ארכיון פוסטים מאת: לומדים מתמטיקה

בעיות מילוליות הדורשות "פירוק"

בשאלות מסוג זה יהיה נתון שלא נוכל להשתמש בו כמו שהוא ונצטרך "לפרק" את הנתון לשני חלקים על מנת שנוכל לבנות משוואה.

כיצד מפרקים את הנתון לשני חלקים?
על ידי הגדרת שני משתנים.
לחלק אחד נקרא x.
לחלק שני נקרא y.

מי שרוצה יכול לפתור את התרגילים הללו גם באמצעות משתנה אחד, דוגמאות בהמשך.

כיצד נזהה את השאלות הללו?
יהיה לנו נתון בשאלה שלא נדע להשתמש בו, והנתון הזה ידבר שני חלקים בשאלה.

השאלות הללו נחשבות לשאלות קשות

דוגמה
שחקן כדורסל קלע לסל 10 פעמים.  (במילה קליעה הכוונה שהכדור נכנס לסל).
עבור חלק מהקליעות קיבל 2 נקודות ועבור חלק אחר קיבל 3 נקודות.
סך הכל השחקן קיבל 22 נקודות.
כמה פעמים השחק קלע ל 2 נקודות וכמה פעמים הוא קלע ל 3 נקודות.

פתרון
הנתון אותו צריך לפרק הוא "10 קליעות".
הוא מתייחס לקליעת 2 נקודות וגם לקליעת 3 נקודות.

וגם אם לא שמתם לב לכך אז ברוב השאלות המילוליות המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
לכן המשתנים שלנו יהיו:
x  מספר הפעמים שהשחקן קלע לשתי נקודות.
y  מספר הפעמים שהשחקן קלע לשלוש נקודות.

בניית משוואות
2x  זה מספר הנקודות שהשחקן קיבל מזריקה ל 2 נקודות.
3y  זה מספר הנקודות שהשחקן קיבל מזריקה ל 3 נקודות.
סכום הנקודות הוא 22. לכן המשוואה היא:
2x + 3y = 22

כמו כן אנו יודעים שהשחק קלע סך הכל 10 פעמים.
לכן המשוואה השנייה היא:
x + y = 10

פתרון המשוואות
2x + 3y = 22
x + y = 10
נפתור את המשוואות הללו על ידי השוואת מקדמים.

נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 ונקבל:
2x + 3y = 22
2x + 2y = 20

נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה:
y = 2
נציב במשוואה הראשונה על מנת למצוא את x.
x + 2 = 10
x = 8
תשובה: השחקן קלע 8 פעמים ל 2 נקודות ו 2 פעמים ל 3 נקודות.

פתרון בעזרת נעלם אחד
אם היינו רוצים לפתור את השאלה בעזרת נעלם אחד היינו מגדירים:
x  מספר הפעמים שהשחקן קלע ל 2 נקודות.

הוא מספר הפעמים שהשחקן קלע ל 3 נקודות.

המשוואה תהיה
2x  + 3(10 – x) = 22
2x + 30 – 3x = 22
x + 30 = 22-
x = -8-
x = 8

תרגילים

תרגיל 1 הוא בנושא קנייה ומכירה.
תרגילים 2-4 הם בנושא בעיות תנועה.
תרגיל 5 הוא תרגיל נוסף.

תרגיל 1
קנינו 12 כרטיסי קולנוע חלקם במחיר מוזל של 30 שקלים וחלקם במחיר רגיל של 40 שקלים.
סך הכל שילמנו 410 שקלים.
כמה כרטיסי קולנוע קנינו מכל סוג?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x  מספר כרטיסי הקולנוע שנקנו במחיר מוזל.
y מספר כרטיסי הקולנוע שנמכרו במחיר רגיל.

שלב ב: בניית משוואות
קנינו 12 כרטיסי קולנוע.
לכן
x + y = 12

במחיר מוזל של 30 שקלים ומחיר רגל של 40 שקלים.
כרטיסים מוזלים: קנינו x כרטיסים במחיר 30 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
30x

כרטיסים רגילים: קנינו y כרטיסים במחיר 40 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
40y

סך הכל שילמנו:
30x + 40y = 410

שלב ג: פתרון המשוואות
x + y = 12
30x + 40y = 410

נכפיל את המשוואה הראשונה פי 30 ונפתור בשיטת השוואת  מקדמים.
x + y = 12  / *30
30x + 30y = 360

30x + 30y = 360
30x + 40y = 410
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה:

10y = 50  / :10
y = 5

נציב y = 5 במשוואה הראשונה שלנו
x + y = 12
x + 5 = 12  / -5
x = 7

תשובה: קנינו 7 כרטיסים במחיר מוזל ו 5 כרטיסים במחיר רגיל.

בעיות תנועה

תרגיל 2
בספורט הדואטלון הספורטאים צריכים לרוץ ולשחות.
גלית רצה במהירות 10 קמ"ש ושוחה במהירות 6 קמ"ש.
אורך מסלול הדואטלון (ריצה ושחייה ביחד) הוא 12 ק"מ.
גלית מסיימת את המסיימת את המסלול כולו ב 88 דקות.
חשבו את אורך מסלול הריצה ואת אורך מסלול השחייה.

פתרון
ניתן לפתור את השאלה הזו עם שני נעלמים או עם נעלם אחד.
נפתור עם שני נעלמים.

על מנת להשוות יחידות נהפוך את 88 דקות לשעות.

נגדיר:
זמנים
x זמן הריצה של גלית בשעות.
y  זמן השחייה של גלית בשעות.

מהירויות
10 קמ"ש מהירות הריצה.
6 קמ"ש מהירות השחייה.

מרחקים
10x  זה אורך מסלול הריצה.
6y  זה אורך מסלול השחייה.

משוואות
סכום המרחקים הוא 12 לכן המשוואה היא:
10x + 6y = 12  (משוואה ראשונה)

סכום הזמנים הוא:

נכפיל את המשוואה השנייה פי 6. על מנת לפתור בשיטת השוואת מקדמים.
6x + 6y = 8.8

שתי המשוואות שלנו הם:
10x + 6y = 12
6x + 6y = 8.8
נחסר מהמשוואה הראשונה את המשוואה השנייה.
4x = 3.2
x = 0.8

כלומר זמן מסלול הריצה הוא 0.8 שעות.
וזמן מסלול השחייה הוא:

אורך המסלולים הוא (על פי מהירות כפול זמן):
8 = 0.8 * 10  (אורך מסלול הריצה).
4 = 0.666 * 6  (אורך מסלול השחייה)

נשים לב שאת אורך מסלול השחייה היה ניתן לחשב על פי:
4 = 8 – 12
ובקרה זה היינו חוסכים את חישוב זמן השחייה.

פתרון עם נעלם אחד
מגדירים:
x זמן הריצה.
ולכן:

והמשוואה היא:

תרגיל 3
הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

  1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
  2. מה המרחק מהבית לים?

פתרון

נגדיר:
t1  זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.
t2 זמן ההליכה בדרך חזור בשעות.

המשוואה הראשונה היא:
t1 + t2 = 6
t2 = 6 – t1

נשים את הנתונים בטבלה
(הנתונים בשחור, המסקנות באדום)

זמןמהירותדרך
דרך הלוךt144t1
דרך חזורt288t2

הדרך הלוך שווה לדרך חזור:
4t1 = 8t2
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה זו:
(4t1 = 8 (6 – t1
4t1 = 48 – 8t1  /+8t1
12t1 = 48  / :12
t1 = 4

t2 = 6 – t1
t2 = 6 -4 = 2

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.

סעיף ב: המרחק מהבית לים.
הוא הלך 4 שעות במהירות 4 קמ"ש.
לכן המרחק הוא:
16 = 4*4
המרחק מהבית לים הוא 16 ק"מ

תרגילים נוספים

תרגיל 4
מכונית יצאה לדרכה במהירות 90 קמ"ש. כאשר הגיעה אל תחנת דלק עצרה בתחנה למשך חצי שעה.
לאחר התדלוק  המשיכה את נסיעתה במהירות 70 קמ"ש עד שהגיעה ליעדה הנמצא 255 ק"מ מנקודת המוצא.
עברו 4 שעות מיציאת המכונית ועד שהגיעה ליעדה.
חשבו את זמן הנסיעה עד לתחנת הדלק ומתחנת הדלק.

פתרון

תיאור המסלול של המכונית

תיאור המסלול של המכונית

ניתן לפתור את התרגיל בעזרת משתנה אחד או שני משתנים.
בהתחלה נפתור עם משתנה אחד ולאחר מיכן עם שני משתנים.

שלב א: הגדרת זמן כמשתנה ובאמצעותו את הדרך
t זמן הנסיעה בשעות עד תחנת הדלק.
4 מינוס t מינוס חצי זמן הנסיעה בקטע השני
90t  הדרך שהמכונית עברה עד תחנת הדלק.
הדרך מתחנת הדלק ועד הסיום

שלב 2: בניית משוואה ופתרונה
בשני הקטעים ביחד המכונית עברה 255 ק"מ. לכן משוואה היא:
90t + 70(3.5-t) = 255
90t + 245 -70t = 255 / -245
20t = 10  / :20
t = 0.5
3 =0.5 – 0.5 – 4

תשובה: משך זמן הנסיעה עד תחנת הדלק הוא 0.5 שעות. משך הנסיעה מתחנת הדלק ועד לסיום הוא 3 שעות.

פתרון התרגיל עם שני משתנים
t1 זמן הנסיעה עד תחנת הדלק.
t2  זמן הנסיעה מתחנת הדלק ועד הסוף.

90t1   הדרך שהמכונית עברה בקטע הראשון.
70t2  הדרך שהמכונית עברה בקטע השני.

המשוואות שלנו הם:
סכום הזמנים הוא 4.
t1 + t2 = 3.5
(כי חצי שעה הייתה מנוחה).

סכום המרחקים הוא 255
90t1 + 70t2 = 255

נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ונגיע לאותה תשובה כמו בדרך הראשונה

תרגיל 5
על פרחים אדומים יש 10 עלים. על פרחים צהובים 16 עלים.
בגינה יש 20 פרחים שכולם אדומים או צהובים. ובסך הכל 248 עלים.
כמה פרחים אדומים וכמה צהובים בגינה?

פתרון
x   מספר הפרחים האדומים
10x  מספר העלים על פרחים אדומים .
y מספר הפרחים הצהובים
16y  מספר העלים על הפרחים הצהובים

סך הכל יש 20 פרחים:
x + y = 20
מספר העלים הוא 248
10x + 16y  = 248

יש לנו שתי משוואות עם שני נעלמים
x + y = 20
10x + 16y  = 248

נפתור בשיטת השוואת מקדמים:
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 10.
10x + 10y = 200
10x + 16y  = 248

נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה
6y = 48  / :6
y = 8

מספר הפרחים האדומים הוא:
x + 8 = 20
x=12
תשובה: בגינה 12 פרחים אדומים ו 8 צהובים.

עוד באתר:

חזקות: שאלות מהסוג איזה ביטוי יותר גדול?

לפעמים תתקלו בשאלות הנראות כך.
קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
210   או   415

מה היא דרך הפתרון של התרגילים הללו?

  1. המטרה שלנו היא לגרום לשני הביטויים להיות בעלי אותו בסיס חזקה או בעלי אותו מעריך חזקה.
  2. על מנת להגיע אל המטרה הזו נשתמש בחוק החזקה:
    am)n = am * n)  (חזקה של חזקה).

תרגילים

דוגמה 1 (השוואת בסיסי חזקה)
קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
210   או   415

פתרון
ננסה להציג את שני הביטויים בעזרת הבסיס 2.

230 גדול יותר מ 215 לכן ניתן לקבוע:
415 > 210

דוגמה 2 (קשה יותר)
קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
278   או   920

פתרון
במקרה זה לא ניתן להביא את 27 לבסיס 9.
אבל ניתן להביא גם את 27 וגם את 9 לבסיס 3.

מכאן ניתן לקבוע:
920 > 278

דוגמה 3 (השוואת מעריכי חזקה)
קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
340   או   720

פתרון
לא ניתן להביא את 3 ו 7 לאותו בסיס חזקה.
לכן ננסה להביא את הביטויים לאותו מעריך חזקה.
ננסה לכתוב את הביטוי 340 עם מעריך חזקה שהוא 20.

ומכוון ש:
920 > 720
ניתן לקבוע כי:
340 > 720

דוגמה 4 (קשה יותר)
קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
920   או   830

פתרון
את 9 ו 8 לא ניתן להביא לאותו בסיס.
לכן ננסה להביא את מעריכי החזקה לאותו מעריך.
שני מעריכי החזקה יכולים להפוך למעריך חזקה 10.

ומכוון ש:
51210 > 8110
ניתן לקבוע:
830 > 920

דוגמה 5
קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
330   או   620

פתרון
נביא את שני הביטויים למעריך חזקה 10.

מכוון ש:
3610 > 2710
ניתן לקבוע כי:
620 > 330

עוד באתר:

דלתון קעור

דלתון קעור כמו דלתון רגיל מורכב משני משולשים שווה שוקיים.
AD = AB
BC = CD

ההבדלים בין דלתון קעור לדלתון קמור

יש כמה דרכים לזהות דלתון קעור ולראות את ההבדלים בינו ובין דלתון "רגיל" שהוא הדלתון הקמור.

1.בדלתון קעור האלכסון המשני הוא חיצוני לדלתון.
לעומת זאת בדלתון קמור האלכסונים נחתכים בתוך הדלתון.

BD הוא האלכסון המשני החיצוני של הדלתון

BD הוא האלכסון המשני החיצוני של הדלתון

2.בדלתון קעור אחת הזווית דרכם עובר האלכסון הראשי צריכה להיות גדולה מ 90 מעלות.
זו הזווית C שבשרטוט.
לעומת זאת בדלתון קמור זו זווית הקטנה מ 90 מעלות.

הזווית המסומנת באדום גדולה מ 90 מעלות בדלתון קעור

הזווית המסומנת באדום גדולה מ 90 מעלות בדלתון קעור

3.בדלתון קעור הזוויות המסומנת הן זוויות חדות.
לעומת זאת בדלתון קמור אלו זוויות הגדולות מ 90 מעלות.

הזוויות B,D הן זוויות חדות בדלתון קעור

הזוויות B,D הן זוויות חדות בדלתון קעור

תכונות דלתון קעור

התכונות של דלתון קעור אלו תכונות זהות לתכונות של דלתון רגיל.

משפט הדלתון
האלכסון הראשי בדלתון או המשכו חוצה חוצה את האלכסון המשני, מאונך לו. האלכסון הראשי הוא חוצה זווית של הזוויות מיהן הוא יוצא ומגיע.

על פי משפט הדלתון:

  1. AE⊥ BD
  2. DE = EB
  3. DAC = BAC,   DCA = BCA

משפט הדלתון חלק מהמשפטים בגיאומטריה שניתן להשתמש בבגרות ללא הוכחה.
זה המשפט היחיד בנושא דלתון שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

שימו לב
האלכסון הראשי הוא AC.
הקטע CE הוא המשכו של אלכסון הדלתון.
כאשר שואלים אותכם לאורך האלכסון הראשי מתכוונים לקטע AC בלבד.
כך גם כשאר נחשב את שטח הדלתון, נשתמש בקטע AC בלבד.

תכונה נוספת של הדלתון הקעור
לדלתון קעור תכונה נוספת שאותה צריך להוכיח על מנת להשתמש בה והיא ש:
זוויות B = D.

כיצד מוכיחים תכונה זו?
על ידי חפיפת משולשים.

  1. AD = AB   צלעות שוות על פי הגדרת הדלתון כמורכב משני משולשים שווה שוקיים.
  2. BC = DC  צלעות שוות על פי הגדרת הדלתון כמורכב משני משולשים שווה שוקיים.
  3. AC  צלע משותפת.
  4. ACD ≅ACB על פי צ.צ.צ.
  5. B = D זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

שטח דלתון קעור

שטח דלתון קעור מחושב כמו שטח דלתון קמור על ידי מכפלת האלכסונים חלקי 2.

SABCD = 0.5AC * BD

שימו לב שאנו משתמשים בנוסחה באלכסון הראשי בלבד (בקטע AC) ולא באלכסון כולל המשכו שהוא AE.

עוד באתר:

תרגילים פתורים מהבגרות גיאומטריה 481

בדף זה פתרונות לתרגילים מהבגרות בנושא גיאומטריה שאלון 481.
12 פתרונות לשנים 2016 – 2019.

בפתרונות יש דגש על הסבר מה היא דרך המחשבה שהייתה אמורה להביא אותכם לפתרון. אבל לא הפתרונות יש פתרון מלא של משוואות או נימוקים כפי שהם צריכים להיכתב בבגרות.

קייץ 2019 שאלה 4

הפתרון של שאלה זו הוא הנחייה לפתרון ולא פתרון מלא.
סעיף א
קו המחשבה המוביל לפתרון הוא: כיצד למצוא זוויות מתחלפות או מתאימות שוות על מנת להוכיח שהישרים מקבילים?
משתמשים במשפט "רדיוס המעגל מאונך למשיק בנקודת ההשקה" ולכן OEA גודלה 90. ואז יש לנו זוויות חד צדדיות המשלימות ל 180 מעלות או זוויות מתאימות שוות.

סעיף ב
קו המחשבה צריך להיות: "מה הקשר בין הסעיף הקודם לסעיף הזה?".
בסעיף הקודם הוכחנו שהישרים מקבילים ובסעיף זה נוכיח בעזרת הישרים המקבילים כי הזוויות שוות.
OEC = OCE  כי   OE = OC שתי הצלעות הן רדיוסים שווים.
OEC = ACE זוויות מתחלפות שוות ומכך מגיעים לתשובה.

סעיף ג
זווית CEB שווה 90 כי זו זווית היקפית הנשענת על קוטר.
בסעיף הקודם הוכחנו
OCE = ACE
המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ד 1
קו המחשבה הוא "הצלעות הנתונות והמבוקשות הם חלק מהצלעות של המשולשים הדומים, לכן נבנה משוואה בעזרת דמיון משולשים" הסבר מפורט כאן.

EC² = AC * BC = 64
EC = 8

סעיף ד 2
קו המחשבה צריך להיות: "מה הקשר בין הסעיף הקודם לסעיף הזה?".
והקשר הוא שלאחר שמצאנו את EC אנו יודעים את שני הניצבים במשולש CEB ניתן לחשב את הקוטר בעזרת משפט פיתגורס.
EB הוא רדיוס, מחצית הקוטר שמצאנו.

קייץ 2019 מועד ב שאלה 4

הפתרון של שאלה זו הוא הנחייה לפתרון ולא פתרון מלא.
סעיף א
הזווית ההיקפית A נשענת על קוטר ולכן גודלה 90.
D = B שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר.
דמיון משולשים על פי ז.ז

סעיף ב
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם עוזר לי".
והסעיף הקודם עוזר בכך ש: ACB = NCD הם זוויות מתאימות שוות.
לכן CN הוא חוצה זווית.
CN הוא גובה וחוצה זוויות במשולש ולכן המשולש שווה שוקיים.

סעיף ג
כיוון המחשבה צריך להיות  "בניית משוואה עם הצלעות המבוקשות על פי דמיון המשולשים."
ובנוסף לחשוב איך זה שהוכחנו בסעיף הקודם את המשולש שווה שוקיים עוזר כאן.
בעזרת דמיון המשולשים נבנה את המשוואה הכוללת את הצלעות שיש במשוואה המבוקשת.

AC*DC = BC *NC
נזכור כי בסעף הקודם מצאנו:
AC = DC
לכן
AC² = BC *NC

סעיף ד
BC = 2R = 10
CD = AC = 4
מציבים את שני אלה במשוואה הקודמת ומוצאים את NC.

חורף 2019 שאלה 4

הפתרון של שאלה זו הוא הנחייה לפתרון ולא פתרון מלא.
סעיף א
AFB = 90 זווית היקפית הנשענת על קוטר.
BAC = 90 זווית בין רדיוס למיתר בנקודת ההשקה שווה ל 90.
בנוסף זווית B היא זווית משותפת לכן המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ב
בעזרת דמיון המשולשים ויחס הדמיון נבנה משוואה הכוללת את הצלעות שנתנו לנו את גודלם ואת הצלע המבוקשת.
כמו כן נשים לב כי:
CB = FC + FB = 25

AB² = FB * CB = 9 *25 = 225
AB =15

סעיף ג
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם עוזר לי".
בעזרת משפט פיתגורס במשולש ABF נמצא את AF.
AF = 12
ואז נחשב את שטח המשולש:
S = 0.5 * 12 * 16 = 96

סעיף ד
כן.
AFC = CAB = 90
C זווית משותפת.

קיץ 2018 שאלה 4

סעיף א:
על מנת להוכיח ש BA הוא חוצה זווית עלינו להוכיח כי:
ABD = CBA.
לכן נגדיר:
ABD = a∠
וננסה להוכיח כי גם CBA = a.

  1. AMC = 2a∠ כי AMC = 2ABD על פי הנתונים.
  2. BMA = 180 – 2a זוויות צמודות.
  3. MA = MB שניהם רדיוסים במעגל ולכן משולש MAB הוא שווה שוקיים.
  4. MBA = MAB = a במשולש MAB זוויות הבסיס שוות ומשלימות את זוויות BMA ל 180 מעלות.

ABD = ∠CBA = a∠   ולכן BA הוא חוצה זווית.

סעיף ב:
קו המחשבה צריך להיות " איך הסעיף הקודם עוזר לי לפתור את הסעיף הזה".

  1. AMC = 2a זו הייתה הגדרה שלנו.
  2. CBD = ABD = ∠CBA = 2a
  3. C זווית משותפת.
  4. CBD ∼ CMA משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ג
כיוון המחשבה " M הוא אמצע BC כי הוא מרכז המעגל ו BC הוא קוטר.
נותר להוכיח כי A הוא אמצע DC, כלומר צריך להוכיח ש BA הוא תיכון"
נוכל להוכיח זאת אם נוכיח כי CBD הוא משולש שווה שוקיים.
וזה ברור שזה כך כי CMA המשולש הדומה לו הוא משולש שווה שוקיים.

דרך ראשונה להוכחה כי CMA הוא משולש שווה שוקיים.

  1. BAC = 90 כי זו זווית היקפית הנשענת על קוטר.
  2. BA הוא גובה וחוצה זווית לכן משולש CBD הוא משולש שווה שוקיים.
  3. A הוא אמצע BC כי במשולש שווה שוקיים CBD הגובה הוא תיכון.
  4. לכן MA הוא קטע אמצעים במשולש DBC כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומגיע אל אמצע צלע אחרת הוא קטע אמצעים.

דרך שנייה להוכחה כי המשולש CMA הוא שווה שוקיים

  1. MCA = MAC = D זוויות מתאימות בין משולשים דומים.
  2. משולש CMA הוא שווה שוקיים כי מול זוויות שוות במשולש נמצאות צלעות שוות.
  3. A הוא אמצע DC כי במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית BA הוא גם תיכון.
  4. לכן MA הוא קטע אמצעים במשולש DBC כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומגיע אל אמצע צלע אחרת הוא קטע אמצעים.

סעיף ד:
שטח המשולש CBD הוא:

מכוון שנתון שמשולש ABM הוא משולש שווה צלעות.
ומכוון MB = MA = R אז גם BA = R.

עכשיו צריך להגדיר את DC באמצעות R.

הוכחנו כי משולש CBD הוא שווה שוקיים.
BA הוא גובה לבסיס ולכן גם תיכון.
CD = 2CA (משוואה 1).

בעזרת משפט פיתגורס נגדיר את CA באמצעות R במשולש BAC.
במשולש BAC על פי משפט פיתגורס:
CA² = BC² – BA² = (2R)² – R² = 3R²
CA = √3 R

שטח משולש CBD הוא:
SCBD = 0.5(DC * BA) = 0.5 * √3 R * R= 0.866R²

דרך נוספת להגדרת CA היא לבנות משוואה בעזרת דמיון המשולשים CBD ∼ CMA.

קיץ 2018 מועד ב

הפתרון של שאלה זו הוא הנחיות לפתרון ולא פתרון מלא
סעיף א

כיוון המחשבה צריך להיות "סעיפי א בשאלות לרוב נפתרים על ידי משפט, מה המשפט המתאים לשאלה זו"?

  1. ABE = FED  זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר.
  2. FED = CDE זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
  3. ABE = CDE  נובע מ 1,2.

סעיף ב

  1. ABE = CDE הוכחנו בסעיף הקודם.
  2. E זווית משותפת
  3. CDE ∼ ABE על פי ז.ז

סעיף ג
המשפט אומר "ניתן לחסום מרובע במעגל אם סכום הזוויות הנגדיות שלו הוא 180 מעלות"
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם שהוא דמיון משולשים עוזר לנו?"

נגדיר את שלושת הזוויות במשולש CDE כ X,Y,Z ובאמצעות התכונות של זוויות צמודות המשלימות ל 180 מעלות ובאמצעות זוויות מתאימות בין משולשים דומים נמצא את 4 זוויות המרובע ABCD ונוכיח כי סכום זוויות נגדיות במרובע הוא 180 מעלות.

סעיף ד
כיוון המחשבה צריך להיות "נבנה משוואה הכוללת את הצלעות המבוקשות בעזרת דמיון משולשים שמצאנו בסעיף ב".

ED * AB = CD * EB
ED * 3EB = 4*12
3EB² = 48
EB² = 16
EB = 4  או  EB = -4
מכוון שגודל של צלע הוא מספר חיובי אז התשובה היחידה  היא EB = 4.

חורף 2018 שאלה 4

סעיף א
דרך ראשונה להוכחה

  1. OB = OA שניהם רדיוסים ולכן משולש OAB הוא משולש שווה שוקיים.
  2. E הוא אמצע AB כי OE הוא גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים AOB.
  3. O היא אמצע AC כי זו נקודת מרכז המעגל ו AC הוא הקוטר.
  4. OE הוא קטע אמצעים במשולש ACB כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומגיע לאמצע צלע שנייה במשולש הוא קטע אמצעים.

דרך שנייה להוכחה

  1. B= 90  זווית היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות.
  2. B = OEA כי OE מאונך ל AB.
  3. OE | | BC אם זוויות מתאימות שוות בין שני ישרים אז הישרים מקבילים.
  4. O היא אמצע AC כי זו נקודת מרכז המעגל ו AC הוא הקוטר.
  5. OE הוא קטע אמצעים במשולש ACB כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע השלישית במשולש הוא קטע אמצעים.

סעיף ב
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם עוזר לנו?" ובנוסף "במעגל הרבה מוכיחים שמיתרים שווים בעזרת זוויות שוות הנשענות עליהם"

בסעיף הקודם למדנו כי:
E היא אמצע AB כי OE הוא קטע אמצעים.
כמו כן:
OB = OA שניהם רדיוסים

לכן:
BOF = AOF כי במשולש שווה שוקיים AOB הישר OE הוא תיכון ולכן גם חוצה זווית.
AF = FB זוויות מרכזיות שוות נשענות על מיתרים שווים.

סעיף ג (קשה יחסית)

  1. OBC הוא משולש שווה שוקיים כי OB,OC הם רדיוסים.
  2. BOC = 180 – 60 – 60 = 60 סכום זוויות במשולש BOC הוא 180.
  3. משולש BOC הוא שווה צלעות שבו כל צלע שווה ל R כי שלושת זוויותיו גודלן 60.
  4. מרובע FOCB הוא מקבילית כי צלעות FO,BC הן שוות ומקבילות.
  5. מרובע FOCB הוא מעוין כי OF = OC = R ואם שתי צלעות סמוכות במקבילית שוות אז המרובע הוא מעוין.

קיץ 2017 שאלה 4

שרטוט התרגיל גיאומטריה קיץ 2017

א. נוכיח כי AEB = ∠BDC∠
נגדיר AEB=β∠
CGE=90- β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש CEG.
FGD =∠CGE= 90 – β∠  – זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
BDC = β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש FGD.
AEB = ∠BDC = β∠

ב. הוכחה ש: AEB ≅ BDC

  1. DC=BE – נתון.
  2. AEB = ∠BDC = β∠ – מצאנו בסעיף א.
  3. BCD = ∠ABC=90∠
  4. AEB ≅ BDC  משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז

ג. הוכחה ש: GCE ∼ ABE.

  1. BEA = ∠CEG∠   – זווית משותפת.
  2. ECG = ∠ABE=90∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. GCE ∼ ABE  – משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז

מציאת היחס GC / AB

  1. נגדיר את אורך EC כ X ס"מ.
  2. CB=4CE=4X
    EB= CB+CE=5X
  3. יחס צלעות מתאימות בין משולשים דומים שווה זה לזה לכן:
    GC / AB = EC / EB = X/5X = 1/5

תשובה: היחס הוא 1:5.
הערה: במקום בדמיון משולשים היה ניתן בהרחבה הראשונה של משפט תאלס:
GC / AB = CE / EB = X/ 5X = 1/5.

קייץ 2017 מועד ב

סעיף א 1
המשפט המתאים למרובע החסום במעגל הוא "במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180"

  1. נגדיר  CBD = x.
  2. לכן FEC = 180 – x  במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
  3. FED = x  סכום זוויות צמודות הוא 180.
  4. FED = CBD = x מש"ל.

סעיף א 2
כיוון המחשבה שצריך להיות לנו "הוא איך הסעיף הקודם עוזר לנו?"

  1. BCD הוא משולש שווה שוקיים כי צלעות המעוין BC, CD שוות זו לזו.
  2. EDF = CBD = x  זווית בסיס במשולש שווה שוקיים BCD שוות זו לזו.
  3. FED = EDF = x  נובע מ 2 ו 4.
  4. FED משולש שווה שוקיים כי מול זוויות שוות יש צלעות שוות.

סעיף ב
בסעיפים הקודמים הוכחנו:

  1. FED = CBD = x
  2. FDE זווית משותפת.
  3. לכן המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ג
יחס הדמיון בין המשולשים הדומים הוא:
DB / DE = 3

לכן יחס שטחי המשולשים הוא:
9 = 3²
לכן שטח משולש DBC הוא:
18 = 9 * 2

במעוין האלכסון יוצר שני משולשים חופפים:
BCD ≅ BAD על פי צ.צ.צ

משולשים חופפים שווים בשטחם.
שטח המעוין מורכב משטחי שני המשולשים.
לכן שטח המעוין הוא:
S = 18 * 2 = 36
סמ"ר.

חורף 2017 שאלה 4

שרטוט התרגיל

פתרון מלא

א. נעביר אלכסון בדלתון AC.
1. ACB=30∠ האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.
2. A =180 -∠c=120∠ – סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל הוא 180 מעלות.
3. CAB=60∠ – האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.
4. B=180-60-30=90∠ – סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180 מעלות.
5. D=180-∠B=180-90=90∠ – סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל הוא 180 מעלות.

2. (חלק שני של סעיף א)
1. AC – הוא קוטר. (אם במעגל זווית היקפית (D∠) שווה ל 90 מעלות אז היא נשענת על קוטר).
2.   AB = 0.5AC =0.5*2R = R
במשולש ישר זווית ABC שבו זווית ACB=30∠ הצלע שמול זווית ה 30 מעלות שווה למחצית מהיתר.
3. AB=OA=OB=R – משולש AOB הוא משולש שווה צלעות.

סעיף ב
1. AB=AD – נתון.
2. AB=BO=OD=R – מצאנו בסעיף הקודם + OD הוא רדיוס.
3. ABOD – הוא מעוין שכל צלעותיו שוות לרדיוס.

סעיף ג
על פי משפט פיתגורס במשולש ABC.
BC² + 5²=10²
BC²+ 25 =100
BC²=75
BC=√75

סעיף ד
עלינו להראות כי משולש BCD הוא שווה צלעות (כל זוויות שוות 60).
1. BC=DC – נתון.
2. C=60∠ – נתון.
3. BDC=∠DBC∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים BDC שוות זו לזו.
4.   BDC=∠DBC= (180-60)/2=60∠ – סכום הזוויות במשולש BDC הוא 180 מעלות.
5. משולש ABO ומשולש BCD הם משולשים דומים על פי משפט ז.ז משום שבשתי המשולשים כל הזוויות שוות ל 60 מעלות.

קיץ 2016 תרגיל 4

שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

סעיף א
1. AOD=2*∠ACD=2a∠ – זווית מרכזית שווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת.
2. ACD=∠DCB=a∠ – על קשתות שוות נשענות זוויות היקפיות שוות.
3. ACO=∠ACD+∠DCB=2a∠
4. ACO=∠AOD∠ – נובע מ 1 ו 3.
חלק שני של סעיף א:
1. OA=OC – רדיוסים שווים במעגל.
2. ACO=∠OAC=2a∠ – במשולש שווה שוקיים ACO זווית הבסיס שוות.
3. AOD=∠OAC=2a∠
4. AC ║ DO – אם זוויות מתחלפות שוות בין קווים אז הקווים הם מקבילים.

סעיף ב
1. AO=OD=R – רדיוסים במעגל.
2. ODA=∠DAO∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ODA שוות זו לזו.
DAO=(180-2a)/2=90-a∠ – נובע מסעיף 2 ומכך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.

חלק שני של סעיף ב
כרגע ידוע כי AC ║ DO.
אם נוכיח גם כי AD ║ CO אז המרובע יהיה מקבילית על פי המשפט שמרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
מתי AD ║ CO? כאשר DAO=∠AOC∠ משום שאלו זוויות מתחלפות.

נמצא את AOC∠.
1. AO=OC=R – רדיוסים שווים במעגל.
2. ACB=2a∠ – מצאנו בחלק השני של סעיף א.
3. ACB=∠OAC=2a∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
4. AOC=180-4a∠ – סכום הזוויות במשולש AOC שווה ל 180 מעלות.
5. על מנת ש: DAO=∠AOC∠ צריך להתקיים:
180-4a=90-a
90=3a
30=a
תשובה: על מנת שמרובע ACOD יהיה מקבילית 30=a.

קיץ 2016 מועד ב שאלה 4

נתונים:

ABCD טרפז שווה שוקיים החסום במעגל.
DC קוטר במעגל.
E נמצאת על המשך האלכסון BD.
EC משיק למעגל.

שרטוט התרגיל גיאומטריה קיץ 2016 מועד ב

 

פתרון

סעיף א. נדרש להוכיח ΔDAC ∼ ΔECD

  1. DCB=90∠  – רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
  2. DAC=90∠ – זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל 90 מעלות.
  3. DCA= ∠EDC∠ – זווית היקפיות הנשענות על מיתרים שווים (שוקיים בטרפז שווה שוקיים) שוות בגודלן.
  4. ΔDAC ∼ ΔECD – דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב.  חישוב רדיוס המעגל.
DE=36, AC=25

  1. r – רדיוס המעגל. DC=2r
  2. נשים לב שקוטר המעגל (2r) הוא צלע בשני המשולשים. על פי יחס הדמיון:
    DE/ DC = DC/ AC
    DC² = AC*DE
    2r)² = 36*25)
    4r²=900 /:4
    r²=225
    r=15
    הרדיוס הוא 15 ס"מ.

סעיף ג. חישוב שטח משולש ΔDAC

  1. על פי משפט פיתגורס במשולש ΔDAC
    DC² = AD² + AC²
    30² = AD² + 25²
    900 = 625 + AD²
    275 = AD²
    AD= √275
  2. שטח המשולש הוא:
    2 / (275√ * 25)
    207.289
    תשובה: שטח משולש  ΔDAC הוא 207.289 סמ"ר.

חורף 2016

שרטוט התרגיל בגיאומטריה. חורף 2016 4 יחידות

נתונים:
משולש שווה שוקיים ΔABC (הצלעות AB=AC).
DA=AB.
EA משיק בנקודה A.

א. להוכיח כי AE הוא קטע אמצעים במשולש ΔBDC.

  1. נגדיר: ABC=a∠.
  2. BCA=∠ABC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ABC שוות זו לזו.
  3. EAC=∠ABC∠ – זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.
  4. EAC=∠BCA∠ – נובע מ 2 ו 3.
  5. EA ΙΙ FB  – אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
  6. AE הוא קטע אמצעים ב ΔBDC  – אם ישר יוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע השלישית במשולש אז הוא קטע אמצעים.

ב. להוכיח ש CD⊥BC.

  1. במשולש ΔBDC הישר CA הוא תיכון לייתר וגם CA=0.5BD.
  2. משולש שבו התיכון לייתר שווה למחצית היתר הוא משולש ישר זווית.
  3. ΔDCB הוא משולש ישר זווית C=90∠

עוד באתר:

פתרון שאלות מהבגרות בהסתברות 4 יחידות

בדף נפתור שאלות בהסתברות משאלון 481.
בדף יש את הפתרונות ללא שאלונים, את השאלונים ניתן למצוא באינטרנט.

קיץ 2018 מועד א שאלה 3

סעיף א
נגדיר:
x מספר האפרסקים שבסל.
ההסתברות שבפעם הראשונה הוציאה תפוח היא:

ההסתברות שבפעם השנייה הוציאה תפוח:

ההסתברות להוציא תפוח בשני הפעמים היא:

נכפיל במכנה המשותף  36 * (x + 1) (x + 2) ונקבל:
x + 1) (x+ 2) = 2*36)
x² +2x + x + 2 = 72   / -72
x² + 3x -70 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נשתמש בפירוק הטרינום:
x² – 7x + 10x – 70 = 0
x (x – 7) + 10 (x – 7) = 0
x + 10) (x – 7) = 0)
x = -10  או x = 7.

מספר האפרסקים שבסל לא יכול להיות 10-. לכן מספר האפרסקים שהיה בסל הוא 7.

סעיף ב
יש שני מצבים בהם הפרי השני הוא תפוח.
הראשון תפוח והשני תפוח. את ההסתברות הזו חישבנו והיא 1/36.
הראשון אפרסק והשני תפוח.

נחשב את ההסתברות הזו:
7/36 = 14/72 = (2/8) * (7/9)

סך כל ההסתברויות הוא:
2/9 = 8/36 = 1/36 + 7/36

תשובה: ההסתברות שהשני תפוח היא 2/9.

סעיף ג
ההסתברות שיצאו שני פירות מאותו סוג היא:
שיצא תפוח תפוח. זו הסתברות של 1/36.
שיצא אפרסק אפרסק.
נחשב את ההסתברות הזו:
21/36 = 42/72 = (6/8) * (7/9)

סכום ההסתברויות הוא:
11/18 = 22/36 = 1/36 + 21/36

תשובה: ההסתברות להוציא שני פירות מאותו סוג היא 11/18.

חלק שני
זו שאלה של הסתברות מותנית.
נגדיר  11/18 = (p (b זו ההסתברות להוציא שני פירות מאותו סוג.
p(a∩b) = 21/36 זו ההסתברות להוציא גם שני אפרסקים וגם שני פירות מאותו הסוג.
(p (a / b) = p (a∩b) : p (a / b
p (a / b)  = (21/36) : (11/18 ) = 0.954
תשובה: אם ידוע שיצאו שני פירות מאותו הסוג אז ההסתברות שיצאו שני אפרסקים היא 0.954.

קיץ 2018 מועד ב שאלה 3

סעיף א
שאלה זו מתאימה לדיאגרמת עץ.
נגדיר:
x ההסתברות לדגום בן הלומד בבית ספר.
1.25x  ההסתברות לדגום בת הלומדת בבית ספר.
x + 1.25x = 1
2.25x = 1  / : 2.25
x = 0.444  זו ההסתברות לבן.
1.25x = 0.555  זו ההסתברות לבת.

נבנה דיאגרמת עץ המציגה את השאלה:

דיאגרמת עץ

מבקשים מאיתנו לחשב את ענף מספר 1.
וזה מכפלת ההסתברויות המרכיבות אותו.
0.333 = 0.444 * 0.75.

סעיף ב
נגדיר (p (b ההסתברות לבחור תלמיד הגר בעיר.
הסתברות זו מורכבת מההסתברות לבן שגר בעיר (חישבנו, 0.333).
וההסתברות לבת שגרה בעיר.
נחשב את ההסתברות לבת הגרה בעיר:
0.333 = 0.6 * 0.555

ההסתברות של תלמיד הגר בעיר היא סכום ההסתברויות:
0.666 = 0.333 + 0.333
p (a ∩ b) = 0.333 ההסתברות לבת וגם גרה בעיר.
(p (a / b) = p (a∩b) : p (a / b
p (a / b) = 0.333 / 0.666 = 1/2
תשובה: אם ידוע שנחבר תלמיד הגר בעיר ההסתברות שזו בת היא 1/2.

סעיף ג
אנו יודעים שהחלק של אלו הגרים בעיר הוא:
0.666 = 0.333 + 0.333
600 = 900 * 0.666
תשובה: 600 תלמידים גרים בעיר.

סעיף ד
זה סעיף הנפתר על ידי נוסחת ברנולי.
2/3 = 900 : 600 זו ההסתברות לבחור תלמיד מהעיר.
1/3 = 2/3 – 1  זו ההסתברות לבחור תלמיד שאינו מהעיר.

ההסתברות לבחור "לפחות 2" היא ההסתברות לבחור 2 או 3.
ההסתברות לבחור 3 היא:
0.0369 = 0.333³

את ההסתברות לבחור 2 מתוך 3 נחשב בעזרת נוסחת ברנולי.
המקדם הבינומי הוא:
3

0.221 = 0.666 * 0.333² * 3

סכום ההסתברויות של לבחור 2 ולבחור 3 הוא:
0.2579 = 0.221 + 0.0369
תשובה: 0.2579 (תתכן סטייה קלה בתשובה עקב "עיגולים" שנעשו לאורך הדרך.

חורף 2017 שאלה 3

סעיף א
p – ההסתברות שתלמיד הוא תושב עיר.
pᶟ=0.512
P=0.8
תשובה: ההסתברות שתלמיד הוא תושב עיר היא 0.8.

סעיף ב
עלינו לבחור 3 מתוך 4 ללא חשיבות לסדר וזה מתאים לנוסחת ברנולי.
מספר האפשרויות לקבל 3 מתוך 4 הוא:
4

נציב זאת בנוסחת ברנולי:
4*0.8ᶟ*0.2
0.4096 = 4*0.512*0.2
תשובה: ההסתברות שבדיוק 3 הם תושבי העיר היא 0.4096.

סעיף ג
נגדיר:
A – אין טלפון נייד.
B – תושב עיר.
מבקשים מאתנו למצוא את: (P(B/A
P(A)=0.18 – נתון.
נשאר לנו למצוא את (P(A∩B על מנת להציב בנוסחת ההסתברות המותנית.

P(A∩B)=P(A)*P(B)=0.8 * 1/8=0.1
P(B/A) = 0.1 : 0.18 = 0.555

תשובה: אם ידוע שלתלמיד אין טלפון נייד אז ההסתברות שהוא תושב עיר היא 0.18.

קיץ 2016 שאלה 3

סעיף א
נמצא איזה חלק מבין הנבחנים למד מחשבים ואיזה לא.
x – החלק של אלו שלא למדו מחשבים.
3x – החלק של אלו שלמדו מחשבים.
X+3x=4x=1
x=0.25
0.25 מהניגשים למבחן לא למדו מחשבים.
0.75 מהניגשים למבחן למדו מחשבים.
נמצא כמה עברו וכמה נכשלו במבחן.
Y – ההסתברות להיכשל במבחן.
4Y – ההסתברות לעבור את המבחן.
4y+y=5y=1
y=0.2
ההסתברות להיכשל במבחן היא 0.2, ההסתברות לעבור את המבחן היא 0.8.

נגדיר:
A – הצליחו במבחן.
A- – נכשלו במבחן.
B – למדו מחשבים
B- – לא למדו מחשבים.

זאת הטבלה הראשונית:

טבלה דו ממדית

זאת הטבלה לאחר ההשלמה:

סעיף א
p(A∩B ̅)=0.15

סעיף ב
P(B ̅/ A) = p( A∩ B) : P (A) = 0.15 : 0.8 = 0.1875

סעיף ג
ההסתברות המשלימה של "לכל היותר אחד עבר" היא ששני הנבחנים עברו. נחשב את ההסתברות המשלימה.
ההסתברות לעבור p(A)=0.8
0.64 = 0.8²
ההסתברות המשלימה היא:
0.36 = 0.64 – 1
תשובה: ההסתברות שלכל היותר אחד עבר היא 0.36.

עוד באתר:

הסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים

בדף זה נלמד כיצד מחשבים הסתברות של שניים או שלוש מאורעות בלתי תלויים.

מה זה מאורעות בלתי תלויים?
אלו מאורעות שאין בניהם קשר, מאורע אחד אינו משפיע על השני.
למשל:
זורקים קובייה וזורקים מטבע. אין קשר בין התוצאה של הקובייה והתוצאה של המטבע ולכן אלו מאורעות בלתי תלויים.

הנוסחה של חישוב ההסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים היא:
(P(A ∩ B) = P (A) * P (B
הנוסחה תהיה ברורה כאשר נפתור תרגילים.

תרגילים

תרגיל 1
זורקים מטבע וקובייה.

  1. מה ההסתברות שיצא המספר 4 בקובייה ו"פלי" במטבע?
  2. מה ההסתברות שיצא מספר זוגי בקובייה ופלי במטבע?

פתרון
סעיף א
הסתברות למספר 4 היא 1/6.
ההסתברות ל "פלי" היא 1/2.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/12.

סעיף ב
ההסתברות למספר זוגי בקובייה היא:
1/2 = 3/6
ההסתברות ל "פלי" היא 1/2.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/4

תרגיל 2
מסובבים רולטה שעליה המספרים 1,2,3 וההסתברות לקבלת כל אחד מהמספרים הללו שווה.
בנוסף זורקים קובייה.
מה ההסתברות שבקובייה יצא המספר 5 או 6 ואילו ברולטה לא יצא המספר 2?

פתרון
2/6 זו ההסתברות שבזריקת קובייה יצא 5 או 6.
בסיבוב הרולטה מבקשים בעצם שיצאו המספרים 1 או 3.
וההסתברות לכך היא:
2/3

ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/3.

תרגיל 3
בקופסה ראשונה יש 4 כדורים צהובים ו 2 אדומים.
בקופסה שנייה יש 1 כדור צהוב ו 3 ירוקים.
בקופסה שלישית יש רק 3 כדורים צהובים.
מוצאים כדור אחד מכל קופסה. מה ההסתברות שיצאו 3 כדורים צהובים?

פתרון
4/6 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה הראשונה.
1/4 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה השנייה.
1 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה השלישית.

ההסתברות ששלושת הדברים יקרו היא מכפלת ההסתברויות:

תשובה: ההסתברות להוציא 3 כדורים צהובים היא 1/6.

תרגילים קשים יותר

עד עכשיו כל התרגילים שלנו היו מורכבים ממכפלה של 2 או 3 הסתברויות.
כאשר כל הסתברות בנפרד היה קל יחסית לחשב.
בתרגילים היותר קשים החישוב של כל הסתברות נפרדת הוא לא כל כך קל.

תרגיל 1
זורקים 2 קוביות ומסובבים סביבון שעליו האותיות נ.ג.ה.פ.
מה ההסתברות שסכום המספרים על הקוביות יהיה גדול מ 5 ואילו הסביבון יפול על האותו פ.

פתרון
עבור סכום הגדול מ 5 בשתי הקוביות יש הרבה אפשרויות.
נוח יותר לחשב את ההסתברות לקבל סכום של 5 או פחות.
האפשרויות לקבל 5 או פחות הן:
1,1
1,2
1,3
1,4
2,1
2,2
2,3
3,2
קיבלנו 8 אפשרויות.
סך כל האפשרויות לצירופים בזריקת שתי קוביות ללא חשיבות לסדר המספרים הוא:
36 = 6²
לכן מספר הצירופים שדרכו ניתן לקבל יותר מ 5 הוא:
28 = 8 – 36
וההסתברות לכך היא 28/36.

ההסתברות לקבל "פ" בסביבון היא 1/4.
ההסתברות ששני הדברים יקרו היא:

תרגיל 2
אדם זורק קובייה פעמיים.
אם המספר המתקבל בקובייה הוא 6 אז הוא מקבל 2 נקודות.
אם המספר גדול או שווה ל 4 אך לא 6 הוא מקבל נקודה 1.
אם המספר קטן מ 4 האדם לא מקבל ניקוד.

  1. מה ההסתברות שהאדם יזכה בדיוק בשתי נקודות?
  2. אם ידוע שהאדם זכה בשתי נקודות. מה ההסתברות שהוא קיבל פעם אחת 6?
  3. 5 משתתפים במשחק (כל אחד זרק פעמיים) מה ההסתברות שבדיוק שני אנשים קיבלו שתי נקודות.

פתרון
סעיף א
יש שתי אפשרויות לקבל 2 נקודות.
לקבל 6 ומספר קטן מ 4 או מספר קטן מ 4 ולאחר מיכן 6.
או
לקבל פעמיים את המספרים 4 או 5.
נחשב כל אחת מההסתברויות הללו:

ההסתברות לקבל 6 ולאחר מיכן לקבל מספר קטן מ 4 היא:
1/6  זו ההסתברות לקבל 6.
3/6 זו ההסתברות לקבל מספר קטן מ 4.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:
1/12 = 3/36 = (3/6) * (1/6)
ההסתברות לקבל מספר קטן מ 4 בזריקה הראשונה ולאחר מיכן 6 שווה להסתברות שחישבנו.

1/6 = 2/12  זו ההסתברות לקבל 2 כאשר באחת הזריקות נקבל 6.

ההסתברות לקבל פעמיים את המספרים 4 או 5 היא:
2/6  זו ההסתברות לקבל 4 או 5 פעם אחת.
לכן ההסתברות לקבל פעמיים היא:
1/9 = 4/36 = 2/6 * 2/6

ההסתברות לקבל 2 היא סכום ההסתברויות שחישבנו:
5/18 = 1/9 + 1/6
תשובה: ההסתברות לקבל שתי נקודות היא 5/18.

סעיף ב
זו הסתברות מותנית.
0.277 = 5/18  זו ההסתברות לקבל 2 נקודות בכול הדרכים יחד.
0.1666 = 1/6  זו ההסתברות לקבל 6 בקובייה וגם לקבל שתי נקודות.

תשובה: אם ידוע שאדם קיבל 2 אז ההסתברות שהוא קיבל 6 באחת מזריקות הקובייה הוא 0.6

עוד באתר:

דיאגרמת עץ או טבלה

בדף זה ננסה להסביר אלו שאלות מתאימות לדיאגרמת עץ ואלו לטבלה.

לפני שנסביר אני רוצה להגיד שני דברים.

דבר ראשון
אין חובה לפתור תרגיל על ידי עץ או טבלה.
אם אתם רוצים ומסוגלים אתם יכולים לפתור תרגילים מבלי להשתמש באף אחת מהשיטות הללו.
תמיד תשתמשו בשיטה שתוביל אותכם לפתרון הנכון, זה הכלל הכי חשוב שאתם צריכים ללכת לפיו.

דבר שני
נזכיר את המבנה של הטבלה.
המספרים שבתוך הטבלה הם מספרים של וגם.

מאורע Aמאורע A¯
מאורע B(P(A∩B(P(A¯∩B(P(B
מאורע B¯(¯P(A∩B(¯P(A¯∩B(¯P(B
(P(A(¯P(A1

מכאן נעבור להסבר

נניח שהשאלה שלנו עוסקת בקבוצת בנים לעומת קבוצת בנות והאם הם הולכים או רצים בדרך חזרה הביתה מבית הספר.

השאלה שלנו מתחילה כך:
בישוב מסוים 0.6 מהתלמידים הם בנים והשאר בנות.
ההתחלה הזו מתאימה גם לבעיות עץ וגם לבעיות טבלה.
נניח ונרצה לבנות דיאגרמת עץ לשאלה היא תראה כך:

אם הנתון הבא יהיה: מבין הבנים 30% הולכים הביתה או רצים הביתה. אז הנתון הזה מתאים לנקודות A/ B. והשאלה מתאימה לדיאגרמת עץ.

גם אם הנתון הבא יהיה: בישוב יש 0.12 בנים שהולכים הביתה גם אז ניתן לבנות דיאגרמת עץ בצורה הזו:

ואז בונים את המשוואה:
x * 0.6 = 0.12
x = 0.2

אלו מקרים לא מתאימים לדיאגרמת עץ?

כאשר נותנים לנו נתון המדבר על שני ענפים.
למשל, 40% מתלמידי הישוב רצים הביתה.
זה נתון המתייחס לענפים B,C ולא לענף אחד בעץ לכן הוא מוביל לטבלה.

זה נתון שקשה לנו להשתמש בו בדיאגרמת עץ ולכן נבנה זה טבלה.

דוגמה לנתון נוסף המוביל לטבלה:
40% מהרצים הם בנים.
גם זה זה נתון המתייחס לענפים B,C ולא לענף אחד בעץ לכן הוא מוביל לטבלה.

לסיכום

גם בשאלות דיאגרמת עץ וגם בשאלות טבלה נקבל נתון המחלק את הקבוצה לשני חלקים.

ההבדל בין השאלות הוא:
בשאלות דיאגרמת עץ הנתון הנוסף יתייחס לענף בודד של העץ.
ואילו בשאלות טבלה הנתון הנוסף יתייחס לשני ענפים.

עוד באתר:

כיצד פותרים שאלות טבלה בעזרת דיאגרמת עץ

בחלק זה נפתור שאלה מלאה שיועדה להיפתר על ידי טבלה בעזרת דיאגרמת עץ.

תרגיל 1
ידוע כי 60% מהמגיעים לבריכה הם גברים והשאר נשים. כמו כן ידוע 40% מהמגיעים
לבריכה הם גברים שלא נכנסים למים. וכי  רק 30% מהמגיעים לבריכה נכנסים למים.
חשבו:

  1. מה ההסתברות לדגום גבר הנכנס למים?
  2. מה ההסתברות לדגום אישה שלא נכנסת למים?
  3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

פתרון:
נגדיר:
A – גבר.
A¯ – אישה.
B – אדם הנכנס למים.
B¯ – אדם שלא נכנס למים.

נתון:
P (A)=0.6
P(A∩B¯)=0.4
P (B)=0.3

הנתונים שהכי קל להשלים (אפילו כשאין טבלה) הם:
P (A¯)=0.4
P(B¯)=0.7

נציב את הנתונים בטבלה

מאורע A – גברמאורע A¯ – אישה
מאורע B – נכנסים למים(P(A∩B(P(A¯∩B0.3=(P(B
מאורע B¯  – לא נכנסים0.4=(¯P(A∩B(¯P(A¯∩B0.7=(¯P(B
P(A)=0.60.4=(¯P(A1

עכשיו כשאנו יודעים שהסכום של 2 התאים של השורות צריך להיות שווה לטור השורה מהסכם ואותו דבר עבור הטורים – קל לחשב את שאר הטבלה.

מאורע A – גברמאורע A¯ – אישה
מאורע B – נכנסים למים0.2=(P(A∩B0.1=(P(A¯∩B0.3=(P(B
מאורע B¯  – לא נכנסים0.4=(¯P(A∩B0.3=(¯P(A¯∩B0.7=(¯P(B
P(A)=0.60.4=(¯P(A1

1. מה ההסתברות לדגום גבר הנכנס למים? 

מה שמבקשים מאיתנו זה: (p(A∩B.
(P(A∩B) =(P(A)-P(B¯∩A
P(A∩B) =0.6-0.4=0.2
תשובה: אחוז הגברים שנכנס למים מכלל המגיעים לבריכה הוא 20%.

2. מה ההסתברות לדגום אישה שלא הכנסת למים?

מבקשים מאיתנו את (¯P(B¯∩A

ניתן לראות בטבלה כי:
(¯P(B) – P(B¯∩A) = P(B¯∩A
0.3 = 0.4 – 0.7
תשובה: ההסתברות לדגום אישה שלא נכנסת למים היא 0.3.

3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

הנשים הם 40% מכלל המגיעים לבריכה.
30% מכלל המגיעים לבריכה הם נשים שלא נכנסות למים.
לכן אם ידוע שבחרנו אישה ההסתברות שהיא לא נכנסת למים היא 40:30=0.75.
תשובה: במידה ובחרנו אישה ההסתברות שהיא לא נכנסת למים היא 0.75.

פתרון בעזרת דיאגרמת עץ

ידוע כי 60% מהמגיעים לבריכה הם גברים והשאר נשים. כמו כן ידוע 40% מהמגיעים
לבריכה הם גברים שלא נכנסים למים. וכי  רק 30% מהמגיעים לבריכה נכנסים למים.
חשבו:

  1. מה ההסתברות לדגום גבר הנכנס למים?
  2. מה ההסתברות לדגום אישה שלא נכנסת למים?
  3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

פתרון
זו דיאגרמת העץ המתאימה נתונים.

נסביר כיצד בנינו אותו.
0.4 שזו ההסתברות של ענף אחד אתם צריכים לדעת למה הוא שם.
x  מכוון שבענף אחד זו ההסתברות שחסרה לנו הגדרנו אותה כ x.
0.2  שזו ההסתברות של ענף 2 כי סכום ההסתברויות של ענף אחד וענף 2 הוא 0.6 (ההסתברות של גבר).
0.1  זו ההסתברות של ענף 4 כי סכום ההסתברויות של ענף 2 וענף 4 הוא 0.1 (יש 0.3 שנכנסים לבריכה).
0.3 זו ההסתברות של ענף 3

גיאומטריה אנליטית 4 יחידות פתרון בגרויות

בדף זה הצעה לפתרון של בגרויות בגיאומטריה אנליטית שאלון 481.

במהלך פתרון התרגילים יתכן ותצטרכו להשתמש במשפטים בגיאומטריה על מנת לפתור את התרגילים, אלו הם המשפטים הבולטים שעושים בהם שימוש:

  1. רדיוס המעגל מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
  2. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה באורכם.
  3. אם זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר במעגל (ולהפך).

את השאלונים עצמם תוכלו למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2018

פתרון מקוצר

  1. מוצאים את הנקודה E על ידי הנוסחה לאמצע קטע.
  2. ערך ה y בנקודה C הוא 0. רק ערך ה x  חסר לנו. נבנה משוואה עם נעלם אחד של EB = EC  (הנוסחה למרחק בין שתי נקודות).
  3. ערך ה x בנקודה K שווה לערך ה x בנקודה K (כי BF מאונך לציר ה x). נמצא את משוואת CE על פי שתי נקודות ונציב את ערך ה x של הנקודה K על מנת למצוא את ערך ה y של הנקודה K.
    בנוסף ניתן למצוא את הנקודה F ואז את המרחק KF.
  4. מצאנו את KF, כל שנותן לנו הוא לחשב את הגובה אל KF היוצא מהנקודה E. אורך הגובה הוא הפרש ערכי ה x של הנקודות E ו K.

פתרון מלא

סעיף א: מציאת הנקודה E.
E היא אמצע הקטע AB לכן נשתמש בנוסחה לאמצע קטע.

(E (3,2

סעיף ב: מציאת הנקודה C.
הנקודה C נמצאת על ציר ה x. לכן ערך ה y של C הוא 0.
רק ערך ה x בנקודה c חסר לנו.
נמצא את המרחק BE בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
לאחר מיכן נגדיר את ערך ה x של הנקודה c כמשתנה ונמצא אותו בעזרת אותה נוסחה.
(E (3,2)  B (7,4
לכן המרחק d בין הנקודות הוא:
d² = (7-3)² + (4-2)² = 4² + 2² = 20

נגדיר את הנקודה C כ:
(C (x, 0
המרחק שלה מהנקודה (B (7,4 הוא 20√.
לכן על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:
x – 7)² + (0 – 4)² = 20)
x – 7)² + 16 = 20)
x – 7)²  = 4 )
למשוואה זו שתי פתרונות:
x – 7 = 2
x = 9
או
x – 7 = -2
x = 5
בשאלה אומרים "ערך ה x בנקודה c גדול מערך ה x בנקודה B"
לכן התשובה x = 9 היא הנכונה.
(C (9, 0

סעיף ג: מציאת הנקודה k ואת אורך הקטע kf.


BF הוא אנך לציר ה x ולכן שומר על ערך x קבוע לכל אורכו.
בנקודה (B (7,4 ערך ה x הוא 7, ולכן גם בנקודה k ערך ה x הוא 7.

על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה K נמצא את משוואת הישר CE.
נשתמש במציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות.

נציב את ערכי הנקודה (C (9, 0 והשיפוע m = -0.333 בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
בצורה הזו נמצא את משוואת הישר CE.
(y-y1=m(x-x1
y – 0 = -0.333 (x – 9
y = -0.333x + 3   (זו משוואת הישר).

הנקודה k נמצאת על הישר CE וערך ה x שלה הוא הוא 7.
נציב במשוואת CE.
y = -0.333 * 7 + 3 = -2.333 + 3 = 0.666
הנקודה (K (7, 0.666

הנקודה f.
נמצאת על ציר ה x, לכן ערך ה y שלה הוא 0.
הישר BF מאונך לציר ה x ולכן שומר על ערך x שווה לכל אורכו.
ערך ה x בנקודה f הוא 7, בדיוק כמו בנקודה B.
(F (7,0

המרחק KF.
המרחק בין  (K (7, 0.666 ל (F (7,0 הוא על ציר ה y בלבד ושווה ל:
0.666 = 0 – 0.666

סעיף ג2: חישוב שטח המשולש EKF.
את אורך הצלע KF אנו יודעים (0.666).
על מנת לחשב את שוטח המשולש עלינו לחשב את אורך הגובה המגיע אל KF.
גובה זה יוצא מהנקודה E.
ומכוון KF מקביל לציר ה y, הגובה אל KF מקביל לציר ה x והגובה שומר על ערך y קבוע.
אורך הגובה תלוי רק בשינו ערכי ה x בתחילתו וסופו.
בנקודה E ערך ה x הוא 3, ועל הישר הוא 7.
לכן:
KF = 7 – 3 = 4.

שטח המשולש הוא:
S = (4 * 0.666) : 2 = 1.333
תשובה: שטח המשולש הוא 1.333 יחידות ריבועיות.

שרטוט משולש EKF והגובה היוצא מהנקודה E.

שרטוט משולש EKF והגובה היוצא מהנקודה E.

קיץ 2018 מועד ב

פתרון מקוצר

  1. מוצאים את הנקודה A שהיא נקודת מפגש לשני ישרים המקבילים לצירים. מציבים את הנקודה A במשוואת המעגל וכך מוצאים את רדיוס המעגל (או מחשבים את המרחק בין M ל A, המרחק הוא רדיוס המעגל).
  2. הנקודה C היא נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה y. לכן נציב x = 0 במשוואת המגעל ונמצא אותה. נמצא את משוואת BC על פי שתי נקודות.
  3. המרובע ABCM מורכב משני משולשים ישרי זווית וחופפים (בגלל ששני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה ובגלל שרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה).
    נחשב את האורך של BA, האורך של MA הוא הרדיוס. נחשב את שטח משולש BAM ונכפיל פי 2.
  4. הגודל של זווית BMC הוא 90. לכן BC הוא קוטר המעגל החוסם (כי אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר).

פתרון מלא

סעיף א: מציאת משוואת המעגל.
על מנת לדעת את משוואת המעגל אנו צריכים לגעת את נקודת מרכז המעגל ואת הרדיוס.
את נקודת מרכז המעגל אנו יודעים  (m (4,1.
את הרדיוס ניתן לחשב אם נדע נקודה על המעל, וניתן לדעת את הנקודה A.

הנקודה A נמצאת על הישר y=6 ולכן ערך  y שלה הוא 6.
הישר MA מאונך לישר y = 6 ולכן MA מקביל לציר ה y ושומר על ערך x קבוע לכל אורכו.
ערך ה x בנקודה A הוא 4 ולכן 4 הוא גם ערך ה x הנקודה m.
(A (4,6

נציב את הנקודה A במשוואת המעגל.
x-a)²+(y-b)²=R²)
R² = (4 – 4)² + (6 – 1)² = 5²
R² = 5²

תשובה: משוואת המעגל היא x-4)²+(y-1)²=5²)

סעיף ב: מציאת משוואת הישר BC
עלינו למצוא את הנקודה C.
אנו יודעים שהנקודה C נמצאת על ציר ה y ולכן ניתן להציב x = 0 במשוואת המעגל ולמצוא אותה.
y – 1)² + (0 – 4)² = 5²)
y – 1)² + 16 = 25)
y – 1)²  = 9)
למשוואה כזו יש שני פתרונות:
y – 1 = 3
y = 4
או
y – 1 = -3
y = -2
אנו רואים שהנקודה C נמצאת מתחת לציר ה x ולכן הפתרון המתאים הוא y = -2.
(C (0, -2

מציאת הנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y = 6. לכן ערך ה y שלה הוא 6.
שני משיקים היוצאים למעגל מאותה נקודה שווים באורכם BA = BC.
נניח שהנקודה היא (B(x, 6 ונבנה משוואת מרחק בין שתי נקודות.
BA = BC
(A (4,6) ,  C (0, -2
x – 4)² + (6-6)² = (x – 0)² + (6 + 2)²)
x² – 8x + 16 = x² + 64   / -x² – 64
8x = -48  / : 8
x = – 6
הנקודה (B(-6, 6

מציאת משוואת הישר BC.
(B(-6, 6)  C (0, -2
נמצא את השיפוע.

נציב m = -1.333 ו (C (0, -2 במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
(y + 2 = -1.333 (x – 0
y + 2 = -1.333x  / -2
y = -1.333x -2
תשובה: משוואת הישר BC היא y = -1.333x -2.

סעיף ג: חישוב שטח המרובע ABCM.

שני המשולשים BAM,  BCM הם משולשים ישרי זווית כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
סכום שטחי המשולשים הללו הוא שטח מרובע ABCM.

נחשב את אורכי הניצבים של המשולשים הללו
R = AM = AC = 5
BA = BC שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.

מצאנו שאורכי הניצבים במשולשים שווה ולכן שטחם שווה.
נחשב שטח משולש אחד ונכפיל פי 2, כך נמצא את שטח המרובע.
(A (4,6)  B(-6, 6
על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות
BA² = (-6 – 4)² + (6 – 6)² = 10² = 100
BA = 10
MA = 5 (רדיוס במעגל).

SBMA = (10 * 5) : 2 = 25
שטח המרובע כפול:
50 = 2 * 25.
תשובה: שטח המרובע ABCM הוא 50 יחידות ריבועיות.

סעיף ד: חישוב רדיוס החוסם את משולש BCM.
BCM = 90∠
לכן BM הוא קוטר המעגל החוסם (אם זוויות היקפית בת 90 מעלות נשענת על מיתר במעגל אז מיתר זה הוא קוטר).

נחשב את אורך BM, חצי מהאורך הזה הוא אורכו של הרדיוס.
(B(-6, 6), M (4,1
BM² = (6 – 1)² + (-6 – 4)² = 5² + 10²
BM² = 125
BM = √125
תשובה: אורך הרדיוס הוא
5.59 = 125√* 0.5

קיץ 2017

פתרון קצר

1.נמצא את שיפועי הרדיוסים MB ו MC על פי שתי נקודות.
הישרים AB ו AC מאונכים לרדיוסים ולכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-. כלומר ניתן למצוא את שיפועי AB, AC.
מוצאים את משוואת הישרים AB, AC על פי שיפוע ונקודה.
מוצאים את הנקודה A על פי מפגש של שני ישרים.

2. את AM מוצאים על פי מרחק בין שתי נקודות.
גודל הזווית B הוא 90 מעלות. על פי המשפט "אם זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר". לכן MA הוא קוטר המעגל החוסם, ולכן אמצע MA הוא נקודת מרכז המעגל.
חצי מאורך MA הוא רדיוס המעגל.
הנקודה C: על מנת לדעת אם הנקודה C נמצאת על המעגל נציב את ערכיה במשוואת המעגל ונראה האם משוואת המעגל מתקיימת.

פתרון מלא

כמו בכול השאלות שבהם יש משיק למעגל גם שאלה זו נשענת על המשפט "המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה".
וזה אומר שמכפלת השיפועים של המשיק ושל הרדיוס היא 1-.

נמצא את שיפוע הרדיוס MC.
(M (3,-4)   C (10,-5
1/7- = (10-3)  / (4+ 5-)
לכן שיפוע AC הוא 7.
נמצא את משוואת AC על פי נקודת ההשקה ושיפוע.
(y-y1 = m(x-x1
(y+5 = 7(x-10
y+5 = 7x -70 / -5
y=7x-75   – זו משוואת AC.

נמצא את שיפוע הרדיוס MB.
(M (3,-4)   B (-2,1
1- = (3- 2-) / (1+4)
לכן שיפוע AB הוא 1.
נמצא את משוואת AB על פי השיפוע ונקודת ההשקה.
(y-y1 = m(x-x1
(y – 1 = 1(x+2
y-1 =x+2 / +1
y=x+3  – זו משוואת AB.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים:
y=x+3
y=7x-75
7x-75 = x+3  / -x+75
6x = 78 /:6
x=13.
נמצא את ערך ה Y של הנקודה A.
y=x+3 = 13+3=16
תשובה: (A(13,16

ב) נשתמש בנוסחה למרחק בין שתי נקודות על מנת למצוא את אורך AM.
(A(13,16)  M (3,-4
d² = (13-3)² + (16+4)² = 100+400=500
d=√500
המרחק בין הנקודות A ו C הוא 500√ = 22.36 יחידות.

חלק שני:
מכוון שזווית ABM=90∠ אז AM קוטר המעגל (אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר אז המיתר הוא קוטר).
לכן מרכז המעגל החוסם את משולש ABM נמצא באמצע הקטע AM.
נחשב את אמצע AM.
(A(13,16)  M (3,-4
8 = 2 / (13+3)  – זה ערך ה X של מרכז המעגל.
6 = 2 / (4 – 16) – זה ערך ה Y של מרכז המעגל.
מרכז המעגל הוא הנקודה (8,6).

אנו גם יודעים כי אורך הקוטר MA שווה ל 500√ = 22.36 לכן אורך הרדיוס או מחצית.
r=22.36:2 = 11.18
r²=125
לכן משוואת המעגל החוסם את משולש ABM היא:
x-8)² +(y-6)² = 125)

חלק שלישי:
נציב את הנקודה (C (10,-5 במשוואת המעגל ונראה אם היא מקיימת אותה.
125=121 +4 = ²(5-6-) + ²(10-8)
מצאנו כי הנקודה C מקיימת את משוואת המעגל ולכן נמצאת עליו.

חורף 2017 שאלה 2

פתרון קצר

א. כן AB הוא קוטר משום שהזווית ההיקפית שנשענת עליו AOB שווה ל 90 מעלות (זו זווית הנוצרת על ידי הצירים). אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתן אז מיתר זה הוא קוטר.

ב. מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר הוא אמצע AB. את הרדיוס ניתן למצוא על ידי מציאת מרחק הנקודה A או B ממרכז המעגל.

ג. שיעור ה x של הנקודה C הוא בעצם אורך הגובה אל הצלע OB.
את האורך של OB אנו יודעים וגם את שטח המשולש, נותר לנו למצוא את הגובה.
ערך ה y של הנקודה C: מציבים את ערך ה x שמצאנו במשוואת המעגל ומוצאים את ערך ה y.

ד. הישר BC מקביל לציר ה y. לכן קל לחשב את אורך BC וגם את אורך הגובה מהנקודה M אל BC.

פתרון מלא

א. כן AB הוא קוטר משום שהזווית ההיקפית שנשענת עליו AOB שווה ל 90 מעלות (זו זווית הנוצרת על ידי הצירים). אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתן אז מיתר זה הוא קוטר.

ב. על מנת למצוא את משוואת המעגל עלינו למצוא את מרכז המעגל ואת הרדיוס.
מציאת מרכז המעגל
נמצא את מרכז המעגל על ידי מציאת אמצע הקטע AB.

מרכז המעגל הוא (M( -4,-2

מציאת הרדיוס
הנקודה 0,0 נמצאת על המעגל.
לכן המרחק שלה מהנקודה (M( -4,-2 שווה לרדיוס.
נמצא את המרחק באמצעות הצבה 0,0 במשוואת המעגל.
R²=(-4-0)² + (-2-0)²=16+4=20
R² = 20
משוואה המעגל היא:
x+4)²+(y+2)²=20)

ג. אורך הישר BO הוא 4 (בגלל ששתי הנקודות נמצאות על ציר ה Y והפרש ערכי ה Y שלהם הוא 4).
אם h הוא אורך הגובה לצלע BO אז צריך להתקיים:

אורך הגובה h=8 הוא המרחק על ציר ה X של הנקודה מהישר BO. מכוון שהנקודה C נמצאת ברביע השלישי ערך ה X הוא xc=-8.
על מנת למצוא את ערך ה Y של הנקודה C נציב את ערך ה X במשוואת המעגל:

מכוון שידוע שהנקודה C לא נמצאת על הצירים Y=-4.
(C(-8,-4

ד. 8 יחידות שטח.

קיץ 2016 תרגיל 2

פתרון קצר

א. פותרים שתי משוואות עם שני נעלמים.

ב. מוצאים את השיפוע של MA על פי שתי נקודות.
המשיק מאונך ל MA (כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה) ולכן אנו יכולים לדעת את שיפוע המשיק ויש לנו את הנקודה A דרכה עובר המשיק.
נמצא משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

ג. המשיק CA מאונך לרדיוס MA כי משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
נחשב את המרחקים CA, MA ונמצא את שטח משולש ישר זווית.

פתרון מלא

סעיף א
x²+y²=36   (משוואה 1)
x-7.5)²+y²=20.25)
x²-15x+56.25+y²=20.25 (2    (משוואה 2)
א. על מנת למצוא נקודת חיתוך נחסר את משוואה 2 ממשוואה 1.
15x-56.25=15.75 / +56.25
15x=72 /:15
x=4.8
נציב את ערך ה X שקיבלנו במשוואה אחת על מנת למצוא את ערך ה Y.
y² + 4.8²=36 /-23.04
y²=12.96
y=+-3.6
על פי הנתון A ברביע הראשון ולכן:
(A(4.8,3.6
(B(4.8, -3.6

סעיף ב
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה לכן נמצא את שיפוע הרדיוס MA.
(M(7.5 ,0
נשתמש בנוסחה למציאת שיפוע על פי 2 נקודות.

אם שיפוע המשיק הוא a אז מתקיים:

a= 0.75
עכשיו נמצא את משוואת המשיק על פי השיפוע ונקודה A.
(y-3.6=0.75(x-4.8
y-3.6=0.75x-3.6
y=0.75x
תשובה: משוואת המשיק היא y=0.75x.

סעיף ג
נמצא את ערכי נקודה C.
y=0.75x
x²+y²=36
x²+(0.75x)²=36

x²=23.04
x=+-4.8
4.8 זו הנקודה A. לכן עבור C מתקיים X=-4.8.
נמצא את ערך ה Y בנקודה C על ידי הצבה במשוואת הישר.
y=0.75*-4.8=-3.6
(C(-4.8, -3.6

סעיף ג
על מנת לפתור את השאלה עלינו להשתמש בעובדה שהמשיק CA מאונך לרדיוס MA ולכן משולש CMA הוא משולש ישר זווית.
ניתן לחשב את אורכי הצלעות AC ו MA בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות אך אין צורך.
MA הוא רדיוס ואורכו √20.25=4.5
AC עובר דרך מרכז מעגל 1 ולכן הוא קוטר. אורכו 2√36=12
לכן שטח המשולש:

תשובה: שטח משולש CMA הוא 27 יחידות ריבועיות.

עוד באתר:

הנחה והתייתקרות של מאות אחוזים

שינויים של מאות אחוזים לפעמים גורמים לבלבול.

דוגמה 1
מחיר מוצר הוא 8 שקלים. מחיר המוצר עלה ב 300%. מה המחיר החדש?

פתרון
נשים לב ש 300% היא העליה במחיר.
נחשב כמה הם 300% של 8.

24 זו העליה במחיר, לכן המחיר החדש הוא:
32 = 24 + 8
תשובה: המחיר החדש הוא 32.

דרך נוספת להסתכל על הבעיה היא:
100% הוא המחיר ההתחלתי. 300% הם התוספת.
לכן המחיר עכשיו הוא 400% מהמחיר המקורי.
400% מ 8 הם:

דוגמה 2
מחיר מוצר הוא 100 שקלים.
מחיר מוצר אחר הוא 300 שקלים.
בכמה אחוזים גבוה המחיר של המוצר השני?

פתרון
יש כאלו שיגידו: מחיר המוצר הוא פי 3 ולכן מחירו גבוה ב 300%.
לעומת זאת אנחנו נפתור את השאלה בעזרת חישוב.

המחיר גבוה ב 200 שקלים.
200/100 זה השבר המבטא את ההפרש של המחירים ביחס למחיר המוצר הראשון.
על מנת להפוך את השבר לאחוזים נכפיל את השבר פי 100.

תשובה: מחיר המוצר שמחירו 300 גדול ב 200% ממחיר המוצר שמחירו 100.

תרגילים

תרגיל 1
מחיר מוצר הוא 60 שקלים.
המחיר עלה ב 300%.
מה המחיר החדש של המוצר?

פתרון
נחשב את עליית המחיר של המוצר.

מחיר המוצר עלה ב 180 שקלים.
לכו מחירו החדש:
240 = 180 + 60
תשובה: המחיר החדש הוא 240 שקלים.

תרגיל 19
מחיר מוצר עלה עלה ב 500% ועכשיו מחירו 4200 שקלים.
מה היה מחיר המוצר לפני עליית המחיר?

פתרון
נגדיר:
x המחיר ההתחלתי של המוצר בשקלים.
עליה של 500% היא עלייה של 5x.

לכן המחיר לאחר העלייה הוא:
x + 5x = 6x

המחיר לאחר העלייה הוא גם 4200 שקלים.
לכן המשוואה היא:
6x = 4200 / :6
x = 700

תשובה: המחיר ההתחלתי של המוצר הוא 700 שקלים.

תרגיל 20
היחס בין מחירי שני מוצרים הוא 2:5
בכמה אחוזים גדול מחיר המוצר היקר ממחיר המוצר הזול?

פתרון
נגדיר את המחיר של שני המוצרים בעזרת x ואז נחשב את אחוז ההפרש במחיר.
2x מחיר המוצר הזול.
5x מחיר המוצר היקר

ההפרש במחיר של שני המוצרים הוא 3x.
נבדוק מה גודלו של הפרש זה באחוזים.
3x/2x זה השבר המבטא את ההפרש.

תשובה: מחיר המוצר היקר גדול ב 150% ממחיר המוצר הזול.

מציאת נקודת חיתוך של המעגל עם הצירים / חיתוך של ישר ומעגל

בדף זה נלמד 3 נושאים שהם בעצם נושא אחד:

  1. מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים.
  2. מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי X / Y שלה ידוע ואחד חסר.
  3. מציאת נקודת חיתוך של ישר המקביל לצירים עם המעגל.

מה משותף לשלושת הנושאים הללו? בשלושת המקרים הללו אנו נדע את משוואת המעגל וערך x או y של נקודה על המעגל. נציב את הערך הידוע במשוואת המעגל ונמצא את הערך השני.

1.מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים

כמו במשוואת ישר, בכמו בפרבולה וכמו בכול פונקציה אחרת.

  1. חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבה y = 0 במשוואה.
  2. חיתוך עם ציר ה y מוצאים על ידי הצבה x = 0 במשוואה.

תרגיל 1
נתונה משוואת המעגל x² + y² = 16. מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים.

פתרון
נציב x= 0 ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה y.
y² + 0² = 16
y² = 16
y = 4,  y = -4
נקודות החיתוך עם ציר ה y הן: (4-, 0)    (4, 0)

נציב y = 0  ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x
. x² + 0² = 16
x² = 16
x = 4,   x = -4
נקודת החיתוך עם ציר ה x הן: (0, 4-)    (0, 4)

שרטוט המעגל x² + y² = 16. ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

שרטוט המעגל x² + y² = 16. ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

תרגיל 2
נתונה משוואה המעגל x-2)2+(y-1)2=40)
מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.
פתרון
חיתוך עם ציר ה y
נציב X=0  על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y.
משוואת המעגל
y² -2y + 1 +4 = 40
y² – 2y + 5 = 40  / -40
y² – 2y – 35 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
נוסחת השורשים

ונקבל  Y=7 ו- Y=-5.
תשובה: נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- Y הם: (5-, 0)  (0,7).

חיתוך עם ציר ה x
על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X נציב במשוואת המעגל y=0.
x-2)2+(0 -1)2=40)
x2-4x+4+1=40  /-40
x2-4x-35=0

פתרונות המשוואה הריבועית הם: 8.244 = X או x=-4.244.
תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה- X הן  (0, 4.244-)  (0, 8.244)

שרטוט המעגל x-2)2+(y-1)2=40) ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

שרטוט המעגל x-2)2+(y-1)2=40) ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

 

2.מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי x / y שלה ידוע ואחד חסר

על מנת לפתור שאלות אלו נציב את הערך הידוע במשוואת המעגל ונמצא את הערך השני.

תרגיל 1
הנקודה A ברביע הרביעי ועל המעגל x – 3)² + (y + 1)² = 20)
ערך ה x בנקודה A הוא x= 5.
מצאו את הנקודה A.

פתרון
y + 1)² + (5 – 3)² = 20)
y² + 2y + 1 +4 = 20  / -20
y² + 2y – 15 = 0
נציב בנוסחת השורשים:

נוסחת השורשים

נפתור את המשוואה ונקבל הפתרונות של המשוואה הריבועית y = -5,  y = 3
מכוון שאמרו ש A נמצאת ברביע הרביעי הערך המתאים הוא y =-5
תשובה: ( A (5, -5

שרטוט המעגל הנקודה A והנקודה שנפסלה

שרטוט המעגל הנקודה A והנקודה שנפסלה

תרגיל 2
על המעגל x + 2)² + y² = 13)   
נמצאות הנקודות A, B שבהן y = 2. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון והנקודה B ברביע השני.
מצאו את הנקודות A ו B.

פתרון
נציב y =2 במשוואת המעגל ונקבל:
x + 2)² +2² = 13)
x² + 4x + 4 + 4= 13  /  – 13
x² + 4x – 5 = 0
נציב בנוסחת השורשים:
נוסחת השורשים

נפתור את המשוואה ונקבל: x = 1,  x = -5
תשובה: (A(1, 2)   B(-5, 2

שרטוט משוואה המעגל והנקודות A, B

שרטוט משוואה המעגל והנקודות A, B

3.מציאת נקודות חיתוך של ישר ומעגל

עושים זאת בדרך שכבר פתרנו איתה הרבה סעיפים: מציבים במשוואת המעגל.
הרבה פעמים לאחר ההצבה נקבל משוואה ריבועית שנצטרך לפתור.
מספר נקודות החיתוך בין הישר למעגל הוא כמספר הפתרונות של המשוואה הריבועית:
שתי פתרונות למשוואה הריבועית – שתי נקודות חיתוך. פתרון אחד – נקודת מפגש אחת (הישר משיק למעגל) 0 פתרונות – הישר והמעגל לא נפגשים.

תרגיל 1
מצאו את נקודת החיתוך של המעגל x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y=3.

פתרון
נציב y= 3 במשוואת המעגל. x – 2)²  + (3 -1)² = 20)
x² – 4x + 4 + 4 = 20   / -20
x² – 4x -12 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים:
נוסחת השורשים כ

אשר נפתור נקבל x = 6  או    x = -2
ערך ה y בנקודות הלל כבר ידוע לנו, כי הצבנו אותו y = 3.
תשובה: נקודות החיתוך של הישר y=3 עם המעגל x -2)² + (y -1)² = 20)
הן: (3, 6)   (3, 2-)

 נקודת החיתוך של המעגל x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y=3.

נקודת החיתוך של המעגל
x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y=3.

תרגיל 2
מצאו את נקודת החיתוך הנמצאת ברביע השלישי של הישר x = -4 עם המעגל x + 1) + y² = 21.25).

פתרון
נציב x = -4 במשוואת המעגל. y² + (-4 + 1)² = 21.25
y² + 9 = 21.25   / -9
y² = 12.25
y = 3.5   או   y=  -3.5

נקודות החיתוך הן (3.5-,  4-)   (3.5,  4-).
ביקשו מאיתנו למצוא נקודת חיתוך הנמצאת ברביע השלישי לכן רק הנקודה (3.5-,  4-) היא הפתרון.

נקודת החיתוך של הישר x = -4 עם המעגל x + 1) + y² = 21.25).

נקודת החיתוך של הישר x = -4 עם המעגל x + 1) + y² = 21.25).

מציאת נקודות חיתוך של ישר שאינו מקביל לצירים עם מעגל

במרבית בחינות הבגרות שבהן מופיע סעיף על חיתוך של מעגל וישר הישר הוא ישר המקביל לצירים.
אבל יתכן שבכיתה או בבחינת הבגרות שלכם שאלה הדורשת חיתוך של ישר שאינו מקביל לצירים.
כיצד מוצאים את נקודות החיתוך? בדיוק כפי שעשיתם עד עכשיו: מציבים את משוואת הישר בתוך משוואת המעגל.

תרגיל 3
מצאו את נקודת החיתוך של המעגל והישר הבאים:
x-5)²+(y-2)²=20)
y=7x+1

פתרון
נציב את משוואת הישר במשוואת המעגל x-5)2+(7x+1 -2)2=20)
x2-10x+25+(7x-1)2=20
x2-10x+25 + 49x2-14x+1=20 / -20
50x2-24x +6=0 / :2
25x2-12x+3=0

נבדוק על ידי חישוב ה"דלתא" אם למשוואה זו יש פתרונות.
3 * 25 * 4 – 12² 0 > 300 – 144
תשובה: הדלתא של משוואה ריבועית זו היא שלילית ולכן אין פתרונות למשוואה ואין נקודות חיתוך בין הישר למעגל.

שרטוט הגרפים של המעגל x-5)²+(y-2)²=20) והישר y=7x+1

שרטוט הגרפים של המעגל x-5)²+(y-2)²=20) והישר y=7x+1

עוד באתר: