בעיות מילוליות הדורשות "פירוק"

בשאלות מסוג זה יהיה נתון שלא נוכל להשתמש בו כמו שהוא ונצטרך "לפרק" את הנתון לשני חלקים על מנת שנוכל לבנות משוואה.

כיצד מפרקים את הנתון לשני חלקים?
על ידי הגדרת שני משתנים.
לחלק אחד נקרא x.
לחלק שני נקרא y.

מי שרוצה יכול לפתור את התרגילים הללו גם באמצעות משתנה אחד, דוגמאות בהמשך.

כיצד נזהה את השאלות הללו?
יהיה לנו נתון בשאלה שלא נדע להשתמש בו, והנתון הזה ידבר שני חלקים בשאלה.

השאלות הללו נחשבות לשאלות קשות

דוגמה
שחקן כדורסל קלע לסל 10 פעמים.  (במילה קליעה הכוונה שהכדור נכנס לסל).
עבור חלק מהקליעות קיבל 2 נקודות ועבור חלק אחר קיבל 3 נקודות.
סך הכל השחקן קיבל 22 נקודות.
כמה פעמים השחק קלע ל 2 נקודות וכמה פעמים הוא קלע ל 3 נקודות.

פתרון
הנתון אותו צריך לפרק הוא "10 קליעות".
הוא מתייחס לקליעת 2 נקודות וגם לקליעת 3 נקודות.

וגם אם לא שמתם לב לכך אז ברוב השאלות המילוליות המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
לכן המשתנים שלנו יהיו:
x  מספר הפעמים שהשחקן קלע לשתי נקודות.
y  מספר הפעמים שהשחקן קלע לשלוש נקודות.

בניית משוואות
2x  זה מספר הנקודות שהשחקן קיבל מזריקה ל 2 נקודות.
3y  זה מספר הנקודות שהשחקן קיבל מזריקה ל 3 נקודות.
סכום הנקודות הוא 22. לכן המשוואה היא:
2x + 3y = 22

כמו כן אנו יודעים שהשחק קלע סך הכל 10 פעמים.
לכן המשוואה השנייה היא:
x + y = 10

פתרון המשוואות
2x + 3y = 22
x + y = 10
נפתור את המשוואות הללו על ידי השוואת מקדמים.

נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 ונקבל:
2x + 3y = 22
2x + 2y = 20

נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה:
y = 2
נציב במשוואה הראשונה על מנת למצוא את x.
x + 2 = 10
x = 8
תשובה: השחקן קלע 8 פעמים ל 2 נקודות ו 2 פעמים ל 3 נקודות.

פתרון בעזרת נעלם אחד
אם היינו רוצים לפתור את השאלה בעזרת נעלם אחד היינו מגדירים:
x  מספר הפעמים שהשחקן קלע ל 2 נקודות.

הוא מספר הפעמים שהשחקן קלע ל 3 נקודות.

המשוואה תהיה
2x  + 3(10 – x) = 22
2x + 30 – 3x = 22
x + 30 = 22-
x = -8-
x = 8

תרגילים

תרגיל 1 הוא בנושא קנייה ומכירה.
תרגילים 2-4 הם בנושא בעיות תנועה.
תרגיל 5 הוא תרגיל נוסף.

תרגיל 1
קנינו 12 כרטיסי קולנוע חלקם במחיר מוזל של 30 שקלים וחלקם במחיר רגיל של 40 שקלים.
סך הכל שילמנו 410 שקלים.
כמה כרטיסי קולנוע קנינו מכל סוג?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x  מספר כרטיסי הקולנוע שנקנו במחיר מוזל.
y מספר כרטיסי הקולנוע שנמכרו במחיר רגיל.

שלב ב: בניית משוואות
קנינו 12 כרטיסי קולנוע.
לכן
x + y = 12

במחיר מוזל של 30 שקלים ומחיר רגל של 40 שקלים.
כרטיסים מוזלים: קנינו x כרטיסים במחיר 30 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
30x

כרטיסים רגילים: קנינו y כרטיסים במחיר 40 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
40y

סך הכל שילמנו:
30x + 40y = 410

שלב ג: פתרון המשוואות
x + y = 12
30x + 40y = 410

נכפיל את המשוואה הראשונה פי 30 ונפתור בשיטת השוואת  מקדמים.
x + y = 12  / *30
30x + 30y = 360

30x + 30y = 360
30x + 40y = 410
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה:

10y = 50  / :10
y = 5

נציב y = 5 במשוואה הראשונה שלנו
x + y = 12
x + 5 = 12  / -5
x = 7

תשובה: קנינו 7 כרטיסים במחיר מוזל ו 5 כרטיסים במחיר רגיל.

בעיות תנועה

תרגיל 2
בספורט הדואטלון הספורטאים צריכים לרוץ ולשחות.
גלית רצה במהירות 10 קמ"ש ושוחה במהירות 6 קמ"ש.
אורך מסלול הדואטלון (ריצה ושחייה ביחד) הוא 12 ק"מ.
גלית מסיימת את המסיימת את המסלול כולו ב 88 דקות.
חשבו את אורך מסלול הריצה ואת אורך מסלול השחייה.

פתרון
ניתן לפתור את השאלה הזו עם שני נעלמים או עם נעלם אחד.
נפתור עם שני נעלמים.

על מנת להשוות יחידות נהפוך את 88 דקות לשעות.

נגדיר:
זמנים
x זמן הריצה של גלית בשעות.
y  זמן השחייה של גלית בשעות.

מהירויות
10 קמ"ש מהירות הריצה.
6 קמ"ש מהירות השחייה.

מרחקים
10x  זה אורך מסלול הריצה.
6y  זה אורך מסלול השחייה.

משוואות
סכום המרחקים הוא 12 לכן המשוואה היא:
10x + 6y = 12  (משוואה ראשונה)

סכום הזמנים הוא:

נכפיל את המשוואה השנייה פי 6. על מנת לפתור בשיטת השוואת מקדמים.
6x + 6y = 8.8

שתי המשוואות שלנו הם:
10x + 6y = 12
6x + 6y = 8.8
נחסר מהמשוואה הראשונה את המשוואה השנייה.
4x = 3.2
x = 0.8

כלומר זמן מסלול הריצה הוא 0.8 שעות.
וזמן מסלול השחייה הוא:

אורך המסלולים הוא (על פי מהירות כפול זמן):
8 = 0.8 * 10  (אורך מסלול הריצה).
4 = 0.666 * 6  (אורך מסלול השחייה)

נשים לב שאת אורך מסלול השחייה היה ניתן לחשב על פי:
4 = 8 – 12
ובקרה זה היינו חוסכים את חישוב זמן השחייה.

פתרון עם נעלם אחד
מגדירים:
x זמן הריצה.
ולכן:

והמשוואה היא:

תרגיל 3
הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

  1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
  2. מה המרחק מהבית לים?

פתרון

נגדיר:
t1  זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.
t2 זמן ההליכה בדרך חזור בשעות.

המשוואה הראשונה היא:
t1 + t2 = 6
t2 = 6 – t1

נשים את הנתונים בטבלה
(הנתונים בשחור, המסקנות באדום)

זמןמהירותדרך
דרך הלוךt144t1
דרך חזורt288t2

הדרך הלוך שווה לדרך חזור:
4t1 = 8t2
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה זו:
(4t1 = 8 (6 – t1
4t1 = 48 – 8t1  /+8t1
12t1 = 48  / :12
t1 = 4

t2 = 6 – t1
t2 = 6 -4 = 2

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.

סעיף ב: המרחק מהבית לים.
הוא הלך 4 שעות במהירות 4 קמ"ש.
לכן המרחק הוא:
16 = 4*4
המרחק מהבית לים הוא 16 ק"מ

תרגילים נוספים

תרגיל 4
מכונית יצאה לדרכה במהירות 90 קמ"ש. כאשר הגיעה אל תחנת דלק עצרה בתחנה למשך חצי שעה.
לאחר התדלוק  המשיכה את נסיעתה במהירות 70 קמ"ש עד שהגיעה ליעדה הנמצא 255 ק"מ מנקודת המוצא.
עברו 4 שעות מיציאת המכונית ועד שהגיעה ליעדה.
חשבו את זמן הנסיעה עד לתחנת הדלק ומתחנת הדלק.

פתרון

תיאור המסלול של המכונית

תיאור המסלול של המכונית

ניתן לפתור את התרגיל בעזרת משתנה אחד או שני משתנים.
בהתחלה נפתור עם משתנה אחד ולאחר מיכן עם שני משתנים.

שלב א: הגדרת זמן כמשתנה ובאמצעותו את הדרך
t זמן הנסיעה בשעות עד תחנת הדלק.
4 מינוס t מינוס חצי זמן הנסיעה בקטע השני
90t  הדרך שהמכונית עברה עד תחנת הדלק.
הדרך מתחנת הדלק ועד הסיום

שלב 2: בניית משוואה ופתרונה
בשני הקטעים ביחד המכונית עברה 255 ק"מ. לכן משוואה היא:
90t + 70(3.5-t) = 255
90t + 245 -70t = 255 / -245
20t = 10  / :20
t = 0.5
3 =0.5 – 0.5 – 4

תשובה: משך זמן הנסיעה עד תחנת הדלק הוא 0.5 שעות. משך הנסיעה מתחנת הדלק ועד לסיום הוא 3 שעות.

פתרון התרגיל עם שני משתנים
t1 זמן הנסיעה עד תחנת הדלק.
t2  זמן הנסיעה מתחנת הדלק ועד הסוף.

90t1   הדרך שהמכונית עברה בקטע הראשון.
70t2  הדרך שהמכונית עברה בקטע השני.

המשוואות שלנו הם:
סכום הזמנים הוא 4.
t1 + t2 = 3.5
(כי חצי שעה הייתה מנוחה).

סכום המרחקים הוא 255
90t1 + 70t2 = 255

נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ונגיע לאותה תשובה כמו בדרך הראשונה

תרגיל 5
על פרחים אדומים יש 10 עלים. על פרחים צהובים 16 עלים.
בגינה יש 20 פרחים שכולם אדומים או צהובים. ובסך הכל 248 עלים.
כמה פרחים אדומים וכמה צהובים בגינה?

פתרון
x   מספר הפרחים האדומים
10x  מספר העלים על פרחים אדומים .
y מספר הפרחים הצהובים
16y  מספר העלים על הפרחים הצהובים

סך הכל יש 20 פרחים:
x + y = 20
מספר העלים הוא 248
10x + 16y  = 248

יש לנו שתי משוואות עם שני נעלמים
x + y = 20
10x + 16y  = 248

נפתור בשיטת השוואת מקדמים:
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 10.
10x + 10y = 200
10x + 16y  = 248

נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה
6y = 48  / :6
y = 8

מספר הפרחים האדומים הוא:
x + 8 = 20
x=12
תשובה: בגינה 12 פרחים אדומים ו 8 צהובים.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.