מציאת נקודות סימטריות בפרבולה

יש שתי שיטות למצוא נקודות סימטריות בפרבולה.
בשיטה היותר נפוצה משתמשים בכך שלנקודות סימטריות בפרבולה יש ערכי y שווים.

נסתכל על שתי הנקודות הסימטריות הללו.

נקודות סימטריות על פרבולה

ניתן להעביר בניהם את הישר y= 3. כלומר בשתי הנקודות ערך ה y שווה ל 3.

נקודות סימטריות על פרבולה

גם אם הדוגמה לא מספיק ברורה את הכלל אתם צריכים לזכור.
לנקודות סימטריות בפרבולה יש את אותו ערך y

תרגיל 1

על הפרבולה  f(x) = x² -4x + 5  נמצאת הנקודה  (10, 5).
מצאו את הנקודה הסימטרית לנקודה זו.

פתרון
ערך ה y בנקודה שקיבלנו הוא 10. לכן נציב f (x) = 10 במשוואת הפרבולה.
x² – 4x + 5 = 10   / -10
x² – 4x – 5 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה על ידי נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
כאן אפתור על ידי פירוק טרינום.
x² – 4x – 5 = 0
x² + x – 5x – 5 = 0
x (x + 1) -5 (x + 1) = 0
x – 5) (x + 1) = 0)

הפתרונות הם x = 5,   x = -1.
x = 5 זו הנקודה שקיבלנו בנתונים (10, 5).
x = -1 זה הערך הנוסף שחיפשנו.

אנו יודעים כי ערך ה y בנקודה x = -1 הוא 10 (זה מה שהצבנו במשוואה).
ולכן הנקודה הסימטרית היא (10, 1-).

כך נראה הגרף עם הנקודות הסימטריות.

גרף הפרבולה עם הנקודות הסימטריות

תרגיל 2

על הפרבולה f (x) = – x² +6x – 2  נמצאת הנקודה שערך ה x שלה הוא x = 4.
מצאו את הנקודה הסימטרית לנקודה זו.
(6, 4).

פתרון
בתרגיל זה אנחנו צריכים לבצע שלב אחד יותר מבתרגיל הקודם.
עלינו למצוא את ערך ה y של הנקודה שקיבלנו.
נציב x = 4 במשוואת הפרבולה ונקבל.
f (4) = -4² + 6*4 – 2 = -16+ 24 – 2 = 6
כלומר הנקודה הראשונה היא (6, 4).

בנקודה הסימטרית לנקודה הראשונה מתקיים y=6
נציב זאת במשוואת הפרבולה ונקבל:
x² +6x – 2 = 6-
x² + 6x – 8  = 0-

קיבלנו משוואה ריבועית, נפתור בעזרת טרינום
x² +2x + 4x – 8 = 0-
x (2 – x) -4(2 – x)= 0
x – 4) (2 – x) = 0 )
הפתרונות הם:
x = 4,  x = 2

x = 4 זו הנקודה שקיבלנו.
x = 2 זו הנקודה המבוקשת.

הנקודה הסימטרית היא (6, 2).

גרף הפרבולה עם שתי הנקודות הסימטריות נראה כך.

גרף הפרבולה עם הנקודות הסימטריות

מציאת נקודות סימטריות כאשר משוואת הפרבולה לא ידועה

לפעמים יבקשו מאיתנו למצוא נקודה סימטרית אך לא נדע את משוואת הפרבולה.
במקרה זה נצטרך לדעת את קודקוד הפרבולה או את קודקוד הפרבולה של הפרבולה.

הפתרון מתבסס על כך שהמרחק על ציר ה x של נקודות סימטריות על הפרבולה מקודקוד הפרבולה או מציר הסימטריה הוא מרחק שווה.

משפט מסובך אבל הדוגמאות יעשו אותו פשוט.
אם נתונה לנו הנקודה (3, 8) וקודקוד הפרבולה נמצא ב x= 6 אז הנקודה הסימטרית חייבת להיות ב x = 4.

נקודה (2, 6-) קודקוד ב x = -1  אז בנקודה הסימטרית x = 4.

נקודה (7, 4-) קודקוד ב x = -2  אז בנקודה הסימטרית x = 0.

נקודה (4, 3-) קודקוד ב x = -8  אז בנקודה הסימטרית x = -13.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.