ארכיון פוסטים מאת: לומדים מתמטיקה

אינטגרל של פולינום חישובי שטחים

למדנו כיצד מחשבים אינטגרל ואינטגרל מסוים בדף אינטגרל של פולינום.
בדף זה נתקדם הלאה ונלמד כיצד מחשבים שטחים בעזרת אינטגרל.

חישוב שטח הכלוא מתחת גרף הפונקציה – בעזרת אינטגרל:

אחד השימושים העיקריים של האינטגרל , הוא מציאת השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה.
איך עושים זאת?
1. בשאלות מסוג זה , תהיה נתונה לנו פונקציה, ושני ישרים אשר מקבילים לציר y.
2. על מנת למצוא את השטח – נשתמש באינטגרל מסוים.
3. באינטגרל מסוים – הכוונה היא שהגבולות של האינטגרל יהיו מספרים – אותם נציב לאחר מציאת הפונקציה הקדומה.
המספרים בגבולות האינטגרל יהיו הישרים אשר דיברנו עליהם בסעיף 1. – הם בעצם הישרים אשר קובעים את            גבולות השטח שלנו , לכן הם נקראים "גבולות האינטגרל".
4. השלבים :
א.  נמצא את הפונקציה הקדומה לפונקציה המקורית ( כלומר, נבצע אינטגרציה).
ב.  נציב את הגבולות בפונקציה הקדומה.
ראשית, נציב את הגבול העליון , ולאחר מכן נחסר ממנו את הגבול התחתון.

ובצורה פורמלית:

הסבר גרפי כיצד מחשבים סוגים שונים של אינטגרלים

אינטגרל פשוט. מחשבים על ידי הצבת גבולות האינטגרל באינטגרל של הפונקציה
אינטגרל פשוט. מחשבים על ידי הצבת גבולות האינטגרל באינטגרל של הפונקציה
« 1 של 5 »

תרגילים

  1. תרגילים 1-2 הם תרגילים פשוטים.
  2. תרגילים 3-4 הם תרגילי חישוב שטחים הנמצאים מעל או מתחת לציר ה x.
  3. תרגיל 5 הוא בנושא שטח מעל ומתחת לציר ה x.
  4. תרגילים 6-7 הם תרגילי שטחים בין שני פונקציות.
  5. תרגילים 8-9 הם חישוב שטחים מורכבים.
  6. תרגילים 10-11 הם חישוב אינטגרל עם פרמטרים.

1. חישוב שטחים פשוטים

תרגיל 1
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה y = x, ציר ה- x והישרים x = 1, x = 3.

פתרון

1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

האינטגרל הוא:
x = x² / 2

2. חישוב השטח (פתרון התרגיל):

תשובה: השטח הכלוא הוא 4 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) =x³ + 4, ציר ה- x והישרים x = -1, x= 2

פתרון

1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

2. האינטגרל של הפונקציה הוא:

3. חישוב השטח:


תשובה: לכן השטח הכלוא הדרוש הוא  15.75 .

2. שטח מעל או מתחת ציר ה- x

תרגיל 3
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) = -x² + 4, וציר ה- x (מעל ציר ה- x).

פתרון

1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x:
על מנת לחשב את השטח עלינו למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
נציב y = 0
נקבל:
x2 + 4 = 0-
x2 = 4
x = ± 2
לכן : a = -2  , b = 2.

2. מציאת האינטגרל:

3. חישוב השטח:


תשובה: לכן השטח הכלוא הדרוש הוא  10.666 .

תרגיל 4
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) = x² – 6x ,  וציר ה- x (מתחת לציר ה- x).

פתרון

1.מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x:
על מנת לחשב את השטח עלינו למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
נציב y = 0
נקבל:
x2 – 6x = 0
x*(x-6) = 0
x1 = 0, x2 = 6
לכן : a = 0  , b = 6.
(יש להקפיד על כך שהגבול העליון יהיה בערכו יותר גדול מהתחתון).

2. נחשב את האינטגרל:

3. חישוב השטחים :



כצפוי, קיבלנו מספר שלילי – מכיוון שמצאנו שטח שהוא מתחת לציר x.
לכן ניקח את השטח בערך מוחלט (אין דבר כזה שטח שלילי).

תשובה: השטח הכלוא הדרוש הוא  36 .

3. שטח מעל ומתחת ציר ה x

תרגיל 5
לפונקציה f (x) = x³ – 9x יש 3 נקודות חיתוך עם ציר ה- x.  חשבו את השטח המוגבל בין הפונקציה וציר ה x.

פתרון

בתרגיל זה יש לנו 2 שטחים נפרדים שעלינו לחשב.
הראשון – מעל ציר ה – x.
השני – מתחת לציר ה – x.
לכן נצטרך לחשב כל אחד מהשטחים בנפרד – והתשובה תהיה סכום השטחים.

1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה- x.
נציב y =0
נקבל:
x3 – 9x = 0
x*(x2 – 9) = 0
x1 = 0  ,  x2,3 = ±3

2. מציאת האינטגרל (פונקציה קדומה):

3. חישוב השטחים:

השטח השמאלי נתון על ידי האינטגרל:




השטח הימני נתון על ידי האינטגרל:



כצפוי (מכיוון שהשטח מתחת לציר x) , המספר של השטח השני שלילי. לכן ניקח את ערכו המוחלט.

לסיכום :
S1  = 20.25
S2  = 20.25

 תשובה: השטח החסום : 40.5

4. שטחים בין שתי פונקציות

השטח הכלוא בין הפונקציות הוא בעצם השטח שכלוא מתחת לפונקציה העליונה,                                            כאשר מחסרים ממנו את שטח הפונקציה התחתונה.
לכן , בתרגילים מסוג זה נפעל לפי השלבים הבאים:
1. נזהה איזה גרף של איזו פונקציה.
2. נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציות.
3. נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה.
4. נמצא את השטח הכלוא מתחת לפונקציה שמצאנו (לאחר החיסור).

 

תרגיל 6
חשבו את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות
f (x) = x² – 4x + 4 ו- g(x) = -x² + 6x + 4.

פתרון

נפעל לפי השלבים לעיל:

1. נזהה את הפונקציות :
במקרה זה, ניתן לראות כי אחת הפרבולות היא "מחייכת" , והשניה "עצובה".
לכן יהיה ניתן לזהות את הפונקציות עפ"י המקדם של x2.
לכן – הפונקציה העליונה היא: g(x) = -x² + 6x + 4  – מכיוון שזוהי פרבולה "עצובה" – וזוהי העליונה בגרף.
והתחתונה – f (x) = x² – 4x + 4 – מכיוון שזוהי פרבולה "מחייכת" – וזוהי התחתונה בגרף.

2.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
x2 – 4x + 4 = -x2 + 6x + 4
2x2 – 10x = 0
2x*(x – 5) = 0
x1 = 0 , x2 = 5

3. חיסור הפונקציות:
נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה :
= (g(x) – f(x) = -x2 + 6x + 4 – (x2 – 4x + 4
= x2 + 6x + 4 – x2 + 4x – 4- =
2x2 + 10x- =

4. חישוב השטח:

א. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ב. חישוב השטח הכלוא:


 תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 41.6667.

 

תרגיל 7
חשבו את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות
f (x) = x² + 6  ו- g(x) = 5x.

פתרון

נפעל לפי השלבים לעיל:

1. נזהה את הפונקציות : 
במקרה זה, ניתן לראות כי אחת הפונקציות היא פרבולה, והשנייה קו ישר.
לכן – הפונקציה העליונה היא: g(x) = 5x  – קו ישר.
והתחתונה – f (x) = x² + 6 – פרבולה.

2.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
x2 + 6 = 5x
x2 – 5x + 6 = 0
פירוק לגורמים:
x – 3)*(x – 2) = 0)
x1 = 2 , x2 = 3

3. חיסור הפונקציות:
נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה:
= (g(x) – f(x) = 5x – (x2 + 6
x2 + 5x – 6- =

4. חישוב השטח:

א. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ב. חישוב השטח הכלוא:

 תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 1/6.

5. שטחים מורכבים

תרגיל 8
חשבו את השטח שבין  f(x) = 0.5x²  , x = – 4    ו- y=4.5   וציר ה- x.

פתרון

בתרגיל זה אנו צריכים לחלק את השטח לשני שטחים נפרדים.
זאת מכיוון שהוא חסום ע"י יותר מפונקציה אחת.
1. מלבן – חסום ע"י הפונקציה y = 4.5 , והישרים : x= -3 , x = -4.
2.שטח חסום מתחת לפרבולה –  חסום ע"י הפונקציה f(x) = 0.5x², והישרים: x = -3 , x = 0.
נחשב כל שטח בנפרד – התשובה תהיה סכום השטחים:

1. מלבן :
על מנת לחשב את שטח המלבן לא נצטרך לבצע אינטגרל.
(ניתן לחשב ע"י אינטגרל, אבל במקרה זה אין צורך)
נשתמש בנוסחה לשטח מלבן :  גובה*בסיס = S
במקרה שלנו :
-גובה = 4.5   (המלבן נמצא בין ציר ה-x לבין הישר y = 4.5).
-בסיס = 1  (בסיס המלבן נמצא בין x = -4 ל – x = -3).
לכן שטח המלבן הוא : S = 1*4.5 = 4.5

2. פרבולה :
א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח הכלוא:

חישבנו כל שטח בנפרד – רק נשאר לנו לסכום את שני השטחים.
לכן השטח הכולל הוא :

תשובה : השטח החסום הוא 9.

תרגיל 9
לפונקציה f(x) = -x² – 4x – 6 מעבירים משיק ב- x = -3.
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, המשיק והצירים.

פתרון

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = -3 בפונקציה.

3-  =  f(-3)  =  -(-3)2 – 4*-3 – 6  =  -9 + 12 – 6

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (-3 , – 3)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = -2x – 4
נציב את x = – 3 בנגזרת הפונקציה:
f ' (-3) = 6 – 4 = 2
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
((y – (-3) = 2*(x – (-3
y + 3  = 2x + 6
y = 2x + 3

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק , נחשב את השטח הכלוא.
ניתן לראות לפי השרטוט שמדובר בשני שטחים מעט שונים:
א. שטח שחסום ע"י הפונקציה.
ב. שטח בין הפונקציה למשיק.
נחשב כל שטח בנפרד:

א. השטח הכלוא ע"י הפונקציה : (הימני)
השטח כלוא בין הישר x = 0 לבין הישר x = -1.5 (נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x).
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

נחשב את השטח הכלוא: 



השטח נמצא מתחת לציר x , לכן כצפוי קיבלנו מספר שלילי.
ניקח את המספר בערכו המוחלט כדי לקבל את השטח :
S1 = 5.625

ב. השטח שכלוא בין הפונקציה למשיק :

1. נקודות החיתוך : השטח אותו נרצה לחשב נמצא בין נקודת ההשקה ,
לבין נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x (כי משם והלאה כבר חישבנו את השטח).
כבר מצאנו את נקודות אלה, ולכן :
a = -3 , b = -1.5

2. חישוב השטח הכלוא:
השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח:

לכן השטח השני : S2 = 1.125 .


סיכום:
 כעת רק נותר לנו לסכום את שני השטחים:

תשובה: השטח החסום : 6.75.

6. אינטגרל עם פרמטרים

תרגיל 10
נתונה הפונקציה y = x² + cx.  נתון c > 0.

  1. הביעו באמצעות c את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, הצירים והישר x = 4.
  2. מצאו את c אם ידוע שהשטח המוגבל בין הפונקציה, הישר x = 4 וציר ה- x הוא 61.333

פתרון

1.השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

2. נחשב את האינטגרל



תשובה: לכן השטח הכלוא (כתלות בפרמטר c) הוא: 

סעיף ב – מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 61.333.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
8c + 64/3 = 61.333
8c = 40
c = 5
תשובה: c=5

 

תרגיל 11
נתונה הנגזרת: f ' (x) = 3x² + 6.
השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, הצירים והישר x= 6 הוא 450.
מצאו את הפונקציה שהנגזרת שלה נתונה בשאלה.

פתרון
1. מציאת הפונקציה ע"י ביצוע אינטגרל:

נתונה לנו הנגזרת , ונרצה למצוא את הפונקציה.
לכן הפעולה שעלינו לעשות היא אינטגרציה.
לכן:

הוספנו את הקבוע c מכיוון שמדובר באינטגרל לא מסוים. (לא נתונים הגבולות של האינטגרל).

2. מציאת הקבוע ע"י חישוב השטח:
כדי לקבוע מהו הקבוע c , נשתמש בנתון השני – לגבי השטח הכלוא.
נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, הצירים והישר x= 6 הוא 450.
לכן נמצא את השטח הנ"ל כתלות בקבוע c , ונשווה אותו ל-450.
כך נקבל מהמשוואה את ערכו של c.

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח הכלוא:



ג. בניית משוואה על מנת למצוא את c.
מצאנו את השטח הכלוא כתלות בפרמטר c.
כעת נשווה אותו עם השטח הנתון 450.

6c + 432 = 450
6c = 18
c = 3

לכן הפונקציה היא:

עוד באתר:

משוואת משיק לפונקציית שורש

בדף זה נפתור 3 תרגילים בנושא מציאת משיק לפונקציית שורש.

בדף פונקציית שורש תוכלו ללמוד על נושאים נוספים בחקירת פונקציית שורש.

תרגיל 1
מצאו את המשיק לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
בנקודה y = 4.

פתרון

ראשית נמצא את שיעור ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא זאת, נפתור את המשוואה f(x) = 4.

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
2x – 1 = 4²
2x – 1 = 16
2x = 17
x = 8.5
לכן נקודת ההשקה היא (4, 8.5).

כעת נמצא את שיפוע המשיק המבוקש.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה x = 8.5.
לכן נגזור את הפונקציה, ולאחר מכן נציב בנגזרת x = 8.5.


לכן שיפוע המשיק הוא:  m = 1/4.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4 = 1/4*(x – 8.5
y  – 4  =  1/4*x – 17/8
y   =  1/4*x + 15/8

 

תרגיל 2
האם לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
יש משיק ששיפועו 8-?
אם לא הוכיחו שאין. אם כן מצאו אותו.

פתרון

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
לכן, על מנת לבדוק האם לפונקציה יש משיק ששיפועו  8- ,
נגזור את הפונקציה, ונבדוק האם יש x שנמצא בתחום ההגדרה ומקיים:
f ' (x) = -8.


כעת נשווה את הנגזרת ל 8- :

נכפול ב x3/2:
8x3/2  =  -1-
נחלק ב 8- :
x3/2 = 1/8
נעלה בחזקת 2/3:
(ואז , לפי חוקי חזקות, החזקה על ה – x תהיה שווה ל – 1)
x = (1/8)2/3
x = 1/4

מצאנו x המקיים f ' (x) = 8.
לכן לפונקציה שלנו אכן קיים משיק ששיפועי 8-.
נמצא אותו:

מצאנו כי שיעור ה – x של נקודת ההשקה הוא x = 1/4.
נמצא את שיעור ה- y של נקודת ההשקה.
נעשה זאת ע"י הצבת x = 1/4 בפונקציה.
כלומר , מציאת הערך של   (f(1/4.

f(1/4) = 2/√(1/4) = 2 / (1/2) = 4

לכן ערך ה – y של נקודת ההשקה הוא  y = 4.
לכן נקודת ההשקה היא : (4 , 1/4)

שיפוע המשיק נתון לנו כתנאי השאלה: m = -8.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4 = -8*(x – 1/4
y – 4 = -8x + 2
y = -8x + 6
זוהי משוואת הישר המשיק לפונקציה ששיפועו 8-.

 

תרגיל 3
לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
יש בנקודה x = 9 משיק ששיפועו 0.5-.
מצאו את a.

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה.
נתון כי שיפוע המשיק בנקודה x = 9 הוא  m = -1/2.
לכן ערך הנגזרת, כאשר מציבים בה x = 9 , צריך להיות 1/2-.
לכן, על מנת למצוא את a, נגזור את הפונקציה, ונפתור את המשוואה : f ' (9) = -1/2.

המשוואה f ' (9) = -1/2 :

נקבל ממנה (לאחר הכפלה ב – 6 ) :
a = 6*-1/2

תשובה:
a = -3

גרף הפונקציה:
f(x) = -3√x

עוד באתר:

נגזרת של פונקציה טריגונומטרית

בדף זה נלמד כיצד לגזור פונקציות טריגונומטריות.
נגזור בעזרת הנגזרות הטריגונומטריות הבסיסיות ובעזרת כללי הגזירה של מכפלת פונקציות, מנת פונקציות, ופונקציה מורכבת.

הנגזרות הטריגונמטריות הבסיסיות

sinx ' = cosx
cos x ' = – sinx
tg x ' = 1/cos²

תרגילים

תרגיל 1 (מכפלה של פונקציה בקבוע)
5sinx

פתרון

נשים לב כי זוהי כפולה של קבוע ( המספר '5') בפונקציה sinx.
הנגזרת של sinx היא cosx.

נוסחה לנגזרת מסוג זה : 

5sinx)'  =  5cosx)

תרגיל 2 (מכפלה בקבוע)
3tgx-

פתרון

הנגזרת של tgx היא : 
נשים לב כי יש לנו כפולה של tgx בקבוע (המספר '3-')
לכן:

תרגיל 3 (חיבור פונקציות)
3sin x + cosx

פתרון

נגזרת של cosx היא sinx ,  הנגזרת של sinx היא cosx.

3sinx + cosx)'  =  3cosx – sinx)

תרגיל 4 (מכפלת פונקציות)
2x * cos x

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = 2x
u'(x) = 2

השנייה : v(x) = cosx
v'(x) = -sinx

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : )

2x*cosx)' = 2cosx – 2x*sinx)

תרגיל 5 (מכפלת פונקציות)
x * tgx

פתרון

זוהי פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :    u(x) = x
u'(x) = 1

השנייה : v(x) = tgx
v'(x) = 1/cos²x

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : )

(x* tgx)' = 1*tgx + x*(1/cos²x)

x* tgx)' = tgx + x/cos²x)

תרגיל 6 (מנה של פונקציות)

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה : u(x) = 6cosx + 4
u'(x) = -6sinx

השנייה :           v(x) = -sinx
v'(x) = -cosx

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: )

ונקבל :

כינוס איברים ופתיחת סוגריים :

תרגיל 7 (מנה של פונקציות)

פתרון:

מכיוון ש – tgx נמצא במכנה, נצטרך להשתמש בנוסחת נגזרת של מנה.
הפונקציות המרכיבות את המנה:
הראשונה :    u(x) = -4
u'(x) = 0

השנייה :         v(x) = tgx
v'(x) = 1/cos²x

(תזכורת: )

לכן:



tg²x = sin²x/cos²x, ולכן הביטוי מצטמצם ומתקבל :


תרגיל 8 (מנה של פונקציות)

פתרון:

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = sinx + 2x
u'(x) = cosx +2

השנייה(במכנה) :           v(x) = x
v'(x) = 1

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל :

 

תרגיל 9 (מנה של פונקציות)

פתרון:

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = x – 1
u'(x) = 1

השנייה (במכנה):          (v(x) = tg(x
v'(x) = 1/cos²x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל :


*ניצור מכנה משותף במונה – cos²x.
*  tg²(x) = sin²x / cos²x
נקבל:

נצמצם cos²x. נקבל:

נגזרת מורכבת של פונקציה טריגונומטרית

תרגיל 1
sin²x
פתרון

נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא חזקה (בריבוע) – (f(x
השנייה : g(x) = sinx

f ' (x) = 2x
g ' (x) = cosx

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :

לכן נקבל :

sin²x)' = cosx * 2sinx)
sin²x)' = 2cosx * sinx)
(העשרה : ניתן לכתוב את התשובה כך : sin²x)' = sin2x) , על-פי הזהות הטריגונומטרית : sin2x = 2sinx*cosx)

תרגיל 2
(cos (1/x

פתרון

במקרה זה, 2 הפונקציות הן :
1. f(x) = cosx
2. g(x) = 1/x

הנגזרת של (g(x :   (לפי נגזרת של מנה של פולינומים)

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן:

תרגיל 3
cos√x

פתרון
יש לנו כאן הרכבה של 2 פונקציות:
הראשונה : f(x) = cosx
השנייה : g(x) = √x


לפי כלל הנגזרת של שורש.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל:

תרגיל 4
tg²x
פתרון

נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא חזקה (בריבוע) – (f(x
f ' (x) = 2x
השנייה : g(x) = tgx
g ' (x) = 1/cos²x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל:

תרגיל 5
(tg (2x³ + 1

פתרון

זוהי הרכבה של 2 פונקציות:
הראשונה : f(x) = tgx
f ' (x) = 1/cos²x
השנייה: g(x) = 2x³ + 1
g ' (x) =  6x²

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל :

 

תרגילים נוספים בנושא נגזרות : 

 

תרגיל 3

פתרון

זוהי פונקציה מורכבת, אשר מורכבת מ – 2 פונקציות:
הראשונה :  פונקציית השורש – נסמן (f(x.
f ' (x) = 1 / 2√x  – לפי חוקי גזירה של שורשים.
השנייה:   g(x) = 1 + sinx
g ' (x) = cosx

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל :


תרגיל 4

(cos(3x4

פתרון:

זוהי פונקציה מורכבת, אשר מורכבת מ – 2 פונקציות:
הראשונה :  f(x) = cosx
f ' (x) = – sinx
השנייה: g(x) = 3x4
g ' (x) = 12x³

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל :
(cos(3x4)]' = 12x³ * -sin(3x4) = -12x³ * sin(3x4]

עוד באתר:

פונקציית שורש

בדף זה נלמד לחקור את פונקציית השורש.

  1. תחום הגדרה.
  2. נגזרת.
  3. מציאת משיק.
  4. נקודות קיצון.
  5. פתרון תרגילים מהבגרות.

1. תחום הגדרה

פונקציית שורש מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי.

תרגיל 1
מצאו את תחום ההגדרה עבור הפונקציה f(x) = √x.

פתרון
הביטוי שבתוך השורש צריך להיות חיובי. לכן
x > 0
הפונקציה מוגדרת כאשר x>0

תרגיל 2
מצאו את תחום ההגדרה עבור הפונקציה  (4- f(x) = √(-x.

פתרון
עלינו לפתור את האי שוויון
x – 4 >0-
הפתרון הוא:
x < – 4
תשובה: תחום ההגדרה הוא x < – 4.

תרגיל 3 (אי שוויון ריבועי)
מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה
(f (x) = √(x² -7x +10

פתרון
עלינו לפתור את האי שוויון:
x² -7x +10 > 0
בעזרת פירוק הטרינום נגיע ל:
x – 2 ) (x – 5) >0)
האי שוויון הזה מתקיים כאשר:
x >2 וגם x >5
x> 5

או:
x < -2 וגם x < 5
x < 2
תשובה: הפונקציה מוגדרת כאשר x < 2 או x> 5

2. נגזרת פונקציית שורש

הנגזרת של פונקציית שורש היא:

נגזרת פונקציית שורש

נגזרת פונקציית שורש

כאשר יש פונקציה בתוך השורש הנגזרת היא:

נגזרת פונקציית שורש מורכבת

תרגילים לדוגמה בגזירת פונקציית שורש

תרגיל 1

פתרון

*הנגזרת של x√ היא   .
*הנגזרת של קבוע כפול פונקציה של x היא:
,
כאשר במקרה שלנו  k = 5.
*הנגזרת של מספר היא 0.
לכן:

תרגיל 2

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

*את הביטוי מצד שמאל נגזור כפונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקצית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = 3x – 1
g ' (x) = 3

*את הביטוי הימני נגזור לפי נגזרת של שורש, שהיא : .
כמו כן, הוא כפול בקבוע, לכן נשתמש בנוסחה:
, כאשר k = -2.

לכן:

f(x)=√x

f(x)=√x

f(x)=1/√x

f(x)=1/√x

3. מציאת משיק לפונקציית שורש

תרגיל 1
מצאו את המשיק לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
בנקודה y=4.

פתרון

ראשית נמצא את שיעור ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא זאת, נפתור את המשוואה f(x) = 4.

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
2x – 1 = 4²
2x – 1 = 16
2x = 17
x = 8.5
לכן נקודת ההשקה היא (4, 8.5).

כעת נמצא את שיפוע המשיק המבוקש.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה x = 8.5.
לכן נגזור את הפונקציה, ולאחר מכן נציב בנגזרת x = 8.5.


לכן שיפוע המשיק הוא:  m = 1/4.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4 = 1/4*(x – 8.5
y  – 4  =  1/4*x – 17/8
y   =  1/4*x + 15/8

4. נקודות קיצון פנימיות

נקודות קיצון פנימיות מתקבלות כאשר הנגזרת שווה ל 0. על מנת לוודא שזו אכן נקודות קיצון ובאיזה סוג קיצון מדובר יש לבדוק את הנגזרת השנייה או לבחון את סביבת הנקודה.

שימו לב: לא משנה מה שואלים אותכם; נקודות קיצון, עליה ירידה וכו. בכול מקרה עליכם לבדוק קודם כל את תחום ההגדרה של הפונקציה.

נקודת קיצון בקצוות

אזכיר כיצד מוצאים נקודת קיצון בקצוות:

  1. עושים את כל השלבים למציאת נקודת קיצון מקומי.
  2. מציבים את ערכי הקצה של הפונקציה (ערכים של ה – x) במשוואת הפונקציה.
  3. משווים את הערכים שקיבלנו עם ערכי המינימום מקסימום מקומיים. אם אחד הערכים שקיבלנו גדול יותר מכל הערכים של נקודות הקיצון הפנימיות אז הנקודה הזו היא מקסימום מוחלט. אם אחד הערכים שקיבלנו קטן יותר מכל הערכים של נקודות הקיצון הפנימיות אז הנקודה הזו היא מינימום מוחלט.

עבור הפונקציה 3x²-2√x תחום ההגדרה הוא x≥0 כלומר הקצה הוא x=0. עבור ערך זה f(0)=0.
נקודה זו יותר גבוהה מנקודת המינימום של הפונקציה אך לא ניתן לקבוע כי זו נקודת מקסימום מוחלט כי אנו לא יודעים מה היא נקודת המקסימום של הפונקציה.

5. פתרון תרגילים מהבגרות

חורף 2017 שאלה 7 שאלון 481

פונקציית שורש נגזרת

בדף זה נגזור פונקציות שורש.
רמת הדף היא 4 יחידות לימוד.

הנגזרת של פונקציית שורש היא:

נגזרת פונקציית שורש

נגזרת פונקציית שורש

כאשר יש פונקציה בתוך השורש הנגזרת היא:

נגזרת פונקציית שורש מורכבת

 

תרגילים

תרגיל 1

פתרון

*הנגזרת של x√ היא   .
*הנגזרת של קבוע כפול פונקציה של x היא:
, כאשר במקרה שלנו  k = 5.
*הנגזרת של מספר היא 0.
לכן:

תרגיל 2

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

*את הביטוי מצד שמאל נגזור כפונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקצית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = 3x – 1
g ' (x) = 3

*את הביטוי הימני נגזור לפי נגזרת של שורש, שהיא : .
כמו כן, הוא כפול בקבוע, לכן נשתמש בנוסחה:
, כאשר k = -2.

לכן:

תרגיל 3

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

זוהי פונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = x² + 6x – 4
g ' (x) = 2x + 6
לכן:

תרגיל 4

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 4
u'(x) = 0

השנייה(במכנה) :           v(x) = 5 + √x
v'(x) = 1 / 2√x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

תרגיל 5

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = 5x
u'(x) = 5

השנייה :   = (v(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (v ' (x

כעת נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

נקבל:

תרגיל 6

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :   = (u(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (u ' (x

השנייה :   = (v(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (v ' (x

כעת נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

נקבל:


מכנה משותף:

נזכיר כי שורש כפול עצמו זה בעצם המספר שבתוך השורש. לכן:

תרגיל 7

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

והי פונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש
f ' (x) = 1/2√x
(g(x) = 2x / (x+1
נגזור אותה לפי נגזרת של מנה:
 = (g ' (x

לכן נקבל:

נצמצם ב – 2  ונסדר את הביטוי:

מהגדרת השורש הריבועי – הוא בעצם העלאה בחזקת 0.5.
לכן, לפי חוקי חזקות:
x+1)² / (x+1) 0.5  =  (x+1)2-0.5)
x+1)1.5) = 

ומתקבל לבסוף:

עוד באתר:

פונקציית ln אסימפטוטות

על מנת למצוא אסימפטוטת נזכור:

  1. כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה ln x שואפת לאינסוף ולכן אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית באינסוף.
  2. כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה ln x אינה מוגדרת.

בדף זה נפתור 4 תרגילים בנושא

עוד באתר:

תרגיל 1

(ln (x²-2x +1

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
במקרה שיש פונקציה של x בתוך ה-ln , תחום ההגדרה הוא f(x) > 0.
לכן סביר להניח שתהיה אסימפטוטה אנכית בנקודות אי ההגדרה.
כלומר , כאשר מתקיים : x² – 2x + 1 = 0
נוסחת כפל מקוצר : x-1)² = 0)
 x = 1.
נאמת זאת :
*כאשר x שואף ל -1, הביטוי שבתוך ה -ln ישאף ל – 0.
במקרה כזה פונקצית ה – ln שואפת למינוס אינסוף.

לכן הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף לאינסוף , הביטוי שבתוך ה- ln גם כן שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף , הביטוי שבתוך ה- ln  שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

תרגיל 2

מציאת אסימפטוטות

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
*תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
לכן נחשוד שתהיה אסימפטוטה אנכית בנקודות אי ההגדרה.
כלומר , כאשר  x = 0.
נבדוק זאת:
כאשר x שואף ל – 0, פונקציית ה – ln שואפת למינוס אינסוף,
לכן המכנה ישאף למינוס אינסוף,

והביטוי      ישאף ל – 0.

לכן הפונקציה תשאף ל – 1 כאשר x שואף ל- 0. (=> אין אסימפטוטה עבור x = 0).

*כאשר x שואף ל  e-2 ,
ln x תשאף ל 2- , והמכנה ישאף ל- 0.
במונה יש מספר קבוע ולכן הביטוי והפונקציה ישאפו לאינסוף.

לכן הישר x = e-2 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף ל-אינסוף, פונקציית ה – ln שואפת לאינסוף,
לכן המכנה ישאף לאינסוף,

והביטוי      ישאף ל – 0.

לכן כאשר x שואף לאינסוף – הפונקציה תשאף ל -1.

*כאשר x שואף למינוס אינסוף , הפונקציה ln אינה מוגדרת.

לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטות אופקית של הפונקציה.

 

תרגיל 3

מציאת אסימפטוטה

פתרון:

אסימפטוטות אנכיות :
*תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
לכן נחשוד שתהיה אסימפטוטה אנכית בנקודות אי ההגדרה.
כלומר , כאשר  x = 0.
נבדוק זאת:
כאשר x שואף ל – 0, פונקציית ה – ln שואפת למינוס אינסוף,
לכן המכנה ישאף לאינסוף, והפונקציה תשאף ל – 0 .
כלומר, אין אסימפטוטה אנכית ב x = 0.

*כאשר x שואף ל – 1 , lnx שואפת ל – 0,
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף ל-אינסוף, פונקציית ה – ln שואפת לאינסוף,
לכן המכנה ישאף לאינסוף, והפונקציה תשאף ל – 0.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף – פונקצית ה ln אינה מוגדרת.

לכן הישר 0 = y  הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

 

תרגיל 4 (עם פרמטר)

הישר x = 2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה  (ln (x² + a.
מצאו את a.

פתרון

נסיק מהנתון – כאשר x שואף ל – 2, הפונקציה הנ"ל שואפת לאינסוף/מינוס אינסוף.
((ln(f(x שואפת לאינסוף רק כאשר (f(x שואפת לאינסוף  – אין a המקיים זאת.

((ln(f(x שואפת למינוס אינסוף כאשר (f(x שואפת ל – 0.
נרצה ש – (f(x תשאף ל – 0 כאשר x שואף ל -2.
לכן נדרוש:  

לכן :  a = – 4.

כלומר , הישר x =  2 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה (ln(x2 – 4 .

עוד באתר:

משיק לפונקציית ln

בדף זה נפתור תרגילים בנושא משיק לפונקציית ln.

דפים נוספים קשורים באתר:

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = ln x – 3 בנקודה x = 2.

פתרון

על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = 2 בפונקציה.

f(2) = ln(2) -3

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (2 , ln(2) – 3)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
כלומר:  (m = f ' (2.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 1 / x
נציב את x = 2 בנגזרת הפונקציה:
f ' (2) = 1/2
כלומר: m = 1/2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – (ln(2) -3) = 1/2*(x – 2
y – ln(2) + 3  = 0.5x – 1
y = 0.5x + ln(2) – 4

 

תרגיל 2
מצאו את הנקודה שבה הישר y = x – 1 משיק לפונקציה f (x) = x * lnx.

פתרון

ראשית, נשים לב כי שיפוע הישר y = x – 1 הוא m = 1 (כי זהו ישר מהצורה y = mx + n ).
נבדוק עבור איזה x מתקבל ששיפוע הפונקציה f(x) = x * lnx הוא 1.
(בנקודת ההשקה מתקיים כי שיפועי הישר והפונקציה שווים).
f ' (x) = lnx + x/x = lnx + 1
נשווה את (f ' (x  שמצאנו ל -1 :
lnx + 1 = 1
ln x = 0
x = 1
(רק עבור x = 1 מתקיים lnx = 0).

כעת נרצה לבדוק האם הישר והפונקציה אכן משיקים בנקודה x = 1 .
(ישנה האופציה שהם מקבילים ב x = 1  , כלומר, בעלי אותו שיפוע, אבל לא נוגעים(משיקים) אחד לשני).
על מנת לבדוק זאת – נציב  x = 1 במשוואת הישר , ובפונקציה, ונראה אם מתקבל ערך y זהה.
(ואז מדובר בנקודת השקה).
במידה וערכי ה – y שיתקבלו יהיו שונים , הישר והפונקציה מקבילים , אך לא משיקים.

הישר :    y(1) = 1 – 1 = 0
הפונקציה:    f(1) = 1 * ln(1) = 0

הישר והפונקציה אכן משיקים בנקודה x = 1 .
קיבלנו כי נקודת ההשקה היא  (x,y) = (1,0).  זוהי הנקודה המבוקשת.

תרגיל 3

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x) = 2x * ln x ששיפועו 4.

פתרון:

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 4 , לכן נפתור את המשוואה : f ' (x) = 4.
= f ' (x) = 2ln x + 2x / x
2ln x + 2 =
לכן המשוואה היא :
2lnx + 2 = 4
2lnx = 2
lnx = 1

x = e
(מהגדרת הפונקציה ln נובע כי ln(e) = 1 )

מצאנו את ערך ה-x המקיים את המשוואה שלנו.
על מנת למצוא את ערך ה-y נציב x = e בפונקציה.
f(e) = 2e * ln(e) = 2e
לכן נקודת ההשקה היא :  (x,y) =  (e, 2e)

השיפוע נתון לנו בשאלה : m = 4

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 2e = 4*(x-e
y = 4x – 4e + 2e
y = 4x – 2e

 

תרגיל 4 (עם פרמטר)

שיפוע המשיק לפונקציה  (f(x) = alnx – ln (x-2  בנקודה x = 3 הוא 5 .
מצאו את a.

פתרון:

על מנת למצוא את שיפוע המשיק בנקודה x = 3 , נגזור את הפונקציה ונציב בנגזרת x = 3.

= (f ' (x) = a * 1/x  – 1/ (x – 2
(a/x – 1/(x-2 =
נציב x = 3 : 
= (f ' (3) = a/3 – 1(3-2
a/3 – 1 =

נתון ששיפוע המשיק לפונקציה בנק' x = 3 הוא 5.
לכן, כדי למצוא את a , נשווה את השיפוע שמצאנו בנקודה x = 3 , ל – 5.
a/3 – 1 = 5
a/3 = 6
a = 18

עוד באתר:

פונקציית ln נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה

בדף זה נפתור תרגילים בנושא מציאת נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה של פונקציית ln.

מציאת נקודות קיצון

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות:

תרגיל 1
ln x

פתרון
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.
f ' (x) = 1/x = 0
*אין ערך של x עבורו מתקיימת המשוואה.
לכן אין נקודות קיצון.
נשים לב כי הפונקציה ln x מוגדרת רק עבור x > 0.
לכן הנגזרת תמיד חיובית (בכל תחום ההגדרה של הפונקציה).
הפונקציה lnx היא פונקציה עולה ללא נקודות קיצון.

תרגיל 2
ln x – 2x

פתרון
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.
f ' (x) = 1/x – 2  = 0
נכפול ב – x:
0 = 1 + 2x-
2x = 1
x = 0.5

לכן x = 0.5 היא נקודה חשודה לקיצון.
נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.
נפצל ל -2 תחומים:
1. 
2.

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

תשובה : 
  – נקודת מקסימום.

 

תרגיל 3
ln x) / x)

פתרון
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.


הביטוי הנ"ל שווה ל – 0 רק אם המונה שווה ל -0.
נעביר אגף ונקבל :
ln x = 1
x = e

לכן הנקודה x = e היא חשודה לקיצון.
נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.
נפצל ל -2 תחומים:
1. 
2.  

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

תשובה:    (e, 1/e)  נקודת מקסימום.

תחומי עליה וירידה

תרגיל 1
(ln (x -2

פתרון
נפתור בעזרת מציאת נקודות קיצון .
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.
f ' (x) = 1/ (x-2) = 0
הנגזרת שונה מ – 0 לכל x. (המונה אינו מתאפס – הוא מספר קבוע).
לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.
הפונקציה מוגדרת עבור x > 2.
עבור כל x בתחום ההגדרה הנגזרת חיובית.

לכן הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה.

תרגיל 2
(ln (x² -9

פתרון
**ראשית נשים לב כי תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x² – 9 > 0
כלומר:  x > 3  או  x < – 3

נפתור בעזרת מציאת נקודות קיצון .
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.

הנגזרת מתאפסת רק עבור x = 0.
אבל, הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0.
לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.

לכן נחלק לשני תחומים לפי תחום ההגדרה :
1. x > 3
2. x < -3

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.

עבור x< -3: הנגזרת שלילית => הפונקציה יורדת.

תשובה : *עלייה:  x > 3
             *ירידה:  x < -3עבור x > 3 : הנגזרת חיובית  => הפונקציה עולה.

עוד באתר:

נגזרת ln

בדף זה נגפתור תרגילי גזירת פונקציית ln.
5 תרגילים של פונקציית ln רגילה ו- 9 תרגילים של פונקציית ln מורכבת.

 נגזרת הפונקציה lnx:

כאשר הפונקציה היא פונקציה מורכבת גוזרים אותה כמו פונקציה מורכבת.
(ln f (x))' = (1/ x) * f ' (x)

תרגילים

תרגיל 1
ln (x) + 5x²

פתרון

הנגזרת של lnx היא .
לכן:
ln(x) + 5x²) ' = 1/x + 10x)

תרגיל 2
4ln x

פתרון
הנגזרת של lnx היא .
המקדם של lnx הוא מספר קבוע ('4').
נוסחה לנגזרת מסוג זה :

לכן:
4lnx) ' = 4*1/x = 4/x)

תרגיל 3
x² * ln x

פתרון
יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = x²
u'(x) = 2x

השנייה : v(x) = ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

= x² * lnx) ' = 2x * lnx + x² * 1/x)
 2x * lnx + x =

תרגיל 4

פתרון
זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = x
u'(x) = 1

השנייה(במכנה) :           v(x) = ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

תרגיל 5

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 1 – ln x
u'(x) = -1/x

השנייה(במכנה) :           v(x) = 2 + ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל :

פתיחת סוגריים ומכנה משותף :

כינוס איברים וסידור השבר :

גזירת פונקציות ln מורכבות


נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :
.
נוכל להסיק מהנוסחה הנ"ל:

לכן , כאשר יהיה ביטוי (בתוך ה-ln) 
שהוא פונקציה של x, נגזור בצורה הבאה:

תרגיל 1
(ln (9 – 3x

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : g(x) = 9 – 3x
g ' (x) =  -3

לכן :
ln(9 -3x)] '   =   – 3 / 9 -3x]

תרגיל 2
ln x²

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : g(x) = x²
g ' (x) =  2x
לכן :
ln (x²) ] '   =   2x / x²  =  2/x ]

תרגיל 3
(ln (-x²

פתרון:
**נשים לב:  x² הוא תמיד חיובי ( פרט ל x = 0).
מכיוון שכופלים את x² במינוס, הביטוי שבתוך הln תמיד שלילי ( או אפס)
לכן הפונקציה אינה מוגדרת עבור אף ערך של x.

למרות זאת, נגזור את הפונקציה לשם התרגול :
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : g(x) = -x²
g ' (x) =  -2x
לכן :
ln (-x²) ] '   =   -2x / -x²  =  2/x ]

תרגיל 4
ln x)²)

פתרון
נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא חזקה (בריבוע) – (f(x
f ' (x) = 2x
השנייה : g(x) = lnx
g ' (x) = 1/x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת: 

לכן נקבל:
=  lnx)² ] '  =   2ln x * 1/x) ]
2lnx / x =

 

תרגיל 5
(ln x)√

פתרון
נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא פונקציית השורש. (נסמן (f(x )
f ' (x) = 1 / 2√x
השנייה : g(x) = lnx
g ' (x) = 1/x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל:

 

תרגיל 6

פתרון:

נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו :   g(x) = 4 / x+3
  =  (g ' (x

לכן נקבל : 


סידור השבר וצמצום :

 

תרגיל 7

פתרון:

נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו :   

לכן נקבל:

 

תרגיל 8
(ln (ex +1

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : g(x) = ex + 1
g ' (x) = ex

לכן :
ln (ex +1) ] ' = ex / ex +1 ]

תרגיל 9
ln sin²x

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : g(x) = sin²x
g ' (x) = 2sinx * cosx = sin2x
(השתמשנו בזהות טריגונומטרית)

לכן :
ln ( sin²x) ] '  =  sin2x / sin²x ]

עוד באתר:

משיק לפונקציה רציונלית

בדף זה נפתור שלושה תרגילי משיק לפונקציה רציונלית ברמת 4 יחידות לימוד.

שלבים למציאת משיק

נתונה פונקציה ונקודת השקה ואנו צריכים לחשב את משוואת המשיק.

בתרגילים מסוג זה שלבי הפתרון:
א) מחשבים את ערך הפונקציה בנקודה.
ב) גוזרים את הפונקציה ומוצאים את ערך הנגזרת בנקודה. ערך הנגזרת בנקודה שווה לשיפוע המשיק.
ג) בעזרת הנקודה שמצאנו בסעיף א והשיפוע שמצאנו בסעיף ב מחשבים את משוואת המשיק (כיצד מוצאים משוואת ישר באמצעות שיפוע ונקודה ניתן למצוא בדף משוואת ישר).

מבקשים מאיתנו להראות שישר משיק לפונקציה בנקודה מסוימת.
שלבי פתרון:
א) מראים שבנקודת ההשקה לפונקציה ולמשיק יש את אותו ערך Y.
ב) מראים שבנקודת ההשקה לפונקציה ולמשיק יש את אותו שיפוע.

  • סוגי תרגילים נוספים לפונקציות שאינן פונקציות רציונליות תוכלו למצוא בדף משוואת משיק המדריך המלא.

תרגילים

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה

כאשר f(x) = 5.

פתרון

ראשית נמצא את שיעור ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא זאת, נפתור את המשוואה f(x) = 5.

נכפול את המשוואה ב: (x – 2)
(x + 2 = 5*(x – 2
x + 2 = 5x – 10
4x = 12
x = 3
לכן נקודת ההשקה היא (5, 3).

כעת נמצא את שיפוע המשיק המבוקש.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה x = 3.
לכן נגזור את הפונקציה, ולאחר מכן נציב בנגזרת x = 3.


לכן שיפוע המשיק הוא:  m = -4

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 5 = -4*(x – 3
y  – 5  =  -4x + 12
y   =  -4x + 17

תרגיל 2

מצאו את משוואת המשיק ששיפועו m = 3/4 לפונקציה

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 3/4 , לכן נפתור את המשוואה : f ' (x) = 3/4.


נפתור את המשוואה:

נכפול ב – x-1)²)

נכפול ב-4 , ונפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר.

נפתח סוגריים:

נעביר אגפים:

פירוק לגורמים:

לכן נקודות המקיימות את התנאי :
x1 = 3 , x2 = -1.
(נפתור עבור x = 3)

נמצא את נקודת ההשקה ע"י הצבת x = 3 בפונקציה:
f(3) = 3²/3-1 = 9/2 = 4.5
לכן נקודת ההשקה היא: (4.5, 3).
השיפוע נתון לנו בשאלה : m = 3/4.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4.5 = 0.75*(x – 3
y  – 4.5  = 0.75x – 2.25
y   =  0.75x + 2.25

 

תרגיל 3 (עם פרמטר)

שיפוע המשיק לפונקציה

בנקודה x = 2  הוא  m = 3.
מצאו את a.

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה.
נתון כי שיפוע המשיק בנקודה x = 2 הוא m = 3.
לכן ערך הנגזרת, כאשר מציבים בה x = 2 , צריך להיות 3.
לכן, על מנת למצוא את a, נגזור את הפונקציה, ונפתור את המשוואה : f(2) = 3.


אנו מתעניינים בסביבת הנקודה x = 2.  לכן נוכל להניח x ≠ 0 ולצמצם ב -x את הביטוי.

כעת נציב x = 2 בנגזרת :

נרצה לפתור את המשוואה f ' (2) = 3.
לכן המשוואה היא :

נכפול ב – 8- :
2a + 2 = -24
2a = -26
a = -13.

**מצורף גרף הפונקציה  

עוד באתר: