סכום סדרה חשבונית

דף זה מיועד בעיקרו לתלמידי 4-5 יחידות לימוד. עבור תלמידי 3 יחידות יש את הדפים סדרה חשבונית שאלון 182 ו
סדרות שאלון 381.

על מנת לא להעמיס על הדף הנושאים החשובים נלמדים בדפים נפרדים:

  1. שיעור 1: סכום האיברים האחרונים בסדרה חשבונית.
  2. שיעור 2: סכום האיברים במקומות הזוגיים או האי זוגיים.
  3. שיעור 3: מספר האיברים החיוביים / שליליים בסדרה וסכומם (נושא חשוב פחות מהשניים הראשונים).

בהמשך הדף תמצאו:

  1. חזרה על נוסחאות סדרה חשבונית.
  2. הכלל הראשון בפתרון שאלות.
  3. כיצד מחשבים סכום איברים אחרונים.
  4. כיצד מחשבים סכום איברים במקומות הזוגיים או האי זוגיים.
  5. 9 תרגילים מכל הסוגים.

1. נוסחאות לחישוב סדרה חשבונית

לסכום סדרה חשבונית יש 3 נוסחאות. 2 הראשונות נמצאות בדף הנוסחאות של בחינת הבגרות.

סכום סדרה חשבונית

זו הנוסחה היסודית של הסכום. הנוסחה בעצם אומרת שהסכום הוא האיבר הממוצע של הסדרה a1+an)/2) כפול מספר איברי הסדרה.
כאשר נציב במקום an את   a1 + (n-1)d    נקבל :
(נוסחה זו מבטאת את הקשר בין האיבר הראשון לסכום הסדרה).

סכום סדרה חשבונית

כאשר נציב במקום a1 בנוסחה הראשונה את an = a1 + (n-1)d נקבל :
(נוסחה זו מבטאת את הקשר בין האיבר הכללי לסכום הסדרה).

סכום סדרה חשבונית

שתי נוסחאות שימושיות נוספות בנושא סדרות חשבוניות:
נוסחת האיבר הכללי :
an = a1 + (n-1)d
נוסחת האיבר הבא :
an+1 = an + d

2. הכלל הראשון בפתרון שאלות

כאשר אנו קוראים תרגיל עלינו "לתרגם" באופן מיידי את המילים לשוויונות.
האם אנחנו מזהים בשאלה למה שווים  a1, d, sn, n. אם כן עלינו לכתובת מיד:
a1 = x
d = y
sn = z
n = k

3. כיצד מחשבים סכום איברים "אחרונים" בסדרה חשבונית?

נניח ונתונה לנו סדרה עם 10 איברים.
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10
ומבקשים מאיתנו למצוא את הסכום החל באיבר השישי.
כיצד עושים זאת?

דרך אחת:
מוצאים את האיבר השישי.
ומחשבים את סכום 5 האיברים החלק באיבר השישי.

כאשר נציב מספרים בנוסחה של סכום סדרה חשבונית הנתונים יהיו:
האיבר הראשון הוא a6, כלומר במקום a1 נציב את a6.
d  ההפרש של הסדרה המקורית.
n =5 כי אנחנו צריכים לחשב סכום של 5 איברים.
b1 = a6

דרך שנייה:
סכום 5 האיברים האחרונים שווה לסכום הסדרה כולה (10 איברים) פחות חמשת האיברים הראשונים.
S6-10 = S10– S5

4. כיצד מחשבים סכום מקומות זוגיים ואי זוגיים

כאשר עלינו לחשב את הסכום של של האיברים הזוגיים או האי זוגיים של סדרה חשבונית עלינו לשים לב למספר דברים:

1. האיבר הראשון
אם זו סדרת המקומות האי זוגיים האיבר הראשון של הסדרה החדשה הוא a1, בדיוק כמו בסדרה המקורית.
אם זו סדרת המקומות הזוגיים האיבר הראשון בסדרה החדשה הוא a2 של הסדרה המקורית.

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10
אם זו הסדרה המקורית.
אז בסדרת האיברים האי זוגיים a1 הוא האיבר הראשון.
ובסדרת האיברים הזוגיים a2 הוא האיבר הראשון.

2. הפרש הסדרה
הפרש הסדרה מוכפל והופך להיות 2d.

אם זו הסדרה המקורית
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 

אז סדרת המקומות האי זוגיים היא:
a1, a3, a5, a7, a9
וסדרת המקומות הזוגיים היא:
a2, a4, a6, a8, a10
בשני המקרים ההפרש הוא 2d

3. מספר האיברים
אם בסדרה המקורית מספר זוגי של איברים אז בסדרה החדשה, של המקומות הזוגיים או האי זוגיים יש 0.5n איברים.

ולעומת זאת:
אם בסדרה המקורית מספר אי זוגי של איברים.
אז אם הסדרה החדשה היא סדרת המספרים הזוגיים אז יש בה
 איברים.
למשל אם בסדרה המקורית יש 9 איברים אז בסדרת המקומות הזוגיים יש 4 איברים.

ואם זו סדרת האיברים האי זוגיים אז יש בה
   איברים
למשל אם בסדרה המקורית יש 9 איברים אז בסדרת המקומות הזוגיים יש 5 איברים.

4. הערה
תמיד טוב לזכור שסכום המקומות הזוגיים ועוד סכום המקומות האי זוגיים שווה לסכום הסדרה כולה.
לפעמים דרך זו עוזרת לנו לבצע חישובים.

5. תרגילים 

תרגילים 1-3 עושים שימוש בנוסחת האיבר הכללי.
תרגילים 4-6 הם בנושא סכום המקומות האחרונים בסדרה חשבונית.
תרגילים 7-10 הם בנושא סכום המקומות הזוגיים או האי זוגיים בסדרה חשבונית.

לתרגילים 1,3,5,6 יש פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1
בסדרה חשבונית האיבר השמיני הוא 40 והפרש הסדרה הוא 5. חשבו את סכום 6 האיברים הראשונים של הסדרה.

פתרון
a8 = 40
d = 5
S6 =

שלב ראשון: מציאת האיבר הראשון בסדרה
כאשר נתון לנו איבר שהוא לא האיבר הראשון אנו מציבים אותו בנוסחת האיבר הכללי על מנת למצוא את מה שחסר לנו (a1).

a1+ (n-1)d = an
עבור n = 8
a1+ (8-1)5 = 40
a1 + 35 = 40
a1 = 5

שלב שני: חישוב סכום הסדרה
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:

סכום סדרה חשבונית

a1 = 5
d = 5
n = 6
נציב את הנתונים הללו בנוסחת הסכום ונקבל:

Sn = (2*5 + (6 -1) *5) *6 * 0.5
Sn = (10 + 25)*3 = 35 * 3 = 105
תשובה: סכום 6 האיברים הראשונים של הסדרה הוא 105.

תרגיל 2
בסדרה חשבונית ידוע כי a4 = 25,   a7 = 10

  1. מצאו את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה.
  2. חשבו את סכום 9 האיברים הראשונים

פתרון
נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית היא:
an=a1+ (n-1)d
נציב בנוסחה את שני האיברים שקיבלנו.

עבור a4 = 25
a1 + (4 -1)d = 25
a1 + 3d = 25

עבור a7 = 5
a1 + (7 -1)d = 10
a1 + 6d = 10

קיבלנו שתי משוואות:
a1 + 3d = 25
a1 + 6d = 10

הדרך הקצרה לפתור אותן היא בשיטת השוואת מקדמים.
נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה.
3d = -15
d = -5

נציב d = -5 במשוואה הראשונה ונקבל:
a1 + 3d = 25
a1 -15= 25
a1 = 40
תשובה: a1 = 40,  d = -5.

סעיף ב: סכום 9 איברים ראשונים
a1 = 40
d = -5
n = 9
נציב את המספרים הללו בנוסחת סכום סדרה חשבונית.

Sn = (2*40 + (9-1) * -5) * 9 * 0.5
Sn = (80 -40) * 4.5
Sn = 40 * 4.5 = 180
תשובה: סכום 9 האיברים הראשונים הוא 180.

תרגיל 3
בסדרה חשבונית האיבר הרביעי קטן פי 5 מהאיבר התשיעי.
האיבר הראשון הוא 7-.
חשבו את סכום 10 האיברים הראשונים בסדרה.

פתרון
הנתונים
a1 = -7
a9 = 5a4
S10 = ?

שלב ראשון: שימוש בנוסחאות האיבר הכללי למציאת d
נגדיר את האיבר הרביעי והאבר התשיעי בעזרת נוסחת האיבר הכללי
an=a1+ (n-1)d
a4 = a1 + (4 -1)d
a4 = a1 + 3d
a9 = a1 + 8d

אנו יודעים ש a9 = 5a4 וגם a1 = -7
אז נבנה משוואה עם נעלם אחד.
a9 = 5a4
(8d -7 = 5(-7 + 3d
8d -7 = -35 + 15d
7d = -28-
d = 4

שלב שני: חישוב סכום 10 האיברים הראשונים
נוסחת הסכום היא:

סכום סדרה חשבונית

הנתונים שלנו הם:
a1 = -7
d = 4
n = 10
נציב בנוסחה:
S10 = (2* -7 + (10-1)*4) * 10 * 0.5
S10 = (-14 + 36) * 5
S10 = 22* 5 = 110
תשובה: סכום 10 האיברים הראשונים הוא 110.

תרגילים בנושא חישוב האיברים האחרונים

תרגיל 4 (הכי בסיסי)
בסדרה חשבונית הכוללת 10 איברים ידוע כי  a1 = 4, d=5 חשבו את סכום 5 האיברים האחרונים.

פתרון
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(sn=(2a1+(n-1)d)(n:2
ואנו יודעים עבור סדרת 5 האיברים האחרונים את כל מה שצריך מלבד האיבר הראשון.

מציאת a6
חמשת האיברים האחרונים בסדרה הם:
a6,  a7,  a8,  a9,  a10
זו סדרה חשבונית שבאיבר הראשון שלה הוא a6.
נשתמש בנוסחת האיבר הכללי על מנת למצוא את a6
an = a1 + (n-1)d
a6 = 4 + (6 – 1)5 = 4 + 25 = 29

חישוב סכום 5 האיברים האחרונים
עבור סדרת חמשת האיברים האחרונים הנתונים הם:
a6 = 29
d = 5
n = 5
s5 = ?

הצבה בנוסחה
(sn=(2a1+(n-1)d)(n:2

חישוב סכום הסדרה

2s5 = (58 +20)5
2s5 = 390  / :2
s5 = 195

תשובה: סכום חמשת האיברים האחרונים הוא 195.

תרגיל 5
סכום 8 אברים בסדרה חשבונית החל באיבר מסוים הוא 208.
ידוע כי: a1 =  -20,  d = 4.
מצאו את מיקום האיבר ממנו התחילו לחשב את הסכום.

פתרון
נתייחס אל שמונת האיברים שסכומם 208 כסדרה חשבונית אשר ה- a1 שלה לא ידוע.
אנו יודעים
d = 4,   n = 8,  s = 208.

1.מציאת גודל האיבר ממנו התחילו את הסכום.
נציב בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
(sn=2a1+(n-1)d)(n:2

חישוב סכום הסדרה

2a1 + 28 )4 = 208   / : 4)
2a1 + 28 = 52   / -28
2a1 =  24 / : 2
a1 = 12
(נזכור כי זה לא האיבר הראשון בסדרה המקורית, אלא האיבר הראשון ממנו התחילו את הסכום).

2. מציאת מיקום האיבר.
נניח שהאיבר שמצאנו וגודלו 12 נמצא במקום ה n.
an = 12
אנו גם יודעים:
a1 =  -20,  d = 4.

נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי
a = a1 + (n-1)d
n- 1)4 -20 = 12)
4n – 4 – 20 = 12  / +24
4n = 36   / :4
n = 9

תשובה: התחילו לחשב את הסכום מהאיבר ה 9.

תרגיל 6  (שימוש בנוסחת האיבר הכללי)
סכום 7 איברים אחרונים בסדרה שבה a1 = 60, d = -6 הוא 0.
מה סכום 10 האיברים האחרונים ?

פתרון
הנתונים עבור 7 האיברים האחרונים
n = 7
d = -6
s7 = 0
a1 = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
(sn=(2a1+(n-1)d)(n:2
הצבה בנוסחת סכום הסדרה

פתרון התרגיל

a1 = 18

מציאת 3 האיברים המשלימים ל- 10 האיברים האחרונים.
האיבר המתחיל את שבעת האחרונים הוא 18.
ומכוון ש d = -6 שלושת האיברים הקודמים לו גדולים ממנו
36,   30,   24

סכום שלושת האיברים הוא:
90 = 36 + 30 + 24

סכום עשרת האיברים הוא:
90 = 90 + 0
תשובה: סכום עשרת האיברים האחרונים בסדרה הוא 90.

חישוב סכום מקומות זוגיים ואי זוגיים

תרגיל 7 (חישוב פשוט)
בסדרה 10,20,30,40.
יש 19 איברים חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים והאי זוגיים.

פתרון
מספר האיברים האי זוגיים והאיברים הזוגיים
מכוון שיש 19 איברים המתחילים באיבר שמיקומו אי זוגי ומסתיימים באיבר שמיקומו אי זוגי אז הסדרה כוללות 10 איברים אי זוגיים ו-9 איברים זוגיים.

נתוני סדרת המקומות האי זוגיים
a1 = 10
d = 20
n = 10
נציב את הנתונים בנוסחה
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
sn = (2 * 10 + (10-1)*20)*5
sn = (20 + 180)*5 = 200 * 5 = 1000

נתוני סדרת המקומות הזוגיים
האיבר הראשון בסדרת המקומות הזוגיים הוא
a1 + d = 10 + 10 = 20
לכן הנתונים להצבה בנוסחת הסכום הם:
a1 '  = 20
d = 20
n = 9
נציב את הנתונים בנוסחה
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
sn = (2*20 + (9-1)*20)5
sn = (40 + 160) *4.5 = 900

תשובה: סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 900, סכום האיברים במקומות האי זוגיים הוא 1000.

דרך נוספת לחישוב סכום סדרת המקומות הזוגיים
נחשב את סכום הסדרה כולה.
a1 = 10
d = 10
n = 10
sn = (2*10 + (19-1) * 10) * 9.5
sn = (20 + 180) * 9.5 = 1900

נחסר מהסכום הכללי את סכום סדרת האי זוגיים (1000):
900 = 1000 – 1900
תשובה: סכום סדרת האיברים במקומות הזוגיים הוא 900.

תרגיל 8 (עבודה עם משתנים)
בסדרה חשבונית הכוללת 10 איברים סכום 5 האיברים במקומות הזוגיים גדול ב 20 מסכום האיברים במקומות האי זוגיים.
חשבו את הפרש הסדרה

פתרון
נגדיר:
a1 האיבר הראשון בסדרה.
d  הפרש הסדרה.

סדרת המקומות האי זוגיים
a1 = a1
D = 2d  הפרש הסדרה כפול מההפרש המקורי של הסדרה.
n = 5
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
נציב את הנתונים בנוסחה
sn = (2a1 + (5 – 1) 2d) 0.5* 5
sn = (2a1 + 8d)2.5 = 5a1 + 20d
sn =  5a1 + 20d

סדרת המקומות הזוגיים
a1' = a1 + d   האיבר הראשון בסדרה הוא a2.
D = 2d  הפרש הסדרה כפול מהפרש הסדרה המקורית.
n = 5
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
נציב את הנתונים בנוסחה
sn = (2a1 +2d + (5 – 1)d) 0.5*5
sn = (2a1 + 6d) *2.5 = 5a1 + 15d
sn =  5a1 + 15d

בניית משוואה ופתרון
סכום האיברים במקומות האי זוגיים
5a1 + 20d
סכום האיברים במקומות הזוגיים
5a1 + 15d

סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול ב- 20 לכן המשוואה שלנו תהיה
5a1 + 20d + 20 = 5a1 + 15d   / -5a1 – 15d
5d + 20 = 0  / -20
5d = -20  /: -5
d = -4
תשובה: הפרש הסדרה הוא 4-.

תרגיל 9 (מציאת איבר בסדרה בעזרת הסכום)
בסדרה חשבונית 30 איברים. הפרש הסדרה הוא 3.
סכום האיברים במקומות האי זוגיים הוא 1065.
מצאו את האיבר במקום ה 30.

פתרון
הרעיון של התרגיל הוא למצוא את a1 ואז נוכל למצוא את a30.
בסדרת המספרים האי זוגיים
n = 15
d = 6
s15 = 1065
a1 = ?

נציב את הנתונים בנוסחת סכום הסדרה.
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n

30a1 + 13 * 6 * 15 = 2130
30a1 + 1170 = 2130   / -1170
30a1 = 960  / :30
a1 = 32

נחשב את האיבר שמיקומו 30.
על פי נוסחת האיבר הכללי.
an = a1 + (n-1)d
a30 = 32 + (30 – 1)* 3
a30 = 32 + 87 = 119
תשובה: a30 = 119.

תרגיל 10 (הפיכת סימנים לחלק מהאיברים)
בסדרה חשבונית 3,7,11,15 יש 20 איברים.
הפכו את הסימנים של האיברים במקומות זוגיים.
חשבו את סכום הסדרה החדשה.

פתרון
הרעיון: נזהה את האיברים (a1, d, n) של סדרת המקומות הזוגיים והאי זוגיים.
נחשב את סכום כל אחת מהסדרות בנפרד ואז נחבר בניהם.

סדרת האיברים במקומות האי זוגיים
a1 = 3
d = 8
n  =10
s10 = ?

נציב בנוסחת סכום סדרה חשבונית:
(sn=(2a1+(n-1)d)*(0.5n
s10 = (2*3 + (10-1)8)*5
s10 = (6 + 72) * 5 = 390

עבור סדרת המספרים במקומות הזוגיים
המספרים במקומות הזוגיים שינו סימן, לכן הסדרה הפכה לסדרה יורדת.
d = – 8
a1 = -7
n = 10
s15 = ?

נציב את הנתונים בנוסחת סכום הסדרה.
(sn=(2a1+(n-1)d)*(0.5n
s15 = (2 * -7 + (10 – 1) *(-8)) * 5
s15 = (-14 -72) * 5 = – 430

הסכום של שתי הסדרות ביחד הוא:
40 – = 430 – 390
תשובה: סכום הסדרה החדשה הוא 40 -.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.