גיאומטריה אנליטית

בדף זה סיכום חומר הלימוד בגיאומטריה אנליטית עבור תלמידי 3 יחידות ו 4 יחידות.
הדף כולל תאוריה + נוסחאות. תרגילים עם פתרונות מלאים נמצאים בקישורים המצורפים לדף.
סדר הדף הוא: נקודות, משוואת ישר, פרבולה, מעגל.

1. חישובים של נקודות

חישוב מרחק בין 2 נקודות

d²=(x1-x2)² + (y1-y2
זו הנוסחה לחישוב מרחק d בין 2 נקודות (x1, y1)  ו  (x2, y2).

חישוב אמצע קטע

אם נתונות לנו שתי נקודות: (A(x1, yו  (B(x2, y2 אז אמצע הקטע בניהן (C(xc, yc מתקבל על ידי הנוסחאות:

Xc = ((x_1+ x_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה X של הנקודות

yc = ((y_1+ y_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה Y של הנקדות

כלומר מחשבים את האמצע של ערכי ה X ואת האמצע של ערכי ה Y בנפרד.
גם אם נותנים לכם נקודה ואמצע של קטע ניתן למצוא את הקצה השני של הקטע בעזרת נוסחה זו.

2. פונקציה קווית ומשוואת ישר

פונקציה קווית ומשוואת ישר הם שני שמות לאותו דבר.
באתר זה יש 3 דפים באיכות גבוהה שאני ממליץ לכל מי שצריך לימוד לימוד יסודי של הנושא להיכנס אליהם.

בדף זה אחזור על הנוסחאות השונות + קישורים לנושאים ספציפיים יותר.

מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

אם אנו יודעי כי:
m – הוא השיפוע של ישר.
(x1, y1)  – היא הנקודה.
אז הנוסחה שבה צריך להציב את הנתונים היא:
(y-y1=m(x-x1

מציאת שיפוע ומשוואת ישר על פי 2 נקודות

נוסחה לחישוב שיפוע על פי שתי נקודות. השיפוע שווה להפרש ערכי ה Y של הנקודות לחלק בהפרש ערכי ה X של הנקודות

לאחר שמצאנו את השיפוע מציבים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1

מציאת שיפוע ומשוואת ישר על פי קווים מקבילים או מאונכים

לקווים מקבילים יש את אותו שיפוע.
מכפלת השיפועים של קווים מאונכים היא 1-.

אם יש את הישר y=2x-5 אז השיפוע של כל הקווים המקבילים אליו הוא 2. השיפוע של כל הקווים המאונכים אליו הוא 0.5-.

3. פרבולה

זה הדף המרכזי בנושא פרבולה באתר.

משוואת הפרבולה

זו משוואת הפרבולה y=ax² + bx + c.
מה המשמעות הגרפית של a,b,c?

  • a קובע האם זו תהיה פרבולה עם מינימום (מחייכת, כאשר a>0) או פרבולה עם קודקוד מקסימום (בוכה, כאשר a<0).
  • הפרמטר b משפיע על מיקום קודקוד הפרבולה. כפי שיפורט בסעיף הבא.
  • הערך c הוא נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה Y.

* תיאוריה ותרגילים בנושא משוואת הפרבולה.

קודקוד הפרבולה

אם משוואת הפרבולה היא y=ax²+bx+c אז הנוסחה למציאת ערך ה X של הקודקוד היא:

X=(-b)/2a

לאחר שמצאנו את ערך ה X של הקודקוד עלינו למצוא את ערך ה Y של הקודקוד. את זה עושים על ידי הצבה של ערך ה X שמצאנו במשוואת הפרבולה.
שימו לב כי למספר cc במשוואת הפרבולה אין השפעה על מיקום קודקוד הפרבולה.

פרבולה חיובית או שלילית

שלושה שלבים:

  1. מציאת נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה X, על ידי הצבה של y=0 במשוואת הפרבולה.
  2. שרטוט סקיצה של הפרבולה תוך בדיקה אם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
  3. הסקה מהגרף מתי הפרבולה חיובית ומתי שלילית.

ציר הסימטריה של פרבולה

ציר הסימטריה בפרבולה הוא ציר שאם מקפלים את הפרבולה לשניים הפונקציה שמצד ימין מתלכדת עם הפונקציה שמצד שמאל לציר.
בפרבולות הציר עובר דרך נקודת קודקוד הפרבולה ומקביל לציר Y. לכן ציר הסימטריה הוא בעל אותו ערך  X של נקודת הקיצון של הפרבולה למשל.
אם קודקוד הפרבולה נמצא בנקודה (6,1) אז ציר הסימטריה הוא x=6.

פרבולה נושאים נוספים

נושאים שהם או פחות חשובים או קלים יותר בנושא פרבולה:

3. מרובעים בגיאומטריה אנליטית

גיאומטריה אנליטית מרובעים הוא דף סיכום הכולל את תכונות המרובעים הרלוונטיות לגיאומטריה אנליטית + תרגילים פתורים.

4. מעגל

דרכים למצוא את משוואת המעגל

משוואת המעגל שמרכזו הוא הנקודה (a,b) ורדיוסו R היא:

x-a)2+(y-b)2=R2)

דרכים למצוא את משוואת המעגל:

  1. יתנו לכם את מרכז המעגל ונקודה שעליו – ואז אתם מציבים בנוסחת המעגל.
  2. על פי קוטר המעגל – יתנו לכם שתי נקודות על המעגל היוצרות קוטר.
    אז מרכז המעגל הוא האמצע של הנקודות הללו.
  3. מעגל שמרכזו נמצא על ישר שאת משוואתו יתנו לכם.
    ואז אתם יכולים לבטא את ערך ה Y של נקודת מרכז המעגל באמצעות ערך X של נקודת מרכז המעגל.
    למשל אם מרכז המעגל עובר דרך y=3x+1. אז נקודת מרכז המעגל נראית כך:
    (x, 3x+1).
    לאחר שעשיתם את זה יש עוד שלבים בדרך למציאת משוואת המעגל.
  4. מעגל משיק לצירים – כאשר מעגל משיק לאחד או שני צירים אז אתם יכולים ללמוד על נקודת מרכז המעגל מנקודת ההשקה.
    אם המעגל משיק לציר ה x אז ערך ה x של מרכז המעגל שווה לערך ה x של נקודת ההשקה.
    אם המעגל משיק לציר ה y אז ערך ה y של מרכז המעגל שווה לערך ה y של נקודת ההשקה.
דרך מרכז מעגל זה עוברים הישרים x=2 ו y=3 לכן מרכז המעגל הוא הנקודה (2,3)

דרך מרכז מעגל זה עוברים הישרים x=2 ו y=3 לכן מרכז המעגל הוא הנקודה (2,3)

מציאת משיק למעגל

3 שלבים:

  1. מוצאים את שיפוע הרדיוס על ידי הנוסחה לשיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות –  שתי הנקודות הן מרכז המעגל ונקודות ההשקה.
  2. מוצאים את שיפוע המשיק – מכפלת שיפוע המשיק בשיפוע הרדיוס היא 1-.
  3. מוצאים את משוואת המשיק בעזרת השיפוע שמצאנו ונקודת ההשקה.(נוסחה למציאת משוואת ישר בעזרת נקודה ושיפוע)

מעגל נושאים נוספים

  • מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים – חיתוך עם ציר ה x מציבים y=0. חיתוך עם ציר ה y מציבים x=0 במשוואת המעגל.
  • איך יודעים אם נקודה נמצאת על המעגל / מחוץ למעגל / בתוך המעגל? מציבים את הנקודה במשוואת המעגל x-a)2+(y-b)2=R2).
    אם השוויון מתקיים אז הנקודה על המעגל.
    אם הצד השמאלי גדול יותר מהצד של R² אז הנקודה מחוץ למעגל.
    אם הצד השמאלי קטן יותר מהצד של R² אז הנקודה בתוך המעגל.
  • איך מוצאים את נקודת החיתוך של מעגל עם ישר? פותרים שתי משוואות עם שני נעלמים. הסבר מפורט יותר בקישור שלמטה.
  1. דוגמאות לתרגילים בכול הנושאים הללו בדף מעגל גיאומטריה אנליטית.

בהצלחה.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.