בעיות תנועה

המטרה של דף זה היא ללכת צעד אחר צעד וללמד כיצד פותרים בעיות תנועה.

בדף זה שלושה חלקים:

  1. בעיות תנועה בסיסיות. שאלות אלו נפתרות על ידי הצבה בנוסחה:   דרך = מהירות * זמן.
  2. בעיות שוויון דרכים, סכום דרכים או הפרש דרכים. בשאלות אלו יש לבנות משוואה של שוויון / סכום / הפרש דרכים. מיועד לתלמידי חטיבת הביניים.
  3. בעיות מורכבות יותר, גם בעיות אלו הן בנושא שוויון, סכום או הפרש דרכים. אבל אלו בעיות מורכבות יותר המתאימות לתלמידי תיכון ברמת 4 ו 5 יחידות לימוד.

לתלמידי 5 יחידות לימוד יש דף הכולל מגוון שאלות קשות רחב יותר: בעיות תנועה 5 יחידות.

הדף הזה הוא מדריך ארוך ומושקע, אני מציע שכל אחד יתמקד בחלק המתאים לו.
להבנת התאוריה מומלץ להיעזר בוידאו.

חלק 1: בעיות תנועה בסיסיות

בבעיות תנועה שלושת המשתנים שחוזרים על עצמם הם:
t  זמן.
v מהירות
s דרך.

המשוואה המחברת בין שלושת המשתנים היא:

v * t = s
דרך = מהירות * זמן

תרגיל 1 (הדרך חסרה)

מכונית נוסעת במשך 2 שעות במהירות 70 קמ"ש.
מה אורכה של הדרך שהמכונית עברה?

פתרון
שלב 1: התאמה בין הנתונים למשוואה
t=2 שעות.
v= 70 קמ"ש.
s= ?

שלב 2: הצבה במשוואה
s = t * v
s = 2 * 70 =140
תשובה: הדרך שהמכונית עברה היא 140 ק"מ.

תרגיל 2 (הזמן חסר)

מכונית נוסעת במהירות 80 קמ"ש ועליה לעבור 280 ק"מ. כמה זמן ייקח למכונית לעבור את הדרך?

פתרון
עלינו להגדיר משתנה. בשאלות בסיסיות המשתנה יהיה מה ששואלים אותנו עליו.
בשאלה זו זמן נסיעת
שלב 1: בחירת משתנה והתאמה בין הנתונים למשוואה
t – הזמן שייקח למכונית לעבור את הדרך בשעות.
כמו כן אנו יודעים כי:
s = 280 ק"מ.
v=80 קמ"ש.

שלב 2: הצבה במשוואה
נבנה את המשוואה.
vt = s
80t = 280 /:80
t=3.5
תשובה: הזמן שבו המכונית תעבור את הדרך הוא 3.5 שעות.

בדיקת התשובה
ניתן לבדוק את התשובה שלנו על ידי הצבת הערכים שיש לנו על זמן, מהירות, דרך בנוסחה הבסיסית.
s = v * t
3.5 * 80 = 280
280 = 280
ולכן הפתרון נכון.

חלק שני: שוויון, סכום והפרש דרכים

בשאלות מסוג זה יהיו שני גופים שנעים או גוף אחד שעושה דרך פעמיים.
גם כאן נשתמש בנוסחה v*t =s אבל כתיבת המשוואה תהיה מורכבת יותר.

אכתוב כאן את סוגי הניסוחים המרכזיים לתיאור שוויון דרכים או סכום דרכים או הפרש דרכים.

אין צורך לשנן וללמוד את מה שכתוב כאן בעל פה. צריך לקרוא ולהבין למה זה נכון. כלומר למה במקרה מסוים המשוואה שנוצרת היא שוויון / סכום / הפרש.
מצורפים שרטוטים שנועדו לעזור להבין את התרגיל.

עבור אלו ניסוחים המשוואה תהיה שוויון דרכים?

  1. הלוך ושוב >> כאשר מכונית אחת נוסעת הלוך ושוב המשוואה תהיה: הדרך הלוך שווה לדרך חזור.
  2. יום רגיל ויום "מיוחד"   >> לפעמים יתארו לנו מכונית שיש לה מסלול "רגיל" אבל ביום מסוים היא עברה את אותו מסלול אבל במהירות / זמן שונים.
    המשוואה תהיה: הדרך ביום "הרגיל" שווה לדרך ביום "המיוחד".
  3. כאשר שתי מכוניות יוצאות מאותו מקום ומגיעות לאותו מקום.
    המשוואה תהיה: הדרך שמכונית א עברה שווה לדרך שמכונית ב עברה.
  4. כאשר מכונית אחת יוצאת מעיר א לעיר ב ואילו מכונית שנייה יוצאת מעיר ב לעיר א.
  5. המשוואה תהיה: הדרך שמכונית א עברה שווה לדרך שמכונית ב עברה.

הסבר לנוסחאות שוויון דרכים כפי שפורט למעלה

עבור אלו ניסוחים המשוואה תהיה סכום דרכים?

  1. שני כלי רכב הנוסעים זה לכיוון זה.
  2. שני כלי רכב היוצאים מאותה נקודה בכיוונים מנוגדים.
  3. מכונית אחת הנוסעת באותו כיוון ומשנה מהירות במהלך נסיעתה.

הסבר לנוסחאות סכום דרכים כפי שפורט למעלה

עבור אלו ניסוחים המשוואה תהיה הפרש דרכים?

  1. שני כלי רכב הנוסעים באותו כיוון עם מהירות מהירות / זמן / נקודת יציאה שונים.

הערה: משוואות של הפרש דרכים ניתן תמיד לכתוב גם בצורה של סכום דרכים.

תרגילים: שוויון, סכום והפרש דרכים

מצורפים 5 תרגילים.
בראש התרגיל לא כתוב איזה סוג תרגיל זה, הדבר כתוב בשורה הראשונה של הפתרון.

תרגיל 1 

אדם נסע לבקר את קרובי משפחתו. הדרך הלוך נמשכה שעתיים וחצי. בדרך חזור האדם הגדיל את מהירותו ב 15 קמ"ש ולכן דרכו חזרה נמשכה שעתיים.
חשבו את מהירות הנסיעה בדרך הלוך ואת המרחק שהאדם נסע בכיוון אחד.

פתרון
(המשוואה בתרגיל זה היא של שוויון דרכים).

שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את המהירות של האדם, לכן נבחר בה כמשתנה.
v מהירות הנסיעה בדרך הלוך.
v + 15 מהירות הנסיעה בדרך חזור.

שלב ב: בניית טבלה
נציב את הנתונים בטבלה ונשלים את הדרך שכל מכונית עברה
בשחור הנתונים שקיבלנו בשאלה, באדום תוצאת ההכפלה של מהירות * זמן.

מהירות זמן דרך
הלוך v 2.5 2.5v
חזור v +15 2 2v + 30

שלב ג: בניית משוואה
2.5v  זו הדרך הלוך.
2v + 30  זו הדרך חזור.
הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה היא:

2.5v = 2v +30   / -2v
0.5v =30  / *2
v = 60

נחשב את הדרך שעברה המכונית בכיוון אחד על ידי הצבת v=60
s = 2.5 * 60 = 150

אם נרצה נוכל לבדוק שלא טעינו בפיתוח המשוואות על ידי הצבה של v = 60 גם בביטוי השני של המרחק (s = 2v + 30)
s = 2*60 + 30 = 150
קיבלנו את אותה תשובה בשני הדרכים ולכן התשובה היא נכונה.

תשובה: המהירות בדרך הלוך היא 60 קמ"ש והנסיעה בכיוון אחת היא 150 קמ"ש.

תרגיל 2

מכונית החלה בנסיעה של 410 ק"מ במהירות מסוימת לאחר 3 שעות הגבירה את מהירותה ב 30 קמ"ש וסיימה את נסיעתה לאחר 5 שעות מרגע יציאתה לדרך.
באיזו מהירות התחילה המכונית את הנסיעה?

פתרון
(המשוואה בתרגיל זה היא של סכום דרכים)
שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את מהירות המכונית, לכן מהירות המכונית תהיה המשתנה
v – המהירות שבה התחילה המכונית את הנסיעה.
v+30 מהירות המכונית לאחר שהגבירה את מהירותה.

שלב ב: בניית טבלה
נציב את הנתונים בטבלה (בשחור) ונחשב את הדרך שנעשתה בשתי המהירויות (באדום).

מהירות זמן דרך
נסיעה במהירות התחלתית v 3 3v
נסיעה במהירות מוגברת v+30 2 2(v+30)

שלב ג: בניית משוואה
3v – הדרך שהמכונית עברה במהירות ההתחלתית.
2(v+30) – הדרך שהמכונית עברה במהירות המוגברת.
סכום הדרכים הוא 410 לכן המשוואה היא:
3v + 2(v+30)=410
3v+2v+60=410 /-60
5v=350 /:5
v=70

תשובה: המהירות ההתחלתית של המכונית הייתה 70 קמ"ש.

תרגיל 3

גלי ואבי הולכים מביתם אל הים.
אבי הולך מביתו אל הים במשך 5 שעות.
גלי יצאה שעה אחרי שאבי יצא אך הלכה במהירות הגבוהה ב 2 קמ"ש ממהירותו של אבי ולכן הגיעה לים שעה לפניו.
חשבו את המרחק בית הבית לים.

פתרון
(המשוואה בתרגיל היא שוויון דרכים)

שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את המהירות של אבי, לכן היא תהיה המשתנה.
v  המהירות של אבי בהליכתו לים בקמ"ש.
v +2 המהירות של גלי בהליכתה לים בקמ"ש.

שלב ב: כמה זמן כל אחד מיהם הלך?
בעיה נוספת בשאלה היא לדעת כמה זמן גלי הלכה לים.
אבי הלך 5 שעות. גלי יצאה 1 שעה אחרי והגיעה 1 שעה לפני. ולכן היא הלכה 3 שעות.
3 = 1 – 1 – 5

שלב ג: בניית טבלה
הנתונים מופיעים בשחור ותוצאת החישוב באדום

מהירות זמן דרך
אבי v 5 5v
גלי v +2 3 3v + 6

שלב ד: בניית משוואה ופתרונה
בטבלה ניתן לראות כי:
5v  המרחק שאבי עבר.
3v + 6  המרחק שגלי עברה.
הדרכים שהם עברו שוות ולכן המשוואה היא:
5v = 3v + 6  /-3v
2v = 6  / :2
v = 3

נשים לב ששאלו אותנו על המרחק בין הבית לים: והוא 5v.
15 = 3 * 5
תשובה: המרחק בין הבית לים הוא 15 ק"מ.

תרגיל 4

שתי רוכבות אופניים יצאו לרכיבה מאותה נקודה.
הרוכבת הראשונה יצאה ב 10 בבוקר במהירות 15 קמ"ש.
הרוכבת השנייה יצאה בשעה 11 בבוקר במהירות 20 קמ"ש.
באיזו שעה הרוכבת השנייה תשיג את הראשונה ב 15 ק"מ?

פתרון
(המשוואה בתרגיל זה היא של הפרש דרכים).

שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את הזמן של הרוכבת הראשונה לכן הוא יהיה המשתנה
t זמן הנסיעה של הרוכבת הראשונה בשעות עד לנקודה שבה הרוכבת השנייה השיגה אותה ב 15 ק"מ.
t – 1 זמן הנסיעה של הרוכבת השנייה.

שלב 2: בניית טבלה
הנתונים מופיעים בשחור, תוצאת החישוב באדום.

מהירות זמן דרך
רוכבת א 15 t 15t
רוכבת ב 20 t – 1 20t – 20

שלב ג: בניית משוואה
15t המרחק שעברה רוכבת א.
20t – 20  המרחק שעברה רוכבת ב.

רוכבת ב עברה 15 ק"מ יותר מרוכבת א לכן המשוואה היא:
20t – 20 – 15t = 15

הסבר למשוואה בעיות תנועה

הסבר למשוואה

אפשרות אחרת לבניית המשוואה היא לכתוב את המשוואה כסכום דרכים
המרחק שעברה רוכבת ב = 15 + המרחק שעברה רוכבת א
15t + 15 = 20t – 20

הסבר למשוואה

הסבר למשוואה

שלב ד: פתרון המשוואה
נפתור את המשוואה הראשונה
20t – 20 – 15t = 15
5t – 20 =15  / +20
5t = 35  /:5
t = 7

השאלה הייתה "באיזו שעה?" . 7 שעות לאחר השעה 10 זו השעה 17.
תשובה: בשעה 17 רוכבת ב תשיג את רוכבת א ב 15 ק"מ.

תרגיל 5
משתי ערים במרחק 470 ק"מ יצאו זו לקראת זו שתי מכוניות. המהירה מבניהן נסעה 20 קמ"ש מהר יותר מהאיטית. כעבור 2 שעות נסיעה המרחק בניהן היה 150 ק"מ.
מצאו את מהירות המכוניות.

שרטוט הבעיה

פתרון
(המשוואה בתרגיל זה היא של סכום דרכים).

הרעיון של הפתרון
מבחינת הבנת התרגיל המפתח הוא להבין כי שתי המכוניות ביחד עברו 320 = 150 – 470 ק"מ.
לכן נחשב את הדרך של כל אחת מיהן ונבנה משוואה (משוואת סכום דרכים).

שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את מהירות המכונית, לכן נבחר בה כמשתנה.
v מהירות המכונית האיטית בקמ"ש.
v + 20 מהירות המכונית המהירה בקמ"ש.

שלב ב: בניית טבלה
נציב את הנתונים בטבלה (בשחור) ונבצע את החישוב (באדום).

מהירות זמן דרך
מכונית איטית v 2 2v
מכונית מהירה v + 20 2 2v + 40

שלב ג: בניית משוואה
2v – הדרך שעברה המכונית האיטית בשעתיים.
2(v+20) – הדרך שעברה המכונית המהירה בשעתיים.

הדרך ששתי המכוניות עברו ביחד בשעתיים היא 470-150=320 ק"מ.
לכן המשוואה היא:
2v+2(v+20)=320
2v+2v+40=320
4v=280
v=70

תשובה: מהירות המכונית האיטית היא 70 קמ"ש ומהירות המכונית המהירה היא 90 קמ"ש

הסבר למשוואה

הסבר למשוואה

חלק 3: בעיות תנועה קשות יותר

חלק זה מיועד לתלמידי תיכון ברמת 4-5 יחידות לימוד.
שאלות 1-2 יכולות להתאים גם לתלמידים טובים בחטיבת הביניים.
שאלות 6-7 מתאימות רק לתלמידי 5 יחידות מתמטיקה.

לתרגילים 1-5 יש גם פתרון וידאו. פתרון הוידאו נמצא לאחר הפתרון הכתוב.

כל אחת מהבעיות נועדה ללמד אותכם להתגבר על מכשול אחר:

  1. לכתוב משוואה שהיא לא דרך = דרך.  בבעיה זו תצטרכו לכתוב משוואה שהיא זמן = זמן או מהירות = מהירות.
  2. תרגיל שיש בו מספר שינויי מהירות.
  3. תרגיל שבו יש שתי מהירויות אבל הזמן שניתן לכם הוא זמן של שני הקטעים יחד ולא של כל קטע בנפרד.
  4. תרגיל עם ניסוח מסורבל מאוד.
  5. בעיות 5-6 הן בעיות שבהם שני כלי רכב יוצאים, נפגשים וממשיכים לנוע לאחר הפגישה.
  6. בעיה 7 היא על כלי רכב שמנסה להשיג רכב אחר אבל הרכב משנה מהירות.

החל משאלה 3 כל פתרון תרגיל מתחיל בטיפ לפתרון שנועד לתת לכם רמז כיצד לפתור בעצמכם. אתם יכולים לראות את הטיפים במרוכז בוידאו.

תרגיל 1 (בעיה שבה המשוואה היא לא דרך = דרך)
מטוס טס דרך של 5400 ק"מ. יום אחד האיץ המטוס את מהירותו ב 300 קמ"ש ולכן הגיע 3 שעות לפני המועד הרגיל. מה המהירות הרגילה של המטוס?

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
v – המהירות הרגילה.
v+300 – "היום המיוחד".

שלב ב: בניית טבלה
עבור הטורים של המהירות והדרך יש לנו נתונים.
את טור הזמן נקבל על ידי חישוב.

מהירות זמן דרך
יום רגיל v 5400 לחלק ב v 5400
יום מיוחד v+300 5400 לחלק ב (v+300) 5400

שלב ג: בניית משוואה

הזמן ביום הרגיל

הזמן ביום המיוחד

ידוע כי ביום המיוחד הזמן היה קצר יותר ב- 3 שעות לכן יש להוסיף להוסיף ליום המיוחד 3 על מנת ליצור שוויון במשוואה.
(הערה: מהיר יותר = קצר יותר).

המשוואה

היום המיוחד משמאל והיום הרגיל מימין

המכנה המשותף הוא:
(v (v + 300
נכפיל במכנה המשותף ונקבל:
(5400v + 3v (v + 300) = 5400 (v + 300
5400v + 3v² + 900v = 5400v + 1,620,000
3v² + 900v – 1,620,00 = 0   / :3
v² + 300v – 540,000 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
v1 = 600,   v2 = -900
מהירות היא גודל חיובי לכן הפתרון המתאים הוא v1 = 600

תרגיל 2 (בעיה עם מספר שינויים של מהירות)

שתי מכוניות יצאו ממטולה לאילת. מכונית אחת נסעה במהירות 80 קמ"ש כל הדרך ומכוניות שנייה נסעה במשך שעה במהירות 70 קמ"ש, נחה 2 שעות והמשיכה במהירות 100 קמ"ש.
מכונית ב הגיעה 20 דקות לפני מכונית א לאילת.
א. כמה זמן נסעה מכונית א?
ב. חשבו את המרחק ממטולה לאילת.

פתרון
על מנת לפתור את הבעיה עלינו להגדיר משתנה. מכוון שאת המהירות אנו יודעים המשתנה יכול להיות הזמן או הדרך. שני המשתנים הללו יפתרו את הבעיה אבל בחירת הזמן כמשתנה תיתן לנו משוואה פשוטה יותר.

שלב א: הגדרת משתנה והבעת גדלים אחרים באמצעותו
t  – הזמן שלקח למכונית א לעבור את הדרך בשעות.
1/3 – t – הזמן שלקח למכונית ב לעבור את הדרך.
t-3-1/3  – הזמן שבו נסעה מכונית ב את הקטע השלישי.

שלב ב: בניית טבלה
נבנה עכשיו טבלה ובעזרתה נחשב את המרחקים שעברו המכוניות בכול חלק של המסע:
הנתונים מופיעים בשחור, תוצאות החישוב באדום.

מהירות זמן דרך
מכונית א 80 t 80t
מכונית ב התחלה 70 1 70
מכונית ב מנוחה 0 2 0
מכונית ב סיום 100 t-3-1/3 100(t-3.33)

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
80t   המרחק שעברה מכונית א.
t – 3.33)*100 + 70) המרחק שעברה מכונית ב.

המרחקים שעברו המכוניות שווים.
לכן המשוואה היא:
(80t = 70 + 0 + 100(t-3.33
80t = 70 + 100t -333
80t=100t – 263 /-100t
20t=-263 / :-20-
t=13.15
0.15 בדקות זה 0.15 * 60 = 9 דקות.
משך זמן הנסיעה של מכונית א הוא 13.15 שעות.

מכונית א נסעה במהירות 80 קמ"ש לכן המרחק ממטולה לאילת הוא:
1052 = 80 * 13.15

תשובה: זמן הנסיעה של מכונית א הוא 13 שעות ותשע דקות.
המרחק ממטולה לאילת הוא 1052 ק"מ.

תרגיל 3 (תרגיל בו נתון זמן כולל של שני קטעים ולא של קטע כל קטע בנפרד)

מכונית יצאה לדרכה במהירות 90 קמ"ש. כאשר הגיעה אל תחנת דלק עצרה בתחנה למשך חצי שעה.
לאחר התדלוק  המשיכה את נסיעתה במהירות 70 קמ"ש עד שהגיעה ליעדה הנמצא 255 ק"מ מנקודת המוצא.
עברו 4 שעות מיציאת המכונית ועד שהגיעה ליעדה.
חשבו את זמן הנסיעה עד לתחנת הדלק ומתחנת הדלק.

פתרון

תיאור המסלול של המכונית

תיאור המסלול של המכונית

ניתן לפתור את התרגיל בעזרת משתנה אחד או שני משתנים.
בהתחלה נפתור עם משתנה אחד ולאחר מיכן עם שני משתנים.

שלב א: הגדרת זמן כמשתנה ובאמצעותו את הדרך
t זמן הנסיעה בשעות עד תחנת הדלק.
4 מינוס t מינוס חצי זמן הנסיעה בקטע השני
90t  הדרך שהמכונית עברה עד תחנת הדלק.
הדרך מתחנת הדלק ועד הסיום

שלב 2: בניית משוואה ופתרונה
בשני הקטעים ביחד המכונית עברה 255 ק"מ. לכן משוואה היא:
90t + 70(3.5-t) = 255
90t + 245 -70t = 255 / -245
20t = 10  / :20
t = 0.5
3 =0.5 – 0.5 – 4

תשובה: משך זמן הנסיעה עד תחנת הדלק הוא 0.5 שעות. משך הנסיעה מתחנת הדלק ועד לסיום הוא 3 שעות.

פתרון התרגיל עם שני משתנים
t1 זמן הנסיעה עד תחנת הדלק.
t2  זמן הנסיעה מתחנת הדלק ועד הסוף.

90t1   הדרך שהמכונית עברה בקטע הראשון.
70t2  הדרך שהמכונית עברה בקטע השני.

המשוואות שלנו הם:
סכום הזמנים הוא 4.
t1 + t2 = 3.5
(כי חצי שעה הייתה מנוחה).

סכום המרחקים הוא 255
90t1 + 70t2 = 255

נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ונגיע לאותה תשובה כמו בדרך הראשונה.

תרגיל 4 (תרגיל עם ניסוח מסורבל )

משאית יוצאת לדרך, שעה לאחריה יוצאת מכונית המשיגה את המשאית 3 שעות לאחר שהמשאית יצאה לדרך.
למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה.
מצאו את מהירות המשאית.

פתרון
טיפ לפתרון: צריך כאן שתי משוואות עם שני נעלמים.
כיצד בונים את המשוואה השנייה?

שלב א: בחירת משתנים
אנחנו לא יודעים את מהירות המכונית ולא את מהירות המשאית.
אנחנו גם לא מקבלים מידע על קשר בין שני המהירויות.
לכן אנו חייבים להשתמש בשני משתנים. משתנה לכל מהירות.

v מהירות המשאית בקמ"ש.
u מהירות המכונית בקמ"ש.

שלב ב: בניית משוואה עבור נקודת הפגישה
3v  הדרך שהמשאית עשתה עד שפגשה במכונית.
2u  הדרך שהמכונית עשתה עד שפגשה במכונית.

הדרך שהמכונית והמשאית עברו שווה ולכן המשוואה היא:
2u = 3v  /:2
u = 1.5v

שלב ג: בניית משוואה עבור המשפט "למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה".

נגדיר את הזמן שלוקח למשאית ולמכונית לעבור 180 ק"מ.


הזמן של המכונית קצר יותר ב- 1.5 שעות.
לכן עלינו להוסיף 1.5 לזמן לזמן של המכונית על מנת ליצור משוואה.

המשוואה השנייה

נכפיל המכנה המשותף שהוא uv ונקבל:
180u = 180v + 1.5vu

שלב ד: פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
נציב את המשוואה הראשונה שקיבלנו (u = 1.5v) במשוואה הזו:
1.5v * 180 = 180v + 1.5v * 1.5v  / :1.5
180v = 120v + 1.5v² /  -180v
1.5v² – 60v = 0  /:1.5
v² – 40v = 0
v (v – 40) = 0
v = 0,  v=40
מכוון שהמכוניות נוסעות הפתרון היחידי שאפשרי הוא v= 40.

תשובה: מהירות המשאית היא 40 קמ"ש.

תרגיל 5 (כלי רכב הנוסעים באותו כיוון נפגשים וממשיכים)

משאית השלום יצאה מנהריה צפונה והחליטה שלא תעצור לפני שתגיע לאיסטנבול, מרחק של 900 ק"מ. שעתיים אחריה יצאה מנהריה מכונית באותו כיוון ובמהירות הגדולה ב 40 קמ"ש ממהירות המשאית.
המכונית והמשאית נפגשו ו 6 שעות לאחר הפגישה הגיעה המכונית לאיסטנבול.
חשבו את מהירות המשאית.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
אין לנו את הזמן או המהירות של המשאית אבל יש לנו קשר בין מהירות המשאית למהירות המכונית ואת הקשר שבין זמן נסיעת המשאית לזמן נסיעת המכונית.
לכן שני המשתנים שלנו יהיו:
v  מהירות המשאית בקמ"ש.
t הזמן שנסעה המשאית עד הפגישה עם המכונית.
v + 40 מהירות המכונית בקמ"ש.
t – 2 הזמן שנסעה המכונית עד הפגישה.

שלב ב: בניית משוואה עבור נקודת הפגישה
vt  הדרך שעברה המשאית עד הפגישה.
(v + 40) (t – 2)  הדרך שעברה המכונית עד הפגישה.

הדרכים שוות לכן המשוואה היא:
(vt = (v+40) (t-2
vt = vt – 2v +40t -80  / -vt
40t – 2v -80 = 0 / +2v
40t – 80 = 2v  /:2
20t – 40 = v

שלב ג: נבנה משוואה עבור הדרך הכוללת שעברה המכונית
המכונית הייתה בדרך עוד 6 שעות לאחר הפגישה.
לכן הזמן הכולל של המכונית בדרך הוא:
t -2 + 6 = t+4

v + 40  זו מהירות המכונית לאורך כל הדרך.
(v + 40) (t+ 4)  זו הדרך שהמכונית עברה.
900 ק"מ זה המרחק מנהריה לאיסטנבול

המשוואה היא:
v + 40) (t+ 4) = 900)
vt + 4v + 40t + 160 = 900 / -160
vt + 4v + 40t = 740

שלב ד: נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים
נציב את משוואה אחת במשוואה שקיבלנו:
t(20t -40) + 4(20t – 40) +40t = 740
20t² -40t +80t -160 + 40t = 740  / -740
20t² + 80t -900 = 0 /:20
t² +4t – 45 = 0
נפתור בעזרת פירוק הטרינום או נוסחת השורשים.
t + 9) (t – 5) = 0)
t = -9, t = 5
מכוון ש t הוא זמן והוא גודל חיובי הפתרון היחידי שאפשרי הוא t=5.
כלומר הזמן שנסעה המשאית עד הפגישה הוא 5 שעות.

שאלו אותנו על מהירות המשאית v לכן נציב t=5 במשוואה
20t – 40 = v
(זו המשוואה שבנינו עבור נקודת הפגישה)
v = 20 * 5 – 40 = 100 -40 = 60
תשובה: מהירות המשאית 60 קמ"ש.

תרגיל 6 (כלי רכב הנוסעים בכיוונים מנוגדים נפגשים וחוזרים בחזרה)

הולך רגל ורוכב אופניים יצאו זה לקראת זה באותו זמן משתי נקודות שונות. המרחק בין הנקודות 38 ק"מ.
מהירות האופניים גדולה ב 9 קמ"ש ממהירות הולך הרגל.
לאחר שנפגשו הולך הרגל חזר מיד לנקודה ממנה יצא במהירות הקטנה ב 1 קמ"ש מהמהירות המקורית שלו.
לעומת זאת רוכב האופניים נח במשך 1 שעה וחזר לנקודת המוצא באותה מהירות בה הגיע.
כתוצאה מכך הולך הרגל הגיעה לנקודת המוצא חצי שעה מוקדם יותר מרוכב האופניים.
חשבו את מהירות רוכב האופניים.

פתרון
שלב א: בחירת משתנים
ברור שצריך לבחור את מהירות רוכב האופניים כמשתנה.
אבל לא נוכל בלי בחירת הזמן עד הפגישה לא נוכל לעשות דבר, לכן נבחר גם אותו כמשתנה.
v מהירות רוכב האופניים בקמ"ש.
t הזמן שרוכב האופניים נסע עד הפגישה.
v – 9  מהירות הולך הרגל בקמ"ש.
t הזמן שהולך הרגל הלך עד הפגישה

שלב ב: בניית משוואה עבור נקודת הפגישה
vt הדרך שרוכב האופניים עבר עד הפגישה.
(t (v-9  הדרך שעבר הולך הרגל עד הפגישה.

בנקודת הפגישה סכום הדרכים של הולך הרגל ורוכב האופניים הוא 38 ק"מ. לכן המשוואה היא:
t(v -9) + vt = 38
vt -9t + vt = 38  / -38
2vt -9t – 38 = 0

שלב ג: בניית משוואה עבור זמן החזרה לנקודת המוצא
הנתונים של הדרך חזרה לאחר הפגישה:
עבור הולך הרגל
v – 10 המהירות של הולך הרגל.
(t (v-9  הדרך חזרה של הולך הרגל.
(t (v-9) / (v-10 הזמן שבו הולך הרגל היה בדרך חזרה.

עבור האופניים
v מהירות האופניים.
vt הדרך של רוכב האופניים.
vt / v = t הזמן שרוכב האופניים רכב בחזרה (הזמן של הנסיעה, ללא ההמתנה)
t + 1  הזמן עם ההמתנה.

אנו יודעים שהולך הרגל הגיע חצי שעה מוקדם יותר, כלומר הלך פחות זמן.
לכן יש להוסיף 0.5 לזמן של הולך הרגל על מנת שהמשוואה תהייה מאוזנת.

משוואת התרגיל

vt -10t +0.5v -5 = vt -9t  / -vt + 10t
0.5v – 5 = t

נציב את t במשוואה שמצאנו למעלה:
2vt -9t – 38 = 0
2v (0.5v – 5) -9(0.5v – 5) – 38= 0
v² -10v  -4.5v +45 – 38 = 0
v² -14.5v +7 =0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל
v = 14,  v = 0.5
כאשר v =0.5 מהירות הולך הרגל היא 8.5- ומכוון שהמהירות היא לא שלילית (כתוב הלכו זה לקראת זה) הפתרון היחידי האפשרי הוא v=14.

תשובה: מהירות רוכב האופניים היא 14 קמ"ש.

תרגיל 7 (רכב אחרי רכב כאשר מהירות אחד הרכבים משתנה)

משאית יצאה לדרכה ונסעה 2 שעה במהירות 70 קמ"ש, 1 שעה במהירות 60 קמ"ש ו 4 שעות במהירות 80 קמ"ש.
שעה וחצי לאחר שיצאה המשאית יצאה מכונית לאותו כיוון במהירות 100 קמ"ש.
חשבו היכן וכעבור כמה זמן המשאית והמכונית יפגשו.

פתרון

עלינו לבדוק עבור כל שינוי מהירות של המשאית איפה נמצאת המשאית ואיפה נמצאת המכונית כאשר המשאית מסיימת את הקטע.
לאחר שנמצא את הקטע בו הרכבים נפגשים נוכל גם לאתר את המיקום המדויק בקטע שבו הרכבים נפגשים.

בסוף הקטע הראשון המשאית עברה 140 ק"מ ואילו המכונית 50 ק"מ. לכן הן לא נפגשו בקטע זה.
בסוף הקטע השני המשאית עברה 200 ק"מ ואילו המכונית 150 ק"מ ולכן הן לא נפגשו בקטע זה.
בסוף הקטע השלישי המשאית עברה 520 ק"מ ואילו המכונית 550 ק"מ ולכן המכונית פוגשת את המשאית בקטע זה.

נגדיר
t הזמן בשעות מאז שהמשאית התחילה את הקטע השלישי ועד שהמכונית פגשה בה.
80t  הדרך שהמשאית עברה בזמן זה.
100t  הדרך שהמכונית עברה בזמן זה.
מכוון שבתחילת הקטע המרחק בין המשאית למכונית הוא 50 ק"מ המשוואה תהיה
100t = 80t + 50  / -80t
20t = 50  / :20
t = 2.5

עד לתחילת הקטע השלישי עברו 3 שעות, לכן סך הכל המשאית נוסעת 5.5 שעות והמכונית 4 שעות.
ב 4 שעות המכונית עוברת 400 ק"מ.
תשובה: הזמן מתחילת תנועתה של המשאית ואז הפגישה הוא 5.5 שעות. הרכבים יפגשו 400 ק"מ מנקודת היציאה.

עוד בנושא בעיות תנועה:

  1. בעיות תנועה כיתה ח.
  2. בעיות תנועה 4 יחידות.
  3. בעיות תנועה 5 יחידות.

עוד באתר:

שאלה שאלות

16 תגובות בנושא “בעיות תנועה

  1. מרים

    תודה רבה !!!!!!!!!!!!!!
    מחר יש לי מבחני מיון להקבצות ולא ידעתי כלוםםםםםםם!
    ועכשיו למדתי בשעה חומר של שנה האתר הזה מ-ו-ש-ל-ם

  2. מרים

    שלום מרים.
    אני מפרסם את השאלה לא כמו שכתבת אלא על פי העיקר שבה.
    אדם הולך שני קטעי מרחק שונים.
    המהירות בכל אחד מהקטעים שונה וידועה לנו.
    זמן ההליכה בקטע השני ארוך ב 30 דקות מזמן ההליכה בקטע הראשון.
    אורך הקטע השני קצר ב a קילומטר מאורך הקטע הראשון (a הוא מספר ידוע, חלק מהנתונים)
    מה אורך המסלול?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שני דברים אני רוצה שתשימי לב אליהם לפני שאנו ניגשים לפתרון עצמו:
      1. המהירות ידועה – כלומר במשוואות בעיות תנועה יש 3 דברים שאנו רוצים לדעת (מהירות, זמן, דרך). אם בשאלה נתון לנו אחד מהדברים, את השני (במקרה זה הזמן) אנו מגדירים כמשתנה ואת השלישי (במקרה זה הדרך) אנו בונים בעזרת המשוואה.
      2. ידוע שדרך אחת גדולה מאחרת ב a ק"מ. לכן ניתן לבנות משוואת שוויון דרכים שהיא:
      דרך בקטע שני + a = דרך בקטע ראשון.

      דרך הפתרון בפועל:
      1.מגדירים את הזמן בשעות כמשתנה.
      2. מגדירים את המרחק בכול אחד מהקטעים על פי הנוסחה מהירות * זמן = דרך.
      3. בונים משוואה: הדרך בקטע השני + a = הדרך בקטע הראשון

  3. שני

    תודה אין הרבה אתרים שנותנים שאלות בנושא תנועה ועזרתם לי מאוד (עזבו שיש פיתרון וזה כבר משהו אחר שעל זה עוד יותר תודה)

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.