משוואות לוגריתמיות

בדף זה נלמד כצד פותרים מספר סוגים של משוואות לוגריתמיות.

כללי הלוגרתמים שאתם צריכים לדעת

  1. log a(x*y) = logax + logay
  2. log a(x/ y) = logax – logay
  3. logaxn = nlogax
  4. logax = logbx : logba  כלל של שינוי בסיס הלוג.
  5. alogax = x

כללים נוספים שניתן להשתמש בהם בפתרון משוואות לוגריתמיות :

  1. לוגריתם של המספר 1 הוא 0 לכל בסיס, כלומר loga1 = 0.
  2. ניתן לכתוב כל מספר בצורת לוגריתם. למשל את המספר 3 ניתן לכתוב בצורה של log28 = 3.

סוגי משוואות שאתם צריכים לדעת לפתור

סוג ראשון של משוואות לוגרתמיות

משוואות הנפתרות בעזרת הגדרת הלוגרתמים.
במשוואת אלו יהיה לכם לוגרתמים אחד בלבד בצד אחד של המשוואה ומספר בצד השני.
לפי הגדרת הלוגריתם , אם מתקיים loga(x) = y , אז :  ay = x.

תרגיל 1

log 3 (2x + 1) = 2

פתרון

נשתמש בהגדרת הלוגריתם,
לפי הגדרת הלוגריתם , אם מתקיים loga( f(x) ) = y , אז :  (ay = f(x.
במקרה שלנו –
* a = 3
* y = 2
* f(x) = 2x + 1

לכן מתקיים :
3² = 2x + 1
2x + 1 = 9
2x = 8
x = 4

תרגיל 2

log 3 (3x + 54) = 4

פתרון

נשתמש בהגדרת הלוגריתם,
לפי הגדרת הלוגריתם , אם מתקיים loga( f(x) ) = y , אז :  (ay = f(x.
במקרה שלנו –
* a = 3
* y = 4
* f(x) = 3x + 54

לכן מתקיים:
3x + 54  =  34
3x + 54 = 81
3x = 27
פתרון המשוואה : x = 3
(מכיוון ש:  33 = 27)

תרגיל 3

log 4 (32 + 2x) = 3

פתרון

נשתמש בהגדרת הלוגריתם,
לפי הגדרת הלוגריתם , אם מתקיים loga( f(x) ) = y , אז :  (ay = f(x.
במקרה שלנו –
* a = 4
* y = 3
* f(x) = 32 + 2x

לכן מתקיים:
43  = 32 + 2x
2x + 32 = 64
2x = 32
נוציא log בבסיס 2 לשני האגפים.
log2(2x) = log232
* loga(ax) = x
לכן:
x = log232 = 5

פתרון המשוואה : x = 5

סוג שני של משוואות לוגרתמיות

משוואות אלו נפתרות על ידי כללי הלוגרתמים שלמדנו למעלה.
בנוסף יתכן ותצטרכו להוציא גורם משותף. או שתצרכו להציב על מנת להפוך את המשוואה הלוגרתמית למשוואה ריבועית.

הכללים על פיהם עליכם לפעול:

  1. לבדוק האם יש גורם משתף או האם ניתן להפוך למשוואה ריבועית.
  2. אם יש מספר לוגרתמים במשוואה עליכם לאחד איברים בעזרת הכללים הללו:
    log a(x*y) = logax + logay
    log a(x/ y) = logax – logay
  3. אם יש לוגרתמים עם בסיס שונה עליכם להשתמש בנוסחה הזו על מנת ליצור בסיס זהה.
    logax = logbx : logba

דוגמאות לתרגילים הנפתרים בצורה הזו:

1.משוואה הנפתרת על ידי גורם משותף

4ln x – ln²x = 0

פתרון

נוכל להוציא גורם משותף מחוץ לסוגריים – ln x.
lnx ( 4 – lnx) = 0
למשוואה מסוג זה ישנם 2 פתרונות:
*     ln x = 0
x = 1
*   0 = (ln x – 4)
ln x = 4
נפעיל e בחזקת 2 האגפים.
elnx = e4
*חוקי לוגריתמים : elnx = x
x = e4

לכן הפתרונות : x1 = 1,   x2 = e4

2. משוואה הנפתרת על ידי הצבה והפיכה למשוואה ריבועית

2ln x + 8 = (lnx)²

פתרון

נציב t = lnx.
ואז מתקיים:
2t + 8 = t²
t² – 2t – 8 = 0
פירוק לגורמים:
t – 4)*(t + 2) = 0)
לכן : t1 = 4,   t2 = -2.

כעת נחזור להצבה המקורית : t = lnx
1. ln x = 4
נפעיל e בחזקת 2 האגפים
elnx = e4
*חוקי לוגריתמים : elnx = x
x = e4

2. ln x = -2
נפעיל e בחזקת 2 האגפים
elnx = e-2
*חוקי לוגריתמים : elnx = x
x = e-2

לכן הפתרונות:   x1 = e4 , x2 = e-2

3. משוואה הנפתרת על ידי שימוש בכללי הלוגתמים 

משוואה בה עליכם לאחד לוגרתימים

ln x + ln (x – 2) = 0

פתרון

מחוקי הלוגריתמים : log a(x*y) = logax + logay
לכן נוכל לכתוב את המשוואה כך:
ln [ x*(x-2) ] = 0
ידוע כי ln 1 = 0.
לכן:
x*(x-2) = 1
x2 – 2x = 1
x2 – 2x – 1 = 0
נפתור את המשוואה:



*  x = 1 – √2 הוא מספר שלילי. (2√ גדול מ -1)
לכן הוא אינו בתחום ההגדרה של ln x. (תחום ההגדרה – x > 0)

לכן פתרון המשוואה :   x = 1 + √2

 

משוואה בה עליכם ליצור בסיס משותף:

log3x + log9x² = 4

פתרון

על  מנת ליצור בסיס משותף , נמיר את הלוגריתם בבסיס 9 לבסיס 3,
לפי הכלל של שינוי בסיס הלוגריתם :   logax = logbx : logb .
לכן :
log9x2 = log3x2 / log39.
* log39 = 2, לפי הגדרת הלוגריתם, ומכיוון ש  – 32 = 9.
* log3x2  =  2*log3x, לפי חוקי לוגריתמים (logaxn = nlogax).
לכן:
log9x2 = 2*log3x / 2 = logx

נציב במשוואה המקורית:
log3x + log3x = 4
2log3x = 4
log3x = 2
לפי הגדרת הלוגריתם, אם מתקיים loga x  = y , אז :  ay = x.
לכן: x = 32 = 9
פתרון המשוואה : x = 9

סוג שלישי של משוואות לוגרתמיות

משוואות בהם הלוגרתמים מופיע בחזקה של המשוואה, במשוואות הללו יש להוציא לוגרתמים לשני צדדי המשוואה.

פתרון

נוציא לוגריתם בבסיס x לשני צדדי המשוואה:

מחוקי הלוגריתמים : loga(ax) = x
לכן:
log416x + 1 = logx 256
על-מנת ליצור בסיס משותף , נמיר את הלוגריתם בבסיס x לבסיס 4,
לפי הכלל של שינוי בסיס הלוגריתם :   logax = logbx : logb .
לכן:
log416x + 1 = log256 / log4 x
*לפי חוקי לוגריתמים : log a(x*y) = logax + logay
לכן : log416x = log4x + log416
נקבל:
log4x + log416 + 1 = log256 / log4 x
*log416 = 2
*log4256 = 4
log4x + 2 + 1 = 4 / log4 x
log4x + 3 = 4 / logx

נכפול ב: logx.
log4x)2 + 3*log4x = 4)

כעת על מנת לפתור את המשוואה נציב t = log4x
נקבל:

t2 + 3t = 4
t2 + 3t – 4 = 0
פירוק לגורמים:
t + 4) * (t – 1) = 0)
t1 = -4 , t2 = 1

לכן:
* log4x = 1
x = 41 = 4
*log4x = – 4
x = 4-4 = 1/256

פתרונות המשוואה:

x1 = 4
x2 = 1/256

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.