ארכיון פוסטים מאת: לומדים מתמטיקה

בעיות קיצון מרחקים ושטחי משולשים

בדף זה נלמד לפתור בעיות קיצון (מינימום מקסימום) בהם מחשבים מרחקים או שטחי משולשים.
החלקים של הדף הם:

  1. הקדמה – מה הדבר היסודי שיש לדעת לפני שפותרים תרגילים.
  2. תרגילים.

כדאי לפתור לפני:

1.הקדמה

על מנת שתצליחו לפתור שאלות בנושא זה הכרחי שתדעו להגדיר נקודה הנמצאת על פונקציה באמצעות משתנה אחד בלבד.

לדוגמה:
אם נקודה נמצאת על הישר y = 2x – 1.
אז אנחנו יכולים להגיד שערך ה x של הנקודה הוא t (כאשר t הוא משתנה היכול להיות מספר כלשהו).

כאשר נציב
x = t
במשוואת הישר נמצא את ערך ה y של הנקודה.
y = 2x – 1
y = 2t – 1

מצאנו כי כל נקודה על הישר y = 2x – 1 מקיימת.
(t, 2t -1)

הימנעו מטעות נפוצה
תרגיל חישוב
(A (xA , xA² – 1
(B (xA , 4xA  + 4
מה אורכה של הצלע AB?

פתרון
התשובה הנכונה היא לחסר את ערך ה y של A מערך ה y של B.
AB = YB – YA
(AB= 4xA  + 4 – (xA² – 1

הטעות שלפעמים עושים היא להפוך את הסדר שבו מחסרים.
AB = YA – YB
(AB= xA² – 1  – (4xA  + 4

זו טעות בהקשר של בניית פונקציה.

במידה ונעשה כך המרחק יצא שלילי וזה יוביל לחוסר יכולת לפתור את התרגיל.

אם עשיתם טעות כזאת, האם יהיה לכם סימן בהמשך לטעות?
כן. אתם תמצאו נקודה הפוכה ממה שביקשו ממכם.
אמרו לכם למצוא מקסימום, אתם תמצאו מינימום. אמרו למצוא מינימום אתם תמצאו מקסימום.

2.תרגילים

תרגיל 1
בין שתי נקודות החיתוך של הפונקציות
f(x) = x² – 1
f(x) = 4x + 4
נמצאות הנקודות A,B (אחת על כל פונקציה) כך שיש להן את אותו ערך x.

  1. מצאו את ערך ה x עבורו המרחק בין הנקודות A,B הוא הגדול ביותר.
  2. חשבו את המרחק הגדול ביותר.

פתרון
ראשית נזהה כי הנקודה A נמצאת על הפונקציה f(x) = x² – 1.
והנקודה B נמצאת על הפונקציה f(x) = 4x + 4.

שלב א: מציאת התחום בו נמצאות הנקודות A,B
עלינו למצוא נקודת מקסימום בתחום מסוים, בין שתי נקודות החיתוך של הפונקציות.
נמצא את נקודות החיתוך:
x² – 1 = 4x + 4
x² -4x – 5 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת טרינום ונקבל:
x² -4x – 5 = 0
x² + x – 5x – 5 = 0
x(x + 1) – 5(x + 5) = 0
x – 5) (x + 1) = 0)
x = 5  או x = -1
התחום בו צריכה להיות נקודת המקסימום הוא:

שלב ב: הגדרת שתי הנקודות באמצעות משתנה אחד
נגדיר
xA הוא ערך ה x בנקודה A.
נציב xA במשוואה f(x) = x² – 1 על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה A.
y = xA² – 1
הנקודה A היא:
(A (xA , xA² – 1

לנקודה B אותו ערך x כמו הנקודה A והוא xA²
נציב xA במשוואה f(x) = 4x + 4 על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה A.
y = 4xA  + 4
הנקודה B היא:
(B (xA , 4xA  + 4

שלב ג: בניית הפונקציה המתארת את המרחק בין הנקודות
(A (xA , xA² – 1
(B (xA , 4xA  + 4

המרחק בין הנקודות הוא:
(שימו לב שאתם מחסרים בסדר הנכון, יש לחסר את ערכי A מ B)
(f(x) = 4xA  + 4 – (xA² – 1
f (x) = – xA² + 4xA – 5

שלב ד: מציאת נקודת המקסימום
נגזור את הפונקציה:
f (x) = – xA² + 4xA – 5
f ' (x) = – 2xA  + 4

נבדוק מתי הנגזרת שווה ל 0.
2xA  + 4 = 0 –
xA = 2
זו נקודה בתחום המבוקש.

נבדוק האם זו נקודת מקסימום על ידי נגזרת שנייה:
f " (x) = – 2
כאשר הנגזרת השנייה שלילית זו נקודת מקסימום.

לכן כאשר
x = 2
המרחק בין הנקודות A,B הוא מקסימלי.

סעיף ב: חישוב המרחק המקסימלי
(A (xA , xA² – 1
(B (xA , 4xA  + 4

נציב xA = 2 בערכי הנקודות ונמצא את ערכי ה y של הנקודות.
עבור A
3 = 1 – 2²
עבור B
12 = 4 + 2*4

המרחק המקסימלי בין הנקודות הוא:
9 = 3 – 12

תרגיל 2
תרגיל זה מבוסס על התרגיל הקודם.
הנקודות A,B מהתרגיל הקודם יוצרות יחד עם ראשית הצירים משולש.
מצאו את ערך ה x בנקודה A עבורו שטח משולש זה הוא מקסימלי.

תזכורת:
(A (xA , xA² – 1
(B (xA , 4xA  + 4
הפונקציה הבאה מבטאת את המרחק בין הנקודות:
f (x) = – xA² + 4xA – 5
תחום הפתרונות הוא:

פתרון
שלב א: בניית פונקציה לחישוב שטח המשולש
אנו צריכים לחשב את שטח משולש OAB.
אנו יודעים כי:
AB = – xA² + 4xA – 5
כמו כן אורך הגובה OC הוא:
OC = xA
כי:
(C (xA , 0
(O (0 , 0

לכן הפונקציה המבטאת את שטח המשולש היא:
g (x) = 0.5 *OC*AB
(g (x) = 0.5 xA * (- xA² + 4xA – 5
g (x) = – xA³ + 4xA² – 5xA

שלב ב: נמצא את נקודת המקסימום
נגזור את הפונקציה ונשווה ל 0 על מנת למצוא את הקיצון:
g ' (x) = -3xA ² + 8xA  – 5
3xA ² + 8xA  – 5 = 0-
את המשוואה הריבועית הזו ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
נפתור בעזרת טרינום.

3xA ² + 8xA  – 5 = 0-
3xA ² + 3xA  + 5xA – 5 = 0-
3xA (1 – xA ) – 5 (1 – xA ) = 0
3xA  – 5) (1 – xA ) = 0)

הפתרונות הם:
xA = 1
xA = 5/3 = 1.66

שני הפתרונות הם בתחום המבוקש

נבדוק מי מיהם הוא נקודת מקסימום.

נמצא את הנגזרת השנייה של הפונקציה
g ' (x) = -3xA ² + 8xA  – 5
g ' ' (x) = -6xA + 8

עבור x  =1
g " (1) = – 6 + 8 = 2 > 0
זו נקודת מינימום.

עבור x  = 1.66
g " (1.66) = – 9 + 8 = -1 < 0
זו נקודת מקסימום.

תשובה: כאשר x = 1.66 שטח המשולש OAB הוא מקסימלי.

עוד באתר

דפים בנושא בעיות קיצון:

  1. בעיות קיצון עם מספרים.
  2. בעיות קיצון גיאומטריות.
  3. בעיות קיצון עם גרפים.

דפים נוספים:

בעיות קיצון גרפים (מינימום מקסימום)

בדף זה נלמד כיצד לפתור בעיות קיצון של גרפים.
למרות שהדף הוא ארוך, הוא בעצם סיכום העובר על עיקרי הדברים.

בדף זה אנו לומדים את החלק של בניית פונקציה לצורך בעיית מינימום מקסימום.
החלקים של גזירת הפונקציה ומציאת סוג הקיצון לא נמצאים בדף זה (על מנת לקצר את הדף וללמד את העיקר).

החלקים של דף זה הם:

  1. הקדמה: שני הדברים עליהם מתבססים שאלות הגרפים.
  2. מלבן הנוצר על ידי שני הצירים.
  3. מלבן הנוצר על ידי ציר אחד.

הכלל הראשון
כאשר בבעיות קיצון מבקשים מאיתנו לבנות פונקציה תמיד עלינו לבנות פונקציה הכוללת משתנה אחד בלבד.
בשאלות גרפים המשמעות של זה היא שאנו נגדיר את

1.הקדמה: שני הדברים עליהם מתבססים שאלות הגרפים

כל שאלות הגרפים מתבססות על שני דברים שאני רוצה שנחזור עליהם בהקדמה זו.
שני הדברים הם:

  1. שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים הן בעלות אותו ערך x אם הישר מקביל לציר ה y או אותו ערך y אם הישר מקביל לציר ה y.
  2. אם נקודה נמצאת על פונקציה אז ניתן לבטא את שני ערכי הנקודה (ערך x וערך y) בעזרת משתנה אחד.

1.לשתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה x יש את אותו ערך y

הדבר נובע מכך שישר המקביל לציר ה x שומר על ערך y קבוע לכל אורכו.
משוואות ישרים המקבילים לציר ה x נראות לדוגמה כך:
y = 2
y = -5

לנקודות A,B,C יש את אותו ערך y שהוא y = 2.

לנקודות A,B,C יש את אותו ערך y שהוא y = 2.

ובאופן דומה:
לשתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה y יש את אותו ערך x.
משוואות ישר מסוג זה נראות כך:
x = 4
x = -3

כמו כן
עלינו לדעת לחשב את המרחקים בין שתי נקודות הנמצאות על ישר מקביל לצירים.
אם בשרטוט שלמעלה:
(A (-3, 1
(B (-3, -2

אז המרחק בין שתי הנקודות הללו הוא:
3 = (2-) – 1
אופן חישוב המרחק בין שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים נלמד בהרחבה בדף מרחק בין שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים.

2.ניתן להגדיר את שני הערכים של נקודה הנמצאת על פונקציה באמצעות משתנה אחד

למשל:
אם נקודה נמצאת על הישר y = 2x – 1.
אז אנחנו יכולים להגיד שערך ה x שלה הוא t (כאשר t הוא משתנה היכול להיות מספר כלשהו).

כאשר נציב
x = t
במשוואת הישר נמצא את ערך ה y של הנקודה.
y = 2x – 1
y = 2t – 1

מצאנו כי כל נקודה על הישר y = 2x – 1 מקיימת.
(t, 2t -1)

2.מלבן הנוצר על ידי שני הצירים

תרגיל 1
מנקודה ברביע הראשון על הישר y = – x + 4 מורידים אנכים לצירים ויוצרים מלבן יחד עם נקודות על ציר ה x וציר ה y.
בנו פונקציה המתארת את שטח המלבן.
(שימו לב לסימן המינוס לפני ה x, שלא תשכחו אותו במהלך פתרון התרגיל).

פתרון
הקדמה
שטח המלבן הוא מכפלת הצלעות שלו:
S = AB * BC.
לכן המטרה שלנו תהיה לבטא את אורכי הצלעות בעזרת משתנה אחד.

אם נצליח לבטא את הנקודות A,B,C בעזרת משתנה אחד אז גם נבטא את אורכי צלעות המלבן בעזרת משתנה אחד.
לכן המטרה שלנו תהיה לבטי את ערכי שלושת הנקודות בעזרת משתנה אחד.

שלב א: הגדרת שלושת הנקודות בעזרת משתנה אחד
נגדיר:
xA  ערך ה x בנקודה A.
לכן הנקודה A היא:
(A (xA , 0

הנקודה B:

  1. לנקודה B יש את אותו ערך x כמו הנקודה A. (כי הישר AB מאונך לציר ה x).
  2. לכן ערך ה x בנקודה B הוא xA.
  3. הנקודה B נמצאת על הישר y = -x + 4 לכן נמצא את ערך ה y בנקודה B על ידי הצבה xA במשוואת הישר.
    y = – xA  + 4.
  4.   (B (xA , – xA  + 4

הנקודה C
לנקודה C יש את אותו ערך y כמו לנקודה B, כי BC הוא ישר המקביל לציר ה x.
לכן הנקודה C היא:
(C (0, – xA  + 4

שלב ב: בניית פונקציה המתארת את שטח המלבן
מצאנו כי הנקודות הם:
(A (xA , 0
(B (xA , – xA  + 4
(C (0, – xA  + 4

לכן האורך של AB הוא:
xA  + 4 –
והאורך של BC הוא:
xA
(הערה: אל המרחקים הללו ניתן להגיע דרך הנוסחה למרחק בין שתי נקודות או מרחק בין שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים).

הפונקציה המתארת את שטח המלבן היא:
f(x) = BC * AB
(f(x) = xA  * (- xA  + 4
f(x) = – xA² + 4

פתרון מלא לתרגיל דומה בוידאו:

תרגיל 2
מנקודה ברביע הרביעי על הפונקציה f(x) = x² – 4 מורידים אנכים לצירים ויוצרים מלבן יחד עם נקודות על ציר ה x וציר ה y.
בנו פונקציה המתארת את שטח המלבן.

פתרון
שלב א: הגדרת הנקודות A,B,C באמצעות משתנה אחד
נגדיר
הנקודה A
xA ערך ה x בנקודה A.
(A (xA , 0

הנקודה B
לנקודה B יש אותו ערך x כמו הנקודה A והוא xA.
נציב את ערך ה x במשוואת הפונקציה ונמצא את ערך ה y בנקודה B.
f(x) = x² – 4
y = xA² – 4
(B (xA, xA² – 4

הנקודה C
לנקודה C יש את אותו ערך y כמו לנקודה B לכן:
(C (0xA² – 4

שלב ב: יצירת פונקציה לחישוב שטח המלבן
הנקודות הן:
(A (xA , 0
(B (xA, xA² – 4
(C (0xA² – 4

לכן האורך של AB:
xA² – 4
האורך של BC:
xA

שטח המלבן הוא:
S = BC * AB
(S = xA * (xA² – 4
S = xA³ – 4xA

תרגיל 3
מנקודה ברביע הראשון על הפונקציה

מורידים אנכים לצירים ויוצרים מלבן יחד עם נקודות על ציר ה x וציר ה y.
בנו פונקציה המתארת את היקף המלבן.

פתרון
הקדמה
היקף המלבן הוא:
P = 2AB + 2BC
אנו נגדיר את כל אחת מהנקודות A,B,C בעזרת משתנה אחד וכך נוכל לבנות פונקציה המתארת את היקף המלבן בעזרת משתנה אחד.

שלב א: הגדרת שלושת הנקודות באמצעות משתנה אחד
נגדיר
הנקודה A
xA ערך ה x בנקודה A.
(A (xA , 0

הנקודה B
לנקודה B יש אותו ערך x כמו הנקודה A והוא xA.
נציב את ערך ה x במשוואת הפונקציה ונמצא את ערך ה y בנקודה B.

לכן הנקודה B היא:

הנקודה C
לנקודה C יש את אותו ערך y כמו הנקודה B לכן:

הנקודות וערכיהן על מערכת צירים

הנקודות וערכיהן על מערכת צירים

שלב ב: בניית פונקציה המחשבת את היקף המלבן
אלו הנקודות שמצאנו:
(A (xA , 0

האורך של BC הוא:
xa
האורך של AB הוא:

לכן הפונקציה המתארת את היקף המלבן היא:

3.מלבן הנוצר ציר אחד בלבד

הסבר

מה ההבדל בין מלבן הנוצר על ידי ציר אחד בלבד למלבן הנוצר על ידי שני הצירים?
(בשרטוטים שלמטה דוגמאות).

תשובה
נסתכל על השרטוט מימין.
כאשר המלבן נוצר על ידי שני צירים האורך של הצלע BC הוא הוא ערך ה x בנקודה A.
כלומר אם
(A(xA , 0
אז:
BC = xA

נסתכל על השרטוט משמאל.
לעומת זאת כאשר יש לנו שתי פונקציות עלינו להתחשב בערך ה x בנקודה C על מנת לקבוע את האורך של BC.
אם נתייחס כדוגמה לשרטוט שלמעלה.
ונניח כי ערך ה x בנקודה c הוא 3-.
אז:
BC = xA + 3

כיצד נמצא את ערך ה x בנקודה C?
נסביר זאת כאן בקצרה ובתרגילים יהיו דוגמאות מפורטות יותר.

אנו נדע מראש את ערך ה y בנקודה C, כי ערך זה שווה לערך ה y בנקודה B.
נניח כי ערך ה y הוא 2.
אנו גם נדע מראש את הפונקציה עליה נמצאת הנקודה C.
נניח כי זו הפונקציה y = 2x + 6

אז על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה C נציב y = 2 במשוואת הפונקציה ונמצא את x.
2x + 6 = 2
2x = -4
x = -2
מצאנו כי הנקודה C היא:
(C(-2, 2

שימו לב למכשול הבא:
נניח כי
(A (xA , 0
(C (xC , 0

אז אנו צריכים לשים לב להאם xA , xC הם חיוביים או שלילים על מנת לחשב את BC.

בשרטוט שמימין הנקודה C נמצאת ברביע השני ולכן xC הוא מספר שלילי ולכן:
BC = xA – xC
לעומת זאת בשרטוט שמשמאל הנקודה C נמצאת ברביע הראשון ולכן xC  חיובי וחישוב BC מתבצע בצורה הבאה:
BC = xA + xC

 

תרגיל 1
על הפונקציה f(x) = x² – 4 נמצאת הנקודה B ברביע הרביעי.
הנקודה C נמצאת יחד עם B על אותו ישר המקביל לציר ה x.
מהנקודות B,C מורידים אנכים אל ציר ה x כך שנוצר מלבן.
כתבו פונקציה המביעה את שטח המלבן.

הקדמה
נשים לב שבשאלה זו האורך של הצלע BC היא לא המרחק של B מציר ה y כפי שהיה בשאלות קודמות.
אלא עלינו לחשב את ערך ה x בנקודה C על מנת לחשב את BC.

שלב א: הגדרת הנקודות A,B,C באמצעות משתנה אחד
נגדיר
הנקודה A
xA ערך ה x בנקודה A.
(A (xA , 0

הנקודה B
לנקודה B יש אותו ערך x כמו הנקודה A והוא xA.
נציב את ערך ה x במשוואת הפונקציה ונמצא את ערך ה y בנקודה B.
yB = xA² – 4
(B(xA ,  xA² – 4

הנקודה C
לנקודה C אותו ערך y כמו הנקודה B (כי הנקודות B,C נמצאות על ישר מקביל לציר ה x).
yC = xA² – 4
על מנת למצוא את ערך ה x בנקודה C נציב את yC במשוואת הפונקציה:
f(x) = x² – 4
xA² – 4 = xC² – 4
xA²  = xC²
xc = xA  או xc = – xA

אם xc = xאז הנקודה C הייתה בעלת אותם ערכים כמו הנקודה B, לכן תשובה זו נפסלת.
כמו כן אנו רואים שהנקודה C נמצאת ברביע השלישי ולכן ערך ה x של שלילי.
לכן הפתרון הוא:
xc = – xA

והנקודה C היא:
(C (- x, xA² – 4

שלב ב: בניית פונקציה המחשבת את שטח המלבן
(A (xA , 0
(B(xA ,  xA² – 4
(C (- x, xA² – 4

AB = xA² – 4
BC = x– (- x) = 2xA

הפונקציה המחשבת את שטח המלבן היא:
(f(x) = 2x* (xA² – 4
f (x) = 2xA³ – 8xA

תרגיל 2
בין שתי נקודות על הפונקציות
f(x) = -x + 3
g(x) = 2x + 6
וציר ה x מעבירים ישרים כך שנוצר מלבן.
בנו פונקציה המתארת את שטח המלבן.

פתרון
 שלב א: הגדרת הנקודות A,B,C בעזרת משתנה אחד
נגדיר
xA ערך ה x בנקודה A.
(A (xA , 0

(B (xa , – xa + 3

ערך ה y בנקודה C הוא xa  + 3-
נציב את ערך זה במשוואה y = 2x + 6 על מנת למצוא את ערך ה x בנקודה c.
2xc + 6 = -xa  + 3
2xc = -xa – 3
xc = -0.5xa  – 1.5

לכן הנקודה C היא:
(C (-0.5xa  – 1.5,  -xa  +3

שלב ב: בניית הפונקציה המתארת את שטח המלבן
(A (xA , 0
(B (xa , – xa + 3
(C (-0.5xa  – 1.5,  -xa  +3

AB = – xa  +3
(CD = xa  – (-0.5xa – 1.5
(הסיבה שאנו מבצעים כאן פעולת חיסור ולא חיבור היא שערך ה x בנקודה C הוא שלילי ואנו רוצים להפוך אותו לחיובי.
אם הנקודה C הייתה ברביע הראשון או ברביע הרביעי היינו מבצעים כאן פעולת חיבור).
CD = xa + 0.5xa +1.5
CD = 1.5xa + 1.5

הפונקציה המתארת את שטח המלבן היא:
f (x) = AB * CD
(f(x) = (- xa  +3) * (1.5xa + 1.5

עוד באתר

דפים בנושא בעיות קיצון.
בעיות לפי נושא:

  1. בעיות קיצון עם מספרים.
  2. בעיות קיצון גיאומטריות.
  3. בעיות קיצון חישוב מרחקים ושטח משולש.

בעיות לפי מספר יחידות:

  1. בעיות קיצון 3 יחידות.
  2. בעיות קיצון 4 יחידות.
  3. בעיות קיצון 5 יחידות.

דפים נוספים:

בעיות קיצון גיאומטריה

בדף זה נלמד לפתור בעיות קיצון גיאומטריות.
בעיות קיצון גיאומטריות אלו הן בעיות הנשענות על נוסחאות גיאומטריות כמו: שטח מלבן, שטח משולש, נפח תיבה על מנת לפתור אותן.

שני חלקי הדף הם:

  1. בעיות קיצון עם פונקציית פולינום.
  2. בעיות קיצון עם פונקציית שורש.

לפני דף זה עליכם לדעת:

  • בעיות קיצון עם מספרים.

1.בעיות קיצון עם פונקציית פולינום

תרגיל 1
מבין כל המלבנים שהיקפם הוא 40. מה הם אורכי הצלעות שעבורם שטח המלבן הוא מקסימלי?
חשבו את שטח המלבן המקסימלי.

פתרון
שלב 1: הגדרת צלעות המלבן המבוקשות בעזרת משתנה אחד.
אם אורך צלעות מלבן הוא a,b אז היקף המלבן הוא:
(p = 2(a + b

לכן סכום צלעות המלבן שווה לחצי מהיקף המלבן.
במקרה שלנו חצי מהיקף המלבן הוא 20.
נגדיר:
x1 צלע אחת של המלבן
אורך הצלע השנייה

שלב 2: בניית פונקציה המתארת את שטח המלבן
שטח מלבן שווה למכפלת צלעותיו.
f (x) = x1 (20 – x1) = 20x1 – x1²

שלב 3: מוצאים מתי הנגזרת שווה ל- 0
f (x) =  20x1 – x1²
f ' (x) = 20 – 2x1

2x1 + 20 = 0-
2x1 = 20
x1 = 10
גודל צלע המלבן החשודה כמספקת שטח מקסימלי היא 10.

שלב 4: נמצא האם הנקודה החשודה כקיצון היא נקודת מקסימום
נעשה זאת בעזרת הנגזרת השנייה.
f ' (x) = 20 – 2x1
f " (x) = -2
נגזרת שלילית משמעותה עבור נקודות קיצון היא מקסימום.

סימן הנגזרת שלילי עבור כל x וגם עבור x = 10.
לכן x1 = 10 היא נקודת מקסימום.

נמצא את צלע המלבן השנייה:
10 = 10 – 20
תשובה: צלעות המלבן הנותנות שטח מקסימלי הן 10,   10. זה ריבוע.

שלב 5: האם שאלו אותנו שאלה נוספת?
ביקשו שנמצא את שטח המלבן המקסימלי.
מכפלת הצלעות היא:
100 = 10 * 10
תשובה: שטח המלבן הוא 100 סמ"ר.

גרף הפונקציה f (x) =  20x - x² ונקודת המקסימום שלה (100, 10)

גרף הפונקציה f (x) =  20x – x² ונקודת המקסימום שלה (100, 10)

תרגיל 2
שטח הפנים של תיבה שבסיסה ריבוע הוא 96 סמ"ר.
מה צריך להיות אורכה של צלע הריבוע על מנת שנפח התיבה יהיה מקסימלי?
מהו הנפח המקסימלי?

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x – אורך צלע הריבוע (בסיס התיבה).
y – גובה התיבה.

שטח הפנים של התיבה הוא 96 סמ"ר.
מכיוון שבסיס התיבה הוא ריבוע , שטח הפנים יהיה:
S = 2x2 + 4xy

לכן מתקיים:
2x2 + 4xy = 96
נבודד את y : (כדי לבטאו באמצעות x)
4xy = 96 – 2x2
y = 96/4x – 2x2/4x
y = 24/x – x/2

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את נפח התיבה.
נוסחה לנפח תיבה : V = a*b*h.
במקרה שלנו:
a = b = x  (כי בסיס התיבה הוא ריבוע)
h = y = 24/x – x/2 (גובה התיבה)

(f(x) = x*x*(24/x – x/2

f(x) = 24x – x3 / 2

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:
f ' (x) = 24 – 3x2 /2 = 0
3x2 /2 = 24
x2 = 16
x = ± 4

המשתנה x מתאר אורך של צלע , ולכן אינו יכול להיות שלילי.

לכן x = 4

כלומר אורך צלע הריבוע החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 4.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.
f " (x) = -3x 

כאשר מציבים x = 4 מקבלים נגזרת שנייה שלילית.

נגזרת שנייה שלילית => זוהי נקודת מקסימום.

לכן עבור x = 4  נפח התיבה הוא מקסימלי.

המשתנה x מתאר את אורך צלע הריבוע.

תשובה: אורך צלע הריבוע עבורה מתקבל נפח תיבה מקסימלי הוא 4.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
נשים לב כי ביקשו מאיתנו לחשב את הנפח המקסימלי.
לכן נציב x = 4 בפונקציה המתארת את הנפח.
f(x) = 24x – x3 / 2

f(4) = 24*4 – 43 / 2 = 96 – 64/2
f(4) = 64

תשובה: הנפח המקסימלי של התיבה הוא 64.


הפונקציה:  f(x) = 24x – x3 / 2 , ונקודת המקסימום שלה.

תרגיל 3
נתון גליל ששטח הפנים שלו 60π.
מה צריך להיות רדיוס הגליל על מנת שנפחו יהיה מקסימלי.

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x – רדיוס הגליל
h – גובה הגליל.

שטח הפנים של הגליל הוא 60 סמ"ר.
נוסחה לשטח פנים של גליל:
S = 2*πr2 + 2πr*h

נציב x במקום הרדיוס , ולכן מתקיים:
2π * x2 + 2π * x * h = 60π

נחלק ב – 2π :
x2 + x*h = 30

נבודד את h : (כדי לבטאו באמצעות x)
x * h = 30 – x2
h = 30/x – x

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את נפח הגליל.
נוסחה לנפח גליל : V = π*r2 *h
במקרה שלנו:
r = x
h = 30/x – x

(f(x) = π*x2*(30/x – x

f(x) = 30πx – π *x3 

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:
f ' (x) = 30π – 3π * x2 = 0
3π * x2 = 30π
נחלק ב- 3π  :
x2 = 10
x = ±√10

המשתנה x מתאר אורך של רדיוס , ולכן אינו יכול להיות שלילי.

לכן  x = √10

כלומר אורך הרדיוס החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 10√.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.
f " (x) = -6π*x 

כאשר מציבים x = √10 מקבלים נגזרת שנייה שלילית.

נגזרת שנייה שלילית => זוהי נקודת מקסימום.

לכן עבור x = √10  נפח הגליל הוא מקסימלי.

המשתנה x מתאר את אורך רדיוס הגליל.

תשובה: אורך רדיוס הגליל עבורו מתקבל נפח תיבה מקסימלי הוא 10√.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
בשאלה זו לא ביקשו מאיתנו לחשב משהו נוסף.

תרגיל 4
בתיבה אורך צלע בסיס אחת גדולה פי 2 מאורך צלע בסיס אחרת,
וסכום שני אורכי הבסיס וגובה התיבה הוא 36 סנטימטר.
מה נפח התיבה המקסימלי?

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x – אורך הצלע הקטנה של בסיס התיבה.
h – גובה התיבה.

נתון כי הצלע הגדולה של הבסיס ארוכה פי 2 מהצלע הקטנה,
לכן אורך הצלע הגדולה של בסיס התיבה יהיה 2x.

סכום שני אורכי הבסיס וגובה התיבה הוא 36 סנטימטר.

לכן מתקיים:
x + 2x + h = 36
h = 36 – 3x

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את נפח התיבה.
נוסחה לנפח תיבה : V = a*b*h.
במקרה שלנו:
a = x
b = 2x
h = 36 – 3x

(f(x) = x*2x*(36 – 3x

f(x) = 72x2 – 6x3

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:
f ' (x) = 144x – 18x2 = 0
נוציא גורם משותף – x :
x(144 – 18x) = 0

x אינו יכול להיות 0 , מכיוון שהוא מתאר אורך של צלע.
לכן:
18x = 144
x = 8

כלומר אורך צלע הבסיס החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 8.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.
f " (x) = 144 – 36x 

כאשר מציבים x = 8 מקבלים נגזרת שנייה שלילית.

נגזרת שנייה שלילית => זוהי נקודת מקסימום.

לכן עבור x = 8  נפח התיבה הוא מקסימלי.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
נשים לב כי ביקשו מאיתנו לחשב את הנפח המקסימלי.
לכן נציב x = 8 בפונקציה המתארת את הנפח.
f(x) = 72x2 – 6x3

f(8) = 72*82 – 6*83 = 72*64 – 6*512
f(8) = 1,536

תשובה: הנפח המקסימלי של התיבה הוא 1,536.

2.בעיות קיצון עם פונקציית שורש

בהמשך הדף תרגילים הכוללים יצירת פונקציית שורש.

תרגיל 1
היקף משולש שווה שוקיים הוא 30 סנטימטר.
מה צריך להיות אורך הבסיס על מנת ששטח המשולש יהיה מקסימלי?
חשבו את שטח המשולש.

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x  –  בסיס המשולש.

נתון לנו שהיקף המשולש הוא 30 ס"מ.
לכן סכום אורכי השוקיים של המשולש הוא
זהו משולש שווה שוקיים , ולכן אורך כל שוק יהיה: 

מתכונות משולש שווה שוקיים, הגובה של המשולש חוצה את הבסיס ל-2 קטעים שווים.

כעת נמצא את הגובה כתלות ב – x , באמצעות משפט פיתגורס.
תזכורת:
a2 + b2 = c2
כאשר a ו -b הם הניצבים , c הוא היתר.

לכן: (נסמן את הגובה ב – h ).


שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את שטח המשולש.
שטח משולש שווה שוקיים הוא בסיס*גובה לחלק ל-2.
(מצאנו את הבסיס והגובה כתלות ב – x בסעיף הקודם).
לכן:

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:

נכפול את המונה והמכנה  ב – (225-15x)√


המכנה שונה מ – 0 (כי אם הוא מתאפס הביטוי אינו מוגדר)
לכן:
22.5x + 225 = 0-
22.5x = 225
x = 10

כלומר אורך הבסיס החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 10.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.

נכפול את המונה והמכנה  ב – (225-15x)√

כאשר מציבים x = 10 מקבלים נגזרת שנייה שלילית.

נגזרת שנייה שלילית => זוהי נקודת מקסימום

לכן עבור x = 10  שטח המשולש הוא מקסימלי.

סימנו בתחילת התרגיל ש – x הוא הבסיס.

תשובה: אורך הבסיס עבורו מתקבל שטח משולש מקסימלי הוא 10.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
נשים לב כי שאלו אותנו מהו השטח המקסימלי.

על מנת למצוא את השטח, נציב x = 10 בפונקציה המתארת את שטח המשולש.



הפונקציה (f(x ונקודת המקסימום שלה.

תרגיל 2
במשולש ישר זוויות סכום אורכי הניצבים הוא 12 סנטימטר.
מה צריכים להיות אורכי הניצבים על מנת שאורך היתר יהיה מינימלי?

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x – אחד הניצבים המשולש.
סכום אורכי הניצבים = 12 ס"מ.
לכן אורך הנציב השני יהיה  .

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את אורך היתר.
נבטא את אורך היתר באמצעות x , ע"י שימוש במשפט פיתגורס.
לכן:

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:

המכנה שונה מ – 0 (כי אם הוא מתאפס הביטוי אינו מוגדר)
לכן:
4x – 24 = 0
4x = 24
x = 6

כלומר אורך הניצב החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מינימלי הוא 6.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.

נכפול את המונה והמכנה ב – (2x2 – 24x + 144)√

כאשר מציבים x = 6 מקבלים נגזרת שנייה חיובית.

נגזרת שנייה חיובית => זוהי נקודת מינימום.

לכן עבור x = 6  אורך היתר הוא מינימלי.

אורך הניצב השני הוא  , לכן גם שווה ל – 6.

תשובה: אורכי הניצבים עבורם מתקבל אורך יתר מינימלי הם 6 , 6

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
בשאלה זו לא ביקשו מאיתנו לחשב עוד משהו.


הפונקציה (f(x ונקודת המינימום שלה

עוד באתר

דפים בנושא בעיות קיצון.
בעיות לפי נושא:

  1. בעיות קיצון עם מספרים.
  2. בעיות קיצון גיאומטריות.
  3. בעיות קיצון עם גרפים.
  4. בעיות קיצון חישוב מרחקים ושטח משולש.

בעיות לפי מספר יחידות:

  1. בעיות קיצון 3 יחידות.
  2. בעיות קיצון 4 יחידות.
  3. בעיות קיצון 5 יחידות.

דפים נוספים:

בעיות קיצון מספרים (מינימום מקסימום)

בדף זה נלמד לפתור בעיות קיצון של מספרים, וזה הדף הראשון בנושא בעיות קיצון שאתם אמורים לפגוש.
חלקי הדף הם:

  1. השלבים לפתרון בעיות קיצון.
  2. בניית פונקציה עבור בעיות קיצון.
  3. תרגילים עם פתרונות מלאים.

1.השלבים לפתרון בעיות קיצון

לפתרון של בעיות קיצון יש שלבים קבועים:

  1. בחירת והגדרת משתנים.
  2. בניית פונקציה.
  3. גזירת הפונקציה ומציאת הערך שעבורו הפונקציה מקבלת מינימום / מקסימום.
    החלק הזה כולל מספר תתי שלבים:
    1. גזירת הפונקציה.
    2. מציאת ערך בו הנגזרת שווה ל -0.
    3. בדיקה האם כאשר הנגזרת שווה 0 זו נקודת קיצון מהסוג אותו אנו מחפשים.
  4. לרוב נדרש לעשות דבר נוסף, בכול שאלה זה משהוא אחר אבל שימו לב שלרוב לאחר מציאת הערכים אנו צריכים לעשות משהוא נוסף

מבין השלבים הללו הדבר החדש הוא שלבים 1-2 של בניית פונקציה.

2.בניית פונקציה עבור בעיות קיצון

בחלק זה נתרגל כיצד בונים פונקציה.
תמיד עלינו לבנות את הפונקציה בעזרת משתנה אחד בלבד.

תרגיל 1
סכום שני מספרים הוא 10.
בנו פונקציה המביעה את סכום ריבועי המספרים.

פתרון
שלב א: הגדרת המספרים
x  המספר הראשון.
כדי שסכום שני המספרים יהיה 10 המספר השני צריך להיות:

שלב ב: בניית הפונקציה
הפונקציה של סכום ריבועי המספרים היא:
f(x) = x² + (10 – x)²

תרגיל 2
הפרש שני מספרים הוא 10.
בנו פונקציה המביעה את הפרש ריבועי המספרים.

פתרון
שלב א: הגדרת המספרים
x המספר הראשון.
המשפט "הפרש שני מספרים הוא 10" אומר שמספר אחד גדול מהשני ב 10.
לכן המספר השני הוא:
x + 10.
(נבדוק שבאמת הפרש המספרים הוא 10
x + 10 – x = 10)

שלב ב: בניית הפונקציה
הפונקציה של הפרש ריבועי המספרים הוא:
f(x) = (x + 10)² – x²

הערה
המספרים הוגדרו כ:
x
x + 10
אבל אם היינו מגדירים
x
x – 10
זה היה עדיין נכון, כי בשני המקרים ההפרש בין המספרים הוא 10.

תרגיל 3
המספרים x,y מקיימים   4y + x = 20
בנו פונקציה המתארת את סכום החזקות השלישיות שלהם.

פתרון
שלב א: הגדרת המספרים
y  הוא מספר אחד.
על פי המשוואה נקבל:
4y + x = 20
x = 20 – 4y

שלב ב: בניית הפונקציה
הפונקציה המתארת את סכום החזקות השלישיות היא:
f(x) = y³ + (20 – 4y)³

תרגיל 4
סכום 3 מספרים הוא 10. אחד המספרים גדול מהשני פי 2.
בנו פונקציה המביעה את סכום ריבועי המספרים.

פתרון
שלב א: הגדרת המספרים
x  מספר ראשון
2x המספר הגדול ממנו פי 2.
המספר השלישי משלים את שני המספרים ל 10 ולכן הוא:

שלב ב: בניית הפונקציה
הפונקציה של סכום ריבועי המספרים היא:
f(x) = x² + (2x)² + (10 – 3x)²

תרגיל 5
במשולש ישר זווית סכום אורכי הניצבים הוא 12.
בנו פונקציה המביעה את אורך היתר.

פתרון
במשולש ישר זווית יש את משפט פיתגורס. כך שאם נגדיר את אורכי הניצבים נוכל לבנות בעזרת משפט פיתגורס פונקציה המתארת את אורך היתר.

שלב א: הגדרת אורכי הניצבים
x אורך של ניצב אחד.
ידוע כי "סכום אורכי הניצבים הוא 12" לכן הניצה השני הוא:

שלב ב: בניית הפונקציה
על פי משפט פיתגורס הפונקציה המתארת את אורך היתר היא:
f(x) = x² + (12 – x)²

3.תרגילים עם פתרונות מלאים

תרגילים 1-2 הם תרגילים קלים יחסית.
תרגיל 3 קשה יותר ודורש ידע בנגזרת שורש.

תרגיל 1
מצאו זוג המספרים שסכומם הוא 14 ומכפלתם היא מקסימלית.
מצאו את המכפלה.

פתרון
שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
x1   המספר המבוקש הראשון.
המספר השני

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את מכפלת המספרים.
f (x) = x1 (14 – x1) = 14x1 – x1²

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה:
f (x) = 14x1 – x1²
f ' (x) = 14 – 2x1

2x1 + 14 = 0 –
2x1 = 14  / : 2
x1 = 7
כלומר המספר החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 7.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.
f ' (x) = 14 – 2x1
f " (x) = -2

מצאנו שהנגזרת השנייה שלילית לכל x, וגם עבור x1 = 7.
נגזרת שנייה שלילית זה אומר נקודת מקסימום.

לכן עבור x = 7 ערך מכפלת המספרים הוא מקסימלי.
המספר השני הוא:
7 = 7 – 14.
תשובה: זוג המספרים שסכומם 14 ומכפלתם מקסימלית הוא 7,  7.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
בנוסף שאלו אותנו מה היא המכפלה המקסימלית
49 = 7 * 7
תשובה: המכפלה המקסימלית היא 49.

גרף הפונקציה f (x) = 14x - x² ונקודת המקסימום שלו (49, 7)

גרף הפונקציה f (x) = 14x – x² ונקודת המקסימום שלו (49, 7)

 

תרגיל 2
סכום שלושה מספרים הוא 20. נתון כי מספר אחד גדול מהשני פי 2.
א) מצאו את שלושת המספרים שמכפלתם היא הגדולה ביותר.
ב) מה היא המכפלה הגדולה ביותר.

פתרון
1.נגדיר משתנים:
x – אחד המספרים.
2x – המספר הכפול בגודלו.
20-3x – המספר השלישי.

2. נבנה פונקציה המבטאת את המכפלה של המספרים:
ƒ(x)=x*2x*(20-3x)=2x²(20-3x)=40x²-6x³
ƒ(x)=40x²-6x³

3. נמצא מתי הנגזרת שווה ל- 0.
f ' (X) = 80x – 18x²
80x – 18x² = 0
x (80 – 18x) = 0

קיבלנו שני גורמים שהמכפלה שלהם היא 0.
לכן אחד הגורמים צריך להיות שווה ל- 0.
אפשרות ראשונה:
x = 0
אפשרות שנייה:
18x = 80  / :18
x = 4.444

4. נבדוק האם מתקבלת נקודת מקסימום
נעשה זאת בעזרת הנגזרת השנייה.
f ' (X) = 80x – 18x²
f "( x)  = 80 – 36x

נציב x = 0.
f " (0) = 80 – 36*0 = 80
הנגזרת השנייה חיובית לכן x =0 זו נקודת מינימום.
לא מה שאנו מחפשים.

נציב x = 4.44
f " (4.44) = 80 – 36 * 4.44 < 0
הנגזרת השנייה שלילית לכן זו נקודת מקסימום.

5. נמצא את שלושת המספרים.
x = 4.44
2x = 8.88
6.66 = 4.44 – 8.88 – 20

תשובה: שלושת המספרים הם 4.44,  8.88,  6,66

סעיף ב
חישוב המכפלה המקסימלית:
262.58 = 8.88 * 6.66 * 4.44

בחלק זה תרגיל קשה יותר עם פתרון מלא, תרגיל הדורש ידע בפונקציית שורש.

תרגיל 3
סכום ריבועי מספרים הוא 50.
מה הם שני המספרים שסכומם מינימלי.
מהו הסכום המינימלי?

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
x  –  המספר המבוקש הראשון.
y – המספר השני.

נרצה לבטא את y באמצעות x – כדי שתהיה לנו משוואה של משתנה אחד.
לכן נשתמש בנתון לגבי סכום הריבועים.
x2 + y2 = 50
y2 = 50 – x2
(y = ±√(50 – x2

אנו מחפשים את הסכום המינימלי. לכן נבחר מספר שלילי. (עבור מספר חיובי כנראה שלא יתקבל סכום שהוא מינימלי).
לכן:
(y = -√(50 – x2

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את סכום המספרים.
f (x) = x + y 
(f(x) = x – √(50 – x2

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:

נצמצם ונעביר אגפים:

נכפול במכנה:
 **
נעלה בריבוע את שני האגפים:
x2 = 50 – x2
2x2 = 50
x2 = 25
x = ±5

מהמשוואה ** ניתן להסיק כי x הוא שלילי. (השורש תמיד חיובי , והוא נכפל במינוס).
לכן x = -5.

כלומר המספר החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מינימלי הוא 5-.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.

נכפול מונה ומכנה ב – 

נציב x = -5 בנגזרת השנייה:
f"(-5) = 50/125 > 0
מצאנו כי הנגזרת השנייה חיובית עבור x = -5.

נגזרת שנייה חיובית => זוהי נקודת מינימום.

לכן עבור x = -5 ערך סכום המספרים הוא מינימלי.

המספר השני הוא:
y = -√(50-x2) = -√(50-25) = -√25
y = -5
תשובה: זוג המספרים שסכום ריבועיהם הוא 50 וסכומם מינימלי הוא 5- , 5-.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
נשים לב כי שאלו אותנו מהו הסכום המינימלי.
הסכום המינימלי הוא הסכום של שני המספרים שמצאנו:
Smin = -5 + (-5) = -10

תשובה: הסכום המינימלי הוא  10-.


גרף הפונקציה:  (f(x) = x – √(50 – x ונקודת המינימום שלה.

עוד באתר

דפים בנושא בעיות קיצון.
בעיות לפי נושא:

  1. בעיות קיצון גיאומטריות.
  2. בעיות קיצון גרפים.
  3. בעיות קיצון חישוב מרחקים ושטח משולש.

בעיות לפי מספר יחידות:

  1. בעיות קיצון 3 יחידות.
  2. בעיות קיצון 4 יחידות.
  3. בעיות קיצון 5 יחידות.

דפים נוספים:

אינטגרלים שטחים מורכבים

שטחים מורכבים אלו הם שטחים שחלק מיהם מוגבל על ידי פונקציה אחת וציר ה x ואילו חלק שני של השטח מוגבל על ידי פונקציה שנייה וציר ה x.

בגרף שלמטה הפונקציה (g(x בירוק והפונקציה (f(x באדום.

השטח המסומן בין A ל C מתקבל על ידי האינטגרל:

דוגמה
בשרטוט הפונקציות
f(x) = – 2x + 4
g(x) = x + 10
חשבו את השטח המוגבל בין הישרים וציר ה x.

פתרון
הערה
השטח המבוקש הוא שילוב של שני משולשים לכן ניתן לחשב אותו כסכום השטחים של המשולשים.
אנו עוסקים באינטגרלים לכן קודם כל נראה את הדרך האינטגרלית ולאחר מיכן את הדרך ללא אינטגרל.
שלב א: זיהוי הפונקציות
הפונקציה
f(x) = -2x + 4
היא פונקציה יורדת ולכן זו הפונקציה העוברת בין הנקודות BC.

הפונקציה g(x) = x + 10 היא פונקציה עולה העוברת בין הנקודות AB.

שלב ב: מציאת הנקודות A,B,C.
הנקודה A החיתוך של הפונקציה g(x) = x + 10 עם ציר ה x.
x + 10 = 0
x  = -10
(A (-10, 0

הנקודה B היא נקודת המפגש של הפונקציות:
x + 10 = -2x + 4
3x  = -6
x = -2

הנקודה C היא נקודת החיתוך של הפונקציה f(x) = -2x + 4 עם ציר ה x.
2x  + 4 = 0-
2x = -4-
x = 2

שלב ג: חישוב האינטגרל
השטח השמאלי מתקבל על ידי האינטגרל:

כאשר נציב מספרים באינטגרל זה נקבל כי השטח הוא 32 יחידות ריבועיות.

השטח הימני מתקבל על ידי האינטגרל:

כאשר נציב מספרים באינטגרל זה נקבל כי השטח הוא 16 יחידות ריבועיות.
תשובה: השטח כולו הוא:
48 = 32 + 16

דרך שנייה לפתרון: בעזרת שטח משולש
נשים לב שהשטח מורכב משני משולשים, נחשב את שטחם.

על מנת לחשב את גובה המשולשים עלינו לדעת את ערך ה y של הנקודה B.
בדרך הקודמת מצאנו כי בנקודה B מתקיים x = -2.
נציב במשוואת אחד הישרים ונמצא את y.
g(x) = x + 10
8 = 10 + 2-

שטח המשולש השמאלי הוא:
S1 = 0.5 * 8 * 8 = 32
שטח המשולש הימני הוא:
S2 = 0.5 * 8 * 4 = 16.
השטח כולו הוא:
48 = 16 + 32

תרגילים

תרגיל 1
בשרטוט הפונקציות
f(x) = 4
g(x) = (x -3)²
חשבו את השטח המוגבל בין הישרים וציר ה x.

פתרון
שלב א: מציאת תחומי האינטגרל
עלינו למצוא נקודות חיתוך בין הפונקציות (A) ונקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x (שזו B).

עבור הנקודה A
x – 3)² = 4)
x² – 6x + 9 = 4
x² – 6x + 5 = 0
ניתן לפתור בעזרת נוסחת שורשים או טרינום.
נראה כאן את הדרך של הטרינום.

x² – 6x + 5 = 0
x² – x – 5x + 5 = 0
x(x – 1) – 5(x -1) = 0
x – 1) (x – 5) = 0)
הפתרונות הם:
x = 1  וגם  x = 5
אנו רואים כי נקודת החיתוך המבוקשת היא נקודת החיתוך השמאלית לכן
x= 1
בנקודה A.

נמצא את ערך ה x בנקודה B
x – 3)² = 0)
x – 3 = 0
x = 3

שלב ב: חישוב האינטגרל
השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל הבא:

נחשב כל אינטגרל בנפרד:

השטח השמאלי שווה ל 4 יחידות ריבועיות.

לאחר הצבת המספרים היינו מקבלים שהשטח הימני הוא 2.667 יחידות ריבועיות.

תשובה: השטח כולו הוא:
6.667 = 2.667 + 4

תרגיל 2
חשבו את השטח שבין  f(x) = 0.5x²  , x = – 4    ו- y=4.5   וציר ה- x.

פתרון
בתרגיל זה אנו צריכים לחלק את השטח לשני שטחים נפרדים.
זאת מכיוון שהוא חסום ע"י יותר מפונקציה אחת.
1. מלבן – חסום ע"י הפונקציה y = 4.5 , והישרים : x= -3 , x = -4.
2.שטח חסום מתחת לפרבולה –  חסום ע"י הפונקציה f(x) = 0.5x², והישרים: x = -3 , x = 0.
נחשב כל שטח בנפרד – התשובה תהיה סכום השטחים:

1. מלבן :
על מנת לחשב את שטח המלבן לא נצטרך לבצע אינטגרל.
(ניתן לחשב ע"י אינטגרל, אבל במקרה זה אין צורך)
נשתמש בנוסחה לשטח מלבן :  גובה*בסיס = S
במקרה שלנו :
-גובה = 4.5   (המלבן נמצא בין ציר ה-x לבין הישר y = 4.5).
-בסיס = 1  (בסיס המלבן נמצא בין x = -4 ל – x = -3).
לכן שטח המלבן הוא : S = 1*4.5 = 4.5

2. פרבולה :
א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח הכלוא:

חישבנו כל שטח בנפרד – רק נשאר לנו לסכום את שני השטחים.
שטח המלבן 4.5
השטח השני 4.5
לכן השטח הכולל הוא :
Stotal = 4.5 + 4.5 = 9

תשובה : השטח החסום הוא 9.

תרגיל 3
נתונות הפונקציות
f (x) = -x² +3x
g (x) = 0.5x + 1.5

פתרון
שלב א: חישוב תחומי האינטגרל
הנקודה A היא:
0.5x + 1.5 = 0
x = -3

הנקודה B היא:
x² + 3x = 0 –
x (3 – x) = 0
x = 0  וגם   x = 3
בשרטוט אנו רואים שאנו מחפשים את נקודת החיתוך השמאלית לכן בנקודה B
x = 0.

הנקודה C היא:
0.5x + 1.5 = – x² + 3x
x² – 2.5x + 1.5 = 0
זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
נראה כאן את הדרך של טרינום.

x² – 2.5x + 1.5 = 0
x² – x – 1.5x + 1.5 = 0
x(x – 1) -1.5(x – 1) = 0
x – 1.5) (x – 1) = 0)
x = 1 וגם   x = 1.5

אם x = 1.5 אז היה נוצר לנו שטח נוסף בין הפונקציות בתחום x = 1 ועד x =1.5.
שטח זה לא קיים.
לגן בנקודה C
x = 1

שלב ב: חישוב האינטגרל
השטח המבוקש מתקבל על ידי חיסור שני האינטגרלים:

אם היינו מציבים מספרים היינו מקבלים ששטח זה הוא 4.
משטח זה נחסר את השטח המתקבל כאן:

אם היינו מציבים מספרים היינו מקבלים ששטח זה הוא 1.1667.

תשובה: הפרש השטחים הוא:
2.8333 = 1.1667 – 4

תרגיל 4
לפונקציה f(x) = -x² – 4x – 6 מעבירים משיק ב- x = -3.
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, המשיק והצירים.

פתרון
1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = -3 בפונקציה.
3-  =  f(-3)  =  -(-3)2 – 4*-3 – 6  =  -9 + 12 – 6
לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (-3 , – 3)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = -2x – 4
נציב את x = – 3 בנגזרת הפונקציה:
f ' (-3) = 6 – 4 = 2
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק :
(y-y0 = m*(x-x,
כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.

נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
((y – (-3) = 2*(x – (-3
y + 3  = 2x + 6
y = 2x + 3

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק, נחשב את השטח הכלוא.
ניתן לראות לפי השרטוט שמדובר בשני שטחים מעט שונים:
א. שטח שחסום ע"י הפונקציה.
ב. שטח בין הפונקציה למשיק.
נחשב כל שטח בנפרד:

א. השטח הכלוא ע"י הפונקציה : (הימני)
השטח כלוא בין הישר x = 0 לבין הישר x = -1.5 (נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x).
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

נחשב את השטח הכלוא: 


נבצע את הפעולות בתוך הסוגריים וגם נפתח את הסוגריים ואז נקבל:

השטח נמצא מתחת לציר x , לכן כצפוי קיבלנו מספר שלילי.
ניקח את המספר בערכו המוחלט כדי לקבל את השטח :
S1 = 5.625

ב. השטח שכלוא בין הפונקציה למשיק :
1. נקודות החיתוך : השטח אותו נרצה לחשב נמצא בין נקודת ההשקה ,
לבין נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x (כי משם והלאה כבר חישבנו את השטח).
כבר מצאנו את נקודות אלה, ולכן :
a = -3 , b = -1.5

2. חישוב השטח הכלוא:
השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח:

נבצע את הפעולות בתוך הסוגריים וגם נפתח את הסוגריים ואז נקבל:

לכן השטח השני : S2 = 1.125 .

נחשב את סכום השטחים:
S1 = 5.625
S2 = 1.125

Stottal = 5.625 + 1.125 = 6.75

תשובה: השטח החסום : 6.75.

תרגיל 5
בשרטוט הגרפים של הפונקציות:
f(x) = 3x² – 3
g(x) = 9
שני הגרפים נחתכים ב x= 2  ו x = -2.
בשרטוטים הבאים מסומנים שני שטחים.
ציינו בעזרת איזה אינטגרל ניתן לחשב כל אחד מהשטחים.

שרטוט א

שרטוט ב

פתרון
שרטוט א
מתאים לנוסחה שלמדנו בדף זה.
אנו צריכים לחשב את השטח הנמצא בין שתי פונקציות.

השטח יתקבל על ידי האינטגרל:

כאשר נציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 8 יחידות ריבועיות.

שרטוט ב
זה שרטוט קשה יותר לחישוב.
אם נשתמש בסוג כלשהו של אינטגרל על הפונקציה f(x) = 3x² – 3 בין x = -2 ל x = 2 אז אנו נחשב את השטח הנמצא מעל ציר ה x וגם את השטח הנמצא מתחת לציר ה x ואת זה אנו לא רוצים.

עלינו למצוא דרך אחרת לחשב את השטח.

נשים לב כי השטח המוגבל על ידי הישר y = 9 וציר ה x בין x = -2 ל x = 2  הוא השטח הזה:

ואם נחסר משטח זה את השטח שהפרבולה יוצרת עם ציר ה x בתחומים
x = -2 ועד x = -1
וגם
x = 2 ועד x = 1
(השטחים עליהם החצים מצביעים) אז נקבל את השטח המבוקש.

לכן נחשב את השטח המבוקש בשני שלבים:

1.חישוב השטח המוגבל על ידי הישר y = 9 וציר ה x בין x = -2 ל x = 2

ניתן לחשב שטח זה על ידי האינטגרל:

או על ידי הסתכלות על השטח וראיה שהשטח הוא מלבן שצלעותיו הן 9,4.
36 = 9 * 4

בשלב השני נחסר את השטח שבצדדים על ידי האינטגרל הבא:

אם נציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 8 יחידות ריבועיות.

לסיכום
השטח המבוקש בשרטוט ב מתקבל על ידי:

פחות

סך הכל:
26 = 8 – 36

הדפים בעזרתם למדנו חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים הם:

  1. שטחים הנמצאים מעל ציר ה x או מתחת לציר ה x.
  2. שטחים הנמצאים מעל ומתחת לציר ה x.
  3. שטחים בין שתי פונקציות.
  4. שטחים מורכבים (דף זה).
  5. אינטגרלים ושטחים עם פרמטרים.

עוד באתר:

אינטגרלים: חישוב שטחים עם פרמטרים

בדף זה נפתור 2 תרגילים המשלבים חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים עם פרמטרים.

תרגיל 1
נתונה הפונקציה y = x² + cx.  נתון c > 0.

  1. הביעו באמצעות c את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, הצירים והישר x = 4.
  2. מצאו את c אם ידוע שהשטח המוגבל בין הפונקציה, הישר x = 4 וציר ה- x הוא 61.333

פתרון
1.השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

2. נחשב את האינטגרל



תשובה: לכן השטח הכלוא (כתלות בפרמטר c) הוא: 
8c + 64/3

סעיף ב – מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 61.333.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
8c + 64/3 = 61.333
8c = 40
c = 5
תשובה: c=5

תרגיל 2
נתונה הנגזרת: f ' (x) = 3x² + 6.
השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ( f (x, הצירים והישר x= 6 הוא 450.
מצאו את הפונקציה שהנגזרת שלה נתונה בשאלה.

פתרון
1. מציאת הפונקציה ע"י ביצוע אינטגרל:

נתונה לנו הנגזרת , ונרצה למצוא את הפונקציה.
לכן הפעולה שעלינו לעשות היא אינטגרציה.
לכן:

הוספנו את הקבוע c מכיוון שמדובר באינטגרל לא מסוים. (לא נתונים הגבולות של האינטגרל).

2. מציאת הקבוע ע"י חישוב השטח:
כדי לקבוע מהו הקבוע c , נשתמש בנתון השני – לגבי השטח הכלוא.
נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) = x³ + 6x+ c, הצירים והישר x= 6 הוא 450.
לכן נמצא את השטח הנ"ל כתלות בקבוע c , ונשווה אותו ל-450.
כך נקבל מהמשוואה את ערכו של c.

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח הכלוא:



ג. בניית משוואה על מנת למצוא את c.
מצאנו את השטח הכלוא כתלות בפרמטר c.
כעת נשווה אותו עם השטח הנתון 450.

6c + 432 = 450
6c = 18
c = 3

לכן הפונקציה היא:
f(x) = x³ + 6x+ 3

הדפים בעזרתם למדנו חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים הם:

  1. שטחים הנמצאים מעל ציר ה x או מתחת לציר ה x.
  2. שטחים הנמצאים מעל ומתחת לציר ה x.
  3. שטחים בין שתי פונקציות.
  4. שטחים מורכבים.
  5. אינטגרלים ושטחים עם פרמטרים.

עוד באתר:

אינטגרלים: שטחים בין שתי פונקציות

לחישוב שטח בין שתי פונקציות יש שני מקרים:

  1. פונקציה אחת נמצאת מעל הפונקציה השנייה בין שתי הנקודות שבהם מחשבים אינטגרל.
  2. הפונקציות נחתכות ואין פונקציה אחת שנמצאת תמיד מעל השנייה בתחום.

1.פונקציה אחת תמיד מעל השנייה

אם נתונות לנו שתי פונקציות:
(f(x
(g(x
וידוע כי הפונקציה (f(x נמצאת מעל הפונקציה (g(x בין הנקודות a ו b אז השטח בין הפונקציות בין הנקודות הללו נתון על ידי:

זה השטח המסומן בגרף שלמעלה.

שתי הערות חשובות.

הערה 1
שימו לב שמקרה זה אין חשיבות אם חלק מהשטח או כולו נמצאים מתחת לציר ה x.
לא מפצלים שטחים ולא שמי מינוס לפני האינטגרל.

הערה 2
ניתן לבצע חיסור של הפונקציות עוד לפני ביצוע האינטגרל ובכך לחסוך עבודה.
אם למשל:
f (x) = x²  + 3x + 2
g(x) = 2x + 1
אז חישוב האינטגרל יעשה כך (כרגע אני מתעלם מנקודות החיתוך a,b).
x²  + 3x + 2 – (2x + 1 ) dx∫
x²  + 3x + 2 – 2x – 1 dx∫
x²  + x + 1 dx∫

דוגמה
בגרף המצורף הפונקציות
g(x) = 0.5x² + 1
f(x) = 1.5x
חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים בין x = -2 ל  x = 1.

פתרון
ראשית עלינו לזהות את הפונקציות ולקבוע איזו פונקציה נמצאת מעל האחרת.
g(x) = 0.5x² + 1 היא פרבולה ולכן היא היא הפונקציה העליונה בשרטוט.

השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

לאחר שנציב מספרים נקבל שהשטח הוא 6.75 יחידות ריבועיות.

2.שטח המוגבל על ידי שתי פונקציות הנחתכות 

אם הפונקציות (f(x ו (g(x נחתכות בנקודה b אז השטח בין a ל c אנו נפצל את האינטגרל והשטחים על מנת לבצע חישוב.
השטח שבשרטוט, מתקבל על ידי האינטגרל:

דוגמה
בשרטוט הגרפים של הפונקציות:
f(x) = x
g(x) = x³
חשבו את השטח המוגבל בין שתי נקודות החיתוך של הפונקציות.

פתרון
שלב א: מציאת נקודות החיתוך של הפונקציות
x³ = x
x³ – x = 0
x(x² – 1) = 0

פתרונות המשוואה הם:
x = 0
או
x² – 1 = 0
x² = 1
x = 1 או x = -1.

חישוב השטחים
בשטח הנמצא מתחת לציר ה x הפונקציה
g(x) = x³
נמצאת מעל
f(x) = x
לכן השטח מתחת לציר ה x מתקבל על ידי האינטגרל:

נציב את המספרים ונקבל:

קבלנו ששטח זה שווה ל 0.25 יחידות ריבועיות.

השטח הנמצא מעל ציר ה x מתקבל על ידי האינטגרל:

לאחר שנציב מספרים נקבל נמצא שגם שטח זה שווה 0.25 יחידות ריבועיות.
תשובה: השטח כולו שווה ל:
0.5 = 0.25 + 0.25

תרגילים

בחלק זה 4 תרגילים.
תרגיל 4 קשה מאחרים.
לתרגילים 2-3 יש פתרונות מלאים.

תרגיל 1
בשרטוט הגרפים של הפונקציות:
f(x) = -x
g(x) = x² + x – 3
חשבו את השטח המוגבל בין שתי נקודות החיתוך של הפונקציות.

פתרון
שלב א: נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציות
(g(x) = f(x
x² + x – 3= -x
x² + 2x – 3 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
נראה כאן את הדרך של הטרינום.
x² + 2x – 3 = 0
x² – x + 3x – 3 = 0
x(x – 1) + 3(x – 1) = 0
x + 3) (x – 1) = 0)
x = -3 או x = 1

הפונקציה f(x) = -x נמצאת מעל הפונקציה g(x) = x² + x – 3 בין שתי נקודות החיתוך לכן השטח מתקבל על ידי האינטגרל:

לאחר שנציב את המספרים נקבל שהשטח הוא 2.667 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2
חשבו את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות
f (x) = x² – 4x + 4 ו- g(x) = -x² + 6x + 4.

פתרון

נפעל לפי השלבים לעיל:
1. נזהה את הפונקציות :
במקרה זה, ניתן לראות כי אחת הפרבולות היא "מחייכת" , והשנייה "עצובה".
לכן יהיה ניתן לזהות את הפונקציות עפ"י המקדם של x2.
לכן – הפונקציה העליונה היא: g(x) = -x² + 6x + 4  – מכיוון שזוהי פרבולה "עצובה" – וזוהי העליונה בגרף.
והתחתונה – f (x) = x² – 4x + 4 – מכיוון שזוהי פרבולה "מחייכת" – וזוהי התחתונה בגרף.

2.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
x2 – 4x + 4 = -x2 + 6x + 4
2x2 – 10x = 0
2x*(x – 5) = 0
x1 = 0 , x2 = 5

3. חיסור הפונקציות:
נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה :
= (g(x) – f(x) = -x2 + 6x + 4 – (x2 – 4x + 4
= x2 + 6x + 4 – x2 + 4x – 4- =
2x2 + 10x- =

4. חישוב השטח:

א. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ב. חישוב השטח הכלוא:


 תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 41.6667.

תרגיל 3
חשבו את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות
f (x) = x² + 6  ו- g(x) = 5x.

פתרון
נפעל לפי השלבים לעיל:
1. נזהה את הפונקציות : 
במקרה זה, ניתן לראות כי אחת הפונקציות היא פרבולה, והשנייה קו ישר.
לכן – הפונקציה העליונה היא: g(x) = 5x  – קו ישר.
והתחתונה – f (x) = x² + 6 – פרבולה.

2.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
x2 + 6 = 5x
x2 – 5x + 6 = 0
פירוק לגורמים:
x – 3)*(x – 2) = 0)
x1 = 2 , x2 = 3

3. חיסור הפונקציות:
נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה:
= (g(x) – f(x) = 5x – (x2 + 6
x2 + 5x – 6- =

4. חישוב השטח:
א. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ב. חישוב השטח הכלוא:

נבצע פעולות בתוך הסוגריים ונפתח סוגריים (כאן שתי הפעולות נעשות ביחד).


 תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 1/6.

תרגיל 4
בשרטוט הגרפים של הפונקציות:
f(x) = 3x² – 3
g(x) = 9
שני הגרפים נחתכים ב x= 2  ו x = -2.
בשרטוטים הבאים מסומנים שני שטחים.
ציינו בעזרת איזה אינטגרל ניתן לחשב כל אחד מהשטחים.

שרטוט א

שרטוט ב

פתרון
שרטוט א
מתאים לנוסחה שלמדנו בדף זה.
אנו צריכים לחשב את השטח הנמצא בין שתי פונקציות.

השטח יתקבל על ידי האינטגרל:

כאשר נציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 8 יחידות ריבועיות.

שרטוט ב
זה שרטוט קשה יותר לחישוב.
אם נשתמש בסוג כלשהו של אינטגרל על הפונקציה f(x) = 3x² – 3 בין x = -2 ל x = 2 אז אנו נחשב את השטח הנמצא מעל ציר ה x וגם את השטח הנמצא מתחת לציר ה x ואת זה אנו לא רוצים.

עלינו למצוא דרך אחרת לחשב את השטח.

נשים לב כי השטח המוגבל על ידי הישר y = 9 וציר ה x בין x = -2 ל x = 2  הוא השטח הזה:

ואם נחסר משטח זה את השטח שהפרבולה יוצרת עם ציר ה x בתחומים
x = -2 ועד x = -1
וגם
x = 2 ועד x = 1
(השטחים עליהם החצים מצביעים) אז נקבל את השטח המבוקש.

לכן נחשב את השטח המבוקש בשני שלבים:

1.חישוב השטח המוגבל על ידי הישר y = 9 וציר ה x בין x = -2 ל x = 2

ניתן לחשב שטח זה על ידי האינטגרל:

או על ידי הסתכלות על השטח וראיה שהשטח הוא מלבן שצלעותיו הן 9,4.
36 = 9 * 4

בשלב השני נחסר את השטח שבצדדים על ידי האינטגרל הבא:

אם נציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 8 יחידות ריבועיות.

לסיכום
השטח המבוקש בשרטוט ב מתקבל על ידי:

פחות

סך הכל:
26 = 8 – 36

הדפים בעזרתם למדנו חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים הם:

  1. שטחים הנמצאים מעל ציר ה x או מתחת לציר ה x.
  2. שטחים הנמצאים מעל ומתחת לציר ה x.
  3. שטחים בין שתי פונקציות.
  4. שטחים מורכבים.
  5. אינטגרלים ושטחים עם פרמטרים.

עוד באתר:

אינטגרלים: חישוב שטח שכולו מעל או מתחת ציר ה x

בדף זה נלמד כיצד מחשבים שטח בעזרת האינטגרל.
נדבר על שני סוגי שטחים:

  1. שטח שכולו מתחת ציר ה x.
  2. שטח שכולו מתחת לציר ה x.

לדף שני חלקים:

  1. בחלק הראשון הסבר כיצד מחשבים.
  2. בחלק השני תרגילים.

1.כיצד מחשבים?

כאשר שטח נמצא כולו מעל ציר ה x

בשרטוט גרף הפונקציה f(x) = x +2.
על מנת לחשב את השטח במוגבל בין הישר ובין ציר ה x בין
x = 1 ל  x = 3
נבצע את החישוב הבא:

 

כאשר שטח כולו נמצא מתחת לציר ה x

אם נחשב כפי שחישבנו למעלה שטח הנמצא מתחת לציר ה x נקבל תוצאה שלילית.
לכן מה שנעשה זה לחשב באותה צורה ורק להוסיף:

  1. סימן של מינוס לפני האינטגרל.
  2. או לשים את האינטגרל בתוך ערך מוחלט.

דוגמה

בשרטוט גרף הפונקציה f(x) = x – 3.
על מנת לחשב את השטח במוגבל בין הישר ובין ציר ה x בין
x = -2 ל  x = 1
נבצע את החישוב הבא:
(המינוס לפני האינטגרל מודגש באדום).

לאחר האינטגרל נקבל:

נציב את המספרים:

נשים לב שלפני שהשתמשנו במינוס שהוספנו לפני האינטגרל קיבלנו 10.5-.

2.תרגילים

בחלק זה 4 תרגילים.

תרגיל 1
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה y = x, ציר ה- x והישרים x = 1, x = 3.

פתרון

1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

האינטגרל הוא:
x = x² / 2

2. חישוב השטח (פתרון התרגיל):

תשובה: השטח הכלוא הוא 4 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) =x³ + 4, ציר ה- x והישרים x = -1, x= 2

פתרון
1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

2. האינטגרל של הפונקציה הוא:

3. חישוב השטח:

נציב מספרים בתוך האינטגרל:

נבצע פעולות בתוך הסוגריים ונפתח סוגריים:

תשובה: לכן השטח הכלוא הדרוש הוא  15.75.

תרגיל 3
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) = -x² + 4, וציר ה- x (מעל ציר ה- x).

פתרון
1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x:
על מנת לחשב את השטח עלינו למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
נציב y = 0
נקבל:
x2 + 4 = 0-
x2 = 4
x = ± 2
לכן : a = -2  , b = 2.

2. מציאת האינטגרל:

3. חישוב השטח:

נבצע פעולות בתוך הסוגריים ונפתח סוגריים.

תשובה: לכן השטח הכלוא הדרוש הוא  10.666 .

תרגיל 4
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) = x² – 6x ,  וציר ה- x (מתחת לציר ה- x).

פתרון
1.מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x:
על מנת לחשב את השטח עלינו למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
נציב y = 0
נקבל:
x2 – 6x = 0
x*(x-6) = 0
x1 = 0, x2 = 6
לכן : a = 0  , b = 6.
(יש להקפיד על כך שהגבול העליון יהיה בערכו יותר גדול מהתחתון).

2. נחשב את האינטגרל:

3. חישוב השטחים :



בתוך הסוגריים שני הביטויים שווים ל 0.
לכן נישאר עם:

כצפוי, קיבלנו מספר שלילי – מכיוון שמצאנו שטח שהוא מתחת לציר x.
לכן ניקח את השטח בערך מוחלט (אין דבר כזה שטח שלילי).

תשובה: השטח הכלוא הדרוש הוא  36 .

הדפים בעזרתם למדנו חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים הם:

  1. שטחים הנמצאים מעל ציר ה x או מתחת לציר ה x.
  2. שטחים הנמצאים מעל ומתחת לציר ה x.
  3. שטחים בין שתי פונקציות.
  4. שטחים מורכבים.
  5. אינטגרלים ושטחים עם פרמטרים.

עוד באתר:

אינטגרלים: חישוב שטח שחלקו מעל וחלקו מתחת ציר ה x

על מנת לחשב שטח בין פונקציה לציר ה x.
שטח שחלקו נמצא מעל ציר ה x וחלקו נמצא מתחת לציר ה x.

  1. מפצלים את האינטגרל לשני חלקים. החלק שמעל ציר ה x והחלק שמתחת לציר ה x.
  2. מחשבים כל חלק בנפרד, כאשר על החלק שמתחת לציר ה x שמים מינוס לפני האינטגרל או שמים ערך מוחלט.

דוגמה
בגרף הפונקציה f (x) = x +2.
חשבו את השטח הנמצא בין הפונקציה ובין ציר ה x בין x = -6 לבין x = 1.

פתרון
מציאת התחום של השטח מעל ומתחת ציר ה x
נמצא כי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה x היא:
x + 2 = 0
x = -2

לכן השטח הנמצא מתחת לציר ה x נמצא בתחום
x = -6 ועד x = -2.
והשטח הנמצא מעל ציר ה x מוגבל על ידי התחום:
x = -2  ועד x = 1

חישוב השטחים
את השטח הנמצא מתחת לציר ה x נחשב בעזרת האינטגרל:

את השטח הנמצא מעל ציר ה x נחשב בעזרת האינטגרל.

נחבר את השטחים שקיבלנו ונקבל את השטח כולו.

תרגילים

בחלק זה 2 תרגילים.
בתרגיל אחד נמצא את האינטגרל אך לא נציב מספרים.
את תרגיל 2 נפתור פתרון מלא כולל הצבת מספרים.

תרגיל 1
נתונה הפונקציה f (x) = 3x² – 3.
חשבו את השטח המוגבל בינה לבן ציר ה x בין x = -2 ל x = 1.

פתרון
חישוב התחום של השטח מעל ומתחת ציר ה x
נעשה זאת באמצעות מציאת נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
f (x) = 3x² – 3.
3x² – 3 = 0
3x² = 3
x² = 1
x = 1  או x = -1

לכן התחום של השטח מעל ציר ה x הוא:
x = -2 ועד x = -1
התחום של השטח הנמצא מתחת לציר ה x הוא:
x = -1 ועד x = 1

חישוב השטחים
חישוב השטח הנמצא מעל לציר ה x מתקבל על ידי האינטגרל

לאחר שנציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 4 יחידות ריבועיות.

חישוב השטח הנמצא מתחת לאינטגרל מתקבל על ידי:
(שימו לב למינוס הנמצא לפני האינטגרל).

לאחר שנציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 4 יחידות ריבועיות.

תשובה: סכום השטחים הוא 8 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2
לפונקציה f (x) = x³ – 9x יש 3 נקודות חיתוך עם ציר ה- x.  חשבו את השטח המוגבל בין הפונקציה וציר ה x.

פתרון
בתרגיל זה יש לנו 2 שטחים נפרדים שעלינו לחשב.
הראשון – מעל ציר ה – x.
השני – מתחת לציר ה – x.
לכן נצטרך לחשב כל אחד מהשטחים בנפרד – והתשובה תהיה סכום השטחים.

1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה- x.
נציב y =0
נקבל:
x3 – 9x = 0
x*(x2 – 9) = 0
x (x+3)(x-3) = 0
למשוואה זו יש 3 פתרונות:
x1 = 0,  x2 = 3,   x3 = -3

2. מציאת האינטגרל (פונקציה קדומה):

3. חישוב השטחים:

השטח השמאלי נתון על ידי האינטגרל:


השטח הימני נתון על ידי האינטגרל:



כצפוי (מכיוון שהשטח מתחת לציר x), המספר של השטח השני שלילי. לכן ניקח את ערכו המוחלט.

לסיכום :
S1  = 20.25
S2  = 20.25

 תשובה: השטח החסום : 40.5

הדפים בעזרתם למדנו חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים הם:

  1. שטחים הנמצאים מעל ציר ה x או מתחת לציר ה x.
  2. שטחים הנמצאים מעל ומתחת לציר ה x.
  3. שטחים בין שתי פונקציות.
  4. שטחים מורכבים.
  5. אינטגרלים ושטחים עם פרמטרים.

עוד באתר:

שאלות בנושא פונקציה קווית

בדף זה שאלות שאלות שנשאלתי בנושא פונקציה קווית.
דף זה יחד עם שאר הדפים בנושא פונקציה קווית לכיתה ח צריך לתת לכם מענה שלם בנושא.

יש לכם שאלה ללא תשובה? שאלו ותקבלו תשובה בהקדם.

1.האם השיפוע של הישר x = 3 (בשרטוט) הוא אינסוף?

תשובה
לא.
השיפוע של הישר הזה הוא "לא מוגדר".
כל הישרים הנראים כך:
x =2, x = -8,  x = 0
השיפוע שלהם הוא "לא מוגדר".

ניתן להוכיח זאת בעזרת הנוסחה לחישוב שיפוע על פי שתי נקודות.
נבחר באופן מקרי שתי נקודות הנמצאות על הישר x= 3.
למשל:
(3,0)
(3,2)

נציב אותן בנוסחה ונקבל:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

תרגיל שצריך לחלק בו ל 0 תוצאתו לא מוגדרת.
ולכן שיפוע הישר x = 3 הוא לא מוגדר.

2.האם יש ישר ששיפועו אינסוף? האם יש ישר ששיפועו 0?

תשובה
אין ישר ששיפועו אינסוף.

יש ישר ששיפועו 0.
כל הישרים הנראים כך:
y = 4
y = -5
y = -1
השיפוע שלהם הוא 0.

ניתן להוכיח זאת בעזרת הנוסחה למציאת שיפוע על פי שתי נקודות.
נבחר שתי נקודות הנמצאות על הישר
y = 4
למשל:
(0,4)
(1,4)
נציב אותם בנוסחה ונקבל:

השיפוע הוא 0.

3.כיצד יודעים עם פונקציה קווית עולה או יורדת?

תשובה
יש שתי דרכים, דרך אחת בעזרת גרף ודרך שנייה בעזרת משוואת הישר.

הדרך בעזרת הגרף
אנו צריכים להסתכל על הישר משמאל לימין.
אם הישר עולה אז הישר עולה.
אם הישר יורד אז הישר יורד.

למשל, קבעו בגרף שלמטה מי הוא הישר שעולה ומי הישר שיורד.

מסתכלים משמאל לימין.
הישר שעולה הוא השחור.
הישר שיורד הוא האדום.

הדרך בעזרת המשוואה
נסתכל על משוואת הישר כשהיא בצורה המפורשת שלה (הצורה המפורשת היא כאשר ה y נמצא בצד אחד עם מקדם 1, וכל שאר הדברים נמצאים בצד השני.

אם המקדם של ה x חיובי אז משוואת הישר עולה.
אם המקדם של ה x שלילי אז משוואת הישר יורדת.

למשל:
y = -2x + 4
המקדם של x שלילי (2-), לכן משוואת הישר יורדת.

y = 4x
המקדם של ה x חיובי (4), לכן משוואת הישר עולה.

4.האם השיפוע של הישר 3y – 6x = 9 הוא 6- ?

תשובה
לא.
על מנת למצוא את שיפוע הישר עלינו לעבור אל משוואה מפורשת של הישר.
המשוואה 3y – 6x = 9 היא לא משוואה מפורשת, כי:

  1. כי המקדם של y הוא 3 ולא 1.
  2. כי ה y לא נמצא לבדו בצד אחד של המשוואה.

על מנת למצוא את השיפוע נעביר את המשוואה למצב של "משוואה מפורשת".
3y – 6x = 9  / +6x
3y = 6x + 9  / :3
y = 2x + 3

המשוואה האחרונה היא משוואה מפורשת.
המקדם של x הוא 2, לכן השיפוע הוא 2.

5.ללא שימוש במשוואה קבעו:
האם הישר העובר דרך שתי הנקודות
(A (-1, 7
(B (2,5
הוא ישר עולה.

תשובה
ההגדרה אומרת שאם "כאשר ערך ה x עולה גם ערך ה y עולה אז הישר עולה"
ולהפך "אם כאשר ערך ה x עולה ערך ה y יורד אז משוואת הישר יורדת".

במקרה שלנו אנו רואים שבין A ל B ערך ה x עולה (מ 1- ל 2).
לעומת זאת ערך ה y יורד (מ 7 ל 5).
לכן הישר AB הוא ישר יורד.

דוגמה נוספת
(A (3, 8
(B (1,2

בין A ל B ערך ה x יורד (מ 3 ל 1).
גם ערך ה y יורד (מ 8 ל 2).
לכן זו משוואת ישר עולה. כי כאשר ערך ה x יורד גם ערך ה y יורד.

הערה
למי שלא נוח להסתכל על הנקודות כאשר ערך ה x יורד יכול להסתכל על הנקודות מ B ל A ולהגיד.
בין B ל A ערך ה x עולה (מ 1 ל 3).
וגם ערך ה y עולה (מ 2 ל 8).
לכן משוואת הישר עולה. כי כאשר ערך ה x עולה גם ערך ה y עולה אז משוואת הישר עולה.

6.קבעו ללא חישוב מה היא נקודת החיתוך של הישר y = 2x – 4 עם ציר ה y.

תשובה
נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:
(4 -,  0).

כי נקודת החיתוך של הישר
y = mx + n
תמיד תהיה:

נוכיח זאת
על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה y צריך להציב x = 0 במשוואה. (הסבר כאן).
נציב x= 0 במשוואה  y =mx + n ונקבל:
y = mx + n
y = m * 0 + n
y= n
קיבלנו שכאשר x= 0 ערך ה y של המשוואה הוא n.
לכן נקודת החיתוך עם ציר ה y הוא:

7.כמה ישרים העוברים דרך נקודה אחת ניתן לשרטט (למשל הנקודה 2,3)?
מה ההבדל בין כל הישרים הללו?

פתרון
דרך נקודה אחת ניתן להעביר אינסוף ישרים.
ההבדל בין כל הנקודות הללו הוא השיפוע. לכל הישרים הללו יש שיפוע שונה.

דוגמאות לישרים העוברים דרך אותה נקודה

דוגמאות לישרים העוברים דרך אותה נקודה

עוד באתר: