ארכיון פוסטים מאת: לומדים מתמטיקה

טבלת ערכים למשוואת ישר

משוואת הישר היא משוואה שבה אנו יכולים להציב ערך x ולקבל ערך y.

למשל עבור המשוואה:
y = 2x + 1
ניתןו להציב x = 1
ולקבל
y = 2*1 +1= 3
y =3

נציב
x = 0
ונקבל:
y = 2 * 0 + 1
y = 1

נציב:
x = -2
ונקבל:
y = 2 * (-2) +1
y = -4 + 1 = -3

סך הכל קיבלנו 3 נקודות:
1,3
0,1
3-, 2-

את שלושת הנקודות הללו ניתן לייצג בטבלה הנקראת "טבלת ערכים" משום שהיא מציגה את הערכים של x,y.

x y
1 3
0 1
2- 3-

את שלושת הנקודות הללו ניתן גם לסמן על גרף:

סימון הנקודות על גרף

ואז להעביר קו בין הנקודות וזה יהיה גרף הפונקציה y = 2x + 1.

בנוסף.
ניתן גם להציב את הערך של y במשוואה ולמצוא את x.
y = 2x + 1
נציב y =10
ונקבל:
2x + 1 = 10
2x = 9
x = 4.5

לכן:
4.5,9
זו נקודה נוספת על הישר

תרגיל

טבלת הערכים הבאה שייכת לישר
y = -x + 3

  1. השלימו את טבלת הערכים.
  2. האם הנקודה הנמצאת בשורה הרביעית נמצאת על הישר?
x y
0
3
6
1- 4

פתרון
y = -x + 3
נציב x = 0
y = 0 + 3 = 3

נציב x = 3
y = -3 + 3 = 0

נציב y = 6
x + 3 = 6-
x = 3-
x = -3

נבדוק אם x = -1,  y = 4 נמצאת על הישר y = -x + 3.
3 + (1-) – = 4
3 + 1 = 4
4 = 4
מכוון שקיבלנו משוואה הנכונה תמיד אז הנקודה נמצאת על הישר.

הטבלה המלאה נראית כך:

x y
0 3
3 0
3- 6
1- 4

עוד באתר:

חיבור וחיסור שברים שליליים

בדף זה ניתן מספר דוגמאות לחיבור וחיסור שברים שליליים או אם תוצאה שלילית.

דרך הפתרון היא כמו של חיבור חיסור מספרים שליליים (שלמים) רק שעלינו להפגין גם ידע בחיבור וחיסור שברים.

אם זאת בתרגילים מסוג זה יש יותר דברים שיכולים להקשות עליכם ביחס לחיבור וחיסור רגיל.

שלבי הפתרון הם:

  1. יצירת מכנה משותף.
  2. חיסור או חיבור המונים כאילו הם מספרים שלמים.
  3. כתיבת התשובה.

דוגמה 1

כאן יש לנו מכנה משותף.
נעבור  לחיסור המונים וכתיבת התשובה.

דוגמאות נוספות לפתרון תרגילים.
הדוגמאות הן הדרך הטובה להבין את דרך הפתרון.
לאחר הדוגמאות תרגילים לפתרון.

דוגמה 2

דוגמה 3

דוגמה 4

דוגמאות לתרגילים הכוללים שברים מעורבים

למדנו כי יש שתי דרכים לחיבור וחיסור מספרים מעורבים.
וגם כאן ניתן לפתור את התרגילים בשתי שיטות.
הסבר לשתי השיטות בקישור שלמעלה או בסרטון שלמטה.

דוגמה 1 (בדרך ראשונה)

דוגמה 2 (בדרך שנייה)

דוגמה 3

תרגילים

תרגיל 1

פתרון
נהפוך את 1 ל 3/3

ונחסר את המונים.

תרגיל 2

פתרון
נחלק את התרגיל ל 2. חיסור השלמים וחיסור השברים בנפרד.

המכנה המשותף הוא 12

המכנה המשותף הוא 12

תרגיל 3

פתרון
נחסר את השלמים בנפרד ואת השברים בנפרד.

תרגיל 4

פתרון
נפריד את השברים והשלמים.

עוד באתר:

משוואת משיק העובר בנקודה שאינה על הפונקציה

שלבי פתרון:

  1. נגדיר כי בנקודת ההשקה מתקיים  x=t ונציב במשוואת הפונקציה. כך נקבל את נקודת ההשקה כשהיא מוגדרת על ידי t.
  2. נגזור את הפונקציה ונציב x= t בנגזרת שמצאנו. כך קיבלנו את שיפוע הפונקציה והמשיק כביטוי של t.
  3. עכשיו יש לנו נקודה (שמצאנו ב 1) ושיפוע (שמצאנו ב 2) שנהם מוגדרים על ידי t. נבנה משוואת ישר משניהם על ידי הנוסחה (y-y1=m(x-x1.
  4. נציב את הנקודה  שאינה על הפונקציה במשוואת המשיק שמצאנו ב 3 ונמצא את t.
  5. כאשר מצאנו את t אנו יודעים את נקודת ההשקה ואת שיפוע המשיק. נמצא את משוואת המשיק בעזרת שיפוע ונקודה.

תרגיל לדוגמה:

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = 3x²-4 ברביע הראשון והעובר בנקודה (4-, 1).

שלב 1: אם ערך ה X של נקודת ההשקה הוא t אז ערך ה Y הוא:
f(t) = 3t²-4
נקודת ההשקה היא (t, 3t²-4).

שלב 2: נגזור את הפונקציה ונמצא את ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
f ' (x) = 6x
f ' (t) = 6t

שלב 3: נבנה את משוואת המשיק בעזרת הנקודה (t, 3t²-4) ושיפוע 6t.
(y-y1=m(x-x1
(y-3t²+4 = 6t (x-t
y-3t²+4 = 6tx-6t² / +3t² -4
y= 6tx -3t² -4

שלב 4: נציב את הנקודה (4-, 1) במשוואת הישר y= 6tx -3t² -4
4+ / 4- = 6t -3t² -4
6t-3t² = 0
3t( 2 -t ) =0
t=0  או t=2
מכוון שנקודת ההשקה ברביע הראשון t=2.

שלב 5: מציאת משוואת המשיק.
נקודת ההשקה היא (t, 3t²-4) ולאחר שנציב t=2 נקבל  (2,8).
שיפוע המשיק     f ' (t) = 6t  לאחר שנציב t=2 נקבל f ' (2) = 12
משוואת המשיק העובר בנקודה (2,8) ושיפועו 12 היא:
(y-y1=m(x-x1
(y-8 = 12 (x-2
y-8 =12x-24  /+8
y=12x -16   – זו משוואת המשיק.

משוואת משיק לפונקציה בנקודה שאינה על הפונקציה

משוואת משיק לפונקציה בנקודה שאינה על הפונקציה

עוד באתר:

שטח גזרה ואורך קשת במעגל

כאשר נעשה סיבוב שלם סביב מרכז המעגל אנו נעבור 360 מעלות.
נוח לראות זאת כאשר מעבירים קוטר, קוטר במעגל יוצר שתי זוויות של 180 מעלות.

כאשר אנו רוצים לחשב שטח של גזרה או אורך של קשת נחלק את גודל הזווית היוצרת את הגזרה ב 360 ונכפיל בהיקף המעגל על מנת למצוא את אורך הקשת או נכפיל בשטח המעגל על מנת למצוא את שטח הגזרה.

למשל:
ידוע כי היקפו של מעגל הוא 12 סנטימטר ושטחו של המעגל הוא 14 סמ"ר.
במעגל זה יוצרים זווית מרכזית שגודלה 60 מעלות.
מה גודלה של הקשת עליה נשענת הזווית (הקו המסומן באדום)?
מה שטח הגזרה עליה נשענת הזווית (השטח המסומן בכחול)?

פתרון
אורך הקשת
היקף המעגל הוא 12 סנטימטר.
החלק של הזווית הזו מתוך ההיקף הוא:

אורך הקשת הוא 1/6 מתוך 12.
לכן אורך הקשת הוא:

תשובה: אורך הקשת הוא 2 סנטימטר.

הערה: היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה על ידי תרגיל אחד:

חישוב שטח הגזרה
החלק של שטח הזרה מהמעגל הוא 1/6.
לכן שטח הגזרה הוא:

תשובה: שטח הגזרה הוא 2.33 סמ"ר.

תרגילים

תרגיל 1
במעגל שרדיוסו 5 סנטימטר יוצרים זווית מרכזית שגודלה 120 מעלות.
חשבו את שטח הגזרה ואורך הקשת עליה נשענת הזווית.

פתרון
החלק של הזווית מתוך שטח המעגל והיקף המעגל הוא:

על מנת למצוא את שטח הגזרה נחשב את שטח העיגול.
הנוסחה היא:
S=₶r²
S = 3.14 * 5 * 5 = 78.5

שטח הגזרה הוא 1/3 מהשטח הכללי, לכן:

ניתן להגיע לאותה תוצאה על ידי התרגיל:

חישוב אורך הקשת
עלינו למצוא את היקף המעגל.
הנוסחה היא:
P=2₶R
P = 2 * 3.14 * 5 = 31.4

אורך הקשת הוא הוא 1/3 מהיקף המעגל לכן:

ניתן לבצע את החישוב גם על ידי התרגיל:

תרגיל 2
ממעגל שרדיוסו 3 סנטימטר חותכים חלק הנשען על זווית מרכזית בגודל 30 מעלות.
חשבו את שטח המעגל שנותר ואת היקף המעגל שנותר.

פתרון

את התרגיל הזה ניתן לפתור בשתי דרכים אני ממליץ לדעת את שתיהן.

החלק אותו הסירו מהמעגל הוא:

חישוב שטח הגזרה
נחשב את שטח המעגל
S=₶r²
S = 3.14 * 3 *3 = 28.26

לכן שטח הגזרה שהוסרה הוא:

2.355 סמ"ר הוסר מהמעגל. לכן השטח שנשאר הוא:
25.905 = 2.355 – 28.26

תשובה: שטח המעגל שנשאר הוא 25.905.

חישוב היקף הקשת שנותרה
היקף המעגל הוא:
P = 2 * 3.14 * 3 = 18.84

היקף המעגל שהוסר הוא:

לכן היקף המעגל שנותר הוא:
17.27 = 1.57 – 18.84

דרך שנייה לפתרון התרגיל
הסירו מהמעגל 30 מעלות.
לכן נותרה במעגל זווית של:

340 = 20 – 360

לכן החלק היחסי של מה שנשאר במעגל הוא:

אנו יודעים כי:
שטח העיגול 28.26 סמ"ר.
היקף המעגל  18.84 סנטימטר.

לכן שטח הגזרה שנותרה:

היקף הקשת שנותרה:

בדרך השנייה חישבנו ישר את מה שנשאר.
בדרך הראשונה חישבנו את מה שהוסר ואז החסרנו את זה מהמעגל השלם.

עוד באתר:

שבר חלקי במונה או במכנה

על מנת לפתור תרגילים בדף זה עליכם לדעת לפתור שברים הנראים כך:

או כך:

אם אינכם יודעים לעשות זאת עליכם ללמוד זאת לפני שאתם פותרים תרגילים בדף זה.
ללמוד ניתן בדף שבר בתוך שבר.

שבר חלקי במונה או במכנה

כיצד מתקדמים מבחינה אלגברית עם שברים הנראים כך:

התשובה היא שתמיד יוצרים מכנה משותף במקום שבו יש שבר חלקי.
במקרה זה ניצור מכנה משותף במונה.

עושים זאת על ידי הכפלה וחילוק של 2 ב x.
כך יראה המונה בלבד.

נחזור לתרגיל המקורי.
נקבל מבנה של "שלישיה" ונפתור כמו שאנו יודעים.

תרגילים

תרגיל 1

פתרון
עלינו ליצור מכנה משותף במכנה.

עושים זאת על ידי הכפלה וחילוק של האיבר ללא מכנה (x) במכנה של האיבר השני (במקרה זה המכנה הוא x).
כך יראה המכנה בלבד:

וכך יראה פתרון התרגיל כולו:

תרגיל 2

פתרון
עלינו להכפיל ולחלק את המספר 5 המופיע במונה ב 2x – 1.

הפיתוח האלגברי של המונה בלבד יראה כך:

נציב את התוצאה במונה של התרגיל המקורי ונקבל:

תרגיל 3

פתרון
עלינו להכפיל ולחלק את המספר 7 הנמצא במונה.
הפיתוח האלגברי של מונה התרגיל יראה כך:

נציב את התוצאה שקיבלנו במונה של התרגיל המקורי ונפתור.

תרגיל 4

פתרון
עלינו לכפיל ולחלק את האיבר השמאלי שבמונה.
מונה התרגיל יראה כך.
ניצור מכנה משותף:

נהפוך את המכנה והמונה לפשוטים יותר.

נציב את התוצאה שקיבלנו במונה של התרגיל המקורי

עוד באתר:

נגזרת a: פונקציה מעריכית שבסיסה שונה מ e

עד עכשיו למדנו לגזור פונקציות שבסיס החזקה שלהם היה e.
בדף זה נלמד כיצד לגזור פונקציות שבסיס החזקה שלהם יש מספר חיובי כלשהו.

נוסחת הנגזרת:
ax) ' = ax ln a)

למשל:
f (x) = 4x
f ' (x) = 4x * ln 4

כאשר זו נגזרת מורכבת הנוסחה היא:
af(x) = af (x) * f ' (x) * ln a

למשל:
f (x) = 72x
f ' (x) = 72x * 2 * ln 7

תרגילים

גזרו את הפונקציות הבאות:

  1. 5x
  2. 62x – 1
  3. x³ * 23 -2x

פתרונות

עבור 5x
f ' (x) = 5x * ln 5

עבור  62x – 1
f ' (x) = 62x – 1 * ln 6 * 2

עבור  x³ * 23 -2x
זו נגזרת מכפלה.
הנגזרת של האיבר x³ * 23 -2x לבדו היא:
g ' (x) =  23 -2x * ln 2 * -2
לכן הנגזרת של הפונקציה כולה היא:
f ' (x) = x³ * 23 -2x * ln 2 * -2  +  3x² * 23 -2x

עוד באתר:

אינטגרל a: פונקציה מעריכית שבסיסה שונה מ e

עד עכשיו למדנו כיצד מבצעים אינטגרל לפונקציה מעריכית שבסיסה e.
למדנו גם כיצד לגזור פונקציית חזקה שבסיסה a.
בדף זה נלמד את הנוסחאות לאינטגרל מערכי שבסיסו שונה מ a.

למשל:

עבור פונקציה מורכבת:

למשל:

תרגילים

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון

תרגיל 3

פתרון

תרגיל 4

פתרון
על מנת לחשב את האינטגרל עלינו לפצל אותו לשני חלקים:

את הביטוי מימין ניתן גם לכתוב בצורה הזו:
(אל המינוס לא נתייחס אלא נוציא אותו בהמשך מחוץ לאינטגרל).

ועכשיו נחשב את האינטגרל:

תרגיל 5

פתרון
נכתוב את האינטגרל בצורה של חזקה ואז נחשב.

עוד באתר:

מציאת אינטגרל לפונקציה מורכבת על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית

בדף זה נלמד כיצד מחשבים אינטגרל של נגזרת מורכבת כאשר הנגזרת הפנימית אינה קו ישר.

לא כל אינטגרל של פונקציה מורכבת נלמד לחשב בצורה הזו.
אלא רק אינטגרלים בהם יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.

הכלל בו נשתמש הוא:
אם אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x אז:

[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x∫

מצד שמאל של המשוואה יש לנו פונקציה מורכבת כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית.
ומצד ימין את תוצאת האינטגרל.

דפים קשורים:

דוגמאות

דוגמה 1 (פולינום)

פתרון
נשים לב ש 10x הוא הנגזרת הפנימית של הפונקציה הפנימית:
2x5 – 6
לכן זה מתאים לנו לנוסחה וחישוב האינטגרל יעשה כך:

תרגיל 2 (הוצאת קבוע)

פתרון
הנגזרת של הפונקציה הפנימית היא 3x²- ובחוץ יש לנו 7x².
מה עושים?
כאשר ההבדל בין מה שיש למה שאנו רוצים שיהיה הוא רק מספר ניתן להוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל על מנת להתאים את הפונקציה.

עכשיו בחוץ יש לנו את הנגזרת של הפונקציה הפנימית וניתן לחשב את האינטגרל.

דוגמה 3 (טריגונומטרית)

פתרון
הנגזרת של cos x היא sin x-.
לכן על מנת שזו תהיה מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית שלה עלינו להוציא מינוס מחוץ לאינטגרל:

עכשיו נוכל להשתמש בנוסחה שלמדנו בדף זה:

דוגמה 4 (רציונלית)

פתרון
המונה 2x – 3 הוא הנגזרת הפנימית של הפונקציה שבמכנה.
לכן:

*הערה: שימו לב למינוס המופיע במונה של התשובה.
משוואה שיכולה לעזור בהבנת האינטגרל היא המשוואה הזו:

תרגילים

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון
הנגזרת של הפונקציה הפנימית היא 2x. לכן נוציא קבוע על מנת שנקבל אותה:

ועכשיו נמשיך לאינטגרל:

תרגיל 3

פתרון
הפונקציה הפנימית היא x² והנגזרת שלה היא 2x.
לכן ניתן להשתמש בנוסחה ונקבל:

תרגיל 4

פתרון
הנגזרת הפנימית היא 2x- ואין לנו את זה.
לכן נוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל:

ועכשיו נוכל להמשיך:

תרגיל 5

פתרון
הנגזרת של 2cosx- היא 2sinx.
לכן על מנת להתאים את התרגיל לנוסחה עלינו להוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל.

עכשיו אנו יכולים להשתמש בנוסחת האינטגרל של שורש.

תרגיל 6

פתרון
הנגזרת של sinx היא cosx- ולכן יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.
כמו כן:

לכן האינטגרל שלנו הוא:

למי שקשה עם האינטגרל הזה אני אזכיר כי:

אינטגרל של פונקציה מורכבת

יש שני סוגים לאינטגרל של פונקציה מורכבת:

  1. הפונקציה הפנימית היא קו ישר.
  2. הפונקציה הפנימית היא לא קו ישר.

בדף זה נלמד לפתור אינטגרלים בהם הפונקציה הפנימית היא קו ישר.

דפים קשורים:

שתי דרכים לחישוב אינטגרל

יש שתי דרכים לחישוב אינטגרל של פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא משוואת ישר.

  1. דרך אינטואיטיבית מעשית וקלה.
  2. על פי נוסחה. בדרך זו צריך להקפיד שהולכים על פי הנוסחה כי יש תרגילים מבלבלים (לדוגמה תרגיל 3 בחלק של התרגילים).

דרך אינטואיטיבית ומעשית

בדרך זו נבצע אינטגרל "מבלי להתייחס לכך שזו פונקציה מורכבת".
ולאחר מיכן נחלק בנגזרת הפנימית (המקדם של x).

למשל, חשבו את האינטגרל:

ללא התייחסות לפונקציה הפנימית האינטגרל הוא:

נחלק בנגזרת הפנימית (המקדם של x) ונקבל את התשובה הסופית.

ניתן דוגמאות נוספות על פי הפונקציות השונות.

דוגמה 1 (פולינום)

דוגמה 2 (רציונלית מורכבת)
כאשר יש לנו חזקה במונה נהפוך אותה לחזקה במכנה.

ועכשיו נעשה אינטגרל תוך התעלמות מהפונקציה הפנימית ולאחר מיכן נחלק במקדם של x שהוא 8 ונקבל את התשובה.

התשובה הסופית מימין

התשובה הסופית מימין

דוגמה 3 (שורש מורכבת)

הפתרון מימין

הפתרון מימין

דוגמה 4 (טריגונומטרית מורכבת)

הפתרון מימין

הפתרון מימין

דרך הנוסחה

אם (f  (x) = F ' (x
כלומר אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x.
או בניסוח אחר (f(x היא הנגזרת של (F (x

אז ניתן להשתמש בכלל האינטגרציה הבא:

אינטגרל של פונקציה מורכבת

כלומר, על מנת לחשב אינטגרל נעשה אינטגרל לפונקציה החיצונית ונחלק בנגזרת של הפונקציה הפנימית.

למשל:
cos (4x -2) dx∫

פתרון
נזכור כי
cos x dx= sin x∫

במקרה שלנו m =4 ולכן הפתרון הוא:
cos (4x -2) dx = sin (4x -2) / 4∫

3 הערות:

1.נוסחה זו מופיעה בדף הנוסחאות בבגרות.
2.שימו לב שאנו עושים כאן (ולא במקרה) בדיוק את הפעולה ההפוכה למה שעשינו בנגזרת של פונקציה מורכבת.
בנגזרת של פונקציה מורכבת אנו מכפילים בנגזרת הפנימית ואילו כאן אנו מחלקים בנגזרת הפנימית.
זה הכלל של גזרת מורכבת (כלל השרשרת):
(f (g(x) ]' = f ' (g(x) * g ' (x] 3. אני באופן אישי פותר שאלות מהסוג הזה בעזרת ההיגיון ולא בעזרת הכלל. ואלמד אותכם כיצד עושים זאת.
במקרים מסוימים ההיגיון פשוט יותר מהכלל.

תרגילים

תרגיל 1

פתרון
נזכור כי הנוסחה של אינטגרל שורש רגיל היא:

אינטגרל לפונקציית שורש

לכן על מנת לחשב את האינטגרל שלנו נעשה בדיוק את אותו דבר, רק שגם נחלק ב m = 3.

תרגיל 2
(sin (2x + 5∫

פתרון
נזכור כי:
sin x =  – cosx + c∫
לכן נעשה בדיוק אותו דבר, רק נחלק ב m = 2.

תרגיל 3
7x – 1)³ dx)∫

פתרון
חלק ממכם בוודאי יפתרו את התרגיל בצורה הבאה:

אבל זה לא נכון.
זה לא נכון הנגזרת של 7x – 1) 4)
היא לא7x – 1)³).
אלה היא:

לכן כפעולה המקדימה לאינטגרל עלינו להוציא את המספר 4 מחוץ לסוגריים בצורה הזו:

וחישוב האינטגרל המלא יראה כך:

תרגיל 4

פתרון
כאשר יש לנו קבוע שמפריע לנו לבצע את האינטגרל על פי הנוסחה נוציא את הקבוע מחוץ לאינטגרל בצורה הזו.

ואז נחשב את האינטגרל על פי הנוסחה:

כיצד ניתן לחשב את האינטגרלים האלו ללא נוסחה

אני מחשב אינטגרלים מהסוג הזה בעזרת ההיגיון ולא בעזרת הנוסחה.
הבנת ההיגיון, בניגוד לשימוש בנוסחה על ידי הצבה ללא הבנת ההיגיון תוכל לעזור לכם לדעת שאתם לא טועים בהצבה בנוסחה וגם תעזור לכם לפתור אינטגרלים של פונקציות מורכבות בהם הפונקציה הפנימית אינה קו ישר.

אני אפתור כאן את אותם תרגילים המופיעים למעלה בעזרת ההיגיון:

תרגיל 1

פתרון
נכתוב את התרגיל בצורה של חזקה.

דבר ראשון שנחשוב עליו הוא החזקה.
איזו חזקה אנו נגזור ונגיע אל חזקת 0.5- ?
חזקת 0.5
לכן נרשום את הבסיס לתשובה שלנו:

3x -1)0.5)

ועכשיו מה מפריע לנו בביטוי הזה כאשר נגזור אותו?
מפריע לנו שכאשר נגזור אותו יהיה לנו 0.5 * 3 במונה.
בגלל החזקה ובגלל המקדם של x.
הנגזרת של הביטוי כמו שהוא היא:

לכן עלינו לחלק את הביטוי ב 0.5 * 3.
וזו תהיה התשובה:

תרגיל 2

(sin (2x + 5∫

פתרון
אנחנו חייבים שיהיה לנו בפתרון
(cos(2x + 5

וכאשר נגזור את זה מה נקבל?

לכן עלינו לחלק ב 2- על מנת לקבל את התשובה הנכונה.

תרגיל 3
7x – 1)³ dx)∫

פתרון
אנו חושבים קודם כל על החזקה. לכן ברור שאנו צריכים את הביטוי בתוך הסוגריים בחזקת 4.

7x – 1) 4)

מה נקבל שנגזור את הביטוי הזה?

כלומר יש לנו 7*4 מיותרים.
לכן נחלק ב 4*7 והתשובה היא:

* דרך הפתרון של תרגיל 4 דומה מאוד לדרך של תרגיל 1.

אינטגרל מסוים וחישוב שטחים לפונקציית שורש

בדף אינטגרל של פונקציית שורש למדנו לחשב אינטגרלים.
כאן נלך צעד נוסף ונלמד לחשב אינטגרל מסוים ולאחר מיכן נפתור תרגילי חישוב שטחים.

אינטגרל מסוים

הנוסחה הבסיסית לחשוב אינטגרל מסוים היא:

תרגיל 1

פתרון
נהפוך את השורש לפונקציית פולינום:

נבצע אינטגרל, ונציב את התחומים.


תרגיל 2

פתרון

בתרגיל זה יש לנו פונקציה מורכבת בתוך השורש.
הפונקציה היא  f(x) = x + 1.
לכן נציב f(x) = t , כלומר x + 1 = t
נגזור את שני האגפים, נקבל:
dx = dt

הערה: מכיוון שזהו אינטגרל מסוים , גבולות האינטגרל גם ישתנו בהתאם להצבה.

נציב באינטגרל:

נפתור את האינטגרל לפי t :


תשובה:

חישובי שטחים

תרגיל 3
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה:   ,
לבין הישר:  .

נתון כי נקודות החיתוך הן  x1 = 3 , x2 = 6.

פתרון

השטח חסום מלמטה ע"י הישר , ומלמעלה ע"י הפונקציה.
לכן ניתן לבטא את השטח באמצעות חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
נקודות החיתוך בין הפונקציה לישר נתונות לנו בשאלה.
לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

חישוב האינטגרל:
א. הצבה:
נרצה להשתמש בהצבה t = x – 2.
לכן נסדר את הביטוי בצורה הבאה:

(אם נפתח חזרה את הסוגריים נקבל בדיוק אותו ביטוי).

כעת נציב: t = x – 2.
dx = dt.
יש לזכור לשנות את הגבולות בהתאם.
נקבל:

ב. פתרון האינטגרל לפי t :


כצפוי, קיבלנו מספר שלילי , מכיוון שהשטח נמצא מתחת לציר x.
לכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 1.

תרגיל 4
חשבו את השטח המוגבל ע"י הפונקציה f(x) = 1/√x ,
הישרים y = 1 , y = 0.5 ,  וציר y.

פתרון

בתרגיל זה אנו צריכים לחלק את השטח לשני שטחים נפרדים.
זאת מכיוון שהוא חסום ע"י יותר מפונקציה אחת.
1. מלבן – חסום ע"י הישרים  y = 1, y = 0.5.
2.שטח חסום בין הישר לפונקציה –  חסום ע"י הפונקציה f(x) = 1/√x והישר y = 0.5.

קודם כל נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה לישרים (אנו נזדקק להן):
א. עם הישר y = 1:

x = 1√
x = 1

ב. עם הישר y = 0.5:

x = 2√
x = 4

נחשב כל שטח בנפרד – התשובה תהיה סכום השטחים:

1. מלבן :
על מנת לחשב את שטח המלבן לא נצטרך לבצע אינטגרל.
(ניתן לחשב ע"י אינטגרל, אבל במקרה זה אין צורך)
נשתמש בנוסחה לשטח מלבן :  גובה*בסיס = S

 שטח המלבן הוא : S1 = 1*0.5 = 0.5

 

2. השטח החסום בין הישר לפונקציה :
נקודות החיתוך הן : x = 1 , x = 4

לכן השטח ניתן לחישוב ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח הכלוא:


לכן S2 = 0.5

חישבנו כל שטח בנפרד – רק נשאר לנו לסכום את שני השטחים.
לכן השטח הכולל הוא :
Stot = S1 + S2 = 0.5 + 0.5 = 1

תשובה : השטח החסום הוא 1.

תרגיל 8

מעבירים לפונקציה משיק בנקודה x = 0.
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק, והישר x = 8.

פתרון

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = 0 בפונקציה.

f(0) = √(0+1) = 1

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (0 , 1)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.

נציב את x = 0 בנגזרת הפונקציה:
f ' (0) = 1/2
כלומר: m = 1/2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y= m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 1 = 0.5*(x – 0
y – 1  = 0.5x
y = 0.5x +1

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק , נחשב את השטח הכלוא.
השטח חסום מלמטה ע"י הישר , ומלמעלה ע"י הפונקציה.
לכן ניתן לבטא את השטח באמצעות חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
גבולות האינטגרל הם x = 0 (נק' ההשקה) והישר x = 8.

לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

חישוב האינטגרל:
א. הצבה:

נציב:  x + 1 = t
ואז מתקיים : x = t – 1.
dx = dt.

הערה: יש לזכור לשנות את הגבולות בהתאם להצבה.

נציב באינטגרל ונקבל:

ב. חישוב האינטגרל לפי t:

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 6.6667.

 

תרגיל 4  (עם פרמטר)

א. הביעו באמצעות הפרמטר c את השטח הכלוא בין הפונקציה, ציר x , והישרים   : x = 4 , x = 7.
ב. נתון כי השטח הנ"ל שווה ל – 2 . מצאו את c.

(הערה: הניחו כי הפונקציה מוגדרת בתחום הדרוש).

פתרון

א. השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל ע"י הצבה:
נציב:  t = x + c
מתקיים : dx = dt.
גבולות האינטגרל משתנים בהתאם:
-התחתון – 4 + c
-העליון –  7 + c

נציב באינטגרל ונקבל:

נפתור את האינטגרל לפי t :


ב. מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 2.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:



נעלה בריבוע את שני האגפים , נפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר:



נעלה בריבוע את שני האגפים:
c + 4 = 1

תשובה: c = -3

עוד באתר: