ארכיון פוסטים מאת: לומדים מתמטיקה

ערך פונקציה בנקודה (f(1

לפעמים אנו נתקלים בביטוי כמו f  (1) = 3 או  f ' (-4) = 5
ולא מבינים  למה הכוונה.

אנחנו כן יודעים שכך מסומנת פונקציה:
f (x) = x² + 2x
אז כאשר מחליפים את ה x שבתוך הסוגריים ב 1 הכוונה היא שהציבו בפונקציה x = 1.
f (1) = 1² + 2*1

כאשר כתוב בתוך הסוגריים 4  הכוונה שהציבו בפונקציה x = 4.
f (4) = 4² + 4*2

כאשר כתוב בתוך הסוגריים x1  הכוונה שהציבו בפונקציה x = x1.
f (x1) = x1² + x1*2

דוגמה
עבור הפונקציה f (x) = x² + 3
מצאו את:
(f (2
(f ' (1
מצאו ביטוי אלגברי המייצג את x = n.

פתרון
עבור (f (2 נציב x = 2 במשוואת הפונקציה.
f (2) = 2² + 3 = 7
f (2)  = 7

עבור (f ' (1 עלינו קודם לגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 2x
נציב x = 1 בנגזרת:
f ' (1) = 2 *1 = 2
f ' (1)  = 2

עבור x = n נציב את הערך n במשוואת הפונקציה.
f (n) = n² + 3

אני מקווה שהנושא הזה ברור.
אם לא השאירו תגובה או דברו איתי בצאט ואנסה להסביר את מה שלא ברור.

עוד באתר:

  1. נגזרת.
  2. פונקציות.
  3. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  4. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

חוקי חזקות סיכום

מה מלמדים אותנו חוקי חזקות?
הם מלמדים אותנו לבצע בצורה נכונה את פעולות החשבון הבסיסיות עם חזקות:

  1. כפל חזקות.
  2. חילוק חזקות.
  3. חזקה של חזקה.
  4. פתיחת סוגריים.
  5. חיבור וחיסור חזקות.

ואלו בדיוק החלקים של דף זה, יחד עם:

6.חזקה שלילית.
7. חזקות עם 0, 1.
8.סוגים שונים של תרגילים.
9.סיכום של הסיכום.
10.נספח: קישורים נוספים.
11.נספח: סרטוני וידאו.

דפים נוספים:

  •  חוקי חזקות כולל חומר דומה עם יותר תרגילים לפתרון ועם סרטוני וידאו המשולבים לצד הטקסט (ולא בסופו כמו כאן).
  • מבוא לחזקות כולל תכנים שצריך לדעת לפני חוקי חזקות.

הסיכום מיועד לתלמידי כיתה ט ומעלה.

1.כפל חזקות

החלק התחתון של החזקה נקרא בסיס החזקה והחלק העליון הוא מעריך החזקה.
xa
בביטוי הזה x הוא בסיס החזקה.
a מעריך החזקה.

הכלל אומר שכאשר יש שני חזקות עם בסיס זהה ניתן להכפיל אותם כך:
am * an = am + n

דוגמאות:
x5 * x2 = x2+5 = x7
910 = 92+5+3 = 93 * 95 * 92

כאשר יש לנו מספר לפני החזקות, עדיין ניתן לבצע כפל:

= 5x4 * 3x3

בשאלות המשלבות מספרים נכפיל את המספרים בנפרד ואת המשתנים בנפרד.
x4 * x3 * 5 * 3
x4+3 * 15 = 15x7

גם כאשר יש לנו משתנה בעריך החזקה זה בסדר:
x4 * xa * x0.5a = x4 +a + 0.5a = x4 + 1.5a

2.חילוק חזקות

חילוק זו הפעולה לכפל. לכן אם כפל חיברנו את מעריכי החזקה בחילוק נחסר את מעריכי החזקה בחילוק חזקות.

הכלל הוא:

דוגמאות:

3. חזקה של חזקה

החוק של חזקה של חזקה הוא:

am)n = am * n)

תזכרו שבאופן כללי בפעולות של חזקות יש "ירידה בדרגה"
כפל חזקות, כפי שראינו בחוק הראשון, הופך לחיבור במעריך החזקה.
חזקה של חזקה הופכת לכפל במערך החזקה.

דוגמאות:

x4)5 = x4 * 5 = x20)

x3)7 = x3 * 7 = x21)

a2)3 * a = a2 * 3 * a1 = a6+1= a7)

4.פתיחת סוגריים

הכלל לפתיחת סוגריים הוא:
a*b*c)m = am * bm * cm)

דוגמאות:

2x)5 = 25x5)

x*2*y)7 = x7*27*y7)

דוגמאות לשילוב של חוק זה עם החוק הקודם  am)n = am * n)

x3*y2*z)5 = x3*5*y2*5*z5 = x15y10z5)

דוגמה לשילוב יחד עם החוק הראשון:

3x)² * 2x = 9x² * 2x = 18x³)

כלל שימושי פחות לפתיחת סוגריים הוא:

5.חיבור וחיסור חזקות

באופן רגיל חיבור וחיסור אלו הן הפעולות הקלות ביותר.
אבל כאשר מדובר בחזקות הן גורמות אצל חלק מהתלמידים לבלבול.

חיבור חזקות וחיסור חזקות אלו הן פעולות האפשרית רק במצב אחד:
כאשר גם בסיס החזקה וגם מערך החזקה שווים.

x4 + x4 = 2x4
3x7 + 2x7 = 5x7
6x5 – 4x5 = 2x5

אני אנסה להסביר את פתרון התרגיל:
3x7 + 2x7 = 5x7

נניח כי x7 זה שק קמח.
אז התרגיל אומר:
3 שקי קמח + 2 שקי קמח  = 5 שקי קמח.

דוגמאות למקרים שאסור לעשות חיבור / חיסור חזקות:

x4 + x2 = x6
(בגלל שמעריכי החזקה לא שווים)

= y2 + x2
(בגלל שבסיסי החזקה לא שווים)

3x²y – 2x²y²
(בגלל שהחזקה של ה y היא לא אותה חזקה)

3x²y – 2x²yz
(בגלל שאלו לא ביטויים זהים, ביטוי אחד כולל את z והשני לא).

6.חזקה שלילית

חזקה שלילית מאפשרת לנו להעביר ביטוי מהמונה למכנה ולהפך.

הכללים הם:

וגם הכלל ההפוך:

7.המספרים 0, 1

המספר 1

1 במעריך החזקה
כאשר אנו לא רואים חזקה מעל מספר זו בעצם החזקה 1.
7¹ = 7
x = x¹

1 בבסיס החזקה
המספר 1 בחזקת כל מספר שווה ל 1.
1 = 1*1*1 = 1³
1 = 1100

המספר 0

0 במעריך החזקה
כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1.
1 = 60
x0 = 1

מלבד 00 שהוא ביטוי לא מוגדר.

0 בבסיס החזקה
0 בחזקת כל מספר שווה ל 0.
מלבד 00 שהוא ביטוי לא מוגדר.

0 = 0*0 = 0²
0 = 057

8.סיכום של הסיכום

חוקי החזקות שלמדנו הם:

כפל חזקות:
am * an = am + n

חילוק חזקות:

חזקה של חזקה:
am)n = am * n)

פתיחת סוגריים:
a*b*c)m = am * bm * cm)

וגם:

חיבור חזקות תרגיל לדוגמה:
3x7 + 2x7 = 5x7

חזקה שלילית:

המספר 1:
x = x¹
1x = 1

המספר 0:
x0 = 1
0x = 0
מלבד 00 שהוא ביטוי לא מוגדר.

9.תרגילים מסכמים

דוגמאות לתרגילים המשלבים מספר חוקים.

10.תרגילים מסוגים נוספים

סוג 1
פי כמה גדול המספר 5x+2 מהמספר 5x?

פתרון
נשתמש בחוק החזקה:
am + n = am * an
ונפרק את מעריך החזקה של 5x+2 כך שישאר רק 5x

5x+2 = 5x * 52 = 5x * 25

אנו רואים שהביטוי 5x+2 גדול מהמספר 5x פי 25.

סוג 2
האם יש מקרים בהם.
x5 < x4
?

פתרון
חזקה זוגית היא תמיד חיובית ולא משנה מה הוא בסיס החזקה.
חזקה אי זוגית כמו x5 יכולה להיות שלילית אם x < 0.

לכן עבור x < 0 מתקיים האי שוויון
x5 < x4
אם נציב למשל x = -1 נקבל:
1 > 1-

סוג 3
איזה מספר יותר גדול: 850   2120 ?

פתרון
נשתמש בחוק של חזקה של חזקה על מנת להביא את שני הביטויים לאותו בסיס חזקה שהוא 2.
נשתמש בחוק:
am)n = am * n)
נשתמש גם בכך ש:
2³ = 8

215050(2³) = 850

2150 > 2120

850  > 2120

סוג 4
איזה מספר יותר גדול  740   560

פתרון
את המספרים 7 ו 5 לא ניתן להביא לאותו בסיס חזקה.
אבל ניתן להביא את המספרים 60 ו 40 לאותו מעריך חזקה שהוא 20.
נשתמש בחוק:
am)n = am * n)

1252020(5³) = 560

20 49 = 20(7²) = 740

20 49 < 12520
לכן:
740  < 560

סוג 5
נתון כי 3x = 8 חשבו את 3-2x      33x     3x-2

פתרון
הרעיון של כל הפתרונות הוא להפוך את הביטוי המורכב ל 3x כפול או לחלק משהוא.

33x
נשתמש בכלל:
am + n = am * an

ונקבל:
33x =3x+x+x = 3x * 3x * 3x = 8*8*8
512.

3x-2
נשתמש בכלל:
am + n = am * an

3-2x
על מנת להיפטר מהמינוס נשתמש בכלל החזקה

ונקבל:

כמו כן השתמשנו בכלל:
am + n = am * an

סיימנו את הסיכום, אני מקווה שהוא עזר לכם.
אם חסר לכם משהוא בסיכום פנו אליי בצ'אט או על ידי השארת תגובה בדף.

11. נספח: קישורים

  1. חוקי חזקות – דף מקיף עם תרגילים מכל הסוגים.
  2. כפל חזקות.
  3. חילוק חזקות.
  4. חזקה של חזקה.
  5. חזקה שלילית.
  6. חוקי שורשים.

12.נספח: וידאו

אלו חלק מהסרטונים תוכלו למצוא בקישורים בדפים מעל.

 

עוד באתר:

פונקציה מעריכית חיתוך עם הצירים

בדף זה נלמד כיצד למצוא נקודות על פונקציה מעריכית ובעיקר כיצד למצוא נקודות חיתוך עם הצירים.

חוק החזקה הבא מאוד שימושי:
e0 = 1

תרגילים

תרגיל 1
מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה x וציר ה y של הפונקציה y = ex.

פתרון
חיתוך עם ציר ה y: נציב x = 0
y = e0 = 1
נקודת החיתוך (0,1)

חיתוך עם ציר ה x נציב y = 0
ex = 0
e בחזקת שום מספר לא יכול להיות שווה 0 לכן למשוואה זו אין פתרון.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.
(הערה: רק 0 בחזקת מספר יכול להיות שווה ל 0, שום מספר אחר בחזקה כלשהיא לא יכול להיות שווה ל 0).

לפונקציה e בחזקת x יש נקודת חיתוך עם ציר ה y ואין חיתוך עם ציר ה x

לפונקציה e בחזקת x יש נקודת חיתוך עם ציר ה y ואין חיתוך עם ציר ה x

תרגיל 2
מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה x וציר ה y של הפונקציה 1 –  y = ex.

פתרון
חיתוך עם ציר ה y: נציב x = 0
y = e0  – 1
y = 1 – 1 = 0
נקודת החיתוך (0,0)

חיתוך עם ציר ה x נציב y = 0
ex – 1= 0
ex = 1
ex = e0
x = 0
נקודת החיתוך (0,0)

כך נראה גרף הפונקציה עם נקודת חיתוך יחידה עם שני הצירים ב 0,0.

כך נראה גרף הפונקציה עם נקודת חיתוך יחידה עם שני הצירים ב 0,0.

תרגיל 3
עבור הפונקציה

מצאו את ערך ה x כאשר y= 3

פתרון
נציב f(x) = 3

נכפיל במכנה ונקבל:
3ex – 2.33) *3 = 6ex – 4)
9ex – 7 = 6ex – 4  / -6ex + 7
3ex = 3  / :3
ex = 1 = e0
x = 0

עוד באתר:

מבוא לבעיות קנייה ומכירה בשאלון 382

דף זה הוא מבוא לשאלות לבעיות קנייה ומכירה שאלון 382.

בדף זה 3 חלקים:

  1. דברים שצריך לדעת על אחוזים.
  2. דברים שצריך לדעת על משוואות.
  3. בעיות קנייה ומכירה פשוטות.

הדף הזה הוא לא הכרחי, מי שמרגיש שהחומר ברור יכול ללמוד ישר מהדף בעיות קנייה ומכירה שאלון 382.

1. מבוא: דברים שאתם צריכים לדעת על אחוזים

1. יסודות האחוזים הנלמדים בבית הספר היסודי

על מנת להתחיל עליכם להכיר את שלושת הסוגים של בעיות אחוזים וכיצד פותרים אותן.

1.מציאת חלק מתוך שלם; למשל כמה הם 40% מ 30?
פתרון: מכפילים את החלק כשהוא "מתורגם" לשבר בשלם.
12 = 30 * (40/100)

2. הפיכת חלק לאחוז; למשל על המדף 8 כוסות. ל 3 מתוכם יש ידית. לאיזה אחוז מהכוסות יש ידית?
פתרון: הופכים את החלק לשבר ואז מכפילים ב 100 על מנת להפוך לאחוז.
37.5% = 100 * (3/8).

3. נתון גודל של חלק מהקבוצה. צריך למצוא את גודל הקבוצה כולה; למשל ¾ מהתלמידים בכיתה שהם 24 תלמידים מגיעים עם תיק כבד לבית הספר. כמה תלמידים בכיתה?
הפתרון: מכפילים את המספר (24) בהופכי של השבר.
32 = (4/3) * 24.

  • הסבר מפורט על הסוגים הללו בסרטוני וידאו וטקסט תמצאו בדף אחוזים כיתה ו.

2. כאשר מוצר שמחירו x עולה ב 40% או יורד ב 20%. כיצד רושמים זאת במשוואה?

כאשר מוצר עולה ב 40% מחירו החדש הוא 140% מהמחיר הישן.
המשוואה של העליה ב 40% היא:
1.4x

כאשר מוצר יורד ב 20% מחירו הוא 80% מהמחיר הישן.
המשוואה של הירידה ב 20% היא:
0.8x

3. מחיר מוצר עלה מ 60 שקלים ל 70 שקלים. בכמה אחוזים מחיר המוצר עלה?

זו שאלה בסיסית שלפעמים אנשים מתבלבלים בה. משום שהם מתקשים לענות לעצמם על שתי שאלות.
מה צריך להפוך לאחוזים?
ומתוך איזה מספר מחשבים את האחוזים?

והתשובות לשאלות הללו הן:
– העלייה היא של 10 שקלים, לכן את המספר 10 צריך להפוך לאחוזים.
– צריך לחשב כמה אחוזים הם 10 מתוך 60, מתוך המחיר המקורי.
16.66%

המשוואה בה אתם צריכים להשתמש על מנת לחשב אחוז רווח היא:

על מנת לחשב אחוז רווח נחשב את החלק של הרווח מתוך סכום הקנייה, ואז נכפיל פי 100 על מנת להפוך לאחוזים

על מנת לחשב אחוז רווח נחשב את החלק של הרווח מתוך סכום הקנייה, ואז נכפיל פי 100 על מנת להפוך לאחוזים

4. כיצד מחשבים הוזלה או התייקרות כפולים

הוזלה והתייקרות כפולים מחשבים כרגיל, רק שמבצעים שתי פעולות.
לדוגמה, מחיר מוצר הוא x.
המוצר עלה ב 20% ולאחר מיכן עלה בעוד 30%. מה המחיר החדש?
x * 1.2 * 1.3 = 1.56x

מחיר מוצר הוא x.
המוצר עלה ב 30% ולאחר מיכן ירד ב 40%. מה המחיר החדש?
x * 1.3 * 0.6 = 0.78x

5. שאלות נוספות להוזלה והתייקרות כפולים

יש שאלות שלפעמים מוסיפים להוזלה והתייקרות כפולים. אלו העיקריות שבהן.

האם יש חשיבות לסדר העליה והירידה?
כלומר האם מחיר של מוצר שעלה ב 10% ולאחר מיכן עלה בעוד 50% יהיה שונה ממחיר מוצר שעלה ב 50% ואז עלה בעוד 10%?
תשובה
אין חשיבות לסדר, המחיר יהיה אותו מחיר.
x * 1.5 * 1.1 = 1.65x
וכאשר נהפוך את הסדר:
x * 1.1 * 1.5 = 1.65x

כאשר מחיר מוצר עולה ויורד באותו אחוז האם המחיר הסופי גבוה או נמוך יותר מהמחיר ההתחלתי?
למשל אם המחיר ההתחלתי הוא x. והמחיר עלה ב 30% ואז ירד ב 30%.
תשובה
המחיר תמיד יהיה נמוך יותר.
נבצע את החישוב.
x*1.3 * 0.7 = 0.91x
0.91x זה מחיר הנמוך ב 9% מהמחיר המקורי שהיה x.

אם במקום עלייה במחיר מוצר של 40% נעלה אותו ב 30% ואז ב 10%. האם זה ישנה את התוצאה הסופית?
תשובה
כן זה ישנה.
כאשר נפצל עלייה אחת לשתי עליות זה יגרום לכך שהעליה המפוצלת תהיה גדולה יותר.
ואם נפצל ירידה אחת לשתי ירידות זה יגרום לכך שהירידה המפוצלת תהיה קטנה יותר.

לדוגמה, עליה של 40% לעומת עליה של 30% ו 10%.
x * 1.4 = 1.4x
x * 1.3 * 1.1 = 1.43x
העלייה המפוצלת גדולה יותר.

לדוגמה, ירידה של 50% לעומת ירידה של 30% ואז ירידה של 20%.
x*0.5 = 0.5x
x * 0.7 * 0.8 = 0.56x
הירידה המפוצלת קטנה יותר.

2.דברים שאתם צריכים לדעת על משוואות

1. להגדיר שני דברים באמצעות משתנה אחד.

נסו לבנות משוואה מהמשפטים הבאים.

  1. בחנות יש פי 2 יותר כוסות מאשר צלחות. סך הכל בחנות 45 כוסות וצלחות.
  2. בכיתה יא1 יש 5 תלמידים יותר מב יא2. בשתי הכיתות ביחד יש 69 תלמידים.
  3. באוטובוס א יש 20% פחות תלמידים מבאוטובוס ב. בשני האוטובוסים יש 76 תלמידים.

פתרונות

  1. x מספר הצלחות בחנות.
    2x מספר הכוסות בחנות.
    x + 2x = 45
  2. x  מספר התלמידים ב יא2.
    x + 5 מספר התלמידים ב יא1.
    x + x+ 5 = 69
  3. x מספר התלמידים באוטובוס ב.
    0.8x  מספר התלמידים באוטובוס א.
    0.8x + x = 76

הערה לגבי 3: אם כתבתם: x  מספר התלמידים באוטובוס א.
2x מספר התלמידים באוטובוס ב זו טעות.

2. להכיר את המשוואה הבסיסית של קנייה ומכירה.

סכום המכירה = הסכום שבו נמכר פריט * מספר הפריטים שנמכרו

סכום הקנייה = הסכום שבו נקנה פריט * מספר הפריטים שנקנו

למשל, כתבו ביטוי אלגברי המציג את המשפטים הבאים:

  1. קניתי 20 פריטים במחיר x שקלים לכל פריט. כמה שילמתי על הקנייה?
  2. מכרתי 25 פריטים במחיר x + 10. איזה סכום קיבלתי עבור המכירה?
  3. מכרתי ב 800 שקלים x פריטים. בכמה מכרתי פריט אחד?
  4. מחיר פריט שקניתי היה x+ 3 שקלים. סך הכל שילמתי 250 שקלים עבור הפריטים כמה פריטים קניתי?

פתרונות

  1. 20x
  2. x+10) *25)
  3. פתרון
  4. הפריטים שנקנו

3. יש שאלות שניתן לפתור עם שתי משתנים או משתנה אחד

שאלות כמו: בגן יש פרחים אדומים ולבנים. סך הכל יש 30 פרחים בגן.
הגדירו את מספר הפרחים האדומים והלבנים באמצעות משתנה או משתנים.

דרך אחת היא להשתמש בשני משתנים:
x  מספר הפרחים האדומים.
y  מספר הפרחים הלבנים.
והמשוואה תהיה:
x + y = 30.

דרך אחרת היא להשתמש במשתנה אחד.
x  מספר הפרחים האדומים.
מספר הפרחים הלבנים

דוגמה נוספת.
בכיתה 36 תלמידים. בנות ובנים.
הגדירו את מספר הבנות והבנים באמצעות משתנה או משתנים.

פתרון באמצעות שני משתנים:
x  מספר הבנות.
y   מספר הבנים.
x + y = 36

פתרון באמצעות משתנה אחד:
x   מספר הבנות
מספר הבנים

עוד באתר:

קריאה נכונה של התפלגות נורמלית

בדף זה נלמד כיצד לקרוא בצורה נכונה את הנתונים הכתובים על ההתפלגות הנורמלית.

התוכן הכתוב בדף זהה לתוכן לוידאו המופיע למעלה.

1.מה משמעות האותיות והמספרים בתחתית ההתפלגות

בתחתית ההתפלגות הנורמלית אנו רואים את האותיות.
x¯, s

¯x  זה הסימון של הממוצע.
s  זה הסימון של סטיית התקן.

במרכז ההתפלגות נמצא הביטוי ¯x וזה אומר ששם נמצא הציון ממוצע.

מימין לממוצע נמצאים ביטויים שבהם סטיית התקן היא גודל חיובי.
למשל:
x¯ + 0.5s   זה ציון הגדול בחצי סטיית תקן מהממוצע. (נקודה 1 בשרטוט)
x¯ + 2s   זה ציון הגדול בשתי סטיות תקן מהממוצע. (נקודה 2 בשרטוט)

משמאל לממצע נמצאים ביטויים שבהם סטיית התקן היא גודל שלילי.
למשל:
x¯ – s   זה ציון הגדול בסטיית תקן מהממוצע.( נקודה 3 בשרטוט)
x¯ + 2.5s   זה ציון הגדול בשתיים וחצי סטיות תקן מהממוצע. (נקודה 4 בשרטוט)

2.מה משמעות האחוזים הרשומים על ההתפלגות?

האחוזים מציינים את כמות האנשים שקיבלה ציונים בין שני ציוני תקן סמוכים.
למשל
19% קיבלו ציון שבין הממוצע לבין חצי ציון תקן מעל הממוצע x¯ + 0.5s (קווים אדומים)
9% קיבלו ציון שבין ציון תקן אחד מתחת לממוצע (x¯ – s) לבין 1.5 ציוני תקן מתחת לממוצע.  (x¯ – 1.5s)  (קווים שחורים)
0.5% קיבלו ציון שבין 2.5 סטיות תקן מעל הממוצע (x¯ + 2.5s) לבין ציון שהוא 3 סטיות תקן מעל הממוצע (x¯ + 3s)  (קווים כחולים)

 

כמו כן ניתן לחבר אחוזים בטווח יותר רחב של הבדלי סטיות תקן.
כך למשל בין סטיית תקן אחת מתחת לממוצע (x¯ – s) ובין 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע (x¯ + 1.5s) נמצאים 62% מהנבדקים / אוכלוסיה.
62 = 9 + 15 + 19 + 19
(התחום המסומן בקו אדום)

ואחוז המקבילים ציון גבוה מ 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע הוא:
7 = 0.5 + 1.5 + 5
(התחום המסמן בקו שחור).

3. מה משמעות של גובה ההתפלגות?

ככול שההתפלגות גבוהה יותר זה אומר שיותר אנשים קיבלו את הציון הזה.
את הציון הממוצע מקבלים יותר אנשים מכל ציון אחר כי זו הנקודה הגבוהה בהתפלגות.
ויותר אנשים מקבלים ציון שהוא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע (x¯ – s) מאנשים שמקבלים שתי סטיות תקן מעל הממוצע (x¯ + 2s) כי הנקודה הראשונה גבוהה מהשנייה.

תכונה נוספת של ההתפלגות הנורמלית היא שהממוצע הוא גם החציון.
כלומר בהתפלגות נורמלית הממוצע, החציון והשכיח זה אותו ציון.

נקודה 1 גבוהה מנקודה 2 ולכן את הציון של נקודה 1 מקבלים יותר אנשים

נקודה 1 גבוהה מנקודה 2 ולכן את הציון של נקודה 1 מקבלים יותר אנשים

4.ההתפלגות הנורמלית סימטרית

ההתפלגות הנורמלית סימטרית ביחס לממוצע.
ובגלל זה אתם רואים שבין הציון הממוצע לחצי ציון תקן מעל הממוצע יש בדיוק את אותם אחוזים כמו בין הממוצע לחצי ציון תקן מתחת לממוצע.

ובין 1.5 ל 2 סטיות תקן מעל הממוצע יש בדיוק אותו אחוז כמו בין 1.5 ל 2 סטיות תקן מתחת לממוצע.

עוד באתר:

  1. התפלגות נורמלית סיכום – כולל בצורה מרוכזת וקצרה את סוגי התרגילים שצריך לפתור.
  2. התפלגות נורמלית – כולל את סוגי התרגילים שצריך לפתור + תרגילי הכנה לבגרות. בדף זה יש יותר דוגמאות ולכן הוא יותר ארוך.

התפלגות נורמלית סיכום

התפלגות נורמלית היא ההתפלגות החשובה ביותר בתחום הסטטיסטיקה וזה בגלל שגדלים רבים מתפלגים נורמלית או בקירוב (למשל גובה באוכלוסיה הכללית).
בנוסף גדלים כמו ציוני פסיכומטרי או מנת משכל תוכננו כך שהם יתפלגו נורמלית.

לדף זה שני חלקים:

  1. קריאה נכונה של התפלגות נורמלית.
  2. סוגי תרגילים בהתפלגות נורמלית.

הערה
נהוג לסמן ממוצע כך:

אבל בגלל מגבלות טכניות בדף זה ובאתר הוא יסומן כך:
¯x

1.קריאה נכונה של התפלגות נורמלית

1.מה משמעות האותיות והמספרים בתחתית ההתפלגות

בתחתית ההתפלגות הנורמלית אנו רואים את האותיות.
x¯, s

¯x  זה הסימון של הממוצע.
s  זה הסימון של סטיית התקן.

במרכז ההתפלגות נמצא הביטוי ¯x וזה אומר ששם נמצא הציון ממוצע.

מימין לממוצע נמצאים ביטויים שבהם סטיית התקן היא גודל חיובי.
למשל:
x¯ + 0.5s   זה ציון הגדול בחצי סטיית תקן מהממוצע. (נקודה 1 בשרטוט)
x¯ + 2s   זה ציון הגדול בשתי סטיות תקן מהממוצע. (נקודה 2 בשרטוט)

משמאל לממצע נמצאים ביטויים שבהם סטיית התקן היא גודל שלילי.
למשל:
x¯ – s   זה ציון הגדול בסטיית תקן מהממוצע.( נקודה 3 בשרטוט)
x¯ + 2.5s   זה ציון הגדול בשתיים וחצי סטיות תקן מהממוצע. (נקודה 4 בשרטוט)

2.מה משמעות האחוזים הרשומים על ההתפלגות?

האחוזים מציינים את כמות האנשים שקיבלה ציונים בין שני ציוני תקן סמוכים.
למשל
19% קיבלו ציון שבין הממוצע לבין חצי ציון תקן מעל הממוצע x¯ + 0.5s (קווים אדומים)
9% קיבלו ציון שבין ציון תקן אחד מתחת לממוצע (x¯ – s) לבין 1.5 ציוני תקן מתחת לממוצע.  (x¯ – 1.5s)  (קווים שחורים)
0.5% קיבלו ציון שבין 2.5 סטיות תקן מעל הממוצע (x¯ + 2.5s) לבין ציון שהוא 3 סטיות תקן מעל הממוצע (x¯ + 3s)  (קווים כחולים)

 

כמו כן ניתן לחבר אחוזים בטווח יותר רחב של הבדלי סטיות תקן.
כך למשל בין סטיית תקן אחת מתחת לממוצע (x¯ – s) ובין 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע (x¯ + 1.5s) נמצאים 62% מהנבדקים / אוכלוסיה.
62 = 9 + 15 + 19 + 19
(התחום המסומן בקו אדום)

ואחוז המקבילים ציון גבוה מ 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע הוא:
7 = 0.5 + 1.5 + 5
(התחום המסמן בקו שחור).

3. מה משמעות של גובה ההתפלגות?

ככול שההתפלגות גבוהה יותר זה אומר שיותר אנשים קיבלו את הציון הזה.
את הציון הממוצע מקבלים יותר אנשים מכל ציון אחר כי זו הנקודה הגבוהה בהתפלגות.
ויותר אנשים מקבלים ציון שהוא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע (x¯ – s) מאנשים שמקבלים שתי סטיות תקן מעל הממוצע (x¯ + 2s) כי הנקודה הראשונה גבוהה מהשנייה.

תכונה נוספת של ההתפלגות הנורמלית היא שהממוצע הוא גם החציון.
כלומר בהתפלגות נורמלית הממוצע, החציון והשכיח זה אותו ציון.

נקודה 1 גבוהה מנקודה 2 ולכן את הציון של נקודה 1 מקבלים יותר אנשים

נקודה 1 גבוהה מנקודה 2 ולכן את הציון של נקודה 1 מקבלים יותר אנשים

4.ההתפלגות הנורמלית סימטרית

ההתפלגות הנורמלית סימטרית ביחס לממוצע.
ובגלל זה אתם רואים שבין הציון הממוצע לחצי ציון תקן מעל הממוצע יש בדיוק את אותם אחוזים כמו בין הממוצע לחצי ציון תקן מתחת לממוצע.

ובין 1.5 ל 2 סטיות תקן מעל הממוצע יש בדיוק אותו אחוז כמו בין 1.5 ל 2 סטיות תקן מתחת לממוצע.

2.סוגי תרגילים בהתפלגות נורמלית

1.הממוצע וסטיית התקן ידועים

כאשר הממוצע וסטיית התקן ידועים אנו יכולים לחשב אלו ציונים עומדים במרחקים שונים בהתפלגות הנורמלית.

למשל:
אם הממוצע הוא 70 וסטיית התקן היא 6 (s = 6).
אז הציון הנמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע הוא:
x¯ + s = 70 + 6 = 76

הציון הנמצא סטיית תקן וחצי מתחת לממוצע הוא:
x¯ – 1.5s = 70 – 1.5*6
61 = 9 – 70

2.שאלה נוספת
שיכולים לשאול אותנו על אותם נתונים היא:
מה אחוז התלמידים שקיבל ציון גבוה מ 76?

פתרון
התשובה היא סכום האחוזים הנמצא מימין ל 76.
16 = 0.5 + 1.5 + 5 + 9
תשובה: 16% קיבלו ציון גבוה מ 76.

3.חישוב הממוצע כאשר ידוע ציון אחר וסטיית התקן

אם אנו יודעים ציון הנמצא במרחק מסוים מהממוצע ואת סטיית התקן ניתן לחשב את הממוצע.

למשל:
הציון 60 נמצא 2 סטיות תקן מתחת לממוצע.
סטיית התקן היא 7.
מה הוא הציון הממוצע?

פתרון
אם היינו רוצים להציג את הנתונים במשוואה זה היה נראה כך:
x¯ – 2s = 60
x¯ – 2*6 = 60
x¯ – 12 = 60
x¯ = 72

בדיאגרמה הנתונים והתרגיל נראים כך:

הקווים השחורים העקומים מסמנים כל אחד עלייה בסטיית תקן אחת

הקווים השחורים העקומים מסמנים כל אחד עלייה בסטיית תקן אחת

4. מציאת סטיית התקן כאשר ידוע הממוצע וציון

בצורה דומה לתרגיל שלמעלה אם ידוע הממוצע וציון נוסף שמרחקו בסטיות תקן מהממוצע ידוע אז ניתן לחשב את סטיית התקן.

למשל:
(בשאלה זו נשלב מספר סוגי שאלות, סוג השאלה שנלמד בחלק זה הוא סעיף 1 בשאלה).
בהתפלגות נורמלית הממוצע הוא 80 והציון הנמצא 1.5 סטיות תקן מתחת לממוצע הוא 74.

  1. חשבו את סטיית התקן.
  2. איזה ציון נמצא 2 סטיות תקן מעל הממוצע?
  3. מה אחוז הנבחנים שקיבל ציון שבין 74 לציון שמצאתם בסעיף ב?

פתרון
סעיף א: חישוב סטיית התקן
על ]י המשפט " ממוצע הוא 80 והציון הנמצא 1.5 סטיות תקן מתחת לממוצע הוא 74" נבנה את המשוואה:
x¯ – 1.5s = 74

נפתור את המשוואה:
x¯ – 1.5s = 74
80-1.5s = 74
1.5s = -6  / : -1.5-
s = 4
תשובה: סטיית התקן היא 4.

סעיף ב: הציון שנמצא שנמצא 2 סטיות תקן מעל הממוצע
אנו יודעים כי:
x¯ = 80,  s = 4

לכן הציון הנמצא שתי סטיות תקן מתחת לממוצע הוא:
x¯ + 2s = 80 + 2*4 = 88

סעיף ג: אחוז הנבחנים שבים 74 ל 88
בטבלת ההתפלגות הנורמלית ניתן לראות:
91 = 5 + 9 + 15 + 19 + 19 + 15 + 9
תשובה: בין הציונים הללו נמצאים 91% מהנבחנים.

91% נמצאים בין שני הציונים

91% נמצאים בין שני הציונים

5. מציאת הממוצע וסטיית התקן על פי 2 ציונים

(סוג זה של תרגילים מופיע פחות במאגר מארבעת התרגילים הראשונים).

אם נתונים לנו שני ציונים שאנו יודעים את המרחק שלהם מהממוצע אנו יכולים לחשב את סטיית התקן והממוצע.

למשל:
המספר 50 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע והמספר 65 נמצא חצי סטיית תקן מעל הממוצע.

  1. חשבו את סטיית התקן.
  2. חשבו את הממוצע.

פתרון
סעיף א: חישוב סטיית התקן
בין סטיית תקן אחת מתחת ל 0.5 סטיות תקן מעל יש פער של 1.5 סטיות תקן.
ניתן להבין זאת מילולית בלבד אבל למי שרוצה יש כאן את המשוואה המוכיחה זאת:
= (x¯ + 0.5s – (x¯ – s
x¯ + 0.5s – x¯ + s =  1.5s

בין 65 ל 50 יש גם 15 נקודות.
לכן המשוואה היא:
1.5s = 15

1.5s = 15   / :1.5
s = 10
תשובה: סטיית התקן גודלה 10.

סעיף ב: מציאת הממוצע
לאחר שמצאנו את סטיית התקן זה תרגיל שכבר פתרנו למעלה.
אנו יודעים ציון 65 שנמצא 0.5 סטיות תקן מהממוצע.
ויודעים את סטיית התקן  s = 6.

המשוואה היא:
x¯ + 0.5s = 65
x¯ + 0.5*10 = 65
x¯ + 5 = 65
x¯ = 60

6.השוואה בין שני ציונים בהתפלגויות נורמליות שונות

כאשר נצטרך להשוות בין שני ציונים בהתפלגויות נורמליות שונות נמצא את ציון התקן של כל אחד מהציונים ואז נוכל לראות איזה ציון הוא בעל ציון התקן הגדול יותר.

למשל:
במבחן באנגלית הציון הממוצע הוא 70 וסטיית התקן היא 2.
במבחן במתמטיקה הממוצע הוא 75 וסטיית התקן היא 10.
דליה קיבלה 74 במבחן באנגלית ו 90 במבחן במתמטיקה.
איזה ציון גבוה יותר באופן יחסי?

פתרון
נמצא את ציון התקן של כל אחד מהציונים.
עבור המבחן באנגלית
הציון שהתקבל גבוה ב 4 נקודות מהממוצע.
סטיית התקן היא 2 ולכן הציון שהתקבל גבוה בשתי סטיות תקן מהממוצע
x¯ + 2s = 74

עבור המבחן במתמטיקה
הציון שהתקבל גבוה ב 15 נקודות מעל הממוצע.
סטיית התקן היא 10 ולכן הציון שהתקבל גבוה ב 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע.
x¯ + 1.5s = 90

תשובה: הציון באנגלית גבוה בשתי סטיות תקן מעל הממוצע לעומת הציון במתמטיקה הגבוה רק ב 1.5 סטיות תקן.
לכן באופן יחסי הציון באנגלית גבוה יותר.

סיימנו את הסיכום, אני מקווה שהוא עזר לכם.
אם חסר לכם משהוא בסיכום פנו אליי בצ'אט או על ידי השארת תגובה בדף.

קישורים בנושא זה באתר

  1. התפלגות נורמלית – דף הכולל יותר שאלות מכל סוג שאלה שעברנו עליה כאן + סרטונים + שאלות ארוכות יותר כהכנה לבגרות + פתרונות לשאלות מבגרות 3 יחידות.
  2. סטטיסטיקה 381 – הסבר כיצד לחשב סטיית תקן.

סרטוני וידאו באתר

הסרטון הראשון מסביר כיצד לקרוא בצורה נכונה את ההתפלגות הנורמלית וחמשך הסרטונים הבאים לאחר מיכן הם 5 סוגי השאלות שלמדנו.

משוואה ריבועית סיכום

הסיכום הזה מתחלק ל 6 חלקים:

  1. צורת המשוואה הריבועית.
  2. 6 דרכים לפתור משוואה ריבועית.
  3. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
  4. ההצגה הגרפית של מספר הפתרונות.
  5. משוואות ריבועיות קשות יותר לפתרון.
  6. סרטונים בנושאים השונים של הדף.

1.צורת המשוואה הריבועית

משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה y = ax² + bx+ c.
כאשר b,c יכולים להיות כל מספר ואילו a חייב להיות שונה מ 0.
כי אם a= 0  זו כבר לא תהיה משוואה ריבועית.
דוגמאות למשוואות ריבועיות:

3x² + 6x + 1 = 0
x² – 3x = 0
x² + 2 = 0
x² = 0
x² – 9x = 10

2. 6 דרכים לפתור את המשוואה הריבועית

למשוואה ריבועית יש דרך אחת שפותרת את כל המשוואות הריבועיות ועוד 4 דרכים שדרכם ניתן לפתור רק חלק מהמשוואות הריבועיות אבל הן עושות זאת בקיצור יחסית.

1.נוסחת השורשים היא הדרך שבה ניתן לפתור את כל המשוואות הריבועיות.

נוסחת השורשים

נוסחת השורשים

2.בטרינום ניתן להשתמש כאשר ניתן למצוא שני מספרים שמכפלת היא a*c וסכומם b.
למשל עבור המשוואה:
x² + 6x + 8 = 0
נחפש שני מספרים שמכפלתם היא 8 וסכומם הוא 6.
שני המספרים הללו הם 4,2 ואז ניתן לפתור כך:
x² + 6x + 8 = 0
x² + 2x + 4x + 8 = 0
x (x + 2) + 4(x +2) = 0
x + 4) (x +2) = 0)
x = -4 או x = -2.

3.בנוסחאות הכפל המקוצר ננסה להתאים את המשוואה הריבועית לאחת מהנוסחאות:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)
למשל:
x² -8x + 16 = 0
x – 4)² = 0)
נוציא שורש לשני הצדדים:
x – 4 = 0
x = 4

4.כאשר הפרמטר c חסר במשוואה הריבועית והיא נראית כך: ax² + bx = 0.
ניתן לפתור את המשוואה הריבועית על ידי הוצאת גורם משותף.
ax² + bx = 0
x (ax + b) = 0
ועכשיו נשתמש בתכונה שאם מכפלת שני ביטויים היא 0 אז לפחות אחד הביטויים שווה ל 0.
לדוגמה:
2x² – 5x = 0
x (2x – 5) = 0
הפתרונות:
x = 0
או
2x – 5= 0
x = 2.5

5.כאשר הפרמטר b חסר במשוואה הריבועית והמשוואה נראית כך:
ax² + c = 0
ניתן לפתור על ידי שאנו מעבירים אות המשוואה למצב הזה:
ax² = -c
למשל:
4x² – 36 = 0
4x² = 36  / :4
x² = 9
x = 3 או x = -3

שימו לב שלמשוואה הזו  x² = 9 יש שני פתרונות ולא פתרון יחיד.
לעומת זאת למשוואה הזו x² = – 9 אין אף הפתרון (כי אין שורש למספר שלילי).

ובאופן כללי ניתן לומר עבור המשוואה ax² = c
שכאשר c > 0 יש למשוואה שני פתרונות.
כאשר c < 0 אין למשוואה פתרון.

6.בדרך הפתרון האחרונה שנציג כאן אנו יכולים להשתמש רק כאשר יש לנו משוואה ריבועית עם מבנה מאוד מיוחד.
בצד אחד צריך להיות ביטוי הכולל x בחזקה ואילו בצד השני מספר עם שורש שלם.
למשל:
x + 2)² = 36)
במקרה זה נפתור כך:
x + 2)² = 6²)
למשוואה הזו יש שני פתרונות:
x + 2 = 6
x = 4
או
x + 2 = – 6
x = – 8

3.מספר הפתרונות של משוואה ריבועית

למשוואה ריבועית יכולים להיות 0,1,2 פתרונות.
כיצד נדע את מספר הפתרונות?

נחזור אל נוסחת השורשים:

נוסחת השורשים

כאשר b² – 4ac < 0
אנו מקבלים שורש של מספר שלילי, דבר שאיננו קיים.
ולכן אין למשוואה פתרונות.

כאשר b² – 4ac = 0
הביטוי ± של מה שיש בשורש אלו שני ביטויים שווים ולכן ישר פתרון יחיד.

כאשר b² – 4ac > 0
הביטוי ± נותן שני פתרונות.

לסיכום:
b² – 4ac < 0 אין פתרון
b² – 4ac = 0  פתרון יחיד.
b² – 4ac > 0 שני פתרונות.

מלבד שימוש בביטוי b² – 4ac חשוב שתדעו לזהות ולנמק מדוע למשוואה
x² = -5
או למשוואה
x² + 5 = 0
אין פתרון.

למשוואה x² = -5 אין פתרון כי אין שורש זוגי למספר שלילי.
למשוואה x² + 5 = 0 אין פתרון כי x² הוא מספר חיובי תמיד, וגם 5 חיובי תמיד.
סכום שני מספרים חיוביים לא יכול להיות שווה ל 0.

כמו כן ניתן לכתוב עבור המשוואה השנייה:
x² + 5 = 0  / -5
x² = -5
ואז להסביר מדוע למשוואה השנייה אין פתרון בדיוק כפי שהסברנו את המשוואה הראשונה.

4.היצוג הגרפי של מספר הפתרונות

הגרף של משוואה ריבועית הוא פרבולה.
הפתרונות של המשוואה הריבועית הם נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.

כלומר, הפתרונות של המשוואה הריבועית:
x² + x -6 = 0
הם:
x = -3,  x = 2
ולכן נקודות החיתוך עם ציר ה x של הפרבולה הזו הם:
(A (2, 0)  B(-3, 0

כאשר יש למשוואה ריבועית פתרון יחיד הפרבולה תשיק לציר ה x.
כאשר למשוואה ריבועית אין פתרונות לא יהיו לפרבולה נקודות חיתוך עם ציר ה x.

דוגמאות לגרפים על פי מספר הפתרונות.

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

5.משוואות ריבועיות קשות יותר

1.משוואה שבה נוח להוציא גורם ולצמצם
2x² + 4x – 10 = 0

x² + 2x + 5 = 0

לפעמים הוצאת גורם משותף זה רק "נוח" ובתרגילים קשים מסוימים עם צמצום איברים זו ממש חובה.

2.משוואה שבה המקדם של x² הוא שלילי
x² + 3x – 7 = 0-
משוואה כזו ניתן לפתור כמו שהיא בעזרת נוסחת השורשים.
אבל לרבים לא נוח עם מקדם של x² שהוא שלילי. (a שלילי).
ולכן מכפילים את המשוואה כולה ב 1-.

צריך לשים לב שמכפילים ב 1- את כל אחד מאיברי המשוואה.
x² + 3x – 7 = 0-  /*-1-
x² – 3x + 7 = 0

3.משוואה עם כינוס איברים
3x + x² + 4 – 7x + 5x² = 4x² + 2x + 3 – 5x

נכנס איברים בכול צד
6x² -4x  + 4 = 4x² -3x + 3
נעביר איברים לצד אחד.
2x² +x + 1 = 0

4. משוואה עם סוגריים
במקרה כזה:

  1. נפתח סוגריים.
  2. נכנס איברים.
  3. נפתור משוואה ריבועית רגילה.

2x + (x + 3)² = 10x
2x + x² + 6x + 9 = 10x
x² + 8x +9 = 10x
x² -2x + 9 = 0

5.משוואות ריבועיות עם שברים

במשוואה מסוג זה צריך למצוא את תחום ההצבה שהוא
x ≠ 0
לאחר מיכן מכפילים במכנה המשותף שהוא x.
x(x- 5) = -6x
x² – 5x = -6x
x² + x = 0
וזו משוואה שאנו כבר יודעים לפתור.

סיימנו את הסיכום.
מקווה שהיה מועיל.
אם חסר לכם משהוא פנו אליי על ידי השארת תגובה או בצ'אט.

קישורים הקשורים לנושאי הדף:

  1. נוסחת השורשים.
  2. פירוק הטרינום
  3. נוסחאות הכפל המקוצר.
  4. משוואה ריבועית עם פרמטרים חסרים.
  5. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
  6. השלמה לריבוע.
  7. 4 שיטות לפתרון מקוצר של משוואה ריבועית.
  8. פרבולה.
  9. בעיות מילוליות הכוללות משוואה ריבועית.
  10. משוואות ריבועיות לא מסודרות
  11. משוואות ריבועיות עם שברים.
  12. חקירת פונקציה ריבועית.
  13. אי שוויונים ריבועיים.

6.סרטוני וידאו הקשורים לדף

אלו חלק מסרטוני הוידאו שיש באתר בנושאים הללו.
בקישורים שלמעלה יש עוד.

 

זווית בין ישר למישור בתיבה

בדף זה מידע על זוויות בין בסיס תיבה לבין ישרים בתיבה.

עיקר הדף הם 4 תרגילים. שניים מתוכם מתאימים ל 3 יחידות ושניים נוספים מתאימים ל 4 יחידות.

הדף מיועד לתלמידי 3 יחידות בשאלון 381 או תלמידי 4 יחידות בשאלון 482.
חלקים בדף שמיועדים רק לתלמידי 4 יחידות מסומנים כך.

תרגילים

תרגיל 1
זהו את הזוויות שבין האלכסון AC לבין המישור ABCD
(צריך להוסיף בניית עזר).

פתרון
הזווית היא: C'AC
C'C זה הגובה.
AC הוא ההיטל של C'A על המישור

 

תרגיל 2
זהו את הזוויות שבין הישר D'O לבין המישור ABCD
(צריך להוסיף בניית עזר).

פתרון
הזווית היא: D'OD
D'D זה הגובה.
DO הוא ההיטל של D'O על המישור

תרגילים ל 4 יחידות

תרגיל 3
זהו את הזווית שבין הישר AE והמישור ABCD.

פתרון
הזווית היא: EAC
EC זה הגובה.
AC הוא ההיטל של AE על המישור

תרגיל 4
זהו את הזווית שבין הישר D'E והמישור ABCD.

פתרון
הזווית היא: D'ED
D'D זה הגובה.
DE הוא ההיטל של D'E על המישור

עוד באתר:

זווית בין ישר למישור בפירמידה

בדף זה מידע על זוויות בין בסיס הפירמידה לבין מקצועות הפירמידה או אנך בפאת הפירמידה.

עיקר הדף הם 5 תרגילים, שלושה מתוכם הם זיהוי זוויות בין ישר למישור ושניים אחרים הם שני טיפים טובים לפתרון תרגילים.

הדף מיועד לתלמידי 3 יחידות בשאלון 381 או תלמידי 4 יחידות בשאלון 482.
חלקים בדף שמיועדים רק לתלמידי 4 יחידות מסומנים כך.

דפים קשורים נוספים באתר:

1.הדבר הכי בסיסי שעליכם לדעת על פירמידה

בפירמידה שבסיסה מלבן או ריבוע  גובה הפירמידה EO מגיע את נקודת מפגש האלכסונים של הבסיס.

2.תרגילים

תרגיל 1
נתונה פירמידה מלבנית.
זהו את הזווית שבין הישר EC לבין המישור ABCD.
(צריך להעביר בניית עזר)

פתרון
זו הזוויות ECO (מסומנת באדום).

תרגיל 2
נתונה פירמידה מלבנית.
זהו את הזווית שבין הישר EF לבין המישור ABCD.
(צריך להעביר בניית עזר)

פתרון
זווית EFO (מסומנת באדום)

תרגיל 3 (טיפ שאינו בנושא זווית בין ישר למישור)
נתונה פירמידה מלבנית.
ידוע כי EB = y,  BC = x
מה נוכל לעשות על מנת למצוא את זוויות EBC (לבטא את הזווית באמצעות x,y).

פתרון
נעביר את הגובה EF במשולש שווה שוקיים EBC (המשולש הוא שווה שוקיים כי מקצועות פירמידה ישרה שוות).
EF הוא גם תיכון של BC (גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא תיכון)

לכן במשולש ישר זווית EFB אנו יודעים שתי צלעות:
EB = y
BF = 0.5x
לכן אם נסמן את הזווית כ β נוכל לכתוב:
sin β = y / 0.5x

תרגילים 4-5 מיועדים ל 4 יחידות

תרגיל 4 (טיפ שאינו בנושא זווית בין ישר למישור)
נתונה פירמידה מלבנית.
בשרטוט EF הוא הגובה ל DC.
O נקודת מפגש האלכסונים.
אם   BC = x
מה גודלו של OF?

פתרון

  1. O זו אמצע הצלע BD (כי אלכסוני המלבן חוצים זה את זה).
  2. F זו אמצע הצלע CD כי הגובה EF במשולש שווה שוקיים EDC הוא גם תיכון.
  3. לכן OF הוא קטע אמצעים במשולש DBC. כי ישר במשולש היוצא מאמצע צלע ומגיע לאמצע צלע הוא קטע אמצעים.
  4. OF = 0.5BC = 0.5x  קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שמולו.

תרגיל 5 
בפירמידה משולשת מה הזווית שבין המקצוע DA לבין המישור ABC.

פתרון
הזווית היא זווית DAO.
כאשר הנקודה O היא נקודת המפגש של האנכים האמצעים במשולש ABC.

שרטוט: מרכז המעגל החוסם את המשולש והנקודה שאליה יורד הגובה מקודקוד הפירמידה היא נקודת מפגש האנכים האמצעים במשולש הבסיס.

עוד באתר: