בעיות תנועה עם פגישה: העקרונות שעל פיהם תפתרו את התרגילים

בעיות תנועה עם פגישה הם בעיות נפוצות מאוד ברמות של 4 יחידות ו- 5 יחידות.

כאשר כותבים שאלה מעוניינים להכניס קושי אל השאלה.
הרבה פעמים הקושי הוא "נתון סמוי", הכוונה היא למידע שיש לו משמעות מעבר לטקסט הפשוט. "והמשמעות מעבר" היא המפתח לפתרון השאלה.

בדף זה נעבור על "נתונים סמויים" בתוך שאלות תנועה שיש בהן "פגישה" ונסביר את המשמעויות השונות של פגישות שונות.

נדבר על 5 סוגים שונים של פגישות.

מצב 1: שני כלי רכב נוסעים זה מול זה ונפגשים

כאשר שני כלי רכב נוסעים זה מול זה ונפגשים המרחק ששניהם עברו יחד הוא המרחק של הדרך כולה.

דוגמה:
הולך רגל יצא מירושלים לתל אביב ורוכב אופניים יצא מתל אביב לירושלים.
המרחק מתל אביב לירושלים הוא 80 ק"מ.
מהירות רוכב האופניים גדולה ב 10 קמ"ש ממהירות הולך הרגל.
רוכב האופניים והולך הרגל נפגשו כעבור 4 שעות.
חשבו את מהירות רוכב האופניים ומהירות הולך הרגל.

פתרון
נגדיר:
v  מהירות הולך הרגל בקמ"ש.
v +10 מהירות רוכב האופניים בקמ"ש.

4v  הדרך שעשה הולך הרגל עד הפגישה.
4v + 40  הדרך שעשה רוכב האופניים עד הפגישה.

סכום הדרכים הוא הדרך כולה:
4v + 4v + 40 = 80
8v = 40
v = 5
מהירות הולך הרגל היא 5 קמ"ש ומהירות רוכב האופניים 10 קמ"ש.

 

 

אותה שאלה עם שינוי קטן
נניח והולך הרגל והרוכב לא היו נפגשים אלא נעצרים במרחק של 10 ק"מ אחד מהשני.
מה הייתה המשוואה אז?

4v + 4v + 40 = 70

מצב 2: שני כלי רכב יוצאים מאותה נקודה ונפגשים

כאשר שני כלי רכב יוצאים מאותה נקודה ואחד "משיג" את השני הם למעשה עוברים את אותו מרחק.

דוגמה
משאית יצאה מתל אביב במהירות 60 קמ"ש.
שעתיים אחריה יצאה מכונית ונסעה במהירות 80 קילומטר עד שהשיגה את המשאית.
חשבו כמה זמן לאחר יציאת המשאית המכונית השיגה אותה.

פתרון
נגדיר
t זמן הנסיעה של המשאית בשעות.
t – 2  זמן הנסיעה של המכונית בשעות.

הדרך שעברה המכונית היא:
t- 2)*80)

הדרך שעברה המשאית היא:
60t

הדרך של המשאית והמכונית שוות. לכן המשוואה היא:
(60t = 80 (t- 2
60t = 80t -160
20t = 160
t = 8
תשובה: המכונית תשיג את המשאית 8 שעות לאחר יציאת המשאית.

שרטוט התרגיל

אותה שאלה עם שינוי קטן
כלי הרכב לא יוצאים מאותה נקודה אלא במרחק מסוים זה מזה.
אם למשל בדוגמה הקודמת המכונית יצאה מנקודה שהיא 40 קילומטר רחוק יותר מנקודת היציאה של המשאית אז המשוואה החדשה היא:

(60t + 40 = 80(t – 2

שרטוט הבעיה

מצב 3: לאחר הפגישה אחד או שני כלי הרכב חוזרים לנקודה ממנה יצאו

כאשר אחד מכלי הרכב חוזר לאחר הפגישה לנקודה ממנה הוא יצא אנו יכולים לכתוב כי הדרך הלוך והדרך חזור שלו שוות.
בדרך כלל בשאלות הללו נוכל לחשב רק הדרך רק באחד משני הכיוונים אבל נצטרך להשתמש בביטוי המייצג את הדרך בשני הכיוונים.

לדוגמה:
מכונית יצאה מאשדוד לחיפה ומשאית יצאה מחיפה לאשדוד.
מהירות המכונית גדולה ב 30 קמ"ש ממהירות המשאית.
שני כלי הרכב נפגשו כעבור שעתיים.
לאחר פגישה המכונית המשיכה לחיפה באותה מהירות ואילו המשאית חזרה לחיפה במהירות הנמוכה ב 10 קמ"ש ממהירותה ההתחלתית.
המכונית הגיעה לחיפה 64 דקות לפני המשאית.
חשבו את מהירות המכונית ומהירות המשאית.

פתרון
נגדיר
v  מהירות המשאית בקמ"ש.
v + 30  מהירות המכונית בקמ"ש.

הדרך שעברה המשאית עד הפגישה היא:
2v
וזו גם הדרך של המכונית והמשאית לאחר הפגישה.

לכן זמן נסיעת המשאית לאחר הפגישה הוא:

זמן הנסיעה של המכונית לאחר הפגישה הוא:

ידוע כי המכונית נסעה 64 דקות פחות.
64 דקות בשעות הם:

ולכן המשוואה היא:

כאשר נכפיל במכנה המשותף שהוא
v+ 30) (v – 10) * 15)
נקבל משוואה ריבועית שפתרונה יהיה
v = 60

מצב רביעי: כאשר באים בכיוונים מנוגדים וממשיכים הלאה
הדרך שאחד עובר עד הפגישה שווה לדרך שהשני עובר לאחר הפגישה

הניסוח של המצב הזה קצת מסורבל, ולא עושים בו הרבה שימוש.
אבל לפעמים הוא הכרחי למציאת פתרון.

שרטוט הדרך

הנקודה הכחולה היא נקודת הפגישה.
חצים 1,2 מסמנים את תנועה המשאית לפני ואחרי הפגישה.
חצים 3,4 מסמנים את תנועת המכונית לפני ואחרי הפגישה.

המשוואות שאנו יכולים לבנות במקרה הזה הן:
המרחק שהמשאית עברה בחץ 1 שווה למרחק שהמכונית עברה בחץ 4.
המרחק שהמשאית עברה בחץ 2 שווה למרחק שהמכונית עברה בחץ 3.

מכונית ומשאית נסעו זו מול זו.
מהירות המכונית הייתה גדולה ב 20 קמ"ש ממהירות המשאית.
שני כלי הרכב נפגשו לאחר 4 שעות.
שני כלי הרכב המשיכו ליעדם והמכונית הגיעה ליעד 1 שעות ו 48 דקות לפני המשאית.
מצאו את מהירות המכונית ומהירות המשאית.

פתרון
נגדיר
v מהירות המשאית בקמ"ש.
v + 20 מהירות המכונית בקמ"ש.

הדרך שהם עברו עד הפגישה:
4v  הדרך של המשאית.
4v + 80  הדרך של המכונית.

זמנים לאחר הפגישה
לאחר הפגישה המשאית נסעה מרחק של
4v + 80
ולכן הזמן שהייתה על הכביש לאחר הפגישה הוא

לאחר הפגישה המכונית נסעה מרחק של
4v
ולכן הזמן שהייתה על הכביש לאחר הפגישה

ידוע שהמכונית נסעה פחות 1 שעות ו 48 דקות.
נהפוך את הזמן הזה לשעות:

לכן המשוואה תהיה:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא:
v(v +20) *5

נקבל משוואה ריבועית וכאשר נפתור אותה נקבל
v = 80.

מצב חמישי: כלי רכב בכיוונים מנוגדים, נפגשים,
ממשיכים ונפגשים שוב לאחר שכל אחד הגיע ליעדו

מכונית יצאה מתל אביב לאילת ומשאית יצאה מאילת לתל אביב.
מהירות המכונית גדולה ב 30 קמ"ש ממהירות המשאית.
שני כלי הרכב נפגשו כעבר 4 שעות והמשיכו בדרכם.
המכונית הגיעה לאילת ומיד חזרה לתל אביב.
המשאית הגיעה לתל אביב ומיד חזרה לאילת.
שני כלי הרכב נפגשו שוב.
כמה זמן עבר מתחילת הנסיעה ועד הפגישה השנייה?

פתרון
הנתון:
"מהירות המכונית גדולה ב 30 קמ"ש ממהירות המשאית" אינו עוזר לפתרון השאלה וניתן על מנת לבלבל אותכם.

הרעיון של הפתרון הוא זה:
עד הפגישה הראשונה שני כלי הרכב עברו ביחד את הדרך כולה ועשו זאת תוך 4 שעות.
עד הפגישה השנייה שני כלי הרכב עברו את כל הדרך 3 פעמים. ומכוון שנסעו באותה מהירות הם גם צריכים לעשות זאת בזמן כפול.
לכן מהפגישה הראשונה ועד הפגישה השנייה עברו עוד 8 שעות.

ניתן לראות זאת בתרשים:
(החצים המקווקווים מתארים את התנועה לאחר הפגישה.
האדום – מכונית,  הירוק – משאית).

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

באתר זה פועל צ'אט! (אנושי)
ימים א-ה 8-19 (עם הפסקות)
מענה לשאלות על התכנים באתר.   שאלות קצרות על תכנים מחוץ לאתר.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.