פתרון משוואה עם פרמטר

השלבים לפתרון משוואה עם פרמטר הם:

  1. בידוד כל האיברים הכוללים את המשתנה באגף אחד של המשוואה.
    אם יש צורך קודם פותחים סוגריים, מכנסים איברים בכול צד ומעבירים את המשתנה בצד אחד של המשוואה.
  2. בידוד המשתנה עצמו בצד אחד של המשוואה, לרוב זה נעשה על ידי פעולת חילוק.

אם אתם מחפשים תרגיל המדגים את מרבית שלבי הפתרון אז תרגיל 3 הוא התרגיל המתאים ביותר.

תרגילים

תרגילים 1-3 הם תרגילים היכולים לכלול הוצאת גורם משותף.
תרגילים 4-6 יכולים לכלול בנוסף גם את נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק הטרינום.
תרגיל 7 דורש לפתור משוואה ריבועית (זה התרגיל היחידי שבו יש x² וגם x).

תרגיל 1
5x – a = 3x

פתרון
שלב א: נבודד את האיברים הכוללים משתנה בצד אחד.
5x – a = 3x  / -3x + a
2x = a

שלב ב: נחלק על מנת שמהשתנה יישאר לבד
2x = a / :2
x = 0.5a

תרגיל 2
(10x – 2a = 3a(1 – x

פתרון
שלב א: נפתח סוגריים ונבודד את המשתנה באגף אחד של המשוואה
10x – 2a = 3a -3ax  / +3ax + 2a
10x + 3ax = 5a

שלב ב: נוציא גורם משותף ונחלק על מנת לבודד את המשתנה
x(10 + 3a) = 5a   (הוצאנו גורם משותף)
(x  = 5a  /(10 +3a

תרגיל 3 (הוצאת גורם משותף)
a (x -a) -3x = -5ax

פתרון
שלב א: נפתח סוגריים ונבודד את המשתנה באגף אחד של המשוואה
ax – a² – 3x = -5ax   / +a² +5ax
ax + 5ax – 3x = a²
6ax – 3x = a²

שלב ב: נוציא גורם משותף ונחלק על מנת לבודד את המשתנה
x (6a – 3 ) = a²   / : 6a -3
(x = a² / (6a – 3

תרגיל 4 (פירוק הטרינום)
a² + 7a + 10 = xa +5x

פתרון
באגף השמאלי נבצע פירוק של טרינום.
באגף הימני נוציא גורם משותף.
(a + 5) ( a + 2) = x (a + 5)

נחלק ב a+5 על מנת לבודד את x.
(a + 5) ( a + 2) = x (a + 5)   / : (a + 5)
a + 2 = x  ⇐ זה הפתרון.

תרגיל 5 (נוסחאות הכפל המקוצר)
8ax – 2a²  = 2x + 18 – 12a

פתרון
נבודד את המשתנה בצד שמאל של המשוואה.
8ax – 2a²  = 2x + 18 – 12a   / -2x + 2a²
8ax – 2x = 2a² – 12a +18

נשים לב שכל האיברים בצד שמאל זוגיים לכן נחלק ל 2 את כל המשוואה.
4ax -x = a² – 6a + 9
בצד שמאל נוציא גורם משותף, בצד ימין נפרק על פי הנוסחה לדו איבר בריבוע.
(x (4a – 1) = (a – 3)²  / : (4a – 1
(x = (a – 3)² / (4a -1

* הערה, גם מי שלא השתמש בנוסחה לדו איבר בריבוע והגיע לתשובה הבאה פתר את התרגיל נכון.
(x = (a² – 6a + 9) / (4a -1

תרגיל 6 (עם שברים)

פתרון
נכפיל במכנה המשותף שהוא (a + 5) (a+ 1) ונקבל:

(2x (a + 1) = (-ax + 2) (a + 5
2xa + 2x = -a²x – 5ax +2a + 10   / +a²x+ 5ax
a²x +2xa +5xa + 2x = 2a + 10
x (a² +7a + 2) = 2a + 10  / :a² +7a + 2
x = (2a + 10) / a² +7a + 2

תרגיל 7 (משוואה ריבועית)
9x² + 6ax +a² = 0

פתרון
בתרגיל הזה לא ניתן להוציא את כל האיקסים כגורם משותף. כי הם פעם אחת בחזקת אחת (x) ופעם שנייה בריבוע (x²).

מה שיש לנו כאן זו משוואה ריבועית שצריך לפתור על מנת למצוא את הערך של x.

דרך ראשונה לפתרון: נוסחת השורשים.
המקדם של x² הוא 9.
המקדם של x הוא 6a.
המספר החופשי הוא a²

נציב את המספרים הללו בנוסחת השורשים ונקבל:

המשך הפתרון נראה כך:

תשובה: x = -0.33a
*הערה: אם היינו מקבלים ביטוי שלילי בתוך השורש משמעות הדבר הייתה שאין למשוואה פתרון.

דרך שנייה לפתרון: נוסחאות הכפל המקוצר
9x² + 6ax +a² = 0
המשוואה הזו מתאימה לביטוי
a+b)²= a²+2ab+b²)
9x² + 6ax +a² = (3x +a)² =0

את המשוואה האחרונה ניתן לפתור בקלות יחסית בצורה הזו:
3x +a)² =0)
נוציא שורש.
3x + a =0  / -a
3x = – a  / : 3
x = – 0.33a

*הערה (והרחבה): כיצד זיהיתי שניתן לפתור את המשוואה בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר?

1.בשאלות של משוואה ריבועית עם פרמטר זה קורה הרבה. לכן כאשר אני רואה משוואה כזו אני בודק היטב אם יש התאמה.
יותר משאני בודק משוואה ריבועית ללא פרמטר.

2. כל משוואה ריבועית שאני רואה אני מנסה לפתור בעזרת פירוק טרינום.
כלומר לחפש שני מספרים שמכפלתם היא a*c וסכומם b.
ובמקרה של המשוואה
9x² + 6ax +a² = 0
יש כאלו.
והם המספרים 3a,3a.
3a + 3a = 6a = b
3a * 3a = 9a² = a*c

וכאשר בפירוק הטרינום אנו מקבלים שני מספרים זהים המשמעות היא שאם נפרק את הטרינום נגיע אל נוסחאות הכפל המקוצר.
9x² + 6ax +a² = 0
9x² +3ax + 3ax +a² = 0
3x(3x + a) + a(3x + a) = 0
3x + a)(3x + a) = (3x + a)² = 0)

3x + a)² = 0)
זו המשוואה המובילה אותנו לפתרון.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 thoughts on “פתרון משוואה עם פרמטר

  1. אמיתי גפן

    שלום וברכה,
    אתר מצויין. אני נעזר בו רבות. תודה רבה.
    יש טעות קטנה למעלה בתרגיל 5. במקום (a-3) בריבוע כתבת (a+3) בריבוע.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.