משוואה ריבועית סיכום

הסיכום הזה מתחלק ל 6 חלקים:

  1. צורת המשוואה הריבועית.
  2. 6 דרכים לפתור משוואה ריבועית.
  3. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
  4. ההצגה הגרפית של מספר הפתרונות.
  5. משוואות ריבועיות קשות יותר לפתרון.
  6. סרטונים בנושאים השונים של הדף.

1.צורת המשוואה הריבועית

משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה y = ax² + bx+ c.
כאשר b,c יכולים להיות כל מספר ואילו a חייב להיות שונה מ 0.
כי אם a= 0  זו כבר לא תהיה משוואה ריבועית.
דוגמאות למשוואות ריבועיות:

3x² + 6x + 1 = 0
x² – 3x = 0
x² + 2 = 0
x² = 0
x² – 9x = 10

2. 6 דרכים לפתור את המשוואה הריבועית

למשוואה ריבועית יש דרך אחת שפותרת את כל המשוואות הריבועיות ועוד 4 דרכים שדרכם ניתן לפתור רק חלק מהמשוואות הריבועיות אבל הן עושות זאת בקיצור יחסית.

1.נוסחת השורשים היא הדרך שבה ניתן לפתור את כל המשוואות הריבועיות.

נוסחת השורשים

נוסחת השורשים

2.בטרינום ניתן להשתמש כאשר ניתן למצוא שני מספרים שמכפלת היא a*c וסכומם b.
למשל עבור המשוואה:
x² + 6x + 8 = 0
נחפש שני מספרים שמכפלתם היא 8 וסכומם הוא 6.
שני המספרים הללו הם 4,2 ואז ניתן לפתור כך:
x² + 6x + 8 = 0
x² + 2x + 4x + 8 = 0
x (x + 2) + 4(x +2) = 0
x + 4) (x +2) = 0)
x = -4 או x = -2.

3.בנוסחאות הכפל המקוצר ננסה להתאים את המשוואה הריבועית לאחת מהנוסחאות:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)
למשל:
x² -8x + 16 = 0
x – 4)² = 0)
נוציא שורש לשני הצדדים:
x – 4 = 0
x = 4

4.כאשר הפרמטר c חסר במשוואה הריבועית והיא נראית כך: ax² + bx = 0.
ניתן לפתור את המשוואה הריבועית על ידי הוצאת גורם משותף.
ax² + bx = 0
x (ax + b) = 0
ועכשיו נשתמש בתכונה שאם מכפלת שני ביטויים היא 0 אז לפחות אחד הביטויים שווה ל 0.
לדוגמה:
2x² – 5x = 0
x (2x – 5) = 0
הפתרונות:
x = 0
או
2x – 5= 0
x = 2.5

5.כאשר הפרמטר b חסר במשוואה הריבועית והמשוואה נראית כך:
ax² + c = 0
ניתן לפתור על ידי שאנו מעבירים אות המשוואה למצב הזה:
ax² = -c
למשל:
4x² – 36 = 0
4x² = 36  / :4
x² = 9
x = 3 או x = -3

שימו לב שלמשוואה הזו  x² = 9 יש שני פתרונות ולא פתרון יחיד.
לעומת זאת למשוואה הזו x² = – 9 אין אף הפתרון (כי אין שורש למספר שלילי).

ובאופן כללי ניתן לומר עבור המשוואה ax² = c
שכאשר c > 0 יש למשוואה שני פתרונות.
כאשר c < 0 אין למשוואה פתרון.

6.בדרך הפתרון האחרונה שנציג כאן אנו יכולים להשתמש רק כאשר יש לנו משוואה ריבועית עם מבנה מאוד מיוחד.
בצד אחד צריך להיות ביטוי הכולל x בחזקה ואילו בצד השני מספר עם שורש שלם.
למשל:
x + 2)² = 36)
במקרה זה נפתור כך:
x + 2)² = 6²)
למשוואה הזו יש שני פתרונות:
x + 2 = 6
x = 4
או
x + 2 = – 6
x = – 8

3.מספר הפתרונות של משוואה ריבועית

למשוואה ריבועית יכולים להיות 0,1,2 פתרונות.
כיצד נדע את מספר הפתרונות?

נחזור אל נוסחת השורשים:

נוסחת השורשים

כאשר b² – 4ac < 0
אנו מקבלים שורש של מספר שלילי, דבר שאיננו קיים.
ולכן אין למשוואה פתרונות.

כאשר b² – 4ac = 0
הביטוי ± של מה שיש בשורש אלו שני ביטויים שווים ולכן ישר פתרון יחיד.

כאשר b² – 4ac > 0
הביטוי ± נותן שני פתרונות.

לסיכום:
b² – 4ac < 0 אין פתרון
b² – 4ac = 0  פתרון יחיד.
b² – 4ac > 0 שני פתרונות.

מלבד שימוש בביטוי b² – 4ac חשוב שתדעו לזהות ולנמק מדוע למשוואה
x² = -5
או למשוואה
x² + 5 = 0
אין פתרון.

למשוואה x² = -5 אין פתרון כי אין שורש זוגי למספר שלילי.
למשוואה x² + 5 = 0 אין פתרון כי x² הוא מספר חיובי תמיד, וגם 5 חיובי תמיד.
סכום שני מספרים חיוביים לא יכול להיות שווה ל 0.

כמו כן ניתן לכתוב עבור המשוואה השנייה:
x² + 5 = 0  / -5
x² = -5
ואז להסביר מדוע למשוואה השנייה אין פתרון בדיוק כפי שהסברנו את המשוואה הראשונה.

4.היצוג הגרפי של מספר הפתרונות

הגרף של משוואה ריבועית הוא פרבולה.
הפתרונות של המשוואה הריבועית הם נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.

כלומר, הפתרונות של המשוואה הריבועית:
x² + x -6 = 0
הם:
x = -3,  x = 2
ולכן נקודות החיתוך עם ציר ה x של הפרבולה הזו הם:
(A (2, 0)  B(-3, 0

כאשר יש למשוואה ריבועית פתרון יחיד הפרבולה תשיק לציר ה x.
כאשר למשוואה ריבועית אין פתרונות לא יהיו לפרבולה נקודות חיתוך עם ציר ה x.

דוגמאות לגרפים על פי מספר הפתרונות.

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

5.משוואות ריבועיות קשות יותר

1.משוואה שבה נוח להוציא גורם ולצמצם
2x² + 4x – 10 = 0

x² + 2x + 5 = 0

לפעמים הוצאת גורם משותף זה רק "נוח" ובתרגילים קשים מסוימים עם צמצום איברים זו ממש חובה.

2.משוואה שבה המקדם של x² הוא שלילי
x² + 3x – 7 = 0-
משוואה כזו ניתן לפתור כמו שהיא בעזרת נוסחת השורשים.
אבל לרבים לא נוח עם מקדם של x² שהוא שלילי. (a שלילי).
ולכן מכפילים את המשוואה כולה ב 1-.

צריך לשים לב שמכפילים ב 1- את כל אחד מאיברי המשוואה.
x² + 3x – 7 = 0-  /*-1-
x² – 3x + 7 = 0

3.משוואה עם כינוס איברים
3x + x² + 4 – 7x + 5x² = 4x² + 2x + 3 – 5x

נכנס איברים בכול צד
6x² -4x  + 4 = 4x² -3x + 3
נעביר איברים לצד אחד.
2x² +x + 1 = 0

4. משוואה עם סוגריים
במקרה כזה:

  1. נפתח סוגריים.
  2. נכנס איברים.
  3. נפתור משוואה ריבועית רגילה.

2x + (x + 3)² = 10x
2x + x² + 6x + 9 = 10x
x² + 8x +9 = 10x
x² -2x + 9 = 0

5.משוואות ריבועיות עם שברים

במשוואה מסוג זה צריך למצוא את תחום ההצבה שהוא
x ≠ 0
לאחר מיכן מכפילים במכנה המשותף שהוא x.
x(x- 5) = -6x
x² – 5x = -6x
x² + x = 0
וזו משוואה שאנו כבר יודעים לפתור.

סיימנו את הסיכום.
מקווה שהיה מועיל.
אם חסר לכם משהוא פנו אליי על ידי השארת תגובה או בצ'אט.

קישורים הקשורים לנושאי הדף:

  1. נוסחת השורשים.
  2. פירוק הטרינום
  3. נוסחאות הכפל המקוצר.
  4. משוואה ריבועית עם פרמטרים חסרים.
  5. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
  6. השלמה לריבוע.
  7. 4 שיטות לפתרון מקוצר של משוואה ריבועית.
  8. פרבולה.
  9. בעיות מילוליות הכוללות משוואה ריבועית.
  10. משוואות ריבועיות לא מסודרות
  11. משוואות ריבועיות עם שברים.
  12. חקירת פונקציה ריבועית.
  13. אי שוויונים ריבועיים.

6.סרטוני וידאו הקשורים לדף

אלו חלק מסרטוני הוידאו שיש באתר בנושאים הללו.
בקישורים שלמעלה יש עוד.

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? כתבו לי ואתקן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.