משוואת מעגל על פי נקודה שעליו

משוואת מעגל היא:
x-a)²+(y-b)²=R²)

ויש בה בסך הכל 3 משתנים a,b שזו נקודת מרכז המעגל.
R שזה הרדיוס.

בדף זה שני חלקים:

  1. מציאת הרדיוס על פי נקודה שעל המעגל.
  2. מציאת מרכז המעגל על פי נקודה שעל המעגל

1.מציאת הרדיוס על פי נקודה שעל המעגל

יש שתי דרכים למצוא את רדיוס המעגל כאשר אנו יודעים נקודה על מרכז המעגל:

  1. על ידי שימוש בנוסחת מרחק בין שתי נקודות – הרדיוס הוא בעצם המרחק שבין מרכז המעגל לכל נקודה שעל המעגל.
  2. על ידי הצבת הנקודה שעל המעגל בנוסחת המעגל.

שתי הדרכים זהות מבחינת הקושי והתרגיל שצריך לפתור.
כדאי לדעת את שתי הדרכים כי בכול פעם הנתונים בשאלה מוצגים קצת אחרת.

מצורפות 4 דוגמאות, הדוגמאות דומות, אין חובה לעבור על כולן.

דוגמה 1
מרכז המעגל נמצא בנקודה (2,1)
(6,4) היא נקודה שעל המעגל.
מצאו את הרדיוס ומשוואת המעגל.

פתרון
דרך פתרון ראשונה: בעזרת נוסחת מרחק בין שתי נקודות
נסתכל על הנקודות A,B ונראה שהמרחק בניהם הוא בעצם הרדיוס.
לכן אם נמצא את המרחק בין הנקודות נמצא את הרדיוס.

d²=(x1-x2)² + (y1-y2
(A(2,1
(B(6,4
R² = d² = (6 – 2)² + (4 – 1)²
R² = 4² + 3²
R² = 16 + 9 = 25
R = 5

משוואת המעגל שמרכזו (2,1) ורדיוסו 5 היא:
x -2)² + (y – 1)² = 5²)

דרך פתרון שנייה: בעזרת משוואת המעגל.
משוואת המעגל שמרכזו הוא (2,1) היא:
x -2)² + (y – 1)² =R²)
וניתן לכתוב את זה גם כך:
R² = (x -2)² + (y – 1)²

נציב את הנקודה (B(6,4 במשוואת המעגל.
R² = (6 – 2)² + (4 – 1)²
R² = 4² + 3²
R² = 16 + 9 = 25
R = 5

דוגמה 2
משוואת המעגל היא:
x + 4) + y² = R²)
הנקודה (10, 4-) נמצאת על המעגל.
חשבו את רדיוס המעגל.

הערה
שימו לב כי:
x + 4) + y² = R²)
היא בדיוק כמו המשוואה:
x + 4) + (y – 0)² = R²)
כלומר נקודת מרכז המעגל היא: (0, 4-).

פתרון
נציב את הנקודה (10, 4-) במשוואת המעגל:
R² = (-4 + 4)² + 10²
R² = 10²
R = 10

דוגמה 3
מצאו את רדיוס המעגל שמשוואתו x² + y² = R² ועובר דרך הנקודה  (3, 2-).
כתבו את משוואת המעגל.

פתרון
נציב x = -2,  y =3  במשוואת המעגל.
R² = (-2)² + 3² = 4 + 9 = 13
R = √13  או R = -√13
מכוון שרדיוס מעגל הוא גודל חיובי התשובה היא R = √13

תשובה: משוואת המעגל היא   x² + y² = 13

דוגמה 4
מצאו את משוואת המעגל שמרכזו (4.2) ועובר דרך הנקודה (7,5).

פתרון
משוואת המעגל היא:
x-4)2+(y-2)2=R2)
נציב את ערכי הנקודה (7,5) במשוואת המעגל.
²(7-4)+²(5-2)=R2
18 = 32+32=R2
R = √18  או   R = -√18

תשובה: מכוון שרדיוס מעגל הוא גודל חיו הרדיוס הוא 18√. ומשוואת המעגל היא
x-4)2+(y-2)2=18)

2.מציאת מרכז המעגל על פי נקודה שעליו

גם את מרכז המעגל נמצא בדיוק באותן שתי שיטות.

  1. בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
  2. בעזרת הצבה במשוואת המעגל.

אבל יש הבדל אחד:
בנקודת מרכז המעגל יש שני משתנים:

  1. ערך ה x של מרכז המעגל
  2. ערך ה y של מרכז המעגל.

בעזרת נקודה שעל המעגל נוכל למצוא רק אחד מיהם.
השני צריך להיות לנו נתון בשאלה.

מצורפים 3 תרגילים.
תרגיל 3 קשה משני הראשונים.

תרגיל 1
משוואת המעגל היא:
x – a)² + (y + 2)² = 25)
הנקודה (2, 4) נמצאת על המעגל.
מצאו את נקודת מרכז המעגל אם ידוע שמרכז המעגל נמצא ברביע הרביעי.

פתרון
נציב את הנקודה (2, 4) במשוואת המעגל. נקבל:

נפתח את המשוואה בצורה הזו:

לחלק ממכם לא נוח לפתור את המשוואה בדרך הזו אלא תעדיפו לפתוח את הסוגריים שבתוכם נמצא ה a ואז לפתור משוואה ריבועית.

דוגמה לפתרון על ידי פתיחת סוגריים בתרגיל הבא.

תרגיל 2
הנקודה A היא נקודת מרכז המעגל ונמצאת על ציר ה x.
הנקודה (B (5,4
אורך רדיוס המעגל הוא 5.
מצאו את נקודת מרכז המעגל.

פתרון
המרחק בין הנקודות A,B הוא 5.
נגדיר את הנקודה (A (x,0.
נציב את הנתונים הללו במשוואת מרחק בין שתי נקודות ומצא את x.

x – 5)² + (0 – 4)² = 5²)
הפתרון של המשוואה הוא x = 2 או x = 8
לכן מרכז המעגל הוא (A(2,0 או (A(8,0.

תרגיל 3
מרכז מעגל נמצא על ציר ה x.
הנקודה (3, 6-) נמצאת על מרכז המעגל.
אורך רדיוס המעגל הוא 5.
מצאו את משוואת המעגל.

פתרון
אם מרכז המעגל נמצא על ציר ה x זה אומר שערך ה y של מרכז המעגל הוא 0.
ניתן לכתוב את משוואת המעגל כך:
x – a)² + (y – 0)² = 5²)
נציב עכשיו את הנקודה (3, 6-) במשוואת המעגל.

נפתח סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר ונקבל:

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום ונקבל:
a = -10  או  a = -2.

קיבלנו שיש שני מרכזי מעגלים המתאימים לשאלה והם:
(0, 2-)  או   (0, 10-).

תרגיל 4
מרכז מעגל נמצא על הישר y = -2x – 5.
הנקודה 1,3 נמצאת על המעגל ואורך רדיוס המעגל הוא 5 יחידות ריבועיות.
מצאו את משוואת המעגל.

פתרון
שלב א: נבטא את נקודת מרכז המעגל בעזרת משתנה אחד.
נניח כי ערך ב x בנקודת מרכז המעגל הוא x1.
נציב ערך זה במשוואת הישר על מנת למצוא את ערך ה y של מרכז המעגל.
y = -2x1 – 5.
נקודת מרכז המעגל היא: x1, -2x1 – 5

שלב ב: נמצא מרכז המעגל בעזרת נוסחת המרחק בין שתי נקודות
המרחק בין מרכז המעגל x1, -2x1 – 5 לנקודה שעליו 1,3 הוא 5.
נציב זאת במשוואת המרחק בין שתי נקודות.
x1-x2)² + (y1-y2)² = d²)
x1 – 1)² + (-2x1 – 5 – 3)² = 5²)
x1 – 1)² + (-2x1 – 8)² = 5²)
x1² -2x1 +1 + 4x1² + 32x1 + 64 = 25
5x1² +30x1 + 65 = 25   / -25
5x1² +30x1 + 40 = 0   / :5
x1² + 6x1 + 8 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
כאן נראה פירוק טרינום.
x1² + 6x1 + 8 = 0
x1² + 2x1 + 4x1 + 8 = 0
x1 (x1 + 2) +4 (x+ 2) = 0
x1 + 4) (x + 2) = 0)
שני הפתרונות האפשריים הם:
x1 = -4,  x2 = -2.

כלומר, יש שתי נקודות אפשריות למרכז המעגל.

מציאת ערך ה y של מרכז המעגל
נציב את ערכי ה x שמצאנו במשוואת הישר העובר דרך מרכז המעגל.
y = -2x – 5

עבור x1 = -4
y1 = -2 * -4 – 5
y1 = 8 – 5 = 3
נקודה אפשרית אחת למרכז המעגל היא (3 , 4-).

עבור x2 = -2
y2 = -2 * -2 – 5 = -1
נקודה אפשרית שנייה למרכז המעגל  (1-, 2-).

כך נראה שרטוט של שני המעגלים:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.