מציאת נקודת חיתוך של המעגל עם הצירים / חיתוך של ישר ומעגל

בדף זה נלמד 3 נושאים שהם בעצם נושא אחד:

  1. מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים.
  2. מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי X / Y שלה ידוע ואחד חסר.
  3. מציאת נקודת חיתוך של ישר המקביל לצירים עם המעגל.

מה משותף לשלושת הנושאים הללו? בשלושת המקרים הללו אנו נדע את משוואת המעגל וערך x או y של נקודה על המעגל. נציב את הערך הידוע במשוואת המעגל ונמצא את הערך השני.

1.מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים

כמו במשוואת ישר, בכמו בפרבולה וכמו בכול פונקציה אחרת.

  1. חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבה y = 0 במשוואה.
  2. חיתוך עם ציר ה y מוצאים על ידי הצבה x = 0 במשוואה.

תרגיל 1
נתונה משוואת המעגל x² + y² = 16. מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים.

פתרון
נציב x= 0 ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה y.
y² + 0² = 16
y² = 16
y = 4,  y = -4
נקודות החיתוך עם ציר ה y הן: (4-, 0)    (4, 0)

נציב y = 0  ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x
. x² + 0² = 16
x² = 16
x = 4,   x = -4
נקודת החיתוך עם ציר ה x הן: (0, 4-)    (0, 4)

שרטוט המעגל x² + y² = 16. ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

שרטוט המעגל x² + y² = 16. ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

תרגיל 2
נתונה משוואה המעגל x-2)2+(y-1)2=40)
מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.
פתרון
חיתוך עם ציר ה y
נציב X=0  על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y.
משוואת המעגל
y² -2y + 1 +4 = 40
y² – 2y + 5 = 40  / -40
y² – 2y – 35 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
נוסחת השורשים

ונקבל  Y=7 ו- Y=-5.
תשובה: נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- Y הם: (5-, 0)  (0,7).

חיתוך עם ציר ה x
על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X נציב במשוואת המעגל y=0.
x-2)2+(0 -1)2=40)
x2-4x+4+1=40  /-40
x2-4x-35=0

פתרונות המשוואה הריבועית הם: 8.244 = X או x=-4.244.
תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה- X הן  (0, 4.244-)  (0, 8.244)

שרטוט המעגל x-2)2+(y-1)2=40) ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

שרטוט המעגל x-2)2+(y-1)2=40) ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

 

2.מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי x / y שלה ידוע ואחד חסר

על מנת לפתור שאלות אלו נציב את הערך הידוע במשוואת המעגל ונמצא את הערך השני.

תרגיל 1
הנקודה A ברביע הרביעי ועל המעגל x – 3)² + (y + 1)² = 20)
ערך ה x בנקודה A הוא x= 5.
מצאו את הנקודה A.

פתרון
y + 1)² + (5 – 3)² = 20)
y² + 2y + 1 +4 = 20  / -20
y² + 2y – 15 = 0
נציב בנוסחת השורשים:

נוסחת השורשים

נפתור את המשוואה ונקבל הפתרונות של המשוואה הריבועית y = -5,  y = 3
מכוון שאמרו ש A נמצאת ברביע הרביעי הערך המתאים הוא y =-5
תשובה: ( A (5, -5

שרטוט המעגל הנקודה A והנקודה שנפסלה

שרטוט המעגל הנקודה A והנקודה שנפסלה

תרגיל 2
על המעגל x + 2)² + y² = 13)   
נמצאות הנקודות A, B שבהן y = 2. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון והנקודה B ברביע השני.
מצאו את הנקודות A ו B.

פתרון
נציב y =2 במשוואת המעגל ונקבל:
x + 2)² +2² = 13)
x² + 4x + 4 + 4= 13  /  – 13
x² + 4x – 5 = 0
נציב בנוסחת השורשים:
נוסחת השורשים

נפתור את המשוואה ונקבל: x = 1,  x = -5
תשובה: (A(1, 2)   B(-5, 2

שרטוט משוואה המעגל והנקודות A, B

שרטוט משוואה המעגל והנקודות A, B

3.מציאת נקודות חיתוך של ישר ומעגל

עושים זאת בדרך שכבר פתרנו איתה הרבה סעיפים: מציבים במשוואת המעגל.
הרבה פעמים לאחר ההצבה נקבל משוואה ריבועית שנצטרך לפתור.
מספר נקודות החיתוך בין הישר למעגל הוא כמספר הפתרונות של המשוואה הריבועית:
שתי פתרונות למשוואה הריבועית – שתי נקודות חיתוך. פתרון אחד – נקודת מפגש אחת (הישר משיק למעגל) 0 פתרונות – הישר והמעגל לא נפגשים.

תרגיל 1
מצאו את נקודת החיתוך של המעגל x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y=3.

פתרון
נציב y= 3 במשוואת המעגל. x – 2)²  + (3 -1)² = 20)
x² – 4x + 4 + 4 = 20   / -20
x² – 4x -12 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים:
נוסחת השורשים כ

אשר נפתור נקבל x = 6  או    x = -2
ערך ה y בנקודות הלל כבר ידוע לנו, כי הצבנו אותו y = 3.
תשובה: נקודות החיתוך של הישר y=3 עם המעגל x -2)² + (y -1)² = 20)
הן: (3, 6)   (3, 2-)

 נקודת החיתוך של המעגל x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y=3.

נקודת החיתוך של המעגל
x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y=3.

תרגיל 2
מצאו את נקודת החיתוך הנמצאת ברביע השלישי של הישר x = -4 עם המעגל x + 1) + y² = 21.25).

פתרון
נציב x = -4 במשוואת המעגל. y² + (-4 + 1)² = 21.25
y² + 9 = 21.25   / -9
y² = 12.25
y = 3.5   או   y=  -3.5

נקודות החיתוך הן (3.5-,  4-)   (3.5,  4-).
ביקשו מאיתנו למצוא נקודת חיתוך הנמצאת ברביע השלישי לכן רק הנקודה (3.5-,  4-) היא הפתרון.

נקודת החיתוך של הישר x = -4 עם המעגל x + 1) + y² = 21.25).

נקודת החיתוך של הישר x = -4 עם המעגל x + 1) + y² = 21.25).

מציאת נקודות חיתוך של ישר שאינו מקביל לצירים עם מעגל

במרבית בחינות הבגרות שבהן מופיע סעיף על חיתוך של מעגל וישר הישר הוא ישר המקביל לצירים.
אבל יתכן שבכיתה או בבחינת הבגרות שלכם שאלה הדורשת חיתוך של ישר שאינו מקביל לצירים.
כיצד מוצאים את נקודות החיתוך? בדיוק כפי שעשיתם עד עכשיו: מציבים את משוואת הישר בתוך משוואת המעגל.

תרגיל 3
מצאו את נקודת החיתוך של המעגל והישר הבאים:
x-5)²+(y-2)²=20)
y=7x+1

פתרון
נציב את משוואת הישר במשוואת המעגל x-5)2+(7x+1 -2)2=20)
x2-10x+25+(7x-1)2=20
x2-10x+25 + 49x2-14x+1=20 / -20
50x2-24x +6=0 / :2
25x2-12x+3=0

נבדוק על ידי חישוב ה"דלתא" אם למשוואה זו יש פתרונות.
3 * 25 * 4 – 12² 0 > 300 – 144
תשובה: הדלתא של משוואה ריבועית זו היא שלילית ולכן אין פתרונות למשוואה ואין נקודות חיתוך בין הישר למעגל.

שרטוט הגרפים של המעגל x-5)²+(y-2)²=20) והישר y=7x+1

שרטוט הגרפים של המעגל x-5)²+(y-2)²=20) והישר y=7x+1

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.