מציאת שיפוע

בדף זה נלמד דרכים למציאת שיפוע של ישר.
נלמד:

  1. לזהות את השיפוע במשוואת ישר סטנדרטית.
  2. למצוא שיפוע על פי שתי נקודות.
  3. למצוא שיפוע בעזרת ישרים מקבילים.
  4. למצוא שיפוע בעזרת ישרים ניצבים.

כל אחד מחלקי הדף כולל הסברים מילוליים, הסברים בוידאו ותרגילים.

לאחר שתדעו למצוא שיפוע עליכם לדעת לבנות משוואת ישר בעזרת השיפוע, מידע מפורט מאוד בקישור.

1. זיהוי השיפוע במשוואת הישר

לפני שאנו לומדים כיצד למצוא שיפוע עלינו לדעת לזהות שיפוע כאשר אנו רואים אותו במשוואת הישר.
אם זו משוואת הישר y=mx+n אז השיפוע הוא m.
השיפוע הוא המקדם של המשתנה X.
נזהה את השיפוע בישרים הבאים:
ישר 1.
y=2x-5    – השיפוע הוא 2.

ישר 2.
y=-6x   – השיפוע הוא 6-.

ישר 3.
y=4+3x   – השיפוע הוא 3.

ישר 4.
y-x-8=0  – למשוואת ישר זו לא ניתן למצוא את השיפוע באופן מיידי ויש להעביר אותה למשוואת ישר מפורשת והיא:
y=x+8  –  השיפוע הוא 1.

ישר 5.
y = 4 ישר זה יכול להיכתב גם בצורה הזו:
y = 0x + 4
כלומר המקדם של x הוא 0 ולכן השיפוע הוא 0.

ישר 6.
x = -2
למשוואה זו אין y ולא ניתן לכתוב אותה בצורה y = .
לכן עבור ישר זה השיפוע אינו מוגדר.

תרגילים
מצאו את השיפוע של הישרים הבאים:

  1.  y = 3 – 5x
  2.  y = 0
  3. x = -4
  4. 2x + 4y – 10 = 0

פתרונות

הישר y = 3 – 5x
המקדם של x הוא 5-.
לכן 5- הוא השיפוע.

אם היינו משרטטים את הישר הוא היה נראה כך (ישר יורד):

הישר  y = 0
ישר זה יכול להיכתב גם בצורה:
y = 0x + 0
המקדם של x הוא 0 ולכן שיפוע הישר הוא 0.

אם היינו משרטטים את הישר הוא היה נראה כך (ישר שאינו עולה ואינו יורד) (נמצא על ציר ה x):

הישר x = -4
ישר זה לא כולל קשר בין x ל y ולכן השיפוע של ישר זה אינו מוגדר.

אם היינו משרטטים את הישר הוא היה נראה כך:

הישר 2x + 4y – 10 = 0
על מנת למצוא את השיפוע עלינו לסדר את הישר בצורה שבה y יהיה בצד אחד של המשוואה וכל שאר האיברים בצד השני.
2x + 4y – 10 = 0   / -2x + 10
4y = -2x + 10  / :4
y = -0.5x + 2.5
המקדם של x הוא 0.5-, לכן 0.5- הוא שיפוע הישר.

אם היינו משרטטים את הישר הוא היה נראה כך (ישר יורד):

2. מציאת שיפוע על פי שתי נקודות

אם הנקודה A היא (x1,y1) והנקודה B היא  (x2,y2) אז שיפוע הישר (m) העובר דרך שתי הנקודות הוא:

שיפוע ישר על פי 2 נקודות

המשוואה הזו בעצם אומרת שאם נתונות לנו שתי נקודות אז השיפוע העובר דרכן שווה להפרש ערכי ה Y של הנקודות לחלק בהפרש ערכי ה X של הנקודות.

חשוב להקפיד שאם בחרנו לחסר את נקודה B מנקודה A נעשה זאת בסדר הזה גם במונה וגם במכנה.
שגיאה תהיה לחסר במונה את B מנקודה A ובמכנה להחליף ולחסר את A מנקודה B.

וידאו: מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות

תרגיל 1
מצאו את:
1.שיפוע הישר העובר דרך הנקודות (4, 2)A   ו   (3-, 1)B.
2. את משוואת הישר העובר דרך הנקודות הללו.

פתרון
מציאת השיפוע.
נציב את ערכי הנקודות A ו  B בנוסחה:
שיפוע ישר על פי 2 נקודות
ונקבל:

מציאת משוואת הישר.
נמצא את משוואת הישר על פי m = 7 ואחת מהנקודות שיש לנו.
אני אבחר בנקודה (4, 2)A אבל ניתן לבחור גם ב B.
נציב בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y-y1=m(x-x1
(y – 4 = 7 (x – 2
y – 4 = 7x – 14   / +4
y = 7x -10  (זו משוואת הישר)

אם היינו צריכים לשרטט את הישר ושתי הנקודות זה היה נראה כך:

תרגיל 2
מצאו את:
1.שיפוע הישר העובר דרך הנקודות (4-,  1-)A  ו  (2-, 0)B.
2. משוואת הישר העובר דרך הנקודות הללו.

פתרון
מציאת השיפוע.
נציב את ערכי הנקודות A ו  B בנוסחה:
שיפוע ישר על פי 2 נקודות
ונקבל:
2

מציאת משוואת הישר
נציב m = 2 ואת ערכי הנקודה  (2-, 0)B בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y-y1=m(x-x1
(y – (-2) = 2 (x – 0
y + 2 = 2x   / -2
y = 2x – 2  (זו משוואת הישר).

אם היינו צריכים לשרטט את משוואת הישר ושתי הנקודות היא הייתה נראית כך.

3. מציאת שיפוע על פי ישרים מקבילים

לישרים מקבלים יש שיפועים זהים.
מה השיפוע של הישר המקביל לישר y=2x-7?
השיפוע הוא 2.
הערה: יש אינסוף ישרים אשר השיפוע שלהם הוא 2 והם מקבילים לישר y=2x-7. בגרף המצורף מטה נבחר כדוגמה y=2x+1.

שיפוע של קווים מקבילים הוא זהה

4. מציאת שיפוע על פי ניצבות

מכפלת השיפועים של ישרים ניצבים היא 1-.
אם שיפוע של ישר הוא 5 אז שיפוע הישר הניצב לו הוא 1/5-. (כי 5 * 0.2 – = 1-).
אם שיפוע של ישר הוא 1/2- אז שיפוע הישר הניצב הוא 2. (כי 2  * 0.5 –  = 1 – ).
אם משוואת ישר היא y= – x+2 אז שיפוע הישר הניב אליו הוא 1. (כי 1-  *  1 = 1-).

מכפלת השיפועים של ישרים ניצבים היא -1

תרגילים

תרגיל 1
הישר L מקביל לישר y =-3x +1.
1.מצאו את שיפוע הישר L.
2. הישר L עובר בנקודה 1,1. מצאו את משוואת הישר L.

פתרון
סעיף 1: מציאת השיפוע
השיפוע של הישר y =-3x +1 הוא 3-.
לישרים מקבילים שיפועים שווים ולכן שיפוע הישר L הוא 3-.

סעיף 2: מציאת משוואת הישר L
השיפוע של הישר L הוא 3- והוא עובר בנקודה 1,1
נציב זאת בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y-y1=m(x-x1
 (y -1 = -3 (x – 1
y – 1 = -3x + 3  / +1
y = -3x + 4
תשובה: משוואת הישר L היא y = -3x + 4.

משוואת הישר L באדום והישר אליו הוא מקביל בשחור

משוואת הישר L באדום והישר אליו הוא מקביל בשחור

תרגיל 2
הישר L ניצב לישר y = 2x.
1. .מצאו את שיפוע הישר L.
2. הישר L עובר דרך נקודת החיתוך של הישרים y = 4x +1  ו  y = -2x +10.
מצאו את משוואת הישר L.

פתרון
סעיף 1: מציאת השיפוע.
השיפוע של הישר y = 2x הוא 2.
נניח כי השיפוע של ישר L הוא m.
מכוון שמכפלת ישרים ניצבים היא 1-.
אז המשוואה שלנו היא:
2m = -1
2m = -1  / :2
m = -0.5
שיפוע הישר L הוא 0.5-.

סעיף 2: מציאת משוואת הישר L.
עבור הישר L יש לנו שיפוע 0.5-, אבל אין לנו נקודה.
הנקודה שאנו מחפשים היא נקודת החיתוך של הישרים y = 4x +1  ו  y = -2x +10
הסבר למציאת נקודת חיתוך בין ישרים תוכלו למצוא בקישור.
נמצא את נקודת החיתוך על ידי השוואת המשוואות:
4x +1 = -2x + 10
4x +1 = -2x + 10  / +2x -1
6x = 9  / :6
x = 1.5

מצאנו את ערך ה x של נקודת החיתוך.
נציב x = 1.5 במשוואת אחד הישרים ונמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y = 4x +1
y = 4 *1.5 +1 = 7

השלב הבא
מצאנו ששיפוע הישר L הוא 0.5- ושהוא עובר בנקודה 7, 1.5.
נציב את הנתונים הללו בנוסחה למציאת משוואת ישר.
(y-y1=m(x-x1
(y – 7 = -0.5 (x – 1.5
y – 7 = -0.5x + 0.75  / +7
y = -0.5x + 7.75
תשובה: משוואת הישר L היא y = -0.5x + 7.75.

משוואת שני הישרים הנחתכים בשחור ומשוואת הישר L באדום

משוואת שני הישרים הנחתכים בשחור ומשוואת הישר L באדום

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.