משוואות מעריכיות

משוואות מעריכיות הן משוואות שבהן המשתנה נמצא במעריך החזקה.

נכון לשנת 2019 משוואות מעריכיות מופיעות כחלק מחקירת פונקציות מעריכיות ובעיות גידול ודעיכה.

לפני שאתם לומדים נושא זה עליכם לדעת חוקי חזקות היטב.

3 טכניקות לפתרון משוואות מעריכיות

1.יוצרים משוואה עם בסיס חזקה יחיד וגם איבר יחיד בשני צדדי המשוואה
ואז ניתן להתעלם מבסיס החזקה ולבנות משוואה המשווה בין מעריכי החזקה.
למשל:

2x-1=42x
(2x-1=22(2x

מכוון שבסיס החזקה שווה (2) גם מעריך החזקה צריך להיות שווה.
x-1=4x  / -x
1- = 3x
(x=(-1/3

2- מחברים בין ביטוי חזקות זהים (זהים בבסיס החזקה ומעריך החזקה).

5X+5X+1=150
כרגע מעריכי החזקה שונים. אבל ניתן לגרום לכולם להיות x.

5+ 5¹ * 5x=150
5x  * 6 =150  /:6
5x=25=52
x=2

ברוב התרגילים מהסוג הזה נוח להפוך את מעריך החזקה למעריך הקטן ביותר שקיים.

הבהרה:
כיצד מבצעים את המעבר בין השורות
5+ 5¹ * 5x=150
5x  * 6 =150

עושים זאת כך:
נגדיר:
5x = t
אז השורה הראשונה שלנו
5+ 5¹ * 5x=150
תהפוך להיות
t + 5t = 150
6t = 150  / : 6
t = 25
ועכשיו נחזור למשתנה המקורי:
5x = 25 = 5²
x = 2

3- בעזרת הצבה הופכים את המשוואה למשוואה ריבועית

32x+3x+1-108=0
3x*2+3*3x-108=0

נשים לב שהחזקה 3x*2 היא הריבוע של החזקה 3x

נציב 3x=t.
ואז:
3x*2 = t²

נקבל משוואה ריבועית:
t²+3t-108=0
ניתן לפתור בעזרת טרינום או נוסחת השורשים.
הפתרונות המתקבלים הם:
t=9  או t = -12.

עכשיו עלינו לחזור אל המשתנה המקורי x.
מכוון שבסיס החזקה חיובי (3) אז גם t חיובי.
לכן האפשרות היחידה היא t=9.
3x=9 = 3²
x=2

תרגילים

תרגיל 1
2x -4 = 8

פתרון
נעביר את 8 לבסיס 2.
2x -4 = 2³
X-4=3
X=7

תרגיל 2
9x = 271-x

פתרון
נעביר את שני הבסיסים לבסיס זהה של 3.
(32x = 33(1-x

מכוון שבסיסי החזקה שווים גם מעריכי החזקה צריכים להיות שווים.
2X=3-3X /+3X
5X=3 /:5
X=0.6

תרגיל 3

פתרון
נהפוך את כל מעריכי החזקה ל x.

נכפיל את המשוואה פי 4. מתוך מטרה שכל הביטויים עם החזקות יהיו 4x.

נחבר את 4x ונמשיך בפתרון

תרגיל 4

פתרון
כל הבסיסים מצד שמאל שווים.
עלינו להעביר אותם לאותו מעריך חזקה על מנת שנוכל לחבר אותם.
נעביר למעריך הקטן ביותר שהוא 2 פחות איקס.

נחבר את החזקות ונמשיך אל הפתרון.
נשתמש בכלל האומר שכול מספר בחזקת 0 שווה ל 1:
x0 = 120 = 60 = 1

תרגיל 5

פתרון
נעביר את כל החזקות לבסיס 4.

על ידי הצבה ניתן להפוך את המשוואה למשוואה ריבועית.
זה מה שנעשה.
נציב
4x = t

נקבל:
t²+t-272=0
נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל:
t=16 או t=-17.
מכוון שבסיס החזקה חיובי (4) גם ערך הביטוי t צריך להיות חיובי ולכן:
t=16

נחזור אל המשתנה x
4x =16=4²
x=2

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

4 thoughts on “משוואות מעריכיות

  1. זוהר יעקובוב

    שלום רב
    ארצה להודות על עשיתך המבורכת והמעולה! עד כה למדתי מפה המון ואני ממשיך ללמוד ולהפתח בתחום המתמטיקה
    המלצתי לחברים על האתר המושלם!
    אני פונה אליך מפני שבתרגיל 3 לא הבנתי איך הגעת ל17 ולאן נעלם ה4 בחזקת איקס אשמח לפיתרון יותר מפורט
    בתרגיל 4 לא הבנתי את כל התרגיל בעיקרון
    חוץ מזה הבנתי הכל והצלחתי לבד
    תרגיל 5 לא הבנתי למה קבעת שהכי כדאי להשתמש ב t ומתי בכללי כדאי להשתמש ב t המשוואות מערביות לא ממש מובן
    אציין כי עברתי על כל הדף של החזקות והבנתי את כל החוקים ועשיתי את כל התרגילים

    אשמח לתשובתך.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום זוהר
      מצטער על העיכוב בתגובה, מקווה שתקרא את התשובה.
      1) 16כפול 4 בחזקת איקס + 4 בחזקת איקס שווים לשבע עשרה בחזקת איקס.
      בדיוק כמו ש 16t + 1t = 17t
      2) לגבי תרגיל 4.
      ראשית אתה צריך להבין טוב את תרגיל 3 כדי לפתור את תרגיל 4.
      מעבר לכך צריך להעביר את את הבסיסים לאותו מעריך חזקה על מנת לחבר אותם.
      זה הסבר חלקי, נסה לדבר איתי בצאט לגבי תרגיל זה.
      אני גם אחשוב כיצד לשפר את ההסבר באתר עצמו.
      3) לגבי תרגיל 5. כדאי להשתמש בהצבה t = או כל משתנה אחר כאשר ההצבה הזו יוצרת משוואה ריבועית. שים לב שהאיבר השמאלי הוא הריבוע של האיבר שמימין לו על פי חוק מספר 2 בדף של חוקי החזקות.
      שמח שאתה לומד דברים באופן יסודי ואם עדיין דברים לא ברורים דבר איתי בצאט.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.