פרבולה

דף זה כולל סיכום של הנושאים שצריך לדעת על פרבולה.

עבור מרבית הנושאים מצורפים קישורים הכוללים הסברים ותרגילים באותו נושא.

כיצד יודעים אם נקודה נמצאת על פרבולה?

מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הפרבולה. אם יוצאת משוואה נכונה – הנקודה נמצאת על הפרבולה. אם יוצאת משוואה שאינה נכונה – הנקודה לא נמצאת על הפרבולה.
למשל: האם הנקודה (2,2) נמצאת על הפרבולה y=x²-1?
2=2²-1
2=3
קיבלנו משהוא שהוא תמיד לא נכון. לכן הנקודה לא נמצאת על הפרבולה.
אם הנקודה הייתה נמצאת על הפרבולה היינו מקבלים ביטוי כמו 4=4,  0=0 – משהו שהוא תמיד נכון.

משמעות הפרמטרים במשוואת הפרבולה

משוואת הפרבולה היא y=ax²+bx+c.
הפרמטר a שהוא המקדם של x² קובע האם זו פרבולת מינימום – מחייכת (כאשר a>0)  או פרבולת מקסימום – בוכה (כאשר a<0).
הפרמטר b משפיע על מיקום קודקוד הפרבולה משום שהוא חלק מהנוסחה למציאת קודקוד הפרבולה

X=(-b)/2a ערך ה X של קודקוד הפרבולה

הפרמטר c קובע את נקודת החיתוך עם ציר ה y. משום שכאשר מציבים x=0 אנו מקבלים y=c.
y=ax²+bx+c
c=y=a*0²+b*0+c

ציר הסימטריה

ציר הסימטריה הוא קו שאם "מקפלים" את הפרבולה לאורכו הפרבולה מתחלקת לשני חלקים זהים.
ציר הסימטריה הוא קו מהצורה x=k (כאשר k מספר).
k הוא תמיד ערך ה X של נקודת קודקוד הפרבולה.
אם הקודקוד נמצא בנקודה (3,7) אז ציר הסימטריה הוא X=3.
אם הקודקוד נמצא בנקודה (2 ,4-) אז ציר הסימטריה הוא X=-4.

פרבולה שערך ה X של הקודקוד הוא 1 - ציר הסימטריה הוא x=1

פרבולה שערך ה X של הקודקוד הוא 1 – ציר הסימטריה הוא x=1

חיתוך עם הצירים

נניח והפרבולה שלנו היא y=x²+8x+12.
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה Y מציבים X=0 במשוואת הפרבולה.
y=0²+8*0+12=12
נקודת החיתוך היא (12 ,0).
שימו לב שכפי שאמרנו קודם ערך ה Y של נקודת החיתוך תמיד יהיה c ממשוואת הפרבולה.

על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה X נציב y=0
x²+8x+12=0
x+6) (x+2)=0)
x= – 6 ,  x= – 2
תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה X הן (0, 2-)  (0,  -6).

מציאת קודקוד הפרבולה

X=(-b)/2a ערך ה X של קודקוד הפרבולה

  1. מוצאים את ערך ה X של הקודקוד על ידי הצבה בנוסחה שמופיעה למעלה.
  2. מציבים את ערך ה X שמצאנו במשוואת הפרבולה ומוצאים את ערך ה Y של הקודוקד.

y=x²+6x+9
נציב בנוסחה:
x = -6:2=-3
נציב x=-3 במשוואת הפרבולה.
y=(-3)²+6*-3+9=0
תשובה: קודקוד הפרבולה  (0, 3-).

תחומי חיוביות ושליליות של הפרבולה

הפרבולה חיובית כאשר היא נמצאת על מעל ציר ה
למציאת תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה יש 4 שלבים:

  1. מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x.
  2. זיהוי האם זו פרבולת מינימום או מקסימום על ידי ערך ה a  במשוואת הפרבולה.
  3. שרטוט סקיצה של הפרבולה על פי סעיפים 1 ו 2.
  4. כתיבת התשובה.

חיתוך של ישר עם פרבולה

על מנת למצוא נקודות חיתוך של ישר ופרבולה משוואים את המשוואות שלהם. למשל:

  1. y=x²+10x-5 – פרבולה.
  2. y=3x-15 – ישר.

3x-15=x²+10x-5 /-3x+15
x²+7x+10=0
x+5) (x+2)=0)
x=-5  , x=-2
עכשיו עלינו להציב את ערכי ה X על מנת למצוא את ערך ה Y של הנקודות. לרוב קל יותר לעשות זאת במשוואת הישר.
y=3*-2-15=-21
(21- , 2-)
y = 3*-5-15=-30
(30- , 5-).

  • בשאלות אחרות יבקשו ממכם למצוא משוואת ישר שיש לה 0 או 1 או 2 נקודות חיתוך עם ישר. נושא זה ותרגילים נוספים למציאת חיתוך בין ישר לפרבולה תוכלו למצוא בקישור.

חיתוך של שתי פרבולות

מציאת חיתוך של שתי פרבולות נעשה בצורה דומה למציאת חיתוך של ישר ופרבולה. גם במקרה זה נשווה את המשוואות (ובניסוח נכון יותר – נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים).

למשל:

  1. y=2x²+5x+8
  2. y=x²-3x-7

2x²+5x+8 = x²-3x-7
x²+8x+15=0
x+3) (x+5)=0)
x=-3  ,  x=-5
כאשר נציב את ערכי ה X במשוואת אחת הפרבולות נקבל כי נקודות החיתוך הן:
(11, 3-)  (33, 5-).

שרטוט גרף פרבולה

על מנת לשרטט סקיצה של גרף פרבולה אתם צריכים לדעת 3 דברים:

  1. נקודות חיתוך עם ציר ה X.
  2. האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
  3. במידה ואתם צריכים להיות מדויקים מוסיפים את שיעור קודקוד הפרבולה.
    ואם נדרש ממכם תוסיפו גם את נקודת החיתוך עם ציר ה Y.

עוד באתר:

שאלה שאלות

4 תגובות בנושא “פרבולה

  1. כהן

    שלום. רציתי לשאול למה משתמשים במשוואות ובגרף בy שווה וכ' ולא בx שווה כלומר האם זה משנה על מה מרכיבים את המשוואה?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום שרית.
      אם היית מצרפת את מספר השאלון היה יותר קל לתת תשובה מדויקת.
      בכול אופן עבור שאלון 802 בסוף דף זה יש שאלות ברמת בגרות
      http://www.m-math.co.il/3/381/parabola-381-3-units/
      עבור משוואת הישר יש הסברים על החומר שאני ממליץ לעבור עליהם אבל אין שאלות מסכמות

      עבור שאלון 801 נושא משוואת הישר נמצא כאן,
      http://www.m-math.co.il/182/analytic-geometry-3-units/
      עבור שאלון 803 נושא משוואת הישר נמצאת כאן
      http://www.m-math.co.il/3/382/linear-function-803/
      בהצלחה

      נ.ב אני ממליץ לעבור דרך הקישורים שנמצאים באתר:
      בגרות במתמטיקה (ברמה שאת לומדת) >>> מספר השאלון >> ושם תוכלי למצוא כל נושא הקשור לשאלון.
      וכמובן שניתן גם לשאול

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.