בעיות מילוליות גיאומטרית

בדף זה 10 בעיות גיאומטריות.
התרגילים מתאימים לתלמידי לכיתות ט, י, יא ברמת 4-5 יחידות.

נוסחאות שצריך לדעת

שטח משולש: צלע כפול הגובה אליה לחלק ב 2.   s=a*h/2.
שטח מקבילית: צלע כפול הגובה אליה: s=a*h.
שטח מלבן: מכפלת הצלעות s=a*b.
היקף מלבן: סכום הצלעות כפול שניים (p=2(a+b
שטח ריבוע: צלע כפול עצמה s=a².
היקף ריבוע: צלע כפול 4    p=4a.
שטח עיגול: s=₶r².
היקף מעגל: p=2₶r.

תרגילים

בחלק זה 10 תרגילים.
לתרגילים 1-2 יש גם פתרונות וידאו.

תרגיל 1
ניצב אחד במשולש ישר זווית גדול ב 3 סנטימטר מניצב שני.
שטח המשולש 14 סמ"ר.
חשבו את אורכי הניצבים.

פתרון וידאו

פתרון
נגדיר:
x  הניצב הקטן.
x + 3  הניצב הגדול.

על פי נוסחת שטח משולש המשוואה שלנו היא:

x(x +3) = 28
x² + 3x = 28
x² + 3x – 28 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת שורשים או טרינום.
נראה כאן את הדרך של טרינום.

x² + 3x – 28 = 0
x² – 4x + 7x – 28 = 0
x (x – 4) + 7 (x – 4) = 0
x + 7)  ( x – 4) = 0)

פתרונות המשוואה הם:
x = 4,   x = -7
מכוון ש x הוא גודל של צלע הפתרון x = -7 נפסל.
x = 4  הוא הפתרון ואורך הניצב הקטן.

תשובה: אורך הניצב הקטן 4, אורך הניצב הגדול 7.

תרגיל 2
גובה מקבילית גדול פי 2 מאורך צלעה המקבילית.
שטח המקבילית שווה ל 72 סמ"ר.
חשבו את אורך צלע המקבילית וגובהה.

פתרון וידאו

פתרון
נגדיר:
x  אורך צלע המקבילית בסנטימטר.
לכן:
2x אורך גובה המקבילית בסנטימטר.

שטח המקבילית הוא צלע כפול הגובה אליה:
x * 2x = 72
2x² = 72
x² = 36
x = 6  או  x = -6
מכוון ש x הוא אורך צלע, שהוא גודל חיובי התשובה המתאימה היא 6.
תשובה: אורך צלע המקבילית הוא 6 סנטימטר, אורך גובה המקבילית הוא 12 סנטימטר.

תרגיל 3
היקף מלבן הוא 28 סנטימטר ושטחו 45 סמ"ר.
חשבו את אורכי צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
x צלע אחת של המלבן.
y צלע שנייה של המלבן.

משוואה ראשונה היא של היקף המלבן:
2x + 2y = 28
x + y = 14
y = 14 – x

משוואה שנייה היא של שטח המלבן:
x * y = 45

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
x (14 – x) = 45
14x – x² = 45
x² -14x + 45 = 0

ניתן לפתור בעזרת טרינום או נוסחת שורשים.
x -5x – 9x + 45 = 0
x (x – 5) -9 (x – 5) = 0
x – 9) (x – 5) = 0)
הפתרונות הם :
x = 9  או x = 5.

נציב את הפתרונות במשוואה הראשונה
x + y = 14
ונקבל
x = 5,  y = 9
או
x = 9 , y=5
שני הפתרונות הללו הם בעצם אותו פתרון והתשובה שלנו תהיה שצלע אחת של המלבן גדולה 5 וגודל הצלע השנייה הוא 9.

תרגיל 4
אורך קוטר מעגל גדול ב- 10 סנטימטר מאורך רבע מהיקף המעגל.

חשבו את רדיוס המעגל.

פתרון

נגדיר

r  אורך רדיוס המעגל בסנטימטרים.

נביע באמצעות הרדיוס את שני מרכיבי המשוואה:

קוטר המעגל
2r

רבע מהיקף המעגל
0.25 * 2₶r = 0.5₶r

רבע מהיקף המעגל קטן יותר ב 10 סנטימטר מהקוטר.

לכן במשוואה נוסיף 10 לרבע מההיקף.

2r = 0.5₶r + 10

2r = 0.5 * 3.14r + 10

2r = 1.57r + 10  / -1.57r

0.43r = 10  / 0.43

r = 23.256

תשובה: אורך רדיוס המעגל הוא 23.256 סנטימטרים.