מעגל גיאומטריה אנליטית

בגיאומטריה אנליטית למעגל יש שתי תכונות עיקריות; נקודת מרכז המעגל ואורך הרדיוס שלו. בעזרת שתי התכונות הללו ניתן לזהות באופן ודאי מעגל.

משוואת המעגל שמרכזו (a,b) ורדיוסו R היא:

x-a)2+(y-b)2=R2)

קיימים מספר סוגים של שאלות בכול הנוגע למציאת משוואת מעגל. מידע על הסוגים השונים והדרך למצוא אותם בקישור.

תרגילים בסיסיים במעגל

תרגיל 1 – זיהוי מרכז המעגל ורדיוסו במשוואת מעגל

אם אתם מכירים את נוסחת המעגל אז זה תרגיל פשוט.

נתון מעגל שמשוואתו:
x-3)2 +(y+4)2 =16)
מצאו את מרכז המעגל ואת אורך הרדיוס.

פתרון
מרכז המעגל הוא (3,-4).
אורך הרדיוס הוא 4.

תרגיל 2 – מציאת משוואת מעגל על ידי מרכזו ונקודה שעליו

על מנת לפתור תרגיל מסוג זה עליכם להציב את ערכי הנקודה במשוואת המעגל.
תרגיל
מצא משוואת מעגל שמרכזו (4.2) ועובר דרך הנקודה (7,5).

פתרון
משוואת המעגל היא:
x-4)2+(y-2)2=R2)
נציב את ערכי הנקודה (7,5) במשוואת המעגל.|
²(7-4)+²(5-2)=R2
18 = 32+32=R2

תשובה: הרדיוס הוא 18√. ומשוואת המעגל היא
x-4)2+(y-2)2=18)

תרגיל 3 – מציאת נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים

בדיוק כמו במשוואת ישר, על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X מציבים Y=0 במשוואת המעגל. ועל מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y מציבים X=0 במשוואת המעגל.

נתונה משוואה המעגל
x-2)2+(y-1)2=40)
מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

פתרון
נציב X=0 על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y.

משוואת המעגל

y² -2y + 1 +4 = 40
y² – 2y + 5 = 40  / -40
y² – 2y – 35 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל  Y=7 ו- Y=-5.
תשובה: נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- Y הם: (0,-5)  (0,7).

על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X נציב במשוואת המעגל y=0.
x-2)2+(0 -1)2=40)
X2-4x+4+1=40  /-40
x2-4x-35=0
פתרונות המשוואה הריבועית הם: 8.244 = X או x=-4.244.
תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה- X הן  (0, 4.244-)  (0, 8.244)

תרגיל 4 – איך יודעים אם נקודה נמצאת על המעגל / מחוץ למעגל / בתוך המעגל

מציבים את ערך הנקודה במשוואת המעל ואם מתקיים:

x-a)2+(y-b)2=R2)   – אז הנקודה על המעגל.
x-a)2+(y-b)2>R2)   – אז הנקודה מחוץ למעגל.
x-a)2+(y-b)2<R2)     – אז הנקודה בתוך המעגל.

תרגיל לדוגמה:
מצאו איפה הנקודה (1,1) נמצאת  ביחס למעגל שמשוואתו:
(x-7)2+(y-6)2><45)

פתרון
נציב את ערכי הנקודה במשוואות המעגל.
²(1-7)+²(1-6)><45
²(-6)+²(-5)><45
36+25><45
61>45
תשובה: הנקודה נמצאת מחוץ למעגל.

תרגיל 5 – מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם ישר

תרגיל זה נפתר על ידי הצבה של משוואת הישר במשוואת המעגל.
לאחר ההצבה נקבל משוואה ריבועית. כאשר נפתור את המשוואה נועל לקבל:

  1. שני פתרונות  – אז הישר חותך את המעגל בשתי נקודות.
  2. פתרון אחד – הישר והמעגל משיקים.
  3. 0 פתרונות – אין נקודת חיתוך בין הישר והמעגל.

תרגיל לדוגמה:

מצאו את נקודת החיתוך של המעגל והישר הבאים:
x-5)2+(y-2)2=20
y=7x+1

פתרון
נציב את משוואת הישר במשוואת המעגל
x-5)2+(7x+1 -2)2=20)
x2-10x+25+(7x-1)2=20
x2-10x+25 + 49x2-14x+1=20 / -20
50x2-24x +6=0 / :2
25x2-12x+3=0
נבדוק על ידי חישוב ה"דלתא" אם למשוואה זו יש פתרונות.
3 * 25 * 4 – 12²
0 > 300 – 144
תשובה: הדלתא של משוואה ריבועית זו היא שלילית ולכן אין פתרונות למשוואה ואין נקודות חיתוך בין הישר למעגל.

תרגיל 6 – הקשר בין קוטר למשוואת המעגל

כאשר נותנים לנו שתי נקודות שנמצאות על המעגל ודרכן עובר הקוטר אנו יכולים למצוא את משוואת המעגל, כי מרכז המעגל הוא האמצע בין שתי הנקודות הללו וניתן לחשב את נקודת האמצע על ידי הנוסחאות

אמצע קטע

נושא 7 – המשיק למעגל

משיק למעגל הוא ישר שיש לו נקודה אחת משותפת עם המעגל.

כיצד מוצאים משיק למעגל בנקודה?

  1. מוצאים את שיפוע הרדיוס על ידי הנוסחה לשיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות –  שתי הנקודות הן מרכז המעגל ונקודות ההשקה.
  2. מוצאים את שיפוע המשיק – מכפלת שיפוע המשיק בשיפוע הרדיוס היא 1-.
  3. מוצאים את משוואת המשיק בעזרת השיפוע שמצאנו ונקודת ההשקה.(נוסחה למציאת משוואת ישר בעזרת נקודה ושיפוע)

דוגמה לתרגיל פתור תמצאו בדף מציאת משיק למעגל. ואם אתם עדייו לא שולטים בכול הדרכים למציאת משוואת ישר תוכלו למצוא אותם בדף מציאת משוואת ישר.

 

רדיוס ומשיק מאונכים בנקודת ההשקה

רדיוס ומשיק מאונכים בנקודת ההשקה

מעגל המשיק לצירים

כאשר מעגל משיק לציר ה- Y גודל הרדיוס שלו וערך ה – X של נקודת מרכז המעגל הם זהים.
כאשר מעגל משיק לציר ה- X גודל הרדיוס שלו וערך ה – Y של נקודת מרכז המעגל הם זהים.

אם מעגל משיק לציר ה Y אז אורך הרדיוס שלו שווה לערך ה X של מרכז המעגל

עוד באתר:

שאלה שאלות

4 תגובות בנושא “מעגל גיאומטריה אנליטית

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.