנו עם ערכי המינימום מקסימום מקומיים. אם אחד הערכים שקיבלנו גדול יותר מכל הערכים של נקודות הקיצון הפנימיות אז הנקודה הזו היא מקסימום מוחלט. אם אחד הערכים שקיבלנו קטן יותר מכל הערכים של נקודות הקיצון הפנימיות אז הנקודה הזו היא מינימום מוחלט.

תרגיל 1

מצאו את כל נקודות הקיצון (ואת סוגן) של הפונקציה הבאה:

פתרון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל -0.

  • עבור x = 0 הנגזרת מתאפסת , אבל עבור נקודה זו הפונקציה אינה מוגדרת. לכן זוהי אינה נק' חשודה לקיצון.
  • נשים לב כי הנגזרת אינה מוגדרת עבור x = ± 5 , לכן אלו נקודות חשודות לקיצון.

כעת נבדוק האם נקודות אלו הן נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 3 תחומים (יש לשים לב כי הפונקציה אינה מוגדרת עבור )
א.  x > 5
ב.  x < -5
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
עבור נקודות הקצה – בקביעת סוג נקודת הקיצון נתייחס רק לצד הנקודה בו הפונקציה מוגדרת.
נסכם בטבלה :

לכן נקודות הקיצון של הפונקציה הן:
מינימום קצה: (0, 5) , (0 , 5-)

 

תרגיל 2

מצאו את כל נקודות הקיצון (ואת סוגן) של הפונקציה הבאה:

פתרון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0.

הנגזרת מתאפסת רק אם המונה מתאפס. לכן:
2x + 1 = 0
x = -0.5

לכן x = -0.5 היא נקודה חשודה לקיצון.

(פונקציה זו מוגדרת לכל x , לכן אין נקודות קצה)

כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים :
א.   x > -0.5
ב.   x < -0.5
 נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן נקודות הקיצון של הפונקציה הן:
נק' מינימום:
 (3.12 , 0.5-)

 

תרגיל 3

מצאו את כל נקודות הקיצון (ואת סוגן) של הפונקציה הבאה:

פתרון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0.


x(10 – 5/2 *√x) = 0
1. x1 = 0
2. x* 5/2 = 10√
x = 4√
x2 = 16

כעת נבדוק האם נקודות אלו הן נקודות קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים (נשים לב שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≥ 0 )
א.   x > 16
ב.   
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן נקודות הקיצון של הפונקציה הן:

  • מקסימום: (256, 16)
  • מינימום(קצה): (0,0)

עוד באתר:

שדות מגנטיים

תרגיל 1
תיל אינסופי מוליך זרם I = 1 A.
א. ציירו את כיווני השדה המגנטי מעל ומתחת לתיל.
ב. חשבו את השדה המגנטי בנקודה A.
ג. ברגע מסויים חולף אלקטרון בנקודה A במהירות v =  0.5c (חצי ממהירות האור). מהו הכוח המגנטי שפועל על האלקטרון?

פתרון
סעיף א
ניתן לקבוע את כיוון השדה המגנטי שיוצר הזרם לפי כלל יד ימין: מפנים את האגודל עם כיוון הזרם וכיוון השדה מסביב לתיל הוא ככיוון סיבוס האצבעות. משיטה זו נקבל שכיוון השדה מעל לתיל הוא החוצה וכיוונו מתחת לתיל הוא פנימה.

סעיף ב

הנוסחה לעוצמת שדה מגנטי במרחק r מסביב לתיל מוליך זרם I היא:

B = μ0I / 2πr

נתון:

I = 1 A
r = 0.5 m
μ= 1.257·10-6

הצבה בנוסחה:

B = 1.257·10-6·1 / 2π·0.5
B = 4·10-7 T

תשובה: השדה המגנטי בנקודה A הוא B = 4·10-7 טסלה בכיוון פנימה.

סעיף ג
כיוון הכוח:
כיוון הכוח המגנטי הפועל על מטען חיובי הנע בשדה מגנטי נקבע לפי כלל יד ימין. מניחים את כף היד בכיוון המהירות (ימינה) ומפנים את האצבעות לכיוון השדה (פנימה) כיון האגודל מראה את כיוון הכוח (במקרה זה למעלה). זהו כיוון הכוח שפועל על מטען חיובי, ובעבור מטען שלילי כיוון הכוח הפוך. לכן כיוון הכוח הפועל על האלקטרון הוא למטה.

גודל הכוח:
הכוח הפועל על מטען נע בשדה מגנטי הוא:

F = qvBsinα

נתון:

q = 1.6·10-19 (מטען האלקטרון)
v = 0.5c = 1.5·108 m/s
B = 4·10-7 T
sinα = sin 90 = 1 (כיווני המהירות והשדה מאונכים)

הצבה בנוסחה:

F = 1.6·10-19 · 1.5·10· 4·10-7 
F = 9.6·10-18 N

תשובה: הכוח הפועל על האלקטרון הוא F = 9.6·10-18 N בכיוון למטה.

 

תרגיל 2
תיל באורך L ובעל מסה m מוליך זרם I מרחף באוויר בהשפעת שדה מגנטי אחיד הניצב לכיוון הזרם.
א. מצאו את כיוון השדה המגנטי ובטאו את גודלו.
ב. מסובבים את התיל ב 90° כך שכיוון הזרם כעת הוא פנימה. מהו הכוח המגנטי הפועל על התיל כעת? האם התיל ימשיך לרחף באוויר?

פתרון
סעיף א
על התיל פועלת כבידה כלפי מטה, לכן כדי שירחף צריך לפעול עליו כוח מגנטי כלפי מעלה.

נמצא את כיוון השדה המגנטי עפ"י כלל יד ימין:
האצבעות מופנות ימינה, עם כיוון הזרם. כיוון הכוח הוא ככיוון האגודל וצריך להיות מופנה כלפי מעלה. לכן כף היד פונה לכיוון פנימה, כלומר כיוון השדה המגנטי הוא פנימה.

שקול הכוחות הפועל על התיל הוא 0, לכן מתקיים:

mg = FB

הכוח המגנטי הפועל על תלי באורך L המוליך זרם I הוא:

FB = ILBsinα

(נתון שהשדה ניצב לכיוון הזרם, לכן sinα = 1)

נציב ביטוי זה במשוואת הכוחות:

mg = ILB
B = mg / IL

תשובה: כיוון השדה המגנטי הוא פנימה וגודלו הוא: B = mg / IL.

סעיף ב
לאחר סיבוב התיל, מקבלים שהזרם והשדה מופנים לאותו כיוון. במקרה זה הזווית ביניהן היא 0, sin0 = 0, לכן לא פועל במצב זה כוח מגנטי עך התיל, והוא נופל.

תרגיל 3
נתון מעגל חשמלי בעל מקור מתח ישר V, נגד R וסליל חסר התנגדות L.
בתוך הסליל נמדד שדה מגנטי שכיוונו ימינה.
א. סמנו בשרטוט את קטבי מקור המתח.
ב.   נתון: אורך הסליל הוא 0.1 מטר והוא בעל 1000 כריכות. מקור המתח הוא 5V והתנגדות הנגד היא 10Ω. חשבו את עוצמת השדה המגנטי בתוך הסליל.

פתרון
סעיף א

עפ"י כלל יד ימין, כיוון השדה המגנטי בסליל הוא כיוון האגודל כאשר מלפפים את האצבעות עם כיוון הזרם בסליל. אם נניח את האגודל בכיוון השדה נקבל שהזרם זורם עם הסליל ימינה.

הזרם החשמלי יוצא מן הקוטב החיובי של מקור המתח לקוטב השלילי. לכן הצד השמאלי של מקור המתח הוא חיובי והצד השמאלי הוא שלילי.

סעיף ב
הנוסחה לעוצמת שה מגנטי בתוך בליל מוליך זרם היא:

B = μ0NI / L

חישוב הזרם I:
עפ"י חוק אוהם, V = IR , הזרם במעגל הוא I = V/R.
נתון:

V = 5V
R = 10Ω
I = V / R = 5/10
I = 1/2 A

חישוב B:

נתון:

μ= 1.257·10-6
N = 1000
I = 1/2 A
L = 0.1 m

הצבה בנוסחה:

B = 1.257·10-6 · 1000 · 0.5 / 0.1
B = 6.285·10-3 T

תשובה: עוצמת השדה המגנטי בתוך הסליל היא  10-3 · 6.285 טסלה.

תרגיל 4
כריכה ריבועית נמצאת באזור שדה מגנטי אחיד B שכיוונו החוצה. הכריכה בעלת אורך צלע L, ועובר בה זרם I בהשפעת מקור המתח המצוייר בשרטוט.
א. ציינו את כיוון הכוח המגנטי הפועל על כל אחת מהצלעות (שימו לב שהחלק הימני של הכריכה נמצא מחוץ לאזור השדה).
ב. חשבו מהו הכוח השקול הפועל על הכריכה (גודל וכיוון).

פתרון
סעיף א
כיוון הזרם החשמלי הוא מהקטוב החיובי לקוטב השלילי, לכן הוא זורם בכריכה עם כיוון השעון:

כדי למצוא את כיווני הכוחות יש להשתמש בכלל יד ימין על כל אחת מהצלעות.
עבור צלע NP נקבל שכיוון הכוח הוא למטה, עבור QM למעלה, ועבור PQ כיוון הכוח הוא שמאלה.

סעיף ב
הכוח המגנטי הפועל על תיל מוליך זרם הוא:

F= ILBsinα

מכיוון שהשדה המגנטי הוא אחיד, הזרם בכריכה קבוע ואורכי הצלעות שווים, הכוחות הפועלים על צלעות NP ו QM שווים בגודלם והפוכים בכיוונם, ולכן לא תורמים לכוח השקול.
כלומר, הכוח השקול הפועל על הכריכה שווה לכוח הפועל על צלע PQ.

כיווני הזרם והשדה מאונכים, לכן כוח זה על פי הנוסחה הוא: 

F = ILB

תשובה: הכוח השקול הפועל על הכריכה הוא F = ILB, וכיוונו הוא שמאלה.

תרגיל 5
חלקיק בעל מסה m ומטען חיובי q מואץ ממנוחה בהשפעת שדה חשמלי E שיוצר לוח אינסופי בעל צפיפות מטען σ. החלקיק נע בהשפעת השדה החשמלי בקטע שאורכו d, ולאחריו עובר דרך חריץ בלוח נייטרלי לתחום בו קיים שדה מגנטי B בלבד הניצב לכיוון השדה החשמלי.
מסלול החלקיק מתואר בשרטוט.
א. מהי מהירות החלקיק ברגע בו הוא עובר בחריץ?
ב. מהו כיוון השדה המגנטי B?
ג. בטאו בעזרת נתוני השאלה את המרחק מהחריץ בו יפגע החלקיק בלוח.


פתרון
סעיף א
החלקיק מואץ בהשפעת כוח חשמלי שמפעיל עליו השדה שיוצר הלוח. מכיוון שהשדה נוצר ע"י לוח אינסופי, השדה החשמלי E הוא אחיד ולכן הכוח הפועל על החלקיק בזמן ההאצאה גם הוא אחיד וגודלו הוא F=qE.

הכוח החשמלי פועל לאורך קטע d, ולכן העבודה שהוא מבצע היא:

W = F·d = qEd

החלקיק מאיץ ממנוחה, לכן העבודה שמפעיל הכוח החשמלי שווה לאנרגיה הקינטית של החלקיק כאשר הוא יוצא מהחריץ, כלומר:

W = Ek
qEd = 1/2mv²

נבודד את v:

v² = 2qEd / m
v = √(2qEd / m)

תשובה: מהירות החלקיק בזמן המעבר דרך החריץ היא  (v = √(2qEd / m.

סעיף ב
לאחר הכניסה לתחום השדה המגנטי, פועל עליו כוח מגנטי אשר מאונך לכיוון המהירות. החלקיק מבצע תנועה מעגלית, לכן כיוון הכוח המגנטי הוא רדיאלי, וכיוונו הוא למרכז המעגל. נוכל לקבוע את כיוון השדה המגנטי לפי כלל יד ימין:

לדוגמה, כאשר החלקיק נמצא ביציאה מהחריץ, כיוון המהירות היא ימינה וכיוון הכוח המגנטי הוא למטה (לכיוון מרכז המעגל). לכן, לפי כלל יד ימין, כיוון השדה המגנטי הוא החוצה (מכוונים את היד ימינה כך שהאגודל כלפי מטה, ומקבלים שכף היד מופנית החוצה).

סעיף ג
החלקיק מבצע תנועה מעגלית כאשר הכוח המגנטי הוא הכוח הרדיאלי, כלומר:

FB = FR

החלקיק פוגע בלוח לאחר שמבצע חצי סיבוב בדיוק, ולכן המרחק מהחריץ בו הוא פוגע בלוח שווה לקוטר המעגל, כלומר ל – 2r.
מציאת רדיוס התנועה המעגלית:
נעזר במשוואת הכוחות:
הכוח המגנטי הפועל על חלקיק הנע השדה מגנטי הוא:

FB = qvB

הכוח הרדיאלי בתנועה מעגלית מקיים:

FR = maR = mv² / r

לכן מתקיים:

FB = FR
qvB = mv² / r

נבודד את r:

qB = mv / r
r = mv / qB

נציב את הביטוי לv מסעיף א:

v = √(2qEd / m)
r = m√(2qEd / m) / qB
r = √(2Edm) / (B√q)
2r = 2√(2Edm) / (B√q)

תשובה: המרחק מהחריץ בו יפגע החלקיק בלוח הוא:  

2√(2Edm) / (B√q)

עוד באתר:

השראה אלקטרומגנטית

תרגיל 1
מסגרת מתכתית ריבועית בעלת אורך צלע a והתנגדות R נעה באזור שדה מגנטי אחיד B במהירות קבועה v.
א. האם עובר זרם במעגל בשלב זה?


בשלב מסויים מגיעה המסגרת לקצה אזור השדה המגנטי ומתחילה לצאת ממנו.
ב. מהו גודל הזרם העובר במסגרת בשלב זה? מהו כיוונו?

פתרון
 סעיף א
בשלב זה לא עובר זרם במעגל.
הסבר:
המסגרת נעה באזור שדה מגנטי קבוע ולכן אין שינוי בכמות קווי השדה המגנטי שעוברים במסגרת, כלומר השטף המגנטי דרך המסגרת קבוע. לפי חוק פרדיי נוצר כא"מ כתוצאה משינוי בשטף המגנטי, ולכן אם השטף המגנטי נשאר קבוע לא נוצר כא"מ על המסגרת ולכן לא יזרום זרם.

סעיף ב
כאשר המסגרת מתחילה לצאת מאזור השדה המגנטי, השטף דרכה הולך וקטן:

השטף המגנטי דרך המסגרת כאשר כולה באזור השדה הוא:

Φ = B·a²

כאשר המסגרת יוצאת מאזור השדה, השטף דרכה משתנה כתלות בזמן:
נסמן את רגע התחלת היציאה מהמסגרת כזמן t = 0, ואת נקודת קצה השדה כ x0 = 0.
החלק מהצלע העליונה הנמצא מחוץ לשדה שווה להעתק שעוברת המסגרת, והוא:

x = x0 + vt
x = vt

לכן החלק מאורך הצלע העליונה שנשארת באזור השדה היא:

a – vt

השטח בו עובר שטף מגנטי כפונקציה של הזמן הוא:

A(t) = a · (a – vt) = a² – avt

לכן השטף המגנטי כפונקציה של הזמן הוא:

Φ(t) = B·A
Φ(t) = B· (a² – avt)
Φ(t) = Ba² – Bavt

הנוסחה לכא"מ מושרה הנוצר במסגרת הוא:

ε = – dΦ / dt

(משמעות הסימון הוא נגזרת לפי הזמן)
נגזור את הביטוי לשטף שמצאנו ונציב בביטוי:

Φ(t) = Ba² – Bavt
Φ'(t) = -Bav
ε = Bav

לפי חוק אוהם:

V = IR

המתח על המסגרת הוא הכא"מ המושרה שנוצר כתוצאה מהשינוי בשטף כלומר:

V = ε = IR
Bav = IR
I = Bav / R

מציאת כיוון הזרם:
לפי חוק לנץ, הכא"מ המושרה יוצר זרם המתנגד לשינוי בשטף המגנטי. כיוון השדה העובר במסגרת הוא פנימה, והשטף שהוא יוצר קטן עם הזמן. לכן הזרם העובר במסגרת צריך ליצור גם הוא שדה שכיוונו פנימה. על פי כלל יד ימין, כיוון הזרם צריך להיות עם כיוון השעון.

תשובה: הזרם העובר במסגרת הוא I = Bav / R, עם כיוון השעון.

תרגיל 2
מוט מוליך בעל אורך a והתנגדות R מונח על מסילה מוליכה חסרת חיכוך והתנגדות. המערכת מוצבת באזור בו קיים שדה מגנטי אחיד B שכיוונו החוצה.
א. מזיזים את המוט ימינה במהירות קבועה v. מהו הזרם העובר במוט? מהו כיוונו?
ב. מהו הכוח שיש להפעיל כדי להניע את המוט במהירות זו?

פתרון
סעיף א
נסמן את השטח ההתחלתי של המסגרת ב- A0..נגדיר את נקודת תחילת התנועה ב t=0, x0 = 0.
הגידול באורך הצלע הארוכה של המסגרת גדל בהתאם להעתק של המוט. לכן שטח המסגרת כתלות בזמן הוא:

  A(t) = A0 + a·vt

השטף המגנטי העובר דרך המסגרת הוא:

Φ(t) = B·A(t)
Φ(t) = B(A0 + a·vt)
Φ(t) = BA0 + Bavt

הכא"מ המושרה שנוצר כתוצאה מהשינוי בשטף לפי חוק פרדיי הוא:

ε = – dΦ / dt

נגזור את ביטוי השטף לפי זמן:

dΦ / dt = Bav

נציב בנוסחאת חוק פרדיי:

ε = -Bav

הסימן השלילי נובע מחוק לנץ ומצביע על כך שהכא"מ שואף ליצור שדה המתנגד לשינוי בשטף, ולכן הזרם המושרה יצור שדה מגנטי שכיוונו פנימה.

מציאת הזרם לפי חוק אוהם:

V = IR
I = V / R
V =  ε = Bav
I = Bav / R

הזרם המושרה צריך ליצור שדה מגנטי שכיוונו פנימה, לכן הזרם במסגרת יהיה עם כיוון השעון, ובמוט עצמו יזרום מלמעלה למטה.


תשובה: הזרם דרך המוט הוא I = Bav / R בכיוון מלמעלה למטה.

סעיף ב

הכוח הפועל על תיל מוליך זרם בשדה מגנטי הוא:

FB = ILB
I = Bav / R
L = a

FB = Bav · a · B / R
FB = B²a²v / R

על פי כלל יד ימין כיוון הכוח הוא  שמאלה:

כדי שהמוט ימשיך לנוע במהירות קבועה, שקול הכוחות עליו צריך להיות 0. לכן הכוח שצריך להפעיל שווה לכוח המגנטי שפועל על המוט בגודלו, והפוך ממנו בכיוונו.

תשובה: הכוח שיש להפעיל על המוט הוא F = B²a²v / R בכיוון ימינה.

תרגיל 3
מוט מתכתי באורך a = 0.2 m ובעל התנגדות R = 0.1 Ω מוצב על שני מוליכים חסרי התנגדות באורך L = 2 m. המערכת מוצבת באזור בעל שדה מגנטי הגדל עם הזמן: B = bt, b = 1 T/s.
המוליכים מחוברים למקור מתח ישר V כך שהמוט אינו זז ממקומו.
א. חשבו את עוצמת מקור המתח V. ציינו באיזה אופן מחוברים קטביו לנקודות N ו P.
ב. ברגע מסויים מתייצב השדה המגנטי על ערך קבוע B = 5 T. מהו הכוח הפועל על המוט ברגע זה? האם כוח הפועל על המוט ישאר קבוע?

פתרון
סעיף א
כדי שמוט לא יזוז ממקומו, יש לדרוש שלא יעבור דרכו זרם.
(אם יעבור דרכו זרם, יפעל עליו כוח כתוצאה מהשדה המגנטי, ולכן הוא יאיץ).
"מקורות המתח" הפועלים על המוט הם מקור המתח הישר V, והכא"מ המושרה שנוצר עקב השינוי בשטף המגנטי דרך הבמסגרת. יש לדרוש הם "יבטלו" זה את זה, כלומר V = ε ב"כיוונים מנוגדים".

חישוב הכא"מ המושרה:

ε = – dΦ / dt

חישוב השטף המגנטי במסגרת לפי הזמן:

Φ = B·A
A = aL (שטח המסגרת) 
B = bt
Φ(t) = aLbt

נגזור את הביטוי לשטף לפי זמן:

dΦ / dt = aLb

לכן הכא"מ המושרה הוא:

ε = -aLb

הצבת נתונים:

a = 0.2 m
L = 2 m
b = 1 T/s
ε = -0.2·2·1
ε = -0.4 V

הכא"מ המושרה יוצר זרם שמתנגד לשינוי בשטף (זוהי משמעות הסימן השלילי של התוצאה). כיוון השדה המגנטי הוא פנימה וגדל עם הזמן, לכן הזרם במסגרת צריך ליצור שדה בכיוון החוצה. עפ"י כלל יד ימין, כיוון הזרם צריך להיות נגד כיוון השעון:

מקור המתח צריך להזרים זרם בכיוון הפוך לזרם המושרה, כלומר נגד כיוון השעון. כיוון הזרם במעגל הוא מהקוטב החיובי לקוטב השלילי, לכן הקוטב החיובי מחובר לנקודה N, והקוטב השלילי לנקודה P.

תשובה: גודל מקור המתח הוא V = 0.4 V, קוטבו החיובי מחובר לנקודה N והשלילי לנקודה P.

סעיף ב
כאשר השדה המגנטי מתייצב על ערך קבוע, גם השטף המגנטי דרך המסגרת לא משתנה, ולכן לא קיים כא"מ מושרה על המסגרת. המתח היחיד הקיים על המוט בשלב זה הוא ממקור המתח V.
נחשב את הזרם על המוליך ברגע זה לפי חוק אוהם:

V = IR
I = V / R
V = 0.4 V
R = 0.1 Ω
I = 0.4 / 0.1 = 4
I = 4 A

 

הכוח הפועל על תיל מוליך זרם בשדה מגנטי הוא:

F = ILB
I = 4 A
L = a = 0.2 m
B = 5 T
F = 4 · 0.2 · 5 
F = 4 N

כיוון הכוח על פי כלל יד ימין הוא ימינה.

תשובה: הכוח הפועל על המוט באותו הרגע הוא F = 4 N בכיוון ימינה.
כוח זה לא ישאר קבוע.
הסבר: הכוח שחישבנו יגרום לתנועה של המוט בכיוון ימינה. כתוצאה מכך, יהיה שוב שינוי בשטף המגנטי שיוצר השדה הקבוע – גודל השדה נשאר קבוע אבל השטח גדל. כתוצאה מכך יווצר זרם מושרה שיתנגד לשינוי בשטף, כלומר זרם היוצר שדה מגנטי שכיוונו החוצה.
זרם זה הפוך בכיוונו לזרם שחישבנו, כלומר הזרם הכולל על המוט יקטן, וכך גם הכוח שפועל עליו.

 

תרגיל 4
יוצרים חישוק מתיל מוליך כך שניתן לשנות את גודלו.
מניחים חישוק ברדיוס התחלתי r0 באזור שדה מגנטי אחיד B, ומרחיבים אותו כך שרדיוס המעגל גדל בקצב קבוע       x > 0. כלומר, הביטוי לרדיוס המעגל כפונקציה של הזמן הוא:

r(t) = r0 +xt 

א. מצאו ביטוי לשטף המגנטי דרך החישוק כפונקציה של הזמן.
ב. מצאו ביטוי לכא"מ המושרה על החישוק. האם הכא"מ קבוע בזמן?
ג. מהו כיוון הזרם המושרה בחישוק?

פתרון
סעיף א
השטף המגנטי הוא "כמות" השדה שחוצה את המסגרת.
הנוסחה לשטף של שדה קבוע B דרך שטח A היא:

Φ = B·A

השדה המגנטי בשאלה קבוע, והשטח משתנה כפונקציה של הזמן.
מציאת ביטוי לשטח:
שטח מעגל הוא:

A = πr²

נציב את הביטוי לרדיוס המעגל כפונקציה של הזמן:

r = r0 +xt
A = π( r0 +xt )²

לכן השטף המגנטי דרך החישוק כפונקציה של הזמן הוא:

Φ = B·A
A = π( r0 +xt )²
Φ = Bπ( r0 +xt )²

תשובה: השטף המגנטי דרך חישוק המעגל הוא Φ = Bπ( r0 +xt )².

סעיף ב
לפי חוק פארדיי, הכא"מ שנוצר כתוצאה מהשטף המגנטי הוא:

ε = – dΦ / dt

נגזור את הביטוי לשטף שקיבלנו לפי זמן, ונציב בביטוי:

Φ(t) = Bπ( r0 +xt )²
Φ'(t) = 2 · Bπ( r0 +xt ) · x
Φ'(t) = 2xBπr0 + 2Bπx²t

ε = – (2xBπr0 + 2Bπx²t)

הערך השלילי נובע מכך שהכא"מ המושרה שואף להקטין את השינוי בשטף המגנטי.

תשובה: הכא"מ המושרה על החישוק הוא: ε =  2xBπr0 + 2Bπx²t
התקבל ביטוי שתלוי בזמן, לכן הכא"מ המושרה אינו קבוע. כמו כן, ניתן לראות שהכא"מ הולך וגדל עם הזמן.

סעיף ג

לפי חוק לנץ, הזרם המושרה שואף להקטין את השינוי בשטף המגנטי. דרך החישוק הנתון עובר זרם שכיוונו פנימה, ושטח החישוק גדל עם הזמן. לכן הזרם ישאף ליצור שדה מגנטי שכיוונו החוצה. עפ"י כלל יד ימין, כיוון הזרם הוא נגד כיוון השעון.

עוד באתר:

פירוק לגורמים לפי קבוצות

בדף זה מספר תרגילים בנושא פירוק לגרומים לפי קבוצות.

שני התרגילים הראשונים כוללים גם פתרונות וידאו המסבירים בצורה מפורטת את הנושא.
תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים שלרוב עונים על החומר הנדרש בבית ספר.
תרגילים 4-7 הם תרגילים קשים יותר.

תרגילים

תרגיל 1
x (x +2) + 5(x + 2) = 0

פתרון
x + 2  הוא גורם משותף לשני האיברים.
x (x +2) + 5(x + 2) = (x + 5) (x + 2) = 0

תרגיל 2
2x (3 – 4x) – 4 (3 – 4x) = 0

פתרון
2x (3 – 4x) – 4 (3 – 4x) = (3 – 4x) (2x – 4) = 0

תרגיל 3
(y (3x – 1) – x(3x – 1

פתרון
(y (3x – 1) – x(3x – 1) = (3x – 1) (y -x

תרגיל 4
2x² – 8x + 3x³ – 12x²

פתרון
עבור שני האיברים הראשונים המכנה המשותף הוא 2x
עבור שני האיברים האחרונים המכנה המשותף הוא 3x²
(2x (x – 4) + 3x² (x -4
(2x + 3x²)  (x – 4)

תרגיל 5
4x³ +x² + 8x + 2

פתרון
הגורם המשותף של שני האיברים הראשונים הוא x²
הגורם המשותף של שני האיברים האחרונים הוא 2.
4x³ + x² + 8x + 2
(x² (4x +1) + 2(4x + 1
(4x + 1) (x² + 2)

תרגיל 6
4x² + 6x  + 2x  + 3

פתרון
בין שני האיברים הראשונים המכנה המשותף הוא 2x.
לשני האיברים האחרונים אין מכנה משותף.
4x² + 6x  + 2x  + 3
2x (2x + 3) + 2x + 3
אנו שמים לב ששני האיברים האחרונים שווים למה שיש בתוך הסוגריים.
לכן נכתוב את שני האיברים האחרונים כמכפלה ב- 1.
(2x (2x + 3) +1 *(2x + 3
(2x + 3) (2x + 1)

תרגיל 7
4x³ – 2x + 1 – x²

פתרון
המכנה המשותף של שני האיברים הראשונים הוא 2x.
לשני האיברים האחרונים אין מכנה משותף.
2x (x² -1) + 1 – x²
נשים לב כי שני האיברים האחרונים שווים לביטוי שיש בסוגריים, רק עם סימן הפוך.
לכן נוציא 1- מחוץ לסוגריים.
(2x (x² – 1) -1 (x² -1
(2x – 1) (x² – 1)

עוד באתר:

שדות חשמליים

תרגיל 1
א. בתרשים הבא מתוארים קווי השדה החשמלי שיוצרים מטענים q1 ו q2. קבעו מהו סימן כל אחד מהמטענים.

ב. בתרשים הבא מתוארים לוח אינסופי בעל צפיפות מטען σ- ומטעם נקודתי חיובי q. ציירו את קווי השדה במערכת.

פתרון
סעיף א
כיוון קווי השדה מייצגים את כיוון הכוח שיפעל על מטען חיובי בהשפעת השדה. מטענים חיוביים נדחים ע"י מטענים חיוביים, ונמשכים ע"י מטענים שליליים. לכן, קווי השדה יוצאים ממטענים חיוביים ונכנסים למטענים שליליים.
לכן ניתן להבין מהשרטוט ש – q1 הוא מטען חיובי, ו q2 הוא מטען שלילי.

סעיף ב

הסבר:
בדומה לסעיף א, קווי השדה יוצאים ממטענים חיוביים ונכנסים למטענים שליליים.
ניתן לראות שקווי השדה יוצאים מהמטען הנקודתי ונכנסים למשטח בצורה מאונכת.

תרגיל 2
חלקיק נקודתי בעל מטען חיובי q1 = 4 μC מקובע בריק.
א. חשבו את השדה שיוצר החלקיק בנקודה במרחק 2 מטר ממנו.


ב. מהו הכוח שמרגיש מטען q2 = -1 μC בנקודה זו?

פתרון
סעיף א
הנוסחה לשדה חשמלי שיוצר מטען נקודתי בעל מטען q במרחק r ממנו היא:
E = kq / r²
הצבת נתונים:
q = q= 4·10-6 C
r = 2m
k = 9·109
E =  9·109 · 4·10-6 / 22
E = 9·103 N/C

כיוון השדה נקבע לפי כיוון הכוח שירגיש מטען חיובי כתוצאה ממנו. המטען qחיובי, לכן מטען חיובי ירגיש כוח דחייה ממנו. לכן כיוון השדה הוא בכיוון "החוצה מהמטען" (ימינה בשרטוט).

תשובה: החלקיק יוצר שדה בגודל E = 9·103 N/C בכיוון החוצה ממנו.

סעיף ב
גודל הכוח שמרגיש מטען כתוצאה משדה חשמלי הוא:
F = Eq
נתון:
E = 9·103 N/C
q = q2 = -1·10-6 C
(F = 9·10· (-1·10-6
F = -9·103 N
כיוון הכוח שמרגישים מטענים שליליים הוא הפוך לכיוון השדה, וזה מתבטא בכך שהכוח שהתקבל הוא שלילי.
תוצאה זו הגיונית: המטען שיוצר את השדה חיובי, ולכן הוא מפעיל כוח משיכה על המטען שלילי (כוח שמאלה בשרטוט).

תשובה: הכוח שמרגיש המטען  qהוא F = -9·103 N לכיוון המטען q1.

תרגיל 3
שלושה מטענים נקודתיים חיוביים יוצרים משולש ישר זווית ושווה שוקיים, כפי שמתואר בשרטוט.
א. חשבו את השדה החשמלי בנקודה A (מרכז היתר).
ב. חשבו את השדה החשמלי בנקודה B.


ג. מניחים בנקודה A מטען נוסף q4 כך שהשדה החשמלי בנקודה B מתאפס. חשבו מהו המטען q4.

פתרון
סעיף א
שלושת המטענים הנתונים הם חיוביים ולכן מפעילים כוחות דחייה על מטענים חיוביים. כלומר, כל אחד מהמטענים הנתונים יוצר שדה בכיוון החוצה ממנו. השדה החשמלי בנקודה A הוא הסכום של שלושת השדות שיוצרים המטענים (סופרפוזיציה של שדות):
 EA E1 E2 E(חיבור וקטורי)

q1 ו q2 הם בעלי מטען זהה ומרחקיהם מנקודה A שווים. שניהם יוצרים בנקודה A שדות באותה עוצמה ובכיוונים הפוכים, לכן התרומה שלהם ביחד לשדה הכולל היא E1 + E2 = 0.
לכן EAE3.

חישוב E3:
השדה שיוצר מטען נקודתי q במרחק r ממנו הוא:
E = kq / r²
הנקודה A נמצאת על נקודת חיתוך אלכסונים של ריבוע.
אורך אלכסון של ריבוע בעל צלע a הוא 2a√, לכן המרחק של q3 מהנקודה הוא:
r = a / √2
q2 = 2q (נתון)
E3 = k·2q / (a / √2)²
E3 = 4kq / a²

תשובה: השדה החשמלי בנקודה A הוא: EA = 4kq / a² בכיוון החוצה ממטען q3.

סעיף ב
נסכום את השדות שיוצרים המטענים באותו אופן כמו בסעיף א:

יש לבצע סכימת וקטורים. נחלק את E1 ו E2 לרכיבים:

q1 ו q2 הם בעלי מטען זהה ומרחקיהם מנקודה B שווים, לכן שניהם יוצרים בנקודה B שדות באותה עוצמה. שדות E1 ו E2 יוצרים זווית 45º עם ציר x בכיוונים הפוכים. לכן רכיבי ה-x שלהם שווים בגודלם והפוכים בכיוונם, ומבטלים זה את זה.
סה"כ, נקבל:
E= E3 + E1y + E2y

חישוב E3:
השדה שיוצר מטען נקודתי q במרחק r ממנו הוא:
E = kq / r²
מרחק המטען q3 מהנקודה B היא אורך אלכסון הריבוע, שהוא 2a√. לכן:
r = √2a
q2 = 2q (נתון)
E3 = k·2q / (√2a)²
E3 = kq / a²

חישוב E1y:
E1y = E1 sin45
חישוב E1 לפי נוסחה לשדה שיוצר מטען נקודתי:
q1 = q
r = a
E1 = kq / a²
E1y = kq sin45 / a²
E1y = kq / √2a²

באותו אופן נקבל ש
E2y = E2 sin45.
ראינו ש –  E1 = E2, לכן גם רכיבי ה-y שלהם שווים.

חישוב E2:
ראינו שמתקיים:
E= E3 + E1y + E2y
E1y = E2y
לכן:
E=  E3 + 2E1y
הצבת הביטויים שמצאנו:
E= kq / a² + 2 · kq / √2a²
E= (1 + √2)kq / a²

תשובה: גודל השדה בנקודה B הוא E= (1 + √2)kq / a², וכיוונו הוא על ציר y המצוייר (החוצה ממטען q3)

סעיף ג
כדי לאפס את השדה בנקודה B, מטען q4 צריך ליצור בנקודה זו שדה השווה בגודלו לשדה הקיים, ובכיוון הפוך.
שדה בכיוון כזה יהיה לכיוון המטען q4, לכן המטען צריך להיות שלילי.
חישוב גודל המטען q4:
ביטוי לשדה שיוצר q4 בנקודה B:
r = a/√2
q = q= ?
E4 = kq4 / (a/√2)²
E4 = 2kq4 / a²
נתון שגודל השדה המבוקש הוא גודל השדה מסעיף ב :
E= (1 + √2)kq / a²
צריך להתקיים E4 = EB, כלומר:
2kq4 / a² =  (1 + √2)kq / a²

מצמצמים (k / a²)
2q4 = (1 + √2)q
q4 = (1 + √2)q / 2

תשובה: המטען q4 כך שהשדה בנקודה B מתאפס הוא: q4 = – (1 + √2)q / 2.

תרגיל 4
כדור בעל מסה m ומטען q מרחף מעל לוח אינסופי טעון. הביעו בעזרת נתוני השאלה את צפיפות המטען σ של הלוח.

פתרון
שרטוט כוחות:
הכוחות הפועלים על הכדור הם הכבידה והכוח החשמלי.
הכבידה פועלת כלפי מטה "ומתאזנת" ע"י הכוח החשמלי, שחייב לכן לפעול כלפי מעלה.

הכדור נמצא במנוחה, לכן שקול הכוחות הפועלים הוא 0, ומתקיים:
mg = F(משוואה 1)

הכוח החשמלי שפועל מהכדור הוא תוצאה של השדה החשמלי האחיד שיוצר המשטח, והוא:
Fe = Eq.
גודל השדה החשמלי שיוצא המשטח:
E = 2πkσ
הערה: לא ניתן לקבוע את כיוון השדה. ידוע לנו שהכוח החשמלי שפועל הוא כוח דחייה ולכן מטעני הכדור והמטען בעלי סימן זהה, אך לא ידוע אם חיובי או שלילי.

מציבים את הביטוי לשדה החשמלי בביטוי לכוח החשמלי:
Fe = 2πkσq (משוואה 2)

מציאת צפיפות המטען:
משווים את משוואות 1 ו 2 (בשנים קיים ביטוי לגודל הכוח החשמלי Fe):
mg = 2πkσq
σ = mg / 2πkq

תשובה: צפיפות המטען של הלוח היא: σ = mg / 2πkq.

עוד באתר:

פוטנציאל חשמלי

תרגיל 1
בתרגיל הבא הניחו הפוטנציאל באינסוף הוא 0.
א. חשבו את הפוטנציאל שיוצר מטען נקודתי q = 5 μC במרחק 1 מטר ממנו.
ב. מניחים n מטענים זהים q לאורך מעגל ברדיוס r. הביעו את הפוטנציאל החשמלי במרכז המעגל.

פתרון
סעיף א

הנוסחה לפוטנציל סביב מטעם נקודתי כאשר הפוטנציאל באינסוף הוא 0 היא:
V = kq / r
נתון:
k = 9·109
q = 5·10-6 C
r = 1 m
V = 9·10· 5·10-6 / 1
V = 45000 V

תשובה: הפוטנציאל שיוצר המטען הוא: 45000 וולט.

סעיף ב

הפוטנציאל במרכז המעגל הוא סכום הפוטנציאלים שיוצר כל אחד מהמטענים במרחק r ממנו.
פוטנציאל סביב מטען נקודתי q במרחק r:
V = kq / r
במעגל נתונים n מטענים, לכן הפוטנציאל במרכזו הוא:
Vcenter = nkq / r

תשובה: הפוטנציאל שיוצרים המטענים במרכז המעגל הוא: Vcenter = nkq / r.

תרגיל 2
במערכת נתונה מקובעים במקומם שני חלקיקים נקודתיים בעלי מטען חיובי q במרחק r זה מזה.
א. בטאו את האנרגיה האגורה במערכת.
ב. מביאים חלקיק נוסף לנקודה O, כך שהאנרגיה האגורה במערכת מתאפסת. חשבו מהו המטען qo של החלקיק הנוסף.
ג. מהו הכוח השקול הפועל על כל אחד מהחלקיקים לאחר הבאת החלקיק הנוסף?

 

פתרון
סעיף א
האנרגיה האגורה במערכת היא סה"כ העבודה שהייתה דרושה להבאת החלקיקים.
נניח שהפוטנציאל הוא 0 באינסוף.
בהבאת החלקיק הראשון (נניח החלקיק בנקודה A) לא הושקעה עבודה כלל מפני שלא פעל שום כוח שהתנגד להבאתו (לא היו מטענים נוספים). בהבאת החלקיק השני כבר כן היה צריך לבצע עבודה מפני שהחלקיק הראשון הפעיל כוח שהתנגד להבאתו.
האנרגיה שהייתה דרושה להבאת החלקיק השני היא:
UE = qV
(כאשר q הוא מטען החלקיק וV הוא הפוטנציאל בו הוא נמצא, במקרה שלנו בנקודה B).
חישוב הפוטנציאל בנקודה B:
הנחנו שהפוטנציאל באינסוף הוא 0. הפוטנציאל בנקודה B נוצר השפעת החלקיק הראשון.
חישוב לפי פוטנציאל סביב מטען נקודתי:
V = kqA / rAB
qA = q (מטען החלקיק בנקודה A)
rAB = r (המרחק מהחלקיק בנקודה A)
V = kq / r

האנרגיה הדרושה להבאת החלקיק השני:
UE = qV
UE = kq² / r

תשובה" האנרגיה האגורה במערכת היא: UE = kq² / r.

סעיף ב
כדי לאפס את האנרגיה במערכת, צריך לדרוש שהאנרגיה הדרושה להבאת החלקיק הנוסף תהייה U (מסעיף א)
הפוטנציאל באינסוף הוא 0, לכן האנרגיה הדרושה להבאת החלקיק היא:
UE = qV

חישוב הפוטנציאל בנקודה O:
הפוטנציאל בנקודה הוא בהשפעת שני החלקיקים הנקודתיים בנקודות A ו B.
פוטנציאל שיוצר מטען נקודתי:
V = kq / r
נתון:
מטען החלקיקים הנתונים – q
מרחק מהנקודה O (עבור שני החלקיקים) – r/2
סה"כ הפוטנציאל בנקודה O:
(VO = 2 · kq / (r/2
VO = 4kq / r

מחפשים qO כך ש:
U = qoVo = -kq / r².
(האנרגיה להבאת המטען הנוסף היא אנרגיה השווה לאנרגיה האגורה מסעיף א' בסימן הפוך)

הצבת Vומציאת qo:
4kqqo / r = -kq² / r
qo = -q/4

תשובה: המטען של החלקיק הנוסף הוא: qo = -q/4

סעיף ג
שרטוט הכוחות הפועלים על החלקיקים:

חלקיק O:
על החלקיק O פועלים כוחות דחייה שמפעילים חלקיקים A ו B (המטענים הפוכים בסימניהם).
חלקיקים A ו B שווים בגודלם (q) ומרחקם מנקודה O שווה (r/2). לכן הם מפעילים כוחות שווים בכיוונים מנוגדים, ושקול הכוחות על החלקיק הוא 0.

חלקיק A:
חישוב FO:
חוק קולון: F = kq1q2 / r²
נתון:
q1 = q
q2 = -q/4
r = r/2
FO = kq·(-q/4) / (r/2)² = -kq² / r²
חישוב FB:
נתון:
q1 = q
q2 = q
r = r
FB = kq² / r²

Fו FB שווים בגודלם והפוכים ביכוונם, לכן שקול הכוחות על החלקיק A הוא 0.

הכוחות הפועלים על החלקיק B שהים לכוחות על חלקיק A בכיוונים הפוכים, לכן גם שקול הכוחות עליו הוא 0.

תשובה: הכוחות השקולים על כל אחד מהחלקיקים במערכת לאחר הבאת החלקיק הנוסף הם כולם 0 ניוטון.

תרגיל 3
מטען נקודתי שלילי q נמצא בנקודה A מול משטח אינסופי בעל צפיפות מטען חיובית σ. הביעו בעזרת נתוני השאלה והשרטוט את גודל העבודה הדרושה להעברתו לנקודה B. קבעו האם העבודה חיובית או שלילית.

פתרון
העבודה הדרושה להעברת המטען היא הפרש האנרגיה של המטען בין שתי הנקודות:
W = UB – UA
האנרגיה של מטען נתונה לפי הפוטנציל בו הוא נמצא:
U = qV
נציב את הנוסחה לאנרגיה בביטוי לעבודה:
(W = qVB – qV= q(VB – VA
W = qΔV

הפרש הפוטנציאלים בין שתי נקודת במרחק d על שדה קבוע הוא:
ΔV = dE
נציב בחזרה לביטוי לעבודה:
W = qdE

חישוב השדה החשמלי:
השדה החשמלי נוצר כתוצאה מהמשטח האינסופי.
השדה החשמלי שיוצר משטח אינסופי הוא קבוע והוא:
E = 2πkσ

נציב בחזרה בביטוי לעבודה:
W = 2πkqdσ

המטען הנקודתי והמשטח בעלי סימן הפוך, לכן המטען נמשך למשטח. כלומר. כדי להרחקי את המטען מהמשטח צריך להפעיל כוח המתנגד לכוח החשמלי שמפעיל המשטח על המטען, ולכן העבודה היא חיובית.

תשובה: גודל העבודה הדרושה להעברת המטען היא W = 2πkqdσ. העבודה הדרושה היא חיובית.

תרגיל 4
מטען נקודתי חיובי מונח בראשית מערכת צירים.
א. שרטטו את קווי השדה החשמלי במערכת הנתונה.
ב. שרטטו קווים שווי פוטנציאל במערכת.
ג. נתון שגודל השדה החשמלי בנקודה A ששיעוריה במטרים הן (3-,4) הוא: E = 20 N/C. חשבו את הפוטנציאל החשמלי בנקודה זו, כאשר נתון שהפוטנציאל באינסוף הוא 0.

 

פתרון
סעיפים א וב
 כיוון השדה החשמלי בנקודה מסוימת הוא הכיוון בו יפעל כוח על מטען חיובי המונח בנקודה. השדה במערכת נוצר ע"י מטען נקודתי חיובי, אשר יפעיל על מטענים חיוביים כוחות דחייה שכיוונם רדיאלי, "החוצה" ממנו. לכן קווי השדה החשמלי במערכת מתחילים במטען ויוצאים החוצה ממנו.

 

הפוטנציאל החשמלי מסביב למטען נקודתי הוא: V = kq / r.
ניתן לראות שהפוטנציאל תלוי במרחק מהמטען, וקבוע כאשר המרחק מהמטען קבוע. אוסף הנקודות שמרחקן מהראשית קבוע יוצרות מעגל מסביב לראשית, לכן קווים שווי פוטנציאל במערכת הם מעגלים מסביב לראשית.

 

סעיף ג
חיוב מרחק הנקודה A מהמטען:
לפי הנוסחה לחישוב מרחק בין נקודות:
(A: (4,-3
(O: (0 , 0
r = √((4-0)² + (-3-0)²) = 5

השדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי q במרחק r הוא:
E = kq / r²

הפוטנציאל החשמלי במרחק r מסביב למטען נקודתי q הוא:
V = kq / r

נציב את הביטוי לפוטנציאל בביטוי לשדה חשמלי ונקבל:
E = V / r
V = E · r

הצבת נתונים:
E = 20 N/C
r = 5 m

V = 20 · 5 = 100 V

תשובה: הפוטנציאל החשמלי בנקודה A הוא 100 וולט.

עוד באתר:

חיבור נגדים בטור ובמקביל

חיבור נגדים בטור
נגדים אשר מחוברים כך שאין אף צומת ביניהן, כלומר כל הזרם שעובר באחד מהם, עובר גם בשני.

  • הזרם העובר דרך כל הנגדים בטור שווה.
  • ההתנגדות השקולה היא:

חיבור נגדים במקביל
נגדים אשר מחוברים כך ששתי הרגליים של האחד מחוברות ישירות לשתי הרגליים של השני.

 

  • המתח הנופל על כל אחד מהנגדים שווה.
  • ההתנגדות השקולה היא:

תרגיל 1
התבוננו בשלושת המעגלים הבאים, וקבעו אילו סוגים של חיבור נגדים קימיים בכל אחד מהם.

א.

ב.

 

פתרון
סעיף א
נגדים R1 ו R2 מחוברים ישירות ללא צומת ביניהם, ולכן מחוברים בטור. ניתן להחליף אותם בנגד שקול:Ω

R12 = R1 + R2

כעת שלוש הנגדים R12 , R3 , R4 מחוברים כך ששתי הרגליים של כל אחד מהם מחוברות ישירות ביניהן, ולכן שלושתם מחוברים במקביל:

1/RT = 1/R12 + 1/R3 + 1/R4

סעיף ב
נגדים R1, R2, R3 מחוברים ישירות ללא צמתים ביניהם, לכן מחוברים בטור. ניתן להחליף אותם בנגד שקול:

R123 = R1 + R2 + R3

כעת שני הנגדים R123, R4 מחוברים כך ששתי הרגליים של כל אחת מהן מחוברות ישירות, כלומר במקביל:

1/RT = 1/R123 + 1/R4

 

תרגיל 2
חשבו על פי הנתונים בשרטוט את ההתנגדות השקולה של המעגל הבא:

פתרון
מעגלים שמצויירים בצורה מבלבלת, ניתן לסדר באופן ברור יותר, בתנאי שלא משנים את הצמתים. למשל, המעגל הבא זהה למעגל הנתון:

נגדים R2 ו R3 מחוברים בטור. נחליף אותם בנגד השקול:

R23 = R2 + R3
R23 = 1 + 1 = 2
R23 = 2 Ω

נגדים R23 ו R5 מחוברים במקביל. נחליף אותם בנגד שקול:

1/R235 = 1/R23 + 1/R5
1/R235 = 1/2 + 1/2 = 1
1/R235 = 1 Ω

נגדים R1 ו R235 מחוברים בטור. נחליף אותם בנגד שקול:

R1235 = R1 + R235
R1235 = 1 + 1 = 2
R1235 =  2 Ω

שני הנגדים הנותרים מחוברים במקביל. לכן, ההתנגדות השקולה של המעגל היא:

1/RT = 1/R4 + 1/R1235
1/RT = 1/2 + 1/2 = 1
RT = 1 Ω

תשובה: ההתנגדות השקולה במעגל היא 1 אוהם

תרגיל 3
נתון שהזרם הכללי במעגל הבא הוא 2 אמפר. חשבו את מתח הסוללה.

פתרון
נמצא את המתח לפי חוק אוהם:
V = IRT

מציאת ההתנגדות השקולה במעגל:
הנגדים 1Ω ו 2Ω מחוברים אחד לשני במקביל, ושניהם ביחד בטור לנגד 4Ω.

ההתנגדות השקולה של הנגדים שמחוברים במקביל:

1/R = 1/R1 +  1/R2
R1 = 1 Ω
R2 = 2 Ω
1/R = 1/1 + 1/2 = 3/2
R = 2/3 Ω

חשוב ההתנגדות השקולה של החיבור בטור:

RT = R1 + R2
R1 = 2/3 Ω ( התנגדות שקולה של הנגדים המקבילים )
R2 = 4 Ω
R= 2/3 + 4 = 14/3 Ω

חישוב המתח:
לפי חוק אוהם:

V = IRT
I = 2 A
R = 14/3 Ω
V = 2 · 14/3 = 28/3 V

תשובה: מתח הסוללה הוא 9.33 וולט.

תרגיל 4
חשבו את הזרם השקול במעגל הבא:

פתרון
נחשב את הזרם הכולל לפי חוק אוהם:

V = IR
I = V / R

כאשר R הוא ההתנגדות השקולה במעגל (RT)

חישוב ההתנגדות השקולה:
בלולאה הימנית שלוש הנגדים 1Ω מחוברים בטור (אין ביניהם אף צומת). נחליפם בנגד שקול.
נגדים המחוברים בטור מקיימים:

לכן:

R = 1 + 1 + 1
R = 3 Ω

במעגל שהתקבל כל שלוש הנגדים מחוברים אחד לשני ישירות בשתי הרגליים, ולכן הם מחוברים במקביל.
ההתנגדות השקולה של נגדים המחוברים במקביל היא:

לכן ההתנגדות השקולה במעגל היא:

1/RT = 1/3 + 1/3 + 1/3
1/RT = 1
RT = 1 Ω

חישוב הזרם הכללי:
לפי חוק אוהם:

I = V / RT
V = 5 V
RT = 1 Ω
I = 5 / 1
I = 5 A

תשובה: הזרם הכללי במעגל הוא 5 אמפר.

עוד באתר:

מעגלים חשמליים

תרגיל 1
מחברים למקור מתח 5V ומוליכים אידאליים נגד עופרת גלילי.
נתון:
L = 10 cm (אורך הנגד)
r = 0.5 mm (רדיוס הגליל)
ρ = 4.8·10-6 Ω·m (התנגדות סגולית של עופרת)

א. חשבו מהו הזרם במעגל.
ב. לאחר זמן מה הנגד מתחמם ומגיע לטמפרטורה בו ההתנגדות הסגולית של עופרת גדלה פי 2. מהו השינוי בהספק הנגד ברגע זה ביחס להספק המעגל המקורי?

פתרון
סעיף א
לפי חוק אוהם, הזרם במעגל הוא I = V/R, כאשר R הוא התנגדות הנגד.

חישוב התנגדות הנגד:
הנוסחה לחישוב התנגדות נגד בעל התנגדות סגולית ρ , אורך L ושטח חתך A היא:

R = ρ · L/A

נתון:

ρ = 4.8·10-6 Ω·m
L = 0.1 m
A = πr² (שטח החתך הנגד הוא שטח עיגול)
r = 0.5·10-3 m

R = 4.8·10-6 · 0.1 / (π · (0.5·10-3)²)
R = 0.611 Ω

התנגדות הנגד היא 0.611 אוהם.
חישב הזרם במעגל:

I = V / R
V = 5 V
R = 0.611 Ω
I = 8.181 A

תשובה: הזרם במעגל הוא 8.181 אמפר.

סעיף ב
התנגדות המעגל שווה להתנגדות הנגד, שהיא:

R = ρ · L/A

קיים יחס ישר בין ההתנגדות הסגולית של הנגד להתנגדות הכללית שלו, לכן אם ההתנגדות הסגולית גדלה פי 2, גם ההתנגדות הכללית גדלה פי 2. כלומר, ההתנגדות במעגל בשלב זה היא פי 2 מההתנגדות המקורית.

 הנוסחה להספק של נגד היא:

P = V·I

כאשר V הוא המתח על הנגד ו I הוא הזרם שעובר דרכו. ניתן להציב בנוסחה את הנוסחה לזרם מחוק אוהם:

I = V/R

מקבלים:

P = V² / R

מכאן ניתן לראות שקיים יחס הפוך בין התנגדות הנגד להספק שלו.
התנגדות הנגד גדלה פי 2, המתח לא השתנה ולכן הספק הנגד קטן פי 2.

תשובה: ההספק הנגד לאחר ההתחממות קטן פי 2 ביחס להספק המקורי שלו.

תרגיל 2
במעגל הבא נתונים שני נגדים בעלי התנגדויות 15Ω ו 30Ω, ומקור מתח ε = 24V בעל התנגדות פנימית 2Ω.

א. מהו המתח בין הנקודות A ו B ?
ב. חשבו מהו הזרם העובר בכל אחד מהנגדים.

פתרון
סעיף א
המתח בין נקודות A ו B הוא הכא"מ של מקור המתח פחות המתח שנופל על ההתנגדות הפנימית של המקור (זהו למעשה מתח ההדקים של המעגל)

ניתן להתייחס להתנגדות הפנימית של מקור המתח כאל נגד הצמוד אליו, ולנתח את המעגל באופן זה:

דרך הפתרון:

  • מציאת ההתנגדות השקולה של המעגל.
  • מציאת הזרם הכללי
  • חישוב המתח שנופל על ההתנגדות הפניימת של המקור / חישוב מתח ההדקים

מציאת ההתנגדות השקולה:
שני הנגדים 15Ω ו 30Ω מחוברים במקביל.
חישוב ההתנגדות השקולה שלהם:

1/R = 1/30 + 1/15
1/R = 3/30 = 1/10
R = 10Ω

"הנגד השקול" מחובר בטור לנגד שמייצג את ההתנגדות הפנימית של המקור.
חישוב ההתנגדות השקולה של המעגל:

RT = R + r
R = 10Ω
r = 2Ω
RT = 10 + 2
RT = 12Ω

ההתנגדות השקולה במעגל היא 12 אוהם.

מציאת הזרם הכללי:
עפ"י חוק אוהם:

V = IR
I = V / R
V  = ε = 24 V
R = RT = 12Ω
I = 24 / 12
I = 2 A

הזרם הכללי הזורם במעגל הוא 2 אמפר.

חישוב מתח ההדקים:
הנוסחה למתח הדקים היא V = ε – rI (כלומר המתח של המקור פחות המתח שנופל על ההתנגדות הפנימית שלו).
נתון:

ε = 24 V
r = 2Ω
I = 2 A
V = 24 – 2 · 2
V = 20 V

תשובה" המתח בין נקודות A ו B (מתח ההדקים) הוא 20 וולט.

סעיף ב
המתח בין הנקודות A ו B הוא 20 וולט. שני הנגדים מחוברים במקביל, לכן זהו גם המתח אשר נופל על כל אחד מהם.
ניתן לחשב את הזרם שעובר בנגד על פי המתח שנופל עליו לפי חוק אוהם: I = V/R
נגד 15Ω:

I = V/R
I = 20 / 15
I = 4 / 3 A

נגד 30Ω:

I = V/R
I = 20 / 30
I = 2 / 3 A

תשובה: הזרם שעובר דרך נגד 15Ω הוא 4/3 אמפר, והזרם שעובר דרך נגד 30Ω הוא 2/3 אמפר.

הערה: שימו לב לכך שסכום הזרמים דרך הנגדים שווה לזרם הכללי שמצאנו בסעיף א, כפי שחייב להתקיים עפ"י חוק קירכהוף. כמו כן הזרם "מתחלק" ביחס הפוך ליחס ההתנגדויות של הנגדים.

תרגיל 3
במעגל המתואר בשרטוט נתונות שתי נורות להט זהות המכילות את הסימון 24V 40W ומקור מתח אידיאלי 24V.
א. כתבו אילו נורות יפעלו הכל אחד מהמצבים של המפסק S1.
ב. מה מייצג הסימון על הנורות?
ג. חשבו מהו ההספק הכולל של הנורות בכל אחד ממצבי המפסק. באיזה מצב תתקבל עוצמת הארה גדולה יותר?

פתרון
סעיף א
כאשר המפסק S1 פתוח, ניתן להתעלם ממנו ושתי הנורות יפעלו. כאשר המפסק סגור, נקבל שהנורה L2 מחוברת במקביל למוליך בעל התנגדות אפסית, ולכן לא יעבור זרם, ורק נורה L1 תפעל.

סעיף ב
הסימון מייצג את נתוני העבודה המטיביים של הנורה:
הסימון 24V מסמל שהנורה מתוכננת לעבוד תחת מתח של 24 וולט, הסימון 40W מסמל שהספק הנורה תחת מתח זה הוא 40 וואט.

סעיף ג

כאשר מפסק S1 סגור:
במצב זה, רק נורה L1 פועלת. היא מחוברת למקור מתח בעל 24V, ולכן ההספק שלה עפ"י הנתונים הוא 40W, וזהו גם ההספק הכללי של המעגל.

כאשר מפסק S1 פתוח:
במצב זה נקבל ששתי הנורות מחוברות בטור, ויש לחשב את ההספק המתקבל.
הוסחה להספק של צרכן היא: P = V·I.
עפ"י חוק אוהם, V = IR , ניתן לבודד את הזרם ולהציב בנוסחת ההפסק, ומקבלים:
P = V²/R.

חישוב התנגדות הנורות:
עפ"י הסימון, ידוע שכאשר הנורה פועלת תחת מתח של 24V, ההספק המתקבל הוא 40W. נציב בנוסחת ההספק שקיבלנו:

P = V²/R
R = V²/P
V = 24 V
P = 40 W
R = 24² / 40
R = 14.4 Ω

התנגדות הנורות היא 14.4 אוהם.

מכיוון שהנורות מחוברות בטור, הזרמים דרך כל אחת מהן שווים. גם ההתנגדות שלהן שווה, ולכן לפי חוק אוהם, גם המתח הנופל על כל אחת מהן זהה. סכום המתחים הוא 24V, לכן על כל אחת מהן נופל מתח של 12V.

חישוב ההספק:
במצב המתואר המעגל הנתון, המתח והזרם דרך שתי הנורות זהים, לכן ההספקים המתפתחים עליהן שווים.
ההספק על כל אחת מהנורות הוא:

P = V²/R
V = 12V
R = 14.4 Ω
P = 12² / 14.4
P = 10W

ההספק של כל אחת מהנורות הוא 10 וואט, לכן ההספק הכללי הוא 20 וואט.

תשובה: מפסק פתוח – 40 וואט.
מפסק סגור – 20 וואט.
תתקבל עוצמת הארה גדולה יותר כאשר ההספק גדול יותר, כלומר כאשר המפסק פתוח.

תרגיל 4
המעגל הבא מכיל סוללה בעלת כא"מ ε = 5V והתנגדות פנימית r = 1Ω, המחוברת לנורה בעלת התנגדות                R = 4Ω במוליכים חסרי התנגדות.
א. מהו המתח שנופל על הנורה?
ב. חשבו את נצילות המעגל.
ג. הסוללה חוברה למעגל כאשר היא טעונה במלואה, ונפרקה לחלוטין כעבור 4 שעות. מהי כמות המטען שאוגרת הסוללה כאשר היא טעונה במלואה?

פתרון
סעיף א
חישוב המתח הנופל על הסוללה:
המוליכים חברי התנגדות, לכן המתח שנופל על הנורה הוא מתח ההדקים.
הביטוי למתח ההדקים הוא: V = ε – rI. המתח הנופל על הנורה לפי חוק אוהם הוא: V = IR.
נשווה את שני הביטויים האלה ונציב את הנתונים:

 ε – rI = IR
ε = I(r + R)
I = ε / (r + R)

נתון:

ε = 5V
r = 1Ω
R = 4Ω
I = 5 / (1+4)
I = 1 A

הזרם העובר במעגל הוא 1 אמפר.
חישוב המתח על הנורה לפי חוק אוהם:

V = IR
I = 1 A
R = 4 Ω
V = 1·4 = 4V

המתח שנופל על הנורה הוא 4 וולט.

סעיף ב
חישוב נצילות המעגל:
נצילות המעגל היא היחס בין ההספק המושקע ע"י הסוללה לבין ההספק שמנוצל ע"י הצרכן.
הנוסחה לחישוב הספק היא: P = VI.

ההספק שמשקיעה הסוללה:

P = V · I
V = ε = 5V
I = 1 A
P = 5 · 1
Pbattery = 5W

ההספק שמנצלת הנורה:

P = V · I
V = 4 V
I = 1 A
P = 4 · 1
Pbulb = 4W

 

היחס בין ההספק המושקע לבין ההספק המנוצל הוא:

Pbulb /Pbattery = 4 / 5 = 80%

תשובה: נצילות המעגל היא 80%.

סעיף ג
הסוללה הפיקה זרם בעוצמה של 1 אמפר במשך 4 שעות.
זרם חשמלי נמדד ביחידות של מטען ליחידת זמן, כאשר המשמעות של אמפר אחד היא קולון בשניה. כלומר:

I = Q/t

לכן, מטען חשמלי יכול להימדד בזרם כפול יחידת זמן:

Q = I · t 

נתון:

I = 1 Amper
t = 4 hours = 4·60·60 sec

Q = 1·4·60·60 = 14400 C

תשובה: כמות המטען שאגורה בסוללה מלאה היא 14400 קולון.

 

תרגיל 5
במהלך ניסוי במעבדת פיסיקה, קבוצת תלמידים ניסתה לחשב את ההתנגדות הפנימית של מקור מתח בעל כא"מ       ε = 12V ע"י מדידת מתח ההדקים של המקור עבור זרמים שונים. לשם כך השתמשה הקבוצה בנגד משתנה במעגל הבא:

א. תלמיד א' טען שמתח ההדקים שווה למתח בין נקודות A ו B ולכן ניתן לחבר את מד המתח בין נקודות אלה. תלמידה ב' טענה שבשביל לקבל את התוצאות המדויקות ביותר, יש לחבר את מד המתח ישירות לשני הדקי המקור. הסבירו מי לדעתכם צודק.

ב. הוסיפו את מד הזרם ומד המתח למעגל, וציינו מהן הדרישות על כל אחד מהם כדי שלא ישפיעו על אופן פעולת המעגל.
ג. קבוצת התלמידים סימנה את תוצאות הניסוי בגרף והעביר קו מגמה מתאים:

מהי התנגדות מקור המתח עפ"י תוצאות הניסוי?

פתרון
סעיף א
תלמידה ב' צודקת. מתח ההדקים הוא המתח ש"יוצא" ישירות ממקור המתח. השגיאה בחיבור מד המתח בין נקודות A ו B היא המתח שנופל על המוליכים המעגל, שייתכן והם בעלי התנגדות שלא ניתנת להזנחה בניסוי.

סעיף ב
את מד המתח יש לחבר במקביל למקור המתח, וקרוב עד כמה שניתן להדקיו. הדרישה על מד מתח היא שהוא יהיה בעלי התנגדות אינסופית. כך הזרם שעובר דרכו יהיה קטן מאוד, ולא ישפיע על הזרם הכללי במעגל.
את מד הזרם יש לחבר בטור למקור המתח והנגד המשתנה. הדרישה עליו היא התנגדות אפסית, כך שהמתח הנופל עליו יהיה זניח ולא ישפיע על המתח הנופל על שאר הרכיבים במעגל.

סעיף ג
הקשר בין מתח ההדקים לזרם נתון ע"י הנוסחה V = ε – rI
לכן בגרף הנתון, שיפוע הגרף הוא r-.

חישוב שיפוע הגרף:
נבחר את שתי נקודות החיתוך בצירים: (0,12), (6,0)

-r = (12 – 0) / (0 – 6)
-r = -2
r = 2

תשובה: ההתנגדות הפנימית של מקור המתח עפ"י הניסוי היא 2 אוהם.

עוד באתר: