אי שוויונות עם שורש

ברמת בית ספר תיכון אי שוויונות עם שורש הוא נושא שיש להבין אותו, אבל לאחר שמבינים אותו הוא לא מסובך או מיוחד.

ראשית זכרו: לשורש יש תחום הגדרה ולאחר שמצאתם את הפתרון עליכם לבדוק האם הוא נמצא בתוך תחום ההגדרה.

נניח ויש לנו את האי שוויון:
x > 9√

השאלה הראשונה שאתם שואלים את עצמכם היא  "האם מותר להעלות בריבוע על מנת להיפטר מהשורש?, האם הביטוי x√ הוא חיובי או לא?".
והתשובה היא שבתחום המספרים הממשיים שורש של מספר הוא תמיד מספר חיובי.
לכן x√ הוא מספר חיובי וניתן להעלות את המשוואה בריבוע ללא שינוי סימן האי שוויון.
x > 9√
x > 81
תחום ההגדרה הוא x ≥ 0 ולכן התשובה הסופית היא x > 81.

מתי לא ניתן להעלות בריבוע מבלי להפוך את סימן האי שוויון?
x – 2 < 5√
בצורה הזו של האי שוויון לא ניתן לדעת אם אגף שמאל חיובי או שלילי.
לכן נבודד את ה x√ באגף ואז נעלה בריבוע.
x – 2 < 5  / +2√
x < 7√
x < 49.
תחום ההגדרה הוא x ≥ 0
ולכן התשובה הסופית היא:
תשובה

לסיכום שלבי הפתרון של אי שוויון עם שורש הם:

  1. מציאת תחום ההגדרה של השורש.
  2. בידוד השורש בצד אחד של האי שוויון.
  3. העלאה בריבוע ופתרון.
  4. בדיקת הפתרון עם תחום ההגדרה וכתיבת תשובה סופית.

תרגילים

בהמשך הדף 3 תרגילים.

תרגיל 1
x – 5) < 7)√

פתרון
נמצא את תחום ההגדרה
x – 5 ≥ 0  / +5
x ≥ 5

נפתור את האי שוויון על ידי העלאה בריבוע:
x – 5) < 7)√
x – 5 < 49  / + 5
x < 54

התחום המשותף של הפתרון ותחום ההגדרה הוא:

תרגיל 2
x + 6) > -1)√

פתרון
שורש ריבועי של מספר הוא תמיד מספר חיובי.
לכן האי שוויון הזה מתקיים עבור כל x הנמצא בתחום ההגדרה ואין צורך להעלות בריבוע וכו.
רק למצוא את תחום ההגדרה.

x + 6 ≥ 0  / -6
x ≥ -6.

תשובה: אי השוויון מתקיים כאשר x ≥ -6.

תרגיל 3
x² – 5) < 3x)√

פתרון
נמצא את תחום ההגדרה
x² – 5 ≥ 0  / +5
x² ≥ 5
x ≥ √5   או   x ≤ -√5.

נפתור את המשוואה על ידי העלאה בריבוע.
x² – 5) < 3x)√
x² – 5 < 9x²
8x² > 5
x² > 0.625
x > 0.79  או x < -0.79

נבדוק את התחום המשותף בין הפתרון שקיבלנו לתחום ההגדרה ונמצא שהתשובה הסופית היא:
x ≥ √5   או   x ≤ -√5.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.