בדף זה פתרונות לתרגילים מהבגרות בנושא גיאומטריה שאלון 481.
12 פתרונות לשנים 2016 – 2019.

בפתרונות יש דגש על הסבר מה היא דרך המחשבה שהייתה אמורה להביא אותכם לפתרון. אבל לא הפתרונות יש פתרון מלא של משוואות או נימוקים כפי שהם צריכים להיכתב בבגרות.

קייץ 2019 שאלה 4

הפתרון של שאלה זו הוא הנחייה לפתרון ולא פתרון מלא.
סעיף א
קו המחשבה המוביל לפתרון הוא: כיצד למצוא זוויות מתחלפות או מתאימות שוות על מנת להוכיח שהישרים מקבילים?
משתמשים במשפט "רדיוס המעגל מאונך למשיק בנקודת ההשקה" ולכן OEA גודלה 90. ואז יש לנו זוויות חד צדדיות המשלימות ל 180 מעלות או זוויות מתאימות שוות.

סעיף ב
קו המחשבה צריך להיות: "מה הקשר בין הסעיף הקודם לסעיף הזה?".
בסעיף הקודם הוכחנו שהישרים מקבילים ובסעיף זה נוכיח בעזרת הישרים המקבילים כי הזוויות שוות.
OEC = OCE  כי   OE = OC שתי הצלעות הן רדיוסים שווים.
OEC = ACE זוויות מתחלפות שוות ומכך מגיעים לתשובה.

סעיף ג
זווית CEB שווה 90 כי זו זווית היקפית הנשענת על קוטר.
בסעיף הקודם הוכחנו
OCE = ACE
המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ד 1
קו המחשבה הוא "הצלעות הנתונות והמבוקשות הם חלק מהצלעות של המשולשים הדומים, לכן נבנה משוואה בעזרת דמיון משולשים" הסבר מפורט כאן.

EC² = AC * BC = 64
EC = 8

סעיף ד 2
קו המחשבה צריך להיות: "מה הקשר בין הסעיף הקודם לסעיף הזה?".
והקשר הוא שלאחר שמצאנו את EC אנו יודעים את שני הניצבים במשולש CEB ניתן לחשב את הקוטר בעזרת משפט פיתגורס.
EB הוא רדיוס, מחצית הקוטר שמצאנו.

קייץ 2019 מועד ב שאלה 4

הפתרון של שאלה זו הוא הנחייה לפתרון ולא פתרון מלא.
סעיף א
הזווית ההיקפית A נשענת על קוטר ולכן גודלה 90.
D = B שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר.
דמיון משולשים על פי ז.ז

סעיף ב
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם עוזר לי".
והסעיף הקודם עוזר בכך ש: ACB = NCD הם זוויות מתאימות שוות.
לכן CN הוא חוצה זווית.
CN הוא גובה וחוצה זוויות במשולש ולכן המשולש שווה שוקיים.

סעיף ג
כיוון המחשבה צריך להיות  "בניית משוואה עם הצלעות המבוקשות על פי דמיון המשולשים."
ובנוסף לחשוב איך זה שהוכחנו בסעיף הקודם את המשולש שווה שוקיים עוזר כאן.
בעזרת דמיון המשולשים נבנה את המשוואה הכוללת את הצלעות שיש במשוואה המבוקשת.

AC*DC = BC *NC
נזכור כי בסעף הקודם מצאנו:
AC = DC
לכן
AC² = BC *NC

סעיף ד
BC = 2R = 10
CD = AC = 4
מציבים את שני אלה במשוואה הקודמת ומוצאים את NC.

חורף 2019 שאלה 4

הפתרון של שאלה זו הוא הנחייה לפתרון ולא פתרון מלא.
סעיף א
AFB = 90 זווית היקפית הנשענת על קוטר.
BAC = 90 זווית בין רדיוס למיתר בנקודת ההשקה שווה ל 90.
בנוסף זווית B היא זווית משותפת לכן המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ב
בעזרת דמיון המשולשים ויחס הדמיון נבנה משוואה הכוללת את הצלעות שנתנו לנו את גודלם ואת הצלע המבוקשת.
כמו כן נשים לב כי:
CB = FC + FB = 25

AB² = FB * CB = 9 *25 = 225
AB =15

סעיף ג
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם עוזר לי".
בעזרת משפט פיתגורס במשולש ABF נמצא את AF.
AF = 12
ואז נחשב את שטח המשולש:
S = 0.5 * 12 * 16 = 96

סעיף ד
כן.
AFC = CAB = 90
C זווית משותפת.

קיץ 2018 שאלה 4

סעיף א:
על מנת להוכיח ש BA הוא חוצה זווית עלינו להוכיח כי:
ABD = CBA.
לכן נגדיר:
ABD = a∠
וננסה להוכיח כי גם CBA = a.

1. AMC = 2a∠ כי AMC = 2ABD על פי הנתונים.
2. BMA = 180 – 2a זוויות צמודות.
3. MA = MB שניהם רדיוסים במעגל ולכן משולש MAB הוא שווה שוקיים.
4. MBA = MAB = a במשולש MAB זוויות הבסיס שוות ומשלימות את זוויות BMA ל 180 מעלות.

ABD = ∠CBA = a∠   ולכן BA הוא חוצה זווית.

סעיף ב:
קו המחשבה צריך להיות " איך הסעיף הקודם עוזר לי לפתור את הסעיף הזה".

1. AMC = 2a זו הייתה הגדרה שלנו.
2. CBD = ABD = ∠CBA = 2a
3. C זווית משותפת.
4. CBD ∼ CMA משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ג
כיוון המחשבה " M הוא אמצע BC כי הוא מרכז המעגל ו BC הוא קוטר.
נותר להוכיח כי A הוא אמצע DC, כלומר צריך להוכיח ש BA הוא תיכון"
נוכל להוכיח זאת אם נוכיח כי CBD הוא משולש שווה שוקיים.
וזה ברור שזה כך כי CMA המשולש הדומה לו הוא משולש שווה שוקיים.

דרך ראשונה להוכחה כי CMA הוא משולש שווה שוקיים.

1. BAC = 90 כי זו זווית היקפית הנשענת על קוטר.
2. BA הוא גובה וחוצה זווית לכן משולש CBD הוא משולש שווה שוקיים.
3. A הוא אמצע BC כי במשולש שווה שוקיים CBD הגובה הוא תיכון.
4. לכן MA הוא קטע אמצעים במשולש DBC כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומגיע אל אמצע צלע אחרת הוא קטע אמצעים.

דרך שנייה להוכחה כי המשולש CMA הוא שווה שוקיים

1. MCA = MAC = D זוויות מתאימות בין משולשים דומים.
2. משולש CMA הוא שווה שוקיים כי מול זוויות שוות במשולש נמצאות צלעות שוות.
3. A הוא אמצע DC כי במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית BA הוא גם תיכון.
4. לכן MA הוא קטע אמצעים במשולש DBC כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומגיע אל אמצע צלע אחרת הוא קטע אמצעים.

סעיף ד:
שטח המשולש CBD הוא:

מכוון שנתון שמשולש ABM הוא משולש שווה צלעות.
ומכוון MB = MA = R אז גם BA = R.

עכשיו צריך להגדיר את DC באמצעות R.

הוכחנו כי משולש CBD הוא שווה שוקיים.
BA הוא גובה לבסיס ולכן גם תיכון.
CD = 2CA (משוואה 1).

בעזרת משפט פיתגורס נגדיר את CA באמצעות R במשולש BAC.
במשולש BAC על פי משפט פיתגורס:
CA² = BC² – BA² = (2R)² – R² = 3R²
CA = √3 R

שטח משולש CBD הוא:
S_CBD = 0.5(DC * BA) = 0.5 * √3 R * R= 0.866R²

דרך נוספת להגדרת CA היא לבנות משוואה בעזרת דמיון המשולשים CBD ∼ CMA.

קיץ 2018 מועד ב

הפתרון של שאלה זו הוא הנחיות לפתרון ולא פתרון מלא
סעיף א
כיוון המחשבה צריך להיות "סעיפי א בשאלות לרוב נפתרים על ידי משפט, מה המשפט המתאים לשאלה זו"?

1. ABE = FED  זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר.
2. FED = CDE זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
3. ABE = CDE  נובע מ 1,2.

סעיף ב

1. ABE = CDE הוכחנו בסעיף הקודם.
2. E זווית משותפת
3. CDE ∼ ABE על פי ז.ז

סעיף ג
המשפט אומר "ניתן לחסום מרובע במעגל אם סכום הזוויות הנגדיות שלו הוא 180 מעלות"
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם שהוא דמיון משולשים עוזר לנו?"

נגדיר את שלושת הזוויות במשולש CDE כ X,Y,Z ובאמצעות התכונות של זוויות צמודות המשלימות ל 180 מעלות ובאמצעות זוויות מתאימות בין משולשים דומים נמצא את 4 זוויות המרובע ABCD ונוכיח כי סכום זוויות נגדיות במרובע הוא 180 מעלות.

סעיף ד
כיוון המחשבה צריך להיות "נבנה משוואה הכוללת את הצלעות המבוקשות בעזרת דמיון משולשים שמצאנו בסעיף ב".

ED * AB = CD * EB
ED * 3EB = 4*12
3EB² = 48
EB² = 16
EB = 4  או  EB = -4
מכוון שגודל של צלע הוא מספר חיובי אז התשובה היחידה  היא EB = 4.

חורף 2018 שאלה 4

סעיף א
דרך ראשונה להוכחה

1. OB = OA שניהם רדיוסים ולכן משולש OAB הוא משולש שווה שוקיים.
2. E הוא אמצע AB כי OE הוא גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים AOB.
3. O היא אמצע AC כי זו נקודת מרכז המעגל ו AC הוא הקוטר.
4. OE הוא קטע אמצעים במשולש ACB כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומגיע לאמצע צלע שנייה במשולש הוא קטע אמצעים.

דרך שנייה להוכחה

1. B= 90  זווית היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות.
2. B = OEA כי OE מאונך ל AB.
3. OE | | BC אם זוויות מתאימות שוות בין שני ישרים אז הישרים מקבילים.
4. O היא אמצע AC כי זו נקודת מרכז המעגל ו AC הוא הקוטר.
5. OE הוא קטע אמצעים במשולש ACB כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע השלישית במשולש הוא קטע אמצעים.

סעיף ב
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם עוזר לנו?" ובנוסף "במעגל הרבה מוכיחים שמיתרים שווים בעזרת זוויות שוות הנשענות עליהם"

בסעיף הקודם למדנו כי:
E היא אמצע AB כי OE הוא קטע אמצעים.
כמו כן:
OB = OA שניהם רדיוסים

לכן:
BOF = AOF כי במשולש שווה שוקיים AOB הישר OE הוא תיכון ולכן גם חוצה זווית.
AF = FB זוויות מרכזיות שוות נשענות על מיתרים שווים.

סעיף ג (קשה יחסית)

1. OBC הוא משולש שווה שוקיים כי OB,OC הם רדיוסים.
2. BOC = 180 – 60 – 60 = 60 סכום זוויות במשולש BOC הוא 180.
3. משולש BOC הוא שווה צלעות שבו כל צלע שווה ל R כי שלושת זוויותיו גודלן 60.
4. מרובע FOCB הוא מקבילית כי צלעות FO,BC הן שוות ומקבילות.
5. מרובע FOCB הוא מעוין כי OF = OC = R ואם שתי צלעות סמוכות במקבילית שוות אז המרובע הוא מעוין.

קיץ 2017 שאלה 4

א. נוכיח כי AEB = ∠BDC∠
נגדיר AEB=β∠
CGE=90- β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש CEG.
FGD =∠CGE= 90 – β∠  – זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
BDC = β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש FGD.
AEB = ∠BDC = β∠

ב. הוכחה ש: AEB ≅ BDC

1. DC=BE – נתון.
2. AEB = ∠BDC = β∠ – מצאנו בסעיף א.
3. BCD = ∠ABC=90∠
4. AEB ≅ BDC  משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז

ג. הוכחה ש: GCE ∼ ABE.

1. BEA = ∠CEG∠   – זווית משותפת.
2. ECG = ∠ABE=90∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
3. GCE ∼ ABE  – משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז

מציאת היחס GC / AB

1. נגדיר את אורך EC כ X ס"מ.
2. CB=4CE=4X
   EB= CB+CE=5X
3. יחס צלעות מתאימות בין משולשים דומים שווה זה לזה לכן:
   GC / AB = EC / EB = X/5X = 1/5

תשובה: היחס הוא 1:5.
הערה: במקום בדמיון משולשים היה ניתן בהרחבה הראשונה של משפט תאלס:
GC / AB = CE / EB = X/ 5X = 1/5.

קייץ 2017 מועד ב

סעיף א 1
המשפט המתאים למרובע החסום במעגל הוא "במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180"

1. נגדיר  CBD = x.
2. לכן FEC = 180 – x  במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
3. FED = x  סכום זוויות צמודות הוא 180.
4. FED = CBD = x מש"ל.

סעיף א 2
כיוון המחשבה שצריך להיות לנו "הוא איך הסעיף הקודם עוזר לנו?"

1. BCD הוא משולש שווה שוקיים כי צלעות המעוין BC, CD שוות זו לזו.
2. EDF = CBD = x  זווית בסיס במשולש שווה שוקיים BCD שוות זו לזו.
3. FED = EDF = x  נובע מ 2 ו 4.
4. FED משולש שווה שוקיים כי מול זוויות שוות יש צלעות שוות.

סעיף ב
בסעיפים הקודמים הוכחנו:

1. FED = CBD = x
2. FDE זווית משותפת.
3. לכן המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ג
יחס הדמיון בין המשולשים הדומים הוא:
DB / DE = 3

לכן יחס שטחי המשולשים הוא:
9 = 3²
לכן שטח משולש DBC הוא:
18 = 9 * 2

במעוין האלכסון יוצר שני משולשים חופפים:
BCD ≅ BAD על פי צ.צ.צ

משולשים חופפים שווים בשטחם.
שטח המעוין מורכב משטחי שני המשולשים.
לכן שטח המעוין הוא:
S = 18 * 2 = 36
סמ"ר.

חורף 2017 שאלה 4

פתרון מלא

א. נעביר אלכסון בדלתון AC.
1. ACB=30∠ האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.
2. A =180 -∠c=120∠ – סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל הוא 180 מעלות.
3. CAB=60∠ – האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.
4. B=180-60-30=90∠ – סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180 מעלות.
5. D=180-∠B=180-90=90∠ – סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל הוא 180 מעלות.

2. (חלק שני של סעיף א)
1. AC – הוא קוטר. (אם במעגל זווית היקפית (D∠) שווה ל 90 מעלות אז היא נשענת על קוטר).
2.   AB = 0.5AC =0.5*2R = R
במשולש ישר זווית ABC שבו זווית ACB=30∠ הצלע שמול זווית ה 30 מעלות שווה למחצית מהיתר.
3. AB=OA=OB=R – משולש AOB הוא משולש שווה צלעות.

סעיף ב
1. AB=AD – נתון.
2. AB=BO=OD=R – מצאנו בסעיף הקודם + OD הוא רדיוס.
3. ABOD – הוא מעוין שכל צלעותיו שוות לרדיוס.

סעיף ג
על פי משפט פיתגורס במשולש ABC.
BC² + 5²=10²
BC²+ 25 =100
BC²=75
BC=√75

סעיף ד
עלינו להראות כי משולש BCD הוא שווה צלעות (כל זוויות שוות 60).
1. BC=DC – נתון.
2. C=60∠ – נתון.
3. BDC=∠DBC∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים BDC שוות זו לזו.
4.   BDC=∠DBC= (180-60)/2=60∠ – סכום הזוויות במשולש BDC הוא 180 מעלות.
5. משולש ABO ומשולש BCD הם משולשים דומים על פי משפט ז.ז משום שבשתי המשולשים כל הזוויות שוות ל 60 מעלות.

קיץ 2016 תרגיל 4

שרטוט התרגיל

סעיף א
1. AOD=2*∠ACD=2a∠ – זווית מרכזית שווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת.
2. ACD=∠DCB=a∠ – על קשתות שוות נשענות זוויות היקפיות שוות.
3. ACO=∠ACD+∠DCB=2a∠
4. ACO=∠AOD∠ – נובע מ 1 ו 3.
חלק שני של סעיף א:
1. OA=OC – רדיוסים שווים במעגל.
2. ACO=∠OAC=2a∠ – במשולש שווה שוקיים ACO זווית הבסיס שוות.
3. AOD=∠OAC=2a∠
4. AC ║ DO – אם זוויות מתחלפות שוות בין קווים אז הקווים הם מקבילים.

סעיף ב
1. AO=OD=R – רדיוסים במעגל.
2. ODA=∠DAO∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ODA שוות זו לזו.
DAO=(180-2a)/2=90-a∠ – נובע מסעיף 2 ומכך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.

חלק שני של סעיף ב
כרגע ידוע כי AC ║ DO.
אם נוכיח גם כי AD ║ CO אז המרובע יהיה מקבילית על פי המשפט שמרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
מתי AD ║ CO? כאשר DAO=∠AOC∠ משום שאלו זוויות מתחלפות.

נמצא את AOC∠.
1. AO=OC=R – רדיוסים שווים במעגל.
2. ACB=2a∠ – מצאנו בחלק השני של סעיף א.
3. ACB=∠OAC=2a∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
4. AOC=180-4a∠ – סכום הזוויות במשולש AOC שווה ל 180 מעלות.
5. על מנת ש: DAO=∠AOC∠ צריך להתקיים:
180-4a=90-a
90=3a
30=a
תשובה: על מנת שמרובע ACOD יהיה מקבילית 30=a.

קיץ 2016 מועד ב שאלה 4

נתונים:

ABCD טרפז שווה שוקיים החסום במעגל.
DC קוטר במעגל.
E נמצאת על המשך האלכסון BD.
EC משיק למעגל.

פתרון

סעיף א. נדרש להוכיח ΔDAC ∼ ΔECD

1. DCB=90∠  – רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
2. DAC=90∠ – זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל 90 מעלות.
3. DCA= ∠EDC∠ – זווית היקפיות הנשענות על מיתרים שווים (שוקיים בטרפז שווה שוקיים) שוות בגודלן.
4. ΔDAC ∼ ΔECD – דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב.  חישוב רדיוס המעגל.
DE=36, AC=25

1. r – רדיוס המעגל. DC=2r
2. נשים לב שקוטר המעגל (2r) הוא צלע בשני המשולשים. על פי יחס הדמיון:
   DE/ DC = DC/ AC
   DC² = AC*DE
   2r)² = 36*25)
   4r²=900 /:4
   r²=225
   r=15
   הרדיוס הוא 15 ס"מ.

סעיף ג. חישוב שטח משולש ΔDAC

1. על פי משפט פיתגורס במשולש ΔDAC
   DC² = AD² + AC²
   30² = AD² + 25²
   900 = 625 + AD²
   275 = AD²
   AD= √275
2. שטח המשולש הוא:
   2 / (275√ * 25)
   207.289
   תשובה: שטח משולש  ΔDAC הוא 207.289 סמ"ר.

חורף 2016

נתונים:
משולש שווה שוקיים ΔABC (הצלעות AB=AC).
DA=AB.
EA משיק בנקודה A.

א. להוכיח כי AE הוא קטע אמצעים במשולש ΔBDC.

1. נגדיר: ABC=a∠.
2. BCA=∠ABC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ABC שוות זו לזו.
3. EAC=∠ABC∠ – זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.
4. EAC=∠BCA∠ – נובע מ 2 ו 3.
5. EA ΙΙ FB  – אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
6. AE הוא קטע אמצעים ב ΔBDC  – אם ישר יוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע השלישית במשולש אז הוא קטע אמצעים.

ב. להוכיח ש CD⊥BC.

1. במשולש ΔBDC הישר CA הוא תיכון לייתר וגם CA=0.5BD.
2. משולש שבו התיכון לייתר שווה למחצית היתר הוא משולש ישר זווית.
3. ΔDCB הוא משולש ישר זווית C=90∠

עוד באתר:

• שאלון 481 – נושאים נוספים המופיעים בבחינה.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

בדף נפתור שאלות בהסתברות משאלון 481.
בדף יש את הפתרונות ללא שאלונים, את השאלונים ניתן למצוא באינטרנט.

• הסתברות 4 יחידות סיכום.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.

קיץ 2018 מועד א שאלה 3

סעיף א
נגדיר:
x מספר האפרסקים שבסל.
ההסתברות שבפעם הראשונה הוציאה תפוח היא:

ההסתברות שבפעם השנייה הוציאה תפוח:

ההסתברות להוציא תפוח בשני הפעמים היא:

נכפיל במכנה המשותף  36 * (x + 1) (x + 2) ונקבל:
x + 1) (x+ 2) = 2*36)
x² +2x + x + 2 = 72   / -72
x² + 3x -70 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נשתמש בפירוק הטרינום:
x² – 7x + 10x – 70 = 0
x (x – 7) + 10 (x – 7) = 0
x + 10) (x – 7) = 0)
x = -10  או x = 7.

מספר האפרסקים שבסל לא יכול להיות 10-. לכן מספר האפרסקים שהיה בסל הוא 7.

סעיף ב
יש שני מצבים בהם הפרי השני הוא תפוח.
הראשון תפוח והשני תפוח. את ההסתברות הזו חישבנו והיא 1/36.
הראשון אפרסק והשני תפוח.

נחשב את ההסתברות הזו:
7/36 = 14/72 = (2/8) * (7/9)

סך כל ההסתברויות הוא:
2/9 = 8/36 = 1/36 + 7/36

תשובה: ההסתברות שהשני תפוח היא 2/9.

סעיף ג
ההסתברות שיצאו שני פירות מאותו סוג היא:
שיצא תפוח תפוח. זו הסתברות של 1/36.
שיצא אפרסק אפרסק.
נחשב את ההסתברות הזו:
21/36 = 42/72 = (6/8) * (7/9)

סכום ההסתברויות הוא:
11/18 = 22/36 = 1/36 + 21/36

תשובה: ההסתברות להוציא שני פירות מאותו סוג היא 11/18.

חלק שני
זו שאלה של הסתברות מותנית.
נגדיר  11/18 = (p (b זו ההסתברות להוציא שני פירות מאותו סוג.
p(a∩b) = 21/36 זו ההסתברות להוציא גם שני אפרסקים וגם שני פירות מאותו הסוג.
(p (a / b) = p (a∩b) : p (a / b
p (a / b)  = (21/36) : (11/18 ) = 0.954
תשובה: אם ידוע שיצאו שני פירות מאותו הסוג אז ההסתברות שיצאו שני אפרסקים היא 0.954.

קיץ 2018 מועד ב שאלה 3

סעיף א
שאלה זו מתאימה לדיאגרמת עץ.
נגדיר:
x ההסתברות לדגום בן הלומד בבית ספר.
1.25x  ההסתברות לדגום בת הלומדת בבית ספר.
x + 1.25x = 1
2.25x = 1  / : 2.25
x = 0.444  זו ההסתברות לבן.
1.25x = 0.555  זו ההסתברות לבת.

נבנה דיאגרמת עץ המציגה את השאלה:

מבקשים מאיתנו לחשב את ענף מספר 1.
וזה מכפלת ההסתברויות המרכיבות אותו.
0.333 = 0.444 * 0.75.

סעיף ב
נגדיר (p (b ההסתברות לבחור תלמיד הגר בעיר.
הסתברות זו מורכבת מההסתברות לבן שגר בעיר (חישבנו, 0.333).
וההסתברות לבת שגרה בעיר.
נחשב את ההסתברות לבת הגרה בעיר:
0.333 = 0.6 * 0.555

ההסתברות של תלמיד הגר בעיר היא סכום ההסתברויות:
0.666 = 0.333 + 0.333
p (a ∩ b) = 0.333 ההסתברות לבת וגם גרה בעיר.
(p (a / b) = p (a∩b) : p (a / b
p (a / b) = 0.333 / 0.666 = 1/2
תשובה: אם ידוע שנחבר תלמיד הגר בעיר ההסתברות שזו בת היא 1/2.

סעיף ג
אנו יודעים שהחלק של אלו הגרים בעיר הוא:
0.666 = 0.333 + 0.333
600 = 900 * 0.666
תשובה: 600 תלמידים גרים בעיר.

סעיף ד
זה סעיף הנפתר על ידי נוסחת ברנולי.
2/3 = 900 : 600 זו ההסתברות לבחור תלמיד מהעיר.
1/3 = 2/3 – 1  זו ההסתברות לבחור תלמיד שאינו מהעיר.

ההסתברות לבחור "לפחות 2" היא ההסתברות לבחור 2 או 3.
ההסתברות לבחור 3 היא:
0.0369 = 0.333³

את ההסתברות לבחור 2 מתוך 3 נחשב בעזרת נוסחת ברנולי.
המקדם הבינומי הוא:

0.221 = 0.666 * 0.333² * 3

סכום ההסתברויות של לבחור 2 ולבחור 3 הוא:
0.2579 = 0.221 + 0.0369
תשובה: 0.2579 (תתכן סטייה קלה בתשובה עקב "עיגולים" שנעשו לאורך הדרך.

חורף 2017 שאלה 3

סעיף א
p – ההסתברות שתלמיד הוא תושב עיר.
pᶟ=0.512
P=0.8
תשובה: ההסתברות שתלמיד הוא תושב עיר היא 0.8.

סעיף ב
עלינו לבחור 3 מתוך 4 ללא חשיבות לסדר וזה מתאים לנוסחת ברנולי.
מספר האפשרויות לקבל 3 מתוך 4 הוא:

נציב זאת בנוסחת ברנולי:
4*0.8ᶟ*0.2
0.4096 = 4*0.512*0.2
תשובה: ההסתברות שבדיוק 3 הם תושבי העיר היא 0.4096.

סעיף ג
נגדיר:
A – אין טלפון נייד.
B – תושב עיר.
מבקשים מאתנו למצוא את: (P(B/A
P(A)=0.18 – נתון.
נשאר לנו למצוא את (P(A∩B על מנת להציב בנוסחת ההסתברות המותנית.

P(A∩B)=P(A)*P(B)=0.8 * 1/8=0.1
P(B/A) = 0.1 : 0.18 = 0.555

תשובה: אם ידוע שלתלמיד אין טלפון נייד אז ההסתברות שהוא תושב עיר היא 0.18.

קיץ 2016 שאלה 3

סעיף א
נמצא איזה חלק מבין הנבחנים למד מחשבים ואיזה לא.
x – החלק של אלו שלא למדו מחשבים.
3x – החלק של אלו שלמדו מחשבים.
X+3x=4x=1
x=0.25
0.25 מהניגשים למבחן לא למדו מחשבים.
0.75 מהניגשים למבחן למדו מחשבים.
נמצא כמה עברו וכמה נכשלו במבחן.
Y – ההסתברות להיכשל במבחן.
4Y – ההסתברות לעבור את המבחן.
4y+y=5y=1
y=0.2
ההסתברות להיכשל במבחן היא 0.2, ההסתברות לעבור את המבחן היא 0.8.

נגדיר:
A – הצליחו במבחן.
A- – נכשלו במבחן.
B – למדו מחשבים
B- – לא למדו מחשבים.

זאת הטבלה הראשונית:

זאת הטבלה לאחר ההשלמה:

סעיף א
p(A∩B ̅)=0.15

סעיף ב
P(B ̅/ A) = p( A∩ B) : P (A) = 0.15 : 0.8 = 0.1875

סעיף ג
ההסתברות המשלימה של "לכל היותר אחד עבר" היא ששני הנבחנים עברו. נחשב את ההסתברות המשלימה.
ההסתברות לעבור p(A)=0.8
0.64 = 0.8²
ההסתברות המשלימה היא:
0.36 = 0.64 – 1
תשובה: ההסתברות שלכל היותר אחד עבר היא 0.36.

עוד באתר:

• הסתברות – הדף המרכזי באתר בנושא

בדף זה הצעה לפתרון של בגרויות בגיאומטריה אנליטית שאלון 481.

במהלך פתרון התרגילים יתכן ותצטרכו להשתמש במשפטים בגיאומטריה על מנת לפתור את התרגילים, אלו הם המשפטים הבולטים שעושים בהם שימוש:

1. רדיוס המעגל מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
2. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה באורכם.
3. אם זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר במעגל (ולהפך).

• גיאומטריה אנליטית 4 יחידות סיכום הוא דף שדרכו אתם יכולים לעשות חזרה.

את השאלונים עצמם תוכלו למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2018

פתרון מקוצר

1. מוצאים את הנקודה E על ידי הנוסחה לאמצע קטע.
2. ערך ה y בנקודה C הוא 0. רק ערך ה x  חסר לנו. נבנה משוואה עם נעלם אחד של EB = EC  (הנוסחה למרחק בין שתי נקודות).
3. ערך ה x בנקודה K שווה לערך ה x בנקודה K (כי BF מאונך לציר ה x). נמצא את משוואת CE על פי שתי נקודות ונציב את ערך ה x של הנקודה K על מנת למצוא את ערך ה y של הנקודה K.
   בנוסף ניתן למצוא את הנקודה F ואז את המרחק KF.
4. מצאנו את KF, כל שנותן לנו הוא לחשב את הגובה אל KF היוצא מהנקודה E. אורך הגובה הוא הפרש ערכי ה x של הנקודות E ו K.

פתרון מלא

סעיף א: מציאת הנקודה E.
E היא אמצע הקטע AB לכן נשתמש בנוסחה לאמצע קטע.

(E (3,2

סעיף ב: מציאת הנקודה C.
הנקודה C נמצאת על ציר ה x. לכן ערך ה y של C הוא 0.
רק ערך ה x בנקודה c חסר לנו.
נמצא את המרחק BE בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
לאחר מיכן נגדיר את ערך ה x של הנקודה c כמשתנה ונמצא אותו בעזרת אותה נוסחה.
(E (3,2)  B (7,4
לכן המרחק d בין הנקודות הוא:
d² = (7-3)² + (4-2)² = 4² + 2² = 20

נגדיר את הנקודה C כ:
(C (x, 0
המרחק שלה מהנקודה (B (7,4 הוא 20√.
לכן על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:
x – 7)² + (0 – 4)² = 20)
x – 7)² + 16 = 20)
x – 7)²  = 4 )
למשוואה זו שתי פתרונות:
x – 7 = 2
x = 9
או
x – 7 = -2
x = 5
בשאלה אומרים "ערך ה x בנקודה c גדול מערך ה x בנקודה B"
לכן התשובה x = 9 היא הנכונה.
(C (9, 0

סעיף ג: מציאת הנקודה k ואת אורך הקטע kf.

BF הוא אנך לציר ה x ולכן שומר על ערך x קבוע לכל אורכו.
בנקודה (B (7,4 ערך ה x הוא 7, ולכן גם בנקודה k ערך ה x הוא 7.

על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה K נמצא את משוואת הישר CE.
נשתמש במציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות.

נציב את ערכי הנקודה (C (9, 0 והשיפוע m = -0.333 בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
בצורה הזו נמצא את משוואת הישר CE.
(y-y₁=m(x-x₁
y – 0 = -0.333 (x – 9
y = -0.333x + 3   (זו משוואת הישר).

הנקודה k נמצאת על הישר CE וערך ה x שלה הוא הוא 7.
נציב במשוואת CE.
y = -0.333 * 7 + 3 = -2.333 + 3 = 0.666
הנקודה (K (7, 0.666

הנקודה f.
נמצאת על ציר ה x, לכן ערך ה y שלה הוא 0.
הישר BF מאונך לציר ה x ולכן שומר על ערך x שווה לכל אורכו.
ערך ה x בנקודה f הוא 7, בדיוק כמו בנקודה B.
(F (7,0

המרחק KF.
המרחק בין  (K (7, 0.666 ל (F (7,0 הוא על ציר ה y בלבד ושווה ל:
0.666 = 0 – 0.666

סעיף ג2: חישוב שטח המשולש EKF.
את אורך הצלע KF אנו יודעים (0.666).
על מנת לחשב את שוטח המשולש עלינו לחשב את אורך הגובה המגיע אל KF.
גובה זה יוצא מהנקודה E.
ומכוון KF מקביל לציר ה y, הגובה אל KF מקביל לציר ה x והגובה שומר על ערך y קבוע.
אורך הגובה תלוי רק בשינו ערכי ה x בתחילתו וסופו.
בנקודה E ערך ה x הוא 3, ועל הישר הוא 7.
לכן:
KF = 7 – 3 = 4.

שטח המשולש הוא:
S = (4 * 0.666) : 2 = 1.333
תשובה: שטח המשולש הוא 1.333 יחידות ריבועיות.

שרטוט משולש EKF והגובה היוצא מהנקודה E.

קיץ 2018 מועד ב

פתרון מקוצר

1. מוצאים את הנקודה A שהיא נקודת מפגש לשני ישרים המקבילים לצירים. מציבים את הנקודה A במשוואת המעגל וכך מוצאים את רדיוס המעגל (או מחשבים את המרחק בין M ל A, המרחק הוא רדיוס המעגל).
2. הנקודה C היא נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה y. לכן נציב x = 0 במשוואת המגעל ונמצא אותה. נמצא את משוואת BC על פי שתי נקודות.
3. המרובע ABCM מורכב משני משולשים ישרי זווית וחופפים (בגלל ששני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה ובגלל שרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה).
   נחשב את האורך של BA, האורך של MA הוא הרדיוס. נחשב את שטח משולש BAM ונכפיל פי 2.
4. הגודל של זווית BMC הוא 90. לכן BC הוא קוטר המעגל החוסם (כי אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר).

פתרון מלא

סעיף א: מציאת משוואת המעגל.
על מנת לדעת את משוואת המעגל אנו צריכים לגעת את נקודת מרכז המעגל ואת הרדיוס.
את נקודת מרכז המעגל אנו יודעים  (m (4,1.
את הרדיוס ניתן לחשב אם נדע נקודה על המעל, וניתן לדעת את הנקודה A.

הנקודה A נמצאת על הישר y=6 ולכן ערך  y שלה הוא 6.
הישר MA מאונך לישר y = 6 ולכן MA מקביל לציר ה y ושומר על ערך x קבוע לכל אורכו.
ערך ה x בנקודה A הוא 4 ולכן 4 הוא גם ערך ה x הנקודה m.
(A (4,6

נציב את הנקודה A במשוואת המעגל.
x-a)²+(y-b)²=R²)
R² = (4 – 4)² + (6 – 1)² = 5²
R² = 5²

תשובה: משוואת המעגל היא x-4)²+(y-1)²=5²)

סעיף ב: מציאת משוואת הישר BC
עלינו למצוא את הנקודה C.
אנו יודעים שהנקודה C נמצאת על ציר ה y ולכן ניתן להציב x = 0 במשוואת המעגל ולמצוא אותה.
y – 1)² + (0 – 4)² = 5²)
y – 1)² + 16 = 25)
y – 1)²  = 9)
למשוואה כזו יש שני פתרונות:
y – 1 = 3
y = 4
או
y – 1 = -3
y = -2
אנו רואים שהנקודה C נמצאת מתחת לציר ה x ולכן הפתרון המתאים הוא y = -2.
(C (0, -2

מציאת הנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y = 6. לכן ערך ה y שלה הוא 6.
שני משיקים היוצאים למעגל מאותה נקודה שווים באורכם BA = BC.
נניח שהנקודה היא (B(x, 6 ונבנה משוואת מרחק בין שתי נקודות.
BA = BC
(A (4,6) ,  C (0, -2
x – 4)² + (6-6)² = (x – 0)² + (6 + 2)²)
x² – 8x + 16 = x² + 64   / -x² – 64
8x = -48  / : 8
x = – 6
הנקודה (B(-6, 6

מציאת משוואת הישר BC.
(B(-6, 6)  C (0, -2
נמצא את השיפוע.

נציב m = -1.333 ו (C (0, -2 במשוואה:
(y-y₁=m(x-x₁
(y + 2 = -1.333 (x – 0
y + 2 = -1.333x  / -2
y = -1.333x -2
תשובה: משוואת הישר BC היא y = -1.333x -2.

סעיף ג: חישוב שטח המרובע ABCM.

שני המשולשים BAM,  BCM הם משולשים ישרי זווית כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
סכום שטחי המשולשים הללו הוא שטח מרובע ABCM.

נחשב את אורכי הניצבים של המשולשים הללו
R = AM = AC = 5
BA = BC שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.

מצאנו שאורכי הניצבים במשולשים שווה ולכן שטחם שווה.
נחשב שטח משולש אחד ונכפיל פי 2, כך נמצא את שטח המרובע.
(A (4,6)  B(-6, 6
על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות
BA² = (-6 – 4)² + (6 – 6)² = 10² = 100
BA = 10
MA = 5 (רדיוס במעגל).

S_BMA = (10 * 5) : 2 = 25
שטח המרובע כפול:
50 = 2 * 25.
תשובה: שטח המרובע ABCM הוא 50 יחידות ריבועיות.

סעיף ד: חישוב רדיוס החוסם את משולש BCM.
BCM = 90∠
לכן BM הוא קוטר המעגל החוסם (אם זוויות היקפית בת 90 מעלות נשענת על מיתר במעגל אז מיתר זה הוא קוטר).

נחשב את אורך BM, חצי מהאורך הזה הוא אורכו של הרדיוס.
(B(-6, 6), M (4,1
BM² = (6 – 1)² + (-6 – 4)² = 5² + 10²
BM² = 125
BM = √125
תשובה: אורך הרדיוס הוא
5.59 = 125√* 0.5

קיץ 2017

פתרון קצר

1.נמצא את שיפועי הרדיוסים MB ו MC על פי שתי נקודות.
הישרים AB ו AC מאונכים לרדיוסים ולכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-. כלומר ניתן למצוא את שיפועי AB, AC.
מוצאים את משוואת הישרים AB, AC על פי שיפוע ונקודה.
מוצאים את הנקודה A על פי מפגש של שני ישרים.

2. את AM מוצאים על פי מרחק בין שתי נקודות.
גודל הזווית B הוא 90 מעלות. על פי המשפט "אם זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר". לכן MA הוא קוטר המעגל החוסם, ולכן אמצע MA הוא נקודת מרכז המעגל.
חצי מאורך MA הוא רדיוס המעגל.
הנקודה C: על מנת לדעת אם הנקודה C נמצאת על המעגל נציב את ערכיה במשוואת המעגל ונראה האם משוואת המעגל מתקיימת.

פתרון מלא

כמו בכול השאלות שבהם יש משיק למעגל גם שאלה זו נשענת על המשפט "המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה".
וזה אומר שמכפלת השיפועים של המשיק ושל הרדיוס היא 1-.

נמצא את שיפוע הרדיוס MC.
(M (3,-4)   C (10,-5
1/7- = (10-3)  / (4+ 5-)
לכן שיפוע AC הוא 7.
נמצא את משוואת AC על פי נקודת ההשקה ושיפוע.
(y-y₁ = m(x-x₁
(y+5 = 7(x-10
y+5 = 7x -70 / -5
y=7x-75   – זו משוואת AC.

נמצא את שיפוע הרדיוס MB.
(M (3,-4)   B (-2,1
1- = (3- 2-) / (1+4)
לכן שיפוע AB הוא 1.
נמצא את משוואת AB על פי השיפוע ונקודת ההשקה.
(y-y₁ = m(x-x₁
(y – 1 = 1(x+2
y-1 =x+2 / +1
y=x+3  – זו משוואת AB.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים:
y=x+3
y=7x-75
7x-75 = x+3  / -x+75
6x = 78 /:6
x=13.
נמצא את ערך ה Y של הנקודה A.
y=x+3 = 13+3=16
תשובה: (A(13,16

ב) נשתמש בנוסחה למרחק בין שתי נקודות על מנת למצוא את אורך AM.
(A(13,16)  M (3,-4
d² = (13-3)² + (16+4)² = 100+400=500
d=√500
המרחק בין הנקודות A ו C הוא 500√ = 22.36 יחידות.

חלק שני:
מכוון שזווית ABM=90∠ אז AM קוטר המעגל (אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר אז המיתר הוא קוטר).
לכן מרכז המעגל החוסם את משולש ABM נמצא באמצע הקטע AM.
נחשב את אמצע AM.
(A(13,16)  M (3,-4
8 = 2 / (13+3)  – זה ערך ה X של מרכז המעגל.
6 = 2 / (4 – 16) – זה ערך ה Y של מרכז המעגל.
מרכז המעגל הוא הנקודה (8,6).

אנו גם יודעים כי אורך הקוטר MA שווה ל 500√ = 22.36 לכן אורך הרדיוס או מחצית.
r=22.36:2 = 11.18
r²=125
לכן משוואת המעגל החוסם את משולש ABM היא:
x-8)² +(y-6)² = 125)

חלק שלישי:
נציב את הנקודה (C (10,-5 במשוואת המעגל ונראה אם היא מקיימת אותה.
125=121 +4 = ²(5-6-) + ²(10-8)
מצאנו כי הנקודה C מקיימת את משוואת המעגל ולכן נמצאת עליו.

חורף 2017 שאלה 2

פתרון קצר

א. כן AB הוא קוטר משום שהזווית ההיקפית שנשענת עליו AOB שווה ל 90 מעלות (זו זווית הנוצרת על ידי הצירים). אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתן אז מיתר זה הוא קוטר.

ב. מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר הוא אמצע AB. את הרדיוס ניתן למצוא על ידי מציאת מרחק הנקודה A או B ממרכז המעגל.

ג. שיעור ה x של הנקודה C הוא בעצם אורך הגובה אל הצלע OB.
את האורך של OB אנו יודעים וגם את שטח המשולש, נותר לנו למצוא את הגובה.
ערך ה y של הנקודה C: מציבים את ערך ה x שמצאנו במשוואת המעגל ומוצאים את ערך ה y.

ד. הישר BC מקביל לציר ה y. לכן קל לחשב את אורך BC וגם את אורך הגובה מהנקודה M אל BC.

פתרון מלא

א. כן AB הוא קוטר משום שהזווית ההיקפית שנשענת עליו AOB שווה ל 90 מעלות (זו זווית הנוצרת על ידי הצירים). אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתן אז מיתר זה הוא קוטר.

ב. על מנת למצוא את משוואת המעגל עלינו למצוא את מרכז המעגל ואת הרדיוס.
מציאת מרכז המעגל
נמצא את מרכז המעגל על ידי מציאת אמצע הקטע AB.

מרכז המעגל הוא (M( -4,-2

מציאת הרדיוס
הנקודה 0,0 נמצאת על המעגל.
לכן המרחק שלה מהנקודה (M( -4,-2 שווה לרדיוס.
נמצא את המרחק באמצעות הצבה 0,0 במשוואת המעגל.
R²=(-4-0)² + (-2-0)²=16+4=20
R² = 20
משוואה המעגל היא:
x+4)²+(y+2)²=20)

ג. אורך הישר BO הוא 4 (בגלל ששתי הנקודות נמצאות על ציר ה Y והפרש ערכי ה Y שלהם הוא 4).
אם h הוא אורך הגובה לצלע BO אז צריך להתקיים:

אורך הגובה h=8 הוא המרחק על ציר ה X של הנקודה מהישר BO. מכוון שהנקודה C נמצאת ברביע השלישי ערך ה X הוא xc=-8.
על מנת למצוא את ערך ה Y של הנקודה C נציב את ערך ה X במשוואת המעגל:

מכוון שידוע שהנקודה C לא נמצאת על הצירים Y=-4.
(C(-8,-4

ד. 8 יחידות שטח.

קיץ 2016 תרגיל 2

פתרון קצר

א. פותרים שתי משוואות עם שני נעלמים.

ב. מוצאים את השיפוע של MA על פי שתי נקודות.
המשיק מאונך ל MA (כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה) ולכן אנו יכולים לדעת את שיפוע המשיק ויש לנו את הנקודה A דרכה עובר המשיק.
נמצא משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

ג. המשיק CA מאונך לרדיוס MA כי משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
נחשב את המרחקים CA, MA ונמצא את שטח משולש ישר זווית.

פתרון מלא

סעיף א
x²+y²=36   (משוואה 1)
x-7.5)²+y²=20.25)
x²-15x+56.25+y²=20.25 (2    (משוואה 2)
א. על מנת למצוא נקודת חיתוך נחסר את משוואה 2 ממשוואה 1.
15x-56.25=15.75 / +56.25
15x=72 /:15
x=4.8
נציב את ערך ה X שקיבלנו במשוואה אחת על מנת למצוא את ערך ה Y.
y² + 4.8²=36 /-23.04
y²=12.96
y=+-3.6
על פי הנתון A ברביע הראשון ולכן:
(A(4.8,3.6
(B(4.8, -3.6

סעיף ב
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה לכן נמצא את שיפוע הרדיוס MA.
(M(7.5 ,0
נשתמש בנוסחה למציאת שיפוע על פי 2 נקודות.

אם שיפוע המשיק הוא a אז מתקיים:

a= 0.75
עכשיו נמצא את משוואת המשיק על פי השיפוע ונקודה A.
(y-3.6=0.75(x-4.8
y-3.6=0.75x-3.6
y=0.75x
תשובה: משוואת המשיק היא y=0.75x.

סעיף ג
נמצא את ערכי נקודה C.
y=0.75x
x²+y²=36
x²+(0.75x)²=36

x²=23.04
x=+-4.8
4.8 זו הנקודה A. לכן עבור C מתקיים X=-4.8.
נמצא את ערך ה Y בנקודה C על ידי הצבה במשוואת הישר.
y=0.75*-4.8=-3.6
(C(-4.8, -3.6

סעיף ג
על מנת לפתור את השאלה עלינו להשתמש בעובדה שהמשיק CA מאונך לרדיוס MA ולכן משולש CMA הוא משולש ישר זווית.
ניתן לחשב את אורכי הצלעות AC ו MA בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות אך אין צורך.
MA הוא רדיוס ואורכו √20.25=4.5
AC עובר דרך מרכז מעגל 1 ולכן הוא קוטר. אורכו 2√36=12
לכן שטח המשולש:

תשובה: שטח משולש CMA הוא 27 יחידות ריבועיות.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.