סכום סדרה חשבונית

בדף זה:

  1. נוסחאות לחישוב סכום סדרה חשבונית.
  2. טיפים לפתרון תרגילים.
  3. תרגילים עם פתרונות מלאים.

דף זה מיועד בעיקרו לתלמידי 4-5 יחידות לימוד. עבור תלמידי 3 יחידות יש את הדפים סדרה חשבונית שאלון 182 ו
סדרות שאלון 381.

1. נוסחאות לחישוב סדרה חשבונית

לסכום סדרה חשבונית יש 3 נוסחאות. 2 הראשונות נמצאות בדף הנוסחאות של בחינת הבגרות.

sn = (a1+an) * n/2

זו הנוסחה היסודית של הסכום. הנוסחה בעצם אומרת שהסכום הוא האיבר הממוצע של הסדרה a1+an)/2) כפול מספר איברי הסדרה.
כאשר נציב במקום an את   a1 + (n-1)d    נקבל :
(נוסחה זו מבטאת את הקשר בין האיבר הראשון לסכום הסדרה).

sn = (2a1 + (n-1)d) * n/2

כאשר נציב במקום a1 בנוסחה הראשונה את an = a1 + (n-1)d נקבל :
(נוסחה זו מבטאת את הקשר בין האיבר הכללי לסכום הסדרה).

sn = (2an – (n-1)d) * n/2

שתי נוסחאות שימושיות נוספות בנושא סדרות חשבוניות:
נוסחת האיבר הכללי :
an = a1 + (n-1)d
נוסחת האיבר הבא :
an+1 = an + d

2. טיפים לפתרון תרגילים

עבור תלמידי 3 יחידות:

  1. על מנת לפתור משוואות יש 4 נעלמים: a1, d, sn, n. על מנת לפתור את התרגילים תצטרכו לרוב ליצור ולפתור שתי משוואות הכוללות את הנעלמים הללו. על מנת להקל עליכם בבניית המשוואות כדאי:
    – להכיר את נוסחאות הסכום היטב.
    – לתרגם באופן מיידי את המידע המילולי למשתנים אותם אתם יכולים להציב בנוסחה (a1,d, sn וכו).

עבור תלמידי 4-5 יחידות, שימו לב למקרים הבאים:

  1. חישוב סכום הסדרה החל באיבר במקום ה K.
    עלינו למצוא את האיבר במקום ה K ולחשב את הסכום ממנו.
  2. חישוב סכום הסדרה הנמצאת במקומות הזוגיים / אי זוגיים :
    – עבור סדרת המקומות הזוגיים האיבר הראשון הוא a2 עבור הסדרת המקומות האי זוגיים האיבר הראשון הוא a1.
    – שימו לב האם הסדרה מסתיימת באיבר זוגי או אי זוגי על מנת לחשב את מספר האיברים בסדרה שלכם.
    – 2d הוא הפרש הסדרה של המקומות הזוגיים או האי זוגיים.
  3. חישוב סכום האיברים הנמצאים ב K המקומות האחרונים – כאשר מבקשים ממכם לחשב את הסכום של K איברים אחרונים ניתן לחשב את הסכום של כל הסדרה ולחסר ממנו את הסכום של הסדרה הכוללת את n-k איברים ראשונים.
    אפשרות אחרת היא למצוא את האיבר הנמצא במקום ה- an+1-k ולהשתמש בו בתור האיבר a1 בסדרה החשבונית שאתם רוצים לחשב את הסכום שלה.
  4. חישוב סכום האיברים החיוביים בלבד או השליליים בלבד – 
    במקרה זה נמצא את האיבר החיובי / שלילי אחרון או ראשון על ידי מציאת האיבר ששווה 0 (בעזרת הנוסחה 0=an=a1+(n-1)d ). אם אין איבר ששווה 0. אם נקבל עבור n מספר לא שלם ונעגל אותו על פי הנדרש בשאלה.
  5. דרך נוספת ליצור משוואה an=sn-sn-1
    בסופו של דבר הדרך לפתרון תרגילים בנושא סדרות הוא ליצור מספר משוואות עם מספר נעלמים. במקרה זה כדאי לכם לזכור כי הסכום של n איברים פחון סכום של n-1 איברים הוא an.
  6. שאלות עם משוואה אחת.
    ברוב השאלות תצטרכו לבנות שתי משוואות על מנת לפתור. אבל קיימות שאלות שבהם משתמשים במשוואה אחת. בשאלות אלו לרוב אחד הנעלמים מופיע בשני צידי המשוואה ו"מבטל את עצמו" במהלך הפתרון.

3. תרגילים עם פתרונות מלאים לתלמידי 4-5 יחידות

תרגיל 1: איברים ראשונים ואחרונים

בסדרה חשבונית 10 איברים. סכום 5 האיברים הראשונים הוא 45 וסכום 5 האיברים האחרונים הוא 120.
מצאו את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה.

פתרון
יש 4 נעלמים בנושא סכום סדרות חשבוניות a1, d, sn, n מתוכם 2 אנו יודעים (n,sn) ועכשיו עלינו למצוא שתי משוואות על מנת למצוא את השתיים האחרים (a1,d).
משוואה ראשונה: סכום 5 האיברים הראשונים הוא 45.
(sn=(2a1+(n-1)d)(n:2
45=(2a1+(5-1)d)(5:2)
5a1+10d=45 (משוואה 1)
משוואה 2: סכום הסדרה כולה הוא 165.
אומנם נתון לנו מידע עבור 5 האיברים האחרונים, אבל אם נשתמש בו כפי שכתוב זה יאריך את התרגיל.
165=2a1+9d)5)
165=10a1+45d  (משוואה 2)

נבודד את 5a1 מהמשוואה הראשונה.
5a1=45-10d
10a1=90-20d
נציב במשוואה השנייה.
165=10a1+45d
90-20d+45d=165  / -90
25d=75  /:25
d=3
נציב d=3 במשוואה 1.
5a1+10d=45
5a1+30=45  /-30
5a1=15  /:5
a1=3
תשובה: הפרש הסדרה הוא 3 והאיבר הראשון הוא 3.

a1+(n-1)d=2a1+0.5n-1)d+0.5nd
a1+nd-d=2a1+ nd-d

תרגיל 2: מקומות זוגיים ואי זוגיים

נתונה סדרה חשבונית בת 10 איברים שבה ההפרש שבין המקומות הזוגיים למקומות האי זוגיים הוא 100.
מצאו את הפרש הסדרה.
מצאו את האיבר הראשון אם ידוע כי האיבר במקום השלישי שווה לחמישית מהאיבר במקום ה 8.

בסדרת המקומות האי זוגיים n=5, a1=a1.
sn=(2a1+(5-1)d)2.5
בסדרת המקומות הזוגיים n=5, a1'=a1+d
sn=(2a1+2d+(5-1)d)2.5
ידוע כי סכום המקומות הזוגיים גדול ב- 100 לכן:
2a1+(5-1)d)2.5 +100=(2a1+2d+(5-1)d)2.5)  /:2.5)
2a1+4d+40=2a1+6d  / -2a1-4d
40=2d
d=20

חלק שני
a3=a1+40
a8=a1+7d=a1+140
a8 גדול פי 3 מ a3  לכן:
a1+40)*3=a1+140)
3a1+120=a1+140  / -a1-140
2a1=20  /:2
a1=10
תשובה: האיבר הראשון של הסדרה הוא 10. הפרש הסדרה הוא 20.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.