בעיות תנועה עם פגישה: העקרונות שעל פיהם תפתרו את התרגילים

בעיות תנועה עם פגישה הם בעיות נפוצות מאוד ברמות של 4 יחידות ו- 5 יחידות.

כאשר כותבים שאלה מעוניינים להכניס קושי אל השאלה.
הרבה פעמים הקושי הוא "נתון סמוי", הכוונה היא למידע שיש לו משמעות מעבר לטקסט הפשוט. "והמשמעות מעבר" היא המפתח לפתרון השאלה.

בדף זה נעבור על "נתונים סמויים" בתוך שאלות תנועה שיש בהן "פגישה" ונסביר את המשמעויות השונות של פגישות שונות.

בחלק הראשון נדבר על כיצד בונים משוואות של דרך = דרך
בחלק השני נדבר על משוואות של זמן = זמן.

1.כיצד בונים משוואות של דרך

המשוואה הבסיסית ביותר היא להגיד שהדרך שמכונית א עברה שווה לדרך שמכונית ב עברה.
נעבור על 4 ניסוחים של שאלות ונסביר כיצד בונים מכל אחד מהניסוחים משוואה.

מצב 1: שני כלי רכב נוסעים זה מול זה ונפגשים

כאשר שני כלי רכב נוסעים זה מול זה ונפגשים המרחק ששניהם עברו יחד הוא המרחק של הדרך כולה.

במצב זה אם רכב אחד עבר x קילומטר ורכב שני עבר y קילומטר.
והדרך כולה היא 600 קילומטר.

אז המשוואה היא:
x+ y = 600
כלומר סכום הדרכים שהרכבים עברו שווה לדרך כולה.

שרטוט

 

אותה שאלה עם שינוי קטן
נניח והרכבים לא נפגשו אלא נעמדו במרחק של 70 קילומטרים אחד מהשני.
מה הייתה המשוואה אז?

x + y = 530

מצב 2: שני כלי רכב יוצאים מאותה נקודה ונפגשים

כאשר שני כלי רכב יוצאים מאותה נקודה ואחד "משיג" את השני הם למעשה עוברים את אותו מרחק.

משאית יצאה מתל אביב במהירות 60 קמ"ש.
שעתיים אחריה יצאה מכונית ונסעה במהירות 80 קילומטר עד שהשיגה את המשאית.
זמן הנסיעה של המשאית הוא t.
בנו משוואה.

פתרון
זמן הנסיעה של המכונית הוא
t – 2
הדרך שעברה המכונית היא:
t- 2)*80)

הדרך שעברה המשאית היא:
60t

הדרך של המשאית והמכונית שוות. לכן המשוואה היא:
(60t = 80 (t- 2

שרטוט התרגיל

אותה שאלה עם שינוי קטן
כלי הרכב לא יוצאים מאותה נקודה אלא במרחק מסוים זה מזה.
אם למשל בדוגמה הקודמת המכונית יצאה מנקודה שהיא 40 קילומטר רחוק יותר מנקודת היציאה של המשאית אז המשוואה החדשה היא:

(60t + 40 = 80(t – 2

שרטוט הבעיה

מצב 3: לאחר הפגישה אחד מכלי הרכב חוזר לנקודה ממנה יצא

כאשר אחד מכלי הרכב חוזר לאחר הפגישה לנקודה ממנה הוא יצא אנו יכולים לכתוב כי הדרך הלוך והדרך חזור שלו שוות.

בדרך כלל בשאלות הללו נוכל לחשב רק הדרך רק באחד משני הכיוונים אבל נצטרך להשתמש בביטוי המייצג את הדרך בשני הכיוונים.

לדוגמה:
מכונית נסעה במהירות 80 קמ"ש במשך t שעות עד שהיגיעה לנקודה מסוימת וחזרה.
את הדרך חזרה היא עשתה במהירות 70 קמ"ש.

כתבו בעזרת  t  ביטוי המייצג את זמן הנסיעה חזרה.

פתרון
80t  זו הדרך הלוך וזו גם הדרך חזור.
לכן זמן הנסיעה חזור הוא:

שרטוט התרגיל

מצב רביעי: כאשר באים בכיוונים מנוגדים וממשיכים הלא
הדרך שאחד עובר עד הפגישה שווה לדרך שהשני עובר לאחר הפגישה

הניסוח של המצב הזה קצת מסורבל, ולא עושים בו הרבה שימוש.
אבל לפעמים הוא הכרחי למציאת פתרון.

שרטוט הדרך

הנקודה הכחולה היא נקודת הפגישה.
חצים 1,2 מסמנים את תנועה המשאית לפני ואחרי הפגישה.
חצים 3,4 מסמנים את תנועת המכונית לפני ואחרי הפגישה.

המשוואות שאנו יכולים לבנות במקרה הזה הן:
המרחק שהמשאית עברה בחץ 1 שווה למרחק שהמכונית עברה בחץ 4.
המרחק שהמשאית עברה בחץ 2 שווה למרחק שהמכונית עברה בחץ 3.

2. משוואות של זמן

בחלק זה נדבר על משוואות של זמן.
בחלק מהמקרים אלו יהיו ממש משוואות של זמן ובחלק אחר של המקרים נדבר על קשר בין זמנים. אם כלי רכב אחד נסע t שעות. כמה זמן נסע כלי הרכב השני?

סוג 1: חיבור/ חיסור "פשוט" של זמנים

בשאלות הבאות יש מכונית ומשאית שנוסעות.
זמן הנסיעה של המשאית הוא תמיד t.
עליכם לחשב כמה זמן נסעה המכונית בכול אחד מהמקרים. הכוונה היא לנסיעה / תנועה של ממש. אם המכונית עמדה באמצע הדרך אל תכניסו זאת לחישוב.

תרגיל 1
משאית יצאה לדרך המכונית יצאה 3 שעות לאחר מיכן. שני כלי הרכב הגיעו ליעד באותו הזמן.
מה הזמן שבו המכונית נסעה?

פתרון
בנקודת היציאה המכונית יצאה אחרי, כלומר הייתה 3 שעות פחות על הכביש.
בנקודת הסיום הם הגיעו יחד.
לכן זמן הנסיעה של המכונית הוא
t – 3

תרגיל 2
משאית יצאה לדרך. המכונית יצאה 1/2 שעה לפני המשאית והגיעה ליעד שעתיים לפני המשאית.
מה הזמן שבו המכונית נסעה?

פתרון

בנקודת היציאה המכונית יצאה לפני. לכן היא הייתה 1/2 שעה יותר על הכביש.
בנקודת הסיום המכונית הגיעה לפני לכן הייתה 2 שעות פחות על הכביש.
לכן זמן הנסיעה של המכונית הוא
t + 1/2 – 2 = t – 1.5
תשובה: t -1.5

תרגיל 3
משאית יצאה לדרך לאחר פרק זמן של נסיעה עצרה ועמדה במשך שעה, ולאחר מיכן המשיכה אל היעד.
שעתיים אחרי יציאת המשאית לדרך יצא מכונית. המכונית עמדה 1/2 במהלך הנסיעה והגיעה שעה לאחר המשאית אל היעד.

פתרון
בנקודת היציאה המכונית יצאה 2 שעות אחרי ולכן נסעה 2 שעות פחות.
במהלך הדרך המשאית עמדה שעה והמכונית 1/2 שעה לכן המכונית נסעה 1/2 שעה יותר.
בנקודת הסיום המכונית הגיעה 1 שעה אחרי ולכן נסעה 1 שעה יותר.
לכן זמן הנסיעה של המכונית הוא:
t -2 + 1/2 + 1 = t – 0.5

תרגיל 4
משאית יצאה לדרך. עצרה שעתיים והמשיכה אל היעד.
מכונית יצאה 1 שעות לפני. עצרה ל 1/4 שעה והמשיכה אל היעד. הגיעה 1/2 שעה לאחר המשאית.

פתרון
בנקודת היציאה המכונית יצאה לפני לכן נסעה 1 שעות יותר.
במהלך הדרך המשאית עצרה שעתיים ואילו המכונית 1/4 שעה. לכן המכונית נסעה 1.75 יותר.
בנקודות הסיום המכונית הגיעה אחרי ולכן נסעה 1/2 שעה יותר.
לכן זמן הנסיעה של המכונית הוא:
t + 1 + 1.75 + 0.5 = t + 3.25

סוג 2: התייחסות לזמן לאחר הפגישה

בחלק מהשאלות יגידו לנו כמה זמן עבר מאז הפגישה. ואז נבנה משוואה ביחס לפגישה.
נתייחס אל זמן הפגישה כאילו הוא זמן ההתחלה שבו כלי הרכב יצאו לדרך.

אני אכתוב כאן שני תרגילים כאשר הזמנים של המשאית יהיו ידועים ותצטרכו בעזרתם לבטא את הזמנים של המכונית.

תרגיל 1
משאית ומכונית נסעו זו מול זו.
המשאית נסעה t שעות עד הפגישה ו u שעות לאחר הפגישה ועד שהגיע ליעד.
המכונית יצאה לדרך 1 שעות לאחר המשאית והגיעה ליעד 2 שעות לפני שהמשאית הגיעה ליעדה.
כמה זמן נסעה המכונית עד הפגישה? כמה זמן נסעה המכונית לאחר הפגישה?

פתרון
לפני הפגישה
המכונית יצאה אחרי לכן נסעה 1 שעות פחות.
זמן הנסיעה של המכונית עד הפגישה הוא:
t – 1
לאחר הפגישה
המכונית הגיעה ליעד 2 שעות לפני. כלומר לאחר הפגישה היא נסעה 2 שעות פחות.
זמן הנסיעה של המכונית לאחר הפגישה הוא:
u – 2

תרגיל 2
משאית ומכונית יצאו מאותה נקודה.
המכונית יצאה 2 שעות לאחר המשאית. לאחר שפגשה במשאית עצרה לשעה והמשיכה אל היעד. המכונית הגיעה אל היעד 1/2 שעה לאחר המשאית.
המשאית נסעה t שעות עד הפגישה ו u שעות מנקודת הפגישה ועד היעד.

פתרון
לפני הפגישה
המכונית יצאה אחרי, לכן נסעה 2 שעות פחות.
זמן הנסיעה של המכונית עד הפגישה הוא:
t – 2
לאחר הפגישה
המכונית עצרה ל 1 שעה ולכן נסעה 1 שעה פחות.
היא גם הגיעה 1/2 שעה אחרי ולכן נסע 1/2 שעה יותר.
זמן הנסיעה של המכונית לאחר הפגישה הוא:
u – 1 + 0.5 = y – 0.5

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.