מציאת נקודות סימטריות בפרבולה

מה הן התכונות של נקודות סימטריות בפרבולה?

  1. לנקודות סימטריות בפרבולה יש את אותו ערך y.
  2. נקודות סימטריות נמצאות באותו מרחק על ציר ה x מקודקוד הפרבולה.

כלומר, אם A ו B הן נקודות סימטריות על פרבולה אז יש להם אותו ערך y וגם מרחק שווה על ציר ה x מנקודת הקודקוד.

יש שתי דרכים להוכיח שנקודות הן סימטריות:

  1. בעזרת משוואת הפרבולה.
  2. בעזרת ערך ה x של קודקוד הפרבולה.

בדף זה נלמד את שתי הדרכים.

1. מציאת נקודות סימטריות כאשר משוואת הפרבולה ידועה

כאשר משוואת הפרבולה ידועה ואנו יודעים נקודה סימטרית אחת. נציב את ערך ה y של הנקודה שאנו יודעים ונקבל את ערך ה x של הנקודה הסימטרית אליה.

בפעולה זו אנו עושים שימוש בתכונה שלנקודות סימטריות בפרבולה יש ערך y שווה.

הסבר מפורט לדרך זו דרך שני התרגילים הבאים.

תרגיל 1

על הפרבולה  f(x) = x² -4x + 5  נמצאת הנקודה  (10, 5).
מצאו את הנקודה הסימטרית לנקודה זו.

פתרון
ערך ה y בנקודה שקיבלנו הוא 10. לכן נציב f (x) = 10 במשוואת הפרבולה.
x² – 4x + 5 = 10   / -10
x² – 4x – 5 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה על ידי נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
כאן אפתור על ידי פירוק טרינום.
x² – 4x – 5 = 0
x² + x – 5x – 5 = 0
x (x + 1) -5 (x + 1) = 0
x – 5) (x + 1) = 0)

הפתרונות הם x = 5,   x = -1.
x = 5 זו הנקודה שקיבלנו בנתונים (10, 5).
x = -1 זה הערך הנוסף שחיפשנו.

אנו יודעים כי ערך ה y בנקודה x = -1 הוא 10 (זה מה שהצבנו במשוואה).
ולכן הנקודה הסימטרית היא (10, 1-).

כך נראה הגרף עם הנקודות הסימטריות.

גרף הפרבולה עם הנקודות הסימטריות

תרגיל 2

על הפרבולה f (x) = – x² +6x – 2  נמצאת הנקודה שערך ה x שלה הוא x = 4.
מצאו את הנקודה הסימטרית לנקודה זו.
(6, 4).

פתרון
בתרגיל זה אנחנו צריכים לבצע שלב אחד יותר מבתרגיל הקודם.
עלינו למצוא את ערך ה y של הנקודה שקיבלנו.
נציב x = 4 במשוואת הפרבולה ונקבל.
f (4) = -4² + 6*4 – 2 = -16+ 24 – 2 = 6
כלומר הנקודה הראשונה היא (6, 4).

בנקודה הסימטרית לנקודה הראשונה מתקיים y=6
נציב זאת במשוואת הפרבולה ונקבל:
x² +6x – 2 = 6-
x² + 6x – 8  = 0-

קיבלנו משוואה ריבועית, נפתור בעזרת טרינום
x² +2x + 4x – 8 = 0-
x (2 – x) -4(2 – x)= 0
x – 4) (2 – x) = 0 )
הפתרונות הם:
x = 4,  x = 2

x = 4 זו הנקודה שקיבלנו.
x = 2 זו הנקודה המבוקשת.

הנקודה הסימטרית היא (6, 2).

גרף הפרבולה עם שתי הנקודות הסימטריות נראה כך.

גרף הפרבולה עם הנקודות הסימטריות

2. מציאת נקודות סימטריות כאשר משוואת הפרבולה לא ידועה

לפעמים יבקשו מאיתנו למצוא נקודה סימטרית אך לא נדע את משוואת הפרבולה.
במקרה זה נצטרך לדעת את קודקוד הפרבולה או את קודקוד הפרבולה של הפרבולה.

הפתרון מתבסס על כך שהמרחק על ציר ה x של נקודות סימטריות על הפרבולה מקודקוד הפרבולה או מציר הסימטריה הוא מרחק שווה.

משפט מסובך אבל הדוגמאות יעשו אותו פשוט.
אם נתונה לנו הנקודה (3, 8) וקודקוד הפרבולה נמצא ב x= 6 אז הנקודה הסימטרית חייבת להיות ב x = 4.

נקודה (2, 6-) קודקוד ב x = -1  אז בנקודה הסימטרית x = 4.

נקודה (7, 4-) קודקוד ב x = -2  אז בנקודה הסימטרית x = 0.

נקודה (4, 3-) קודקוד ב x = -8  אז בנקודה הסימטרית x = -13.

תרגיל 1
הנקודה (A(3, -1 נמצאת על פרבולה שערך ה x של הקודקוד שלה הוא x= 2.
מצאו נקודה נוספת (B) על הפרבולה שערך ה y שלה הוא 1-.

שרטוט הנקודות Aו- B

שרטוט הנקודות Aו- B

פתרון
הנקודות שיש להן ערך y שווה הן סימטריות ביחס ביחס לציר הסימטריה ולערך ה x של הקודקוד.
המרחק על ציר ה x מהנקודה (A(3, -1 אל x= 2 הוא:
1 = 2 – 3.

לכן גם הנקודה המבוקשת נמצאת במרחק 1 מ- x= 2 רק בכיוון השני.
1 = 1 – 2
לכן הנקודה המבוקשת היא (1-, 1).

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

באתר זה פועל צ'אט! (אנושי)
ימים א-ה 8-19 (עם הפסקות)
מענה לשאלות על התכנים באתר.   שאלות קצרות על תכנים מחוץ לאתר.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.