חקירת משוואה עם פרמטר

לאחר שלמדנו לפתור משוואה עם פרמטר אחד נמשיך ונלמד בדף זה על מספר הפתרונות שיכולים להיות למשוואה כזו.

חלקי הדף:

  1. הסבר תאורטי מתי מתקבל פתרון יחיד, אינסוף פתרונות, אף פתרון.
  2. פתרון של תרגיל מחולק לשלבים.
  3. פתרונות של תרגילים נוספים.

הסבר תאורטי:
מתי למשוואה עם פרמטר יש פתרון יחיד, אינסוף או אף פתרון

למשוואה עם נעלם אחד ופרמטר יכול להיות פתרון יחיד, אינסוף פתרונות ואף פתרון.

כל משוואה עם נעלם אחד ופרמטר יכולה להיות מוצגת בצורה הבאה:
ax = k
כאשר x הוא המשתנה, a פרמטר ו- k מספר.

פתרון יחיד:
אם a שונה מ- 0. למשוואה יש פתרון יחיד.
כי במקרה הזה x נשאר במשוואה והוא יהיה שווה למספר כלשהו.

אינסוף פתרונות ואף פתרון
אם a =0 זה אומר שאין x בתשובה הסופית.
כלומר הצד השמאלי של המשוואה ax = k שווה ל- 0.

אם גם הצד הימני שווה ל-0, כלומר k= 0 אז למשוואה אינסוף פתרונות.
כי זה לא משנה איזה ערך נציב במקום x הפתרון יהיה נכון.

אם הצד הצד הימני שונה מ- 0, כלומר k ≠ 0 זה אומר שבצד השמאלי יש 0 ובצד הימני משהו אחר.
זו משוואה שאף פעם היא לא נכונה, לכן אין לה אף פתרון.

לסיכום:
עבור המשוואה ax = k
פתרון יחיד כאשר a ≠ 0.
אינסוף פתרונות כאשר a =0  וגם k = 0.
אף פתרון כאשר a = 0  וגם k ≠ 0.

ובנוסף
אם המשתנה x מופיע במכנה המשוואה אז יש לבדוק מתי x מאפס את המכנה.
בנקודה זו אין למשוואה פתרון.

פתרון תרגיל מחולק לשלבים

עבור המשוואה 6x + 2 = 2x – ax + a²
מתי יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות, אף פתרון

פתרון
שלב 1
עלינו לרכז את כל האיברים הכוללים x בצד אחד של המשוואה ואת כל שאר האיברים בצד השני.
6x + 2 = 2x – ax + a²   / +ax – 2 – 2x
6x + ax – 2x = a² -a
4x + ax = a² – a
x (4 + a)  = a² – a

שלב 2: נבדוק מתי יש פתרון יחיד.
כלומר מתי המקדם של x שונה מ- 0.
a + 4 ≠ 0  / -4
a ≠ -4
תשובה: כאשר a ≠ -4 למשוואה פתרון יחיד.

שלב 3: מתי למשוואה אינסוף / אף פתרון
הערך שגורם לאינסוף או אף פתרון הוא a = 4.
נציב a = – 4 במשוואה ונראה מה נקבל:
x (4 + a)  = a² – a
4 + 16 = 0
קיבלנו ביטוי שהוא אף פעם לא נכון, לכן כאשר
a = 4 אין למשוואה פתרון.

אין a הגורם לאינסוף פתרונות.

תרגילים

עבור התרגילים הבאים מצאו מתי למשוואה יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אף פתרון.

תרגיל 1
10ax = 5a + x

פתרון
נבודד את המשתנה בצד שמאל של המשוואה.
10ax = 5a + x  / -x
10ax – x = 5a
x (10a -1) = 5a

פתרון יחיד
10a – 1≠ 0
10a ≠ 1
a ≠ 0.1

אינסוף פתרונות / אף פתרון
נבדוק מה קורה למשוואה כאשר a = 0.1
0.1 * 5 = 0
זו משוואה לא נכונה לכן עבור a= 0.1 אין למשוואה פתרונות.

תשובה: עבור a ≠ 0.1 למשוואה פתרון יחיד.
עבור a = 0.1 למשוואה אין אף פתרון.

תרגיל 2
ax = a + 5x – a²x

פתרון
נבודד את האיברים הכוללים x בצד אחד של המשוואה.
ax = a  + a²x  /- a²x
ax +a²x  = a
x (a² +a) = a

פתרון יחיד
a² + a ≠ 0
a (a + 1) ≠ 0
a ≠ 0,  a ≠ -1
למשוואה פתרון יחיד כאשר a ≠ 0,  a ≠ -1

אינסוף פתרונות / אף פתרון
נציב a = 0 במשוואה ונקבל:
x * 0 = 0
זה תמיד נכון, לכן כאשר a =0  למשוואה יש אינסוף פתרונות.

נציב a = -1 במשוואה ונקבל:
1- = 0
זה אף פעם לא נכון לכן כאשר a = -1 למשוואה אין פתרונות.

תשובה:
פתרון יחיד a ≠ 0,  a ≠ -1.
אינסוף פתרונות a =0.
אף פתרון a = -1

תרגיל 3
16x + a= -a²x – 2 + 10a

פתרון
נבודד את האיברים הכוללים את a בצד אחד של המשוואה.
16x – a= -a²x – 2 + 10ax  / +a²x -10ax + a
a²x -10ax + 16x = a – 2
x (a² – 10a +16) = a – 2
נשתמש בפירוק הטרינום:
x (a – 8) (a – 2) = a – 2

פתרון יחיד / אינסוף פתרונות / אף פתרון
פתרון יחיד: a≠ 8,  a≠ 2.
a= 2 מאפס את שני צדדי המשוואה, לכן אין סוף פתרונות.
a = 8 מאפס רק את האיקסים של המשוואה ולא את הצד השני. ולכן עבור a= 8 אין פתרונות למשוואה.

תרגיל 4
7x +20 – a²x  + a = -9x + 24

פתרון
נרכז את כל הביטויים הכוללים x בצד אחד של המשוואה.
7x +20 – a²x  + a = -9x + 24  / +9x – 20 – a
7x + 9x -a²x = 24 – 20 – a
16x – a²x = 24 – 20 – a
x (16 – a²) = 4 – a
נשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר:
x (4 – a) (a + 4) = 4 – a

פתרון יחיד / אינסוף פתרונות / אף פתרון
למשוואה פתרון יחיד כאשר:
a + 4) (a – 4) ≠ 0)
לכן  a ≠ -4,  a ≠ 4 נותן פתרון יחיד.

למשוואה אין פתרון כאשר  a = -4.
למשוואה אינסוף פתרונות כאשר a = 4.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.