סכום סדרה חשבונית

בדף זה:

  1. נוסחאות לחישוב סכום סדרה חשבונית.
  2. טיפים לפתרון תרגילים.
  3. תרגילים עם פתרונות מלאים.

דף זה מיועד בעיקרו לתלמידי 4-5 יחידות לימוד. עבור תלמידי 3 יחידות יש את הדפים סדרה חשבונית שאלון 182 ו
סדרות שאלון 381.

1. נוסחאות לחישוב סדרה חשבונית

לסכום סדרה חשבונית יש 3 נוסחאות. 2 הראשונות נמצאות בדף הנוסחאות של בחינת הבגרות.

sn = (a1+an) * n/2

זו הנוסחה היסודית של הסכום. הנוסחה בעצם אומרת שהסכום הוא האיבר הממוצע של הסדרה a1+an)/2) כפול מספר איברי הסדרה.
כאשר נציב במקום an את   a1 + (n-1)d    נקבל :
(נוסחה זו מבטאת את הקשר בין האיבר הראשון לסכום הסדרה).

sn = (2a1 + (n-1)d) * n/2

כאשר נציב במקום a1 בנוסחה הראשונה את an = a1 + (n-1)d נקבל :
(נוסחה זו מבטאת את הקשר בין האיבר הכללי לסכום הסדרה).

sn = (2an – (n-1)d) * n/2

שתי נוסחאות שימושיות נוספות בנושא סדרות חשבוניות:
נוסחת האיבר הכללי :
an = a1 + (n-1)d
נוסחת האיבר הבא :
an+1 = an + d

2. טיפים לפתרון תרגילים

עבור תלמידי 3 יחידות:

  1. על מנת לפתור משוואות יש 4 נעלמים: a1, d, sn, n. על מנת לפתור את התרגילים תצטרכו לרוב ליצור ולפתור שתי משוואות הכוללות את הנעלמים הללו. על מנת להקל עליכם בבניית המשוואות כדאי:
    – להכיר את נוסחאות הסכום היטב.
    – לתרגם באופן מיידי את המידע המילולי למשתנים אותם אתם יכולים להציב בנוסחה (a1,d, sn וכו).

עבור תלמידי 4-5 יחידות, שימו לב למקרים הבאים:

  1. חישוב סכום הסדרה החל באיבר במקום ה K.
    עלינו למצוא את האיבר במקום ה K ולחשב את הסכום ממנו.
  2. חישוב סכום הסדרה הנמצאת במקומות הזוגיים / אי זוגיים :
    – עבור סדרת המקומות הזוגיים האיבר הראשון הוא a2 עבור הסדרת המקומות האי זוגיים האיבר הראשון הוא a1.
    – שימו לב האם הסדרה מסתיימת באיבר זוגי או אי זוגי על מנת לחשב את מספר האיברים בסדרה שלכם.
    – 2d הוא הפרש הסדרה של המקומות הזוגיים או האי זוגיים.
  3. חישוב סכום האיברים הנמצאים ב K המקומות האחרונים – כאשר מבקשים ממכם לחשב את הסכום של K איברים אחרונים ניתן לחשב את הסכום של כל הסדרה ולחסר ממנו את הסכום של הסדרה הכוללת את n-k איברים ראשונים.
    אפשרות אחרת היא למצוא את האיבר הנמצא במקום ה- an+1-k ולהשתמש בו בתור האיבר a1 בסדרה החשבונית שאתם רוצים לחשב את הסכום שלה.
  4. חישוב סכום האיברים החיוביים בלבד או השליליים בלבד – 
    במקרה זה נמצא את האיבר החיובי / שלילי אחרון או ראשון על ידי מציאת האיבר ששווה 0 (בעזרת הנוסחה 0=an=a1+(n-1)d . אם אין איבר ששווה 0. אם נקבל עבור n מספר לא שלם ונעגל אותו על פי הנדרש בשאלה.
  5. דרך נוספת ליצור משוואה an=sn-sn-1
    בסופו של דבר הדרך לפתרון תרגילים בנושא סדרות הוא ליצור מספר משוואות עם מספר נעלמים. במקרה זה כדאי לכם לזכור כי הסכום של n איברים פחון סכום של n-1 איברים הוא an.
  6. שאלות עם משוואה אחת.
    ברוב השאלות תצטרכו לבנות שתי משוואות על מנת לפתור. אבל קיימות שאלות שבהם משתמשים במשוואה אחת. בשאלות אלו לרוב אחד הנעלמים מופיע בשני צידי המשוואה ו"מבטל את עצמו" במהלך הפתרון.

3. תרגילים עם פתרונות מלאים לתלמידי 4-5 יחידות

תרגילים עם נוסחת האיבר הכללי, סכום איברים ראשונים ואחרונים

תרגיל 1 (הכי בסיסי)
בסדרה חשבונית הכוללת 10 איברים ידוע כי  a1 = 4, d=5 חשבו את סכום 5 האיברים האחרונים.

פתרון
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(sn=(2a1+(n-1)d)(n:2
ואנו יודעים עבור סדרת 5 האיברים האחרונים את כל מה שצריך מלבד האיבר הראשון.

מציאת a6
חמשת האיברים האחרונים בסדרה הם:
a6,  a7,  a8,  a9,  a10
זו סדרה חשבונית שבאיבר הראשון שלה הוא a6.
נשתמש בנוסחת האיבר הכללי על מנת למצוא את a6
an = a1 + (n-1)d
a6 = 4 + (6 – 1)5 = 4 + 25 = 29

חישוב סכום 5 האיברים האחרונים
עבור סדרת חמשת האיברים האחרונים הנתונים הם:
a6 = 29
d = 5
n = 5
s5 = ?

הצבה בנוסחה
(sn=(2a1+(n-1)d)(n:2

חישוב סכום הסדרה

2s5 = (58 +20)5 = 390  / :2
s5 = 195

תשובה: סכום חמשת האיברים האחרונים הוא 195.

תרגיל 2 (בניית שני משוואות עם שני נעלמים)
סכום 3 האיברים הראשונים של סדרה הוא 60.
סכום 10 האיברים הראשונים של סדרה הוא 550.
מצאו את a1 והפרש הסדרה.
10,20,30,40

פתרון
נזכור שבסדרה חשבונית יש שני נעלמים a1, d.
נבנה בעזרת שני הנתונים שקיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים.

עבור 3 האיברים בראשונים.
s3 = 60
n = 3
d = ?
a1 = ?
נציב בנוסחה:
(sn=(2a1+(n-1)d)(n:2
הצבה בנוסחת סכום הסדרה

2a1 + 2d) * 3 = 120)
2a1 + 2d = 40
a1 + d = 20

עבור 10 האיברים הראשונים
s3 = 550
n = 10
d = ?
a1 = ?

נציב בנוסחה:
(sn=(2a1+(n-1)d)(n:2
הצבה בנוסחת סכום הסדרה

2a1 + 9d) * 10 = 1100)
2a1 + 9d = 110
a1 + 4.5d = 55

שתי המשוואות שקיבלנו הן
a1 + d = 20
a1 + 4.5d = 55
נפתור בשיטת השוואת מקדמים ונחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה ונקבל.
3.5d = 35  / :35
d = 10

מציאת a1
נציב d = 10 במשוואה
a1 + 10 = 20
a1 = 10

תשובה: a1 = 10, d = 10.

תרגיל 3
בסדרה חשבונית 10 איברים. סכום 5 האיברים הראשונים הוא 45 וסכום 5 האיברים האחרונים הוא 120.
מצאו את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה.

פתרון
יש 4 נעלמים בנושא סכום סדרות חשבוניות a1, d, sn, n מתוכם 2 אנו יודעים (n,sn) ועכשיו עלינו למצוא שתי משוואות על מנת למצוא את השתיים האחרים (a1,d).
משוואה ראשונה: סכום 5 האיברים הראשונים הוא 45.
(sn=(2a1+(n-1)d)(n:2
45=(2a1+(5-1)d)(5:2)
5a1+10d=45 (משוואה 1)
משוואה 2: סכום הסדרה כולה הוא 165.
אומנם נתון לנו מידע עבור 5 האיברים האחרונים, אבל אם נשתמש בו כפי שכתוב זה יאריך את התרגיל.
165=2a1+9d)5)
165=10a1+45d  (משוואה 2)

נבודד את 5a1 מהמשוואה הראשונה.
5a1=45-10d
10a1=90-20d
נציב במשוואה השנייה.
165=10a1+45d
90-20d+45d=165  / -90
25d=75  /:25
d=3
נציב d=3 במשוואה 1.
5a1+10d=45
5a1+30=45  /-30
5a1=15  /:5
a1=3
תשובה: הפרש הסדרה הוא 3 והאיבר הראשון הוא 3.

a1+(n-1)d=2a1+0.5n-1)d+0.5nd
a1+nd-d=2a1+ nd-d

תרגיל 4 (שימוש בנוסחת האיבר הכללי)
סכום 8 אברים בסדרה חשבונית החל באיבר מסוים הוא 208.
ידוע כי: a1 =  -20,  d = 4.
מצאו את מיקום האיבר ממנו התחילו לחשב את הסכום.

פתרון
נתייחס אל שמונת האיברים שסכומם 208 כסדרה חשבונית אשר ה- a1 שלה לא ידוע.
אנו יודעים
d = 4,   n = 8,  s = 208.

1.מציאת גודל האיבר ממנו התחילו את הסכום.
נציב בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
(sn=2a1+(n-1)d)(n:2

חישוב סכום הסדרה

2a1 + 28 )4 = 208   / : 4)
2a1 + 28 = 52   / -28
2a1 =  24 / : 2
a1 = 12
(נזכור כי זה לא האיבר הראשון בסדרה המקורית, אלא האיבר הראשון ממנו התחילו את הסכום).

2. מציאת מיקום האיבר.
נניח שהאיבר 12 נמצא במקום ה n.
an = 12
אנו גם יודעים:
a1 =  -20,  d = 4.

נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי
a = a1 + (n-1)d
n- 1)4 -20 = 12)
4n – 4 – 20 = 12  / +24
4n = 36   / :4
n = 9

תשובה: התחילו לחשב את הסכום מהאיבר ה 9.

תרגיל 5  (שימוש בנוסחת האיבר הכללי)
סכום 7 איברים אחרונים בסדרה שבה a1 = 60, d = -6 הוא 0.
מה סכום 10 האיברים האחרונים ?

פתרון
הנתונים עבור 7 האיברים האחרונים
n = 7
d = -6
s7 = 0
a1 = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
(sn=(2a1+(n-1)d)(n:2
הצבה בנוסחת סכום הסדרה

פתרון התרגיל

a1 = 18

מציאת 3 האיברים המשלימים ל- 10 האיברים האחרונים.
האיבר המתחיל את שבעת האחרונים הוא 18.
ומכוון ש d = -6 שלושת האיברים הקודמים לו גדולים ממנו
36,   30,   24

סכום שלושת האיברים הוא:
90 = 36 + 30 + 24

סכום עשרת האיברים הוא:
90 = 90 + 0
תשובה: סכום עשרת האיברים האחרונים בסדרה הוא 90.

סכום מקומות זוגיים ואי זוגיים

תרגיל 1 (חישוב פשוט)
בסדרה 10,20,30,40.
יש 19 איברים חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים והאי זוגיים.

פתרון
מספר האיברים האי זוגיים והאיברים הזוגיים
מכוון שיש 19 איברים המתחילים באיבר שמיקומו אי זוגי ומסתיימים באיבר שמיקומו אי זוגי אז הסדרה כוללות 10 איברים אי זוגיים ו-9 איברים זוגיים.

נתוני סדרת המקומות האי זוגיים
a1 = 10
d = 20
n = 10
נציב את הנתונים בנוסחה
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
sn = (2 * 10 + (10-1)*20)*5
sn = (20 + 180)*5 = 200 * 5 = 1000

נתוני סדרת המקומות הזוגיים
a1 ' = a1 + d = 10 + 10 = 20
a1 '  = 20
d = 20
n = 9
נציב את הנתונים בנוסחה
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
sn = (2*20 + (9-1)*20)5
sn = (40 + 160) *4.5 = 900

תשובה: סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 900, סכום האיברים במקומות האי זוגיים הוא 1000.

דרך נוספת לחישוב סכום סדרת המקומות הזוגיים
נחשב את סכום הסדרה כולה.
a1 = 10
d = 10
n = 10
sn = (2*10 + (19-1) * 10) * 9.5
sn = (20 + 180) * 9.5 = 1900

נחסר מהסכום הכללי את סכום סדרת האי זוגיים (1000):
900 = 1000 – 1900
תשובה: סכום סדרת האיברים במקומות הזוגיים הוא 900.

תרגיל 2 (עבודה עם משתנים)
בסדרה חשבונית הכוללת 10 איברים סכום 5 האיברים הזוגיים גדול ב 20 מסכום האיברים האי זוגיים.
חשבו את הפרש הסדרה

פתרון
נגדיר:
a1 האיבר הראשון בסדרה.
d  הפרש הסדרה.

סדרת המקומות האי זוגיים
a1 = a1
D = 2d  הפרש הסדרה כפול מההפרש המקורי של הסדרה.
n = 5
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
נציב את הנתונים בנוסחה
sn = (2a1 + (5 – 1) 2d) 0.5* 5
sn = (2a1 + 8d)2.5 = 5a1 + 20d

סדרת המקומות הזוגיים
a1' = a1 + d   האיבר הראשון בסדרה הוא a2.
D = 2d  הפרש הסדרה כפול מהפרש הסדרה המקורית.
n = 5
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n
נציב את הנתונים בנוסחה
sn = (2a1 +2d + (5 – 1)d) 0.5*5
sn = (2a1 + 6d) *2.5 = 5a1 + 15d

בניית משוואה ופתרון
סכום האיברים האי זוגיים
5a1 + 20d
סכום האיברים הזוגיים
5a1 + 15d

סכום האיברים הזוגיים גדול ב- 20 לכן המשוואה שלנו תהיה
5a1 + 20d + 20 = 5a1 + 15d   / -5a1 – 15d
5d + 20 = 0  / -20
5d = -20  /: -5
d = -4
תשובה: הפרש הסדרה הוא 4.

תרגיל 3
נתונה סדרה חשבונית בת 10 איברים שבה ההפרש שבין המקומות הזוגיים למקומות האי זוגיים הוא 100.
מצאו את הפרש הסדרה.
מצאו את האיבר הראשון אם ידוע כי האיבר במקום השלישי שווה לחמישית מהאיבר במקום ה 8.

בסדרת המקומות האי זוגיים n=5, a1=a1.
sn=(2a1+(5-1)d)2.5
בסדרת המקומות הזוגיים n=5, a1'=a1+d
sn=(2a1+2d+(5-1)d)2.5
ידוע כי סכום המקומות הזוגיים גדול ב- 100 לכן:
2a1+(5-1)d)2.5 +100=(2a1+2d+(5-1)d)2.5)  /:2.5)
2a1+4d+40=2a1+6d  / -2a1-4d
40=2d
d=20

חלק שני
a3=a1+40
a8=a1+7d=a1+140
a8 גדול פי 3 מ a3  לכן:
a1+40)*3=a1+140)
3a1+120=a1+140  / -a1-140
2a1=20  /:2
a1=10
תשובה: האיבר הראשון של הסדרה הוא 10. הפרש הסדרה הוא 20.

תרגיל 4 (מציאת איבר בסדרה בעזרת הסכום)
בסדרה חשבונית 30 איברים. הפרש הסדרה הוא 3.
סכום האיברים במקומות האי זוגיים הוא 1065.
מצאו את האיבר במקום ה 30.

פתרון
הרעיון של התרגיל הוא למצוא את a1 ואז נוכל למצוא את a30.
בסדרת המספרים האי זוגיים
n = 15
d = 6
s15 = 1065
a1 = ?

נציב את הנתונים בנוסחת סכום הסדרה.
(sn=(2a1+(n-1)d)(0.5n

30a1 + 13 * 6 * 15 = 2130
30a1 + 1170 = 2130   / -1170
30a1 = 960  / :30
a1 = 32

נחשב את האיבר שמיקומו 30.
על פי נוסחת האיבר הכללי.
an = a1 + (n-1)d
a30 = 32 + (30 – 1)* 3
a30 = 32 + 87 = 119
תשובה: a30 = 119.

תרגיל 5 (הפיכת סימנים לחלק מהאיברים)
בסדרה חשבונית 3,7,11,15 יש 20 איברים.
הפכו את הסימנים של האיברים במקומות זוגיים.
חשבו את סכום הסדרה החדשה.

פתרון
הרעיון: נזהה את האיברים (a1, d, n) של סדרת המקומות הזוגיים והאי זוגיים.
נחשב את סכום כל אחת מהסדרות בנפרד ואז נחבר בניהם.

סדרת האיברים במקומות האי זוגיים
a1 = 3
d = 8
n  =10
s10 = ?

נציב בנוסחת סכום סדרה חשבונית:
(sn=(2a1+(n-1)d)*(0.5n
s10 = (2*3 + (10-1)8)*5
s10 = (6 + 72) * 5 = 390

עבור סדרת המספרים במקומות הזוגיים
המספרים במקומות הזוגיים שינו סימן, לכן הסדרה הפכה לסדרה יורדת.
d = – 8
a1 = -7
n = 10
s15 = ?

נציב את הנתונים בנוסחת סכום הסדרה.
(sn=(2a1+(n-1)d)*(0.5n
s15 = (2 * -7 + (10 – 1) *(-8)) * 5
s15 = (-14 -72) * 5 = – 430

הסכום של שתי הסדרות ביחד הוא:
40 – = 430 – 390
תשובה: סכום הסדרה החדשה הוא 40 -.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.