קוטר במעגל גיאומטריה אנליטית

בדף זה נלמד על נושאים שונים הקשורים לקוטר במעגל.
הנושאים הם:

  1. מציאת משוואת המעגל על פי קוטר.
  2. מציאת משוואת מעגל החוסם משולש ישר זווית.
  3. מציאת משוואת הקוטר על פי נקודה שעל הקוטר.
  4. כיצד מוכיחים כי מיתר במעגל הוא קוטר.
  5. מציאת משוואת קוטר המקביל לצירים.
  6. הרדיוס הוא חצי מקוטר המעגל.

נושא 1 הוא החשוב ביותר לתלמידי 3 יחידות.
נושאים 1-2 הם החשובים ביותר לתלמידי 4 יחידות.

כמו כן חשוב שתזכרו שני משפטים מתחום הגיאומטריה:

1.מציאת משוואת המעגל על פי קוטר

אם נותנים לנו שתי נקודות שבניהן עובר קוטר במעגל.

  1. מרכז המעגל הוא האמצע שלהם ולכן נוכל למצוא אותו.
  2. לאחר שאנו יודעים את מרכז המעגל נוכל למצוא את משוואת המעגל על פי נקודת מרכז המעגל ונקודה שעל המעגל.

תרגיל 1
מצאו את משוואת המעגל שהנקודות (A(2,8)   B(6, 0 הן הקוטר שלו.

פתרון
מרכז המעגל נמצא בדיוק באמצע הקוטר.
לכן נמצא את אמצע הקטע AB על פי הנוסחה לאמצע קטע.

שלב א: מציאת ערכי ה x וערכי ה y של מרכז המעגל
ערך ה x של מרכז המעגל הוא:
4
x = 4.

ערך ה y של מרכז המעגל הוא:

y = 4

מרכז המעגל הוא הנקודה (4,4).

שלב ב: מציאת ערך הרדיוס של המעגל ומציאת משוואת המעגל
נחשב את הרדיוס על ידי מרחק בין נקודות.
הרדיוס הוא המרחק של מרכז המעגל (4,4) מהנקודה (B(6, 0.
r²=(x1-x2)² + (y1-y2
r² = (4-6)² + (4-0)²
r²=4+16=20

משוואת המעגל היא:
x-4)²+(y-4)²=20)

2.מציאת משוואת מעגל החוסם משולש ישר זווית

זו שאלה שחוזרת על עצמה הרבה בבחינת הבגרות של 4 יחידות.

בשאלות מסוג זה אתם תדעו 2 או 3 נקודות היוצרות משולש ישר זווית.
יבקשו ממכם למצוא את משוואת המעגל החוסם את המשולש.

  1. הפתרון של שאלות מסוג זה נשען על המשפט שאתם צריכים לזכור "זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על קוטר המעגל"
  2. לכן יתר משולש הישר זווית הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש ישר הזווית.
  3. ואם יודעים שתי נקודות על מעגל המגדירות קוטר ניתן למצוא את משוואת המעגל.

דוגמה
משולש ישר זווית מורכב משלושת הנקודות
(A (5,5)   B(-2,4)  C(-1,-3
זווית B = 90.
מצאו את משוואת המעגל החוסם את המשולש.

פתרון
אם נשרטט את את המעגל החוסם את המשולש זה יראה כך:

מכוון שזווית B = 90
אז AC הוא קוטר המעגל החוסם (על פי המשפט "זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על קוטר המעגל").

ואם אנו יודעים את הנקודות היוצרות את הקוטר (A (5,5) C(-1,-3 ניתן למצוא את משוואת המעגל:

  1. מוצאים את מרכז המעגל (D(2,1 בעזרת הנוסחה לאמצע הקטע AC.
  2. מוצאים את רדיוס המעגל באמצעות חישוב המרחק בין הנקודות A ו D. (מקבלים R= 5).

לכן משוואת המעגל החוסם היא:
x – 2)² + (y – 1)² = 5²)

3.מציאת משוואת הקוטר על פי נקודה שעל הקוטר

בעזרת נקודה שעל המעגל ומשוואת המעגל ניתן למצוא את משוואת הקוטר העובר דרך הנקודה שעל המעגל.
דוגמה
נתונה משוואת המעגל x- 4)² + (y-1) = 17) ונתונה הנקודה הנמצאת על המעגל (A(5, 5.
מצאו את משוואת קוטר המעגל AB.

שרטוט התרגיל

פתרון
גם כאן נשתמש בכך שכאשר נתנו לנו את משוואת המעגל נתנו לנו את נקודת מרכז המעגל (M (4, 1.
והתכונה של הקוטר AB היא שהוא עובר דרך מרכז המעגל M.
לכן הנקודות A, M נמצאות על הישר AB ואנו יודעים למצוא משוואת ישר על פי שתי נקודות.
נגדיר t שיפוע ישר AB.

שיפוע AB הוא 4
נמצא את משוואת AB על ידי הצבת t= 4 והנקודה (A(5, 5 במשוואה:
(y-y1=t(x-x1
(y – 5 = 4 (x – 5
y – 5 = 4x -20   / +5
y = 4x – 15
תשובה: משוואת הישר AB היא y = 4x – 15.

4.כיצד מוכיחים שמיתר במעגל הוא קוטר?

יש שתי דרכים עיקריות להוכיח שמיתר במעגל הוא קוטר.

דרך ראשונה
אם ידוע שמיתר במעגל עובר דרך מרכז המעגל אז המיתר חייב להיות קוטר.
לדוגמה, אם ידוע ש D היא נקודת מרכז המעגל אז AB חייב להיות קוטר על פי המשפט "מיתר במעגל העובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר".

המשפט ההפוך.
ניתן להשתמש גם במשפט ההפוך. "אם מיתר במעגל לא עובר דרך נקודת מרכז המעגל אז מיתר זה הוא לא קוטר".
מסיבה זו ניתן להוכיח כי הישר EF הוא לא קוטר כי הוא לא עובר דרך מרכז המעגל D.

דרך שנייה
משתמשים במשפט "אם זווית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר".
כלומר, אם ידוע שזווית C = 90 אז המיתר AB חייב להיות קוטר.

דבר שלישי
ניתן להוכיח שישר הוא לא קוטר על ידי הוכחה שהזווית ההיקפית הנשענת עליו היא לא בגודל של 90 מעלות.

דוגמה
במעגל המיתר AC נמצא על הישר y = x + 6.
המיתר BC נמצא על הישר y = -10x + 20.
האם המיתר AB הוא קוטר?

פתרון
על מנת שהיתר AB יהיה קוטר הזווית C צריכה להיות 90 מעלות.
נבדוק אם הזווית C היא 90 מעלות.

מכפלת השיפועים של הישרים AB,  AC היא:
10 – = 10 – * 1
מכפלת השיפועים שונה מ 1- לכן גודל הזווית C הוא לא 90 מעלות.
ומכוון ש C ≠ 90 אז הישר AB הוא לא קוטר.

5.מציאת משוואת קוטר המקביל לצירים

לעיתים נדירות יבקשו מאיתנו למצוא את משוואת קוטר המעגל המקביל לצירים.
על מנת לעשות זאת כל מה שאנו צריכים

  1. קוטר המעגל עובר דרך נקודת מרכז המעגל.
  2. משוואת ישר המקביל לצירים ניתן למצוא על פי נקודה אחת בלבד.
  3. עבור כל נקודה יש רק ישר אחד המקביל לכל אחד משני הצירים העוברים דרכה.
  4. לכן ניתן למצוא את משוואת הקוטר המקביל לצירים על פי משוואת המעגל בלבד.

דוגמה
משוואת מעגל שבשרטוט היא:
x + 3)² + (y – 1)² = 4²)

הישר היחידי שעובר דרך נקודת מרכז המעגל ומקביל לציר ה x הוא:
y = 1.
וזו גם משוואת הקוטר המקביל לציר ה x.

הישר היחידי שעובר דרך נקודת מרכז המעגל ומקביל לציר ה y הוא:
x = -3.
וזו גם משוואת הקוטר המקביל לציר ה y.

5.הרדיוס הוא חצי מהקוטר

מגודל הקוטר ניתן למצוא את גודל הרדיוס.
יתכן ויגידו לכם מה גודלו של הקוטר ויבקשו למצוא את הרדיוס.

דוגמה 1
משוואת מעגל היא   x – 3)² + (y + 8)² = R²)  וקוטרו של המעגל הוא 14 ס"מ.
חשבו את רדיוס המעגל.
רשמו את משוואת המעגל.

פתרון
הרדיוס שווה למחצית הקוטר ולכן:
R = 14 : 2 = 7
משוואת המעגל היא:
x – 3)² + (y + 8)² = 7²)

דוגמה 2
במעגל x – 2)² + (y  – 3)² = 5²) שמרכזו M מעבירים משיק AB שאורכו 7 יחידות.
חשבו את שטח משולש ABC.

פתרון

  1. זווית B = 90 כי רדיוס המעגל MB מאונך למשיק AB בנקודת ההשקה.
  2. BC הוא קוטר במעגל כי הוא מיתר העובר דרך הנקודה M שהיא מרכז המעגל.
  3. BC = 10 כי רדיוס המעגל הוא 5, וקוטר המעגל כפול ממנו.

נחשב את שטח משולש ישר זווית ABC:
SABC  = 0.5* AB * BC
SABC  = 0.5 * 7 * 10 = 35
תשובה: שטח משולש ABC הוא 35 יחידות ריבועיות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.