סכום סדרה הנדסית

בנושא סכום סדרה הנדסית יש שני דפים נוספים ללימוד יסודי של 3 מהנושאים שנכתבים עליהם הרבה שאלות:

  1. סכום האיברים האחרונים בסדרה הנדסית.
  2. סכום האיברים הזוגיים והאי זוגיים של סדרה הנדסית.
  3. סכום סדרה הנדסית אינסופית.

בהמשך הדף תוכלו למצוא מספר שאלות בכול הנושאים הללו.
השאלות הללו מיועדות לחזרה על החומר, לימוד יסודי תעשו דרך הקישורים שלמעלה.

נוסחאות

סכום n אברים בסדרה הנדסית:

סכום סדרה הנדסית

נוסחאות שימושיות נוספות בסדרה הנדסית הן:

an=a1qn-1

an+1=anq

כללים לחישוב סכום סדרה הנדסית

כלל 1
על מנת לפתור תרגילים יש בסך הכל 4 נעלמים: a1, q, sn, n.
על מנת לפתור את התרגילים תצטרכו לרוב ליצור ולפתור שתי משוואות הכוללות את הנעלמים הללו. על מנת להקל עליכם בבניית המשוואות כדאי:
– להכיר את נוסחת הסכום.
– לתרגם באופן מיידי את המידע המילולי למשתנים אותם אתם יכולים להציב בנוסחה.
כלומר לכתוב:
= a1
= q
= n
= s

כלל 2
חישוב סכום סדרה החל באיבר ה k נעשה לרוב על ידי מציאת ערך האיבר במקום k וחישוב הסכום של הסדרה ההנדסית החדשה המתחילה ממנו.

טעויות רבות נגרמות עקב זיהוי לא נכון של האיבר הנמצא במקום ה k, ודאו שזה לא קורה לכם.
אני ממליץ למנות ולרשום את איברי הסדרה החדשה כך שתהיו בטוחים שאין לכם טעות.
למשל:
בסדרה שבה 13 איברים חשבו את סכום 5 האיברים האחרונים.
אז רושמים:
13, 12, 11, 10, 9
חמשת האיברים האחרונים מתחילים במקום התשיעי.

דרך נוספת:
לבצע את החישוב הבא:
8 = 5 – 13
9 = 1 + 8

כלל 3
בחישוב של סכום המקומות הזוגיים / אי זוגיים עליכם לבטא בעזרת a1, q, n של הסדרה המקורית את a1, q, n של סדרת המקומות הזוגיים / אי זוגיים.
שימו לב שאתם עושים זאת בצורה נכונה.

ולאחר שהגדרתם בצורה נכונה שימו לב שאתם מציבים בנוסחה בצורה נכונה.
כללים כיצד לעשות זאת בצורה נכונה תוכלו למצוא בדף סכום סדרה הנדסית מקומות זוגיים ואי זוגיים.

תרגילים

התרגילים הללו הם קצת מכל נושא.
לימוד יסודי מומלץ לעשות דרך הקישורים שלמעלה.

תרגיל 1 (הצבה בנוסחה)

נתונה סדרה הנדסית 2,8,32 וכו.
מצאו את סכום 5 האיברים הראשונים.

פתרון
a1=2
q=4
n=5
sn=?
נציב בנוסחה:
סכום סדרה הנדסית
(sn=2(45-1) / (4-1
(sn=2(1024-1)/ (4-1
sn=2046 / 3 = 682
תשובה: סכום חמשת האיברים הראשונים הוא 682.

תרגיל 2 (שילוב עם נוסחת האיבר הכללי)

ידוע כי האיבר השלישי של סדרה הנדסית הוא 90 והמנה היא 3.
מצאו את סכום 6 האיברים הראשונים.

פתרון
q=3
a3=90
n=6
s6= ?

בשאלה זו חסר לנו ה a1 על מנת למצוא את הסכום.
אבל יש לנו את a3=90.  כאשר נתון לנו איבר שהוא לא האיבר הראשון זה רמז משמעותי לכך שעלינו להשתמש בנוסחת האיבר הכללי על מנת למצוא את a1.
ננסה למצוא את a1 בעזרת הנוסחה לאיבר הכללי של סדרה הנדסית.
an=a1qn-1
90=a1
a1=10
עכשיו נחשב בעזרת נוסחת הסכום את s6.
סכום סדרה הנדסית
s6=10(36-1)  / 3-1
s6=10*728  / 2
s6=7280:2
s6=3649
תשובה: סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה הוא 3649.

תרגיל 3 (סכום איברים אחרונים)

בסדרה הנדסית 1.8, 0.6  0.2   יש 14 איברים.
חשבו את סכום 8 האיברים האחרונים.

פתרון
שלב 1: מציאת המיקום והערך של האיבר הראשון בסדרה החדשה
בסדרה של סכום 8 האיברים. מה מיקום האיבר הראשון שלה?
האם:
6 = 8 – 14
האם a6 הוא האיבר הראשון?
לא.
a7 הוא האיבר הראשון, תמיד אחד יותר מפעולת החיסור שחישבנו קודם.

אני ממליץ לכם ממש למנות, לספור, לרשום את האיברים האחרונים על מנת שלא תטעו.
בצורה הזו:
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

a7 = a1 * q6 = 0.2*36 = 145.8

שלב 2: רישום נתוני הסדרה החדשה
a7 = 145.8 האיבר הראשון.
n = 8
q = 3
s = ?

נציב את הנתונים בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית.
כאשר a7 = 145.8 הוא האיבר הראשון.
סכום סדרה הנדסית

סכום סדרה הנדסית

S = 145.8 * (6561 -1) : 2 = 145.8 * 6560 : 2
S = 145.8 * 3280 = 478,224

תשובה: סכום 8 האיברים האחרונים של הסדרה הוא 478,224.

תרגיל 4 (מקומות זוגיים ואי זוגיים)

נתונה סדרה הנדסית עם 10 איברים. מנת הסדרה היא 2.
סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 16368.
מצאו את האיבר הראשון של הסדרה המקורית.

פתרון
שלב 1: רישום הנתונים והגדרת המשתנה שחסר
עבור הסדרה המקורית
a1  האיבר הראשון של הסדרה השלמה.
q=2
n = 10

עבור סדרת המקומות הזוגיים
a1 * q = 2a1 האיבר הראשון של סדרת המקומות הזוגיים הוא 2a1.
qזוגי = 2² = 4   (מנת הסדרה היא 4)
nזוגי = 5    (מספר האיברים בסדרת המקומות הזוגיים הוא 5)
snזוגי=16,368   (סכום האיברים במקומות הזוגיים).

a1=?   (האיבר הראשון של הסדרה המקורית חסר).

שלב 2: הצבת הנתונים במשוואה.

סכום סדרה הנדסית
16,368=(2a1(45-1)  : (2-1
2a1 *1023 = 16,368
1046a1=16368
a1=8

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

2 thoughts on “סכום סדרה הנדסית

  1. רז

    תרגיל 3- מקומות זוגיים ואי זוגיים- בדרך רשמתם 2a1(25-1) : 2-1
    למה 2a1 ולא a1? זאת הנוסחה. אני חושב שיש לכם טעות שם.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום רז.
      תודה על תשומת הלב ותגובתך.
      השאלה לא הייתה כתובה טוב ותיקנתי.
      אבל המקום שאתה הערת לגביו דווקא היה נכון.
      שים לב ש a1 הוא האיבר הראשון של הסדרה המקורית.
      ושהאיבר הראשון של סדרת המקומות הזוגיים הוא 2a1, כי מנת הסדרה המקורית היא 2 וכל איבר כפול מהקודם לו.
      לכן בנוסחה המדברת על סכום המקומות הזוגיים נציב את האיבר הראשון בסדרת המקומות הזוגיים, במקרה שלנו 2a1.
      קרא את הפתרון שוב, הפכתי אותו לברור יותר.
      תודה ובהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.