אי שוויונות עם שברים

בדף זה נלמד כיצד פותרים אי שוויונות עם שברים.

  1. נתחיל בהסבר על ההבדל בין שוויון עם שברים לעומת אי שוויון עם שברים.
  2. נמשיך להסבר ופתרון 8 סוגים שונים של אי שוויון עם שברים.
  3. נסיים בעוד תרגילים.

חומר קודם שעליכם לדעת על מנת לפתור שאלות בדף זה:

  1. אי שוויון ריבועי – הכרחי לדעת, אין טעם שתמשיכו לקרוא אם אתם לא יודעים אי שוויון ריבועי.
  2. משוואות עם נעלם במכנה – על מנת לפתור את התרגילים היותר קשים שבדף עליכם לדעת למצוא מכנה משותף למכנים עם משתנים, את התרגילים הקלים תוכלו לפתור שבדף תוכלו לפתור גם ללא הידע הזה.

כיצד פותרים אי שוויונות עם שברים

בסרטון וידאו זה נסביר את הדרך לפתרון ונסכם בשלבים ברורים לפתרון.
מי שמעדיף הסבר כתוב יוכל לקרוא את "סוג מספר 1" של אי שוויונות עם שברים.

8 סוגים של אי שוויונות עם שברים

קיימים 8 סוגים של אי שוויונות עם שברים.
בדף זה נסביר אותם בטקסט ובוידאו.

הסרטון הראשון מסביר את חמשת הסוגים הראשונים.

1. אי שוויון פשוט

אי שוויון עם שברים

בחלק זה נסביר כיצד פותרים אי שוויונות עם שברים.

אם זו הייתה משוואה היינו מוצאים את תחום ההצבה  x≠ -3
ואז מכפילים את שני הצדדים במכנה המשותף שהוא x- 3.

באי שוויון אנחנו לא יכולים לעשות זאת כי אנחנו לא יודעים עם x- 3 חיובי (ואז סימן האי שוויון נשאר כמו שהוא) או שלילי (ואז צריך להפוך את הסימן).

לכן מה שעושים באי שוויון זה להכפיל ב x +3)²) שהוא ביטוי חיובי תמיד.
וכאשר x ≠ -3 הוא גם שונה מ 0 (לא ניתן להכפיל משוואה או אי שוויון ב 0).

x-2)(x+3)>0)

קיבלנו אי שוויון ריבועי של פרבולה עם נקודת מינימום (בגלל ש X² חיובי) ונקודות החיתוך שלה אם ציר ציר ה- X הם 2 ו- 3-. מסיבות אלו הפרבולה חיובית כאשר x>2 או x<-3.

שרטוט הפרבולה (f (x) = (x-2)(x+3ותחומי החיוביות שלה מסומנים בירוק

שרטוט הפרבולה (f (x) = (x-2)(x+3ותחומי החיוביות שלה מסומנים בירוק

לסיכום שלבי הפתרון:

  1. מציאת תחום הצבה.
  2. כינוס ו צמצום מספר האיברים ככול האפשר.
  3. הכפלה במכנה המשותף בריבוע.
  4. פתרון אי שוויון ריבועי
  5. מציאת המשוואה הריבועית ונקודות החיתוך שלה עם ציר ה- X.
  6. האם זו פרבולת מינימום או מקסימום?
  7. בהתאם לסעיפים 4 ו- 5 ולנדרש בשאלה נותנים פתרון.

תרגיל 2: אי שוויון הכולל ביטוי נוסף חוץ מהשבר

כאשר יש אי שוויון הכולל שבר ומספר נצמצם את המספרים.
ולאחר מיכן נכפיל במכנה בריבוע.
* הערה: לרוב גם לומדים לעשות מכנה משותף בין המספר לשבר וכך גם נעשה כאן.
אבל זו לא חובה.

תרגיל 2

פתרון

העברנו את 4.5 אגף

העברנו את 4.5 אגף

עכשיו יש שתי אפשרויות פתרון:

אפשרות 1: להכפיל במכנה משותף
זו אפשרות פשוטה מבחינת ההבנה שלה, אבל יתכן ותדרוש יותר פעולות עד הפתרון ביחס לאפשרות 2.

זו ההכפלה במכנה המשותף

זו ההכפלה במכנה המשותף

לאחר ההכפלה תצטרכו לכנס איברים ואז לפתור אי שוויון ריבועי.

אפשרות 2: ליצור מכנה משותף לשני האיברים שבצד שמאל של האי שוויון.

לאחר פתיחת סוגריים וכינוס איברים במונה נקבל:

יצרנו מכנה משותף בין 0.5 לשבר וכינסנו איברים

עכשיו יש לנו שבר מהצורה שאנו כבר יודעים לפתור.
נכפיל במכנה בחזקת 2 ונקבל:

2x + 4) (4 – 2x) > 0)
נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x הם:
2x + 4 = 0
x = -2

נקודות החיתוך עם ציר ה x הם x = 2, x = -2.

בנוסף זו פרבולת מקסימום כי המקדם של x² הוא 4-.
מי שלא רואה את זה מצורת ההצגה הזו יכול לפתוח סוגריים על מנת לזהות את סוג הפרבולה:
2x + 4) (4 – 2x) > 0)
8x – 4x² +16 – 8x > 0
זו פרבולה עם נקודת מקסימום.

נשרטט סקיצה של הפרבולה:

אנחנו מחפשים את החלק שבו הפרבולה חיובית.
זה קורה בין שתי נקודות החיתוך.

תשובה:

סוג 3: אי שוויון כפול

כאשר נקבל אי שוויון כפול:

  1. נפצל את האי שוויון לשני אי שוויונות.
  2. נפתור כל אחד מהאי שוויונות בנפרד. אלו שני אי שוויונות שהקשר בניהם הוא "וגם".

פתרון
נפתור את האי שוויון

פתרון

נכפיל את המשוואה ב- 2x – 3)²)
2x – 3) (-7x + 6) < 0)
נקודות החיתוך של המשוואה עם ציר ה x הם:
x = 1.5,    x = 6/7

זו פרבולה עם נקודת מקסימום ולכן סקיצה של הגרף שלה נראה כך:

סקיצה של גרף הפרבולה (2x - 3) (-7x + 6)

סקיצה של גרף הפרבולה (2x – 3) (-7x + 6)

ניתן לראות שערך הפרבולה שלילי כאשר

החלק השני של האי שוויון הוא:

נעביר אגפים וניצור מכנה משותף

נעביר אגפים וניצור מכנה משותף

נפתח סוגריים ונכנס איברים

נפתח סוגריים ונכנס איברים

נכפיל את שני צדדי המשוואה ב- 2x – 3)²) ונקבל
5x – 12) (2x – 3) > 0)
נקודות החיתוך של הפרבולה הזו עם ציר ה x הן:
x = 1.5,   x = 12/5 = 2.4

זו פרבולה עם נקודת מינימום לכן סקיצה של הגרף נראית כך:

אנו מחפשים את החלק החיובי
x < 1.5   או   x > 2.4

עכשיו עלנו להתייחס אל שני האי שוויונות שפתרנו כאי שוויונות וגם.
x < 1.5   או   x > 2.4
וגם

החיתוך של שני האי שוויונות הללו הוא האי שוויון השני.

זו התשובה של האי שוויון כולו.

תרגיל 4: אי שוויונות בהם המונה או המכנה תמיד חיוביים / שליליים

במקרה שהמונה או המכנה חיוביים לכל x הם לא משפיעים על סימן האי שוויון וניתן להתעלם מיהם.

במקרה שהמונה או המכנה שליליים לכל x צריך להפוך את סימן האי שוויון ואז ניתן להתעלם מהחלק שהוא שלילי תמיד.

למשל:

המונה תמיד חיובי ולכן אי השוויון הזה שקול לאי השוויון
x² -10x +16 < 0
בעזרת פירוק הטרינום נקבל:
x – 8)  (x -2) < 0)
זו פרבולה עם נקודת מינימום שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
x = 8,   x = 2
לכן האי שוויון שלילי בתחום

אם היינו מקבלים תרגיל שבו המכנה או המונה תמיד שליליים היינו צריכים להפוך את הסימן של האי שוויון.
למשל:

המונה תמיד שלילי. לכן אי השוויון הזה שקול לאי השוויון:
x² + 4x + 3 > 0
שימו לב להפיכת הסימן.
x + 3) (x + 1) > 0)
התשובה הסופית לאי שוויון היא:
x > -1  או x  < -3.

הערה: כיצד יודעים שמשוואה ריבועית היא תמיד חיובית או תמיד שלילית?

תשובה
בודקים את הדיסקרימיננטה
b² – 4ac
אם הדיסקרמיננטה שלילית זה אומר שלמשווה הריבועית אין פתרונות.
בגלל שכל המשוואה הריבועית חיובית או בגלל שכל המשוואה הריבועית שלילית.

תרגיל 5: כאשר יש במונה או במכנה דו איבר בריבוע

דו איבר בריבוע הוא ביטוי חיובי בכול הנקודות חוץ מהנקודה המאפסת אותו.
וזה נכון עבור שני סוגי דו האיברים בריבוע:
a + b)²)
a – b)²)
לכן כאשר יהיה לנו דו איבר בריבוע הוא לא ישפיע על סימן האי שוויון.
אבל נצטרך לתת התייחסות מיוחדת לנקודה בה דו האיבר מתאפס; אם דו האיבר נמצא במכנה אז האי שוויון לא מוגדר, ואם הוא במונה אז כל השבר שווה ל- 0 בנקודה זו.

תרגיל:

במונה נשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר ובמכנה נוציא גורם משותף ונקבל:

המונה
המונה והשבר כולו מתאפסים כאשר x = 2, בנקודה זו האי שוויון לא מתקיים.

נבדוק את המכנה
x (4 – x) > 0
זו פרבולה עם נקודת מקסימום שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הם x = 0,  x = 4.
לכן על פי המכנה הפרבולה חיובית כאשר:

אבל כאשר x = 2 המונה מאפס את האי שוויון לכן בנקודה זו האי שוויון לא מתקיים והתשובה הסופית תהיה:

תרגיל 6: אי שוויונות בהם יש צמצום בין המונה למכנה.

כאשר המונה והמכנה מצטמצמים פותרים את האי שוויון לפי המצב שהוא לאחר הצמצום.
אבל קובעים את תחום ההגדרה לפי המצב שלפני הצמצום.

למשל:

תחום ההגדרה של האי שוויון הוא  x ≠ -8,   x ≠ -10.

לאחר שנצמצם x + 8
ונכפיל ב- x + 10)²)
נקבל את האי שוויון
x – 1) (x + 10) < 0)

זו פרבולה עם נקודת מקסימום.
הפרבולה שלילית בין הנקודות  x = 1,  x = -10

אבל הפונקציה אינה מוגדרת כאשר x = 8.
לכן התשובה הסופית היא:

סוג 7: אי שוויונות ללא פתרון או עם אינסוף פתרונות

יש אי שוויונות שיש להם אין סוף פתרונות ואחרים שאין להם פתרון.

בשני המקרים מדובר בפרבולות שאין להם נקודות חיתוך עם ציר ה x.
(או במקרה מסובך קצת יותר אלו פרבולות המשיקות לציר ה x).

דוגמאות:
f (x) = x² -4x + 5

גרף הפרבולה f (x) = x² -4x + 5

גרף הפרבולה f (x) = x² -4x + 5

ניתן לראות שהפרבולה כולה נמצאת מעל ציר ה x.
לכן:
x² – 4x + 5 > 0   מתקיים תמיד.
x² – 4x + 5 < 0   לא מתקיים אף פעם.

דוגמה 2
f (x) = -x² + 6x – 9 = -(x – 3)²

גרף הפרבולה f (x) = -x² + 6x - 9 = -(x - 3)²

גרף הפרבולה f (x) = -x² + 6x – 9 = -(x – 3)²

ניתן לראות שעבור x = 3 הפרבולה משיקה לציר ה x ובכול שאר המקרים הפרבולה קטנה מ- 0.
לכן:
f (x) = -x² + 6x – 9 > 0   אי שוויון שלא מתקיים אף פעם.
f (x) = -x² + 6x – 9 < 0 אי שוויון המתקיים לכל x מלבד x= 3.

סוג 8: אי שוויונות עם שברים היוצרים חזקה שלישית או גדולה ממנה

עד עכשיו פתרנו תרגילים שהובילו בסופו של דבר למשוואה ריבועית המשורטטת על ידי פרבולה.

אבל מה עושים כאשר האי שוויון יוצר משוואה ממעלה שלישית, משוואה שלא ניתן לתאר על ידי פרבולה?

למשל:

כאשר נכפיל את המשוואה במכנה המשותף ²(x + 2)² (x + 5)
נקבל:
x – 3) (x +2) (x + 5) >0)
וזו לא פרבולה.

דרך הפתרון שתוצג כאן נקראת גם שיטת הנחש.

פתרון בדרך גרפית:

1.נמצא את נקודות החיתוך של הביטוי עם ציר ה- x:
אלו הנקודות x = 3, x = -2,  x = -5

2. נסמן את הנקודות הללו על ציר ה x.

3. נמצא אם השבר חיובי או שלילי בנקודה כלשהי על על ציר המספרים.
בדרך כלל נוח לבחור נקודה הנמצאת בקצוות.

נבדוק עבור x = 10 אם השבר חיובי או שלילי.

ערך השבר עבור x = 10 הוא חיובי

ערך השבר עבור x = 10 הוא חיובי

4. נסמן את x = 10 מעל ציר המספרים (כי מצאנו שהוא גורם לשבר להיות חיובי, אם הוא היה גורם לשבר להיות שלילי היינו מסמנים מתחת לציר המספרים.

סימון הטווח של x > 3 כגורם לשבר להיות חיובי

סימון הטווח של x > 3 כגורם לשבר להיות חיובי

5. העברת קו (נחש) היוצא מהנקודה המסומנת ועובר בין נקודות החיתוך עם הצירים.
בכול פעם שהקו עובר דרך נקודת חיתוך הוא צריך לחצות את הציר בכיוון מלמעלה – למטה או מלמטה למעלה.

שרטוט של הנחש, המתאר את תחומי החיוביות והשליליות של השבר

שרטוט של הנחש, המתאר את תחומי החיוביות והשליליות של השבר

6. כתיבת התשובה.
שרטטנו גרף.
כאשר הגרף מעל הציר השבר חיובי.
כאשר הגרף מתחת לציר השבר שלילי.

השבר חיובי כאשר:
x > 3
או כאשר

השבר שלילי כאשר:
x < 3 וגם x > -2
או
x < -5

 

תרגילים

פתרו את האי שוויונות הבאים.

תרגיל 1

פתרון

מכנה משותף ופתיחת סוגריים

מכנה משותף ופתיחת סוגריים

כינוס איברים

כינוס איברים

נכפיל ב x – 12)²) ונקבל:
2x + 24) (x – 12) < 0)
נקודות החיתוך של הפרבולה הזו עם ציר ה- x הן:
x = 12,   x = -12
לפרבולה נקודת מינימום כי המקדם של x² חיובי.
נשרטט סקיצה של הפרבולה.

אנו מחפשים את התחום שבו הפרבולה שלילית וזה קורה בין המספרים 12 ו- 12-.

זו התשובה

זו התשובה

תרגיל 2

פתרון
בתרגיל זה צריך להעביר את הביטויים לצד אחד.
להוציא גורם משותף ולמצוא גורם משותף מצומצם.

העברת אגף, והוצאת 2 כגורם משותף

העברת אגף, והוצאת 2 כגורם משותף

פתיחת סוגריים וכינוס איברים

פתיחת סוגריים וכינוס איברים

נכפיל את המשוואה בביטוי x + 3)² *2) ונקבל:
2x – 7) (x + 3) * 2 < 0)
ההכפלה ב- 2 לא משנה את סימן הביטוי לכן ניתן להתעלם ממנה.
נקודות החיתוך עם ציר ה x הם:  x = -3,  x = 3.5.

זו פרבולה עם נקודת מינימום.
סקיצה של הפרבולה נראית כך:

הפרבולה (והאי שוויון) שליליים בין נקודות החיתוך, לכן התשובה שלנו היא:

פתרון התרגיל

פתרון התרגיל

תרגיל 3  (שיטת הנחש)

פתרון

נבצע פירוק הטרינום במונה ובמכנה.

נקודות החיתוך של הפונקציה הזו עם ציר ה x הן:
x = -9,  x = 1,  x = 2,  x = 3.

נמצא את סימן הפונקציה באחת הקצוות שלה, למשל ב- x = 5

ניתן לראות שעבור x = 5 ערך השבר הוא חיובי.

שלב השרטוט

  1. נמקם את נקודות החיתוך על ציר המספרים.
  2.  נתחיל את הנחש מהאזור של x = 5 שאנו יודעים שהוא חיובי ומעל הציר. נמשיך אל נקודות החיתוך כאשר בכול פעם שאנו עוברים דרך נקודה אנו מחליפים את המיקום שלנו ביחס לציר ה x.
שרטוט הנחש על פי נקודות החיתוך

שרטוט הנחש על פי נקודות החיתוך

כתיבת התשובה
אנו מחפשים מתי השבר חיובי.
בגרף ניתן לראות שזה קורה כאשר:
x >3
x < 2   וגם  x > 1
x < -9

תרגיל 4

פתרון
נפתור כל אחד מהאי שוויונות בנפרד, נפתור קודם את הימני.

נעביר את ה 4 אגף:

ניצור מכנה משותף ל 4- ולשבר.

נפתח סוגריים:

נכנס איברים:

נבצע פירוק לגורמים:

המכנה הוא מספר בריבוע ולכן תמיד חיובי. לכן המונה לא משפיע על סימן האי שוויון.
השבר חיובי כאשר המכנה חיובי, כלומר:
x – 2 > 0
x > 2

נעבור לפתור את הצד השני של האי שוויון.

המונה הוא משוואה ריבועית שהפתרונות שלה הם:
x1 = -0.1,  x2 = 10  (פתרונות מקורבים).

נפתור בעזרת שיטת הנחש.
לפונקציית האי שוויון 3 נקודות חיתוך עם ציר ה x.
x = -0.1, x =2,  x2 = 10

כמו כן אם נציב x = 15 בפונקציה נקבל מונה שלילי ומכנה חיובי לכן נקודת ההתחלה של שרטוט הנחש תהיה שלילית.

אנו מחפשים את החלק השלילי והוא כאשר
x > 10

x < -0.1

זו מערכת וגם אם האי שוויון הראשון שפתרנו ופתרונו  הוא:
x > 2

החיתוך של המערכת הזו הוא:
x > 10
וזו התשובה הסופית של האי שוויון.

עוד באתר:

  1. שיטת הנחש ואי שוויונים ממעלה שלישית ויותר.
  2. אי שוויונים – הדף המרכזי בנושא אי שוויונות הכולל אי שוויונות מסוגים שונים.
  3. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  4. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

1 thought on “אי שוויונות עם שברים

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.