חוקי שורשים

חוקי שורשים הם המשכם הישיר של חוקי חזקות – משום שכל שורש ניתן להציג כחזקה שהיא שבר.

מבחינת סדר פעולות חשבון פעולת השורש קודמת לארבעת פעולות החשבון (כפל, חילוק, חיבור, חיסור).

לדף זה 3 חלקים:

  1. נלמד את חוקי השורשים.
  2. נפתור תרגילים בהם צריך להכניס מספר לתוך השורש.
  3. נפתור תרגילים בהם צריך להוציא מספר מתוך השורש.

1. חוקי שורשים

הגדרת פעולת השורש
שורש הוא הפעולה ההפוכה של חזקה.
25 = 5²
ולכן
5 = 25√

מה הוא 9√?
שורש 9 הוא המספר החיובי שכאשר נעלה אותו בריבוע נקבל 9.
לכן שורש 9 הוא 3.
3 = 9√

מה הוא 100√
שורש 100 הוא המספר החיובי שכאשר נעלה אותו בריבוע נקבל 100
10 = 100√

הערה 
לתרגיל
x = √100
יש רק פתרון אחד והוא x = 10.

לעומת זאת לתרגיל:
x² = 100
יש שני פתרונות
x1 =10, x2 = -10

חוק 1: כיצד רושמים שורש ריבועי כחזקה

שורש ריבועי של מספר הוא כמו אותו מספר בחזקת 1/2.

x = x0.5

נובע מכך ש:
x * √x = x√
כי:
x0.5 * x0.5 = x¹

בעזרת חוק זה ניתן לענות גם על תרגילים חזקות נוספים למשל:
x * x = x0.5 * x1 = x1.5

לפתרון התרגיל השתמשנו בחוק החזקה.
am * an = am + n

חוק 2: כאשר יש לנו כפל של מספרים  בתוך השורש ניתן ליצור שורש נפרד עבור כל אחד מהמספרים

חוק זה שימושי מאוד משום שהוא מאפשר להכניס ולהוציא מספרים מתוך השורש.

דוגמה להוצאת מספר מספר מתוך השורש בעזרת החוק.

שימו לב שחוק זה זהה לחלוטין לחוק החזקה:
a*b)n = an * bn)

חוק 3: כיצד רשמים שורש שאינו שורש ריבועי כחזקה

למשל:

כאשר הביטוי שבתוך השורש נמצא בחזקה זה נראה כך:

למשל:

חוק 4: כאשר יש שורש של שבר ניתן לפתח אותו בדרך הזו

למשל:

חוק 5: למספרים שליליים אין שורש זוגי.

למשל 4-√ הוא תרגיל ללא פתרון.
הדבר נובע מכך שחזקה זוגית היא תמיד מספר חיובי.
לכן לא נוכל למצוא מספר שיקיים את המשוואה:
x² = -4

לכן לא נוכל למצוא חזקה זוגית או שורש זוגי למספר שלילי.

2. הכנסת מספר אל תוך שורש

כאשר אנו מכניסים מספר לתוך השורש עלינו להעלות את המספר בריבוע.
למשל:
4²√ = 4
18√ = (2 * 9)√ = (2 * 3²)√ = 2√ * 3

תרגילים

בתרגילים הבאים הכניסו את הביטוי הנמצא מחוץ לשורש אל תוך השורש.
במידה ויש בתרגיל שני ביטויים עם שורש הכניסו אותם תחת שורש אחד.

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון

תרגיל 3

פתרון

תרגיל 4

פתרון

תרגיל 5

פתרון

תרגיל 6

פתרון

תרגיל 7

כתבו מי מהביטויים גדול יותר.
10√*5   או 200√

פתרון
יש שתי דרכים לפתור תרגילים מהסוג הזה.
הדרך הפשוטה שטובה לכל התרגילים היא להפוך את שני הביטויים לביטויים שכל החלקים שלהם נמצאים בתוך שורש.

הביטוי 200√ כבר נמצא כולו בתוך השורש.

נכניס מספר לתוך שורש בביטוי 10√*5
250√ = (10 * 5²)√ = 10√*5

250√ > 200√

דרך שנייה העובדת רק בחלק מהתרגילים היא להוציא מספר זהה בשני הביטויים מחוץ לשורש.
בביטוי 10√*5 המספר 5 נמצא מחוץ לשורש, לכן ננסה להוציא את המספר 5 מחוץ לשורש גם בביטוי 200√
8√*5 = (8*5²)√ = 200√

10√*5 > 8√*5

תרגיל 8 (ביטוי הכולל משתנים)

פתרון
על מנת שיהיה לנו יותר ברור על פי איזה חוק חזקה אנו עובדים נעביר את השורש לחזקה:

נשתמש בחוק הזה:
an * bn = (a*b)n
על מנת להכניס את הביטויים (x – 2) (x +3) תחת חזקה יחידה.

נכנס איברים ונחזור להציג את התשובה כשורש:

3. הוצאת מספר מתוך שורש

כאשר מוציאים מספר מתוך שורש עלינו לפרק את המספר שבתוך השורש לכפולה של שני מספרים.
מספר אחד שמעלים בריבוע ומספר נוסף.
דוגמאות:

תרגילים

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון

תרגיל 3

פתרון

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 thoughts on “חוקי שורשים

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום סער
      העיקר בתרגיל הזה הוא הכנסת הביטויים אל תוך השורש וכינוס איברים בתוך השורש.
      חזקת 0.5 זה בדיוק כמו לכתוב שורש.
      הסיבה שעברתי לכתיבה בחזקה באמצע התרגיל היא שרציתי להראות את חוק החזקות שעל פיו פותרים את התרגיל.
      את התשובה הסופי כתבתי עם שורש אבל יכולתי גם לכתוב חזקת 0.5 במקום זו בדיוק אותה תשובה.
      מקווה שעניתי כל השאלה.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.