סכום סדרה הנדסית

 

נוסחאות

סכום n אברים בסדרה הנדסית:

סכום סדרה הנדסית sn = a1(qn-1) / q-1

נוסחאות שימושיות נוספות בסדרה הנדסית הן:

an=a1qn-1

an+1=anq

כללים לחישוב סכום סדרה הנדסית

  1. על מנת לפתור תרגילים יש בסך הכל 4 נעלמים: a1, q, sn, n. על מנת לפתור את התרגילים תצטרכו לרוב ליצור ולפתור שתי משוואות הכוללות את הנעלמים הללו. על מנת להקל עליכם בבניית המשוואות כדאי:
    – להכיר את נוסחת הסכום.
    – לתרגם באופן מיידי את המידע המילולי למשתנים אותם אתם יכולים להציב בנוסחה (a1,q, sn וכו).הטיפים הבאים מתאימים לתלמידי 4-5 יחידות.
  2. חישוב סכום הסדרה החל באיבר במקום ה K.
    עלינו למצוא את האיבר במקום ה K ולחשב את הסכום ממנו.
  3. חישוב סכום הסדרה הנמצאת במקומות הזוגיים / אי זוגיים :
    – עבור סדרת המקומות הזוגיים האיבר הראשון הוא a2 עבור הסדרת המקומות האי זוגיים האיבר הראשון הוא a1.
    טעות שהרבה עושים בשלב זה: לפעמים מחשבים את כך  a2=a1q וזו כמובן טעות. הדרך הנכונה a2=a1q.
    – שימו לב האם הסדרה מסתיימת באיבר זוגי או אי זוגי על מנת לחשב את מספר האיברים בסדרה שלכם.
    כאשר מספר איברי הסדרה המקורית הוא זוגי (n) מספר איברי הסדרה במקומות הזוגיים או האי זוגיים הוא 0.5n.
    כאשר מספר איברי הסדרה המקורית הוא אי זוגי (n)  מספר איברי הסדרה במקומות האי זוגיים הוא 0.5(n+1) ובמקומות הזוגיים n-1)0.5).
    – q² הוא מנת הסדרה של המקומות הזוגיים או האי זוגיים.
  4. חישוב סכום האיברים הנמצאים ב K המקומות האחרונים – כאשר מבקשים ממכם לחשב את הסכום של K איברים אחרונים ניתן לחשב את הסכום של כל הסדרה ולחסר ממנו את הסכום של הסדרה הכוללת את n-k איברים ראשונים.
    אפשרות אחרת היא למצוא את האיבר הנמצא במקום ה- an+1-k ולהשתמש בו בתור האיבר הראשון בסדרה החשבונית שאתם רוצים לחשב את הסכום שלה.
  5. חישוב סכום האיברים החיוביים בלבד או השליליים בלבד – 
    במקרה זה נמצא את האיבר החיובי / שלילי אחרון או ראשון על ידי מציאת האיבר ששווה 0 (בעזרת הנוסחה 0=an=a1qn-1 ). אם אין איבר ששווה 0. אם נקבל עבור n מספר לא שלם ונעגל אותו על פי הנדרש בשאלה.
  6. דרך נוספת ליצור משוואה an=sn-sn-1
    בסופו של דבר הדרך לפתרון תרגילים בנושא סדרות הוא ליצור מספר משוואות עם מספר נעלמים. במקרה זה כדאי לכם לזכור כי הסכום של n איברים פחון סכום של n-1 איברים הוא an.
  7. שאלות עם משוואה אחת.
    ברוב השאלות תצטרכו לבנות שתי משוואות על מנת לפתור. אבל קיימות שאלות שבהם משתמשיםם במשוואה אחת. בשאלות אלו לרוב אחד הנעלמים מופיע בשני צידי המשוואה ו"מבטל את עצמו" במהלך הפתרון.

תרגילים

תרגיל 1 – הצבה בנוסחה

נתונה סדרה הנדסית 2,8,32 וכו.
מצאו את סכום 5 האיברים הראשונים.

פתרון
a1=2
q=4
n=5
sn=?
נציב בנוסחה:
(sn=2(45-1) / (4-1)
(sn=2(1024-1)/ (4-1
sn=2046 / 3 = 682
תשובה: סכום חמשת האיברים הראשונים הוא 682.

תרגיל 2 – פתרון בשני שלבים

ידוע כי האיבר השלישי של סדרה הנדסית הוא 90 והמנה היא 3.
מצאו את סכום 6 האיברים הראשונים.

פתרון
q=3
a3=90
n=6
s6= ?
בשאלה זו חסר לנו ה a1 על מנת למצוא את הסכום. אבל יש לנו את a3=90. ננסה למצוא את a1 בעזרת הנוסחה לאיבר הכללי של סדרה הנדסית.
an=a1qn-1
90=a1
a1=10
עכשיו נחשב בעזרת נוסחת הסכום את s6.
s6=10(36-1)  / 3-1
s6=10*728  / 2
s6=7280:2
s6=3649
תשובה: סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה הוא 3649.

תרגיל 3 – מקומות זוגיים ואי זוגיים

נתונה סדרה הנדסית עם 10 איברים. מנת הסדרה היא 2.
סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 16368.
מצאו את האיבר הראשון של הסדרה המקורית.

פתרון
שלב 1: רישום הנתונים והגדרת המשתנה שחסר
עבור הסדרה המקורית
a1  האיבר הראשון של הסדרה השלמה.
q=2
n = 10

עבור סדרת המקומות הזוגיים
a1 * q = 2a1 האיבר הראשון של סדרת המקומות הזוגיים הוא 2a1.
qזוגי = 2² = 4   (מנת הסדרה היא 4)
nזוגי=5    (מספר האיברים בסדרת המקומות הזוגיים הוא 5)
snזוגי=16,368   (סכום האיברים במקומות הזוגיים).

a1=?   (האיבר הראשון של הסדרה המקורית חסר).

שלב 2: הצבת הנתונים במשוואה.

16,368=(2a1(45-1)  : (2-1
2a1 *1023 = 16,368
1046a1=16368
a1=8

שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “סכום סדרה הנדסית

  1. רז

    תרגיל 3- מקומות זוגיים ואי זוגיים- בדרך רשמתם 2a1(25-1) : 2-1
    למה 2a1 ולא a1? זאת הנוסחה. אני חושב שיש לכם טעות שם.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום רז.
      תודה על תשומת הלב ותגובתך.
      השאלה לא הייתה כתובה טוב ותיקנתי.
      אבל המקום שאתה הערת לגביו דווקא היה נכון.
      שים לב ש a1 הוא האיבר הראשון של הסדרה המקורית.
      ושהאיבר הראשון של סדרת המקומות הזוגיים הוא 2a1, כי מנת הסדרה המקורית היא 2 וכל איבר כפול מהקודם לו.
      לכן בנוסחה המדברת על סכום המקומות הזוגיים נציב את האיבר הראשון בסדרת המקומות הזוגיים, במקרה שלנו 2a1.
      קרא את הפתרון שוב, הפכתי אותו לברור יותר.
      תודה ובהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.