סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

מה זו סדרה הנדסית אינסופית?

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא סדרה שבה האיבר ה n, כאשר n שואף לאינסוף, שואף ל 0.
כלומר an ≈ 0.
וסכום הסדרה שואף למספר כלשהו, כלומר לסכום הסדרה יש גבול אותו הוא לא עובר.

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא סדרה שבה ערך ה q הוא 1>q  וגם q>-1.

סכום הסדרות מסוג זה הוא מספר קבוע וניתן לקבל אותו על ידי הנוסחה

S= a1/(1-q)

סכום סדרה הנדסית מתכנסת

כלומר: סכום הסדרה שווה לאיבר הראשון לחלק באחד מינוס q.

שימו לב שעל מנת למצוא את סכום הסדרה אתם צריכים לדעת שני איברים בלבד – a1 ו q. לכן בשאלות שתקבלו מספיק לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים על מנת לפתור אותם.

דוגמאות לסכומי סדרות הנדסיות שיכולות להיווצר מהסדרה הנתונה

אם נתונה לנו סדרה הנדסית אינסופית שהאיבר הראשון שלה הוא a1 ומנת הסדרה היא q אז ניתן ליצור ממנה סדרות הנדסיות אינסופיות אחרות.
נסביר מהיא נוסחת הסכום המתאימה עבור חלק מהסדרות שניתן ליצור.

סכום סדרת המקומות האי זוגיים:
במקרה זה האיבר הראשון נשאר אותו איבר אך ה q הופך ל q².
הסדרה היא a1, a3, a5…. .

S= a1/(1-q²)

(סכום סדרת המקומות האי זוגיים שווה ל איבר הראשון לחלק ב 1 מינוס q²).

סכום סדרת המקומות הזוגיים:
במקרה זה האיבר הראשון הוא a1q והמנה היא q².
הסדרה היא a2, a4, a6….

S= (a1 q)/(1-q²)

(סכום סדרת המקומות הזוגיים שווה לאיבר השני בסדרה המקורית לחלק ב 1 מינוס q²).

הסכום אם נעלה כל איבר בריבוע הסכום יהיה:

במקרה זה האיבר הראשון הוא a1². ומנת הסדרה היא q².
הסדרה היא a1²,  a2²,  a3²…

S= (a1 ²)/(1-q²)

סכום סדרת האיברים בריבוע שווה לאיבר הראשון בריבוע לחלק ב 1 מינוס q².

תרגילים

3 תרגילים.
לתרגילים 2-3 יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

נתונה הסדרה ההנדסית האין סופית    2-, 4-, 8-.
(הבהרה: a1 = -8)

  1. חשבו את סכום הסדרה.
  2. חשבו את סכום סדרת המקומות האי זוגיים.
  3. חשבו את סכום סדרת המקומות הזוגיים.

פתרון
סכום הסדרה כולה
a1 = -8
q = 0.5
נציב את הנתונים הללו בנוסחת סכום הסדרה ונקבל:

S= a1/(1-q)

(S = -8 : (1 – 0.5
S = -8 : 0.5 = -16
תשובה: סכום הסדרה כולה הוא 16-.

סכום סדרת המקומות האי זוגיים
a1 = -8  האיבר הראשון הוא אותו איבר.
q' = q² = 0.5² = 0.25 מנת הסדרה היא ריבוע של מנת הסדרה המקורית.
נציב את הנתונים בנוסחת הסכום ונקבל:
(S = -8 : (1 – 0.25
S = -8 : 0.75 = -10.66
תשובה סכום המקומות האי זוגיים הוא 6-.

סכום סדרת המקומות הזוגיים
דרך אחת היא להגיד שסכום המקומות הזוגיים ועוד סכום המקומות האי זוגיים שווה לסכום הסדרה כולה.
ולכן אם סכום סדרת המקומות הזוגיים הוא S אז סכום הסדרה כולה הוא:
S + (-10.66) = -16  / +10.66
S = -5.33
סכום המקומות הזוגיים הוא 5.33-.

דרך שנייה היא לבצע את החישוב כמו שעשינו לסדרת עבור המקומות האי זוגיים.
a1 = -8 * 0.5 = -4  האיבר הראשון של סדרת המקומות הזוגיים הוא האיבר השני של הסדרה כולה.
q' = q² = 0.5² = 0.25 מנת הסדרה היא ריבוע של מנת הסדרה המקורית.
נציב את הנתונים בנוסחת הסכום ונקבל:
(S = -4 : (1 – 0.25
S = -4 : 0.75 = -5.33
תשובה: סכום המקומות הזוגיים הוא 5.33-.

תרגיל 2

בסדרה הנדסית אינסופית הסכום הוא 16.
מנת הסדרה היא 0.25
חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים.

פתרון
בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית יש בסך הכל 3 משתנים:
a1, q, s.
לכן אם אנו יודעים 2 מתוך השלושה אנו יכולים להציב בנוסחה, למצוא את השלישי ואז לעשות כל חישוב הקשור לסדרה.
s = 16
q = -0.25
? = a1
נציב בנוסחת הסכום ונקבל:
a1 : (1 – (-0.25) = 16
a1 : 1.25 = 16  / * 1.25
a1 = 20
האיבר הראשון הוא 20.

חישוב סכום המקומות הזוגיים.
a1 ' = 20* -0.25 = -5  האיבר הראשון הוא האיבר השני של הסדרה המקורית.
q ' = (-0.25)² = 0.0625  מנת הסדרה של האיברים הזוגיים היא ריבוע מנת הסדרה המקורית.

עכשיו ניתן להציב בנוסחת הסכום:
(S = -5 : (1 – 0.0625
S = -5 : 0.9375 = -5.333
תשובה: סכום סדרת המקומות הזוגיים.

תרגיל 3

בסדרה הנדסית אינסופית האיבר הראשון הוא a1 = 3.
סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא 0.625.
חשבו את האיבר החמישי של הסדרה.

פתרון
נגדיר:
q מנת הסדרה המקורית

עבור סדרת האיברים הזוגיים
בעזרת המשתנה q אנו יכולים להגדיר את האיבר הראשון 3q.
ואת מנת הסדרה q²
S = 0.625

ומכוון שבנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יש בסך הכל 3 משתנים a1, q, s. אנו יכולים להציב את הנתונים שלנו בנוסחת הסכום ולקבל משוואה עם נעלם אחד (q).

סכום סדרה הנדסית אינסופית

3q : (1 – q²) = 0.625
3q = 0.625 – 0.625q²
0.625q² + 3q – 0.625 = 0   / : 0.625
q² + 4.8q -1 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
q = -5,  q = 0.2

אנו יודעים שהסדרה המקורית היא סדרה הנדסית אינסופית.
לכן q נמצא בתחום q > -1 ו גם q < 1.
התשובה q = -5 לא מתאימה לבעיה והתשובה הנכונה היא q = 0.2.

חישוב האיבר החמישי
עבור הסדרה המקורית אנו יודעים
a1 = 3
q = 0.2
n = 5
נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא:
an=a1qn-1

נציב את הנתונים בנוסחה ונקבל:
a5 = 3*0.24 = 0.0048
תשובה: האיבר החמישי הוא 0.0048.

תרגיל 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 30.
סכום המקומות האי זוגיים הוא 16.667.
חשבו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון.

פתרון
שאלה זו יוצרת שתי משוואות עם שני נעלמים.

המשוואה הראשונה היא סכום הסדרה המקורית
עבור הסדרה המקורית נגדיר.
a1 האיבר הראשון של הסדרה.
q מנת הסדרה.
לכן המשוואה תהיה:
סכום הסדרה
a1 = 30 – 30q (משוואה ראשונה).

עבור סדרת המקומות האי זוגיים:
a1 האיבר הראשון של הסדרה.
q² מנת הסדרה.
סכום סדרת המקומות האי זוגיים הוא:

סכום סדרת המקומות האי זוגיים
a1 = 16.667 – 16.667q² (משוואה שנייה).

נשווה בין המשוואות.
30q + 30 = 16.667 – 16.667q²-
16.667q² – 30q + 13.333 = 0  / :16.667
q² – 1.8q + 0.8 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
כאן אראה את הדרך של טרינום.
q² – q – 0.8q + 0.8 = 0
q (q -1) – 0.8 (q -1) = 0
q – 0.8) (q -1) = 0)
למשוואה זו יש שני פתרונות:
q = 0.8  או q = 1

אנו יודעים שזו סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ולכן q < 1.
התשובה המתאימה היא q = 0.8.

מציאת האיבר הראשון
על מנת למצוא את a1 נציב במשוואה:
a1 = 30 – 30q
a1 = 30 – 30 * 0.8
a1 = 30 – 24 = 6.

תשובה: a1 = 6,  q = 0.8.

פתרון תרגילים מבגרויות

קיץ 2018 מועד ב

סעיף א
עלינו ליצור משוואה עם נעלם אחד.
לצורך כך נשתמש בשתי נוסחאות:
נוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית

S= a1/(1-q)

והמשוואה שקיבלנו בשאלה:
7s = 6t

נציב את הנוסחה הראשונה במשוואה השנייה.
(7a1 / (1-q) = 6b1 / (1-3q
נציב a1 = b1 ונכפיל במכנה המשותף.
7a1 * (1-3q) = 6a1 *(1 – q)  / :a1
7-21q = 6 – 6q  / +21q – 6
15q = 1  / :15
q = 0.066

סעיף ב
נתון a4 = 5
בעזרת נתון זה ניתן למצוא את a1 = b1 ולאחר שנדע את b1 נוכל לחשב את b4.

עבור הסדרה a אנו יודעים:
a4 = 5, q = 0.066
ועלינו למצוא את a1.
נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית היא:
an=a1qn-1
a4 = a1
a1*0.0667³ = 5
a1 = 5 : 0.0003 = 16,666

b1 = a1 = 16,666
מנת הסדרה ההנדסית b היא:
0.2 = 3 * 0.667

נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי ונקבל:
b4 = 16,666*0.2³ = 16,666 * 0.008
b4 = 133
(התשובה הסופית של משרד החינוך היא 135 וההבדל נובע מעיגולים שנעשו בדרך).

קיץ 2016 שאלה 1

סעיף א.
נחלק את a3 ב a1.
האיבר השלישי לחלק באיבר הראשון
תשובה: מנת הסדרה היא:

סעיף ב.
נוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית היא:
סכום סדרה הנדסית אינסופית
נציב בנוסחה:

שימו לב כי בנתונים כתוב x>1 ולכן x=2.

סעיף ג
עלינו למצוא את האיבר הראשון ומנת הסדרה.
האיבר הראשון הוא:
¼ = ²(½)
מנת הסדרה שווה למנת סדרת המקומות האי זוגיים בריבוע.

תשובה: סכום ריבועי המקומות הזוגיים הוא 0.234

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.