נוסחת משוואת הישר, נוסחה למציאת שיפוע

בדף זה נלמד את הנוסחאות המשמשות למציאת משוואת ישר.

לאחר החלק המלמד למצוא משוואת ישר נלמד את המשמעות הגרפית של משוואת הישר.
כלומר המשמעות של m,n במשוואת הישר y = mx + n.

 1. נוסחת משוואת הישר y = mx+ n

זו נוסחת משוואת הישר.
כאשר m (המקדם של x) ומייצג את שיפוע הישר.
n נותן את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y.
הרחבה ותרגילים על שני הפרמטרים הללו בהמשך הדף.

למשל, עבור הישר y = 2x – 4 השיפוע הוא 2 ונקודת החיתוך עם ציר ה y היא (4- , 0)

גרף משוואת הישר y = 2x - 4

גרף משוואת הישר y = 2x – 4

2. נוסחת מציאת הישר על פי שיפוע ונקודה (y-y1=m(x-x1

(y-y1=m(x-x1
זו הנוסחה למציאת משוואת ישר כאשר נתון לנו שיפוע m ונקודה  (x1,y1).
על מנת למצוא את משוואת הישר מציבים את ערכי השיפוע והנקודה במשוואה.

תרגיל
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר בנקודה 2,5.

פתרון
נציב m = x,  x1 = 2,  y1 = 5
במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
ונקבל:
y-5 = 4(x-2) = 4x-8
y = 4x-3

y = 4x-3 גרף משוואת הישר

y = 4x-3

3. נוסחה למציאת שיפוע על פי שתי נקודות

נוסחה: (m = (y1-y2) / (x1 – x2

נוסחה לחישוב שיפוע על פי שתי נקודות (m = (y1-y2) / (x1 - x2

בנוסחה זו נשתמש על מנת למצוא שיפוע כאשר נתונות לנו שתי נקודות הנמצאות על ישר.
לאחר שמצאנו את השיפוע נציב את השיפוע וערך אחת מהנקודות בנוסחת משוואת הישר (y-y1=m(x-x1.

תרגיל
מצאו את השיפוע של של הישר העובר דרך הנקודות (5,2)  (7,0).

פתרון

m= -1
תשובה: שיפוע הישר הוא 1-.

שיפוע הישר העובר בין הנקודות הוא 1-

שיפוע הישר העובר בין הנקודות הוא 1-

4. משוואת ישר על פי ישרים מקבילים או מאונכים

נוסחאות:
1.השיפועים של ישרים מקבילים הם שיפועים שווים.
m1 = m2 עבור ישרים מקבילים

2.מכפת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
m1 * m2 = -1 עבור ישרים מאונכים

תרגילים בנושא ישרים מקבילים

תרגיל 1
מצאו את השיפוע של הישר המקביל לישר y = -4x+1.

פתרון
שיפוע הישר y = -4x+1 הוא 4-.
לכן שיפוע הישר המקביל שווה גם הוא 4-.

תרגיל 2
מצאו את שיפוע הישר המקביל לישר העובר דרך הנקודות (7,1) (1,4).

פתרון
כאן עלינו למצוא קודם את שיפוע הישר העובר בנקודות (7,1) (1,4)
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה:
שיפוע ישר על פי 2 נקודות
ונקבל:
0.5-

תשובה: לישר המקביל שיפוע שווה לישר העובר דרך שתי הנקודות. לכן שיפוע הישר המקביל הוא 0.5-.

שני ישרים מקבילים שהשיפוע של כל אחד מיהם הוא 0.5-

שני ישרים מקבילים שהשיפוע של כל אחד מיהם הוא 0.5-

ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.

  1. אם שיפוע של ישר הוא 2 אז שיפוע הישר המאונך לו 0.5-.
  2. שיפוע ישר 5- אז המאונך 0.2
  3. שיפוע ישר 10 אז המאונך 0.1-
  4. שיפוע ישר 0.4 אז המאונך 2.5-
  5. שיפוע ישר 1 אז המאונך  1-

תרגיל 1
מצא את שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x.

פתרון
אם m הוא שיפוע הישר המבוקש אז:
m*4 =  -1  / :4
m= – 0.25

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-

5. נוסחאות נוספות בהם יכולים לעשות שימוש

יש שתי נוסחאות נוספות בהם יכולים לעשות שימוש על מנת למצוא נקודה דרכה עובר הישר.

נוסחה אחת היא הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
אם (x1, y1)  ו  (x2, y2) הן הנקודות ו d הוא המרחק בניהן אז הנוסחה היא:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2

נוסחה שנייה היא הנוסחה למציאת אמצע של קטע.

אם נתונות לנו שתי נקודות: (A(x1, yו  (B(x2, y2 אז אמצע הקטע בניהן (C(xc, yc מתקבל על ידי הנוסחאות:

Xc = ((x_1+ x_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה X של הנקודות

yc = ((y_1+ y_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה Y של הנקדות

כלומר מחשבים את האמצע של ערכי ה X ואת האמצע של ערכי ה Y בנפרד.

6. המשמעות הגרפית של m, n בנוסחת משוואת הישר

עד עכשיו דיברנו על נוסחאות המאפשרות למצוא את משוואת הישר.
מעכשיו נדבר על מצב שבו נתונה לנו נוסחת הקו הישר y =mx + n ואנו מנסים להבין כיצד הגרף נראה.
או להפך, נתון לנו הגרף ואנו מנסים להבין כיצד נראה הישר.

נתונה נוסחת הישר: y =mx + n
מה המספר m יכול ללמד אותנו?

המספר m בנוסחת הישר מלמד אותנו האם הפונקציה עולה (כאשר m>0) או יורדת (כאשר m<0).
כמו כן אנו יכולים ללמוד מה קצב העליה של הישר. ככול שהערך המוחלט של m גדול יותר כך גרף הישר נראה תלול יותר.

גרף ששיפועו m= -0.5 יורד בצורה מתונה. גרף ששיפועו m=2 הוא גרף עולה. גרף ששיפועו m=4 עולה בצורה חדה יותר.

גרף ששיפועו m= -0.5 יורד בצורה מתונה.
גרף ששיפועו m=2 הוא גרף עולה.
גרף ששיפועו m=4 עולה בצורה חדה יותר.

המספר n 

המספר n במשוואת הישר y =mx + n מלמד על נקודת החיתוך עם ציר ה y.

הדבר נובע מכך שכאשר נציב בנוסחת הישר y = mx +n את x=0, שזה מה שעושים על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה y נקבל:
y = m*0 + n
y=n.

לכן, למשל, נקודת החיתוך של הישר y =x+2 עם ציר ה y היא (0,2).
ונקודת החיתוך של הישר y = -3x -4 עם ציר ה y היא (4-, 0).

הגרפים של הישרים ונקודות החיתוך עם ציר ה y

הגרפים של הישרים ונקודות החיתוך עם ציר ה y

תרגילים: המשמעות של m,n בנוסחת הישר

נתונות נוסחאות הישר הבאות:

  1. y = -4x+1
  2. y = 3x+4
  3. y = -2x+1
  4. y=3x+1

התאימו בין כל אחת מהמשוואות לבין הגרפים המשורטטים מטה.

גרפים של משוואות ישר

פתרון וידאו:

פתרון כתוב:

  1. גרף 1 המשוואה y=3x+1.
  2. גרף 2 המשוואה y = 3x+4.
  3. גרף 3 המשוואה y = -2x+1.
  4. גרף 4 המשוואה y = -4x+1.

פתרון התרגיל

הסבר
נוח לחלק את משוואות הישר לעולות ויורדות.

משוואות 1,2 הן עולות.
רואים בגרף שמשוואה 1 (y=3x+1) חותכת את ציר ה y בנקודה נמוכה המתאימה ל n=1 ואילו משוואה 2 (y = 3x+4) חותכת את ציר ה y בנקודה המתאימה ל n=4.

משוואות 3,4 הן יורדות.
שתיהן חותכות את ציר ה y בנקודה (0,1) לכן אין הבדל בניהן בפרמטר n.
ניתן לראות שגרף 4 יותר תלול. הוא מתחיל יותר למעלה ומסיים יותר למטה. לכן ערך ה m שלו גדול יותר בערכו המוחלט. גרף 4 מתאים למשוואה y = -4x+1, ואילו גרף 3 למשוואה y = -2x+1.

תרגיל נוסף

התאימו את המשוואות הבאות לגרפים.

  1. y= -x-1
  2. y=5
  3. y=3x-1
  4. x=2
  5. y= -2x-1

גרפים של משוואות ישר

פתרון וידאו

פתרון כתוב

  1. גרף 1 הוא המשוואה y=3x-1  (כי הוא היחידי שעולה).
  2. גרף 2 הוא המשוואה y= -x-1 כי הוא יורד בצורה מתונה יותר מגרף 3.
  3. גרף 3 הוא המשוואה y= -2x-1 כי הוא יורד בצורה חדה יותר מגרף 2.
  4. גרף 4 הוא y=5 כי ערך ה Y שלו תמיד 5.
  5. גרף 5 הוא x=2 כי ערך ה x שלו תמיד 2.

פתרון התרגיל

 

תרגיל
ידוע כי השיפוע של משוואת ישר הוא 4. כמו כן f (-1)=6.
מה ערכו של (f(1 ?

הערה:
(f (-1 הכוונה היא x= -1.
(f(1  הכוונה היא x=1.

פתרון
אם השיפוע הוא 4 זה אומר שכאשר x עולב ב 1 y עולה ב 4.
במקרה זה x עלה ב 2 מ 1- ל 1. לכן ה Y צריך לעלות ב 8.
14 = 6+8
תשובה: f(1) = 14.

תרגיל
מי מבין הגרפים הבאים יכול להיות הגרף שמייצג את משוואת הישר y = -3x+2?

גרפים של משוואת ישר

פתרון וידאו

פתרון
הגרף שיכול להיות מתאים למשוואת הישר y = -3x+2 הוא גרף 3.
בגלל שזה הגרף היחידי שיורד (ומתאים ל m=3) וגם חותך את ציר ה Y מעל לראשית הצירים שזה מתאים ל n=2.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.