מציאת משוואת ישר עם הגדרת משתנים

דף זה מיועד לתלמידי 4-5 יחידות לימוד בכיתות ט-י.

דף זה מיועד למי שכבר יודע להשתמש בנוסחאות של:
מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה, על פי 2 נקודות, על פי ישרים מאונכים או מקבילים, חישוב מרחק בין שתי נקודות, חישוב אמצע קטע, המשמעות של m,n במשוואת הישר.
(סיכום של הכל במקום אחד בדף מציאת משוואת הישר).

בדף זה עליכם ללכת צעד אחד קדימה; להגדיר משתנה, לבנות משוואה על פי אחת הדרכים שלמעלה או בדרך אחרת ואז לפתור את המשוואה.
שאלות מסוג זה דומות מאוד לבעיות מילוליות כגון בעיות תנועה, בעיות מכירה וכו.

ברוב השאלות השאלה הסופית היא לא "מצאו את משוואת הישר".
אבל השימוש בנוסחאות השונות וההבנה של הנושאים השונים הכרחיים על מנת לענות על השאלות.

שאלה לדוגמה:
הנקודה A נמצאת על הישר Y=2X+3.
מהנקודה A מעבירים אנך לציר ה x  וציר ה y כך שנוצר מלבן.
שטחו של המלבן הוא 44 יחידות ריבועיות.
מצאו את הנקודה A.

פתרון

שאלות מהסוג המופיע בדף זה נפתרות לרוב על ידי השלבים הבאים:

  1. בחירת ערך ה x בנקודה כמשתנה (ערך ה X בנקודה A, בנקודה B …). (לעיתים רחוקות יותר בוחרים את ערך ה y).
  2. הגדרת באמצעות ערך ה x את ערך ה y בנקודה.
  3. ביצוע מספר פעולות נוספות על פי השאלה.
  4. בניית משוואה ומציאת ה x.

אז בשאלה זו:
נגדיר:
xA ערך ה x בנקודה A.
2xA + 3 ערך ה y בנקודה A.
הנקודה היא (A(xA, 2xa + 3

עכשיו נשרטט את הישר Y=2X+3 ואת הנקודה A על מנת להבין את המצב בשאלה.
אין צורך לדעת איפה הנקודה A נמצאת על הישר, נבחר עבורה מיקום מקרי.

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה את הגדלים של צלעות המלבן

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה את הגדלים של צלעות המלבן

בשרטוט אנו רואים בצורה ברורה כי אורך הצלע AB= XA ו AC = 2XA +3.
לכן המשוואה שנקבל היא:
2XA + 3) XA = 44)
2XA² + 3XA = 44  / -44
2XA² + 3XA  – 44 = 0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל שתי אפשרויות:
xA = 4   או   xa = -5.5.
כלומר יש שתי אפשרויות לנקודה A.

נציב את ערכי ה x שקיבלנו במשוואת הישר y = 2x +3 על מנת למצוא את ערכי ה y האפשריים של הנקודה A.
y1 = 2*4+3 = 11
y2 = 2*(-5.5) + 3 = -8

תשובה: הנקודה A יכולה להיות (4,11) או (8-, 5.5-).

 

השאלות בנושא זה חוזרות על עצמם; פעם תשתמשו במשוואה לנוסחת ישר על פי שתי נקודות על מנת ליצור משוואה, פעם בתכונת ישרים מקבילים לצירים, פעם בצורת חישוב שטח משולש, פעם בנוסחה לחישוב אמצע קטע וכו.

לכן אני ממליץ לדעת את הנושאים הבסיסיים היטב.
ובדף זה לפתור שאלות עד לנקודה שבה אתם מרגישים שאתם מבינים.

זכרו: מגדירים נקודה בעזרת משתנה ואז מחפשים דרך לבנות משוואה.

כמו כן שימו לב שהרבה פעמים בשאלות הללו משתמשים בתכונות של ישרים המקבילים לצירים. אלו ישרים שערך ה x או ערך ה y שלהם קבוע לכל אורכם.
ולכן המרחק של שתי נקודות הנמצאות עליהם שווה להפרש של ערכי ה x או ערכי ה y בלבד.

למשל:
אם (A (XA, YA
ואם ( B (XB, YB

אז אם נתון שהישר AB מקביל לציר ה Y זה אומר שערכי ה x של בנקודות A,B שווים. כלומר:
xA = xB
והמרחק בין הנקודות הוא הפרש ערכי ה Y:
d = YA – YB

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה Y (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה x) אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה Y (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה x) אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

ואם נתון שהישר מקביל לציר ה X אז ערכי ה y של הנקודות A,B שווים. כלומר:
YA = YB.
והמרחק בין הנקודות הוא הפרש ערכי ה X:
d = XA – XB

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה X (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה Y") אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

כאשר נתונות שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה X (או בניסוח אחר "מאונך לציר ה Y") אלו שתי המסקנות שאנו יכולים להגיע אליהם

תרגילים

תרגיל 1 (הגדרה בסיסית של נקודה באמצעות משתנה)

הנקודה A נמצאת על הישר y=3x- 6.
ערך ה X בנקודה A גדול ב 2 מערך ה Y בנקודה A.
מצאו את הנקודה.

פתרון

הנקודה A
נגדיר את ערך ה x בנקודה A כ xA.
מכוון שהנקודה נמצאת על הישר y= 3x-6 אז ערך ה y בנקודה הוא y = 3xA – 6
כלומר הנקודה A היא (A (xA, 3xA – 6.

בניית משוואה
ידוע כי ערך ה X בנקודה A גדול ב 2 מערך ה Y בנקודה. לכן המשוואה היא:
xA + 2 = 3xA – 6  / -xA + 6
2xA =8 / :2
xA = 4

מציאת נקודה A
ערך ה Y בנקודה A שווה ל:
y = 3*4-6=12-6=6.
ואכן ערך זה גדול ב 2 מערך ה x.

תשובה: הנקודה A היא (6, 4).

הסבר גרפי לפתרון התרגיל

הסבר גרפי לפתרון התרגיל

תרגיל 2 (מרחק בין נקודות)

הנקודה C נמצאת על הישר y=8.
הנקודה B נמצאת על הישר BC המקביל לציר ה Y. (גם הנקודה C נמצאת על הישר BC).
הנקודה B נמצאת גם על הישר y = 0.5x.
ערך ה y בנקודה B נמוך יותר מערך ה y בנקודה C.
המרחק בין הנקודות B ל C הוא 6.5.
מצאו את הנקודות B ו C.

פתרון

בשאלה זו ניתן לבחור את ערך ה x של הנקודה B או של הנקודה C כמשתנה.
קצת יותר נוח לבחור את הערך של הנקודה B ואת זה נעשה.

הנקודה B
נגדיר: xB הוא ערך ה x בנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x ולכן ערך ה y שלה הוא:
y = 0.5xB.
xB, 0.5xB זו הנקודה B.

הנקודה C
מכוון שהישר BC מקביל לציר ה y ערכי ה X עליו זהים לכל אורכו. לכן ערך ה X בנקודה C הוא גם כן xB.
הנקודה C היא xB, 8.

המרחק בין הנקודות ובניית משוואה
מכוון שערכי ה x זהים בשתי הנקודות המרחק בין שתי הנקודות שווה להפרש ערכי ה Y של הנקודות.
שימו לב שנתון שערך ה y בנקודה C גדול יותר ולכן:
d = 8 – 0.5xB = 6.5 / -8
0.5xB = -1.5 / *-2-
xB = 3

זיהוי הנקודות
הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x ולכן:
y = 0.5*3=1.5
(B(3, 1.5
ערך ה y בנקודה C הוא 8 ולכן:
(C (3, 8.

1.5  3
8, 3

תרגיל 3 (שיפוע ישר על פי 2 נקודות)

הנקודה B נמצאת על הישר y= 4x.
ואילו ערך ה y של הנקודה A גדול ב 6 מערך ה y של הנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y= -x + 4.
אם שיפוע הישר AB הוא 3- מה הוא ערכן של הנקודות A ו B?

פתרון

נגדיר XB הוא ערך ה x בנקודה B.
y = 4xB זה ערך ה y בנקודה B.
הנקודה B היא: xB, 4xB

בנקודה A ערך ה Y גדול ב 6 ולכן הוא 4xB + 6.
נמצא את ערך ה X בנקודה A:
4xB + 6 = – xA + 4
xA = -2 -4xB
הנקודה A היא: 2-4XB, 4XB +6-

שיפוע הישר AB הוא 3-. נבנה את הנוסחה לשיפוע הישר על פי שתי נקודות:

המשך פתרון התרגיל

נציב את הערך שקיבלנו בנקודה B.
y = 4*0 =0
הנקודה B היא (0,0).

הנקודה A היא 2-4XB, 4XB +6- :
(6, 2-)

תרגיל 4 (שטח משולש)

שטח משולש ABC הוא 21 יחידות ריבועיות.
הנקודות AB נמצאות על הישר x= -1. והמרחק בניהן הוא 6 יחידות.

  1. הנקודה C נמצאת ברביע הראשון. מצאו את ערך ה x של הנקודה C.
  2. אם הנקודה C נמצאת על הישר y=x+1 מצאו את הנקודה C.

פתרון 

נגדיר את אורך הגובה
האנך / גובה לישר x=-1 הוא ישר מהסוג y=k כאשר k הוא מספר כלשהו.
לכן לאורך כל הגובה כולו רק ערך ה x משתנה וערך ה y נשאר קבוע.
נגדיר xc הוא ערך ה x בנקודה C.
לכן אורך הגובה מהנקודה C אל הישר x= -1 הוא xc + 1.

הסבר לאופן חישוב שטח המשולש

הסבר לאופן חישוב שטח המשולש

נבנה משוואה
על פי הנוסחה לשטח משולש נקבל:
xc + 1 ) * 6 / 2 = 21)
6xc + 6 = 42 / -6
6xc = 36 / :6
xc = 6
תשובה: ערך ה x של הנקודה C הוא 6.

חלק שני
נציב x=6 במשוואת הישר
y = 6+1=7
תשובה: (C(6,7

הערה: הסיבה שיש בשאלה זו סעיף ב, שהוא מאוד קל, היא שבפועל יכולים לדלג על סעיף א ויכולים לבקש ממכם למצוא את הנקודה מבלי לתת את סעיף א (ואז השאלה קשה יותר).

עוד באתר:

 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.