פרבולה סיכום ונוסחאות

בקישורים היוצאים מדף זה תמצאו מידע על כל הנושאים הקשורים לפרבולה.

החלק הראשון של הקישורים הוא בנושאים בסיסיים של פרבולה.
החלק השני הוא בנושאים יותר מתקדמים.

לאחר הקישורים מופיע סיכום של החומר בנושא פרבולה.

  1. קודקוד פרבולה.
  2. ציר הסימטריה.
  3. נקודות חיתוך עם ציר ה- Y וה X
  4. פרבולה ישרה (מחייכת) הפוכה (בוכה) – מינימום מקסימום.
  5. פרבולה חיובית או שלילית.
  6. פרבולה עולה או יורדת.
  7. שרטוט גרף פרבולה.

דפים מתקדמים יותר:

  1. מציאת נקודות החיתוך של פרבולה וישר.
  2. שתי פרבולות חיתוך ואי שוויונות.
  3. מציאת נקודות סימטריות.
  4. הזזה של פרבולה.
  5. הצגה סטנדרטית, קודקודית ומכפלה.
  6. בעיות בנייה של פרבולה
  7. פרבולה עם פרמטרים חסרים.

סיכום בנושא פרבולה

1.כיצד יודעים עם נקודה נמצאת על פרבולה?
מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הפרבולה.
אם יוצא משהו שהוא תמיד נכון אז הנקודה על הפרבולה.
אם יוצא משהו שהוא תמיד לא נכון אז הנקודה לא על הפרבולה.

למשל: האם הנקודה (2,2) נמצאת על הפרבולה y=x²-1?
פתרון
נציב במשוואת הפרבולה ונקבל:
2=2²-1
2=3
קיבלנו משהוא שהוא תמיד לא נכון. לכן הנקודה לא נמצאת על הפרבולה.
אם הנקודה הייתה נמצאת על הפרבולה היינו מקבלים ביטוי כמו 4=4,  0=0 – משהו שהוא תמיד נכון.

2. קודקוד הפרבולה
ערך ה x של קודקוד הפרבולה מתקבל על ידי הנוסחה:
קודקוד הפרבולה

לאחר שמצאנו את ערך ה x מציבים במשוואת הפרבולה ומוצאים את ערך ה y.

למשל:
מצאו את קודקוד הפרבולה y=x²+6x+9

פתרון
נציב בנוסחה:

על מנת למצוא את ערך ה y של הקודקוד נציב x = -3 במשוואת הפרבולה.
y=(-3)² + 6*-3 + 9=0
y = 0
תשובה: קודקוד הפרבולה  (0, 3-).

3. ציר הסימטריה
ציר הסימטריה הוא ערך ה x של הקודקוד.
אם קודקוד נמצא בנקודה (5,2)
אז ציר הסימטריה הוא הישר x = 5.

4. חיתוך עם הצירים
על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה x מציבים y =0 במשוואת הפרבולה.
על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה y מציבים x =0 במשוואת הפרבולה.

למשל:
מציאת נקודות החיתוך של הפרבולה y=x²+8x+12 עם הצירים.

פתרון
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה Y מציבים X=0 במשוואת הפרבולה.
y=0²+8*0+12=12
נקודת החיתוך היא (12 ,0).

על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה X נציב y=0
x²+8x+12=0

ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורישם או טרינום.
נראה כאן דרך של טרינום.
x² +6x + 2x + 12 =0
x (x + 6) + 2 (x +2) = 12
x+6) (x+2)=0)
x= – 6 ,  x= – 2
תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה X הן (0, 2-)  (0,  -6).

5. פרבולה עם מינימום או מקסימום
אם משוואת הפרבולה היא:
y = ax² + bx + c
אז כאשר a > 0 הפרבולה עם נקודת מינימום (מחייכת).
וכאשר a < 0 הפרבולה עם נקודת מקסימום (בוכה).

6. תחומי חיוביות ושליליות של הפרבולה
הפרבולה חיובית כאשר היא נמצאת על מעל ציר ה x
למציאת תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה יש 4 שלבים:

  1. מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x.
  2. זיהוי האם זו פרבולת מינימום או מקסימום על ידי ערך ה a  במשוואת הפרבולה.
  3. שרטוט סקיצה של הפרבולה על פי סעיפים 1 ו 2.
  4. כתיבת התשובה.

7.שרטוט גרף פרבולה
על מנת לשרטט סקיצה של גרף פרבולה אתם צריכים לדעת 3 דברים:

  1. נקודות חיתוך עם ציר ה X.
  2. האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
  3. במידה ואתם צריכים להיות מדויקים מוסיפים את שיעור קודקוד הפרבולה.
    ואם נדרש ממכם תוסיפו גם את נקודת החיתוך עם ציר ה Y.

נושאים מתקדמים

1.חיתוך של פרבולה וישר או של שתי פרבולות

אם נתונה פרבולה y=x²+10x-5
וישר y=3x-15
אז נקודות החיתוך שלהם מתקבלת על ידי פתרון המשוואה:
3x-15=x²+10x-5

אם נתונות שתי פרבולות
y=2x²+5x+8
y=x²-3x-7
אז נקודות החיתוך שלהם מתקבלות על ידי המשוואה.
2x²+5x+8 = x²-3x-7

2. מציאת נקודות סימטריות על הפרבולה
נקודות סימטריות על פרבולה הן בעלות אותו ערך y וגם נמצאות במרחק שווה על ציר ה x מהקודקוד.
לכן:
אם הקודקוד הוא  (4,2)
אז הנקודה הסימטרית ל (7,8) תהיה (1,8).
(כי ערך ה y שלה הוא 8 וכי היא נמצאת במרחק 3 על ציר ה x מהקודקוד).

3.הזזה של פרבולה

לפרבולה יש הזזה אנכית, וזו הזזה הנעשית לאורך ציר ה y.
הזזה זו תלויה במספר החופשי של משוואת הפרבולה (המספר שאינו מוכפל ב x).
למשל הפרבולה f (x) = x² + 2x + 2
נמצאת 3 יחידות מתחת לפרבולה  f (x) = x² + 2x + 5

לפרבולה יש הזזה אופקית
הזזה זו נקבעת על ידי הערך p במשוואת הפרבולה
f (x) = (x – p )² + c
למשל:
f (x) = (x – 2 )² + c
פרבולה זו זזה 2 צעדים ימינה מראשית הצירים.
f (x) = (x + 4 )² + c
פרבולה זו זזה 4 צעדים שמאלה מראשית הצירים.

גם למקדם של x² במשוואה הריבועית יש משמעות, ככול שהוא גדול יותר בערכו המוחלט כך השיפוע של הפרבולה גדול יותר.

4. הצגה סטנדרטית, קודקודית ומכפלה
הצגה סטנדרטית:
y =ax² + bx + c

הצגה קודקודית
ממנה ניתן לראות את הקודקוד
y = a(x -p)² + c
הקודקוד הוא (p,c)

הצגת מכפלה
ממנה ניתן לראות את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
(y = (x – t) * (x – k
נקודות החיתוך הן:
(0, t).
(k, 0)

5. מציאת משוואת פרבולה (פרמטרים חסרים)

שיטה ראשונה: הצבת נקודה במשוואת פרבולה
זו השיטה השימושית ביותר.
הכלל הבסיסי של מציאת פרמטר חסר במשוואת פרבולה הוא שאם ידועה לנו נקודה על הפרבולה מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הפרבולה וכך מוצאים את הערך החסר.
למשל, אם יש לנו את הפרבולה f(x) = ax² + 3x – 5
העוברת בנקודה 2,3 אז נבנה את המשוואה הבאה:
a*2² + 3*2 – 5 = 3

שיטה שנייה: הצבה במשוואה למציאת נקודת הקודקוד
אם ידועה לנו נקודת הקודקוד אנו יכולים לבנות משוואה נוספת:
קודקוד הפרבולה

כלומר, אם ידועה לנו נקודת הקודקוד נוכל לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים; משוואה אחת על ידי הצבה במשוואת הפרבולה ומשוואה שנייה על ידי הצבה במשוואת קודקוד הפרבולה.

שיטה שלישית: שימוש בנקודת החיתוך עם ציר ה y
כאשר ידועות לנו שתי נקודות ואנו צריכים למצוא שני פרמטרים נציב את שתי הנקודות במשוואת הפרבולה ונקבל שתי  משוואות עם שני נעלמים.
האם יש חשיבות לסדר הצבת הנקודות?
בדרך כלל לא.
אבל אם ידועה לנו נקודת החיתוך עם ציר ה y נציב את נקודה זו ראשונה וכך נמצא ישירות את הפרמטר c ונימנע משתי משוואות עם שני נעלמים.

למשל:
מצאו את משוואת הפרבולה f(x) = x² + bx + c העוברת בנקודות (4,10) ו (0,1).
פתרון
נציב קודם את הנקודה 0,1 במשוואת הפרבולה ונקבל:
c + 0² + b*0 = 1
c=1
ולאחר מיכן נציב את הנקודה 4,10
4b + 4² + 1 = 10
קיבלנו משוואה עם נעלם אחד במקום שתי משוואות עם שני נעלמים אילו היינו פועלים הפוך.

שיטה רביעית:הקשר בין מספר פתרונות המשוואה הריבועית למספר נקודות החיתוך עם ציר ה x
f (x) = x² + bx + 16
משוואה של פרבולה היא משוואה ריבועית.
מספר נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x הם מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית.
לכן, אם אומרים לנו שלפרבולה שלמעלה יש פתרון יחיד זה אומר שצריך להתקיים:
b² – 4 *1*16 = 0
b² = 64
b = 8,  b = -8

6. חישוב שטח משולש

בחלק משאלות על פרבולה אתם נדרשים לחשב שטח משולש.
הרעיון הוא שמתוך 3 הקודקודים של המשולש 2 יצרו ישר המקביל לצירים ואתם תחשבו את האורך של ישר זה.
ואז ניתן בקלות יחסית לחשב את הגובה אל ישר זה.

למשל בשרטוט המצורף נחשב את האורך של הצלע AB
ואז את המרחק של C מציר ה x.

משולש שאתם צריכים לדעת לחשב את השטח שלו

ובשרטוט המצורף נחשב את אורך הצלע AC
ואז את המרחק של הנקודה B מהישר x = -2.

שטח משולש שאתם צריכים לדעת לחשב

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.