ארכיון פוסטים מאת: לומדים מתמטיקה

איך מוכיחים שישרים הם לא מקבילים?

  • לפני שאתם לומדים את דף זה עליכם לדעת כיצד להוכיח שישרים הם מקבילים ולדעת לזהות זוויות מתאימות או מתחלפות, תוכלו ללמוד לעשות זאת בקישור.

יש שתי שיטות להוכיח שישרים הם לא מקבילים.

שיטה ראשונה: זוויות מתאימות או מתחלפות שוות
יש משפט האומר "אם בין שני ישרים יש זוויות מתאימות או מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים".

וגם המשפט ההפוך נכון:
"אם בין שני ישרים יש זוויות מתאימות או מתחלפות לא שוות אז הישרים לא מקבילים".
ובמשפט זה נשתמש כדי להוכיח שהישרים לא מקבילים.

שיטה שנייה: ישרים מקבלים לא נפגשים אף פעם
יש משפט האומר: "ישרים מקבילים לא נפגשים אף פעם".

וגם המשפט ההפוך נכון "אם ישרים נפגשים אז הם לא מקבילים".
ובמשפט זה נשתמש כדי להוכיח שהישרים לא מקבילים.

דוגמאות

דוגמה 1
הוכיחו כי הישרים BC ו AD הם לא מקבילים.

פתרון
שתי הזוויות שגודלן 70 ו 80 הם זוויות מתאימות אבל הם לא שוות, לכן הישרים לא מקבילים.

דוגמה 2
הוכיחו כי הישרים AB ו CD הם לא מקבילים.

פתרון
שתי הזוויות שגודלן 60 ו 40 הם זוויות מתחלפות אבל הם לא שוות, לכן הישרים לא מקבילים.

דוגמה 3
הוכיחו כי הישרים AB ו CD הם לא מקבילים.

פתרון
הישרים AB ו CD נפגשים בנקודה E ולבן הם לא ישרים מקבילים.

עוד באתר:

זוויות במרובעים

בדף זה נכיר את התכונות החשובות של המרובעים השונים.

סדר הצורות שיופיעו בדף הוא:

  1. מקבילית.
  2. מלבן.
  3. מעוין.
  4. ריבוע.
  5. טרפז.
  6. טרפז שווה שוקיים.
  7. דלתון.

מעבר לתכונות המיוחדות חשוב שנזכור שבכול המרובעים סכום הזוויות הוא 360 מעלות.

זוויות במקבילית

 

במקבילית יש שתי סוגי זוויות:

1.זוויות נגדיות – אלו הן זוויות הנמצאות אחת מול השנייה במקבילית.
A, C אלו זוויות נגדיות.
B,D אלו זוויות נגדיות.
התכונה שלהם:
זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
זה משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

2.זוויות סמוכות – אלו זוויות הנמצאות ליד אותה צלע.
לכל זוויות במקבילית יש שתי זוויות במוכות.
הזוויות הסמוכות של A הן D ו B.
הזוויות הסמוכות של D הן A ו C.

התכונה שלהם
זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל 180 מעלות.
וזה בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
אם A = 110
אז D = 70
וגם B = 70

לכן אם אנו יודעים זוויות אחת במקבילית אנו יכולים לקבוע את גודלן של כל שאר הזוויות.

תרגיל
במקבילית זוויות A גודלה 50 מעלות.
קבעו את גודלן של כל זוויות המקבילית.

פתרון
זווית C
C = A = 50  זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

זוויות B,D
אלו זוויות סמוכות לזווית A.
הן משלימות את זווית A ל 180 מעלות בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
130 = 50 – 180
גודלן 130 מעלות.

תכונה חשובה נוספת

תכונה חשובה של זוויות במקבילית היא שכל פעם שמעבירים חותך בין שני ישרים מקבילים נוצרות זוויות מתחלפות שוות.

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות. וגם זוויות 3 ו 4 הן זוויות מתחלפות שוות

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות. וגם זוויות 3 ו 4 הן זוויות מתחלפות שוות

זווית במלבן

במלבן כל הזוויות גודלן 90 מעלות.

במלבן האלכסונים הם לא חוצה זווית

זווית 1 לא שווה לזווית 2.

הערה
מלבן הוא סוג של מקבילית ולכן כל התכונות של מקבילית מתקיימות בו.
זוויות נגדיות שוות.
זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות.
אבל לרוב לא משתמשים בתכונות הללו אלה בכך שכל זוויות המלבן גודלן 90.

זוויות במעוין

מעוין הוא סוג של מקבילית ולכן כולל את כל תכונות הזוויות של המקבילית

ובנוסף יש תכונות מיוחדות לאלכסוני המעוין:

  1. האלכסונים הם חוצה זווית.
  2. האלכסונים מאונכים זה לזה.
כל הזוויות המסומנות ב 1 שוות. כל הזוויות המסומנות ב 2 שוות. ובנוסף האלכסונים מאונכים

כל הזוויות המסומנות ב 1 שוות. כל הזוויות המסומנות ב 2 שוות. ובנוסף האלכסונים מאונכים

זוויות בריבוע

בריבוע כל הזוויות גודלן 90 מעלות (כמו במלבן).
והאלכסונים הם חוצה זוויות ומאונכים כמו במעוין.

מכוון שהאלכסונים חוצים זווית שגודלה 90 מעלות שתי הזוויות הנוצרות על יד האלכסונים גודלן הוא 45 מעלות.

תכונות זוויות בריבוע

זוויות בטרפז

תכונות של זוויות בטרפז

1. זוויות הנמצאות ליד אותה שוק משלימות ל 180 מעלות.

תכונה זו נובעת מכך ששני הבסיסים של הטרפז הם ישרים מקבילים. והזוויות שנמצאות על אותה שוק הן זוויות חד צדדיות.

זוויות על אותה שוק בטרפז משלימות ל 180 מעלות

2. האלכסונים בטרפז יוצרים זוויות מתחלפות שוות

אלכסוני הטרפז יוצרים שני זוגות של זוויות מתחלפות שוות

טרפז שווה שוקיים

טרפז שווה שוקיים כולל את כל התכונות של טרפז רגיל + תכונות נוספות.

3. בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו

זה משפט שניתן להשתמש שבו מבלי להוכיח אותו.

בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו

4. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים 4 זוויות השוות זו לזו

את התכונה ש זווית 1=3 ו 2=4 צריך להוכיח. ואת זה עושים על ידי חפיפת משולשים.
ABC ≅ DCB על פי צ.ז.צ.

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים 4 זוויות השוות זו לזו

דלתון

דלתון מורכב משני משולשים שווה שוקיים:

בעזרת חפופת משולשים משולשים פשוטה נוכל להוכיח:
ADC ≅ ABC  על פי צ.צ.צ  (כאשר AC צלע משותפת).

ולכן:
B = ∠D∠  זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
וגם:
CAD = ∠CAB∠
ACD = ∠ACB∠
בגלל שהן זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

בנוסף אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.

לדלתון יש משפט המסכם את כל התכונות חוץ מהתכונה שכתבתי ראשונה:
"בדלתון האלכסון הראשי הוא חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני".

האם יש קשר בין גודלה של זווית A לגודלה של זוויות C?
אין קשר. אלו לא זוויות שוות ואין בניהן קשר אחר.

עוד באתר:

זוויות במקבילית

 

במקבילית יש שתי סוגי זוויות:

1.זוויות נגדיות – אלו הן זוויות הנמצאות אחת מול השנייה במקבילית.
A, C אלו זוויות נגדיות.
B,D אלו זוויות נגדיות.
התכונה שלהם:
זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
זה משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

2.זוויות סמוכות – אלו זוויות הנמצאות ליד אותה צלע.
לכל זוויות במקבילית יש שתי זוויות במוכות.
הזוויות הסמוכות של A הן D ו B.
הזוויות הסמוכות של D הן A ו C.

התכונה שלהם
זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל 180 מעלות.
וזה בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
אם A = 110
אז D = 70
וגם B = 70

הוכחה

נוכיח את התכונה שסכום זוויות סמוכות במקבילית שווה ל 180 מעלות.

נשרטט מקבילית ואת הצלע DA נאריך מעט יותר עד לנקודה E.

נגדיר
D = x∠
לכן:
BAE =  x  אלו זוויות מתאימות בין ישרים ולכן שוות זו לזו.

BAD = 180 -x זו זווית צמודה ל זווית BAE.
לכן
זווית D וזווית BAE סכומן 180 מעלות.
את ההוכחה הזו ניתן לעשות עבור כל שתי זוויות סמוכות במקבילית.

תכונה חשובה נוספת

תכונה חשובה של זוויות במקבילית היא שכל פעם שמעבירים חותך בין שני ישרים מקבילים נוצרות זוויות מתחלפות שוות.

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

תרגילים

תרגיל 1
במקבילית ידוע כי זוויות
A = 3x
C = 5x -80
מצאו את כל זוויות המקבילית.

פתרון
במקבילית זוויות נגדיות שוות.
לכן
C = A
והמשוואה היא
5x -80 = 3x
5x -80 = 3x  / -3x + 80
2x = 80  / :2
x = 40

זווית A:
3x = 3 *40 = 120

זווית C שווה לזווית A ולכן גודלה 120 מעלות.

זוויות D,B הן זוויות חד צדדיות לזווית A ולכן משלימות אותה ל 180 מעלות
D = 180 – 120 = 60
גדולן של זוויות B,D הוא 60 מעלות.

תרגיל 2
במקבילית ידוע כי:
B = 3x – 20
C = 4x -10
חשבו את כל זוויות המקבילית.

פתרון
זוויות B,C הן זוויות סמוכות במקבילית.
במקבילית זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות כי הן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.

לכן המשוואה היא:
B + C = 180
3x – 20 + 4x – 10 = 180
7x – 30 = 180   / +30
7x = 210  / :7
x = 30

זוויות B
3x – 20 = 3*30 – 20
70 = 20 – 90

זוויות D
זוויות נגדית לזוויות B ולכן גם גודלה 70 מעלות.

זווית A, זווית C
זוויות סמוכות לזווית B ולכן משלימות אותה ל 180 מעלות.
110 = 70 – 180
גודל זוויות A,C הוא 110 מעלות.

תרגיל 3
במקבילית ABCD מעבירים את חוצה הזוויות AE.
AE = AB
הוכיחו כי משולש ABE הוא משולש שווה צלעות.

פתרון
נגדיר:
D = x∠  (משוואה 1).
לכן
AED = x∠  כי זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
(משוואה 2).

AED = ∠EAB = x∠  כי אלו זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.

EAD = ∠EAB = x∠  כי AE חוצה זווית.
(משוואה 3)

מצאנו בשלושת המשוואות שלנו ששלושת זוויות משולש AED גודלן x.
כלומר שלושת זוויות משולש AED שוות זו לזו.
לכן:
משולש AED הוא משולש שווה צלעות כי משולש ששלושת זוויותיו שוות הוא משולש שווה צלעות.

בשרטוט הנימוקים למציאת הזוויות והמספרים מסמנים את סדר הפעולות.

עוד באתר:

חיסור במאונך עם פריטה

דף זה הוא המשכו של הדף חיבור וחיסור במאונך.
בדף זה תרגילי חיסור עם פריטה.

תרגילי חיסור במאונך

תרגילי חיסור במאונך עם פריטה
  1. 68 – 282
  2. 231 – 320
  3. 541 – 740
  4. 817 – 911

פתרונות

תרגיל 1
68 – 282
68 - 282 = 214

תרגיל 2
231 – 320
231 - 320 = 89

תרגיל 3
541 – 740
541 - 740 = 199

תרגיל 4
817 – 911
817 -911 = 94

5. תרגילי חיסור קשים יותר

תרגילי חיסור עם פריטה כפולה

בתרגילי החיסור האלו לא ניתן לפרק את הספרה הסמוכה וצריך לפרוט ספרה רחוקה יותר.

  1. 257 – 600
  2. 482 – 1001
  3. 1251 – 3047

פתרון

תרגיל 1
257 – 600
257 - 600 = 343

תרגיל 2
482 – 1001
482 - 1001 = 519

תרגיל 3
1251 – 3047
1251 - 3047 = 1796

עוד באתר:

פירוק לגורמים בעזרת נוסחת השורשים

לדף זה 4 חלקים

  1. הסבר כיצד לבצע פירוק לגורמים בעזרת נוסחת השורשים.
  2. מכשולים בהם ניתן להיתקל.
  3. תרגילים.
  4. דרכי קיצור לבצע פירוק לגורמים.

1.הסבר

כאשר יש לנו משוואה ריבועית אנו יכולים לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים.
למשל המשוואה:
y = x² – 5x + 6
הפתרונות שלה יהיו
x1 = 2,  x2 = 3

ואז ניתן לכתוב את המשוואה הריבועית בצורה הזו
(y = x² – 5x + 6 = (x -2) (x-3
וזה הפירוק לגורמים של המשוואה.

כלומר:
אם a,b הם פתרונות המשוואה הריבועית אז ניתן לכתוב את השוואה הריבועית כך:
(y = (x – a) (x – b

דוגמה

פרקו לגורמים את המשוואה הריבועית
y = x² -7x +12

פתרון
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

הפתרונות הם:
x1 = 4,  x2 = 3

לכן הפירוק לגורמים של המשוואה יהיה:
(y = x² -7x +12 = (x -4)(x-3

2. מכשולים בהם אתם יכולים להיתקל

1.ומה עושים אם אחד או שני הפתרונות שליליים?
למשל המשוואה:
y = x² + 2x – 15
הפתרונות שלה הם:
x1 = 5,  x2 = -3

אז נכתוב את המשוואה הריבועית בצורה הזו:
(y = x² + 2x – 15 = (x -5) (x +3

כלומר ה 3 – – הופך ל 3 +

2. ומה עושים אם למשוואה הריבועית יש פתרון יחיד?
למשל למשוואה:
y = x² +6x + 9
יש פתרון יחיד והוא:
x1 = -3
ומשוואה מסוג זה ניתן לכתוב כך:
(y = x² +6x + 9 = (x + 3) (x +3
או כך:
y = x² +6x + 9 = (x + 3)²

3. ומה עושים אם למשוואה הריבועית אין פתרונות?
משוואה שאין לה פתרונות לא ניתן לפרק לגורמים.
למשל את המשוואה:
y = x² + 2x + 20
לא ניתן לפרק לגורמים.

4. ומה עושים אם המקדם של x² הוא שלילי?
למשל המשוואה:
y = -x² -6x +16

זה תלוי בהרגל שלכם והצורה שבה פתרתם משוואות מסוג זה עד עכשיו.
אם פתרתם את המשוואה כמו שהיא עשו זאת גם עכשיו.

אם אתם, כמו רבים, נוהגים להכפיל ב 1- על מנת לפתור עשו זאת גם עכשיו.
x² -6x +16= 0  / *-1-
x² +6x -16= 0

פתרון משוואה ריבועית זו ייתן לנו:
x1 = -8,  x2 = 2
ונוכל לכתוב:
(y = -x² -6x +16 = (x +8) (x – 2

5. ומה עושים אם המקדם של x² שונה מ 1?
למשל:
y = 4x² + 12x + 9

לכן, כאשר ניתקל במשוואה כזו:
y = 4x² + 12x + 9
נבדוק אם ניתן להפוך את המקדם של x² ל 1 על ידי חילוק.
למשל את משוואה זו נחלק ב 4:
y = x² + 3x +2.25
ואז נפתור בעזרת נוסחת השורשים.

ואם זה בעייתי להפוך את המקדם של x² ל 1.
אז כנראה שזה גם בעייתי לפרק לגורמים את המשוואה הריבועית הזו.
(שורשי המשוואה אינם שלמים).

3. תרגילים

תרגיל 1
פרקו לגורמים את המשוואה הריבועית
y = x² +2x – 24

פתרון
נפתור בעזרת נוסחת השורשים:

הפתרונות הם:
x1 = 4,  x2 = -6

לכן הפירוק לגורמים של המשוואה יהיה:
(y = x² +2x – 24= (x – 4) (x + 6

תרגיל 2
y = x² +6x +10

פתרון
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

נשים לב שבתוך השורש יש לנו ביטוי השווה ל:
4 – = 40 – 36
אין שורש למספר שלילי.
לכן למשוואה הריבועית הזו אין פתרונות ולא ניתן לפרק אותה לגורמים.

תרגיל 3
y = x² +10x +25

פתרון
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

למשוואה זו פתרון יחיד:
x = -5
לכן הפירוק לגורמים יכתב כך:
y = x² +10x +25 = (x + 5)²

תרגיל 4
y = 4x² + 10x + 6

פתרון
בתרגיל זה המקדם של x² שונה מ 1.
לכן נחלק את כל המשוואה ב 4 ונקבל משוואה זהה שבה המקדם של x² הוא 1.
y = 4x² + 10x + 6
y = x² +2.5x + 1.5

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

הפירוק לגורמים של המשוואה הריבועית הוא זה:
(y = 4x² + 10x + 6 = (x+1) (x +1.5

4. דרכי קיצור לביצוע פירוק לגורמים

נוסחת השורשים מאפשרת לפתור ולבצע פירוק לגורמים לכל משוואה ריבועית שיש לה פתרון.

אבל, יש דרכים קצרות יותר לבצע פירוק לגורמים.
לדרכים הללו יש חסרונות:

  1. ניתן להשתמש בהם רק בחלק מהמשוואות הריבועיות.
  2. הם דורשות לחשוב, זו לא הצבה בנוסחה.

על כל הדרכים הללו יש פירוט בדף פתרון משוואה ריבועית בדרכי קיצור.
כאשר אציג אותם בקצרה בלבד.

משואות הנראות כך: y = x² + 3x

משוואות הנראות כך:
y = x² + 3x
כלומר משוואות ריבועיות בהם חסר האיבר החופשי c ניתן לפתור על ידי הוצאת גורם משותף.

y = x² + 3x
(y =x (x +3
וזה הפירוק לגורמים.

משוואות הנראות כך: y = x² – 16

משוואות הנראות כך
y = x² – 16
כלומר משוואות ריבועיות שבהם חסר רכיב ה b ניתן לפתור בחלק מהמקרים על ידי נוסחאות הכפל המקוצר.
(a² – b²= (a-b)*(a+b

(y = x² – 16 = (x-4) (x+4

את המשוואה
y = x² – 17
לא נוכל לפתור בצורה הזו וגם בעזרת נוסחת השורשים נתקשה לפתור.
כי למשוואה זו אין שורשים שהם מספרים שלמים.

טרינום

טרינום היא דרך מהירה יחסית לפתור משוואה ריבועית.
אבל זו דרך המחייבת למידה ולכן יש לה דף נפרד באתר: טרינום.

עוד באתר:

בעיות תנועה עם עצירות, שינוי מהירות וטבלה

הכלל בבניית טבלה אומר שכל פעם שכלי רכב משנה מהירות צריך לתת לו שורה חדשה.

ברוב הפעמים אנו נגדיר משתנה אחד ובאמצעותו נצטרך להגדיר דברים אחרים בטבלה.

לרוב תהיה שורה אחת בטבלה שתהיה קשה יותר מאחרות.
לשורה הזו ניתן הסבר מורחב בדף זה.

בעיות בסיסיות

תרגיל 1
מכונית נסעה ליעד רחוק במהירות 80 קמ"ש.
בדרך חזרה היא נסעה במהירות 100 קמ"ש ולכן זמן הנסיעה חזור היה קצר ב 2.5 שעות מזמן הנסיעה הלוך.
חשבו את זמן הנסיעה הלוך.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
t  זמן הנסיעה הלוך בשעות.
t – 2.5 זמן הנסיעה חזור בשעות.

סך הכל יש לנו שתי מהירויות (מהירות הלוך, מהירות חזור) לכן לטבלה שלנו יהיו 2 שורות.
נציב את הנתונים בטבלה, כולל הזמנים שהגדרנו בעזרת המשתנה.

מהירות זמן דרך
הלוך 80 t
חזור 100 t – 2.5

עכשיו ניתן בעזרת הנוסחה דרך = מהירות * זמן להשלים את הטור של ה"דרך".

מהירות זמן דרך
הלוך 80 t  80t
חזור 100 t – 2.5  100t -250

שלב ב: בניית משוואה
הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה תהיה:
100t – 250 = 80t
100t – 250 = 80t  / -80t + 250
20t = 250  /:20
t = 12.5

תשובה: זמן הנסיעה הלוך היה 12.5 שעות.

תרגיל 2
אדם הלך מתל אביב לירושלים ובחזרה.
בדרך הלוך האדם הלך במהירות קבועה של 7 קמ"ש.
בדרך חזור האדם רץ במהירות 12 קמ"ש 3 שעות ואז הלך עד היעד במהירות 4 קמ"ש.
הזמן ההליכה הלוך שווה לזמן ההליכה חזור.

  1. חשבו כמה שעות האדם הלך לכל כיוון?
  2. מה המרחק מתל אביב לירושלים?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה וזמנים
t  זמן ההליכה בשעות בדרך הלוך במהירות קבועה של 7 קמ"ש.
3 שעות הזמן של 12 קמ"ש.
t – 3 הזמן של 4 קמ"ש.

הסבר מדוע זמן ההליכה בקטע האחרון הוא t -3

הסבר מדוע זמן ההליכה בקטע האחרון הוא t -3

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בדרך הלוך מהירות אחת.
בדרך חזור 2 מהירויות.
לכן בטבלה 3 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של הזמן והמהירות אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

מהירות זמן דרך
הדרך הלוך 7 t 7t
הדרך חזור בהתחלה 12 3 36
הדרך חזור בסוף 4 t-3 4t – 12

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה היא:
7t = 4t -12 + 36
7t = 4t +24  / -4t
3t =24  / :3
t = 8

תשובה: האדם הלך לכל כיוון 8 שעות.

חישוב המרחק 
בדרך הלוך המהירות הייתה 7 למשך 8 שעות.
לכן הדרך הייתה:
56 = 7 * 8
תשובה: אורך הדרך הוא 56 ק"מ.

תרגיל 3
שתי מכוניות נסעו מתל אביב לאילת.
מכונית אחת נסעה במהירות קבועה של 80 קמ"ש.
מכונית שנייה נסעה במהירות של 90 קמ"ש שעתיים.
עצרה לשעה ואז המשיכה במהירות של 100 קמ"ש.
שתי המכוניות הגיעו ליעדן באותו הזמן.
חשבו את זמן הנסיעה ואת המרחק מתל אביב לאילת.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה וזמני נסיעה בכול שלב
נגדיר
t  הזמן שלקח למכונית שנסעה במהירות קבועה לעבור את הדרך.

המכונית שנסעה במהירות משתנה:
2 שעה במהירות 80 קמ"ש.
1 שעה במהירות 0 קמ"ש.
t -3 שעות במהירות 100 קמ"ש.

הסיבה שמשך הזמן בקטע האחרון הוא t -3 היא שהמכונית נסעה בסך הכל t שעות.
מתוכם 1 שעות עצרה ו 2 שעות נסעה במהירות אחרת.

ההסבר לחישוב הזמן בקטע האחרון

ההסבר לחישוב הזמן בקטע האחרון

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
יש לנו 1 מהירויות של המכונית הראשונה ו 3 מהירויות של המכונית השנייה.
לכן בטבלה 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

מהירות זמן דרך
מכונית ראשונה 80 t 80t
מכונית שנייה התחלה 90 2 180
מכונית שנייה עצירה 0 1 0
מכונית שנייה סוף 100 t – 3 100t – 300

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך שעברו שתי המכוניות שווה.
לכן המשוואה היא:
100t – 300 + 180 + 0 = 80t
100t -120 = 80t  / +120 – 80t
20t = 120  / :20
t = 6

,תשובה: זמן הנסיעה מתל אביב לאילת הוא 6 שעות.

מציאת המרחק מתל אביב לאילת.
המכונית הראשונה נסעה 80 קמ"ש במשך 6 שעות.
לכן המרחק שעברה:
480 = 6 * 80

תרגילים בהם הזמנים אינם שווים

בתרגילים שפתרנו כלי רכב עברו את אותה דרך פעמיים ובסופו של דבר הזמן שבו הם עברו כל כיוון היה שווה.

בחלק זה נפתור שאלות בהם הזמנים אינם שווים.

שאלות קצרות

שאלה 1
מכונית ומשאית נסעו מירושלים לחיפה.
שתי המכוניות יצאו באותו זמן.
המכונית הגיעה 1 שעה לפני המשאית.
זמן הנסיעה של המכונית הוא t.
לכן זמן הנסיעה של המשאית הוא:

  1.   t +1
  2.    t -1

פתרון
המכונית הצהובה הגיעה לפני ולכן נסעה פחות שעות.
לכן זמן הנסיעה של המכונית האדומה גדול יותר והוא
t +1

שאלה 2
מכונית ומשאית נסעו מירושלים לחיפה.
שתי המכוניות יצאו באותו זמן.
המכונית הגיעה 2 שעות לפני המשאית.
זמן הנסיעה של המכונית הוא t.
המשאית נסעה 3 שעות במהירות של 80 קמ"ש ואת שאר הדרך במהירות 100 קמ"ש.
כמה זמן נסעה המשאית במהירות 100 קמ"ש?
רמז: חשבו קודם את הזמן שלקח למכונית הירוקה לעבור את הדרך כולה.

  1.   t – 2
  2.   t – 1
  3.   t – 3
  4.  t  +1

פתרון
המכונית הצהובה נסעה t.
המכונית הירוקה נסעה 2 שעות יותר, t +2.

המכונית הירוקה נסעה 3 שעות במהירות 80 קמ"ש.
לכן הזמן שנותר לה לקטע האחרון הוא
t +2 – 3
t -1
זו התשובה.

שאלה 3
מכונית ומשאית נסעו מירושלים לחיפה.
המכונית יצאה בשעה 7:00 ואילו המשאית יצאה בשעה 8:30.
המכונית הגיעה לחיפה 1 שעה לפני שהמשאית הגיעה לחיפה.
הזמן שנסעה המכונית הוא t.
מה הזמן שנסעה המשאית?

  1.   t + 1.5
  2.   t – 1
  3.   t – 0.5
  4.   t + 0.5

פתרון
המכונית יצאה 1.5 שעות לפני המשאית.
לכן יש לה "פור" של 1.5 שעות יותר על הכביש.
המכונית הגיעה 1 שעה לפני. לכן הייתה 1 שעות פחות.
סך הכול המכונית הייתה 0.5 שעות יותר על הכביש.
לכן המשאית הייתה 0.5 שעות פחות על הכביש.
t – 0.5

תרגילים מלאים

תרגיל 1
מכונית ומשאית יצאו בו זמנית מירושלים לקריית שמונה.
המכונית נסעה במהירות 100 קמ"ש זמן מסוים ולאחר מיכן נסעה במהירות 80 קמ"ש אותו פרק זמן.
המשאית נסעה במהירות 80 קמ"ש 5 שעות והמשיכה עד היעד במהירות 70 קמ"ש.
המכונית הגיעה ליעד שעה לפני המשאית.
חשבו את זמן הנסיעה של המכונית.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים וזמנים
נגדיר
t  הזמן בשעות שהמכונית נסעה במהירות 100 קמ"ש.
לכן
t הזמן שהמכונית נסעה 80 קמ"ש.
2t סך כל הזמן שהמכונית נסעה.

המשאית נסעה 1 שעה יותר.
2t +1 סך כל הזמן שנסעה המשאית.
5 שעות המשאית נסעה 80 קמ"ש.
לכן הזמן שנותר לה לנסוע במהירות 70 קמ"ש היא:
2t + 1 – 5
2t -4

הסבר לזמן הנסיעה של המשאית

הסבר לזמן הנסיעה של המשאית

שלב ב: הכנסת הנתונים לטבלה
מספר השורות
בבעיה יש 4 מהירויות, לכן צריך 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

מהירות זמן דרך
מכונית בהתחלה 100 t 100t
מכונית בסוף 80 t 80t
משאית בהתחלה 80 5 400
משאית בסוף 70 2t – 4 140t – 280

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך של המשאית והדרך של המכונית שוות.
לכן המשוואה היא:
100t + 80t = 140t – 280 + 400
180t = 140t +120  / -140t
40t  = 120  / :40
t = 3

המכונית נסעה:
2t =6
תשובה: זמן הנסיעה של המכונית הוא 6 שעות.

תרגיל 2
מכונית לבנה ומכונית צהובה נוסעות ממטולה לאילת. המכונית הלבנה נסעה במהירות 70 קמ"ש כל הדרך. המכונית הצהובה נסעה 2 שעות במהירות 60 קמ"ש. עצרה במשך שעתיים והמשיכה עד סוף הדרך במהירות 90 קמ"ש.
המכונית הלבנה הגיעה שעה לפני המכונית הצהובה.
מה המרחק ממטולה לאילת?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים וזמנים
t זמן הנסיעה של המכונית הלבנה בשעות.

המכונית הצהובה הגיע 1 שעות אחרי. לכן נסעה 1 שעות יותר.
המכונית הצהובה נסעה את הדרך ב:
t +1 שעות.

כמו כן המכונית הצהובה:
2 שעות במהירות 60 קמ"ש.
2 שעות במהירות 0 קמ"ש.
זמן הנסיעה בקטע השלישי הוא:
t +1 – 2- 2 = t -3
t – 3

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בשאלה יש 4 מהירויות לכן יש 4 שורות.

מילוי הטורים.
אנו יודעים את הטורים של המהירות והזמן.
נשלים את הדרך בעזרת נוסחה.

מהירות זמן דרך
לבנה 70 t 70t
צהובה שעתיים ראשונות 60 2 120
צהובה עצירה 0 2 0
צהובה סיום 90 t-3 90t – 270

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
70t  המרחק שהמכונית הלבנה עברה.
90t + 120 + 0  המרחק שהמכונית הצהובה עברה.

לכן המשוואה היא:
70t=120+90t-270
70t=120+90t-270  / -90t
20t=-150-  / : -20
t=7.5
נחשב את המרחק ע"פ הנתונים של המכונית הלבנה (70t):
7.5*70=525
תשובה: המרחק ממטולה לאילת הוא 525 ק"מ.

תרגיל 3
מכונית יצאה לדרך בין מטולה לאשדוד ונסעה כל הדרך במהירות קבועה של 90 קמ"ש.
שעה וחצי לאחר מיכן יצאה ממטולה לאשדוד משאית שנסעה 2 שעות במהירות 90 קמ"ש. עצרה ל 30 דקות והמשיכה עד היעד במהירות 60 קמ"ש.
המשאית הגיע לאשדוד 4 שעות לאחר המכונית
חשבו את זמן נסיעתה של המשאית.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים וזמנים
t הזמן בשעות שהמכונית נסעה.
המשאית יצאה 1.5 שעות אחרי והגיע 4 שעות אחרי.
לכן נסעה 2.5 שעות יותר מהמכונית.
t + 2.5  זמן הנסיעה של המשאית בשעות.

2 שעות המשאית נסעה במהירות 90 קמ"ש.
1/2 שעה המשאית עצרה.
לכן בקטע האחרון המשאית נסעה:
t +2.5 – 2 – 1/2 = t

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בבעיה יש 4 מהירויות ולכן יש 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

מהירות זמן דרך
מכונית 90 t 90t
משאית בהתחלה 90 2 180
משאית עצירה 0 1/2 0
משאית בסוף 60 t 60t

שלב ג: בניית משוואה
90t  הדרך שהמכונית עברה.
60t + 0 + 180  הדרך שהמשאית עברה.

הדרך שהמכונית עברה שווה לדרך שהמשאית עברה.
לכן המשוואה היא:
90t = 60t + 0+ 180
30t = 180  / :30
t = 6

6 שעות הוא זמן הנסיעה של המכונית.
המשאית נסעה
t +2.5 = 8.5
תשובה: זמן הנסיעה של המשאית הוא 8.5 שעות.

עוד באתר:

משוואה ריבועית לא מסודרות

על מנת לפתור משוואה בעזרת נוסחת השורשים עלינו להגיע למשוואה הנראית כך:

ax² + bx + c = 0

כאשר נקבל משוואה ריבועית לא מסודרת עלינו "לסדר אותה" ולאחר מיכן נוכל לפתור.

"לסדר" זה לרוב אומר:

  1. פתיחת סוגריים.
  2. כינוס איברים.

תרגיל 1
x +3)² – 4x = 24)

פתרון
נפתח סוגריים.
x² + 6x + 9 – 4x = 24
x² +2x + 9 = 24  / -24
x² + 2x – 15 = 0

קיבלנו משוואה ריבועית שאנו יודעים לפתור.
נציב בנוסחת השורשים:

נוסחת השורשים

נוסחת השורשים

כאשר נפתור את המשוואה נקבל:
x  = -5,  x = 3

היינו יכולים לפתור את המשוואה הריבועית גם בעזרת טרינום.
x² + 2x – 15 = 0
x² – 3x + 5x – 15 = 0
x (x -3) + 5(x -3) = 0
x + 5) (x -3) = 0)
x = -5,  x = 3

תרגיל 2
x- 2)² = x² – 6x + 1)

פתרון
נפתח סוגריים:
x² – 4x + 4 = x² – 6x + 1
נשים לב שיש מספר שווה של x² משני צדדי המשוואה הריבועית.

לכן להפוך את המשוואה למשוואה שאינה ריבועית.
x² – 4x + 4 = x² – 6x + 1  /  -x²
4x + 4 = -6x + 1    / +6x – 4-
2x = -3   / :2
x = -1.5

תרגיל 3
x+4)²+22x+5x²-100=0)

פתרון
x+4)²+22x+5x²-100=0)
x²+8x+22x+16+5x²-100=0
6x²+30x-84=0  /:6
x² +5x-14=0

נציב את הנתונים בנוסח השורשים ונקבל:

כאשר נפתור את המשוואה הריבועית נקבל:
x = -7  או   x = 2

ניתן לפתור גם בעזרת טרינום:
x² +5x-14=0
x² -2x + 7x – 14 = 0
x (x -2) + 7(x -2) = 0
x + 7) (x -2) = 0)
פתרון x=-7 או x=2

תרגיל 4
2x² – 7x – 88 = -(x -4)²

פתרון
(2x² – 7x – 88 = -(x² -8x +16
2x² – 7x – 88 = -x² +8x -16
3x² -15x -72 = 0  / :3
x² – 5x -24 = 0

ניתן להציב את הנתונים הללו בנוסחת השורשים ולפתור:

כאשר נפתור את המשוואה הריבועית הזו נקבל:
x = 8,   x = -3

ניתן לפתור את המשוואה הזו גם בעזרת הטרינום.
x² – 5x -24 = 0
x² + 3x – 8x – 24 = 0
x (x + 3) -8 (x + 3) = 0
x – 8 ) (x +3) = 0)
x = 8,   x = -3

עוד באתר:

משוואות לא מסודרות של שתי משוואות עם שני נעלמים

משוואת מסודרות הן משוואות הנראות כך:
2x + 3y = -7
5x – 2y = 4

ואת המשוואות הללו אנו יודעים לפתור בעזרת שיטת השוואת המקדמים או שיטת ההצבה.

משוואות לא מסודרות נראות למשל כך:
2x + 3(y + 4) = 22 + y
5y + 2x = 6x – 2y + 2

על מנת לפתור את המשוואות עלינו לפתוח סוגריים, לכנס איברים ולסדר את המשוואות.

נסדר את המשוואה הראשונה.
2x + 3(y + 4) = 22 + y
2x + 3y +12 = 22 + y  / -y -12
2x + 2y =10

נסדר את המשוואה השנייה
5y + 2x = 6x – 2y + 2
5y + 2x = 6x – 2y + 2  / -6x + 2y
7y -4x = 2

קיבלנו את שתי המשוואות:
2x + 2y =10
7y -4x = 2

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 2.
4x + 4y = 20
7y -4x = 2

נחבר את המשוואות ונקבל:
11y = 22   / :11
y = 2

נציב y =2 במשוואה הראשונה ונמצא את x.
4x + 4*2 = 20
4x + 8 = 20  / -8
4x = 12   / :4
x = 3

תשובה: x = 3, y = 2

תרגיל 2
4y + 5x  = 2(3 -x) – 8
10y – 3(x +2y) + 22= 0

פתרון
נסדר את המשוואה הראשונה
4y + 5x  = 2(3 -x) – 8
4y + 5x = 6 -2x – 8
4y + 7x = -2

נסדר את המשוואה השנייה
10y – 3(x +2y) + 22= 0
10y -3x -6y + 22 = 0
4y -3x +22 = 0
4y – 3x = -22

קיבלנו את שתי המשוואות:
4y + 7x = -2
4y – 3x = -22

נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה ונקבל:
10x = 20  / : 10
x = 2

נציב x = 2 במשוואה הראשונה ונמצא את y.
4y + 7x = -2
4y + 7 * 2 = -2
4y + 14 = -2  / -14
4y = -16  / :4
y = -4

תשובה: x = 2,  y = -4

תרגיל 3 (משוואות עם שברים)

תרגיל

פתרון
נתחיל בהפיכת המשוואה הראשונה לפשוטה יותר.

הפיכת המשוואה הראשונה לפשוטה יותר

הפיכת המשוואה הראשונה לפשוטה יותר

נהפוך גם את המשוואה השנייה לפשוטה יותר.

פתרון התרגיל

קיבלנו את שתי המשוואות:
26y – 8x = 50
9y + 5x = -6

אלו שתי משוואות "רגילות" שאנו יודעים לפתור.
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 5 ואת השנייה פי 8.
130y – 40x = 250
72y + 40x = -48

נחבר את המשוואות
202y = 202 /:202
y = 1

נציב את ערך ה- y במשוואה הראשונה, לאחר שביטלנו את המכנים ועשינו כינוס איברים.
9y + 5x = -6
9+5x = -6 /-9
5x = -15 /:5
x = -3
תשובה: y = 1, x = -3

עוד באתר:

כיצד משרטטים אי שוויון על מערכת צירים

כאשר אנו משרטטים אי שוויון על מערכת צירים יש בסך הכל שתי שאלות שאנו צריכים לענות עליהן על מנת לשרטט נכון.

  1. האם לסמן נקודה מלאה או ריקה.
  2. האם החץ צריך לנוע ימינה או שמאלה.

1. האם לסמן נקודה מלאה או ריקה?
כאשר האי שוויון כולל את הסימנים גדול שווה או קטן שווה אנו נסמן נקודה מלאה.


כאשר האי שוויון כולל את הסימנים גדול או קטן אנו נסמן נקודה ריקה.
<
>

למשל:
x ≥ 2

לעומת
x > 2

המשמעות של נקודה מלאה היא שהמספר שמעליו נמצאת הנקודה הוא חלק מהפתרון.
למשל:

במקרה של השרטוט שלמעלה x = -1 הוא חלק מהפתרון של האי שוויון.

במקרה של השרטוט שלמעלה x = -1 הוא לא חלק מהפתרון של האי שוויון.

2. האם החץ של האי שוויון פונה ימינה או שמאלה?
החץ צריך לסמן את כל הנקודות שהן הפתרון של האי שוויון.
לכן עבור האי שוויון
x > 4
המספרים 5 וגם 6 וגם 7 הם חלק מהפתרון של האי שוויון ולכן החץ יפנה ימינה כדי להיות מעל המספרים הללו.

x > 4

x > 4

לעומת זאת כאשר
x ≤ 4
החץ צריך לסמן בין היתר את המספרים 3 וגם 0 וגם 2-.
לכן החץ יפנה ימינה.

x ≤ 4

x ≤ 4

לסיכום:
כאשר הסימון הוא "גדול מ" החץ יפנה ימינה.
כאשר הסימון הוא "קטן מ" החץ יפנה שמאלה.

תרגילים

תרגיל 1
שרטטו את האי שוויונות הבאים:

  1.  x > 0
  2. x ≤ 5
  3. x ≤ -3
  4. x > -4

פתרונות

x > 0
זו נקודה ריקה וחץ שפונה ימינה.

x > 0

x > 0

x ≤ 5
זו נקודה מלאה וחץ שפונה שמאלה.

x ≤ 5

x ≤ 5

x ≤ -3
זו נקודה מלאה וחץ שפונה שמאלה.

x ≤ -3

x ≤ -3

x > – 4
זו נקודה ריקה וחץ שפונה ימינה.

 

תרגיל 2
נתון השרטוט הבא:

קבעו אם המספרים הבאים הם חלק מהפתרון שמציג גרף זה:
3, 1, 0, 2-.

פתרון
כל מספר שהחץ האדום נמצא מעליו הוא חלק מהפתרון.
כל מספר שהחץ האדום לא נמצא מעליו הוא לא חלק מהפתרון.

3  החץ האדום לא מעליו לכן הוא לא חלק מהפתרון.
1  נקודה ריקה נמצאת מעליו, לכן הוא לא חלק מהפתרון.
0, 2-   החץ האדום נמצא מעליהם לכן הם כן חלק מהפתרון.

תרגיל 3
לפניכם 4 אי שוויונות ו 4 גרפים.
התאימו בין הגרף לאי שוויון

x > 1
x ≥ 1
x < 1
x ≤ 1

גרף 1

גרף 1

גרף 2

גרף 2

גרף 3

גרף 3

גרף 4

גרף 4

פתרון
x > 1
לאי שוויון זה מתאימה נקודה ריקה וחץ הפונה ימינה.
לכן גרף 3.

x ≥ 1
לאי שוויון זה מתאימה נקודה מלאה וחץ הפונה ימינה.
לכן גרף 2.

x < 1
לאי שוויון זה מתאימה נקודה ריקה וחץ הפונה שמאלה.
לכן גרף 4.

x ≤ 1
לאי שוויון זה מתאימה נקודה מלאה וחץ הפונה שמאלה.
לכן גרף 1.

עוד באתר:

בעיות מילוליות עם שני נעלמים

בדף זה 9 בעיות מילוליות הנפתרות בעזרת שני נעלמים.
התרגילים מתאימים לכיתות ח,ט,י.
מלבד תרגילים 4,8 שאינם מתאימים לכיתה ח.

חזרה כיצד לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים יש בקישור.

בהצלחה.

תרגיל 1
מחיר של 10 מחקים ו 5 עפרונות הוא 55 שקלים.
מחיר של 2 מחקים ו 4 עפרונות הוא 20 שקלים.
מצאו את המחיר של עיפרון ושל מחק.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר
y מחיר עפרון בשקלים.
x מחיר מחק בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר של 10 מחקים ו 5 עפרונות הוא 55 שקלים
לכן:
10x + 5y = 55

מחיר של 2 מחקים ו 4 עפרונות הוא 20 שקלים.
לכן:
2x + 4y = 20

שלב ג: פתרון המשוואות
קיבלנו שתי משוואות
10x + 5y = 55
2x + 4y = 20
נפתור אותן בשיטת השוואת מקדמים.

נכפיל את המשוואה השנייה פי 5 ונקבל:
10x + 5y = 55
10x + 20y = 100

נחסר את המשוואה הראשונה ונקבל:
15y = 45  / :15
y = 3

נציב y = 3 במשוואה הראשונה ונקבל:
10x + 5y = 55
10x + 5*3 = 55  / -15
10x = 40  / :10
x = 4

תשובה: מחיר עפרון הוא 3 שקלים, מחיר מחק הוא 4 שקלים.

תרגיל 2 (דומה לתרגיל 1)
מחיר 3 קילו מלפפון ו 1 קילו עגבניות הוא 22 שקלים.
מחיר 2 קילו מלפפון ו 4 קילו עגבניות הוא 28 שקלים.
חשבו את מחיר קילו מלפפונים וקילו עגבניות.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר:
x  מחיר קילו עגבניות בשקלים.
y מחיר קילו מלפפונים בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר 3 קילו מלפפון ו 1 קילו עגבניות הוא 22 שקלים.
לכן:
x + 3y = 22

מחיר 2 קילו מלפפון ו 4 קילו עגבניות הוא 28 שקלים.
4x + 2y = 28

שלב ג: פתרון שתי משוואות
קיבלנו את המשוואות
x + 3y = 22
4x + 2y = 28

נבודד את x במשוואה הראשונה
x + 3y = 22
x = 22 – 3y

נשתמש בשיטת ההצבה ונציב את הערך של x במשוואה השנייה:
4x + 2y = 28
2y + 4(22 -3y) = 28
2y + 88 – 12y = 28
10y +88 = 28  / -88-
10y = -60  / : -10-
y = 6

נציב y = 6 במשוואה:
x = 22 – 3y
x = 22 – 3*6
x = 22 – 18 = 4

תשובה: מחיר קילו מלפפונים הוא 6 שקלים, מחיר קילו עגבניות הוא 4 שקלים.

תרגיל 3
היקף מלבן הוא 28 סנטימטר ושטחו 45 סמ"ר.
חשבו את אורכי צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
x צלע אחת של המלבן.
y צלע שנייה של המלבן.

משוואה ראשונה היא של היקף המלבן:
2x + 2y = 28
x + y = 14
y = 14 – x

משוואה שנייה היא של שטח המלבן:
x * y = 45

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
x (14 – x) = 45
14x – x² = 45
x² -14x + 45 = 0

ניתן לפתור בעזרת טרינום או נוסחת שורשים.
x -5x – 9x + 45 = 0
x (x – 5) -9 (x – 5) = 0
x – 9) (x – 5) = 0)
הפתרונות הם :
x = 9  או x = 5.

נציב את הפתרונות במשוואה הראשונה
x + y = 14
ונקבל
x = 5,  y = 9
או
x = 9 , y=5
שני הפתרונות הללו הם בעצם אותו פתרון והתשובה שלנו תהיה שצלע אחת של המלבן גדולה 5 וגודל הצלע השנייה הוא 9.

תרגיל 4
סכום שני מספרים הוא 13 ומכפלתם היא 40.
מצאו את שני המספרים.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר
x המספר הראשון
y המספר השני

שלב ב: בניית משוואות
סכום שני המספרים הוא 13. לכן:
x + y = 13
y= 13 -x

מכפלת המספרים היא 40, לכן:
x*y = 40

שלב ג: פתרון המשוואות
יש לנו שתי משוואות:
y= 13 -x
x*y = 40
נציב את המשוואה הראשונה בשנייה ונקבל:
x (13 -x) = 40
13x -x² = 40
x² – 13x + 40 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת פירוק טרינום או נוסחת השורשים.
פירוק טרינום נראה כך:

x² -5x – 8x + 40 = 0
x (x -5) -8 (x -5) = 0
x – 8) (x -5) = 0)
x = 8  או x = 5.

פתרון בעזרת נוסחת השורשים נראה כך:
x² – 13x + 40 = 0

נוסחת השורשים

נוסחת השורשים

הפתרונות של המשוואה הזו הם:
x = 8  או x = 5.

שלב ד: מציאת שני הפתרונות ותשובה סופית
אנו יודעים כי:
y= 13 -x
כאשר x = 5
y = 13 – 5 = 8

כאשר x = 8
y = 13 – 8 = 5

תשובה: מצאנו ששני הפתרונות הם בעצם פתרון יחיד וששני המספרים הם 8 ו 5.

תרגיל 5
קנינו 12 כרטיסי קולנוע חלקם במחיר מוזל של 30 שקלים וחלקם במחיר רגיל של 40 שקלים.
סך הכל שילמנו 410 שקלים.
כמה כרטיסי קולנוע קנינו מכל סוג?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x  מספר כרטיסי הקולנוע שנקנו במחיר מוזל.
y מספר כרטיסי הקולנוע שנמכרו במחיר רגיל.

שלב ב: בניית משוואות
קנינו 12 כרטיסי קולנוע.
לכן
x + y = 12

במחיר מוזל של 30 שקלים ומחיר רגל של 40 שקלים.
כרטיסים מוזלים: קנינו x כרטיסים במחיר 30 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
30x

כרטיסים רגילים: קנינו y כרטיסים במחיר 40 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
40y

סך הכל שילמנו:
30x + 40y = 410

שלב ג: פתרון המשוואות
x + y = 12
30x + 40y = 410

נכפיל את המשוואה הראשונה פי 30 ונפתור בשיטת השוואת  מקדמים.
x + y = 12  / *30
30x + 30y = 360

30x + 30y = 360
30x + 40y = 410
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה:

10y = 50  / :10
y = 5

נציב y = 5 במשוואה הראשונה שלנו
x + y = 12
x + 5 = 12  / -5
x = 7

תשובה: קנינו 7 כרטיסים במחיר מוזל ו 5 כרטיסים במחיר רגיל.

תרגיל 6
בחנות יש 700 מלפפונים ועגבניות.
המלפפונים מחולקים ל 20 ארגזים ואילו העגבניות ל 2 ארגזים.
אם נחלק את מספר המלפפונים במספר ארגזי המלפפונים ואת מספר העגבניות במספר ארגזי העגבניות נקבל 125.
חשבו כמה מלפפונים וכמה עגבניות בחנות.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר:
x  מספר המלפפונים בחנות.
y מספר העגבניות בחנות.

שלב ב: בניית משוואות
בחנות יש 700 מלפפונים ועגבניות.
לכן:
x + y = 700

20 ארגזי מלפפונים. נחלק את מספר המלפפונים במספר הארגזים ונקבל:
x/20

2 ארגזי עגבניות. נחלק את מספר העגבניות במספר ארגזי העגבניות ונקבל:
y/2

חיבור שתי התוצאות הללו נותן 125.
לכן המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא 20 ונקבל:
x + 10y = 2500

שלב ג: פתרון המשוואות
x + y = 700
x + 10y = 2500

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה.
9y = 1800  / :9
y = 200

נציב y = 200 במשוואה:
x + y = 700
x + 200 = 700  / -200
x = 500

תשובה: מספר המלפפונים בחנות הוא 500, מספר העגבניות הוא 200.

תרגיל 7
הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

  1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
  2. מה המרחק מהבית לים?

פתרון

נגדיר:
t1  זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.
t2 זמן ההליכה בדרך חזור בשעות.

המשוואה הראשונה היא:
t1 + t2 = 6
t2 = 6 – t1

נשים את הנתונים בטבלה
(הנתונים בשחור, המסקנות באדום)

זמן מהירות דרך
דרך הלוך t1 4 4t1
דרך חזור t2 8 8t2

הדרך הלוך שווה לדרך חזור:
4t1 = 8t2
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה זו:
(4t1 = 8 (6 – t1
4t1 = 48 – 8t1  /+8t1
12t1 = 48  / :12
t1 = 4

t2 = 6 – t1
t2 = 6 -4 = 2

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.

סעיף ב: המרחק מהבית לים.
הוא הלך 4 שעות במהירות 4 קמ"ש.
לכן המרחק הוא:
16 = 4*4
המרחק מהבית לים הוא 16 ק"מ

תרגיל 8
משאית יוצאת לדרך, שעה לאחריה יוצאת מכונית המשיגה את המשאית 3 שעות לאחר שהמשאית יצאה לדרך.
למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה.
מצאו את מהירות המשאית.

פתרון
שלב א: בחירת משתנים
אנחנו לא יודעים את מהירות המכונית ולא את מהירות המשאית.
אנחנו גם לא מקבלים מידע על קשר בין שני המהירויות.
לכן אנו חייבים להשתמש בשני משתנים. משתנה לכל מהירות.

v מהירות המשאית בקמ"ש.
u מהירות המכונית בקמ"ש.

שלב ב: בניית משוואה עבור נקודת הפגישה
3v  הדרך שהמשאית עשתה עד שפגשה במכונית.
2u  הדרך שהמכונית עשתה עד שפגשה במכונית.

הדרך שהמכונית והמשאית עברו שווה ולכן המשוואה היא:
2u = 3v  /:2
u = 1.5v

שלב ג: בניית משוואה עבור המשפט "למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה".

נגדיר את הזמן שלוקח למשאית ולמכונית לעבור 180 ק"מ.


הזמן של המכונית קצר יותר ב- 1.5 שעות.
לכן עלינו להוסיף 1.5 לזמן לזמן של המכונית על מנת ליצור משוואה.

המשוואה השנייה

נכפיל המכנה המשותף שהוא uv ונקבל:
180u = 180v + 1.5vu

שלב ד: פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
נציב את המשוואה הראשונה שקיבלנו (u = 1.5v) במשוואה הזו:
1.5v * 180 = 180v + 1.5v * 1.5v  / :1.5
180v = 120v + 1.5v² /  -180v
1.5v² – 60v = 0  /:1.5
v² – 40v = 0
v (v – 40) = 0
v = 0,  v=40
מכוון שהמכוניות נוסעות הפתרון היחידי שאפשרי הוא v= 40.

תשובה: מהירות המשאית היא 40 קמ"ש.

תרגיל 9
דנה תכננה לרכוש טיסה ובית מלון ל 4 ימים במחיר כולל של 2200 שקלים.
דנה חיכתה מעט ואז מחיר הטיסה עלה ב 20% ואילו מחיר המלון ירד ב 10%.
כתוצאה מכך דנה שילמה 80 שקלים יותר עבור החבילה.
חשבו את מחיר המלון ומחיר הטיסה של דנה.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים ומחירים
נגדיר:
x  מחיר המלון.
y  מחיר הטיסה.

"מחיר הטיסה עלה ב 20%"
1.2x  מחיר הטיסה לאחר העליה.
"מחיר המלון ירד ב 10%".
0.9y  מחיר המלון לאחר הירידה.

שלב ב: בניית משוואות ופתרונן
בהתחלה "מחיר כולל 2200 שקלים"
לכן המשוואה:
x + y = 2200
y = 2200 -x

לאחר העליה המחיר הכולל הוא 2280 שקלים.
לכן המשוואה:
1.2x + 0.9y = 2280

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:
1.2x + 0.9*(2200 -x) = 2280
1.2x + 1980 – 0.9x = 2280
0.3x = 300  / :0.3
x = 1000

מחיר הטיסה הוא:
y = 2200 -x
y = 2200 – 1000 = 1200

תשובה: מחיר המלון הוא 1000 שקלים, מחיר הטיסה 1200 שקלים.

תרגיל 10
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא.
מה המחיר של שולחן ומה המחיר של כיסא?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x מחיר כיסא בשקלים.
y  מחיר שולחן בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
x + y = 650
(משוואה ראשונה)

"15% ממחיר שולחן " זה:
0.15y
"50% ממחיר כיסא" זה:
0.5x

"15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא"
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
0.15y = 0.5x
נכפיל משוואה זו פי 2 ונקבל:
0.3y = x

קיבלנו את המשוואות:
x + y = 650
0.3y = x
נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:
0.3y + y = 650
1.3y = 650  / :1.3
y = 500

נמצא את x:
x + y = 650
x + 500 = 650  / -500
x = 150
תשובה: מחיר שולחן הוא 500 שקלים, מחיר כיסא 150 שקלים.

עוד באתר: