הכלל בבניית טבלה אומר שכל פעם שכלי רכב משנה מהירות צריך לתת לו שורה חדשה.

ברוב הפעמים אנו נגדיר משתנה אחד ובאמצעותו נצטרך להגדיר דברים אחרים בטבלה.

לרוב תהיה שורה אחת בטבלה שתהיה קשה יותר מאחרות.
לשורה הזו ניתן הסבר מורחב בדף זה.

בעיות בסיסיות

תרגיל 1
מכונית נסעה ליעד רחוק במהירות 80 קמ"ש.
בדרך חזרה היא נסעה במהירות 100 קמ"ש ולכן זמן הנסיעה חזור היה קצר ב 2.5 שעות מזמן הנסיעה הלוך.
חשבו את זמן הנסיעה הלוך.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
t  זמן הנסיעה הלוך בשעות.
t – 2.5 זמן הנסיעה חזור בשעות.

סך הכל יש לנו שתי מהירויות (מהירות הלוך, מהירות חזור) לכן לטבלה שלנו יהיו 2 שורות.
נציב את הנתונים בטבלה, כולל הזמנים שהגדרנו בעזרת המשתנה.

עכשיו ניתן בעזרת הנוסחה דרך = מהירות * זמן להשלים את הטור של ה"דרך".

שלב ב: בניית משוואה
הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה תהיה:
100t – 250 = 80t
100t – 250 = 80t  / -80t + 250
20t = 250  /:20
t = 12.5

תשובה: זמן הנסיעה הלוך היה 12.5 שעות.

תרגיל 2
אדם הלך מתל אביב לירושלים ובחזרה.
בדרך הלוך האדם הלך במהירות קבועה של 7 קמ"ש.
בדרך חזור האדם רץ במהירות 12 קמ"ש 3 שעות ואז הלך עד היעד במהירות 4 קמ"ש.
הזמן ההליכה הלוך שווה לזמן ההליכה חזור.

1. חשבו כמה שעות האדם הלך לכל כיוון?
2. מה המרחק מתל אביב לירושלים?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה וזמנים
t  זמן ההליכה בשעות בדרך הלוך במהירות קבועה של 7 קמ"ש.
3 שעות הזמן של 12 קמ"ש.
t – 3 הזמן של 4 קמ"ש.

הסבר מדוע זמן ההליכה בקטע האחרון הוא t -3

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בדרך הלוך מהירות אחת.
בדרך חזור 2 מהירויות.
לכן בטבלה 3 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של הזמן והמהירות אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה היא:
7t = 4t -12 + 36
7t = 4t +24  / -4t
3t =24  / :3
t = 8

תשובה: האדם הלך לכל כיוון 8 שעות.

חישוב המרחק 
בדרך הלוך המהירות הייתה 7 למשך 8 שעות.
לכן הדרך הייתה:
56 = 7 * 8
תשובה: אורך הדרך הוא 56 ק"מ.

תרגיל 3
שתי מכוניות נסעו מתל אביב לאילת.
מכונית אחת נסעה במהירות קבועה של 80 קמ"ש.
מכונית שנייה נסעה במהירות של 90 קמ"ש שעתיים.
עצרה לשעה ואז המשיכה במהירות של 100 קמ"ש.
שתי המכוניות הגיעו ליעדן באותו הזמן.
חשבו את זמן הנסיעה ואת המרחק מתל אביב לאילת.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה וזמני נסיעה בכול שלב
נגדיר
t  הזמן שלקח למכונית שנסעה במהירות קבועה לעבור את הדרך.

המכונית שנסעה במהירות משתנה:
2 שעה במהירות 80 קמ"ש.
1 שעה במהירות 0 קמ"ש.
t -3 שעות במהירות 100 קמ"ש.

הסיבה שמשך הזמן בקטע האחרון הוא t -3 היא שהמכונית נסעה בסך הכל t שעות.
מתוכם 1 שעות עצרה ו 2 שעות נסעה במהירות אחרת.

ההסבר לחישוב הזמן בקטע האחרון

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
יש לנו 1 מהירויות של המכונית הראשונה ו 3 מהירויות של המכונית השנייה.
לכן בטבלה 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך שעברו שתי המכוניות שווה.
לכן המשוואה היא:
100t – 300 + 180 + 0 = 80t
100t -120 = 80t  / +120 – 80t
20t = 120  / :20
t = 6

,תשובה: זמן הנסיעה מתל אביב לאילת הוא 6 שעות.

מציאת המרחק מתל אביב לאילת.
המכונית הראשונה נסעה 80 קמ"ש במשך 6 שעות.
לכן המרחק שעברה:
480 = 6 * 80

תרגילים בהם הזמנים אינם שווים

בתרגילים שפתרנו כלי רכב עברו את אותה דרך פעמיים ובסופו של דבר הזמן שבו הם עברו כל כיוון היה שווה.

בחלק זה נפתור שאלות בהם הזמנים אינם שווים.

שאלות קצרות

שאלה 1
מכונית ומשאית נסעו מירושלים לחיפה.
שתי המכוניות יצאו באותו זמן.
המכונית הגיעה 1 שעה לפני המשאית.
זמן הנסיעה של המכונית הוא t.
לכן זמן הנסיעה של המשאית הוא:

1.   t +1
2.    t -1

פתרון
המכונית הצהובה הגיעה לפני ולכן נסעה פחות שעות.
לכן זמן הנסיעה של המכונית האדומה גדול יותר והוא
t +1

שאלה 2
מכונית ומשאית נסעו מירושלים לחיפה.
שתי המכוניות יצאו באותו זמן.
המכונית הגיעה 2 שעות לפני המשאית.
זמן הנסיעה של המכונית הוא t.
המשאית נסעה 3 שעות במהירות של 80 קמ"ש ואת שאר הדרך במהירות 100 קמ"ש.
כמה זמן נסעה המשאית במהירות 100 קמ"ש?
רמז: חשבו קודם את הזמן שלקח למכונית הירוקה לעבור את הדרך כולה.

1.   t – 2
2.   t – 1
3.   t – 3
4.  t  +1

פתרון
המכונית הצהובה נסעה t.
המכונית הירוקה נסעה 2 שעות יותר, t +2.

המכונית הירוקה נסעה 3 שעות במהירות 80 קמ"ש.
לכן הזמן שנותר לה לקטע האחרון הוא
t +2 – 3
t -1
זו התשובה.

שאלה 3
מכונית ומשאית נסעו מירושלים לחיפה.
המכונית יצאה בשעה 7:00 ואילו המשאית יצאה בשעה 8:30.
המכונית הגיעה לחיפה 1 שעה לפני שהמשאית הגיעה לחיפה.
הזמן שנסעה המכונית הוא t.
מה הזמן שנסעה המשאית?

1.   t + 1.5
2.   t – 1
3.   t – 0.5
4.   t + 0.5

פתרון
המכונית יצאה 1.5 שעות לפני המשאית.
לכן יש לה "פור" של 1.5 שעות יותר על הכביש.
המכונית הגיעה 1 שעה לפני. לכן הייתה 1 שעות פחות.
סך הכול המכונית הייתה 0.5 שעות יותר על הכביש.
לכן המשאית הייתה 0.5 שעות פחות על הכביש.
t – 0.5

תרגילים מלאים

תרגיל 1
מכונית ומשאית יצאו בו זמנית מירושלים לקריית שמונה.
המכונית נסעה במהירות 100 קמ"ש זמן מסוים ולאחר מיכן נסעה במהירות 80 קמ"ש אותו פרק זמן.
המשאית נסעה במהירות 80 קמ"ש 5 שעות והמשיכה עד היעד במהירות 70 קמ"ש.
המכונית הגיעה ליעד שעה לפני המשאית.
חשבו את זמן הנסיעה של המכונית.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים וזמנים
נגדיר
t  הזמן בשעות שהמכונית נסעה במהירות 100 קמ"ש.
לכן
t הזמן שהמכונית נסעה 80 קמ"ש.
2t סך כל הזמן שהמכונית נסעה.

המשאית נסעה 1 שעה יותר.
2t +1 סך כל הזמן שנסעה המשאית.
5 שעות המשאית נסעה 80 קמ"ש.
לכן הזמן שנותר לה לנסוע במהירות 70 קמ"ש היא:
2t + 1 – 5
2t -4

הסבר לזמן הנסיעה של המשאית

שלב ב: הכנסת הנתונים לטבלה
מספר השורות
בבעיה יש 4 מהירויות, לכן צריך 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך של המשאית והדרך של המכונית שוות.
לכן המשוואה היא:
100t + 80t = 140t – 280 + 400
180t = 140t +120  / -140t
40t  = 120  / :40
t = 3

המכונית נסעה:
2t =6
תשובה: זמן הנסיעה של המכונית הוא 6 שעות.

תרגיל 2
מכונית לבנה ומכונית צהובה נוסעות ממטולה לאילת. המכונית הלבנה נסעה במהירות 70 קמ"ש כל הדרך. המכונית הצהובה נסעה 2 שעות במהירות 60 קמ"ש. עצרה במשך שעתיים והמשיכה עד סוף הדרך במהירות 90 קמ"ש.
המכונית הלבנה הגיעה שעה לפני המכונית הצהובה.
מה המרחק ממטולה לאילת?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים וזמנים
t זמן הנסיעה של המכונית הלבנה בשעות.

המכונית הצהובה הגיע 1 שעות אחרי. לכן נסעה 1 שעות יותר.
המכונית הצהובה נסעה את הדרך ב:
t +1 שעות.

כמו כן המכונית הצהובה:
2 שעות במהירות 60 קמ"ש.
2 שעות במהירות 0 קמ"ש.
זמן הנסיעה בקטע השלישי הוא:
t +1 – 2- 2 = t -3
t – 3

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בשאלה יש 4 מהירויות לכן יש 4 שורות.

מילוי הטורים.
אנו יודעים את הטורים של המהירות והזמן.
נשלים את הדרך בעזרת נוסחה.

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
70t  המרחק שהמכונית הלבנה עברה.
90t + 120 + 0  המרחק שהמכונית הצהובה עברה.

לכן המשוואה היא:
70t=120+90t-270
70t=120+90t-270  / -90t
20t=-150-  / : -20
t=7.5
נחשב את המרחק ע"פ הנתונים של המכונית הלבנה (70t):
7.5*70=525
תשובה: המרחק ממטולה לאילת הוא 525 ק"מ.

תרגיל 3
מכונית יצאה לדרך בין מטולה לאשדוד ונסעה כל הדרך במהירות קבועה של 90 קמ"ש.
שעה וחצי לאחר מיכן יצאה ממטולה לאשדוד משאית שנסעה 2 שעות במהירות 90 קמ"ש. עצרה ל 30 דקות והמשיכה עד היעד במהירות 60 קמ"ש.
המשאית הגיע לאשדוד 4 שעות לאחר המכונית
חשבו את זמן נסיעתה של המשאית.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים וזמנים
t הזמן בשעות שהמכונית נסעה.
המשאית יצאה 1.5 שעות אחרי והגיע 4 שעות אחרי.
לכן נסעה 2.5 שעות יותר מהמכונית.
t + 2.5  זמן הנסיעה של המשאית בשעות.

2 שעות המשאית נסעה במהירות 90 קמ"ש.
1/2 שעה המשאית עצרה.
לכן בקטע האחרון המשאית נסעה:
t +2.5 – 2 – 1/2 = t

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בבעיה יש 4 מהירויות ולכן יש 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

שלב ג: בניית משוואה
90t  הדרך שהמכונית עברה.
60t + 0 + 180  הדרך שהמשאית עברה.

הדרך שהמכונית עברה שווה לדרך שהמשאית עברה.
לכן המשוואה היא:
90t = 60t + 0+ 180
30t = 180  / :30
t = 6

6 שעות הוא זמן הנסיעה של המכונית.
המשאית נסעה
t +2.5 = 8.5
תשובה: זמן הנסיעה של המשאית הוא 8.5 שעות.

עוד באתר:

• בעיות תנועה – מדריך יסודי לכל סוגי הבעיות.
• בעיות תנועה כיתה ח.
• בעיות תנועה כיתה ט.
• בעיות תנועה 4 יחידות.
• בעיות תנועה 5 יחידות.

בדף זה 9 בעיות מילוליות הנפתרות בעזרת שני נעלמים.
התרגילים מתאימים לכיתות ח,ט,י.
מלבד תרגילים 4,8 שאינם מתאימים לכיתה ח.

חזרה כיצד לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים יש בקישור.

בהצלחה.

תרגיל 1
מחיר של 10 מחקים ו 5 עפרונות הוא 55 שקלים.
מחיר של 2 מחקים ו 4 עפרונות הוא 20 שקלים.
מצאו את המחיר של עיפרון ושל מחק.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר
y מחיר עפרון בשקלים.
x מחיר מחק בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר של 10 מחקים ו 5 עפרונות הוא 55 שקלים
לכן:
10x + 5y = 55

מחיר של 2 מחקים ו 4 עפרונות הוא 20 שקלים.
לכן:
2x + 4y = 20

שלב ג: פתרון המשוואות
קיבלנו שתי משוואות
10x + 5y = 55
2x + 4y = 20
נפתור אותן בשיטת השוואת מקדמים.

נכפיל את המשוואה השנייה פי 5 ונקבל:
10x + 5y = 55
10x + 20y = 100

נחסר את המשוואה הראשונה ונקבל:
15y = 45  / :15
y = 3

נציב y = 3 במשוואה הראשונה ונקבל:
10x + 5y = 55
10x + 5*3 = 55  / -15
10x = 40  / :10
x = 4

תשובה: מחיר עפרון הוא 3 שקלים, מחיר מחק הוא 4 שקלים.

תרגיל 2 (דומה לתרגיל 1)
מחיר 3 קילו מלפפון ו 1 קילו עגבניות הוא 22 שקלים.
מחיר 2 קילו מלפפון ו 4 קילו עגבניות הוא 28 שקלים.
חשבו את מחיר קילו מלפפונים וקילו עגבניות.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר:
x  מחיר קילו עגבניות בשקלים.
y מחיר קילו מלפפונים בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר 3 קילו מלפפון ו 1 קילו עגבניות הוא 22 שקלים.
לכן:
x + 3y = 22

מחיר 2 קילו מלפפון ו 4 קילו עגבניות הוא 28 שקלים.
4x + 2y = 28

שלב ג: פתרון שתי משוואות
קיבלנו את המשוואות
x + 3y = 22
4x + 2y = 28

נבודד את x במשוואה הראשונה
x + 3y = 22
x = 22 – 3y

נשתמש בשיטת ההצבה ונציב את הערך של x במשוואה השנייה:
4x + 2y = 28
2y + 4(22 -3y) = 28
2y + 88 – 12y = 28
10y +88 = 28  / -88-
10y = -60  / : -10-
y = 6

נציב y = 6 במשוואה:
x = 22 – 3y
x = 22 – 3*6
x = 22 – 18 = 4

תשובה: מחיר קילו מלפפונים הוא 6 שקלים, מחיר קילו עגבניות הוא 4 שקלים.

תרגיל 3
היקף מלבן הוא 28 סנטימטר ושטחו 45 סמ"ר.
חשבו את אורכי צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
x צלע אחת של המלבן.
y צלע שנייה של המלבן.

משוואה ראשונה היא של היקף המלבן:
2x + 2y = 28
x + y = 14
y = 14 – x

משוואה שנייה היא של שטח המלבן:
x * y = 45

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
x (14 – x) = 45
14x – x² = 45
x² -14x + 45 = 0

ניתן לפתור בעזרת טרינום או נוסחת שורשים.
x -5x – 9x + 45 = 0
x (x – 5) -9 (x – 5) = 0
x – 9) (x – 5) = 0)
הפתרונות הם :
x = 9  או x = 5.

נציב את הפתרונות במשוואה הראשונה
x + y = 14
ונקבל
x = 5,  y = 9
או
x = 9 , y=5
שני הפתרונות הללו הם בעצם אותו פתרון והתשובה שלנו תהיה שצלע אחת של המלבן גדולה 5 וגודל הצלע השנייה הוא 9.

תרגיל 4
סכום שני מספרים הוא 13 ומכפלתם היא 40.
מצאו את שני המספרים.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר
x המספר הראשון
y המספר השני

שלב ב: בניית משוואות
סכום שני המספרים הוא 13. לכן:
x + y = 13
y= 13 -x

מכפלת המספרים היא 40, לכן:
x*y = 40

שלב ג: פתרון המשוואות
יש לנו שתי משוואות:
y= 13 -x
x*y = 40
נציב את המשוואה הראשונה בשנייה ונקבל:
x (13 -x) = 40
13x -x² = 40
x² – 13x + 40 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת פירוק טרינום או נוסחת השורשים.
פירוק טרינום נראה כך:

x² -5x – 8x + 40 = 0
x (x -5) -8 (x -5) = 0
x – 8) (x -5) = 0)
x = 8  או x = 5.

פתרון בעזרת נוסחת השורשים נראה כך:
x² – 13x + 40 = 0

נוסחת השורשים

הפתרונות של המשוואה הזו הם:
x = 8  או x = 5.

שלב ד: מציאת שני הפתרונות ותשובה סופית
אנו יודעים כי:
y= 13 -x
כאשר x = 5
y = 13 – 5 = 8

כאשר x = 8
y = 13 – 8 = 5

תשובה: מצאנו ששני הפתרונות הם בעצם פתרון יחיד וששני המספרים הם 8 ו 5.

תרגיל 5
קנינו 12 כרטיסי קולנוע חלקם במחיר מוזל של 30 שקלים וחלקם במחיר רגיל של 40 שקלים.
סך הכל שילמנו 410 שקלים.
כמה כרטיסי קולנוע קנינו מכל סוג?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x  מספר כרטיסי הקולנוע שנקנו במחיר מוזל.
y מספר כרטיסי הקולנוע שנמכרו במחיר רגיל.

שלב ב: בניית משוואות
קנינו 12 כרטיסי קולנוע.
לכן
x + y = 12

במחיר מוזל של 30 שקלים ומחיר רגל של 40 שקלים.
כרטיסים מוזלים: קנינו x כרטיסים במחיר 30 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
30x

כרטיסים רגילים: קנינו y כרטיסים במחיר 40 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
40y

סך הכל שילמנו:
30x + 40y = 410

שלב ג: פתרון המשוואות
x + y = 12
30x + 40y = 410

נכפיל את המשוואה הראשונה פי 30 ונפתור בשיטת השוואת  מקדמים.
x + y = 12  / *30
30x + 30y = 360

30x + 30y = 360
30x + 40y = 410
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה:

10y = 50  / :10
y = 5

נציב y = 5 במשוואה הראשונה שלנו
x + y = 12
x + 5 = 12  / -5
x = 7

תשובה: קנינו 7 כרטיסים במחיר מוזל ו 5 כרטיסים במחיר רגיל.

תרגיל 6
בחנות יש 700 מלפפונים ועגבניות.
המלפפונים מחולקים ל 20 ארגזים ואילו העגבניות ל 2 ארגזים.
אם נחלק את מספר המלפפונים במספר ארגזי המלפפונים ואת מספר העגבניות במספר ארגזי העגבניות נקבל 125.
חשבו כמה מלפפונים וכמה עגבניות בחנות.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר:
x  מספר המלפפונים בחנות.
y מספר העגבניות בחנות.

שלב ב: בניית משוואות
בחנות יש 700 מלפפונים ועגבניות.
לכן:
x + y = 700

20 ארגזי מלפפונים. נחלק את מספר המלפפונים במספר הארגזים ונקבל:
x/20

2 ארגזי עגבניות. נחלק את מספר העגבניות במספר ארגזי העגבניות ונקבל:
y/2

חיבור שתי התוצאות הללו נותן 125.
לכן המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא 20 ונקבל:
x + 10y = 2500

שלב ג: פתרון המשוואות
x + y = 700
x + 10y = 2500

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה.
9y = 1800  / :9
y = 200

נציב y = 200 במשוואה:
x + y = 700
x + 200 = 700  / -200
x = 500

תשובה: מספר המלפפונים בחנות הוא 500, מספר העגבניות הוא 200.

תרגיל 7
הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
2. מה המרחק מהבית לים?

פתרון

נגדיר:
t₁  זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.
t₂ זמן ההליכה בדרך חזור בשעות.

המשוואה הראשונה היא:
t₁ + t₂ = 6
t₂ = 6 – t₁

נשים את הנתונים בטבלה
(הנתונים בשחור, המסקנות באדום)

הדרך הלוך שווה לדרך חזור:
4t₁ = 8t₂
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה זו:
(4t₁ = 8 (6 – t₁
4t₁ = 48 – 8t₁  /+8t₁
12t₁ = 48  / :12
t₁ = 4

t₂ = 6 – t₁
t₂ = 6 -4 = 2

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.

סעיף ב: המרחק מהבית לים.
הוא הלך 4 שעות במהירות 4 קמ"ש.
לכן המרחק הוא:
16 = 4*4
המרחק מהבית לים הוא 16 ק"מ

תרגיל 8
משאית יוצאת לדרך, שעה לאחריה יוצאת מכונית המשיגה את המשאית 3 שעות לאחר שהמשאית יצאה לדרך.
למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה.
מצאו את מהירות המשאית.

פתרון
שלב א: בחירת משתנים
אנחנו לא יודעים את מהירות המכונית ולא את מהירות המשאית.
אנחנו גם לא מקבלים מידע על קשר בין שני המהירויות.
לכן אנו חייבים להשתמש בשני משתנים. משתנה לכל מהירות.

v מהירות המשאית בקמ"ש.
u מהירות המכונית בקמ"ש.

שלב ב: בניית משוואה עבור נקודת הפגישה
3v  הדרך שהמשאית עשתה עד שפגשה במכונית.
2u  הדרך שהמכונית עשתה עד שפגשה במכונית.

הדרך שהמכונית והמשאית עברו שווה ולכן המשוואה היא:
2u = 3v  /:2
u = 1.5v

שלב ג: בניית משוואה עבור המשפט "למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה".

נגדיר את הזמן שלוקח למשאית ולמכונית לעבור 180 ק"מ.

הזמן של המכונית קצר יותר ב- 1.5 שעות.
לכן עלינו להוסיף 1.5 לזמן לזמן של המכונית על מנת ליצור משוואה.

נכפיל המכנה המשותף שהוא uv ונקבל:
180u = 180v + 1.5vu

שלב ד: פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
נציב את המשוואה הראשונה שקיבלנו (u = 1.5v) במשוואה הזו:
1.5v * 180 = 180v + 1.5v * 1.5v  / :1.5
180v = 120v + 1.5v² /  -180v
1.5v² – 60v = 0  /:1.5
v² – 40v = 0
v (v – 40) = 0
v = 0,  v=40
מכוון שהמכוניות נוסעות הפתרון היחידי שאפשרי הוא v= 40.

תשובה: מהירות המשאית היא 40 קמ"ש.

תרגיל 9
דנה תכננה לרכוש טיסה ובית מלון ל 4 ימים במחיר כולל של 2200 שקלים.
דנה חיכתה מעט ואז מחיר הטיסה עלה ב 20% ואילו מחיר המלון ירד ב 10%.
כתוצאה מכך דנה שילמה 80 שקלים יותר עבור החבילה.
חשבו את מחיר המלון ומחיר הטיסה של דנה.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים ומחירים
נגדיר:
x  מחיר המלון.
y  מחיר הטיסה.

"מחיר הטיסה עלה ב 20%"
1.2x  מחיר הטיסה לאחר העליה.
"מחיר המלון ירד ב 10%".
0.9y  מחיר המלון לאחר הירידה.

שלב ב: בניית משוואות ופתרונן
בהתחלה "מחיר כולל 2200 שקלים"
לכן המשוואה:
x + y = 2200
y = 2200 -x

לאחר העליה המחיר הכולל הוא 2280 שקלים.
לכן המשוואה:
1.2x + 0.9y = 2280

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:
1.2x + 0.9*(2200 -x) = 2280
1.2x + 1980 – 0.9x = 2280
0.3x = 300  / :0.3
x = 1000

מחיר הטיסה הוא:
y = 2200 -x
y = 2200 – 1000 = 1200

תשובה: מחיר המלון הוא 1000 שקלים, מחיר הטיסה 1200 שקלים.

תרגיל 10
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא.
מה המחיר של שולחן ומה המחיר של כיסא?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x מחיר כיסא בשקלים.
y  מחיר שולחן בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
x + y = 650
(משוואה ראשונה)

"15% ממחיר שולחן " זה:
0.15y
"50% ממחיר כיסא" זה:
0.5x

"15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא"
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
0.15y = 0.5x
נכפיל משוואה זו פי 2 ונקבל:
0.3y = x

קיבלנו את המשוואות:
x + y = 650
0.3y = x
נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:
0.3y + y = 650
1.3y = 650  / :1.3
y = 500

נמצא את x:
x + y = 650
x + 500 = 650  / -500
x = 150
תשובה: מחיר שולחן הוא 500 שקלים, מחיר כיסא 150 שקלים.

עוד באתר:

• מתמטיקה לכיתה ח.
• מתמטיקה לכיתה ט.
• בעיות תנועה.
• בעיות אחוזים.
• בעיות מילוליות כיתה ט.