עד עכשיו למדנו כיצד מבצעים אינטגרל לפונקציה מעריכית שבסיסה e.
למדנו גם כיצד לגזור פונקציית חזקה שבסיסה a.
בדף זה נלמד את הנוסחאות לאינטגרל מערכי שבסיסו שונה מ a.

למשל:

עבור פונקציה מורכבת:

למשל:

תרגילים

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון

תרגיל 3

פתרון

תרגיל 4

פתרון
על מנת לחשב את האינטגרל עלינו לפצל אותו לשני חלקים:

את הביטוי מימין ניתן גם לכתוב בצורה הזו:
(אל המינוס לא נתייחס אלא נוציא אותו בהמשך מחוץ לאינטגרל).

ועכשיו נחשב את האינטגרל:

תרגיל 5

פתרון
נכתוב את האינטגרל בצורה של חזקה ואז נחשב.

עוד באתר:

• אינטגרלים – מסוגים שונים.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

בדף זה נלמד כיצד מחשבים אינטגרל של נגזרת מורכבת כאשר הנגזרת הפנימית אינה קו ישר.

לא כל אינטגרל של פונקציה מורכבת נלמד לחשב בצורה הזו.
אלא רק אינטגרלים בהם יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.

הכלל בו נשתמש הוא:
אם אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x אז:

מצד שמאל של המשוואה יש לנו פונקציה מורכבת כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית.
ומצד ימין את תוצאת האינטגרל.

דפים קשורים:

• אינטגרל של פונקציה מורכבת – כיצד מחשבים כאשר הפונקציה הפנימית היא ישר.
• אינטגרלים – מכל הסוגים.
• אינטגרלים בשיטת ההצבה – את כל האינטגרלים המופיעים כאן ניתן לפתור בשיטת ההצבה, אבל זו דרך ארוכה יותר.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות – נושאים נוספים.

דוגמאות

דוגמה 1 (פולינום)

פתרון
נשים לב ש 10x הוא הנגזרת הפנימית של הפונקציה הפנימית:
2x⁵ – 6
לכן זה מתאים לנו לנוסחה וחישוב האינטגרל יעשה כך:

תרגיל 2 (הוצאת קבוע)

פתרון
הנגזרת של הפונקציה הפנימית היא 3x²- ובחוץ יש לנו 7x².
מה עושים?
כאשר ההבדל בין מה שיש למה שאנו רוצים שיהיה הוא רק מספר ניתן להוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל על מנת להתאים את הפונקציה.

עכשיו בחוץ יש לנו את הנגזרת של הפונקציה הפנימית וניתן לחשב את האינטגרל.

דוגמה 3 (טריגונומטרית)

פתרון
הנגזרת של cos x היא sin x-.
לכן על מנת שזו תהיה מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית שלה עלינו להוציא מינוס מחוץ לאינטגרל:

עכשיו נוכל להשתמש בנוסחה שלמדנו בדף זה:

דוגמה 4 (רציונלית)

פתרון
המונה 2x – 3 הוא הנגזרת הפנימית של הפונקציה שבמכנה.
לכן:

*הערה: שימו לב למינוס המופיע במונה של התשובה.
משוואה שיכולה לעזור בהבנת האינטגרל היא המשוואה הזו:

תרגילים

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון
הנגזרת של הפונקציה הפנימית היא 2x. לכן נוציא קבוע על מנת שנקבל אותה:

ועכשיו נמשיך לאינטגרל:

תרגיל 3

פתרון
הפונקציה הפנימית היא x² והנגזרת שלה היא 2x.
לכן ניתן להשתמש בנוסחה ונקבל:

תרגיל 4

פתרון
הנגזרת הפנימית היא 2x- ואין לנו את זה.
לכן נוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל:

ועכשיו נוכל להמשיך:

תרגיל 5

פתרון
הנגזרת של 2cosx- היא 2sinx.
לכן על מנת להתאים את התרגיל לנוסחה עלינו להוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל.

עכשיו אנו יכולים להשתמש בנוסחת האינטגרל של שורש.

תרגיל 6

פתרון
הנגזרת של sinx היא cosx- ולכן יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.
כמו כן:

לכן האינטגרל שלנו הוא:

למי שקשה עם האינטגרל הזה אני אזכיר כי:

יש שני סוגים לאינטגרל של פונקציה מורכבת:

1. הפונקציה הפנימית היא קו ישר.
2. הפונקציה הפנימית היא לא קו ישר.

בדף זה נלמד לפתור אינטגרלים בהם הפונקציה הפנימית היא קו ישר.

דפים קשורים:

• מציאת אינטגרל לפונקציה מורכבת על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית – השלב הבא לאחר שאתם מסיימים כאן.
• אינטגרלים – מכל הסוגים.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות – נושאים נוספים.

שתי דרכים לחישוב אינטגרל

יש שתי דרכים לחישוב אינטגרל של פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא משוואת ישר.

1. דרך אינטואיטיבית מעשית וקלה.
2. על פי נוסחה. בדרך זו צריך להקפיד שהולכים על פי הנוסחה כי יש תרגילים מבלבלים (לדוגמה תרגיל 3 בחלק של התרגילים).

דרך אינטואיטיבית ומעשית

בדרך זו נבצע אינטגרל "מבלי להתייחס לכך שזו פונקציה מורכבת".
ולאחר מיכן נחלק בנגזרת הפנימית (המקדם של x).

למשל, חשבו את האינטגרל:

ללא התייחסות לפונקציה הפנימית האינטגרל הוא:

נחלק בנגזרת הפנימית (המקדם של x) ונקבל את התשובה הסופית.

ניתן דוגמאות נוספות על פי הפונקציות השונות.

דוגמה 1 (פולינום)

דוגמה 2 (רציונלית מורכבת)
כאשר יש לנו חזקה במונה נהפוך אותה לחזקה במכנה.

ועכשיו נעשה אינטגרל תוך התעלמות מהפונקציה הפנימית ולאחר מיכן נחלק במקדם של x שהוא 8 ונקבל את התשובה.

התשובה הסופית מימין

דוגמה 3 (שורש מורכבת)

הפתרון מימין

דוגמה 4 (טריגונומטרית מורכבת)

הפתרון מימין

דרך הנוסחה

אם (f  (x) = F ' (x
כלומר אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x.
או בניסוח אחר (f(x היא הנגזרת של (F (x

אז ניתן להשתמש בכלל האינטגרציה הבא:

כלומר, על מנת לחשב אינטגרל נעשה אינטגרל לפונקציה החיצונית ונחלק בנגזרת של הפונקציה הפנימית.

למשל:
cos (4x -2) dx∫

פתרון
נזכור כי
cos x dx= sin x∫

במקרה שלנו m =4 ולכן הפתרון הוא:
cos (4x -2) dx = sin (4x -2) / 4∫

3 הערות:

1.נוסחה זו מופיעה בדף הנוסחאות בבגרות.
2.שימו לב שאנו עושים כאן (ולא במקרה) בדיוק את הפעולה ההפוכה למה שעשינו בנגזרת של פונקציה מורכבת.
בנגזרת של פונקציה מורכבת אנו מכפילים בנגזרת הפנימית ואילו כאן אנו מחלקים בנגזרת הפנימית.
זה הכלל של גזרת מורכבת (כלל השרשרת):
(f (g(x) ]' = f ' (g(x) * g ' (x] 3. אני באופן אישי פותר שאלות מהסוג הזה בעזרת ההיגיון ולא בעזרת הכלל. ואלמד אותכם כיצד עושים זאת.
במקרים מסוימים ההיגיון פשוט יותר מהכלל.

תרגילים

תרגיל 1

פתרון
נזכור כי הנוסחה של אינטגרל שורש רגיל היא:

לכן על מנת לחשב את האינטגרל שלנו נעשה בדיוק את אותו דבר, רק שגם נחלק ב m = 3.

תרגיל 2
(sin (2x + 5∫

פתרון
נזכור כי:
sin x =  – cosx + c∫
לכן נעשה בדיוק אותו דבר, רק נחלק ב m = 2.

תרגיל 3
7x – 1)³ dx)∫

פתרון
חלק ממכם בוודאי יפתרו את התרגיל בצורה הבאה:

אבל זה לא נכון.
זה לא נכון הנגזרת של 7x – 1) ⁴)
היא לא7x – 1)³).
אלה היא:

לכן כפעולה המקדימה לאינטגרל עלינו להוציא את המספר 4 מחוץ לסוגריים בצורה הזו:

וחישוב האינטגרל המלא יראה כך:

תרגיל 4

פתרון
כאשר יש לנו קבוע שמפריע לנו לבצע את האינטגרל על פי הנוסחה נוציא את הקבוע מחוץ לאינטגרל בצורה הזו.

ואז נחשב את האינטגרל על פי הנוסחה:

כיצד ניתן לחשב את האינטגרלים האלו ללא נוסחה

אני מחשב אינטגרלים מהסוג הזה בעזרת ההיגיון ולא בעזרת הנוסחה.
הבנת ההיגיון, בניגוד לשימוש בנוסחה על ידי הצבה ללא הבנת ההיגיון תוכל לעזור לכם לדעת שאתם לא טועים בהצבה בנוסחה וגם תעזור לכם לפתור אינטגרלים של פונקציות מורכבות בהם הפונקציה הפנימית אינה קו ישר.

אני אפתור כאן את אותם תרגילים המופיעים למעלה בעזרת ההיגיון:

תרגיל 1

פתרון
נכתוב את התרגיל בצורה של חזקה.

דבר ראשון שנחשוב עליו הוא החזקה.
איזו חזקה אנו נגזור ונגיע אל חזקת 0.5- ?
חזקת 0.5
לכן נרשום את הבסיס לתשובה שלנו:

3x -1)^0.5)

ועכשיו מה מפריע לנו בביטוי הזה כאשר נגזור אותו?
מפריע לנו שכאשר נגזור אותו יהיה לנו 0.5 * 3 במונה.
בגלל החזקה ובגלל המקדם של x.
הנגזרת של הביטוי כמו שהוא היא:

לכן עלינו לחלק את הביטוי ב 0.5 * 3.
וזו תהיה התשובה:

תרגיל 2

(sin (2x + 5∫

פתרון
אנחנו חייבים שיהיה לנו בפתרון
(cos(2x + 5

וכאשר נגזור את זה מה נקבל?

לכן עלינו לחלק ב 2- על מנת לקבל את התשובה הנכונה.

תרגיל 3
7x – 1)³ dx)∫

פתרון
אנו חושבים קודם כל על החזקה. לכן ברור שאנו צריכים את הביטוי בתוך הסוגריים בחזקת 4.

7x – 1) ⁴)

מה נקבל שנגזור את הביטוי הזה?

כלומר יש לנו 7*4 מיותרים.
לכן נחלק ב 4*7 והתשובה היא:

* דרך הפתרון של תרגיל 4 דומה מאוד לדרך של תרגיל 1.

בדף אינטגרל של פונקציית שורש למדנו לחשב אינטגרלים.
כאן נלך צעד נוסף ונלמד לחשב אינטגרל מסוים ולאחר מיכן נפתור תרגילי חישוב שטחים.

אינטגרל מסוים

הנוסחה הבסיסית לחשוב אינטגרל מסוים היא:

תרגיל 1

פתרון
נהפוך את השורש לפונקציית פולינום:

נבצע אינטגרל, ונציב את התחומים.

תרגיל 2

פתרון

בתרגיל זה יש לנו פונקציה מורכבת בתוך השורש.
הפונקציה היא  f(x) = x + 1.
לכן נציב f(x) = t , כלומר x + 1 = t
נגזור את שני האגפים, נקבל:
dx = dt

הערה: מכיוון שזהו אינטגרל מסוים , גבולות האינטגרל גם ישתנו בהתאם להצבה.

נציב באינטגרל:

נפתור את האינטגרל לפי t :


תשובה:

חישובי שטחים

תרגיל 3
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה:   ,
לבין הישר:  .

נתון כי נקודות החיתוך הן  x₁ = 3 , x₂ = 6.

פתרון

השטח חסום מלמטה ע"י הישר , ומלמעלה ע"י הפונקציה.
לכן ניתן לבטא את השטח באמצעות חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
נקודות החיתוך בין הפונקציה לישר נתונות לנו בשאלה.
לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

חישוב האינטגרל:
א. הצבה:
נרצה להשתמש בהצבה t = x – 2.
לכן נסדר את הביטוי בצורה הבאה:

(אם נפתח חזרה את הסוגריים נקבל בדיוק אותו ביטוי).

כעת נציב: t = x – 2.
dx = dt.
יש לזכור לשנות את הגבולות בהתאם.
נקבל:

ב. פתרון האינטגרל לפי t :

כצפוי, קיבלנו מספר שלילי , מכיוון שהשטח נמצא מתחת לציר x.
לכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 1.

תרגיל 4
חשבו את השטח המוגבל ע"י הפונקציה f(x) = 1/√x ,
הישרים y = 1 , y = 0.5 ,  וציר y.

פתרון

בתרגיל זה אנו צריכים לחלק את השטח לשני שטחים נפרדים.
זאת מכיוון שהוא חסום ע"י יותר מפונקציה אחת.
1. מלבן – חסום ע"י הישרים  y = 1, y = 0.5.
2.שטח חסום בין הישר לפונקציה –  חסום ע"י הפונקציה f(x) = 1/√x והישר y = 0.5.

קודם כל נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה לישרים (אנו נזדקק להן):
א. עם הישר y = 1:

x = 1√
x = 1

ב. עם הישר y = 0.5:

x = 2√
x = 4

נחשב כל שטח בנפרד – התשובה תהיה סכום השטחים:

1. מלבן :
על מנת לחשב את שטח המלבן לא נצטרך לבצע אינטגרל.
(ניתן לחשב ע"י אינטגרל, אבל במקרה זה אין צורך)
נשתמש בנוסחה לשטח מלבן :  גובה*בסיס = S

 שטח המלבן הוא : S₁ = 1*0.5 = 0.5

2. השטח החסום בין הישר לפונקציה :
נקודות החיתוך הן : x = 1 , x = 4

לכן השטח ניתן לחישוב ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח הכלוא:

לכן S₂ = 0.5

חישבנו כל שטח בנפרד – רק נשאר לנו לסכום את שני השטחים.
לכן השטח הכולל הוא :
S_tot = S₁ + S₂ = 0.5 + 0.5 = 1

תשובה : השטח החסום הוא 1.

תרגיל 8

מעבירים לפונקציה משיק בנקודה x = 0.
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק, והישר x = 8.

פתרון

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = 0 בפונקציה.

f(0) = √(0+1) = 1

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (0 , 1)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.

נציב את x = 0 בנגזרת הפונקציה:
f ' (0) = 1/2
כלומר: m = 1/2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y₀ = m*(x-x₀ , כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0, y₀) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 1 = 0.5*(x – 0
y – 1  = 0.5x
y = 0.5x +1

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק , נחשב את השטח הכלוא.
השטח חסום מלמטה ע"י הישר , ומלמעלה ע"י הפונקציה.
לכן ניתן לבטא את השטח באמצעות חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
גבולות האינטגרל הם x = 0 (נק' ההשקה) והישר x = 8.

לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

חישוב האינטגרל:
א. הצבה:
נציב:  x + 1 = t
ואז מתקיים : x = t – 1.
dx = dt.

הערה: יש לזכור לשנות את הגבולות בהתאם להצבה.

נציב באינטגרל ונקבל:

ב. חישוב האינטגרל לפי t:

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 6.6667.

תרגיל 4  (עם פרמטר)

א. הביעו באמצעות הפרמטר c את השטח הכלוא בין הפונקציה, ציר x , והישרים   : x = 4 , x = 7.
ב. נתון כי השטח הנ"ל שווה ל – 2 . מצאו את c.

(הערה: הניחו כי הפונקציה מוגדרת בתחום הדרוש).

פתרון

א. השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל ע"י הצבה:
נציב:  t = x + c
מתקיים : dx = dt.
גבולות האינטגרל משתנים בהתאם:
-התחתון – 4 + c
-העליון –  7 + c

נציב באינטגרל ונקבל:

נפתור את האינטגרל לפי t :

ב. מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 2.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:



נעלה בריבוע את שני האגפים , נפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר:



נעלה בריבוע את שני האגפים:
c + 4 = 1

תשובה: c = -3

עוד באתר:

• אינטגרלים מסוגים נוספים.
• חקירת פונקציית שורש.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.