משוואת מעגל

בדף זה שני חלקים:

  1. היכרות עם משוואת המעגל.
  2. מציאת משוואת המעגל – נלמד על 4 דרכים שונות למצוא את משוואת המעגל. החלק הזה הוא החלק העיקרי והחשוב של הדף.

הדף הזה ארוך אבל הוא אינו כולל את כל המידע בנושא מעגל, דפים חשובים נוספים הם:

  1. מעגל שאלון 382 – דף זה כולל מספר נושאים טכניים בסיסיים כמו: מציאת נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים, האם נקודה נמצאת בתוך המעגל או מחוצה לו ועוד.
  2. מציאת משיק למעגל – נושא חשוב מאוד.

היכרות עם משוואת המעגל

בגיאומטריה אנליטית מעגל מוגדר על ידי שתי תכונות:

  1. נקודת מרכז המעגל.
  2. רדיוס המעגל.

זאת אומרת שאם אומרים שמרכז המעגל הוא בנקודה (2, 1-) והרדיוס 4 יש רק מעגל אחד המתאים לתיאור הזה.
המעגל הזה נראה כך:

משוואת מעגל

כיצד נראית משוואת מעגל?
כמו שלישר יש משוואת ישר הנראית כך y = mx + n.
גם למעגל יש צורה קבועה שבה מציגים אותו.

משוואת המעגל שמרכזו הוא הנקודה (a,b) ורדיוסו R היא:

x-a)2+(y-b)2=R2)

למשל, אם מרכז המעגל הוא (6,2) והרדיוס 5 אז משוואת המעגל היא:
x-6)²+(y-2)²=5²)

x-a)²+(y-b)²=R²)

המעגל הקנוני
מעגל שמרכזו בראשית הצירים נקרא מעגל קנוני. משוואת מעגל זה מתקבלת על ידי הצבת (0,0) במשוואת המעגל שכתבנו למעלה.
נציב את נקודות מרכז המעגל (0,0) במשוואת המעגל הרגילה.
x -0)² + (y – 0)² = R²)
x²+y²=R².
(המשוואה האחרונה היא משוואת המעגל הקנוני).

למשל משוואת מעגל קנוני שרדיוסו R=3 היא:
x²+y²=3².
וכך המעגל נראה על מערכת הצירים.

תרגילים בסיסיים בנושא נוסחת המעגל

תרגיל 1
ידוע כי מרכז המעגל הוא בנקודה (6, 1-) ורדיוס המעגל 0.5 יחידות.
כתבו את משוואת המעגל.

פתרון
נציב את המספרים בנוסחה
x-a)²+(y-b)²=R²)
ונקבל:
x + 1)² + (y – 6)² = 0.5²)

תרגיל 2
משוואת מעגל היא:
x + 4)² + (y + 1)² = 37)
מצאו את נקודת מרכז המעגל ואת רדיוס המעגל.

פתרון
מרכז המעגל הוא הנקודה (1-, 4-).
R = √37

תרגיל 3
משוואת מעגל היא x – 1)² + y² = 1)
מצאו את נקודת מרכז המעגל ואת הרדיוס.

פתרון
משוואת המעגל יכולה להיכתב גם כך:
x – 1)² + (y – 0)² = 1²)
נקודת מרכז המעגל (0, 1).
הרדיוס 1.

כיצד מוצאים משוואת מעגל

בהרבה שאלות לא יתנו את משוואת המעגל המפורשת ויבקשו ממכם למצוא אותה.
אלו הצורות המרכזיות בהם יבקשו ממכם למצוא את משוואת המעגל:

  1. יתנו לכם את מרכז המעגל ונקודה שעליו.
  2. על פי קוטר המעגל – יתנו לכם שתי נקודות על המעגל היוצרות קוטר.
  3. מעגל משיק לצירים.
  4. מעגל שמרכזו נמצא על ישר שאת משוואתו יתנו לכם.

בכול סוגי השאלות זכרו שיש לכם בסך הכל 2 נעלמים: נקודת מרכז המעגל ורדיוס המעגל.
בשאלות הקשות יותר תצטרכו למצוא בנפרד את ערך ה X של מרכז המעגל וערך ה Y, ואז יש לכם 3 נעלמים.
מכך נובע שאם אתם מצליחים לבנות 2 משוואות פתרתם כמעט כל שאלה בנושא (השאלות הפשוטות נפתרות עם משוואה 1).

1. משוואת מעגל על פי מרכז המעגל ונקודה שעליו

כאשר נותנים לנו את מרכז המעגל מה חסר לנו? הרדיוס.
במקרה זה ניתן למצוא את הרדיוס בשתי דרכים:

  1. מחשבים את המרחק בין מרכז המעגל לנקודה – ומרחק זה הוא הרדיוס.
    זה נובע מכך שכל הנקודות על המעגל נמצאות במרחק שווה ממרכז המעגל ומרחק זה הוא הרדיוס.
  2. אפשרות אחרת היא להציב את את ערך הנקודה במשוואת המעגל – זו תהיה משוואה שבה R הוא הנעלם היחיד וכך נמצא אותו.
אם אנחנו יודעים את מרכז המעגל (M) ונקודה שעל המעגל (A) אז ניתן לחשב את הרדיוס בעזרת מרחק בין שתי נקודות.

אם אנחנו יודעים את מרכז המעגל (M) ונקודה שעל המעגל (A) אז ניתן לחשב את הרדיוס בעזרת מרחק בין שתי נקודות.

לדוגמה:
מצאו את משוואת המעגל שמרכזו (6,2) ועובר דרך הנקודה (12,10).

פתרון
מה שחסר לנו למשוואת המעגל הוא הרדיוס.
הרדיוס שווה למרחק שבין מרכז המעגל (6,2) לנקודה שעליו (12,10)
נציב את הנקודות הללו בנוסחת המרחק בין נקודות:
d²=(x1-x2)² + (y1-y2
לכן:
r²=(12-6)² + (10-2)²
r²=6² +8²
r²=36+64=100

לכן משוואת המעגל היא:
x-6)²+(y-2)²=100)
שימו לב שאם היינו צריכים למצוא את גודל הרדיוס היה עלינו להוציא שורש.
r²=100
r=10 (האפשרות של r=-10 נפסלת כי הרדיוס הוא גודל חיובי).

דרך שנייה: על ידי הצבת ערכי הנקודה שעל המעגל  במשוואת המעגל
משוואת המעגל הנתון היא:
x-6)²+(y-2)²=r²)
כאשר נציב את הנקודה (12,10) הנמצאת על המעגל נקבל:
²(10-2) + ²(12-6) = r²
r²=6² +8²
r²=36+64=100
הגענו אל אותה תשובה וגם המשוואות שפתרנו היו זהות.

2. משוואת מעגל על פי קוטר

בשאלות מסוימות יתנו לנו שתי נקודות על המעגל היוצרות קוטר במעגל ויבקשו מאיתנו למצוא את משוואת המעגל.
על מנת למצוא את משוואת המעגל נשתמש בתכונה שמרכז המעגל הוא האמצע של הקוטר. לכן נחשב את את אמצע הקטע וכך יהיה לנו את מרכז המעגל.
לאחר מיכן נמצא את משוואת המעגל על ידי חישוב המרחק בין אחת הנקודות למרכז המעגל.
אזכיר, אמצע קטע מחושב באופן הבא:

Xc = ((x_1+ x_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה X של הנקודותyc = ((y_1+ y_2)/2) מחשבים את הממוצע של ערכי ה Y של הנקדות

אם אנו יודעים את הנקודות A,B ניתן למצוא את מרכז המעגל M על ידי חישוב אמצע הקטע AB

אם אנו יודעים את הנקודות A,B ניתן למצוא את מרכז המעגל M על ידי חישוב אמצע הקטע AB

תרגיל
מצאו את משוואת המעגל שהנקודות (A(2,8)   B(6, 0 הן הקוטר שלו.

פתרון
מרכז המעגל נמצא בדיוק באמצע הקוטר.
לכן נמצא את אמצע הקטע AB על פי הנוסחה לאמצע קטע.

שלב א: מציאת ערכי ה x וערכי ה y של מרכז המעגל
ערך ה x של מרכז המעגל הוא:
4
x = 4.

ערך ה y של מרכז המעגל הוא:

y = 4

מרכז המעגל הוא הנקודה (4,4).

שלב ב: מציאת ערך הרדיוס של המעגל ומציאת משוואת המעגל
נחשב את הרדיוס על ידי מרחק בין נקודות.
הרדיוס הוא המרחק של מרכז המעגל (4,4) מהנקודה (B(6, 0.
r²=(x1-x2)² + (y1-y2
r² = (4-6)² + (4-0)²
r²=4+16=20

משוואת המעגל היא:
x-4)²+(y-4)²=20)

3. משוואת מעגל על פי נקודות השקה לצירים

בחלק מהשאלות יגידו לנו שמעגל משיק לאחד או לשני הצירים ויבקשו מאיתנו להשתמש בתכונה זו על מנת למצוא את משוואת המעגל. כיצד עושים זאת?

  • כאשר מעגל משיק לציר ה x זה אומר שערך ה x של מרכז המעגל שווה לערך ה x בנקודת ההשקה וערך ה Y שווה ל R.
  • כאשר מעגל משיק לציר ה y זה אומר שערך ה y של מרכז המעגל שווה לערך ה y בנקודת ההשקה וערך ה X שווה ל R.

למה זה כך?
יש משפט האומר שרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
וזה אומר שניתן להוריד ממרכז המעל אנך אל הציר שאליו המעגל משיק, ואנך אל ציר שומר על ערך הציר לכל אורכו.

שימו לב שכאשר אומרים לכם שמעגל משיק לאחד מהצירים בנקודה מסוימת אומרים לכם בעצם שתי תכונות שאתם צריכים להשתמש בהם:
– את העובדה שהמעגל משיק.
–  המעגל עובר דרך נקודה.

תרגיל 1
המעגל שבשרטוט משיק לציר ה y בנקודה y = 2.
איזה ערך של מרכז המעגל ניתן לדעת? האם ניתן לדעת את שני ערכי מרכז המעגל?

פתרון
דרך נקודת מרכז המעגל עובר הישר המקביל לצירים y =2.
לכן ערך ה y של נקודת מרכז המעגל הוא 2.
לא ניתן לדעת מהנתונים את ערך ה x של מרכז המעגל.

תרגיל 2
המעגל שבשרטוט משיק לשני הצירים.
לציר ה x הוא משיק בנקודה x = -3
מה היא נקודת מרכז המעגל?

פתרון
דרך נקודת מרכז המעגל עובר הישר המקביל לצירים x = -3.
לכן x = -3 הוא ערך ה x של מרכז המעגל.

דרך נקודת מרכז המעגל עובר הישר המקביל לצירים y = 3.
לכן ערך ה y של נקודת ההשקה הוא y=3.
נקודת מרכז המעגל היא (3,  3-)

פתרון וידאו:

4. שימוש במשוואת ישר העובר דרך מרכז המעגל למציאת משוואת מעגל

כאשר אומרים לנו שישר עובר דרך נקודת מרכז המעגל יכולים להיות לכך שני שימושים.

שימוש 1:
כאשר אומרים לנו שישר עובר דרך נקודת מרכז המעגל אז במידה ונדע את ערך ה x או ערך ה y של מרכז המעגל נוכל למצוא גם את הערך השני.
למשל:
ערך ה x בנקודת מרכז המעגל הוא x = 3. הישר y = 2x -4 עובר דרך נקודת מרכז המעגל.
מצאו את נקודת מרכז המעגל.

פתרון
נציב x= 3 במשוואה  y = 2x -4 ונמצא את ערך ה y של מרכז המעגל.
y = 2 * 3 – 4 = 6-4 =2
נקודת מרכז המעגל היא 3,2.

דוגמאות לשימוש בתכונה זו בתרגילים 1-2.

שימוש שני לישר העובר דרך מרכז המעגל
כאשר ידועה משוואת ישר העובר דרך מרכז המעגל ניתן להציג את נקודת מרכז המעגל בעזרת משתנה אחד בלבד.
למשל:
ידוע כי משוואת הישר y = -x – 3 עובר דרך מרכז המעגל. בטאו בעזרת x1 את נקודת מרכז המעגל.

פתרון
נניח כי x1 הוא ערך ה x של מרכז המעגל.
נציב ערך זה במשוואת המעגל ונמצא את ערך ה y של מרכז המעגל.
y = -x1 – 3
תשובה: נקודת מרכז המעגל היא x1, -x1 – 3.

דוגמה לשימוש מסוג זה היא בתרגיל מספר 3.

תרגילים

תרגיל 1
המעגל שבשרטוט משיק לציר ה x בנקודה x = -1.
הישר y = 2x- 1 עובר דרך מרכז המעגל.

  1. מצאו את נקודת מרכז המעגל.
  2. מצאו את משוואת המעגל.

פתרון
הרעיון מאחורי הפתרון: מכוון שהמעגל נמצא על הישר אם נדע ערך x או y של מרכז המעגל נוכל לדעת את שניהם.
את רדיוס המעגל נמצא דרך המידע על ההשקה לצירים.

סעיף א: מציאת נקודת מרכז המעגל
מציאת הקשר בין ערך ה x לערך ה y של מרכז המעגל
מרכז המעגל נמצא על הישר y = 2x- 1 לכן אם x1 הוא ערך ה x במרכז המעגל אז ערך ה y במרכז המעגל הוא:
y1 = 2x1 – 1
כלומר מרכז המעגל הוא (x1, 2x1 – 1)
נמצא את ערך ה x של נקודת מרכז המעגל
המעגל משיק לציר ה x כאשר x = -1 לכן ערך ה x של מרכז המעגל הוא x1 = -1

נמצא את ערך ה y של נקודת מרכז המעגל
נציב x1 = -1 במשוואה y1 = 2x1 – 1 ונמצא את ה y של נקודת מרכז המעגל.
y1 = 2 * -1 – 1 = -3

נקודת מרכז המעגל היא (3- , 1-).

סעיף ב: מציאת משוואת המעגל.
מה שחסר לנו במשוואת המעגל הוא הרדיוס.

נשים לב: מכוון שהמעגל משיק כאשר x = -1 המעגל עובר בנקודה (0, 1-).
לכן רדיוס המעגל שווה למרחק שבין מרכז המעגל (3- , 1-) לבין הנקודה שעל המעגל (0, 1-).
נחשב את מרחק זה על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות.

d²=(x1-x2)² + (y1-y2
r²=(-1 – (-1))² + (-3 – 0)²
r² = 9

משוואת המעגל היא:
x + 1)² + (y + 3)²  = 9)

תרגיל 2
מצאו את משוואת המעגל שמרכזו נמצא על הישר y=2x+2 ומשיק לציר ה x בנקודה (1,0).

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת מרכז המעגל
אם המעגל משיק לציר ה X בנקודה (1,0) ערך ה X של נקודת מרכז המעגל הוא 1.
נציב זאת במשוואת הישר:
y=2*1 +2=4
מרכז המעגל הוא הנקודה (1,4).

שלב ב: נמצא את הרדיוס ומשוואת המעגל
נמצא את הרדיוס על פי מרחק בין שתי נקודות:
r²=(1-1)² + (4-0)²
r²=4²=16
משוואת המעגל היא:
x-1)² + (y-4)² = 16)

כך המעגל והישר נראים על מערכת הצירים

כך המעגל והישר נראים על מערכת הצירים

תרגיל 3

מרכז מעגל נמצא על הישר y = -2x – 5.
הנקודה (A(1,3 נמצאת על המעגל ואורך רדיוס המעגל הוא 5 יחידות ריבועיות.
מצאו את נקודת מרכז המעגל.

שרטוט התרגיל

פתרון
שלב א: ביטוי של נקודת מרכז המעגל בעזרת משתנה אחד.
נניח כי ערך ב x בנקודת מרכז המעגל הוא x1.
נציב ערך זה במשוואת הישר על מנת למצוא את ערך ה y של מרכז המעגל.
y1 = -2x1 – 5.
נקודת מרכז המעגל היא: x1, -2x1 – 5

שלב ב: נמצא מרכז המעגל בעזרת נוסחת המרחק בין שתי נקודות
המרחק בין מרכז המעגל x1, -2x1 – 5 לנקודה שעליו 1,3 הוא 5.
נציב זאת במשוואת המרחק בין שתי נקודות.
x1-x2)² + (y1-y2)² = d²)
x1 – 1)² + (-2x1 – 5 – 3)² = 5²)
x1 – 1)² + (-2x1 – 8)² = 5²)
x1² -2x1 +1 + 4x1² + 32x1 + 64 = 25
5x1² +30x1 + 65 = 25   / -25
5x1² +30x1 + 40 = 0   / :5
x1² + 6x1 + 8 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
כאן נראה פירוק טרינום.
שני מספרים שמכפלתם היא 8 וסכומם הוא 6 הם 4,2
x1² + 6x1 + 8 = 0
x1² + 4x1 + 2x1 + 8 = 0
(x1 (x1 + 4) + 2(x1 + 4
x1 + 4) (x + 2) = 0)
שני הפתרונות האפשריים הם:
x1 = -4,  x2 = -2.

מציאת ערך ה y של מרכז המעגל
נציב את ערכי ה x שמצאנו במשוואת הישר העובר דרך מרכז המעגל.
y = -2x – 5

עבור x1 = -4
y1 = -2 * -4 – 5
y1 = 8 – 5 = 3
נקודה אפשרית אחת למרכז המעגל היא (3 , 4-).

עבור x2 = -2
y2 = -2 * -2 – 5 = -1
נקודה אפשרית שנייה למרכז המעגל  (1-, 2-).

כך נראה שרטוט של שני המעגלים:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

2 thoughts on “משוואת מעגל

  1. שילת

    היי, יש לי בגרות במתמטיקה ביום חמישי 24/1/19 של שאלון 804 ואני ממש מתקשה בבעיות קניה ומכירה ובאינטגרלים, מהתגובות הבנתי שההכוונה שלכם מאוד עוזרת אשמח שתעזרו גם לי…
    תודה
    נ.ב הסיכום על בעיות תנועה עזר מאוד!!!

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום שילת
      בהצלחה בבגרות.
      עבור בעיות קנייה ומכירה יש דף
      http://www.m-math.co.il/4/481/buying-and-selling-problems/
      אינטגרל של פולינום
      http://www.m-math.co.il/mathematics-function/integrals/integral-polynom/
      שאר סוגי אינטגרלים
      http://www.m-math.co.il/integral/integrals/
      ודף הכולל נושאים נוספים בבגרות 4 יחידות
      http://www.m-math.co.il/learn-math-4/
      אם נדרשת עזרה נוספת ניתן לנסות לתפוס בצאט או להשאיר תגובה באתר.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.