מציאת משוואת ישר

לדף זה 3 חלקים:

  1. הסבר על 5 השיטות למציאת משוואת ישר – על פי נקודה ושיפוע, על פי 2 נקודות, על פי ישרים מקבילים או ישרים מאונכים והסבר על המקרה המיוחד של מציאת משוואת ישר המקביל לצירים.
    זה עיקר הדף וכולם צריכים לדעת אותו ב 100%.
  2. החלק השני מסביר כיצד להתמודד עם מכשולים שיכולים "להוסיף" לשאלות.
  3. החלק השלישי מסביר כיצד מוצאים משוואת ישר תוך שימוש בתכונות של משולש שווה שוקיים או ריבוע.

לאורך הדף תמצאו קישורים לתרגילים נוספים, לטעמי כמות התרגילים הנמצאים בדף זה מספיקה בהחלט ומומלץ לעבור לקישורים הנוספים רק אם נושא ספציפי לא מובן לכם.

לאורך הדף יש סרטוני וידאו הכוללים הסברים תאורטיים ותרגילים. הסרטונים מופיעים לאחר הטקסט המסביר את אותו נושא.

אם אתם צריכים חומר על הקשר בין משוואת הישר וגרף הישר תמצאו אותו בדף גרף פונקציה קווית.
לאחר שתכירו את החומר בדף זה ואם אתם תלמידי 4-5 יחידות תוכלו למצוא שאלות קשות יותר בדף מציאת משוואת ישר עם הגדרת משתנים.

הקדמה: איך מוצאים משוואת ישר?

על מנת למצוא משוואת ישר צריך לדעת שני דברים:

  1. נקודה דרכה עובר הישר (x1,y1)
  2. שיפוע הישר (m)

לאחר מיכן מציבים את הערכים שקיבלנו בנוסחה (y – y= m (x – x1.

בתרגילים פשוטים יתנו לנו את השיפוע והנקודה ואנחנו נציב במשוואה על מנת למצוא את הישר.
בתרגילים קצת יותר קשים לא יתנו את שיפוע הישר ואנחנו נצטרך למצוא אותו.

חלק 1: 5 הדרכים המעשיות למציאת משוואת ישר

1. על פי שיפוע ונקודה.

זו הדרך הפשוטה ביותר ובא מציבים את הנתונים במשוואה.

תרגיל
מצאו את משוואה הישר העובר בנקודה (1,4) ושיפועו 2.
נציב במשוואה: (y-y1=m(x-x1
(y-4 = 2(x-1
y-4=2x-2 /+4
y=2x+2 – זו משוואת הישר המבוקש.

גרף הישר y=2x+2 והנקודה (1,4)

גרף הישר y=2x+2 והנקודה (1,4)

וידאו: כיצד מוצאים משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

2. על פי שתי נקודות דרכם עובר הישר.

אם נקבל שתי נקודות דרכם עובר הישר נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונמצא את משוואת הישר.

נוסחה לחישוב שיפוע על פי שתי נקודות

תרגיל
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (6,1) (2-, 1).

פתרון
בשלב ראשון נמצא את שיפוע הישר על פי הנוסחה הכתובה למעלה:
(m = (1+2)  / (6-1
m = 3/5=0.6

עכשיו נציב את ערך אחת הנקודות(לא משנה איזו) ואת השיפוע במשוואה (y-y1=m(x-x1 בדיוק כמו שעשינו בשיטה מספר 1.
(y+2 = 0.6(x-1
y+2=0.6x -0.6 / -2
y=0.6x -2.6 – זו משוואת הישר.

משוואת הישר y=0.6x -2.6 ושתי הנקודות דרכן הוא עובר

משוואת הישר y=0.6x -2.6 ושתי הנקודות דרכן הוא עובר

וידאו: מציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות

3. על פי ישרים מקבילים.

לישרים מקבילים שיפוע זהה.

תרגיל
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (4-,5-) ומקביל לישר y=-3x+1.

פתרון
שיפוע הישר המבוקש הוא 3- והוא עובר בנקודה (4-,5-).
נציב את הנתונים במשוואה: (y-y1=m(x-x1
(y+4= -3(x+5
y+4 =-3x -15 /-4
y= -3x -19  – זו משוואת הישר המבוקש.

הישר y=-3x-19, נקודה דרכה הוא עובר והישר המקביל

הישר y=-3x-19, נקודה דרכה הוא עובר והישר המקביל

4. על פי ישרים מאונכים.

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-. לכן אם נותנים לנו את את משוואת הישר המאונך נוכל למצוא את שיפוע הישר המבוקש.

תרגיל
מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y=2x-1 והעובר דרך הנקודה (0,0).

פתרון
נגדיר את m כשיפוע הישר המבוקש. לכן:
m*2=-1 /:2
m=-0.5
עכשיו נציב את הנתונים במשוואה (y-y1=m(x-x1
(y – 0 = -0.5 (x-0
y=-0.5x – זו משוואת הישר המבוקש.

הישר המבוקש y=-0.5x, נקודה דרכה הוא עובר והישר המאונך לו.

הישר המבוקש y=-0.5x, נקודה דרכה הוא עובר והישר המאונך לו.

וידאו: מציאת משוואת ישר על פי ישרים מאונכים או מקבילים

5. מציאת משוואת ישר מקביל לצירים

בעיות קנייה ומכירה

על מנת למצוא משוואת ישר רגילה אנו צריכים לדעת שתי נקודות או נקודה ושיפוע.
אבל עבור ישרים שמקבילים לצירים מספיק לדעת נקודה אחת דרכם הם עוברים.

למשל:
צלעות הריבוע ABCD מקבילות לצירים.
הנקודה (A(5, 2.
מצאו את משוואת הצלעות AB ו AD.

שרטוט הריבוע והתרגיל

פתרון

משוואת AB.
AB הוא ישר המקביל לציר ה y.
לכן ערך ה x שלו קבוע לכל אורכו ומשוואתו היא מהצורה x = k, כאשר k הוא מספר.
ידוע שבנקודה A ערך ה x הוא 5.
לכן משוואת AB היא x = 5.

משוואת AD.
AD הוא ישר המקביל לציר ה x.
לכן ערך ה y שלו קבוע לכל אורכו ומשוואתו היא מהצורה y = k.
ידוע שערך ה y בנקודה A הוא 2.
לכן משוואת AD היא y = 2.

חלק 2: מכשולים ודרכי ניסוח של שאלות שיכולים להקשות עליכם

פירוט המכשולים הללו נועד בעיקר עבור תלמידי הקבצה א בכיתה ט ותלמידים הניגשים לבגרות.

1.משוואת ישר לא מפורשת.
אם יתנו לכם משוואת ישר שנראית כך y-3x+5=0 ויבקשו ממכם למצוא את משוואת הישר המקביל או המאונך לה עליכם עליכם להעביר את משוואה זו אל הצורה המפורשת, ורק ממנה ניתן ללמוד על שיפוע הישר ולהשתמש בו לצורך חישוב שיפוע ישר מקביל / ישר מאונך.
y-3x+5=0
y-3x+5=0  / +3x-5
y=3x-5 – זו משוואה מפורשת.

2. לא יתנו לכם נקודה דרכה עובר הישר.
בכול השיטות שלמדנו צריך לדעת ערך של נקודה בה עובר הישר על מנת למצוא את משוואת הישר.
בחלק מהשאלות לא יתנו נקודה דרכה עובר הישר אבל כן יגידו:

  1. כי הישר "עובר דרך נקודת חיתוך של הישרים…". (מציאת נקודות חיתוך בין ישרים).
  2. הישר עובר דרך נקודת החיתוך של ישר אחר עם הצירים. (מציאת נקודת חיתוך עם הצירים)

תרגיל לדוגמה עם מכשולים

מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים y=x+1 ו y=-2x+10 ומקביל לישר y+3x=4.

פתרון
שלב 1: נמצא את שיפוע הישר המבוקש. על מנת לעשות זאת עלינו להעביר את משוואת הישר המקביל למשוואה מפורשת.
y+3x=4 /-3x
y=-3x+4 – כלומר שיפוע הישר המקביל והישר המבוקש הוא 3-.

שלב 2: נמצא את נקודת חיתוך הישרים y=x+1 ו y=-2x+10.
x+1 = -2x+10 /+2x-1
3x=9 /:3
x=3.
נמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y=3+1=4.
נקודת חיתוך הישרים והנקודה דרכה עובר הישר היא (3,4).

שלב 3: מציאת משוואת הישר ששיפוע 3- ועובר דרך הנקודה (3,4).
(y-4 = -3(x-3
y-4 = -3x +9 /+4
y=-3x+13  – משוואת הישר המבוקש.

משוואת הישר המבוקש y=-3x+13, נקודה דרכה הוא עובר והישר המקביל לו.

משוואת הישר המבוקש y=-3x+13, נקודה דרכה הוא עובר והישר המקביל לו.

 

סיכום הדרכים והמכשולים למצוא משוואת ישר

חמשץ הדרכים למצוא משוואת ישר הם:

  1. בעזרת נקודה דרכה עובר הישר ושיפוע הישר – זו הדרך הבסיסית ביותר. בכול השיטות האחרות משתמשים בדרך זו לאחר שמוצאים את השיפוע.
  2. על פי שתי נקודות דרכם עובר הישר – יש נוסחה המוצאת את השיפוע במקרה זה.
  3. על פי ישרים מקבילים – לישרים מקבילים שיפוע זהה.
  4. על פי ישרים מאונכים – מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
  5. כאשר ידוע שישר מקביל לצירים מספיק לדעת נקודה אחת דרכה עובר הישר על מנת למצוא את משוואת הישר.

קשיים מרכזיים בהם תוכלו להיתקל:

  1. תדרשו להשתמש במשוואת ישר לא מפורשת – ואז יש לעבור למשוואת ישר מפורשת.
  2. תדרשו למצוא נקודת חיתוך של של ישרים.

חלק 3: מציאת משוואת ישר על ידי שימוש בתכונות של צורות

שאלות קשות יותר בנושא משוואת ישר דורשות למצוא משוואת ישר תוך שימוש בתכונות של צורות שונות.
מובאים כאן סרטוני וידאו המסבירים את הקשר שבין תכונות משולש שווה שוקיים וריבוע למציאת משוואת ישר.

הסבר על התכונות החשובות של משולש שווה שוקיים בהקשר של גאומטריה אנליטית
הסבר על התכונות החשובות של ריבוע בהקשר של גאומטריה אנליטית

אם תרצו לקרוא ולא לראות בוידאו את התוכן של שני בסרטונים הללו תוכלו לעשות זאת בקישור משוואת ישר שאלון 803 / 381.

דפים נוספים באתר:

תרגילים לעבודה עצמית

מצורפים תרגילים הממחישים את 4 השיטות שפורטו קודם למציאת משוואת ישר.

1. מציאת משוואת ישר בעזרת שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (5,3) ושיפועו 2.

פתרון
הנתונים הם: X1=5 ו- Y1=3.
m=2.
נציב במשוואה  (y-y1=m(x-x1 .
(y-3=2(x-5
y-3=2x-10  /+3
y=2x-7  – משוואת הישר המבוקש.

2. מציאת משוואת ישר בעזרת שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (8,5) ו (1, 6)

פתרון
נמצא את השיפוע על פי הנוסחה:

m= Y1-Y2:(X1-X2)).

נוסחה לשיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות

(8-6) : (5-1)
2= 4:2
השיפוע הוא 2.
נציב את השיפוע וערכי אחת הנקודות (לא חשוב איזו) במשוואה (y-y1=m(x-x1.
(y-1=2(x-6
y-1=2x-12  / +1
y=2x-11 – זו משוואת בישר.

שרטוט הישר והנקודות

שרטוט הישר והנקודות

 

3. מציאת משוואת ישר בעזרת ישר מקביל

מצאו את משוואת העובר דרך הנקודה (2,2) ומקביל לישר y=5x+1.

פתרון
שיפוע הישר המבוקש הוא 5 מכוון שהוא מקביל לישר ששיפועו 5 (y=5x+1).
נציב את ערכי הנקודה (2,2) והשיפוע (5) במשוואה (y-y1=m(x-x1.
(y-2=5(x-2
y-2=5x-10 /+2
y=5x-8

לישרים מקבילים שיפוע זהה

4. מציאת משוואת ישר בעזרת שיפוע קו מאונך

מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y=4x-1 ועובר דרך הנקודה (4,2).

פתרון
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
שיפוע הישר הנתון היא 4. לכן שיפוע הישר המאונך הוא 0.25-.
1- = 4 * 0.25-.
נציב את הנקודה והשיפוע במשוואה  (y-y1=m(x-x1.
y-2= – 0.25(x-4
y-2= – 0.25x +1  / +2
y= – 0.25x +3

שרטוט הישרים המאונכים

5. תרגיל מסכם, מציאת משוואת ישר בדרכים שונות

מלבן ABCD עובר דרך 3 נקודות
(A(2,8
(B(1-, 2
((C(1,1

  1. מצאו את משוואת הצלע AD.
  2. מצאו את משוואת הצלע CD.
  3. מצאו את הנקודה D.

שרטוט גרף התרגיל

פתרון

1. מציאת משוואת הישר AD.
הצלע AD מקבילה לצלע BC ולכן יש להם את אותו שיפוע.
נמצא את השיפוע של BC.
m = (2-1) : (-1-1) = 1:-2= – 0.5

נמצא את משוואת AD על פי השיפוע  0.5 – והנקודה (A(2,8.
(y-y1=m(x-x1
(y-8= – 0.5 (x-2
y-8= -0.5x+1  / +8
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.

2. מציאת משוואת הישר CD.
הישר CD מאונך לישר AD.
ולכן מכפל השיפועים שלהם היא 1-.
אם t הוא השיפוע של CD אז:
t * -0.5 = -1    / * -2
t = 2

נמצא את משוואת הישר העובר דרך (1,1) c ושיפועו 2.
(y-y1=m(x-x1
(y – 1 = 2(x – 1
y – 1 = 2x -2   / +1
y = 2x – 1  זו משוואת הישר CD.

3. מציאת הנקודה D.
הנקודה D היא נקודת החיתוך של שני הישרים שמצאנו בסעיפים הקודמים.
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.
y = 2x – 1  זו משוואת הישר CD.
נמצא את נקודת החיתוך D על ידי השוואה של המשוואות:
2x – 1 = -0.5x + 9    / +0.5x   + 1
2.5x = 10   / :2.5
x = 4

על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה D נציב x = 4 במשוואת הישר CD.
y = 2x – 1
y = 2* 4 – 1 = 7
תשובה (7, 4) D.

עוד בנושא מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים תוכלו למצוא בקישור.

שאלה שאלות

8 תגובות בנושא “מציאת משוואת ישר

  1. קרן

    היי, לגבי התרגיל האחרון שפירסמת כאן בעמוד (5)
    הצלחתי את סעיף א וב'
    אבל אין לי מושג איך עושים את ג' ולא פירסמתם את זה.
    אשמח להסבר דחוף,
    תודה רבה!

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום קרן
      הוספתי פתרון מפורט בסוף השאלה, את יכולה לקרוא אותו שם. הסבר קצר נמצא כאן.
      בשני הסעיפים הראשונים יש מצאנו את הישרים AD, CD. הנקודה D היא נקודת החיתוך של הישרים הללו, וכך מוצאים אותה על ידי מציאת נקודת חיתוך בין ישרים.
      מכאן את צריכה ללמוד ולזכור שני דברים:
      1) מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים הוא נושא חשוב מאוד שנעשה בו שימוש באינספור שאלות. למדי אותו. הוספתי שם קישור לדף מיוחד בנושא.
      2) בהרבה מהשאלות אנו צריכים להשתמש במידע מהסעיפים הקודמים על מנת לפתור את השאלה הנוכחית. וזה בדיוק מה שקרה כאן. מצאנו משוואות בסעיפים א ו ב והשתמשנו בהם כדי לפתור את סעיף ג.
      זה קורה המון פעמים, תמיד בדקי כיצד תשובות לסעיפים קודמים יכולים לעזור לך.
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום אורטל.
      1) ישרים שאינם מקבילים לציר ה y חותכים את ציר ה y.
      2) לכן צריך למצוא משוואת ישר מקביל לציר ה y ועובר בנקודה (1,2). רק הוא לא יחתוך את ציר ה y.
      3) לישרים המקבילים לציר ה Y יש ערך y קבוע בכול נקודה.
      4) ומכוון שהישר צריך לעבור דרך נקודה שבה y=2 משוואתו תהיה y=2.
      בהצלחה

  2. TF

    יש לי שאלה כזאת: מצא את משוואת הישר ששיפועו 5 העובר דרך הראשית.
    מה הפתרון של השאלה כי לא הבנתי אותה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      השאלה הזו שייכת לקבוצת השאלות של "מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה"
      ראשית הצירים זו הנקודה 0,0.
      והשיפוע הוא 5.
      נציב זאת במשוואה: (y-y1=m(x-x1
      (y-0 = 5(x-0
      y=5x
      זו משוואת הישר אליה אתה צריך להגיע.
      ,תרגילים והסברים נוספים בדף:
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-point-slope/

      מקווה שעזר.

  3. Chana

    היי, יש לי שאלה כזו;
    מצא את משוואת הישר ששיפועו 8 והוא חותך את ציר ה x בנקודה שבה x=3. איך ניתן למצוא את הy?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום חנה.
      בנקודה שבה ישר חותך את ציר ה X ערך ה Y בנקודה הוא y=0.
      לכול אורך ציר ה x מתקיים y=0.
      לכן את צריכה למצוא את משוואת ישר ששיפועו 8 ועובר בנקודה (3,0).
      הסבר כיצד מוצאים משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה תמצאי בדף זה וגם בקישור.
      משוואת הישר שאת צריכה להגיע אליה היא:
      y=8x-24
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-point-slope/

      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.