משולש גיאומטריה אנליטית סיכום

בדף זה נסכם ונעבור על סוגים מרכזיים של שאלות על משולשים בגיאומטריה אנליטית.
לאחר הסיכום מופיעים תרגילים עם פתרונות מלאים.

חלקי הדף הם:

  1. שאלות על משולש כללי.
  2. שאלות על משולש שווה שוקיים.
  3. שאלות על משולש ישר זווית.
  4. תרגילים.

משולש

סוג 1: מציאת גובה ותיכון על פי קודקודים
אם נתונים 3 קודקודי משולש.
ניתן למצוא משוואת תיכון ומשוואה גובה.

את התיכון AE נמצא על ידי:

  1. מציאת הנקודה E על פי אמצע בין שתי  נקודות (אמצע BC).
  2. מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות (הנקודות A,E).

את הגובה AD נמצא על ידי:

  1. מציאת שיפוע BC על פי שתי נקודות.
  2. AD מאונך ל BC לכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.  כך נמצא את שיפוע AD.
  3. נמצא את משוואת AD על פי שיפוע שמצאנו ב 2 והנקודה A.

משולש שווה שוקיים

סוג 1: אם נתונים שני קודקודים ומידע על הקודקוד השלישי ניתן למצוא את הקודקוד השלישי

המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (AB = AC).
הנקודות A,B הן נקודות ידועות.
הנקודה C נמצאת על הישר y = x – 3.
מצאו את הנקודה C.

פתרון

  1. מגדירים את הנקודה C בעזרת משתנה אחד (C (x1,  x1 – 3
  2. מחשבים את המרחק בין AB
  3. מציבים בנוסחת המרחק בין שתי נקודות את הנקודות A ו C. מרחק זה שווה למרחק AB. לכן זו משוואה עם נעלם אחד ואנו יכולים למצוא את xואת הנקודה C.

סוג 2: אם ידועים שני קודקודי הבסיס ניתן למצוא את משוואת הגובה לבסיס. 
ואם ידוע גם אורך השוק ניתן למצוא את קודקוד הראש.

משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
הקודקודים B,C ידועים.
1.מצאו את משוואת הגובה AD.
2.אם ידוע כי אורך הצלע AB הוא 10√. מצאו את הקודקוד A.

פתרון

  1. הנקודה D היא אמצע BC לכן ניתן למצוא אותה.
  2. הישר AD מאונך ל BC לכן ניתן למצוא את השיפוע של AD.
  3. נמצא את משוואת AD על פי הנקודה D והשיפוע שמצאנו ב 2.

חלק שני

  1. הנקודה A נמצאת על משוואת הישר AD שמצאנו, לכן ניתן להגדיר אותה באמצעות משתנה אחד.
  2. בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות נבנה משוואה המייצגת את המרחק בין A ל B. זו  משוואה עם נעלם שניתן לפתור.

סוג 3: הוכחה שמשולש הוא שווה שוקיים על פי הקודקודים שלו
אם נתונים 3 נקודות שהם קודקודי המשולש ניתן להוכיח שהמשולש הוא שווה שוקיים.

דרך ראשונה (מהירה)
מוכיחים שהאורך של AB שווה לאורך של AC.

דרך שנייה (ארוכה)

  1. מוצאים את משוואת בסיס המשולש על פי שתי נקודות.
  2. מוצאים את משוואת הגובה לבסיס על פי שיפוע ונקודה.  (הנקודה היא קודקוד המשולש והשיפוע הוא השיפוע המאונך למשוואת הבסיס)
  3. מוצאים את נקודת החיתוך של הגובה והבסיס.
  4. מראים שנקודת החיתוך שמצאנו היא גם אמצע הקטע של הבסיס ולכן הגובה הוא גם תיכון.
  5. אם הגובה הוא תיכון אז המשולש שווה שוקיים.

משולש ישר זווית

סוג 1: אם נתונה משוואת ניצב ונקודה שאינה על הניצב ניתן למצוא את משוואת הניצב השני

משולש ABC הוא משולש ישר זווית (B = 90).
(A (-3, 4
מצאו את משוואת הישר AB.

פתרון

  1. AB מאונך ל BC לכן ניתן למצוא את שיפוע AB.
  2. מוצאים את משוואת AB על פי שיפוע ונקודה.

סוג 2: נותנים שתי נקודות הנמצאות על ניצב אחד ניתן למצוא את משוואת הניצב השני.

משולש ABC הוא משולש ישר זווית (B = 90).
(A (-3, 4)  B (1,2
מצאו את משוואת BC.

  1. ניתן למצוא את שיפוע AB על פי שתי נקודות.
  2. BC מאונך ל AB לכן ניתן למצוא את שיפוע BC.
  3. מוצאים את משוואת BC על פי שיפוע ונקודה.

4.תרגילים

משולש ישר זווית

תרגיל 1

משוואת אחד מהניצבים במשולש ישר זווית היא y= -x+1.
ידוע כי הניצב השני עובר דרך הנקודה (0,5). מצאו את משוואת הניצב השני.

פתרון
נגדיר את שיפוע הניצב השני כ m. שיפוע הניצב הראשון הוא 1-.
m*-1=-1
m=1
נציב את הנתונים במשוואה (y-y1=m(x-x1 .
(y-5 = 1(x-0
y-5 = x /+5
y=x+5
תשובה: משוואת הניצב השני היא y=x+5.

משוואת הניצב y=x+5, נקודה דרכה הוא עובר והניצב השני במשולש

משוואת הניצב y=x+5, נקודה דרכה הוא עובר והניצב השני במשולש

תרגיל 2

במשולש ישר זווית ΔABC הזווית B=90∠.
שניים מהקודקודים הם (A(2,12),  C(14,4.
הנקודה B נמצאת על הישר y=0.5x.
מצאו את הנקודה B.

שרטוט התרגיל, גיאומטריה אנליטית ומשולש

תשובה סופית: (B(4,2

פתרון מלא
אם ערך ה x בנקודה B הוא xb אז ערך ה y הוא:
y = 0.5xb
( B (xb, 0.5xb
הישרים AB⊥BC ולכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
שיפוע AB:
(Mab = (12 – 0.5xb) / (2-xb
שיפוע BC:
(MBC = (4-0.5xb) / (14-xb
MBC * Mab = -1
כאשר נפתור את המשוואה הזו נקבל:
xb = 4
הנקודה B נמצאת על הישר y=0.5x
yb= 0.5xb= 0.5*4=2
תשובה: הנקודה (B(4,2.

המשולש נראה כך

המשולש נראה כך

 

משולש שווה שוקיים

תרגיל 3

במשולש שווה שוקיים ΔABC (צלע AB=AC) משוואה הצלע AB היא y=2x+4. משוואת הצלע BC היא y=-x-2.
קודקוד (A(4,12.
מצאו את קודקוד C.

שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

פתרון
שלב 1: נמצא את קודקד B.
2x+4 = -x-2 /+x -4
3x =-6 /:3
x=-2
נמצא את ערך ה y בנקודה B.
y=2*-2 +4=0
(B(-2,0

שלב 2: נמצא את אורך AB. נשתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות.
(A(4,12)   B(-2,0
d²=(x1-x2)² + (y1-y2
d² = (4+2)² + (12-0)²
d² = 36+144=180
d= √180

שלב 3: נמצא את קודקוד C.
או יודעים כי קודקוד C נמצא על הצלע BC שהמשוואה שלה היא y=-x-2.
לכן אם ערך ה X של הנקודה C הוא x אז ערך ה y הוא:
y=-x-2
לכן הנקודה (C(x, -x-2
אנו גם יודעים שהמרחק של הנקודה C מהנקודה A הוא 180√.
נציב את הנתונים הללו במשוואת המרחק AC.
(A(4,12) C(x, -x-2
x+2+12)² + (4-x)² = 180)
x²+28x+196 +16-8x+x²=180
2x²+20x+212 = 180 /-180
2x² +20x+32 =0 /:2
x² +10x +16 =0
x+2) (x+8) =0)
x=-2, x=-8.
שימו לב: x=-2 זו הנקודה B שכבר מצאנו. לכן הנקודה C מקיימת x=-8.
נציב x=-8 במשוואת הישר BC שהיא y=-x-2.
y= 8-2=6
(6, 8-).
תשובה: הנקודה (6, 8-)C.

שרטוט פתרון התרגיל

פתרון התרגיל

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים AB=AC ידוע כי (B(2,1 וכי חוצה הזווית מקודקוד A פוגש את הצלע BC בנקודה בנקודה (D(0,0

  1. מבלי לפתור את השאלה נסו להעריך איפה נמצא קודוקד C.
  2. מצאו את קודקוד C.
  3. מצאו את שיפוע הישר AD.

פתרון
א. (D(0,0 היא אמצע הקטע BC ואנו רואים שביחס ל (B(2,1 ערכי (D(0,0 יורדים לאורך ציר ה y וציר ה x. לכן עד שנגיע ל C הערכים הללו צריכים להמשיך לרדת ונקודה C צריכה להיות ממוקמת ברביע השלישי עם ערכי x ן y שליליים.

ב. נניח כי הנקודה C היא (C(x,y.
על פי הנוסחה לאמצע קטע נקבל:
0 =2 / (2+x)
x+2=0
x=-2
0 = 2 / (1+y)
y+1=0
y=-1
תשובה: (C(-2,-1

ג. במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית אל הבסיס הוא גם גובה. לכן AD מאונך ל BC.
נמצא את שיפוע BC (נגדיר אותו כ m) על פי הנוסחה למציאת שיפוע על פי 2 נקודות.
(C(-2,-1), B(2,1
m = (1+1) / (2+2)=2/4=0.5
אם שיפוע AD הוא v אז מתקיים:
0.5v=-1 / *2
v=-2
תשובה: שיפוע AD הוא 2-.

שרטוט התרגיל

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.