משוואת מעגל

בדף זה מידע כיצד כותבים את משוואת המעגל וכיצד מוצאים את המשוואה בשאלות שונות.

משוואת המעגל

בגיאומטריה אנליטית מעגל מוגדר על ידי שתי תכונות:

  1. נקודת מרכז המעגל.
  2. רדיוס המעגל.

משוואת המעגל שמרכזו הוא הנקודה (a,b) ורדיוסו R היא:

x-a)2+(y-b)2=R2)

למשל, אם מרכז המעגל הוא (6,2) והרדיוס 5 אז משוואת המעגל היא:
x-6)²+(y-2)²=5²)

דוגמה למעגל על מערכת הצירים

המעגל הקנוני
מעגל שמרכזו בראשית הצירים נקרא מעגל קנוני. משוואת מעגל זה מתקבלת על ידי הצבת (0,0) במשוואת המעגל שכתבנו למעלה.
x²+y²=R².

כיצד מוצאים משוואת מעגל

בהרבה שאלות לא יתנו את משוואת המעגל המפורשת ויבקשו ממכם למצוא אותה. אלו הצורות המרכזיות בהם יבקשו ממכם למצוא את משוואת המעגל:

  1. יתנו לכם את מרכז המעגל ונקודה שעליו.
  2. על פי קוטר המעגל – יתנו לכם שתי נקודות על המעגל היוצרות קוטר.
  3. מעגל שמרכזו נמצא על ישר שאת משוואתו יתנו לכם.
  4. מעגל משיק לצירים.

בכול סוגי השאלות זכרו שיש לכם בסך הכל 2 נעלמים: נקודת מרכז המעגל ורדיוס המעגל.
בשאלות הקשות יותר תצטרכו למצוא בנפרד את ערך ה X של מרכז המעגל וערך ה Y, ואז יש לכם 3 נעלמים.
מכך נובע שאם אתם מצליחים לבנות 2 משוואות פתרתם כמעט כל שאלה בנושא (השאלות הפשוטות נפתרות עם משוואה 1).

משוואת מעגל על פי מרכז המעגל ונקודה שעליו

כאשר נותנים לנו את מרכז המעגל מה חסר לנו? הרדיוס.
במקרה זה ניתן למצוא את הרדיוס בשתי דרכים:

  1. מחשבים את המרחק בין מרכז המעגל לנקודה – ומרחק זה הוא הרדיוס.
    זה נובע מכך שכל הנקודות על המעגל נמצאות במרחק שווה ממרכז המעגל ומרחק זה הוא הרדיוס.
  2. אפשרות אחרת היא להציב את את ערך הנקודה במשוואת המעגל – זו תהיה משוואה שבה R הוא הנעלם היחיד וכך נמצא אותו.

לדוגמה:
מצאו את משוואת המעגל שמרכזו (6,2) ועובר דרך הנקודה (12,10).
פתרון
נוסחת המרחק בין נקודות היא:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2)²     לכן:
r²=(12-6)² + (10-2)²
r²=6² +8²
r²=36+64=100
לכן משוואת המעגל היא:
x-6)²+(y-2)²=100)
שימו לב שאם היינו צריכים למצוא את גודל הרדיוס היה עלינו להוציא שורש.
r²=100
r=10 (האפשרות של r=-10 נפסלת כי הרדיוס הוא גודל חיובי).

דרך שנייה: על ידי הצבה במשוואת המעגל
משוואת המעגל הנתון היא:
x-6)²+(y-2)²=r²)
כאשר נציב את הנקודה (12,10) נקבל:
²(10-2) + ²(12-6) = r²
r²=6² +8²
r²=36+64=100
הגענו אל אותה תשובה וגם המשוואות שפתרנו היו זהות.

משוואת מעגל על פי קוטר

בשאלות מסוימות יתנו לנו שתי נקודות על המעגל היוצרות קוטר במעגל ויבקשו מאיתנו למצוא את משוואת המעגל.
על מנת למצוא את משוואת המעגל נשתמש בתכונה שמרכז המעגל הוא האמצע של הקוטר. לכן נחשב את את אמצע הקטע וכך יהיה לנו את מרכז המעגל.
לאחר מיכן נמצא את משוואת המעגל על ידי חישוב המרחק בין אחת הנקודות למרכז המעגל.
אזכיר, אמצע קטע מחושב באופן הבא:

Xc = ((x_1+ x_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה X של הנקודות yc = ((y_1+ y_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה Y של הנקדות

תרגיל
מצאו את משוואת המעגל שהנקודות (A(2,8)   B(6, 0 הן הקוטר שלו.
פתרון
נמצא את אמצע הקטע.
x = (2+6) :2
4= 8:2
y = (0+8) :2
4=8:2
מרכז המעגל הוא הנקודה (4,4).
נחשב את הרדיוס על ידי מרחק בין נקודות.
r² = (4-6)² + (4-0)²
r²=4+16=20
משוואת המעגל היא:
x-4)²+(y-4)²=20)

משוואת מעגל על פי נקודות השקה לצירים

בחלק מהשאלות יגידו לנו שמעגל משיק לאחד או לשני הצירים ויבקשו מאיתנו להשתמש בתכונה זו על מנת למצוא את משוואת המעגל. כיצד עושים זאת?

  • כאשר מעגל משיק לציר ה x זה אומר שערך ה x של מרכז המעגל שווה לערך ה x בנקודת ההשקה וערך ה Y שווה ל R.
  • כאשר מעגל משיק לציר ה y זה אומר שערך ה y של מרכז המעגל שווה לערך ה y בנקודת ההשקה וערך ה X שווה ל R.

למה זה כך?
יש משפט האומר שרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
וזה אומר שניתן להוריד ממרכז המעל אנך אל הציר שאליו המעגל משיק, ואנך אל ציר שומר על ערך הציר לכל אורכו.
תכונה זו מומחשת בשרטוטים הבאים:

דרך מרכז מעגל זה עוברים הישרים x=2 ו y=3 לכן מרכז המעגל הוא הנקודה (2,3)

דרך מרכז מעגל זה עוברים הישרים x=2 ו y=3 לכן מרכז המעגל הוא הנקודה (2,3)

דרך מרכז מעגל זה עובר הישר x=-1 ולכן ערך ה x של נקודת ההשקה שווה ל 1-. את ערך ה y של מרכז המעגל לא ניתן לדעת על פי תכונת ההשקה

דרך מרכז מעגל זה עובר הישר x=-1 ולכן ערך ה x של נקודת ההשקה שווה ל 1-.
את ערך ה y של מרכז המעגל לא ניתן לדעת על פי תכונת ההשקה

שימו לב שכאשר אומרים לכם שמעגל משיק לאחד מהצירים בנקודה מסוימת אומרים לכם בעצם שתי תכונות שאתם צריכים להשתמש בהם:
– את העובדה שהמעגל משיק.
–  המעגל עובר דרך נקודה.

שימוש במשוואת ישר העובר דרך מרכז המעגל למציאת משוואת מעגל

כאשר אומרים לכם שישר מסוים עובר דרך מרכז מעגל מאפשרים לכם להגדיר את ערכי נקודת מרכז המעגל באמצעות משתנה אחד.
לדוגמה:
אם הישר y=x+2 עובר דרך מרכז המעגל אז ניתן להגדיר את נקודת מרכז המעגל כ  (x, x+2).
דוגמאות נוספות:
(y=2x-5  >>     (x,2x-5
(y=-4x+1  >>     (x,-4x+1

לאחר שהגדרנו את מרכז המעגל בצורה הזו נמצא את משוואת המעגל על ידי נתון נוסף שצריך להופיע לנו בשאלה.

לדוגמה
מצאו את משוואת המעגל שמרכזו נמצא על הישר y=2x+2 ומשיק לציר ה x בנקודה (1,0).
פתרון
אם המעגל משיק לציר ה X בנקודה (1,0) ערך ה X של נקודת מרכז המעגל הוא 1.
נציב זאת במשוואת הישר:
y=2*1 +2=4
מרכז המעגל הוא הנקודה (1,4).
נמצא את הרדיוס על פי מרחק בין שתי נקודות:
r²=(1-1)² + (4-0)²
r²=4²=16
משוואת המעגל היא:
x-1)² + (y-4)² = 16)

כך המעגל והישר נראים על מערכת הצירים

כך המעגל והישר נראים על מערכת הצירים

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.